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1 · Números reales

y proporcionalidad

VAMOS A CONOCER… NÚMEROS REALES

Aplicaciones

Se representan en

Tipos

Operaciones

Naturales Enteros Racionales Irracionales

Suma y resta Producto y división Potencias y raíces

Recta real Aplicaciones

Porcentajes

Notación científica

Proporcionalidad

Radicales

¿QUÉ SABES DE ESTO? 1. ¿Sabes qué es un número irracional? 2. ¿Podrías calcular el 25 % de 2.300 €? 3. Cuando decimos que dos magnitudes son proporcionales, ¿qué pretendemos decir? 4. La masa del Sol es: 1.989.100.000.000.000.000.000.000.000.000 kg ¿Sabes cómo expresarla de una manera más cómoda?

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Con esta unidad comenzamos el curso repasando las propiedades y las operaciones de los números reales. Estudiaremos brevemente cómo fueron apareciendo los distintos conjuntos de números a lo largo de la historia de la humanidad y aprenderemos a utilizar algunas aplicaciones de los números racionales y de las potencias que nos serán también de gran utilidad: los porcentajes, la proporcionalidad, la notación científica y los radicales. Es muy importante que manejes adecuadamente estos números ya que constituyen la base sobre la que se desarrolla el resto de los contenidos del ámbito científico-tecnológico.

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matemáticas

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Unidad 1

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1. Los números reales 1.1. Distintos conjuntos de números Historia de los números El origen de los números naturales está en el interés de los primeros seres humanos en contar lo que había a su alrededor: animales, días, etcétera.

Los primeros números que conociste, los más sencillos, son los números que utilizamos para contar: 0, 1, 2, 3, 4… Este conjunto de números se denomina números naturales y se representa como . Otro conjunto de números que ya debes conocer es el de los números negativos. Son números que utilizamos para representar infinidad de situaciones: temperaturas inferiores a 0 ºC, deudas, disminuciones, etc., y se obtienen cuando a un número natural se le resta otro más grande que él. El conjunto que forman los números naturales junto con los negativos se denomina números enteros ya que solo nos permiten realizar divisiones exactas. Para representar este conjunto utilizamos la letra . Para poder resolver divisiones que no sean exactas necesitamos un nuevo tipo de números: los números racionales. Estos números se obtienen al dividir dos números enteros y también reciben el nombre de fracciones. 11 10 2 Algunos ejemplos de fracciones serían: , – , 3 2 5 Observa que las fracciones también pueden ser negativas.

a Papiro

de Rhind.

El papiro de Rhind, escrito en Egipto en torno al año 1650 a. C., demuestra que los egipcios utilizaban fracciones desde el 2000 a. C. Los números irracionales fueron descubiertos por Hipaso de Metaponto, un matemático griego, discípulo de Pitágoras, que logró demostrar que  2 no se podía escribir como una fracción.

Otra forma de representar los números racionales consiste en utilizar 2 cifras decimales. Por ejemplo, se puede escribir 0,4. 5 Existen distintos tipos de números decimales: • Decimales exactos: sus cifras decimales son finitas, es decir, acaban en algún momento. Por ejemplo, 4,25 es un número decimal exacto. • Decimales periódicos puros: tienen infinitas cifras decimales que se repiten de manera regular. Por ejemplo, 12,6363636363… es un número decimal periódico puro. Su periodo es 63. • Decimales periódicos mixtos: también tienen infinitas cifras decimales pero no todas esas cifras se repiten, es decir, algunas cifras decimales no forman parte del periodo. Por ejemplo, 5,1788888… es un número decimal periódico mixto de periodo 8. Es importante que comprendas que los números racionales contienen los números enteros ya que cualquier número entero puede escribirse como el cociente de otros dos números enteros. Ejemplo: 3 =

6 2

Para representar el conjunto se utiliza la letra . a Busto

de Pitágoras.

Los números negativos comenzaron a utilizarse en China (siglo I d. C.) y en la India (siglos VI y VII). En Europa, no se emplearon hasta finales del siglo XV.

Por último, para completar todos los números que conoces vamos a estudiar los números irracionales. Se caracterizan porque no pueden representarse como el cociente de dos números enteros y escritos en forma decimal tienen infinitas cifras decimales pero no son periódicos. El más conocido es el número π = 3,141592…, aunque hay otros que también se utilizan frecuentemente, como e = 2,718281… o φ = 1,618033… A este último se le conoce con el nombre de razón áurea. Los números racionales junto con los números irracionales forman el conjunto de los números reales. Este conjunto incluye todos los números que has estudiado. Se representa con la letra .

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Números reales y proporcionalidad

matemáticas

biología y geología

1.2. Operaciones con números reales Vamos a repasar brevemente las operaciones básicas con los distintos tipos de números reales.  Operaciones con números enteros La suma de dos números enteros se resuelve siguiendo las siguientes reglas: • Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suma el valor absoluto de dichos números y se añade al resultado el signo de los sumandos.

física y química

tecnologías

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Valor absoluto El valor absoluto de un número es el valor de dicho número sin tener en cuenta su signo. Se representa con dos barras verticales. Por ejemplo: +5 = 5 –12 = 12

Ejemplo: (+4) + (+7) = +11 (–1) + (–6) = –7 • Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos (el mayor menos el menor) y se añade al resultado el signo del número de mayor valor absoluto. Ejemplo: (+5) + (–2) = +3 (–10) + (+4) = –6 Para restar dos números enteros solo tienes que sumar al primero el inverso del segundo. Para obtener el inverso de un número entero simplemente debes cambiarle el signo. Ejemplo: (+4) – (+5) = (+4) + (–5) = –1 (–11) – (–3) = (–11) + (+3)= –8 Para multiplicar o dividir dos números enteros, basta con que multipliques o dividas el valor absoluto de los números y añadas al resultado el signo en función de las tablas del margen.  Operaciones con números racionales Para sumar y restar fracciones debes conseguir que todas las fracciones tengan el mismo denominador. Para ello buscarás la fracción equivalente a cada una de ellas que tenga como denominador el mínimo común múltiplo de todos los denominadores. Observa estos ejemplos: 2 + 5 = 8 + 15 = 23 3 4 12 12 12 4 3 8 3 5 1 – = – = = 5 10 10 10 10 2 El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador y denominador son el producto de los numeradores y denominadores de dichas fracciones respectivamente.

Reglas de los signos para la multiplicación Positivo · Positivo = Positivo Positivo · Negativo = Negativo Negativo · Positivo = Negativo Negativo · Negativo = Positivo

Reglas de los signos para la división Positivo : Positivo = Positivo Positivo : Negativo = Negativo Negativo : Positivo = Negativo Negativo : Negativo = Positivo

Brahmagupta Brahmagupta, un matemático hindú del siglo VII, fue el primero en estudiar las operaciones de los números enteros. Escribió reglas como esta: «El producto de un negativo y un positivo es negativo, de dos negativos, positivo, y de positivos, positivo; el producto de cero y un negativo, y de cero y un positivo, o de dos ceros, es cero».

Ejemplo: 7 · 4 = 7 · 4 = 28 3 5 3 · 5 15 6 6 2 6·2 12 ·2= · = = 5 5 1 5·1 5 Para realizar el cociente de dos fracciones debes multiplicar la primera por la inversa de la segunda. Para obtener la inversa basta con cambiar el numerador por el denominador, y viceversa. Ejemplo: 5 : 1 = 5 · 4 = 20 = 10 3 6 4 6·1 6 Y

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A C T I V I D A D E S 1. Indica escribiendo SÍ o NO en cada casilla si los siguientes números pertenecen a los distintos conjuntos de números: Naturales (N)

Enteros (Z)

Racionales (Q)

Reales (R)

2,45151515151… –6 π 13 1 3 –0,5 0,333333… 0 12,41411411141111… –

3 4

2. Identifica los siguientes números decimales como decimales exactos, decimales periódicos puros, decimales periódicos mixtos o irracionales: a) 0,3

c) 8,1457124…

e) –4,6717171…

g) –7,2

b) 12,55555…

d) 7,2232323…

f) 31,621622162221…

h) 4,45454545…

3. Calcula el valor absoluto de los siguientes números enteros: a) +3

c) 0

e) –1,5

b) –11

d) –25

f) +4,66

4. Resuelve las siguientes sumas y restas de números enteros: a) (+7) + (+5)

f) (+4) – (+2)

k) (–5) + (+7) – (–1)

b) (+4) + (–3)

g) (+5) – (–6)

l)

c) (–7) + (+1)

h) (–1) – (+12)

m) (+12) – (–1) – (+12)

d) (–11) + (–3)

i)

(–10) – (–4)

n) (–4) + (–1) – (–10)

e) (–2) + (+10)

j)

(+6) – (+15)

ñ) (–3) + (–17) + (+21)

(+4) – (+14) + (–3)

5. Resuelve: a) 8 – 16

d) –9 – 11 + 5

g) –10 + 11 – 3

b) 5 + 1 – 7

e) 1 – 6 – 12

h) –5 + (–4) – (–1)

c) 2 + (–4) – 12

f) –7 + 8 – (–3)

i)

1 + (–15) – 20 + (–3)

6. Resuelve los siguientes productos y divisiones de números enteros: a) (+5) · (–2)

c) (+11) · (+3)

e) (–24) : (–4)

g) 35 : (–7)

b) (–5) · (–4)

d) (–6) · (+2)

f) (–15) : (+3)

h) 40 · 5 : (–8)

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7. Resuelve las siguientes operaciones combinadas de números enteros: a) 7 – (–3) · (–6)

e) 11 – (1 – 9) : (–4) + 5

b) (–4) + (–12) : (+3)

f) 12 – [(–3) · 2 –7] + 2

c) –15 · 2 – (–1) · 5

g) [10 + (–2)] : (–4) + 1

d) 8 + (10 – 6) : (–2)

h) 3 – (–3) · (–1) + [(–3 + 1) : (–2)]

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b)

1 5 – 4 8

c)

d)

11

Recuerda Para resolver operaciones combinadas en las que aparezcan multiplicaciones, divisiones, sumas y restas debes recordar la siguiente jerarquía de operaciones: 1. Paréntesis y corchetes. 2. Multiplicaciones y divisiones.

8. Resuelve las siguientes sumas y restas de números racionales: 2 5 a) + 3 4

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3. Sumas y restas.

2 1 5 e) + + 5 4 7 f)

1 3 5 + – 3 4 6

3 1 + – 5 2

g)

1 4 2 + – – 3 5 10

5 –2 6

h) –

 

 

 

3 4 +1 – – 4 7

9. Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones de números racionales simplificando el resultado siempre que sea posible: a)

3 1 · 4 5

c)

1 10 : 5 3

e)

+ 23  · – 51 

g)

+ 49  : + 21 

b)

7 3 · 6 2

d)

4 :3 3

f)

– 117  · – 27 

h) 2 :

 15 

10. Resuelve las siguientes operaciones combinadas de números racionales: a)

 

3 1 2 – + · 2 5 5

g) –

 32 – – 57  + 1

1 4 +2· – 5 3

h)

3 – – 23  : 45 + 12

c)

2 1 5 1 · – : 3 4 6 10

i)

–

d)

1 1 3 · + – 4 2 2

 

j)

 45 – 1 + – 43  – 151

 43  · + 12  – – 53  : – 54 

k) 3 –

23 – 1 + 45  + 53

l)

b) –

 

2 + 5

e) +

f)

–

5 3 7 + · –2 4 2 5

52 – 16  + 1 : – 54  



6 11 3 4 · + –1 + : 5 2 5 7

11. Resuelve las siguientes operaciones: a) 0,5 + 1,33

d) 4,6 · 8,1

g) 12,6 : 3

j)

b) 2,45 – 1,02

e) 3,85 · (–1,2)

h) 21,48 : 1,2

k) 2,4 : 0,3 + 1,5

c) 10,5 – 23,45

f) (–1,2) · (–2,75)

i)

l)

2,56 : 1,6

1,2 + 4 · 3,5

5,6 – (–1,5) · 3,2 Y

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2. Potencias de exponente entero Potencia de sumas y restas La potenciación no es distributiva respecto a la suma, es decir, la potencia de una suma no es la suma de las potencias: n

(a + b)

Comenzamos el repaso de las potencias de exponente entero recordando la definición de potencia: Una potencia es la multiplicación de un número, llamado base, por sí mismo tantas veces como indique otro número denominado exponente.

 an + bn

an = a · a · a · ... · a

Lo mismo sucede con la resta.



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n veces siendo a la base y n el exponente. Como consecuencia de esta definición tenemos que:

Potencias en tu calculadora

• Al elevar cualquier número a cero siempre obtenemos uno: a0 = 1

Habitualmente las calculadoras científicas tienen varias teclas dedicadas al cálculo de potencias y raíces.

• Al elevar cualquier número a la unidad obtenemos el mismo número:

Por ser las de uso más habitual, muchas calculadoras incluyen teclas para calcular directamente el cuadrado o incluso el cubo de un número.

Vamos a ver ahora las propiedades más importantes de las potencias junto con algunos ejemplos:

a1 = a

Propiedades an · am = an+m

an : am = an–m Además, si tu calculadora es científica tendrá una tecla dedicada al cálculo de potencias de cualquier exponente.

Ejemplos 35 · 32 = 37 104 · 10–7 = 10 –3 58 : 56 = 52 –23 : –2–5 = –28 2

m

an = an.m n

a · b = an · bn

  a b

n

=

a

7

127 = 3 · 4 = 37 · 47

 

–3

=

5–3 6–3

1 811 1 –9–2 = –92 8–11 =

b = b –n

–3

135 = 13–15

5 6

an bn

1 a–n = an

a

46 = 412

n

9 = 4 4

–3

9

3

Además es importante que recuerdes que cuando la base de una potencia es positiva, el resultado será siempre positivo. Cuando es negativa, por el contrario, pueden suceder dos cosas: • Si el exponente es un número par, el resultado es positivo. • Si el exponente es un número impar, el resultado es negativo.

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A C T I V I D A D E S 1. Calcula el valor de las siguientes potencias: a) 42

e)

5

b) 26

f)

c) (–3)4

d) (–5)3

2

3

i)

(–1,6)4

– 16 

j)

4,52

g)

– 72 

k) (–1,2)3

h)

– 103 

3

4

0

l)

0,52

2. Escribe las siguientes potencias con exponente positivo: a) 5–2

c) (–3)–6

e)

– 5 

b) 12–7

d)

5

f)

6

–3

4

–8

2

–4

1

3. Calcula el valor de las siguientes potencias con exponente negativo. Para ello tendrás que convertirlas primero en potencias de exponente positivo: a) 2–3

c) (–9)–2

e)

– 3 

b) 3–5

d)

2

f)

5

7

–3

–4

2

1

–5

4. Resuelve las siguientes operaciones con potencias: a) 53 · 54

e) 37 : 34

i)

28 · 2–3

b) (13)7 · (–13)2

f) (–9)6 · (–9)4

j)

7–6 · 7–2

c)

   

d)

   

8

2 5

–

1 2

g)

   

k) 165 : 16–8

h)

 

l)

   

e)

4 1 +3· 5 2

10

2 5

:

5

: –

7

1 2

4 7

2

11 2

:

4 7

:

11 2

3

5

3 2

–2

:

3 2

-5

5. Resuelve las siguientes operaciones: a)

 

1 3 – 3 4

b) 2 –

4 1

–2

+

2 3

c)

2 – 2–2 5

d)

2 1 5 – · 5 3 4

 

–1

f) 2–3 +

 

–3

 

7 2 : 5 3

–2

6. Calcula: a) (47)5

b)

   2 5

c) (–3)410

e) (–4)35

d) (6–2)7

f)

3 5

   4 5

–4 –1

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3. Notación científica y unidades de medida 3.1. Notación científica Potencias de base 10 La notación científica se basa en las propiedades de las potencias de base 10 y exponente entero. Observa los valores que obtenemos cuando elevamos a 10 números positivos y negativos:

Como ya pudiste ver en el curso anterior, la notación científica es una de las principales aplicaciones de las potencias de exponente entero. Se trata de una forma de escribir números especialmente útil cuando trabajamos con cantidades muy grandes o muy pequeñas. De forma general, un número está expresado en notación científica si está escrito de la siguiente forma: a,bc… · 10n donde a es una cifra del 1 al 9 que va seguida de los decimales necesarios (bc…) y multiplicada por una potencia de base diez y exponente entero (es decir, n puede ser positivo o negativo).

106 = 1.000.000 5

10 = 100.000 104 = 10.000

Veamos algunos ejemplos:

103 = 1.000 2

10 = 100

• La masa de un electrón, que como recordarás es una de las partículas que componen el átomo, es evidentemente muy pequeña. Si la expresamos utilizando la notación normal tenemos que:

101 = 10 100 = 1 10–1 = 0,1 10–2 = 0,01

melectrón = 0,00000000000000000000000000167 kg

10–3 = 0,001

Usando las propiedades de las potencias de base 10 podemos expresar esta cantidad utilizando la notación científica:

10–4 = 0,0001 10–5 = 0,00001

melectrón = 1,67 · 0,000000000000000000000000001 kg = 1,67 · 10–27 kg

10–6 = 0,000001

• La distancia de la Tierra al Sol es de 150.000.000 km. Utilizando la notación científica podemos expresarla como 1,5 · 108 km.

3.2. Unidades de medida

Notación científica en tu calculadora En la mayor parte de las calculadoras científicas los números escritos en notación científica se emplean usando la tecla EXP. Por ejemplo, para introducir el número 3,4 · 10 8 usaríamos la siguiente combinación de teclas: 3

.

4

EXP

8

Una unidad de medida es un valor de una determinada magnitud que se establece como patrón. De esta forma, para medir dicha magnitud comparamos lo que medimos con la unidad de medida y determinamos cuántas veces la contiene. Cada unidad de medida tiene un símbolo asociado. Además, para cada unidad de medida podemos definir múltiplos y submúltiplos que se obtienen multiplicando la unidad por una potencia de base diez. En la siguiente tabla tienes los prefijos con los que se nombran los múltiplos más habituales, el símbolo con el que se representan y su valor: Múltiplos Prefijo

Símbolo

Submúltiplos Equivalencia 12

Prefijo

Símbolo

Equivalencia

Tera

T

10

Deci

d

10–1

Giga

G

109

Centi

c

10–2

Mega

M

106

Mili

m

10–3

Kilo

k

103

Micro

µ

10–6

Hecto

h

2

10

Nano

n

10–9

Deca

da

101

Pico

p

10–12

Así, por ejemplo, 1 km = 103 m, 1 μs = 10–6 s, 1 Gb = 109 b, etc.

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A C T I V I D A D E S 1. Expresa las siguientes cantidades en notación científica: a) 0,0000000005

e) 45.000

i)

450 · 103

b) 12.000.000.000

f) 0,5

j)

0,006 · 10–4

c) 0,002

g) 57,001

k) 12,5 · 10–19

d) 13.400

h) 0,0000007

l)

0,0055 · 1010

2. Realiza los siguientes cambios de unidades: a) 50 m =

cm

d) 0,06 km =

b) 16 ms =

s

e) 1,5 Ts =

c) 200 cg =

g

f) 102,3 mg =

dam s Mg

g) 10 pm =

mm

h) 1.000 μs =

ms

i)

Tg

50 kg =

3. En el sistema internacional (SI) el espacio se mide en metros (m), el tiempo, en segundos (s) y la masa, en kilogramos (kg). Realiza los cambios de unidades necesarios y utiliza la notación científica para expresar las siguientes cantidades de acuerdo con el SI. a) 5 mm

d) 20.000 km

g) 200 cm

b) 2,4 μs

e) 0,0015 Mg

h) 1.300 ms

c) 40 cg

f) 77,6 horas

i)

20 g

4. La masa del Sol, utilizando la notación científica, es de 1,9891 · 1030 kg. Si no utilizásemos este tipo de notación deberíamos escribir 1.989.100.000.000.000.000.000.000.000.000 kg. ¿Cómo tendríamos que escribir las siguientes cantidades si no utilizásemos la notación científica? a) El diámetro de la Luna: 3,47 · 106 m b) La masa de un protón: 1,67 · 10–27 kg c) El número aproximado de estrellas de la Vía Láctea: 3 · 1011 estrellas d) La población total de la Tierra: 6,6 · 109 personas e) El diámetro de un glóbulo rojo: 7 · 10–6 m f) La frecuencia de un horno microondas: 2,5 · 109 Hz

5. Resuelve las siguientes operaciones según los siguientes ejemplos, expresando el resultado en notación científica: (3,5 · 104) · (6 · 107) = (3,5 · 6) · (104 · 107) = 21 · 1011 = 2,1 · 1012 (8,4 · 106) : (4 · 103) = (8,4 : 4) · (106 : 103) = 2,1 · 103 a) (5,1 · 106) · (2,5 · 102) b) (1,02 · 109) · (1,6 · 10–4) c) (1,235 · 1011) : (5 · 102) d) (9,6 · 10–6) : (2,4 · 1015) Y

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Y

4. Proporcionalidad La proporcionalidad es una de las aplicaciones más interesantes y de mayor uso de los números racionales. Vamos a estudiar ahora las diferentes relaciones de proporcionalidad que pueden existir entre distintas magnitudes.

4.1. Proporcionalidad directa Existen muchos casos de dos magnitudes relacionadas de forma que al aumentar una, la otra lo hace en la misma proporción. Veamos un ejemplo: cuatro amigos que van al cine deben pagar entre todos 28 € para adquirir las entradas. Si en lugar de 4 amigos fueran solo la mitad, es decir, 2, deberían pagar solo la mitad (14 €). Si por el contrario fueran al cine el triple de personas (12), el precio total de las entradas sería también el triple (84 €). Podríamos resumir esta relación con la siguiente tabla: Personas Precio de las entradas

4

2

12

28 €

14 €

84 €

Este es un ejemplo de dos magnitudes, las personas que van al cine y el precio total de las entradas, que son directamente proporcionales. Como se puede apreciar en la tabla, si dividimos el precio de las entradas entre las personas que van al cine obtenemos siempre una misma cantidad: 28 14 84 = = =7 4 2 12 Se trata, en este caso, del precio de una sola entrada (7 € por entrada). En general, diremos que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar (o dividir) una de ellas por un cierto número la otra resulta multiplicada (o dividida) por el mismo número. Siempre que dividamos dos magnitudes directamente proporcionales obtendremos un mismo número que denominamos constante de proporcionalidad.

4.2. Regla de tres simple y proporciones Otra forma de resolver problemas relacionados con magnitudes directamente proporcionales es la denominada regla de tres simple. Se trata de un procedimiento de cálculo utilizado para determinar el valor de una de las magnitudes proporcionales cuando conocemos la otra. Siguiendo con el ejemplo del cine, si sabemos que 4 personas pagan 28 €, podríamos calcular cuánto pagarían 7 personas mediante una regla de tres:

Se multiplican

Divide

28 €

7 personas

x€

Para calcular la incógnita, multiplicamos los números que la «rodean» y dividimos por la cantidad situada «en frente», es decir:

4 personas

28 €

7 personas

x€

Proceso para calcular una regla de tres simple.

a

4 personas

x = 7 · 28 = 49 € 4 También podría haberse calculado utilizando una proporción, que es x 7 · 28 una igualdad entre fracciones: 28 = ⇒ x= = 49 € 7 4 4

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matemáticas

biología y geología

física y química

tecnologías

Se multiplican

Divide

4.3. Proporcionalidad inversa Otra posible relación que podemos encontrar entre dos magnitudes es la proporcionalidad inversa. En este caso la relación entre las dos magnitudes es tal que cuando una de ellas aumenta un cierto número de veces, la otra disminuye ese mismo número de veces. Vamos a considerar, por ejemplo, la relación existente entre el tiempo empleado en pintar una habitación y el número de pintores dedicados a esa tarea. Supongamos que 6 pintores completan el trabajo en 4 horas. Si el número de pintores se duplica (12 pintores), el tiempo necesario sería la mitad (2 horas). Si, por el contrario, el número de pintores se reduce a una sexta parte (1 pintor), el tiempo que emplearía sería seis veces el original (24 horas). Veamos una tabla que resume esta relación: Pintores

6

12

1

Tiempo empleado

4

2

24

Analizando los valores que adoptan ambas magnitudes en cada columna, podemos descubrir que en el caso de la proporcionalidad inversa la cantidad que se mantiene constante en todos los casos es el producto de dichos valores: 6 · 4 = 12 · 2 = 1 · 24 = 24 Si te fijas, esta cantidad se corresponde en este caso con el tiempo que emplearía un solo pintor en realizar el trabajo completo. De manera general podemos establecer que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar (o dividir) una de ellas por un determinado número la otra resulta dividida (o multiplicada) por ese mismo número. Siempre que multipliquemos los valores correspondientes de dos magnitudes inversamente proporcionales obtendremos una cantidad fija que denominamos constante de proporcionalidad inversa.

4.4. Regla de tres inversa Para calcular el valor de magnitudes directamente proporcionales contamos con la regla de tres inversa. Se trata de un procedimiento de cálculo, muy similar a la regla de tres simple, en el que debemos colocar los valores conocidos y la incógnita de forma similar. La diferencia está en la forma de calcular esta incógnita. Veamos un ejemplo: sabemos que 6 pintores tardarían 4 horas en terminar un determinado trabajo. ¿Cuánto tardarían 8 pintores en realizar ese mismo trabajo? 6 pintores

4 horas

8 pintores

x horas

En este caso multiplicamos los números que están en distinta fila que la incógnita y dividimos por el que está en su misma fila: x = 6 · 4 = 3 horas 8

6 pintores

4h

8 pintores

xh

a Proceso para calcular una regla de tres simple. Y

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matemáticas

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física y química

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tecnologías

A C T I V I D A D E S 1. Completa las siguientes tablas de magnitudes directamente proporcionales: a)

b)

c)

Magnitud 1

6

Magnitud 2

30

Magnitud 1

8

Magnitud 2

10

30

12,5

Magnitud 1

12

1,5

0,5

Magnitud 2

12

9 150

2

15

11,2

6

60

30

2. Calcula la constante de proporcionalidad para cada una de las tablas anteriores. 3. En el primer día de una campaña de donación se consiguen 28.000 mL de sangre gracias a la colaboración de 70 personas. Contesta las siguientes preguntas: a) Si el segundo día colaboran 85 donantes, ¿cuánta sangre se conseguirá reunir? b) Si el tercer día se consiguen 22.000 mL de sangre, ¿cuántas personas han colaborado? c) Representa todos los resultados en una tabla. d) Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación. ¿Qué significado tiene? 4. Una empresa de reparto de mercancías entrega cada día 48.000 kg de alimentos utilizando sus 4 camiones. a) El número de camiones y los kilogramos de comida, ¿son directamente proporcionales? b) ¿Cuántos kilogramos podrán repartir si se avería uno de los camiones y solo pueden utilizar tres? c) Si en la empresa deciden comprar dos camiones más, ¿cuántos kilogramos de comida podrían repartir? d) Si quieren ampliar su capacidad de reparto a 120.000 kg, ¿cuántos camiones necesitarán? e) Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación. ¿Qué significado tiene? 5. A Javier y a Celia les han regalado dos reproductores de mp3. Celia almacena 240 canciones que ocupan un total de 750 Mb. a) ¿Cuántas canciones podrá guardar Javier si utiliza los 2 Gb de que dispone su reproductor? b) Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación. c) ¿Qué significado tiene esta constante? 6. Calcula la incógnita en cada una de las siguientes proporciones: a)

5 3 = x 12

d)

x 28 = 5 4

g)

16 40 = x 15

b)

6 8 = x 16

e)

10 20 = x 3

h)

x 3 = 24 72

c)

5 = x 35 21

f)

36 = x 9 1

i)

15 3 = 70 x

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matemáticas

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7. Los siguientes ejemplos pueden ser:

física y química

tecnologías

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Recuerda

• Relaciones de proporcionalidad directa. • Relaciones de proporcionalidad inversa. • Otro tipo de relación no proporcional o ninguna relación.

Recuerda que para que dos magnitudes sean proporcionales no solo deben estar relacionadas sino que deben variar del mismo modo, es decir, que si una aumenta el doble la otra debe aumentar el doble también.

Indica en cada caso de qué se trata y justifica tu respuesta. a) El tiempo que estudias y la nota que obtienes en un examen. b) El ancho de una estantería y los libros (del mismo tipo) que puedes colocar en ella.

c) La capacidad de un depósito de gasolina y el tiempo que necesitamos para llenarlo utilizando el mismo surtidor. d) La velocidad a la que circula un automóvil y el tiempo que tarda en recorrer un trayecto determinado. e) Los megabytes de una tarjeta de memoria y las fotos que puedes almacenar en ella. f) Las personas que montan en un ascensor y la velocidad a la que este asciende. g) Las personas que levantan un objeto y la fuerza que debe hacer cada una de ellas. h) La velocidad a la que se mueve un coche y la cantidad de combustible que consume.

8. Completa los siguientes cuadros de magnitudes inversamente proporcionales: a)

b)

c)

Magnitud 1

8

Magnitud 2

5

10

Magnitud 1

12

24

Magnitud 2

10

16 20

2,4 30

7

Magnitud 1 Magnitud 2

4

15

3,5

2,5

0,5

30

7,5

9. Un proyecto de ayuda a países subdesarrollados se ha financiado gracias a la colaboración de 5.000 personas. El promedio de la cantidad que ha aportado cada una de estas personas ha sido de 140 €. a) Si hubiesen colaborado 7.500 personas, ¿cuánto dinero tendría que aportar cada una de promedio para desarrollar el mismo proyecto? b) Si el promedio de la aportación personal para el mismo proyecto fuese de 350 €, ¿cuántas personas habrían colaborado? c) Representa todos los resultados en una tabla. d) Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación. ¿Qué significado tiene?

10. Varios amigos de Fouad le compran como regalo de cumpleaños una sudadera que cuesta 30 €. a) Si quieren participar en el regalo 5 amigos, ¿cuánto pagará cada uno de ellos? b) Y si fuesen 6 amigos, ¿cuánto pagaría cada uno de ellos? c) ¿Qué tipo de relación existe entre el número de amigos y el dinero que tiene que poner cada uno de ellos? d) En una situación similar, seis amigos de Cristina le compran un regalo de cumpleaños poniendo cada una de ellas 4 €. ¿Cuánto tendrían que poner si ese mismo regalo lo hubiesen comprado entre 8 amigos?

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matemáticas

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5. Porcentajes Recuerda En una fracción el denominador nos indica las partes en las que dividimos la unidad, y el numerador, las que tomamos.

Es muy habitual oír a nuestro alrededor expresiones como las siguientes: • Me compré una camisa que estaba rebajada un 15 %. • La mejor audiencia de la noche del martes fue del 24,5 %. • Hay que sumarle el 16 % de IVA. • El riesgo de precipitaciones para el domingo es del 46 %. Todas estas expresiones tienen algo en común: los porcentajes. Vamos a conocer qué es un porcentaje y cómo se realizan cálculos elementales con ellos.

5.1. ¿Qué es un porcentaje? Un porcentaje es una fracción de denominador 100. Como recordarás, en una fracción, el denominador nos señala las partes en las que dividimos y el numerador las partes que cogemos. En el caso de un porcentaje, el denominador siempre es 100, de manera que cuando hablamos, por ejemplo, del 25 %, estamos refiriéndonos a 25 . 100 Además, hay que entender que con un porcentaje expresamos una proporción. Si decimos que en una clase ha aprobado el 75 % de los alumnos no estamos diciendo que hay 100 alumnos de los cuales han aprobado 75, sino que esa es la proporción de aprobados: si hubiese 100 alumnos habrían aprobado 75. Si por ejemplo estamos hablando de una clase de 24 alumnos, habrían aprobado 18 alumnos ya que: 18 75 = 100 24

5.2. Cálculo de porcentajes Otras formas de calcular porcentajes Vamos a ver algunos ejemplos de cómo se calculan porcentajes utilizando regla de tres o proporciones: • Calcula el 20 % de 760: 20

100

x

760 20 . 760 x= = 152 100 • Calcula el 15 % de 330: 15 x

Los porcentajes, al ser fracciones, también pueden expresarse en forma de número decimal. Para calcularlos bastará entonces con multiplicar la cantidad total por el número decimal asociado al porcentaje. Ejemplos: 45 % de 1.200 = 0,45 · 1.200 = 540 50 % de 32 = 0,5 · 32 = 16 3 % de 700 = 0,03 · 700 = 21 De la misma forma, si queremos calcular qué porcentaje supone una determinada cantidad respecto de un total, bastará con dividir esa cantidad entre el total y luego multiplicar por 100. 57 Ejemplo: 57 alumnos de un total de 380: = 0,15 ⇒ 0,15 · 100 = 15 % 380

100

330 15 . 330 x= = 49,5 100

5.3. Porcentajes encadenados Los porcentajes encadenados aparecen cuando calculamos varios porcentajes de manera sucesiva sobre una misma cantidad. Utilizando los números decimales estos cálculos son muy sencillos. Ejemplos: Calcula el 15 % del 40 % de 240: 0,15 · 0,4 · 240 = 14,4 Calcula el 5 % del 20 % de 1.350: 0,05 · 0,2 · 1.350 = 13,5

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5.4. Aumentos y disminuciones Otra aplicación muy útil de los porcentajes son los aumentos y disminuciones porcentuales. Para calcularlos de una manera cómoda recurrimos de nuevo a los números decimales. Observa los siguientes ejemplos: • Un ordenador costaba 850 € y se le aplica una rebaja del 20 %. ¿Cuánto cuesta ahora? Como se ha rebajado un 20 %, ahora debemos pagar el 80 % del precio original (100 – 20 = 80). Lo calculamos: 0,8 · 850 = 680 € es el nuevo precio del ordenador. • El número de suspensos de una clase, que era 8, se ha incrementado en un 25 %. ¿Cuántos suspensos hay ahora? Si se ha incrementado un 25 %, los suspensos ahora son el 125 % de los que había antes (100 + 25 = 125). Lo calculamos: 1,25 · 8 = 10 suspensos hay ahora.

5.5. Interés simple y compuesto Cuando depositamos nuestro dinero en un banco, este nos paga a cambio un determinado porcentaje de ese dinero. De la misma forma, cuando un banco nos presta dinero, debemos pagarle un porcentaje del dinero que nos ha prestado. A ese porcentaje se le denomina interés. Si el interés se calcula siempre respecto a la cantidad original, se denomina interés simple. Por ejemplo, si ingreso 1.000 € en una cuenta bancaria con un interés simple del 2 % anual (que se abona cada año), el cálculo del dinero que me debe pagar el banco se hará siempre respecto a esos 1.000 €. De esta forma, cada año tendrán que abonarme el 2 % de 1.000 €: 0,02 · 1.000 = 20 € debe pagarnos el banco cada año. Si, por el contrario, el interés se calcula cada año respecto al dinero que resulta al ir acumulando los intereses de otros años, se denomina interés compuesto. En el caso de los 1.000 €, si el interés es compuesto, la situación sería: • El primer año: mi dinero se incrementa un 2 %, es decir, es el 102 % de lo que tenía. Lo calculamos: 1,02 · 1.000 = 1.020 € • Segundo año: ahora calculamos el interés sobre los 1.020 € que hemos acumulado al sumar los intereses del primer año. De esta forma nuestro dinero será ahora el 102 % de 1.020 €: 1,02 · 1.020 = 1.040,40 € De esta forma, cada año que pase debemos multiplicar de nuevo por 1,02 para obtener el dinero que vamos acumulando. Si consideramos, por ejemplo, 10 años, tendríamos que multiplicar los 1.000 € iniciales por 1,02 diez veces, o lo que es lo mismo: 1,02 · 1.000 = 1.218,99 € 10

De esta forma podemos calcular directamente el dinero que tendremos al cabo de cualquier número de años.

Interés compuesto Podemos utilizar la siguiente fórmula para calcular el interés compuesto: Cf = Ci · (1 + r)n Donde: Cf es el denominado capital final, que es el dinero que tendremos transcurrido un determinado número de años. Ci es el capital inicial, es decir, el dinero que inicialmente ingresamos. r es el interés que nos abonan cada año escrito en forma decimal. n es el número de años que estamos considerando.

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A C T I V I D A D E S 1. Escribe los siguientes porcentajes en forma de fracción con denominador 100 y simplifica dicha fracción siempre que sea posible: a) 25 %

b) 30 %

c) 12 %

d) 75 %

2. Completa las siguientes expresiones de forma que queden expresadas como fracciones de denominador 100 y por lo tanto como porcentajes. a)

1 = = 5 100

%

c)

2 = = 25 100

%

e)

1 = = 100 20

%

b)

3 = = 5 100

%

d)

4 = = 25 100

%

f)

3 = = 100 20

%

3. Calcula los siguientes porcentajes: a) El 10 % de 360

c) El 25 % de 48

e) El 5 % de 845

g) El 1,5 % de 70

b) El 80 % de 170

d) El 2 % de 600

f) El 32 % de 15

h) El 24,7 % de 471

4. Describe las siguientes situaciones utilizando porcentajes: a) En una clase de 24 alumnos, 6 de ellos han suspendido Educación Física. b) En una ciudad de 180.000 habitantes, 9.000 personas no reciclan correctamente la basura. c) En un edificio de 60 viviendas, 15 están deshabitadas. d) En una empresa en la que trabajan 2.600 empleados, 923 tienen menos de 35 años. e) David ha sido el autor de 12 de los 50 goles que ha marcado su equipo de fútbol esta temporada. f) Alicia ha gastado 26,65 € de los 130 que tenía ahorrados. 5. Daniel tiene 12 de los 20 CD que componen la discografía de su grupo favorito: a) ¿Qué porcentaje suponen los discos que tiene? b) ¿Qué porcentaje de discos le faltan para completar la discografía de ese grupo? 6. Rubén ha ganado el 75 % de los 12 partidos de ping-pong que ha jugado en un campeonato de su instituto. ¿Cuántos partidos ha perdido? 7. Calcula los siguientes porcentajes encadenados utilizando números decimales: a) El 20 % del 50 % de 490

c) El 40 % del 2 % de 120

e) El 30 % del 80 % de 3.000

b) El 15 % del 10 % de 1.300

d) El 18 % del 4,5% de 900

f) El 80 % del 30 % de 3.000

8. Calcula el total de alumnos de cada una de las clases de 4.º de ESO de un instituto utilizando los siguientes datos: a) En 4.º A hay 12 chicas que representan el 50 % del total de alumnos. b) En 4.º B, 21 alumnos aprobaron el último examen de Matemáticas. Son el 75 % del total. c) En 4.º C, 8 alumnos no participan en el viaje de fin de curso al que sí van el 60 % de la clase. 9. En una tienda de informática, el 40 % de los ordenadores que se vendieron el último mes eran portátiles. De estos, el 15 % se ofertaban con una impresora de regalo. Sabiendo que en total se vendieron 250 ordenadores, ¿cuántas impresoras se regalaron ese mes? 10. Jesús ha conseguido incrementar su nota media en un 15 %. Si su nota media era 6,3, ¿cuál es su nota actual?

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11. En un concesionario de coches ofrecen un determinado modelo con una rebaja del 10 %. El precio de ese automóvil es de 17.000 € + IVA. a) Calcula primero el precio del coche sin rebaja cuando le sumamos el IVA (16 %). b) Si a ese precio le aplicamos ahora la rebaja del 10 %, ¿cuánto cuesta finalmente el vehículo? c) Repite el cálculo pero ahora aplica primero la rebaja y añade a ese precio rebajado el 16 % de IVA. ¿Ha influido el orden en el resultado? 12. Calcula el resultado de los siguientes aumentos y disminuciones: a) El número de aprobados en Ámbito Científico-Tecnológico, que en la evaluación pasada fue de 8 alumnos, ha disminuido en un 25 %. ¿Cuántos alumnos han aprobado esta evaluación? b) En un folleto de publicidad, el precio de un ordenador es de 700 € + IVA. ¿Cuál es el precio real?

física y química

tecnologías

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IVA: Impuesto sobre el Valor Añadido El IVA es un impuesto indirecto que se aplica, salvo algunas excepciones, siempre que se compra algún bien o servicio. Esto quiere decir que siempre que alguien compra algo o contrata algún servicio, hay que añadirle al precio inicial un determinado porcentaje que en España puede ser: 16 % (es el tipo general), 7 % (la mayoría de los alimentos, hostelería, transportes…) o 4 % (alimentos básicos como el pan, la leche, fruta, etc., libros, material escolar…).

c) Una camisa que cuesta 20 € ahora se encuentra rebajada en un 20 %. ¿Cuál es su precio actual? d) A Patricia le suben el sueldo un 15 %. Si antes cobraba 1.200 €, ¿cuánto cobra ahora? 13. Fran ha conseguido reducir en un 7 % el tiempo que empleaba en correr 100 m. Sabiendo que antes tardaba 14,6 s: a) ¿Cuál es su marca actual? b) ¿En cuántos segundos ha logrado reducir su récord personal? 14. Lidia ingresa 200 € en una cuenta bancaria que le genera un interés simple del 2 %. Completa la siguiente tabla calculando el dinero que tendrá al cabo de los años: Tiempo

1 año

2 años

3 años

4 años

5 años

10 años

Dinero

15. Completa ahora la siguiente tabla suponiendo que las condiciones en las que Lidia ingresa su dinero son de un 2 % de interés compuesto: Tiempo

1 año

2 años

3 años

4 años

5 años

10 años

Dinero

16. Álvaro decide ingresar 560 € en un fondo de inversión que le proporciona un interés compuesto del 5,5 %. a) ¿Cuánto dinero tendrá al cabo de un año? b) ¿Y cuando pasen 5 años? 17. Javier ingresa 200 € en una cuenta con un interés compuesto del 1,5 %. Cuatro años después, ingresa en la misma cuenta 100 € más. Completa la siguiente tabla indicando el dinero que tiene en la cuenta cada año: Tiempo Dinero

1 año

2 años

3 años

4 años

5 años

10 años Y

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6. Radicales RADICAL ÍNDICE

n

n

a = b siempre que bn = a

a

RADICANDO

a

Se denomina radical de índice n de un número a, o raíz n-ésima de un número a, el número que elevado a n nos da a. De esta forma, diremos que b es la raíz n-ésima de a siempre que bn = a:

Partes de un radical.

Veamos varios ejemplos: 2

2

2

 = 3, ya que +3 = 9 y –3 = 9 9 = 9 3

3

–8 = –2, ya que –2 = –8

6.1. Producto y división de radicales A la hora de operar con radicales resultan muy útiles las siguientes expresiones que nos permiten convertir cualquier radical en una potencia de índice fraccionario: 1 m m  a = a n y na = an

n 1

5

1+5

17

 · 11  5 = 11 3 · 11 2 = 11 3 2 = 11 6 Ejemplo: 311

Posibles resultados… Siempre que podemos calcular una raíz de índice par, obtenemos dos soluciones, ya que el resultado puede ser positivo o negativo. Por otra parte, las raíces de índice par de números negativos no tienen solución dentro de los números reales ya que no existen números reales que multiplicados por sí mismos un número par de veces den un resultado negativo. Esto no sucede con las raíces de índice impar, ya que sí es posible encontrar números reales que elevados a un exponente impar den resultados negativos.

6.2. Extracción de factores de un radical Utilizando la expresión que convierte los radicales en potencias, podemos simplificar determinadas expresiones extrayendo factores de una raíz. 5

3+2

3

2

2 5 = 11 3 = 11 3 3 = 11 3 · 11 3 = 11 · 311 Ejemplo: 311

En resumen, cada vez que tengamos n factores iguales dentro de una raíz n-ésima, podemos sacar estos factores como uno solo que multiplica la raíz. Veamos algunos ejemplos: 4   Ejemplos: 35 = 5 35

7 9 = 7 57 4

5

3     2 · 5 = 2 · 2 · 5 = 2 10

3 10 = 3 · 3 · 43 2 = 9 43 2

4

6.3. Suma y resta de radicales Para sumar y restar radicales seguimos los siguientes pasos: a) Descomponemos en factores los radicandos. b) Extraemos los factores que sea posible. c) Sumamos o restamos solo los radicales que tengan el mismo índice y el mismo radicando. Observa los siguientes ejemplos: 2   + 10 · 23  = 33  + 203  = 233   + 1012  = 3  3 + 102 · 3 = 33 • 27 2  2  2   + 320  – 263    • 45  = 3 · 5 + 32 · 5 – 23 · 7=

 + 3 · 25  – 2 · 37  = 35  + 65  – 67  = 95  – 67  = 35

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A C T I V I D A D E S 1. Calcula las siguientes raíces cuadradas: 64 a) 

0 d)  10 .00

g)  256

j)  – 64

 b)  1.600

e)  121

 1 h)  25

  k)  810 .000

 4 c)  9

f)  –4

i)  –100

l)

 16 81



j)

11





 

2. Calcula las siguientes raíces: a) 3 27

d) 3 –216

b) 4 16

e)

c)



 125 8

3

g)



32  243

5

 625 16

4

h) 5 –243

 f) 4 –81

i)

 –1

k)  1

 –216

8

l)

 0

6

3. Efectúa y simplifica: a)

 

c)

 3 4

  23

d)

4

6

4

3

 32

b)

3

 e)  38

  5

4

 5 64

f)

4. Efectúa y simplifica: 2

5 · 75  a) 2

b)

2

  5

 3 2

2

2

c) 43 

e) 2 + 3  2

 

2 d) 1  5 x

2

f)  5 –  2

5. Resuelve las siguientes operaciones con radicales: 52 · 11 53 a) 3

5 5  4 2 c) 3  · 4 5

e) 7 · 3 72

b) 3 35 : 4 33

d) 5 2 : 4 23

f) 4 117 : 3 112 



 

4

g) 5 6 ·  6 5

h)  3 2:2



6. Resuelve las siguientes sumas y restas de radicales: 20 +  45 a) 

c) 5 54 – 10 600

e) 10 3 – 2 405 + 7 108

b) 2 28 –  175

d) 7 3 243 + 2 3 72

f) 11 50 – 2  18 + 6 72 Y

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física y química

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tecnologías

Y

7. La recta real Podemos representar el conjunto completo de los números reales mediante una recta que denominamos recta real. unidad (u)

La recta real se construye en torno al 0, situando los números positivos a su derecha y los negativos a la izquierda. Cada número real está representado en esta recta mediante un punto. También podemos seleccionar partes de la recta formando los denominados intervalos y semirrectas.

7.1. Intervalos Un intervalo es el conjunto de todos los números reales que forman un segmento de la recta real. Si los números que limitan dicho segmento están incluidos en el intervalo, este se denomina cerrado. Para representar un intervalo cerrado se utilizan dos corchetes. Por ejemplo, el intervalo formado por los números comprendidos entre 2 y 6, ambos inclusive, sería [2, 6].

6

Por el contrario, si los extremos del segmento no están incluidos en el intervalo, este se denomina abierto. Los intervalos abiertos se representan utilizando paréntesis. Por ejemplo, el intervalo formado por todos los números comprendidos entre el –1 y el 8, ambos sin incluir, sería (–1, 8).

-1

Operaciones con intervalos Existen dos operaciones básicas que podemos realizar entre dos intervalos: • Unión de intervalos (): Está compuesta por todos los números que forman parte de uno u otro intervalo. (2, 5]  [3,12] = (2, 12] (3, 7)  [6, ) = (3, ) • Intersección de intervalos ():

8

También existe la posibilidad de que el intervalo incluya solo a uno de los extremos. Se tratará entonces de un intervalo semiabierto. Por ejemplo, el intervalo (3, 10] es un intervalo semiabierto que incluye a 10 pero no incluye a 3.

7.2. Semirrectas Las semirrectas se forman seleccionando todos los números menores o mayores que uno dado. Un extremo de la semirrecta será un número que puede estar o no incluido en ella. El otro se representa con los símbolos  o –, que designamos infinito o menos infinito y que indican que el intervalo contiene números tan grandes o pequeños como queramos. Veamos algunos ejemplos:

Está formada solo por los números que pertenecen a ambos intervalos simultáneamente.

• El intervalo (2, ) incluye todos los números mayores que 2, pero no el 2.

(2, 5]  [3, 12] = [3, 5]

• El intervalo ( ,7] incluye todos los números menores que 7 incluyendo el 7.

(–, 3]  (2, 9] = (2, 3]

Los símbolos  y – se representan siempre con paréntesis.

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A C T I V I D A D E S 1. Escribe los siguientes intervalos y semirrectas utilizando paréntesis y corchetes: a) Todos los números reales comprendidos entre el 2 y el 11, ambos incluidos. b) Todos los números reales comprendidos entre el –1 y el 5, el primero incluido y el segundo sin incluir. c) Todos los números reales mayores que 7. d) El intervalo que incluye todos los números reales comprendidos entre el 0 y el 10, sin incluir a ninguno de ellos. e) Todos los números reales menores o iguales a 18. f) Todos los números reales comprendidos entre –4 y –3, sin incluir el primero e incluyendo el segundo de ellos. g) Todos los números reales menores que –15. h) Todos los números reales mayores o iguales a 9.

2. Describe con tus propias palabras qué números están incluidos en los siguientes intervalos: a) (1, 7)

c) [–3, 1)

b) (–, 6]

d)

 51 , 20

e) [–8, )

g) (– , 15)

f) (–2, –1]

h)

 95 , 

3. Completa la siguiente tabla indicando si los números de la columna de la izquierda están o no incluidos en cada uno de los intervalos: (–4, 6)

[1, 10)

(0, )

(–, –5)

1 –5 0 6 4 5

5 –

7 2 π

4. En un ayuntamiento deciden ayudar mediante subvenciones a los jóvenes que quieran comprarse una casa. Para ello ofrecen una serie de ayudas económicas para todas aquellas personas que vivan en esa localidad y que, siendo mayores de edad, no hayan cumplido aún 35 años. Escribe el intervalo de las edades que deben tener los posibles beneficiarios de esas ayudas.

5. Dibuja los siguientes intervalos en la recta real y halla los intervalos que obtenemos al realizar las siguientes operaciones: a) (1, 6)  (4, 10)

d) [2, 6)  (–1, 8]

b) (–1, 5)  (3, 8]

e) (–, 5]  (–7, 14]

c) [–4, 9)  (–10, 1]

f) (–3, 11)  (0, )

[–4, 8]

(0, 1]

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Y

PARA SABER MÁS Entra en internet Para comprender un poco más el número pi, su historia, anécdotas y curiosidades, entra en la siguiente página: webs.adam.es/rllorens/pihome.htm Una página sobre la evolución de pi a través del tiempo: Portalplanetasedna.com.ar/ numero_pi.htm

ACTIVIDADES 1. Realiza un trabajo de investigación sobre otros números irracionales: el número áureo, la raíz de 2 y el número e. Busca información que se refiera a la historia, al uso y a la necesidad de estos números.

«Ese trascendente pi» Lee atentamente la siguiente información sobre el número pi aparecida en la prensa. Pero, ¿qué es pi? En la escuela aprendemos que la longitud de la curva más primitiva y regular que existe, la circunferencia, es la longitud de su diámetro multiplicado por pi; o que la superficie de un terreno circular contiene pi veces el cuadrado del radio.Y todo esto, ¿qué significa? Sencillamente, que si trazas una circunferencia con radio 1 m, el área limitada mide pi m2. Semejante y poco intuitivo número ha sido conocido desde siempre, ya que la circunferencia interesó y ha sido objeto de «persecución» a lo largo de los siglos. Y es que pi, para ser tan común, goza de atributos muy particulares: es irracional, lo que significa que tiene infinitas cifras decimales no periódicas, o dicho de otro modo, siempre será un desconocido; y además es trascendente, es decir, no es la solución de ninguna ecuación con fracciones.

El siempre inteligentísimo y brillante Mr. Spock, de la serie futurista Star Trek, consiguió salvar a la tripulación de la maldad de una diabólica computadora. Le ordenó que calculara el valor de pi, y como este es irracional, la computadora se quedó presa del proceso y... ellos escaparon.

Si lo piensas, el valor que se utiliza para pi es de 3, seguramente de origen egipcio. En el Talmud se sigue considerando el mismo valor de pi, hecho asombroso si tenemos en cuenta que se escribió a partir del siglo III d.C., por tanto, varios siglos después de Arquímedes.

Arquímedes de Siracusa (287 a.C.) marca un antes y un después tanto en la búsqueda de una aproximación del valor de pi como en la comprensión del significado de esta constante. Hacia el 215 a.C. escribió Sobre la medida del círculo, en el que, utilizando la reducción al absurdo y el método de exhaución de Eudoxo, llega a calcular, ¡sin calculadora!, una aproximación de un círculo por un polígono de ¡96 lados! y obtiene que pi está entre 6336/2017 y 29,376/9347, es decir, entre 3,1412989 y 3,1428265. Pero la deuda con Arquímedes dista mucho de estar contraída por su trabajo como «calculista»; su nueva perspectiva sobre el círculo, la esfera y el cilindro revolucionaron las matemáticas.

Con la llegada de los ordenadores fue posible calcular un número anteriormente inimaginable de cifras de pi. William Shanks pasará a la historia como el más perseverante calculador de cifras de pi. Pasó 20 años calculando sus primeros 707 decimales. Pero en 1945, la computadora ENIAC descubrió que había cometido un error en el dígito 528 y... en todos los siguientes. En 1949, ENIAC invirtió 70 horas de procesamiento para calcular las primeras 2.000 cifras del número pi.

En el Chiu Chang Suan Ching (Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático), de siglo II a.C., se utiliza pi con el grosero valor de 3 que permaneció en uso mucho tiempo en China. Hay que remontarse alrededor del 130 d.C. para encontrar como valor de pi la raíz de 10 = 3,1622. A mediados del siglo III, el astrónomo Wang Fan estimó pi como 157/50 = 3,14 exacto, y acotó que estaba entre 3,141024 y 3,142704, acotación que, aunque muy buena, es peor que la de Arquímedes, 500 años antes.

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INVESTIGA Objetivo:

La hoja de cálculo Las hojas de cálculo son herramientas informáticas que nos permiten realizar, entre otras muchas cosas, operaciones aritméticas, estudios estadísticos y representaciones gráficas.

Conocer las hojas de cálculo y su utilidad para realizar cálculos matemáticos. Material:

Las más utilizadas son Excel, incluida en el paquete Office de Microsoft (programa de pago), y Calc, que se incluye en la suite OpenOffice (de libre distribución). Ambas tienen características muy parecidas.

Un ordenador en el que esté instalada una hoja de cálculo

Conceptos básicos: Los documentos en una hoja de cálculo reciben el nombre de libros ya que están formados por distintas hojas que nos permiten trabajar de forma ordenada. En cada hoja disponemos de un gran número de celdas en las que podremos escribir números, operaciones, funciones, etc. Las celdas reciben un nombre compuesto de un número (fila) y una letra (columna) de forma que cada celda tiene un número distinto de las demás. Las opciones de formato nos permiten unir varias celdas, establecer bordes, o no, según nos interese, colorearlas, etc. Además, podemos establecer el tipo de información que va a contener la celda (números, texto, euros…) para que el programa se adapte a las condiciones de formato. Ejemplo: El uso más elemental de una hoja de cálculo consiste en introducir datos en algunas celdas y obtener el resultado de diversas operaciones con esos datos en otras celdas. Observa el siguiente ejemplo en el que hemos empleado una hoja de cálculo para hallar algunos porcentajes: En las celdas de esta columna hemos escrito el número de alumnos que hay en cada curso.

Para calcular el porcentaje de alumnos de 1.º de ESO hemos escrito la siguiente operación en esta celda: = (B4/B10)*100

Si copiamos el contenido de la celda B10 y lo pegamos en la C10, el programa ajusta automáticamente los cálculos para realizar la misma operación pero con los datos correspondientes a esta celda. En esta celda hemos calculado la suma de las celdas superiores escribiendo: B4 + B5 + B6 + B7 + B8 + B9

ACTIVIDADES 1. Pregunta en tu centro por los datos de alumnos matriculados en cada curso y utiliza una hoja de cálculo para calcular qué porcentaje de alumnos estudia en cada nivel educativo. Explora las opciones de formato que te permite tu programa y presenta correctamente el ejercicio, recuadrando y coloreando las celdas que consideres oportuno. Y

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Unidad 1

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AULA DE INTERNET Internet Internet es una enorme red informática compuesta por la conexión de redes más pequeñas que conectan a millones de ordenadores de todo el mundo. La utilidad de esta red se basa en los numerosos servicios que en ella encontramos. Su origen se remonta al año 1969, cuando se creó ARPANET al conectar los ordenadores de tres universidades estadounidenses, pero no fue hasta la década de 1990 cuando comenzó a convertirse en algo habitual en muchos hogares. Recursos en internet De los numerosos recursos que internet pone a nuestra disposición destacan:

Mensajería instantánea Otro de los servicios que nos facilita internet es el de enviar y recibir mensajes de forma instantánea. Instalando en nuestro ordenador el programa adecuado podremos intercambiar mensajes en tiempo real con nuestros contactos, que son otros usuarios del mismo programa al que hemos permitido comunicarse con nosotros (agregado). Las aplicaciones de mensajería instantánea nos permiten añadir sonido o imágenes captadas por una cámara web a nuestras conversaciones, además de poder compartir fotos y otros archivos con nuestros contactos. Los servicios de mensajería instantánea más habituales son: Windows Live Messenger, Yahoo Messenger, ICQ y Google Talk.

• World Wide Web (WWW): es un servicio de información basado en documentos que incluyen elementos multimedia como imágenes, animaciones, vídeos, etc. Estos documentos utilizan un lenguaje de programación denominado HTML. Para acceder a estos documentos el usuario debe utilizar un navegador, que es un programa que le permitirá acceder a todos los datos y servicios de internet. Los más habituales son: Microsoft Explorer, Mozilla Firefox, Netscape Navigator y Safari. • Buscadores: además de un navegador, para poder gestionar la cantidad de información tan abrumadora que encontramos en internet, resulta casi imprescindible la utilización de una aplicación denominada buscador. Son aplicaciones que buscan y seleccionan páginas web cuyos contenidos se relacionan con una o varias palabras que introducimos como criterio de búsqueda. Aunque son muy numerosos, algunos de los más utilizados son Google, Windows Live y Yahoo. Estos programas no se instalan en nuestro equipo; se accede a ellos mediante internet. Suelen ofrecer numerosas opciones de búsqueda que nos permiten, por ejemplo, buscar imágenes o vídeos en lugar de páginas web. • Correo electrónico: también denominado email, nos permite enviar y recibir mensajes en los que además de texto podemos incluir imágenes, sonidos o cualquier otro tipo de archivo. Existen dos modalidades: – Correo POP: requiere un programa de gestión de correo para enviar y recibir mensajes. Los proveedores más habituales son las compañías que facilitan el acceso a internet (Telefónica, Orange, Jazztel…).

La mensajería instantánea es uno de los servicios más utilizados hoy en día en internet.

– Correo web: se maneja desde una página web y permite acceder a todos tus mensajes desde cualquier ordenador ya que no se descargan en tu equipo cuando los lees sino que permanecen en el servidor. Esto hace que este sistema sea más seguro (es más difícil que se instale un virus) pero algo más lento. Los distribuidores más habituales son Hotmail, Google y Yahoo. • Comunidades y aulas virtuales, foros, blogs y wikis: son las principales formas de compartir conocimientos e intereses en internet. Podrás aprender algo más sobre ellas en las siguientes unidades didácticas.

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ACTIVIDADES 1. Completa la siguiente tabla con la dirección de los sitios indicados en la columna de la izquierda: Sitio web

Dirección

Un buscador Una página en la que puedas abrirte una cuenta de correo web Una página en la que puedas encontrar curiosidades matemáticas Una página sobre actualidad científica Página de recursos educativos de la Comunidad de Madrid Página de acceso al Proyecto Descartes, del Ministerio de Educación y Ciencia Una página para consultar la agenda cultural de tu ciudad (cines, teatros, etc.) Un periódico La página de tu instituto

2. La mayoría de los buscadores nos permiten emplear distintos modos de búsqueda, tal y como está explicado en el cuadro del margen. Utilízalos para realizar las siguientes actividades: a) Encuentra alguna página web con información sobre las cifras decimales del número pi. b) Busca ahora una página web en la que aparezca exactamente la frase: «cifras decimales del número pi» y que esté ubicada en un servidor español. (Para ello puedes utilizar, por ejemplo, las opciones que encontrarás en búsqueda avanzada del buscador Google). c) Encuentra una imagen del «Hombre de Vitruvio» de Leonardo Da Vinci. d) Busca ahora una imagen de esa misma obra pero asegúrate de que la imagen tiene al menos un tamaño de 800 x 1.200 y está en formato .jpg. (Puedes utilizar la opción de Imágenes en el buscador Google. En él encontrarás un menú que te permite filtrar los resultados en función de su tamaño y del tipo de archivo, entre otras propiedades).

Otras formas de buscar A parte de buscar simplemente páginas relacionadas con las palabras que introducimos, un buscador nos permite, entre otras cosas. • Búsqueda de imágenes: nos da la posibilidad de buscar directamente una imagen relacionada con la palabra o las palabras clave que introducimos. Puedes encontrar opciones para filtrar los resultados y obtener solo imágenes de mayor o menor tamaño, las de un determinado formato de archivo, etc. • Búsqueda avanzada: nos ofrecen numerosas opciones que incrementan la posibilidad de que nuestra búsqueda se ajuste exactamente a lo que queremos.

3. Introduce en tu buscador las siguientes palabras: la maravillosa historia de los números. ¿Cuántos resultados obtienes? Repite la búsqueda pero ahora introduce la frase anterior entrecomillada: «la maravillosa historia de lo números», ¿cuántos resultados aparecen ahora? Justifica la diferencia entre ambas situaciones.

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Unidad 1

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RECUERDA ACTIVIDADES 1. Efectúa los siguientes cálculos: a) 7 · (–3) + 2 + 4 : (–2) + (–9)

e) (–72 : 12) – 3 + (–5) –1

b) 5 + (–5) · (–3) – [4 · (–6) + (8 + 9 : 32)]

f) 6 + 4 · (–2) + (16 : 22) + (–3)

c) [(4 · 7) : (–2)] – 10

g) [(5 · 2) : (8 : 4) ] · (–7) – (+2)

d) 15 : (–7 + 4) +3 – 16 : 22

h) 20 : (–5 + 3) · (–2)2 + (–1)

2. Realiza las siguientes operaciones: a)

4 6 2 – + 7 5 3

c) 1

b)

 –43 : 2 · –25

d)

2 1 5 +2 + 4 2 9

 10–5 

e)

6 15 1 + · 8 3 –2

f)

 –37 

2

–3

3. Resuelve las siguientes operaciones con potencias: a) 28 · 2

c)

 53  ·  35 

b) 116 · 115

d)

– 34  : – 34 

7

–2

–10

 125  ·  125   3

e) –13 4 · –13 4 7

 112  :  112  5

f)

g) –5

7

h) –4 –1 : –4 –11

4. Resuelve las siguientes operaciones con raíces: a)

2 · 103  3

5

14 b) 142 :  c)

2  3 3 3 · 2 2



5

 

2

 : 65 5  d) 115 e)

3

f)

3

    52 · 4 53

2 1 2

:

g) 2 63 + 10 28 h) 7 3 80 – 2 3 270

   1 2

i)

8 2

5 8 + 33 98 – 5 12

5. Expresa los siguientes números utilizando la notación científica: a) La velocidad de la luz: 300.000.000 m/s. b) La distancia media entre la Tierra y el Sol: 150.000.000.000 m. c) Tamaño de una célula: 0,00002 m. d) Los espectadores de un estadio de fútbol: 80.000 espectadores. e) La edad aproximada del Sol: 4.500.000.000 años.

6. Escribe las siguientes medidas utilizando las unidades del sistema internacional y la notación científica: a) 0,05 cm

c) 500 Mg

e) 150.000 dam

g) 10 h

b) 14.000 ms

d) 12 ns

f) 0,008 mg

h) 0,000075 μg

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Números reales y proporcionalidad

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7. Completa las siguientes tablas de magnitudes directamente proporcionales: a)

b)

Magnitud 1

45

90

Magnitud 2

9

27

12

Magnitud 1

8

2

9

Magnitud 2

22

15

11

16,5

8. Completa las siguientes tablas de magnitudes inversamente proporcionales: a)

b)

Magnitud 1

3

Magnitud 2

20

Magnitud 1

2

6

12 2

10

Magnitud 2

35

60

4 7

52,5

9. Calcula la constante de proporcionalidad para cada una de las relaciones de las actividades 7 y 8. 10. Una bombilla encendida durante 4 horas consume 0,24 kWh de energía: a) ¿Cuánto consumirá esa misma bombilla encendida durante seis horas? b) Si sabemos que ha consumido 0,6 kWh, ¿cuánto tiempo ha estado encendida? c) Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación. ¿Cuál es su significado? 11. Francisco compra habitualmente botes de champú con 500 mL de capacidad que le duran un mes y medio. Si debido a una promoción compra un bote de champú que incluye un 15 % más gratis: a) ¿Qué capacidad tiene el bote de champú de esa promoción? b) ¿Cuánto le durará? c) Calcula la constante de proporcionalidad de esta relación. ¿Cuál es su significado? 12. Si para decorar el gimnasio de su instituto 15 alumnos han tardado 2 horas y media. a) ¿Cuánto habrían tardado 20 alumnos? b) ¿Cuántos alumnos tendrían que haber colaborado para decorar el gimnasio en tan solo 1 hora y media? 13. Señala si los siguientes intervalos y semirrectas contienen el número π: a) (1, 5)

c) (3, 4]

e)

0, 27 

b) [–2, )

d) (–, 3,3]

f)

 165 ,  Y

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Unidad 1

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PROFUNDIZA ACTIVIDADES 1. El siguiente texto está extraído de la página web de la FAO (Organización de las Naciones Unidas para la Agricultura y la Alimentación). Léelo atentamente y responde a las cuestiones:

Aumenta el hambre en el mundo (…) A diez años de la Cumbre Mundial sobre la Alimentación (CMA), celebrada en Roma en 1996, en la cual se prometió reducir a la mitad el número de personas subnutridas para 2015, hoy sufren hambre más personas en los países en desarrollo –820 millones– que en 1996, señaló Diouf. Lejos de disminuir, la cifra de personas que pasan hambre en el mundo está aumentando, a un ritmo de cuatro millones al año, subrayó Diouf durante la presentación del informe anual de la FAO El estado de la inseguridad alimentaria en el mundo (SOFI-2006, por sus siglas en inglés). (…) Pero el resultado es todavía peor si se compara con el total mundial de 1996, de alrededor de 800 millones: representa un aumento de 23 millones de personas. Mantener la promesa de la Cumbre supondría una reducción anual de 31 millones del número de personas subnutridas hasta 2015, mientras que la cifra está creciendo unos cuatro millones al año. Con todo, en estos diez años la proporción de personas que pasan hambre en los países en desarrollo ha disminuido respecto al crecimiento demográfico, según indica el informe de la FAO. En 1990-1992, una de cada cinco personas pasaba hambre en los países en desarrollo; esta proporción ha disminuido al 17 % de hoy.

a) Sabiendo que la población mundial total es de 6.600 millones de personas, y que las personas que pasan hambre son, aproximadamente, 854 millones, ¿qué porcentaje de la población mundial tiene actualmente problemas de malnutrición? b) De estas 854 millones de personas, según el texto, ¿cuántas viven en los países en desarrollo? ¿Qué porcentaje suponen del total de personas subnutridas? c) Desde el año 1996, ¿ha aumentado o disminuido el número de personas subnutridas en los países en desarrollo? d) Calcula el porcentaje de esta variación. e) ¿Qué porcentaje de personas pasaban hambre en el periodo 1990-1992 en los países en desarrollo? 2. Cinco amigos alquilan una casa rural durante 2 días y pagan cada uno 80 €: a) ¿Cuánto les costaría a cada uno de ellos si en lugar de 2 días la alquilasen 4 días? b) Y si en lugar de 5 amigos fuesen 10 los que la alquilasen 2 días, ¿cuánto tendría que pagar cada uno de ellos? c) Si esa misma casa la alquilan 6 amigos durante 3 días, ¿cuánto tendrá que pagar cada uno de ellos? d) ¿Y si la alquilan 4 amigos durante una semana entera? 3. Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras: a)

b) 2 cm

 13 cm

12 cm

10 cm

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Números reales y proporcionalidad

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AUTOEVALUACIÓN 1. Resuelve la siguiente operación: 8 + (2 – 7) · 3 – 1 · 4 a) 5

b) 32

c) –11

2. Resuelve la siguiente operación: 2 – a)

11 6

b) –

11 6

c)

1 · 5

d) 13

 23 + 61 

5 6

d) –

5 6

3. Resuelve: [(–2)5 · (–2)–3 ]10 a) (–2)–80

b) (–2)–20

c) (–2)80

d) (–2)20

4. Escribe 0,0067 utilizando la notación científica: a) 67 ·10–3

b) 67 ·10–2

c) 6,7 ·10–2

d) 6,7 ·10–3

5. Completa la siguiente tabla sabiendo que las magnitudes 1 y 2 son directamente proporcionales

a) 8

Magnitud 1

4

Magnitud 2

14

b) 6

21

c) 2

d) 12

6. Para almacenar la producción de un día en una fábrica de conservas necesitan 3.000 botes de 250 mL de capacidad. ¿Cuántos botes de 150 mL necesitarán para almacenar esa misma producción? a) 5.000

b) 4.000

c) 3.000

d) 1.800

7. María José dedica el 20 % de su tiempo de estudio a estudiar Lengua. Sabiendo que ha estudiado Lengua durante media hora, ¿cuánto tiempo ha estado estudiando? a) Una hora

b) Una hora y media

c) Dos horas

d) Dos horas y media

8. La audiencia de un programa de televisión, que era de 1.600.000 espectadores, ha bajado durante el último mes un 12 %. ¿Cuántos espectadores han visto el programa este mes? a) 1.408.000

b) 192.000

c) 1.792.000

d) 1.568.000

9. Resuelve la siguiente operación con radicales:  500 – 3 80 +  20 a) 3 5

b) 12 5

c) 5 5

10. Señala el único intervalo de los siguientes que contiene el número a) (1, 5]

b) [1, 5]

c) (–3, 1]

 d) 105

3. 4

d) (2, )