Dpto. Física y Mecánica

Sistemas de coordenadas y sistemas de referencia

La descripción del movimiento de un cuerpo requiere la introducción de un sistema de coordenadas espaciales que identifiquen unívocamente cada punto del espacio, y una coordenada temporal, temporal la cual determina el orden cronológico de sucesos en cualquier punto del espacio. espacio A este conjunto de coordenadas espacio-temporal espacio temporal se denomina sistema de referencia. OCW‐UPM

1 Sistemas 1. Si t de d referencia f i

Un sistema de referencia viene dado por un punto de referencia denominado origen y un sistema de coordenadas. El origen de coordenadas es el punto de referencia de un sistema de coordenadas y en él el valor de todas las coordenadas del sistema es nulo. Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios, denominados versores, que indican la dirección del eje.

OCW‐UPM

2 Sistemas 2. Si t de d coordenadas d d

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo. El p primero q que expresó p la p posición de un p punto en el plano o en el espacio fue Descartes, por lo que se suele referir a ellas como coordenadas cartesianas. Para representar un punto en un plano, utilizó dos rectas perpendiculares di l entre t sí, í de d forma f que la l posición i ió del d l punto se determinaba midiendo sobre los ejes las distancias al punto. punto OCW‐UPM

Sobre dichas rectas se definen vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que son vectores de módulo unidad, q que determinan una base ortonormal. y

x y x OCW‐UPM

2.1. Sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z)

Un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos ejes j ortogonales g en un sistema bidimensional y tres ejes ortogonales en un sistema tridimensional, que se cortan en el origen O. Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán d d por las dadas l proyecciones i d l vector del t de d posición i ió del d l punto sobre cada uno de los ejes.

OCW‐UPM

2.1. Sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z)

Z

Y

‐X

-Y

-X

Y

X X -Y Y

2D

-Z

3D OCW‐UPM

G Dado un vector r del espacio tridimensional y tres G planos que se cortan en el punto de origen de r , se definen las coordenadas cartesianas (x,y,z) (x y z) como las tres proyecciones ortogonales del vector sobre las tres aristas de intersección de los planos perpendiculares; los tres planos se identifican por yz, zx, xy respectivamente. p En un sistema GdeGcoordenadas cartesianas se definen G los versores ( i , j , k ) en la dirección de los ejes x, y, z respectivamente. OCW‐UPM

Variación infinitesimal de las coordenadas

Si las coordenadas del punto varían infinitesimalmente en el espacio, siendo tales variaciones dx, dy, dz, la variación que ha experimentado p el vector de posición es G G G G dr = dxi + dyj + dzk X

Z P(x,y,z)

P( d P(x+dx,y+dy,z+dz) d d )

Y

y el punto habrá recorrido un elemento l t diferencial dif i l de d arco ds = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 OCW‐UPM

El Elemento t dif diferencial i ld de superficie fi i

Dada la superficie A, seleccionamos un elemento diferencial de superficie. El vector característico de la superficie (dA), tiene tres componentes, cada una de ellas dirigida sobre cada uno de los ejes.

G G G G dA = dAx i + dAy j + dAz k

Z

A

Y X OCW‐UPM

El Elemento t dif diferencial i ld de superficie fi i

Los valores de las componentes se obtienen proyectando el elemento diferencial de superficie sobre los tres planos coordenados Z

dy dz dz dx

Y dy

X

dx

G G G G dA = dy d ·ddzii + dx d ·dzj d j + dx d ·dyk d k OCW‐UPM

El Elemento t dif diferencial i l de d volumen l

Dada un volumen V, V se selecciona un elemento diferencial de volumen formado por un paralelepípedo cuyas aristas (dx, dy, dz) son paralelas a los ejes p j coordenados, de forma que

Z

dz dy

dx

Y

X

dV=dx·dy·dz OCW‐UPM

2 2 Sistema 2.2. Si t de d coordenadas d d polares l (r, ( θ)

Para representar puntos en el plano se utiliza en muchas ocasiones el sistema de coordenadas polares p En este sistema se necesitan un ángulo (θ) y una distancia (r). Para medir θ, en radianes, necesitamos una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo ll llamado d polo. l

OCW‐UPM

2 2 Sistema 2.2. Si t de d coordenadas d d polares l (r, ( θ)

Para expresar la P l posición i ió de d un punto P en coordenadas polares (r,θ), (r θ) Gse define un vector unitario ur que indique la dirección de la línea radial que une el origen G O y P, y un vector G unitario u θ perpendicular a ur orientado hacia valores crecientes de θ.

Y

P

r

θ

G G G OP = r = rur

X

OCW‐UPM

G uz

2 3 Si 2.3. Sistema t d de coordenadas d d cilíndricas ilí d i ((r, ϕ,z))

La primera coordenada es la distancia (r) existente entre el origen y el punto, la segunda es el ángulo (ϕ) que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos, y la tercera es la coordenada (z) que determina la altura del cilindro.

Se definen tres vectores unitarios, perpendiculares entre sí que forman ortonormal. t l

G uG ur ϕ

una

G , uz

y base

OCW‐UPM

2 3 Si 2.3. Sistema t d de coordenadas d d cilíndricas ilí d i ((r, ϕ,z))

G uz

Z

Z

G uϕ

r ϕ

r ϕ

z

z

Y

Y

X

G ur

X

OCW‐UPM

2 3 Si 2.3. Sistema t d de coordenadas d d cilíndricas ilí d i ((r, ϕ,z))

Las coordenadas L d d cilíndricas ilí d i r y ϕ son las l coordenadas d d polares de P medidas en el plano paralelo XY que pasan por él, él y las definiciones de los vectores unitarios y no cambian. La posición de P perpendicular al plano XY se mide por la coordenada z. z Consideramos un cilindro de radio R y altura H, la posición del punto P viene dada por

x = r cos ϕ

y = rsenϕ

z=z OCW‐UPM

2 3 Si 2.3. Sistema t d de coordenadas d d cilíndricas ilí d i ((r, ϕ,z))

G G G G G G r = r cos ϕ i + rsenϕ j + zk = rur + zk G G G ur = r cos ϕ i + rsenϕ j

OCW‐UPM

2 3 Si 2.3. Sistema t d de coordenadas d d cilíndricas ilí d i ((r, ϕ,z))

dϕ

dϕ

r

dr dz

dz

r rdϕ

dz

rdϕ

rdϕ

G G dA = (rdϕ ·dz )ur

dV = (rdϕ ·dz )dr

OCW‐UPM

2 4 Si 2.4. Sistema t d de coordenadas d d esféricas fé i ((r, θ,ϕ)

Un sistema de coordenadas esféricas se usa en espacios euclídeos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. La primera coordenada (r) es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto. Se definen tres vectores unitarios perpendiculares entre sí que forman f una base b ortonormal t l,

OCW‐UPM

2 4 Si 2.4. Sistema t d de coordenadas d d esféricas fé i ((r, θ,ϕ) θ )

θ ϕ

r

El radio r (0≤r≤R ) es la distancia desde el origen d coordenadas de d d all punto, t es el ángulo que forma r con la vertical (0≤θ≤π (0≤θ≤ ) y ϕ es el ángulo que forma la proyección de r sobre el plano XY con el eje X (0≤ϕ≤2π ). )

OCW‐UPM

r cosθ

2 4 Si 2.4. Sistema t d de coordenadas d d esféricas fé i ((r, θ,ϕ) θ )

θ r r senθ senϕ

ϕ

OCW‐UPM

La relación de las coordenadas cartesianas y curvilíneas esféricas es

x = rsenθ cos ϕ y = rsenθ senϕ

z = r cos θ El vector de posición del punto P se puede expresar por

G G G G r = rsenθ cos ϕ i + rsenθ senϕ j + z cos θ k G G G ur = r cos ϕ i + rsenϕ j

OCW‐UPM

2 4 Si 2.4. Sistema t d de coordenadas d d esféricas fé i ((r, θ,ϕ) θ )

G ur

G

 uϕ θ r

G uθ

ϕ

OCW‐UPM

Un elemento diferencial de superficie p sobre la superficie del cilindro se obtiene modificando infinitesimalmente los dos ángulos (dϕ y dθ); el vector característico de la superficie es perpendicular a ella y en consecuencia tiene la dirección del radio

G G dA = (rsenθ dϕ )·( ) (rddθ )ur rdθ

θ dθ r

ϕ

dϕ

OCW‐UPM

Un elemento diferencial de volumen se obtiene considerando el elemento anterior y variando infinitesimalmente la profundidad en una cantidad dr

dV = (rsendϕ))·((rdθ))·dr

rdθ

rsenθdϕ

OCW‐UPM