INCREMENTO Y TASAS El cálculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en variables dependientes cuando hay variaciones en variables independientes. Por ejemplo  El cambio del costo de operación de una planta que resulta n de cada unidad adicional producida  El cambio en la demanda de cierto artículo si se incrementa o disminuye el precio unitario de este.  El cambio del producto nacional bruto de un país con cada año que pasa Sea x una variable con un primer valor x1 y un segundo valor x2. Entonces el cambio en el valor de x, que es x2 – x1 se denomina incremento de x y se denota Δx . Usamos la letra griega Δ para denotar el cambio o incremento de cualquier variable. Es decir

Δx = x2 – x1 Si y es una variable que depende de x tal que y=f(x) esta definida para todo valor de x entre x1 y x2, cuando x=x1, y1=f(x1), de manera similar si x=x2, y2=f(x2), así el incremento de y es Δy = y2 – y1 , entonces Δy = f(x2) - f(x1) Problemas 11 1.

Un fabricante descubre que el costo de producir x artículos está dado por

C=0.001x3-0.3x2+40x+1000 Determine el incremento en el costo cuando el número de unidades se incrementa de 50 a 60. Debemos calcular ΔC= C2- C1 Hallamos C1, hacemos x=50

C1=0.001(50)3-0.3(50)2+40(50)+1000 C1=125-750+2000+1000=2350 Hallamos C2, hacemos x=60

C2=0.001(60)3-0.3(60)2+40(60)+1000 C2=216-1080+2400+1000=2536 Remplazando en: ΔC= C2- C1 = 2536 -2350 = 186 Si las unidades se incrementan de 50 a 60 el costo de producción se incrementa en 186 Unidades monetarias Notas de Clase – Cálculo Diferencial LIc. Esp. José F. Barros Troncoso 1

2. La venta semanal S (en dólares) de un producto se obtiene por medio de . = , donde x es el número de semanas que han transcurrido desde que terminó la campaña publicitaria. Determinar la venta si el número de semanas se incrementa de 2 a 3.

Debemos calcular ΔS= S2- S1 Calculamos S1 haciendo x=2, remplazando . ( . = = =

( .

=

.

Calculamos S2 haciendo x=3, remplazando . ( . = = =

( .

=

. .

Remplazando en ΔS= S2- S1 =

. .

.

=

.

El signo negativo indica que pasar de la 2 a la 3 semana las ventas disminuyen en 389.56 dólares. Sean los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2) de la función y=f(x), el incremento Δx es igual a la distancia horizontal de P a Q y el incremento Δy la distancia vertical y

y

y=f(x) Q(x2,y2)

y2 Δy y1

y1 Δy< 0

P(x1,y1)

P(x1,y1) Q(x2,y2)

y2 x1

0

x1

Δx

x x2

x2 Δx > 0

y=f(x) x

Resolviendo la ecuación Δx = x2 – x1, para x2, x2 = x1 + Δx remplazando x2 en la definición de Δy, obtenemos

Δy=f(x1 + Δx) – f(x1) Ejercicios Determine los incrementos de cada función 1. f(x)=2x + 7 ; Si x=3 y Δx= .2 Remplazando en

Δy=f(x1 + Δx) – f(x1) Δy=f(3 + 0.2) – f(3)=f(3.2)-f(3)=[2(3.2)+7)]-[2(3)+7] Notas de Clase – Cálculo Diferencial LIc. Esp. José F. Barros Troncoso 2

Δy=(6.4+7)-(6+7)=13.4-13 Δy=0.4 Es decir que un incremento de x en 0.2 genera un incremento en y de 0.4 2.

(

= = Remplazando en

= . =f(x1 + Δx) – f(x1) =

=f(2 + 0.5) – f(2)=f(2.5)-f(2) ( . = . .

( .

= . Es decir que cuando el incremento de de x es de 0.5

=

se incrementa en 1.4

La tasa de cambio promedio de una función f sobre un intervalo de x a x Δx se define como la razón Δy/ Δx. Por tanto la tasa de cambio promedio de y respecto a x es ( ( = Ejercicios Calcule la tasa de cambio promedio de cada función en el intervalo dado 1. ( = =2 = . Remplazando en ( ( = =

(2

.

(2 .

=

=

.

(2. 2 . .

=

. =

(2 .

.

Es decir que la tasa de cambio promedio de y respecto a x incremento 0.5 es igual a -5.1 2. ( = = Remplazando en

= . =

= =

(

.

(

.

(

(

( . .

(

= =

( . ( .

Notas de Clase – Cálculo Diferencial LIc. Esp. José F. Barros Troncoso 3

( . .

(

cuando x=2 y su

=

.

=

.

. .

= . Es decir que la tasa de cambio promedio de y respecto a t cuando t=5 y su incremento 1.24 es igual a 0.16 Problemas 12 1. El índice de precios al consumidor (IPC) de una economía está dado por la función ( = . ( , donde t=0 corresponde a 1991. Calcular la tasa de cambio promedio del IPC entre 1992 y 1993. Inicialmente debemos hallar = Para 1992, t=1 y en el 1993 t=2 es decir que = y = Remplazando en = =

(2

( (

(

=

.

2.

=

= . Es decir que la tasa de cambio del índice de precios al consumidor entre 1992 y 1993 tuvieron una tasa de cambio promedio de 1.6 2. Cuando el precio (en dólares) de cierto producto es igual a p, el número de artículos que pueden venderse por semana (demanda) está dado por = Determine la tasa de cambio promedio de la demanda si el precio se incrementa de 4 a 6.25 Debemos hallar = , donde

p = .2 y p = .2 ( .2 = 2.2

(

p (p p = 2.2 , remplazando ( 2 . . = 2.2

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. = 2 2.2 Es decir que las unidades demandadas disminuyen en 21 unidades cuando el precio se incrementa de 4 a 6.25 dólares. =

3. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es C(x)=5000 + 10x + 0.05x2. Determinar la tasa de cambio del costo de producción el número de unidades producidas se incrementa de 50 a 100 unidades. Interprete el resultado. 4. La relación entre la cantidad de dinero x que se invierte en publicidad por una compañía y sus ventas totales S(x) está dada por la función

S(x)=-0.002x3+0.6x2+x+500

(

x 2

, donde x se da en miles de dólares. Halle la tasa de cambio promedio de las ventas si la publicidad se incrementa de de 100 000 (x=100) a 150 000 (x=150) dólares. Interprete el resultado. 5. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula 2 = Determine la tasa de cambio promedio del número de libras de durazno de buena calidad si la cantidad de insecticida se incrementa de de 0 a 3 libras. Interprete el resultado. 6. Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles de dólares) de un vendedor nuevo dependen del número de horas x de capacitación de la siguiente manera: = ( = x≥ Determine la tasa de cambio promedio de las ventas mensuales de un vendedor nuevo si las horas de capacitación se incrementan de 10 a 15. Interprete el resultado. 2. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de Notas de Clase – Cálculo Diferencial LIc. Esp. José F. Barros Troncoso 5

2 ( Determine la tasa de cambio promedio del precio si las unidades demandadas se incrementan de 40 a 50 unidades. Interprete el resultado. =

3. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de =

2 Determine la tasa de cambio promedio del precio del precio si las unidades demandadas disminuyen de 12 a 6. Interprete el resultado. 9. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevo para ensamblar una unidad de un producto está dado por =

2

, donde t es el número de días en el trabajo. Determine la tasa de cambio promedio del promedio por minutos que requiere un empleado para ensamblar una unidad cuando lleva 15 días de haber ingresado al trabajo.. Interprete el resultado. 10.

Suponga que la demanda de un producto se define mediante 2 = 2 Donde p es el precio y q es la cantidad solicitada. Determine la tasa de cambio promedio del precio cuando las unidades solicitadas se incrementan de 100 a 200. Interprete el resultado.

11. Suponga que el volumen de ventas semanales (en miles de unidades) para un producto está dado por (

=

2

( , donde p es precio unitario en dólares. Determine la tasa de cambio del volumen de ventas si el precio disminuye de 11 a 10 dólares por unidad. Interprete el resultado. 12.

El costo promedio de fabricar cierto artículo es =

, donde x es el número de artículos producidos. Determine la tasa de cambio promedio del costo cuando se fabrican entre 10 y 20 artículos. Interprete el resultado. Notas de Clase – Cálculo Diferencial LIc. Esp. José F. Barros Troncoso 6

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