MATEMÁTICA

SEMANA 2

ECUACIÓN DE LA RECTA

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ÍNDICE ECUACIÓN DE LA RECTA ...................................................................................................................... 4 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ...................................................................................................................... 4 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 4 PLANO CARTESIANO ............................................................................................................................ 5 PENDIENTE DE UNA RECTA ............................................................................................................. 6 FORMA DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y QUE TIENE UNA PENDIENTE DADA ............................................................................................................................ 8 PROCEDIMIENTO PARA OBTENER LA ECUACIÓN DE UNA RECTA DADOS 2 PUNTOS ................... 10 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA .................................................................................................... 11 GRÁFICO DE UNA RECTA ................................................................................................................... 14 RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES ........................................................................... 14 EJERCICIOS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN .................................................................................... 16 COMENTARIO FINAL.......................................................................................................................... 21 REFERENCIAS ..................................................................................................................................... 22

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ECUACIÓN DE LA RECTA

OBJETIVOS ESPECÍFICOS  

Reconocer la ecuación de una recta y sus elementos. Aplicar el método adecuado para graficar rectas en el plano.

INTRODUCCIÓN En la vida real existen situaciones que pueden ser modeladas a través de una ecuación de recta, que tiene la forma y  a x  b con a, b  R donde x e y son variables. Por ejemplo:

y  600 x  30 En esta semana se conocerán elementos especiales de la ecuación de la recta y a través de ellos se podrá graficar dicha recta. Un problema que se puede resolver a través de la ecuación de la recta tiene un comportamiento lineal con respecto a sus datos, es decir si se grafican los datos en un plano, estos son partes de una recta.

Ejercicio El ingeniero comercial de una constructora observa que el costo y que existe por la construcción de x casas, en un sector de clase media de la ciudad de Valparaíso, está dado por una ecuación de recta, él sabe que al construir 2 casas el costo es 630 UF y que con 3.030 UF se pueden construir 5 casas. Si quiere obtener más información a partir de estos datos requiere conocer la ecuación que modela la situación. A continuación se presentan los conceptos necesarios para lograr resolver este tipo de situación.

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PLANO CARTESIANO Una recta se puede graficar en un plano cartesiano, que se define como dos rectas perpendiculares que se intersectan en un punto llamado origen, el cual tiene la forma (0,0) (Zill y Dewar, 1999, p. 120).

Fuente: Material elaborado para este curso (Hidalgo, 2014).

Tal como se muestra en el gráfico anterior, el eje horizontal se denomina abscisa, mientras que el vertical recibe el nombre de ordenada. El punto (x,y) del gráfico recibe el nombre de par ordenado, donde “x” corresponde a la primera coordenada e “y” corresponde a la segunda coordenada. Observación: en el eje de las abscisas a la derecha del cero los valores son positivos mientras que a la izquierda son negativos. En el eje de la ordenada, sobre el cero los valores son positivos mientras que bajo el cero son negativos. A continuación se presenta el gráfico de algunos pares ordenados:

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Fuente: Material elaborado para este curso (Hidalgo, 2014).

PENDIENTE DE UNA RECTA Dados dos puntos: A= ( x0 , y 0 ) ; B= ( x 1, y 1 ) , existe una única recta que pasa por estos puntos, tal como se muestra en el siguiente gráfico:

Fuente: Material elaborado para este curso (Hidalgo, 2014).

A esta recta se asocia el valor de la pendiente, la cual se define a continuación:

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La pendiente de la recta que pasa por los puntos

A  ( x0 , y0 ) ; B  ( x1 , y1 ) corresponde a la

inclinación de la recta y se calcula a través de la fórmula:

m

Con

y1  y 0 x1  x0

x1  x0

Ejemplo: Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (−1, 2) y (3, −4). Solución: Se considera: i.

x1 , y1    1,2

Es decir, x1  1 ; y1  2 ii.

x0 , y0  = 3,4

Es decir, x0  3 ; y 0  4 Luego, se reemplaza en la fórmula:

m

y1  y 0 2−(−4) 6 3 = −1−3 = −4 = − 2 x1  x0

Observación: I.

Si la pendiente de la recta es positiva, entonces el gráfico corresponde a una recta creciente.

II. Si la pendiente de la recta es negativa, entonces el gráfico corresponde a una recta decreciente.

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III. Si la pendiente de la recta es 0, entonces el IV. Si la pendiente es infinita, entonces la recta gráfico de la recta es horizontal. es vertical. En este caso, el gráfico que corresponde es:

Fuente: Material elaborado para este curso (Hidalgo, 2014).

FORMA DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y QUE TIENE UNA PENDIENTE DADA A partir de la pendiente y un punto que pertenece a la recta, se puede determinar la ecuación de la recta, es importante conocer dicha ecuación, ya que así se tiene información de cualquier punto de la recta. La ecuación de recta punto-pendiente pasa por el punto (𝑥1 , 𝑦1 ) y tiene pendiente 𝑚 es: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) Donde 𝑚 es un número real. Al despejar la variable y se obtiene la ecuación equivalente:

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y  mx  mx1  y1 y  mx   mx1  y1  Se puede observar que mx1  y1 es un valor numérico, luego se puede reescribir la última ecuación de la forma:

y  mx  n Donde m es la pendiente y n es la intersección con el eje de la ordenada, el valor n se conoce como coeficiente de posición. Observación: si la pendiente es infinita, entonces la ecuación de la recta es x  a , donde a corresponde a la primera coordenada de los puntos dados. Ya que en este caso todos los puntos de la recta tienen la primera coordenada igual al valor a . Ejemplos: 1 3

1) Determinar la ecuación de la recta que pasa por (1, −3) y tiene pendiente - . Solución: 1

Se consideran 𝑚 = − 3, 𝑥1 = 1 e 𝑦1 = −3 y se reemplaza la información en la ecuación dada: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 1 𝑦 − (−3) = − (𝑥 − 1) 3 -(-3) es igual al valor positivo 3. 1 𝑦 + 3 = − (𝑥 − 1) 3 Se despeja la variable 𝑦: 1 𝑦 = − (𝑥 − 1) − 3 3 El valor −

1 3

multiplica a la variable 𝑥 y al valor -1. 1 1 𝑦 =− 𝑥+ −3 3 3

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Se observa que al resolver:

1 1 9 8 3  3 3 3 Entonces: 1 8 𝑦=− 𝑥− 3 3 2) Determinar la ecuación de la recta que pasa por (1, −3) y tiene pendiente infinita. Solución: Ya que la pendiente no es un número real, pues es infinita, entonces la ecuación es 𝑥 = 1.

PROCEDIMIENTO PARA OBTENER LA ECUACIÓN DE UNA RECTA DADOS 2 PUNTOS Para obtener la ecuación de la recta conociendo dos puntos, se debe efectuar el siguiente proceso: i.

Se calcula primero la pendiente.

ii.

Si el valor de la pendiente es un número real, entones se reemplaza el valor de la pendiente m

y uno de los puntos dados en la ecuación y  y1  mx  x1  . Si el valor de la pendiente es infinita se utiliza la ecuación x  a donde a es la primera coordenada de los puntos dados.

Ejemplos: 1) Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−1, 2) y (3, −4). Solución: Se considera x1 , y1    1,2 ; x0 , y0   3,4 Se reemplaza en m 

y1  y 0 o se utiliza x  a si se obtiene pendiente infinita. x1  x0

La pendiente de la recta es:

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𝑚=

2 − (−4) 6 3 = =− −1 − 3 −4 2

Al aplicar la ecuación de una recta que pasa por un punto de la que se conoce la pendiente se tiene la libertad de elegir cualquiera de los dos puntos conocidos que pertenecen a la recta: 3 𝑦 − 2 = − (𝑥 − (−1)) 2 Otra manera de escribir esta ecuación es: 3

𝑦 − 2 = − 2 (𝑥 − (−1)) 3

𝑦 − 2 = − 2 (𝑥 + 1) /despejando 3 3 𝑦 =− 𝑥− +2 2 2 3 1 𝑦=− 𝑥+ 2 2 2) Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−1, 2) y (−1, −4). Solución: La pendiente de la recta es:

m

y1  y 0 2−(−4) 6 = = se asume pendiente infinita, porque este número es indefinido en el x1  x0 −1−(−1) 0

conjunto de los números reales. Luego, la ecuación es x = -1, pues esa es la primera coordenada de los puntos.

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Si en la ecuación de la recta definida anteriormente se despeja con el objetivo de dejar el lado derecho de la ecuación solo con el valor cero, se obtiene la ecuación general de la recta, la cual se define a continuación. La ecuación general de la recta está definida como: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

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Donde 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son constantes y, 𝐴 y 𝐵 no pueden ser simultáneamente iguales a cero (Stewart, 1999, p. 115). Ejemplo: 2𝑥 − 3𝑦 — 12 = 0 Ejercicio: 1) Determine la ecuación general de la recta que pasa por los puntos:

 9 M   2,  y A  (1,3)  2 Solución:

9 69 1 2  2 m  1 2 3 2 , luego la ecuación de la recta es: La pendiente es 3

L: y 3

1 x 7 ( x  1)  y   2 2 2

Dejando igualado a cero se obtiene:

x 7  0 2 2 2y  x  7  0 y

/ 2 / se ordena

 x  2y  7  0 2) Determine la pendiente 2 x  3 y  5  0 : Solución:

2x  3 y  5  0 3 y  2 x  5 / : 3

y

Pendiente m 

 2x 5  3 3

2 3

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Ejercicios propuestos

1. Determine la ecuación general de la recta que pasa por los puntos :

2. Determine la pendiente

:

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GRÁFICO DE UNA RECTA Puesto que la ecuación es lineal, su gráfico es una recta. Para dibujar el gráfico es suficiente encontrar dos puntos cualesquiera sobre la recta. Las intersecciones con los ejes son los puntos más fáciles de determinar. Ejemplo: Graficar la ecuación y  2 x  12 : Intersección con el eje X: sustituya 𝑦 = 0 para obtener 2𝑥 − 12 = 0, de modo que 𝑥 = 6. Intersección con el eje Y: sustituya 𝑥 = 0 para obtener y  2  0  12 de modo que y  12 . Con estos puntos se puede trazar la recta de la siguiente manera:

RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES Rectas paralelas: dos rectas no verticales son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente (Stewart, 1999, p. 116). Ejemplo de determinación de Ia ecuación de una recta paralela a una recta dada. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (5, 2) que es paralela a la recta de ecuación: 4𝑥 + 6𝑦 + 5 = 0

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Solución: Primero se escribe la ecuación de la recta dada en la forma de pendiente y ordenada en el origen: 4𝑥 + 6𝑦 + 5 = 0 6𝑦 = −4𝑥 − 5 2 5 𝑦=− 𝑥− 3 6 2

Por lo que la recta tiene Ia pendiente 𝑚 = − 3 . Como la recta requerida es paralela a la recta 2

dada, tiene también la pendiente 𝑚 = − 3. De acuerdo con Ia ecuación de una recta que pasa por un punto y se conoce su pendiente (𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) ) se obtiene: 2 𝑦 − 2 = − (𝑥 − 5) 3 Escrito de otra manera se tiene que la recta buscada es 2𝑥 + 3𝑦 − 16 = 0. La condición para rectas perpendiculares no es tan obvia como con las rectas paralelas. A continuación se indica el criterio que permite determinar si dos rectas son perpendiculares. Rectas perpendiculares: dos rectas con pendientes, 𝑚1 y 𝑚2 son perpendiculares si y solo si: 𝑚1 ⋅ 𝑚2 = −1, es decir, sus pendientes recíprocas y de signo contrario: 𝑚1 = −

1 𝑚2

Asimismo, una recta horizontal (pendiente 0) es perpendicular a la recta vertical (pendiente indefinida) (Stewart, 1999, p. 117). Ejemplo de rectas perpendiculares. Demuestre que los puntos 𝑃(3, 3), 𝑄(8, 17) y 𝑅(11, 5) son los vértices de un triángulo rectángulo. Solución: Las pendientes de las rectas que contienen a 𝑃𝑅 y 𝑄𝑅 son respectivamente: 𝑚1 =

5−3 1 5 − 17 = y 𝑚2 = = −4 11 − 3 4 11 − 8

De donde es claro que 𝑚1 ⋅ 𝑚2 = −1.

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Ejemplo de determinación de Ia ecuación de una recta perpendicular a una recta dada: 4𝑥 + 6𝑦 + 5 = 0 Solución: Lo primero que se debe hacer es determinar la pendiente de la recta: 4𝑥 + 6𝑦 + 5 = 0, para lo cual es necesario despejar la variable 𝑦, de hecho se tiene que: 4 5 𝑦=− 𝑥− 6 6 4 6

2 3

3 2

2 3

La pendiente de la recta es − = − , luego la pendiente de la recta buscada es , ya que − , multiplicado por 3/2 es igual a -1. Como la nueva recta debe pasar por el origen, entonces, se tiene que la recta buscada es:

y 0 

 3 / 2  x  0 

y  3x / 2

EJERCICIOS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1) Encuentre la ecuación de la diagonal de una tabla de madera que mide 40 x 30, considerando como origen el centro de la tabla. Solución:

Al observar el dibujo se deduce que la diagonal es una recta pasa por los puntos

(20,15);(20, 15) , luego su pendiente es:

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m

y La ecuación de la recta es:

 15  15  30 3    20  20  40 4

3 xn 4

Reemplazando ( 20,15) en la ecuación anterior, se obtiene:

3  20  n 4 15  3  5  n

15 

0n y 

3 x 4

2) En el Ejército necesitan conocer la inversión que deben realizar cada mes en los casinos de los diversos regimientos localizados en el país. Con este objetivo se contrató a un ingeniero en informática para que creara un sistema computacional que permitiera determinar la inversión que deben hacer en cada casino. Este observó que el dinero a invertir estaba relacionado con el personal asignado al regimiento que ocupaban el casino, a través de la ecuación de recta y = 40x + 50, donde “y” representa el dinero a invertir en miles de pesos (el 40 representa el costo por persona y los 50 es un costo fijo). a) Graficar la ecuación. Solución: Para obtener el gráfico, se reemplazan dos valores de “x” en la ecuación, con esto se obtienen los respectivos “y”, luego se grafican los dos pares ordenados. Si x = 0, entonces y = 40 * 0 + 50 = 50, el par ordenado es (0,50). Si x = 1, entonces y = 40 * 1 + 50 = 90, el par ordenado es (1,90). Luego el gráfico es:

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b) En cierto regimiento del país 300 personas ocupan el casino. ¿Cuánto se debe invertir en el casino de dicho regimiento?

y  40  300  50 y  12000  50 y  12050 Como el resultado debe estar en miles se obtiene 12050  1000  12.050.000 Se debe invertir $12.050.000.3) Sean F y C las temperaturas en grados Fahrenheit y grados Celsius. Hallar la ecuación que relaciona F y C, sabiendo que es lineal y que F = 32 cuando C = 0 y F = 212 cuando C = 100. Solución:

32,0 ; 212,100 Pendiente: m 

0  100  100 5   32  212  180 9

Ecuación de recta:

y0 

5 x  32 9

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y

5 x  32 9

9 y  5x  288

 5x  9 y  288  0 A continuación, se sugiere realizar la ejercitación de la semana (la cual es calificada con 1 punto), junto con revisar los videos de la semana que aparece en el apartado de “Videos de la semana” y luego desarrollar los siguientes ejercicios.

1) Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3,5) y que es paralela a la recta y = 2x + 5.

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2) Determine la ecuación de la recta que corresponde a la grafica

3) Una empresa observó que las utilidades por la venta de “x” objetos, está dada por una ecuación lineal. Se detectó que al vender 3 objetos, la utilidad obtenida es 630 y al vender 5 es 870, medido en miles de pesos. Determine la ecuación de recta que modela la situación.

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COMENTARIO FINAL Una ecuación de recta es finalmente una ecuación que relaciona dos variables una dependiente y otra independiente. En esta semana se ha aprendido que estas variables forman un par ordenado que se puede graficar en un plano cartesiano. Las rectas contienen infinitos puntos, pero basta conocer dos de ellos para lograr una gráfica de esta. Se observa que este contenido es importante, ya existen situaciones que se modelan a través de la ecuación de rectas.

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REFERENCIAS Stewart, J. (1999). Cálculo, trascendentes tempranas. México: Thomson.

Zill, D. y Dewar, J. (1999). Ecuaciones e inecuaciones. Álgebra y trigonometría. Colombia: McGrawHill.

PARA REFERENCIAR ESTE DOCUMENTO, CONSIDERE: IACC (2015). Ecuación de la recta. Matemática. Semana 2.

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