Ecuaciones cuasilineales de primer orden

Yaneth Liliana Rivera

Director: Gilberto Pérez P.

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia Facultad de Ciencias Licenciatura en Matemáticas Tunja, agosto de 2008

i

Índice general Lista de símbolos

III

Introducción

IV

Objetivos 0.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2. Objetivos especí…cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v v

1. Conceptos básicos 1.1. Cálculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 6

2. Ecuaciones cusilineales de primer orden 2.1. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden. Ecuaciones de Euler 2.2. Ecuaciones cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Generación de una super…cie a partir de las curvas características . . . 2.4. Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Dependencia continua respecto a los datos . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Soluciones débiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Condición de salto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 9 14 17 24 29 34 35

3. Ejercicios resueltos de EDP cuasilineales

41

Conclusiones

64

Bibliografía

65

ii

V

Lista de símbolos

Números reales. Espacio Euclídeo n dimensional. Espacio de funciones continuas en el intervalo [a; b]: Espacio de funciones con primera derivada continua en el intervalo [a; b]: Espacio de funciones con primera derivada continua en R3 Producto interno en Rn Norma. Bola de radio r y centro x0 : Valor absoluto. Gradiente del campo escalar f Campo de vectores Rotacional de un campo F Divergencia de un campo de vectoresF: Subconjunto de R3 abierto y conexo. vol [Br (x0 )] Volumen de una bola de radio r y centro x0 @D Frontera del abierto D n Vector normal a una super…cie det Función Determinante R Rn C([a; b]) C 1 ([a; b]) C 1 (R3 ) h; i kk Br (x0 ) j j rf F rotF divF

iii

Introducción La historia de las ecuaciones diferenciales comenzó en el siglo XV II cuando Newton, Leibniz y los Bernoulli resolvieron algunas ecuaciones diferenciales sencillas de primero y segundo orden que se presentaron en problemas de geometría y Mecánica. Pronto vieron que relativamente pocas ecuaciones diferenciales podían resolverse con recursos elementales, fueron dándose cuenta que era en vano el empeño de intentar descubrir métodos para resolver todas las ecuaciones diferenciales, en lugar de ello, encontraron más provechoso averiguar si una ecuación dada tenía o no solución y aún cuando tenía, intentar la deducción de propiedades de la solución a partir de la misma ecuación diferencial. Con ello comenzaron a considerar las ecuaciones diferenciales como fuentes de nuevas funciones. A partir del siglo XIX se desarrolló una fase importante de esta teoría, siguiendo una tendencia de conseguir un desarrollo más riguroso de cálculo. Las ecuaciones en derivadas parciales (EDP ); tienen gran aplicación en las diferentes profesiones que se relacionan con la matemática; por ejemplo la física, la química y la ingeniería, entre otras. En este trabajo se estudiará el método de las características para solucionar el problema de Cauhy de ecuaciones cuasilineales de primer orden. Como guía se ha seguido principalmente el texto [12]. Aunque este tipo de ecuaciones se pueden tratar para un número cualquiera n de variables independientes, en este trabajo sólo se tratará el caso n = 2, que permite mostrar de manera más clara la interpretación geométrica de las soluciones de estas ecuaciones, es decir, se trabaja en un espacio bidimensional. La redacción de un documento de texto donde se muestren los detalles de los resultados básicos de una teoría con sus ejemplos, tiene como …n servir de ayuda a los estudiantes interesados en incursionar por primera vez en esta. Este material puede facilitar la comprensión de algunos conceptos y resultados elementales de las EDP cuasilineales de primer orden.

iv

Objetivos 0.1.

Objetivo general

Hacer un estudio de los resultados básicos de la teoría de ecuaciones en derivadas parciales cuasilineales de primer orden.

0.2.

Objetivos especí…cos

1. Estudiar el problema de Cauchy para ecuaciones cusilineales de primer orden. 2. Reconstruir de manera detallada los resultados básicos de esta teoría. 3. Ilustrar la temática por medio de la presentación de ejemplos y ejercicios. 4. Dar a conocer algunas aplicaciones que tienen las ecuaciones diferenciales cuasilineales de primer orden. 5. Elaborar un documento donde se muestre los detalles del estudio desarrollado.

v

Capítulo 1 Conceptos básicos Este capítulo contiene algunos conceptos y resultados que pueden ayudar a la comprensión del contenido de este trabajo.

1.1.

Cálculo vectorial

Por Rn se entiende el espacio vectorial real R ::: R con su estructura topológica usual; dotado de una norma sin importar cual, ya que en Rn todas las normas son equivalentes. Derivada direccional La derivada direccional expresa la razón de cambio de una función de dos o más variables en cualquier dirección. Si u es una función escalar de variables x1 ;..:; xn ; el gradiente de u es la función vectorial ru de…nida por ru (x1 ; :::; xn ) =

@u @u ;:::; @x1 @xn

:

Si y es un vector unitario, la derivada u0 (a; y) = hru (a) ; yi se llama derivada direccional de u en a en la dirección de y. En particular, si y = ek (el k-ésimo vector canónico) la derivada direccional u0 (a; ek ) se denomina derivada parcial @u respecto a xk y se representa mediante el símbolo Dk u(a) o . Es decir, @xk Dk u(a) = u0 (a; ek ) = 1

@u (a1 ; :::; an ): @xk

Si S es una super…cie y n es un vector normal a S en el punto a; la derivada rf (a) n representa la densidad del ‡ujo de f a través de la super…cie, esta derivada se escribe @u : también como @n Función diferenciable Sea u : S ! R un campo escalar de…nido de S Rn : Sean a un punto interior a S y Br (a) una n bola contenida en S: Sea h un vector tal que khk < r; de modo que a + h 2Br (a) : Se dice que la función u es diferenciable en un punto a; si existe una función escalar E (a; h) tal que u (a + h) = u (a) + ru (a) h+ khk E (a; h) ; donde E (a; h) ! 0 cuando h ! 0: Una condición su…ciente de diferenciabilidad de la función u en el punto a; es la existencia de sus derivadas parciales en alguna n bola B (a) y la continuidad de estas en el punto a: Regla de la cadena general Suponga que u es una función diferenciable de las n variables x1 ; x2 ; :::; xn y cada xj es una función diferenciable de las m variables t1 ; t2 ; :::; tm . Entonces u es una función de t1 ; t2 ; :::; tm ; y @u @u @x1 @u @x2 @u @xn = + + ::: + para cada i = 1; 2; :::; m: @ti @x1 @ti @x2 @ti @xn @ti Regla de Leibniz La regla de Leibniz a…rma que si F (x) =

Z

v

g (x; t) dt; donde u y v son funciones u

de x; y t es una variable muda, entonces Z v @ dv d F (x) = g (x; t) dt + g (x; v) dx dx u @x

g (x; u)

du : dx

Teorema de la función inversa Teorema 1.1 Sea U Rn abierto y u1 : U ! R; :::; un : U parciales continuas. Considérense las ecuaciones 8 > < y1 = u1 (x1 ; : : : ; xn ) .. .. . . > : yn un (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) 2

! R con derivadas

(1.1)

cerca de una solución dada x0 ; y0 : Si el determinante Jacobiano 0 @u1 @u1 (x0 ) B @x1 (x0 ) @xn B @(u1 ; : : : ; un ) .. .. ... J (u) (x0 ) = = det B . . B @(x1; : : : ; xn ) x0 @ @un @un (x0 ) (x0 ) @x1 @xn

1

C C C 6= 0; C A

entonces (1.1) se puede resolver de manera única como x =g (y) para x en un entorno A de x0 e y en un entorno B de y0 . Además, la función g tiene derivadas parciales continuas. La función g obtenida en el teorema anterior se llama inversa local de u: De…nición 1.2 (Campo vectorial) Sea D R3 : Un campo vectorial sobre R3 es una función F que asigna a cada punto (x; y; z) en D, un vector tridimensional F (x; y; z) = (f1 (x; y; z) ; f2 (x; y; z) ; f3 (x; y; z)) ; donde las fi son funciones escalares. La mejor forma de ilustrar un campo vectorial es representar el vector F (x; y; z) con una ‡echa con origen en el punto (x; y; z) : Puesto que es imposible hacerlo para todos los puntos de D, esta representación se hace sólo para algunos puntos, como se muestra en los ejemplos siguientes. Ejemplo 1.3 Campo vectorial F (x; y; z) = (y; z; x) :

2.5 -2.5 -1.25

2.5 x

-2.5

1.25

-1.25

00 1.25 -1.25 1.25 -2.5 z

2.5 y

3

Ejemplo 1.4 Campo vectorial F (x; y; z) = (y; x; z):

5 -5

-5

2.5

-2.5

-2.5

00 2.5

2.5

-2.5

5 x

5 z

-5 y

Teorema 1.5 Sea F = (F1 ; F2 ; F3 ) un campo de vectores en R3 tal que rotF = 0. Entonces F es un campo conservativo, es decir, existe f : R3 ! R; f 2 C 1 (R3 ) tal que rf = F; es decir, F1 = fx , F2 = fy ; F3 = fz Una tal f puede tener la forma Z z Z y Z x (0; 0; s)ds + k; F2 (0; s; z)ds + F1 (s; y; z)ds + f (x; y; z) = 0

0

0

donde k es una costante arbitraria. De…nición 1.6 (Dominio regular) Sea D RN un dominio acotado. Se dice que D es regular si para cada x0 2 @D existe un entorno U de x0 en RN y una función ':U !R continuamente diferenciable, de forma que 1. r'(x) 6= 0 si x 2 U; 2. @D \ U = fx 2 U; '(x) = 0g ; 3. D \ U = fx 2 U; '(x) < 0g : La de…nición anterior establece que un dominio regular tiene su frontera de…nida localmente por ceros de funciones continuamente diferenciables, es decir, por trozos de super…cies diferenciables en RN de…nidas implícitamente. 4

Sea D un dominio regular y sea x 2 @D. Un vector normal a @D en x viene dado por n = r'(x), donde ' es una función que de…ne a @D en un entorno de x. Se dice que n es normal exterior a @D en x si para > 0 su…cientemente pequeño y 0 < t < se veri…ca que x tn 2 D; x + tn 2 RN D: Si se denota por v(x) la normal exterior unitaria en x a @D y si D es regular, entonces v(x) es un campo continuo en @D, [12]. Divergencia y Rotacional Unas operaciones que se efectúan sobre los campos vectoriales y que son usadas en aplicaciones del cálculo vectorial son las llamadas divergencia y rotacional. La divergencia se asemeja a la derivación y genera un campo escalar. Sea F = (F1 ; :::; Fn ) un campo vectorial en Rn ; la divergencia de F se de…ne por r F = divF =

Xn

i=1

@Fi : @xi

En el modelo del campo de velocidades de un ‡uido, la divergencia mide la tasa de cambio del volumen, [16]. El rotacional genera un campo vectorial. Para F = (F1 ; F2 ; F3 ) se de…ne por RotF = r

rF =

@F3 @x2

@F2 @F1 ; @x3 @x3

@F3 @F2 ; @x1 @x1

@F1 @x2

:

Teorema 1.7 (Teorema de la divergencia de Gauss.) Sea D un dominio regular en R3 y F 2 C 1 (D) un campo de vectores. Entonces Z Z hF; ni ds = divFdv; @D

D

donde n es un vector unitario normal a la frontera @D: Teorema 1.8 Sea D un dominio en Rn y f : D ! R acotada y continua en D. Entonces existe un punto z 2 D tal que Z f (y)dy = V ol(D)f (z); D

donde vol [Br (x0 )] es el volumen de la bola de radio r y centro x0 : Véase [3]. De este teorema se deduce la proposición siguiente. 5

Proposición 1.9 Si f es una función continua se veri…ca que Z 1 f (v)dv: f (x0 ) = l m r!0 vol [Br (x0 )] B (x ) r 0 De esta proposición se deduce que si f es continua y bola Q D; entonces f = 0 en D:

R

Q

f dv = 0; para cualquier

Rango de una matriz De…nición 1.10 Sea A una matriz de m

n: Se de…ne la imagen de A como

Imag (A) = fy 2 Rm : Ax = y; x 2Rn g y el rango de por (A) = dim (Imag (A)) :

1.2.

Ecuaciones diferenciales

El desarrollo de modelos matemáticos hacen comprender mejor los fenómenos físicos. Algunos de estos modelos producen ecuaciones que contiene derivadas de una función incógnita. Esta ecuación es llamada ecuación diferencial. De…nición 1.11 Una ecuación diferencial es cualquier ecuación en la que intervienen una variable dependiente y sus derivadas con respecto a una o más variables independientes.

Clasi…cación Las ecuaciones diferenciales tienen varias clasi…caciones dependiendo de los criterios que se evalúen. Según la dependencia Según la dependencia de una o más variables independientes de la función desconocida se clasi…can en: Ecuación diferencial ordinaria: Si la función desconocida depende sólo de una variable. En general una ecuación diferencial ordinaria de orden n, es una función F de la forma F x; y; y 0 ; : : : ; y (n) = 0; (1.2) 6

donde y es una variable dependiente de x: Ecuación en derivadas Parciales: Si la función desconocida depende de más de una variable aparecen derivadas parciales, en forma abreviada se escribe EDP . La forma general de una ecuación en derivadas parciales es una relación F (x; y; :::; u; ux ; uy ; :::; uxx ; uxy ; :::) = 0;

(1.3)

que liga una función desconocida u de valor real de n 2 variables x, y; :::; con estas variables y las derivadas de orden k: En la ecuación diferencial @v @v + =v @s @t las variables s y t son independientes y v es la variable dependiente. Según su orden El orden de una ecuación diferencial, es el orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación. La ecuación diferencial @ 2 u 1 @u 1 @2u = 0; + + @r2 r @r r2 @ 2 es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden, puesto que la derivada de orden más alto que aparece es la derivada segunda. Según su linealidad Las ecuaciones (1.2) y (1.3) se llaman lineales si F es lineal en la variable dependiente y sus derivadas. La ecuación ut + uux = 0 es una EDP no lineal de primer orden y será tratada al …nal del capítulo 2. Según su homogeneidad Una ecuación lineal es homogénea si el término que no está afectado por la variable dependiente ni por sus derivadas (término independiente) es cero para todo x. Si las funciones y1 y y2 son soluciones de la ecuación diferencial L (y) = y 00 + p (x) y 0 + q (x) y = 0;

(1.4)

entonces la combinación lineal c1 y1 + c2 y2 es una solución de (1.4) y correspondiendo a un número in…nito de valores que se puede asignar a c1 y c2 , se puede elaborar un número in…nito de soluciones de ésta. Se dice que dos soluciones y1 y y2 de la 7

ecuación (1.4) forman un conjunto fundamental de soluciones, si cualquier solución puede expresarse como una combinación lineal de y1 y y2 . Si las funciones p y q son continuas sobre el intervalo abierto < x < y si y1 , y2 son soluciones de la ecuación diferencial (1.4) que satisfacen la condición W (y1 ; y2 ) = y1 (x) y20 (x)

y10 (x) y2 (x) 6= 0;

para todo punto en < x < , entonces cualquier solución de la ecuación diferencial (1.4) sobre el intervalo < x < puede expresarse como una combinación lineal de y1 y y2 , [4]. Lema de Gronwall El lema de Gronwall permite pasar de una inecuación integral en la función y a una estimación para y: Lema 1.12 (Lema de Gronwall) Sean f : [a; b] ! R y g : [a; b] ! R+ dos funciones continuas. Sea y : [a; b] ! R una función continua que satisface para todo t 2 [a; b] la desigualdad Z t

y (t)

f (t) +

g (s) y (s) ds:

a

Entonces, para todo t 2 [a; b] ; se tiene Z Z t f (s) g (s) exp g (u) du ds: y (t) f (t) + a

En particular, si f (t) = k; k una constante, entonces Z t g (s) ds : y (t) exp a

Véase [7].

8

Capítulo 2 Ecuaciones cusilineales de primer orden Antes de abordar el estudio de las ecuaciones cuasilineales se presenta la deducción de un modelo para un problema físico a través de ecuaciones de primer orden.

2.1.

Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden. Ecuaciones de Euler

Las EDP de primer orden más sencillas son de la forma ux = P;

uy = Q;

uz = R;

donde u, P; Q, R son funciones de las variables independientes x; y; z. Si se consideran por separado estas ecuaciones, las soluciones respectivas son Z u(x; y; z) = P (x; y; z)dx + (y; z) Z u(x; y; z) = Q(x; y; z)dy + (x; z) Z u(x; y; z) = R(x; y; z)dz + (x; y): Ahora, si las ecuaciones se consideran como un sistema, la solución U debe ser tal que ru = (ux ; uy ; uz ) = (P; Q; R) = F;

9

y según el Teorema 1.5, la solución existe si rotF = 0; es decir si i @ @x P

j @ @y Q

k @ @z R

= (Ry

Qz ; Pz

Rx ; Qx

Py ) = 0:

Entonces debe cumplirse que Py = Qx ;

Pz = Rx ;

Qz = Ry ;

(2.1)

lo cual se conoce como diferencial exacta. El mismo teorema a…rma que una solución está dada por Z z Z y Z x R(0; 0; s)ds + k; Q(0; s; z)ds + P (s; y; z)ds + u(x; y; z) = 0

0

0

donde k es una constante. A continuación se presenta la deducción de un modelo físico a través de ecuaciones de primer orden. Corresponde a las ecuaciones de Euler que rigen el movimiento de ‡uidos no viscosos. Sea R3 una región ocupada por un ‡uido en movimiento. El objetivo es presentar un modelo que describa su movimiento, para lo cual se tiene en cuenta tres principios de la física. I)

Principio de conservación de masa.

II) Segunda ley de la dinámica de Newton. III) Principio de la conservación de energía. A nivel macroscópico se espera que la densidad del ‡uido (x; t) sea una función continua del espacio y del tiempo. Dada una bola Q , la masa del ‡uido que encierra en el instante t es Z m(Q; t) = (x; t)dV: (2.2) Q

Sea X(t) 2 la posición de una partícula en el instante t. Se supone que la partícula describe una trayectoria bien de…nida y que por tanto la velocidad U (x; t) de ésta en el instante t de…ne un campo de vectores en : En los cálculos que se desrrollarán a continuación se supone que U y tienen la regularidad su…ciente para que estos sean válidos. 10

La ley de conservación de masa establece que la variación de la masa respecto al tiempo es igual a la masa que entra menos la que sale, esto es, la tasa de variación de masa respecto al tiempo en la bola Q; Z dm @ (Q; t) = (x; t)dV; (2.3) dt Q @t debe ser igual al ‡ujo a través de la frontera Q, es decir a Z Z Z hU; ni dS = h U; ni ds = div( U )dV; @Q

@Q

(2.4)

Q

donde n representa un vector normal unitario exterior a @Q y tamabién se ha aplicado el Teorema de la divergencia. De (2.3) y (2.4) se tiene Z @ + div( U ) dV = 0: Q @t Si se supone que el integrando es continuo y haciendo tender el diámetro de Q a cero, se obtiene la expresión diferencial de conservación de masa @ + div( U ) = 0; @t

(2.5)

que se conoce como ecuación de continuidad. Sin la hipótesis de regularidad, (2.3) queda Z dm @ (Q; t) = (x; t)dV dt @t Q y en (2.4 ) no puede aplicarse el Teorema de la divergencia, luego la ecuación de continuidad en este caso queda Z Z @ dV + hU; ni ds = 0; (2.6) @t Q @Q que es la forma de ley de conservación que aparece en física. La formulación de problemas que incluyen ecuaciones como la ( 2.6), genera la necesidad de introducir conceptos de solución más generales que el clásico, según el cual la solución es derivable y se satisface puntualmente. Esto será analizado al …nal del trabajo, donde se dará el concepto de solución débil. Sea X(t) = (x1 (t); x2 (t); x3 (t)) 11

la trayectoria seguida por una partícula de ‡uido. En términos del campo de velocidades se tiene dX(t) = U (X(t); t) = (u1 [X(t); t] ; u2 [X(t); t] ; u3 [X(t); t]) ; dt

(2.7)

de donde (x01 ; x02 ; x03 ) = (u1 ; u2 ; u3 ): Derivado (2.7) se obtiene la aceleración a(t) =

d2 X(t) dU [X(t); t] : = dt2 dt

Aplicando la regla de la cadena para campos vectoriales, consúltese [1], se tiene a(t) = DU [X(t); t] X 0 (t) + Ut = DU [X(t); t] U + Ut 0 1 1 0 10 u1x1 u1x2 u1x3 u1t u1 B C C B CB = @ u2x1 u2x2 u2x3 A @ u2 A + @ u2t A : u3x1 u3x2 u3x3 u3t u3

En algunos textos esta última expresión la describen como a(t) = hU; ri U + Ut : Entonces el vector

a(t) = (a1 (t); a2 (t); a3 (t)) = hU; ri U + Ut ; es tal que 3 X @ui @ui uj + ; ai (t) = @x @t j j=1

i = 1; 2; 3:

La segunda ley de Newton establece que

a = F;

(2.8)

donde F representa la densidad de fuerza o carga por unidad de volumen. Las fuerzas que se consideran son de dos clases: 1. Fuerzas exteriores, como las gravitatorias cuya densidad se supone dada por un campo f (x; t). 2. Tensiones internas. 12

En los ‡uidos perfectos, es decir los no viscosos, se supone que para las fuerzas de tensión interna existe una función p(x; t) llamada presión, de la forma que si se considera un elemento de super…cie S en el ‡uido y n su normal, las fuerzas de tensión a través de S tienen una densidad en el punto x y en el instante t igual a p(x; t)n: Esto signi…ca que no hay componentes tangenciales en las fuerzas de tensión interna, es decir, en un ‡uido perfecto no se crean ni se destruyen rotaciones sin la acción de fuerzas externas. La tensión total a través de la frontera de la bola Q R3 viene entonces dada por Z S@Q = pn dS; @Q

y la proyección de dicha fuerza en la dirección de un vector unitario e 2 R3 es, Z Z Z he; S@Q i = e; pnds = he; pni ds = hpe; ni ds @Q @Q @Q Z Z Z rpdV; e ; = div(pe)dV = hrp; ei dV = Q

(2.9)

Q

Q

donde se han aplicado propiedades del producto escalar, el Teorema de la divergencia y la identidad div(gu) = div(u) + hrg; ui ; para g función a valor real y u campo vectorial. De (2.9) se deduce Z Z rpdV = 0; he; S@Q i + e; rpdV = e; S@Q + Q

Q

y como el vector unitario e 2 R3 es arbitrario, entonces S@Q + Z rpdV: S@Q =

R

Q

rpdV = 0; es decir, (2.10)

Q

Como a = F; dada por (2.8), es la fuerza por unidad de volumen, la fuerza total ejercida sobre Q que es la suma de la tensión total con las fuerzas exteriores será Z Z Z Z a dV = F dV = rpdV + f dV; Q

luego

Q

Z

Q

Q

( a + rp

Q

f )dV = 0:

Con la hipótesis de regularidad y haciendo tender el diámetro de Q a cero, se llega a las llamadas ecuaciones de Euler a=

rp + f; 13

que al reemplazar a resulta (Ut + hU; ri U ) =

2.2.

rp + f:

Ecuaciones cuasilineales

Se consideran ecuaciones de forma f1 (x1 ; x2 ; u) ux1 + f2 (x1 ; x2 ; u) ux2 = f (x1 ; x2 ; u) :

(2.11)

Estas ecuaciones se llaman cuasilineales, porque dependen linealmente de las derivadas parciales ux1 ; ux2 ; pero la dependencia con respecto a u no es necesariamente lineal. Las ecuaciones lineales tienen la forma f1 (x1 ; x2 )ux1 + f2 (x1 ; x2 )ux2 = f (x1 ; x2 )u: Se observa que una ecuación lineal es una ecuación cuasilineal donde la dependencia con respecto a u es también lineal. Bajo el punto de vista vectorial, la ecuación o(2.11) se puede escribir equivalenn b b b temente en términos de la base canónica i; j; k del espacio vectorial R3 , como el producto punto @u b @u b b i+ j k = 0: f1bi + f2b j + fb k @x1 @x2

Ejemplo 2.1 Un ejemplo de ecuación cuasilineal es ut + a(u)ux = 0; donde las variables independientes son t y x. Si Z u A(u) = a(s)ds; 0

entonces

@ A(u)x = @x

Z

0

u

@ a(s)ds = @u

Z

u

a(s)ds

0

@u = a(u)ux @x

y la ecuación ut + (au)ux = 0; puede escribirse como una divergencia ut + A(u)x = 0: Para el estudio de la ecuación (2.11), se supone que f1 ; f2 ; f están de…nidas en un abierto R3 . También se supone que: 14

1. f1 ; ; f2 2 C 1 ( ) 2. jf1 (x1 ; x2 ; u)j + jf2 (x1 ; x2 ; u)j > 0; si (x1 ; x2 ; u) 2 : La hipótesis 1. da la condición su…ciente de regularidad y la hipótesis 2. garantiza que hay ecuación en derivadas parciales en todo : De…nición 2.2 Por solución de la ecuación (2.11) se entiende una función , de…nida en un abierto G R2 , : G ! R; tal que

2 C 1 (G) y

1. (x1 ; x2 ; (x1 ; x2 )) 2 2. Para todo (x1 ; x2 ) 2 G se veri…ca f1 (x1 ; x2 ; )

x1

+ f2 (x1 ; x2 ; )

x2

= f (x1 ; x2 ; ):

La condición 2. expresa que debe satisfacer la ecuación para (x1 ; x2 ) 2 G: El concepto de solución dado en la de…nición anterior es de carácter local, porque sólo se exige que 1. y 2. se cumplan en el subconjunto G de R2 y se dice que el par (G; ) es una solución local. Cuando 1. y 2. se satisfacen para todo (x1 ; x2 ) 2 R2 ; a la solución se le llama solución global. De…nición 2.3 Sean (G1 ; 1 ); (G2 ; 2 ) soluciones de la ecuación (2.11). Se dice que estas soluciones son iguales si se veri…ca 1 jG1 \G2

2 jG1 \G2

=

;

donde la notación jA expresa la restricción de la función en dominio G.

a un subconjunto A del

Una forma de construir soluciones de una ecuación diferencial es recurriendo a su signi…cado geométrico. De este análisis se deducen los datos que son admisibles para plantear el problema de valores iniciales. Supóngase una solución local de (2.11), :G

R2 ! R;

con su grá…ca = f(x1 ; x2 ; (x1 ; x2 )) : (x1 ; x2 ) 2 Gg : Sea u = (x1 ; x2 ) y la función g:

!R 15

de…nida por g(x1 ; x2 ; u) = (x1 ; x2 )

u = 0:

Entonces la super…cie = f(x1 ; x2 ; u) : (x1 ; x2 ; u) 2 g es una super…cie de nivel cero para g(x1 ; x2 ; u) y n = rg = (gx1 ; gx2 ; gu ) = (

x1 ;

x2 ;

1)

es un vector normal a : Considérese el campo vectorial F dado por las funciones coe…ciente de la ecuación, es decir F = (f1 ; f2 ; ; f ); que está de…nida en . Como es solución de la ecuación se tiene hn; Fi =

x1 ;

x2 ;

1 ; (f1 ; f2 ; f ) = f1

lo cual dice que F es tangente a siguiente.

Σ

x1

+ f2

x2

f = 0;

en

;

en todos los puntos, como se muestra en la …gura

∇g

g

R

Lo anterior sugiere intentar construir las super…cies solución o grá…cas de soluciones, a partir de las curvas de campo asociado al campo F, es decir, las curvas que en cada uno de sus puntos son tangentes a F. 16

Si una curva con parametrización X(t) = [x1 (t); x2 (t); u(t)] es tangente en cada uno de sus puntos al campo F; entonces X 0 (t) = F y así 8 > x01 (t) = f1 (x1 ; x2 ; u) > > < x02 (t) = f2 (x1 ; x2 ; u) > > > : u0 (t) = f (x ; x ; u): 1 2

(2.12)

Al sistema de ecuaciones (2.12) se le llama sistema característico de la ecuación (2.11) y las grá…cas en R3 de las soluciones del sistema (2.12) se llaman curvas características. Dado que f1 ; f2 2C1 ( ); el Teorema de existencia de Picard garantiza que el problema de Cauchy (2.12) con dato inicial (x1 (0) ; x2 (0) ; u (0)) = ( 01 ;

0 2;

0

)2 ;

(2.13)

tiene solución local única. Además el Teorema de Peano sobre la diferenciabilidad, establece que bajo las hipótesis impuestas al problema de Cauchy que se trata aquí, las soluciones de este son diferenciables, consúltese [7].

2.3.

Generación de una super…cie a partir de las curvas características

Se …ja una curva

: [0; 1] ! R3 regular, (s) = (

1 (s);

2C1 ([0; 1]) de…nida por 2 (s);

(s))

y se considera una familia uniparamétrica de curvas solución de la ecuación (2.12 ) que veri…que para cada s el dato inicial (x1 (0); x2 (0); u(0)) = (

1 (s);

2 (s);

(s)):

Esta curva solución se denota (t; s) = (X1 (t; s); X2 (t; s); Z(t; s)) :

(2.14)

Para s0 …jo, el vector tangente a (t; s0 ) es t (t; s)

= (X10 (t; s0 ); X20 (t; s0 ); Z 0 (t; s0 )) = (f1 [(X1 (t; s0 ); X2 (t; s0 ); Z(t; s0 ))] ; f2 [(X1 (t; s0 ); X2 (t; s0 ); Z(t; s0 ))] ; f [(X1 (t; s0 ); X2 (t; s0 ); Z(t; s0 ))]) = (f1 [ (t; s0 )] ; f2 [ (t; s0 )] ; f [ (t; s0 )]) = F [ (t; s0 )] : 17

Por otra parte para t = 0; (0; s) = (X1 (0; s); X2 (0; s); Z(0; s)) = (x1 (0); x2 (0); u(0)) = (

1 (s);

2 (s);

(s)) = (s):

El vector tangente a (s) = (0; s) es 0

(s) = (

0 1 (s);

0 2 (s);

0

(s)) ;

y en consecuencia, para que (t; s) sea la parametrización de la super…cie regular (es decir con plano tangente en cada punto y que ésta varíe con continuidad de punto a punto), se necesita que sobre la curva inicial las tangentes sean linealmente independientes, esto es, que los los vectores t (t; s) y 0 (s) no sean vectores paralelos. Algebraicamente esto quiere decir que 1 0 0 f1 ( 1 (s); 2 (s); (s)) (s) 1 C B C B 0 (2.15) rango B f2 ( 1 (s); 2 (s); (s)) 2 (s) C = 2: A @ 0 f ( 1 (s); 2 (s); (s)) (s)

La condición (2.15) se llama condición de tranversalidad de la curva y el campo F = (f1 ; f2 ; f ) que de…ne la ecuación (2.11). Al suponer la condición de transversalidad (2.15) se obtiene la forma de generar soluciones de…nidas de forma paramétrica, es decir, se espera que el conjunto de todas las curvas características formen la super…cie solución. Ejemplo 2.4 Para ilustrar el análisis anterior se presentan los grá…cos de algunas curvas características y la super…cie solución correspondientes al problema (x2 + 1)ux

xyuy =

u ; x

x = 1;

u = y;

el cual se resuelve de manera explícita en el ejercicio 3.10 trabajo. Para la condición de transversalidad se tiene 0 1 0 f1 (1; s; s) 10 2 B C B C B 0 rango B f2 (1; s; s) s C = rango @ s @ A s 0 f (1; s; s) s 18

del capítulo tres de este

1 0 C 1 A = 2; 1

ya que esta matriz tiene dos renglones linealmente independientes. En la primera grá…ca aparece la curva dato (en color verde) con parametrización (s) = (1; s; s) y algunas curvas solución del sistema característico (2.12 ), que en este caso es dx = x2 + 1; d

Curva dato

(s) =

dy = d

xy;

du u = : d x

(0; s) y algunas curvas características.

La grá…ca siguiente muestra la super…cie solución del problema, junto con la curva dato la cual se ha resaltado con color verde. Esta grá…ca está dada por la ecuación paramétrica ( ,s) = tan

+

4

p , 2s cos

+

4

p , 2s cos

que corresponde a la función u (x; y) = xy:

19

+

4

, ( ,s) 2

-

3 , 4 4

(-1,1) ,

Grá…ca de la super…cie solución. Para demostrar que las funciones así obtenidas, de…nen una solución de (2.11), debe probarse que la condición de transversalidad implica que ( x1 = X1 (t; s) x2 = X2 (t; s) tiene inversa local

(

s = S(x1 ; x2 ) t = T (x1 ; x2 );

y con esto faltaría establecer que u = Z (T (x1 ; x2 ); S(x1 ; x2 )) = (x1 ; x2 ) es solución de la ecuación (2.11). Además debe probarse que ésta es la única solución que satisface el dato : A continuación se presenta un ejemplo que también permite hacer todos los cálculos de manera explícita. Ejemplo 2.5 Considérese la ecuación lineal a1 u x 1 + a2 u x 2 20

b = 0;

donde a1 ; a2 ; b 2 R y ja1 j + ja2 j > 0: En este ejemplo F = (a1 ; a2 ; b) y el sistema característico es 8 0 > < x1 (t) = a1 x02 (t) = a2 > : 0 u (t) = b:

Si el dato inicial es

0 2;

(x1 (0); x2 (0); u(0) = ( 01 ;

0

);

las curvas características están dadas por la parametrización 8 0 > < x1 (t) = a1 t + 1 x2 (t) = a2 t + 02 > : u(t) = bt + 0 ;

es decir, las curvas características son rectas en R3 dadas paramétricamente por (x1 (t); x2 (t); u(t)) = a1 t +

0 1 ; a2 t

+

0 2 ; bt

+

0

;

con vector dirección (a1 ; a2 ; b) : Designando como dato inicial a una curva (s) = (

1 (s);

2 (s);

(s))

transversal al vector (a1 ; a2 ; b); e imponiendo que det

a1 0 1 (s)

a2 0 2 (s)

!

6= 0;

(esta imposición hace que se cumpla la condición de transversalidad (2.15)), se obtiene (t; s) = (a1 t +

1 (s); a2 t

+

2 (s); bt

+ (s)) ;

(2.16)

que corresponde a la ecuación paramétrica de un cilindro de generatrices paralelas al vector (a1 ; a2 ; b): Tomando en particular la curva (s) = (a2 s; a1 s; s2 ; ); (obsérvese que esta curva satisface la condición de transversalidad ya que se ha supuesto ja1 j + ja2 j > 0), de (2.16) se obtiene (t; s) = (X1 (t; s); X2 (t; s); Z(t; s)) = (a1 t + a2 s; a2 t 21

a1 s; bt + s2 ):

Resolviendo el sistema

resulta

(

x 1 = a1 t + a2 s x2 = a2 t a1 s;

8 a1 x 1 + a2 x 2 > > < t = a2 + a2 2 1 a2 x 1 a1 x 2 > > : s= : a21 + a22

Sustituyendo a t y s en Z(t; s) = bt + s2 ; se obtiene u(x1 ; x2 ) = Z(t; s) = b

a1 x 1 + a2 x 2 + a21 + a22

a2 x 1 a1 x 2 a21 + a22

2

;

que puede comprobarse directamente que soluciona la ecuación a1 ux1 + a2 ux2

b = 0:

Como además se cumple que u(a2 s; a1 s) = s2 , se concluye que se ha encontrado una super…cie solución de la ecuación, que contiene la curva (s), es decir, que sobre la curva plana (s) = (a2 s; a1 s) la función u toma el valor s2 : Ejemplo 2.6 Considérese la ecuación ut + cux = 0, con dato inicial u(x; 0) = (x): El sistema característico es

8 0 > < x( )=c t0 ( ) = 1 > : 0 u ( ) = 0;

y la parametrización de la curva dato inicial es

(s) = (s; 0; (s)): Entonces las curvas características están dadas por 8 > < t( ) = x( ) = c + s > : u( ) = (s);

y la parametrización de la curva solución es

(s; ) = (c + s; ; (s)) = (X(s; ); T (s; ); Z(s; )) = (x; t; u): Se obtiene x=c +s y t= ; 22

de donde s=x

c =x

ct;

y así u(x; t) = Z(s; ) = (x

ct):

La solución u(x; t) = (x ct) se conoce en el estudio de la ecuación de ondas como una onda plana. Los resultados en los dos ejemplos anteriores se han conseguido porque se ha podido expresar explícitamente a (s; t) en términos de (x1 ; x2 ) y a (s; ) en términos (x; t) respectivamente, lo cual ha sido fácil por ser expresiones lineales. En el caso general el resultado de inversión lo da el Teorema de la Función Inversa, [9]. A continuación se enuncian con precisión las hipótesis que se han conjeturado. I. Hipótesis sobre la ecuación. Las condiciones que se suponen sobre la ecuación (2.11), es decir, sobre f1 (x1 ; x2 ; u)ux1 + f2 (x1 ; x2 ; u)ux2

f (x1 ; x2 ; u) = 0;

son: 1. f1 ; f2 ; f 2C1 ( ), siendo abierto y conexo.

R3 un dominio abierto, es decir, un subconjunto

2. jf1 j + jf2 j > 0, para cada (x1; x2 ; u) 2 : II. Hipótesis sobre la curva dato. 1.

2C1 (I), donde I signi…ca que

R3 es un intervalo y (s) 2 :I !

2. j

para cada s 2 I, lo cual

R3 :

0 0 1 (s)j + j 2 (s)j

> 0 sobre I. Esta condición establece que en ningún punto la curva (s) tiene tangente paralela al eje 0u:

3. La condición de transversalidad (2.15) se postula sobre las dos primeras coordenadas, es decir, se supone 0 1 0 f1 [ 1 (s); 2 (s); (s)] (s) 1 A 6= 0 det @ 0 f2 [( 1 (s); 2 (s); (s)] (s) 2 para cada s 2 I:

23

Las condiciones 2. y 3. se pueden imponer sobre otro par de coordenadas de…niendo la coordenada restante como función de ellas.

2.4.

Problema de Cauchy

El problema de Cauchy o problema con valor inicial, consiste en que dada la ecuación f1 (x1 ; x2 ; u)ux1 + f2 (x1 ; x2 ; u)ux2

f (x1 ; x2 ; u) = 0

y la curva dato (s) = (

1 (s);

2 (s);

(s));

debe encontrarse una función :G

R2 ! R;

2 C 1( )

tal que: i. (x1 ; x2 ; ) 2 ii.

si (x1 ; x2 ) 2 G;

satisface la ecuación, en el sentido que si (x1 ; x2 ) 2 G; entonces f1 (x1 ; x2 ; )

iii.

(

1 (s);

2 (s))

x1

+ f2 (x1 ; x2 ; )

x2

= f (x1 ; x2 ; ):

= (s) paa s 2 I:

La denominación de problema con valor inicial que se da a un problema como el anterior, se debe a que se está buscando una solución de la ecuación que sobre la curva plana ( 1 (s); 2 (s)) tome el valor (s), es decir, que la super…cie solución o sea la grá…ca de la función solución, contenga la curva : Teorema 2.7 Considérese el problema de Cauchy 8 < f1 (x1 ; x2 ; u)ux1 + f2 (x1 ; x2 ; u)ux2 = f (x1 ; x2 ; u) (P) : u( (s); (s)) = (s); 1 2

donde la ecuación y el dato veri…can las hipótesis I. y II. Entonces, el problema (P) tiene una única solución local u con

24

Prueba. 1. Existencia. Se comienza probando la existencia de al menos una solución local regular, siguiendo los razonamientos geométricos anteriores. Para ello se considera el problema de Cauchy para el sistema característico 8 dx1 > > = f1 (x1 ; x2 ; u) > > dt > > < dx2 = f2 (x1 ; x2 ; u) > dt > > > > > : du = f (x1 ; x2 ; u) ; dt con dato inicial para s …jo,

8 > < x1 (0) = 1 (s) x2 (0) = 2 (s) > : u (0) = (s) :

El teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales ordinarias establece que este problema de Cauchy tiene una solución única, 8 > x1 = 1 (t; ( 1 (s) ; 2 (s) ; (s))) = X1 (t; s) > > < (2.17) x2 = 2 (t; ( 1 (s) ; 2 (s) ; (s))) = X2 (t; s) > > > : u = (t; ( (s) ; (s) ; (s))) = Z (t; s) : 1 2

El Teorema de Peano sobre la diferenciabilidad de la solución de una ecuación diferencial ordinaria, véase [7], implica que en un entorno del punto (0; s) se tiene que la función vectorial (t; s) ! (X1 (t; s) ; X2 (t; s) ; Z (t; s)) ; de…nida por (2.17) es continuamente derivable respecto de los datos iniciales, esto signi…ca que además de haber continuidad respecto de los datos 1 hay además diferenciabilidad respecto a ellos. De esta manera la función vectorial (2.17).de…ne paramétricamente una super…cie C1 (G (0; s)) ; donde G (0; s) es un entorno del punto (0; s) ; porque se cumple la condición de tarnsversalidad X1s X2s X1t X22

0 1

= f1 (

1

(s) ;

0 2

(s) 2

(s) ; (s))

1

f2 (

1

(s)

(s) ;

2

(s) ; (s))

6= 0:

Una solución de una ecuación diferencial es continua respecto de datos (valores iniciales), si a cambios pequeños de los valores iniciales corresponden cambios pequeños en los valores de las soluciones respectivas, [7].

25

El Teorema de la Función Inversa implica que en un entorno de (0; s) la función (X1 (t; s) ; X2 (t; s)) tiene inversa continuamente derivable, ( x1 = T (x1 ; x2 ) s = S (x1 ; x2 ) ; luego,

(

y

x1 = X1 (T (x1 ; x2 ) ; S (x1 ; x2 )) x2 = X2 (T (x1 ; x2 ) ; S (x1 ; x2 )) (

0=T( s=S(

(s) ; 1 (s) ; 1

(s)) 2 (s)) : 2

Se de…ne u (x1 ; x2 ) = Z (T (x1 ; x2 ) ; S (x1 ; x2 )) y se prueba que es solución del problema de Cauchy. En efecto f1 ux1 + f2 ux2 = f1 (Zt Tx1 + Zs Sx1 ) + f2 (Zt Tx2 + Zs Sx2 ) = Zt (f1 Tx1 + f2 Tx2 ) + Zs (f1 Sx1 + f2 Sx2 )

(2.18)

= Zt (X1t Tx1 + X2t Tx2 ) + Zs (X1t Sx1 + X2t Sx2 ); donde se ha utilizado la regla de la cadena para obtener @ @Z @t @Z @s @u = Z(t; s) = + = Zt Tx1 + Zs Sx1 ; @x1 @x1 @t @x1 @s @x1 y de forma análoga @u = Zt Tx2 + Zs Sx2 : @x2 También se ha usado el hecho que al ser (X1 ; X2 ) soluciones del sistema característico, entonces dx1 @ f1 = = X1 (t; s) = X1t (t; s); dt @t dx2 @ f2 = = X2 (t; s) = X2t (t; s): dt @t De otra parte, las funciones (X1 ; X2 ) y (T; S) son funciones inversas y por tanto sus matrices Jacobianas ! ! X1t X1s Tx1 Tx2 y X2t X2s S x1 S x2 26

son matrices inversas, es decir, Tx1 Tx2 S x1 S x2

!

X1t X1s X2t X2s

!

1 0 0 1

=

!

;

de donde X1t Tx1 + X2t Tx2 = 1 X1t Sx1 + X2t Sx2 = 0: Además f=

du @ = Z(t; s) = Zt dt @t

y así (2.18) se convierte en f1 ux1 + f2 ux2 = f; es decir u(x1 ; x2 ) = Z(t; s) = Z (T (x1 ; x2 ); S(x1 ; x2 )) es solución de la ecuación. La función u = Z(t; s) veri…ca el dato inicial porque u(

1 (s);

2 (s))

= Z [T (

1 (s);

2 (s)); S( 1 (s);

2 (s))]

= Z(0; s) = (s):

La igualdad Z(0; s) = (s) resulta del hecho que Z(t; s) hace parte de la solución del problema de Cauchy para el problema característico. 2. Unicidad. Lema 2.8 Sea S = f(x1 ; x2 ; (x1 ; x2 )) 2 G

Rg

una super…cie solución y P un punto de S. Si (t) = (x1 (t); x2 (t); u(t)) es la curva característica tal que P = (0); entonces se veri…ca que (t) 2 S para cada t tal que (x1 (t); x2 (t)) 2 G: Prueba del Lema. Como P 2 S; entonces P = (xo 1 ; xo 2 ; (xo 1 ; xo 2 )) con xo 1 ; xo 2 2 G: Ahora, P = (0) = (x1 (0); x2 (0); u(0)) ; 27

luego x1 (0) = xo 1 ; x2 (0) = xo 2 ; y u(0) = (xo 1 ; xo 2 ) =

(x1 (0); x2 (0)) :

Si se considera la función U (t) = u(t)

(x1 (t); x2 (t));

se tiene U (0) = u(0)

(x1 (0); x2 (0)) = 0:

Con base en este último resultado se procede a mostrar que U (t) = 0: Derivando U (t) se obtiene d (x1 (t); x2 (t)) dt @ dx1 = f (x1 (t); x2 (t); u(t)) (x1 (t); x2 (t)) @x1 dt

U 0 (t) =

d u(t) dt

@ dx2 (x1 (t); x2 (t)) @x2 dt

= f (x1 (t); x2 (t); U (t) + (x1 (t); x2 (t))) @ (x1 (t); x2 (t))f1 (x1 (t); x2 (t); U (t) + (x1 (t); x2 (t))) @x1 @ (x1 (t); x2 (t)) f2 (x1 (t); x2 (t); U (t) + (x1 (t); x2 (t))) @x2

(2.19) Entonces, U (t) es función de t y de U (t); es decir, U (t) = F (t; U (t)), y se concluye que U soluciona el problema ( U 0 (t) = F (t; U (t)) (PO) U (0) = 0: 0

0

Como es solución de la ecuación (2.11), la función nula U (t) = 0 satisface la ecuación (2.19) y así U (t) = 0 es solución del problema (PO). La unicidad de la solución del problema de Cauchy para EDO implica que la única solución es U (t) = 0, quedando probado con esto el lema. La unicidad de la solución del problema de Cauchy de la ecuación de primer orden cuasilineal que se está estudiando resulta del razonamiento siguiente: Las soluciones se obtienen con base en las curvas características, y el Lema 2.8 prueba que si una curva característica tiene un punto en común con una super…cie solución, entonces la curva está contenida en dicha super…cie. Si existiesen dos soluciones distintas 28

para la misma curva dato ; cada curva característica que pasara por un determinado punto de , debería estar contenida en ambas super…cies, lo cual es imposible.

2.5.

Dependencia continua respecto a los datos

Al igual que para las EDO, se tiene un resultado de dependencia continua respecto a los datos. El desarrollo que sigue precisa el sentido de dicha continuidad y se presenta con detalle la prueba del resultado. Supóngase las curvas dato ( (s) = ( 1 (s); 2 (s); (s)) (s) = ( 1 (s); 2 (s); (s)); donde (s) y (s) coinciden fuera de un intervalo compacto. Sean (t; s) y (t; s) las soluciones respectivas escritas en forma paramétrica. Entonces para (t; s) = (X1 (t; s); X2 (t; s); Z(t; s)) ; se tiene por (2.12) y (2.14) X10 (t) = f1 (x1 ; x2 ; u); lo cual equivale a X1t = f1 (X1 (t; s); X2 (t; s); Z(t; s)) = f1 ( (t; s)) ; de donde

Z

X1 (t; s) =

t

f1 ( ( ; s)) d + c;

0

pero

1 (s)

= X1 (0; s) = 0 + c; y así X1 (t; s) =

Z

t

f ( ( ; s)) d +

1 (s):

0

Con un procedimiento análogo al anterior se obtiene Z t X2 (t; s) = f2 ( ( ; s)) d + Z(t; s) =

Z

2 (s)

0

t

f ( ( ; s)) d + (s); 0

29

con lo cual Z t (t; s)= f1 ( ( ; s)) d +

1 (s);

Z

t

f2 ( ( ; s)) d +

2 (s);

De manera análoga Z t (t; s)= f1 ( ; s) d +

1 (s);

Z

t

( ; s) d +

f2

2 (s);

0

0

Fijando s se tiene,

+ Z

Z =

0

t

f1 ( ( ; s))

( ; s)

f

d

+

0

Z

t

f ( ( ; s))

( ; s)

f

t

f1

( ; s) d +

0 t

f ( ( ; s)) 0

(s)

(s) +

f Z

t 0

( ; s) d + 2 P

Z

d +

0

f1 ( ( ; s))

f ( ( ; s)) d + (s) : Z

t

f

( ; s) d + (s) :

0

(t; s)- (t; s) = 0 Z t Z t f1 ( ( ; s)) f1 ( ; s) d ; f2 ( ( ; s)) B B 0 0 B Z t @ (s) f ( ( ; s)) f ( ; s) d + (s) Z

t

0

0

0

Z

fi ( ( ; s))

Z

f2

( ; s)

t

f2 ( ( ; s))

f2

( ; s)

1

d ; C C C A d

0

(s)

(s)

t

f2 ( ( ; s))

f2 ( ( ; s)) d ;

0

(s) fi

(s) ( ; s) + f ( ( ; s))

f

( ; s)

d ;

i=1

donde k:k es la norma euclídea y se ha utilizado la desigualdad kyk jy1 j+jy2 j+:::+jyn j para y 2 Rn : Las hipótesis de regularidad sobre f1 ; f2 y f implican que sobre un conjunto compacto las funciones krf1 k ; krf2 k y k rf k alcanzan un máximo, en consecuencia son acotadas. Al aplicar el Teorema del Valor Medio para campos escalares (ver capítulo de preliminares) sobre una bola cerrada de R3 que contenga los puntos donde las curvas dato no coincidan, se obtiene que existe un punto c1 en el segmento de recta que une a ( ; s) con ( ; s) tal que h i f1 [ ( ; s)] f1 ~ ( ; s) = rf1 (c1 ) ( ; s) ( ; s) krf1 (c1 )k

k1 30

( ; s)

( ; s)

( ; s) ;

( ; s)

donde k1 es una cota de la función krf1 k sobre la bola de R3 mencionada anteriormente. De forma análoga se obtiene que existen constantes k2 y k3 , tal que para los valores de ( ; s) y ( ; s) pertenecientes a esta bola de R3 , satisfacen f2 [ ( ; s)]

f2

( ; s)

k2

( ; s)

( ; s)

f [ ( ; s)]

f

( ; s)

k3

( ; s)

( ; s) :

Así, existe k = k1 + k2 + k3 tal que 2 X

fi [ ( ; s)]

fi

( ; s) + f [ ( ; s)]

( ; s)

f

k

( ; s)

( ; s) :

i=1

Entonces resulta ( ; s)

( ; s)

(s)

(s) + k

Z

t

( ; s)

( ; s) d ;

0

y por el caso particular de la desigualdad de Gronwall enunciado en el capítulo de preliminares, se concluye que ( ; s)

( ; s)

(s)

(s) ekt :

Sea ( n (s)) una sucesión funciones de…nidas sobre un intervalo compacto que coinciden fuera del intervalo compacto con (s); y sea n (t; s) la solución respectiva. Si ( n (s)) converge uniformemente a (s); entonces para todo " > 0; existe N 2 Z+ tal que si n > N; entonces n (s) (s) < " para toda s en el intervalo compacto, y así n (t; s)

(t; s)

"ekt :

Se deduce que si n (s) ! (s) uniformemente sobre el intervalo compacto, entonces n (t; s) ! (t; s). Lo anterior prueba la dependencia continua de las soluciones respecto a la convergencia uniforme sobre compactos. ElTeorema de existencia y unicidad que se probó es de carácter local. En general este resultado no se puede globalizar si el concepto de solución es el clásico, es decir, si se entiende por solución una función con derivadas continuas que sustituida en la ecuación la veri…que idénticamente. El ejemplo siguiente muestra tal hecho. Ejemplo 2.9 Considérese el problema de Cauchy ( ut + uux = 0 u(x; 0) = h(x): 31

El sistema característico es dx = u; d

dt = 1; d

du = 0; d

y el dato parametrizado (

1 (s);

2 (s);

(s)) = (s; 0; h(s)):

Solución del problema característico. du = 0; entonces u = c(s); es constante con respecto a : d Si se hace Z( ; s) = c(s), entonces Como

h(s) = Z(0; s) = c(s) y así Z( ; s) = h(s): Ahora

dt = 1; implica que d

Al hacer T ( ; s) =

t=

+ c(s):

+ c(s); se obtiene del dato inicial que 0 = T (0; s) = 0 + c(s) y así T ( ; s) = :

De la ecuación

dx = u; se obtiene d x = u + c(s)

ya que u es una constante con respecto a : Haciendo X( ; s) = u + c(s); resulta s = X(0; s) = c(s); luego X( ; s) = u + s: Entonces la solución del problema característico es 8 > < X( ; s) = u + s T ( ; s) = > : Z( ; s) = h(s): Como x = u + s y t = ; se obtiene s = x

ut y así

u(t; s) = Z( ; s) = h(s) = h(x 32

(2.20)

ut);

que es una función de…nida implícitamente. Como x = ut + s; entonces las dos primeras componentes de la curva característica que pasa por el punto (s; 0; h(s)); de…nen sobre el plano xt la recta x(t) = h(s)t + s;

(u = h (s) cuando

= 0).

que es la proyección de la característica sobre el plano xt: Sobre esta recta se tiene @u dx @u d [u(x(t); t)] = + = uux + ut = 0; dt @x dt @t es decir, sobre esta recta el valor de u es constante. Si t = 0, entonces x0 = x(0) = s y u(x(0); 0) = u(x0 ; 0) = h(x0 ); luego el valor de u sobre la recta x(t) = x0 + h(x0 )t es h(x0 ): Para dos valores x1 = 6 x2 las proyecciones correspondientes de las características sobre el plano xt son x = x1 + h(x1 )t y x = x2 + h(x2 )t: Si h(x1 ) 6= h(x2 ); estas rectas se cortan en un punto P determinado por un valor de t dado por (x2 x1 ) 1 t0 = = : h(x2 ) h(x1 ) h(x2 ) h(x1 ) (x2 x1 ) 1 Cuando x1 ! x2 ; entonces t0 ! y así el tiempo mínimo en el que se f 0 (x2 ) produce el choque es 1 t=mn : 0 x2R h (x) De lo anterior se deduce que si existiese una función solución debería tomar a la vez los valores de h(x1 ) y h(x2 ) en el punto P: Se concluye en general, que es imposible encontrar una solución global clásica al problema. A continuación se analiza la clase de singularidad que se presenta, analizando la variación de ux sobre la recta proyección de una curva característica. Como u = h(x0 ), entonces @u @u @x0 @x0 = = h0 (x0 ) : @x @x0 @x @x 33

Ahora, 1 @x0 1 = ; = @x @x 1 + h0 (x0 )t @x0 luego @u 1 = h0 (x0 ) : @x 1 + h0 (x0 )t Se tiene que si h0 (x0 ) 6= 0, entonces t!

l m1

h0 (x0 )

@u @x

no existe,

y esto signi…ca que en el punto t1 =

1 h0 (x

0)

;

la función deja de ser derivable con continuidad. Si h0 (x0 ) < 0, entonces 1 t1 = > 0; 0 h (x0 ) y se puede interpretar que si t representa el tiempo, existe un tiempo t = t1 > 0 para el cual la solución no es derivable con continuidad.

2.6.

Soluciones débiles

De acuerdo con la ecuación (2.6), existe una expresión integral que no requiere la regularidad de la solución y que es equivalente a la ecuación puntual cuando la solución es regular, para tal efecto se puede proceder de la manera siguiente: Si se multiplica la ecuación ut + uux = 0 por una función A0 (u); resulta A0 (u)ut + A0 (u)uux = 0; y haciendo A0 (u)u = B 0 (u) se tiene A0 (u)ut + B 0 (u)ux = 0; lo cual puede escribirse como la divergencia de un campo vectorial, esto es, A(u)t + B(u)x = 0:

34

(2.21)

Integrando (2.21) con respecto a x, con a; b y t arbitrarios, se tiene Z b Z b 0 = A(u)t dx + B(u)x dx a

d = dt

Z

a

(2.22)

b

A[u(x; t)]dx + B[u(b:t)]

B[u(a; t)];

a

que es lo que se conoce en la física como una ley de conservación. Si se cumple que u 2C1 (R2 ); entonces a partir de (2.22), (invirtiendo los pasos que se efectuaron para obtener esta ecuación ), se llega a que u satisface la ecuación ut + uux = 0: La ecuación (2.22) es válida sin el requisito de regularidad u 2C1 (R2 ), y ésta se usa para de…nir lo que se conoce como solución débil de la ecuación (2.21), es decir, u es una solución débil de (2.21) si u satisface (2.22).

2.6.1.

Condición de salto

Sea u una solución débil de la ecuación (2.21), que sea regular excepto en una curva suave x = (t), a través de la cual la solución tenga un salto …nito. Por salto …nito se entiende que u+ =

l m u(x; t) y u =

x! (t)+

l m u(x; t)

x! (t)

son …nitos. La curva (t) se llama onda de choque. Si a < (t) < b; (2.22) puede escribirse como Z (t) Z d d b 0= A[u(x; t)]dx + A[u(x; t)]dx + B[u(b; t)] dt a dt (t)

B[u(a; t)]:

Aplicando la regla de Leibniz se tiene Z (t) Z (t) d @ @ A[u(x; t)]dx = A[u(x; t)]dx + l mp! (t) A[u(p; t)] dt a @t @t a Z (t) @ @ = A[u(x; t)]dx + A[u ] : @t @t a De manera igual, Z Z d b A[u(x; t)]dx = dt (t) Z =

b

l mp!

(t)+

(t)

@ A[u(x; t)]dx @t

A[u+ ]

(t)

@ A[u(x; t)]dx @t

@ : @t

b

35

A[u(p; t)]

@ @t

Como A(u)t + B(ux ) = 0; se obtiene 0 = [A(u ) = [A(u ) = [A(u )

@ A(u )] + B[u(b:t)] @t +

B[u(a; t)] +

@ A(u )] + B[u(b:t)] @t +

A(u+ )]

@ @t

B[u(a; t)]

Z

Z

(t)

At (u)dx + a (t)

Bx (u)dx a

Z

Z

b

Bx (u)dx (t) b

Bx (u)dx (t)

B(u ) + B(u+ ):

Entonces

@ B(u+ ) B(u ) (t) = (2.23) @t A(u+ ) A(u ) da la velocidad de propagación de la discontinuidad en términos de la variación de A y B en el salto de u. La condición (2.23) se llama la condición de salto o de choque y en el estudio de la dinámica de gases se conoce como la condición de Rankine-Hugoniot. Obsérvese que la ecuación ut + uux = 0 puede escribirse como u2 2

ut +

= 0: x

Entonces en la ecuación correspondiente A(u)t + B(ux ) = 0; se tiene A(u) = u y B(u) =

u2 ; 2

y así la condición de salto en este caso es @ 1 (u+ )2 (u )2 u+ + u = = : @t 2 u+ u 2 La ecuación ut + uux = 0 se llama ecuación de Burgers y es un caso especial de las ecuaciones cuasilineales de la forma ut + f (u)x = 0, las cuales se conocen como las leyes de conservación por la analogía que se presenta con el modelo de algunas leyes de conservación de la física, por ejemplo las ecuaciones de dinámica de gases sin viscosidad que están dadas por vt

ux = 0

(conservación de la masa)

ut + p x = 0

(conservación del momento)

Et + (up)x = 0

(conservación de la energía),

donde v es el volumen especí…co, u la velocidad, E la energía especí…ca y p la presión, [14]. 36

Ejemplo 2.10 Considérese el problema de Cuachy ( ut + uux = 0 u(x; 0) = h(x); con

8 > <

si x : 0 si 1 < x: 1

y

1.5

1.25

1

0.75

0.5

0.25 0 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 x

Grá…ca de y = h(x): El tiempo mínimo de choque es t = mn

0 x 1

1 h0 (x)

1 = 1: 1

=

Entonces se puede intentar hallar una función solución para t < 1. Como ya se vio en el ejemplo (2.9, el sistema característico es dx = u; d

dt = 1; d

du =0 d

y el dato parametrizado (s) = (s; 0; h(s)) : La solución del problema característico es X( ; s) = s + h(s) ;

T ( ; s) = ;

Z( ; s) = h(s);

de donde x = s + h(s)t;

u = h(x 37

ut):

Si x < 0 entonceas h (x) = 1; luego h(s) = 1 y (s) = (s; 0; 1), con s < 0. Resulta x = s + t; de donde s = x t < 0, es decir, x < t: Por tanto u = h(x

para x < t:

ut) = 1;

Si x > 1, se tiene h(s) = 0 y (s) = (s; 0; 0); con s > 1, entonces x = s > 1, luego u = h(x Si 0

ut) = 0;

para x > 1:

s y (s) = (s; 0; 1 s), con 0 s 1: Como x t x t x = s + (1 s)t, se tiene s = ; luego 0 1; y así para t < 1 se 1 t 1 t llega a t x 1: Ahora u = 1 (x ut); de donde x

1, entonces h(s) = 1

u=

1 1

x ; t

para t

x

1:

Se ha obtenido para t < 1 la solución clásica local dada por 8 1; x > > > > < 1 x u(x; t) = ; t x 1 > 1 t > > > > : 0; 1 > x:

En t

1 las características se cortan y no se puede tener solución regular.

Para encontrar la solución débil en t 1, se usa la condición de salto ( 2.23), basada en la solución local anterior u(x; t). Entonces u+ = 0 y u = 1; de donde

d 0+1 1 = = : dt 2 2 Al hacer que la recta x = (t) contenga al punto (1; 1) (ver la grá…ca de abajo), 1 t+1 resulta x 1 = (t 1); luego x(t) = es la curva en que la solución débil 2 2 u no es regular. Entonces para t 1 se puede de…nir u por 8 1 > > < 1; x < 1 + 2 (t 1) u(x; t) = > > : 0; x > 1 + 1 (t 1): 2 38

La …gura siguiente muestra los valores de la solución global débil en las distintas regiones del plano xt para t > 0; :la cual obviamente contiene la solución local para 0 < t < 1:

t

x = 1+ (t-1)/2 u =1 u=0 t =1 u =1

u=0

x=t

x

u = (1-x) /(1- t ) Valores de la solución global débil. Nota 2.11 Una solución suave de ut + uux = 0 satisface las ecuaciones ut +

u2 2

= 0;

u2 2

y

x

+ t

u3 3

= 0; x

pero esto no es cierto para las soluciones discontinuas. Para ver esto, nótese que en la primera ecuación la condición de salto es u+ + u 2 y en la segunda 2 [(u+ )2 + u+ u + (u )2 ] : 3 u+ + u Como estas condiciones son diferentes, también lo serán las soluciones discontinuas correspondientes. Entonces al escribir la ecuación diferencial en dos formas diferentes de divergencia, cada una de estas puede tener soluciones débiles diferentes. Otra manera de llegar a la de…nición de una solución débil de (2.21) es la descrita a continuación.

39

Se supone inicialmente que u es solución clásica y se multiplica la ecuación por una función 2C10 (R2 ) cuyo soporte 2 esté contenido en el rectángulo [a; b] [T1 ; T2 ] y se integra sobre R2 , esto es, Z T2 Z b ZZ Z T2 Z b B(u)x dxdt = 0: A(u)t dxdt + [A(u)t + B(u)x ] dxdt = T1

a

T1

R2

a

Efectuando la integración por partes se tiene, Zb Z a

T2

A(u)t dtdx =

T1

Zb

a

Entonces se llega a

T2

B(u)

T1

ZZ

A(u)

Z

jba

[A(u)

T2 t

dt dx =

b

B(u)

x dx dt =

T2

+ B(u)

Z

T2

T1

a

t

Z

T1

T1

a

y también Z T2 Z b Z B(u)x dxdt = T1

A(u)

Z

jTT21

x ] dxdt

= 0:

Z

b

A(u) t dxdt;

a

Z

b

B(u)

x

dx dt:

a

(2.24)

R2

Para que la ecuación (2.24) tenga sentido no se necesita que u sea suave, sólo que u se acotada y medible (el concepto de función medible puede consultarse en [3]). De…nición 2.12 Una función u(x; t) medible y acotada es una solución débil de la ecuación (2.21), si satisface (2.24) para todo 2C10 (R2 ): Este concepto de solución débil es conocido como solución en el sentido de las distribuciones. El estudio de esta teoría requiere herramientas avanzadas del análisis matemático.

2

El soporte de una función (t), notado como Sop( (t)), es la adherencia del conjunto de puntos donde la función no es nula, [12].

40

Capítulo 3 Ejercicios resueltos de EDP cuasilineales En este capítulo se desarrollan algunos ejercicios sobre EDP cuasilineales de primer orden, que se encuentran propuestos en la bibliografía citada al …nal del trabajo. La letra c (o con sus índices respectivos) representará constantes arbitrarias. Ejercicio 3.1 Considere la ecuación yux

xuy = 0:

a. Encuentre algunas soluciones. b. Resuelva el problema de Cauchy yux

xuy = 0;

u(x; 0) = x2 :

Solución a. El sistema característico es dx = y; d

dy = d

x;

De las dos primeras ecuaciones se tiene xdx + ydy = 0; cuya solución es x2 + y 2 = c1 : 41

du = 0: d

De la tercera ecuación característica resulta que u = c2 . Si se toma en particular una función arbitraria 2 C 1 ; entonces (c1 ) = (x2 + y 2 ); y haciendo c2 = (c1 ) = (x2 + y 2 ); entonces u = (x2 + y 2 );

2 C 1;

es solucion de la ecuación. b. El dato inicial parametrizado es (s) = (s; 0; s2 ): Del apartado a. se deduce que para y = 0; c 1 = s2

y u = c 2 = s2 ;

luego c1 = c2 y así (c1 ) = c1 , es decir, bajo la condición u(x; 0) = x2 ; ha de ser la función idéntica. La solución del problema es u(x; y) = x2 + y 2 : Ejercicio 3.2 Sea u = f Solución

xy : Eliminar f y obtener la EDP que veri…ca u: u

@u =f @x

xy u

yu

@u xy @ xy xy = f0 = f0 @y u @y u u @u @u Dividiendo entre y simpli…cando se llega a @x @y

xu

0

xy u

@ xy @x u

xux

= f0

yuy = 0:

Ejercicio 3.3 Obtener soluciones de la ecuación (x + y)ux + (u 42

xyux u2

x)uy = y + u:

xyuy u2

:

Solución El sistema característico es dy =u d

dx = x + y; d

du = y + u: d

x;

Sumando las dos primeras ecuaciones se obtiene dx dy + = y + u; d d e igualando éste resultado con la tercera se obtiene du dy du + = ; d d d luego d (x + y d

u) = 0;

y así u=x+y+c es solución de la ecuación. Ejercicio 3.4 Mostrar que la solución de ecuación no lineal u x + uy = u 2 que pasa a través de la curva inicial x = t;

y=

t;

u=t

se vuelve in…nita a lo largo de la hipérbola x2

y 2 = 4:

Solución El sistema característico es dx = 1; d

dy = 1; d

du = u2 ; d

y la curva dato ya está parametrizada. La solución del problema característico es x=

+ t;

y=

t;

de donde u (x; y) =

4 43

1 (x2

u=

y2)

t 1 :

t

;

Ejercicio 3.5 Considerar la ecuación u)ux + (y 2

(xy

1)uy = yu

x

y las curvas dato: a. y = 0;

x2

b. x2 + y 2 = 1;

u2 = 1 u=0

Resolver el problema de Cauchy para cada dato. Solución. El sistema característico es dx = xy d

u;

dy = y2 d

1;

du = yu d

s2

1);

x;

la parametrización del dato en el caso a. es p

(s) = (s; 0; y en el caso b,

p

(s) = (s;

1

s2 ; 0):

a. De la segunda ecuación del sistema característico, se obtiene ln Si

y 1 = 2 + c; y 2 ( 1; 1) : y+1

= 0, entonces y = 0 y así c = 0, luego y 1 =2 : y+1

ln Como y 2 ( 1; 1), se tiene

ln

1 y =2 ; y+1

de donde

1 e2 : 1 + e2 De la primera y la tercera ecuación del sistema característico se obtiene y=

x

dx d

u

du = y(x2 d 44

u2 );

lo cual equivale a 1 d 2 (x 2d

u2 ) = y(x2

u2 );

0

(x2 x2

u2 ) = 2y; u2

(x2 x2

u2 ) 1 e2 = 2 : u2 1 + e2

0

Integrando se llega a ln x

Como 2 = ln

2

u

e2 = ln c ; (1 + e2 )2

2

c > 0:

1 y ; resulta y+1

ln x

2

u

2

luego,

2

1 y 6 y+1 6 = ln 6c 4 1 y 1+ y+1 x2

3

7 hc 7 (1 2 7 = ln 4 5

c u2 = (1 4

y 2 ):

Si y = 0; se deduce que c=4 y

x2

u2 = 1

Se escoge (x2

u2 ) = 1

y2;

es decir, u2 = x 2

y 2 + 1;

que es la solución que satisface el dato inicial. b. En la parte a. del problema se obtuvo que u dada por x2

u2 = 4c(1

soluciona la EDP . Si u = 0; también c = x2

1 y 4

u2 = 1 45

y2)

y2:

y2:

i y ) ; 2

Se escoge x2

u2 = 1

y2;

es decir u2 = x 2 + y 2

1;

que es la solución que satisface la condición inicial. Ejercicio 3.6 Considere la ecuación uux

uy = 0:

a. Hallar las curvas características. b. Determinar la solución que pasa por la curva y = 0;

u = x2

1

y dibujarla. u(x; 0); u(x; 1=2); u(x; 1); u(x; 2); u(x; 3): Solución a. El sistema característico de la ecuación es dx = u; d

dy = d

1;

du = 0: d

Las curvas características son las grá…cas en R3 de las soluciones del sistema característico. De la tercera ecuación se obtiene u = c1 : La solución de la segunda ecuación es y=

+ c.

Reemplazando a u en la primera ecuación se llega a x = c1 + c: b. La parametrización del dato es (s) = (s; 0; s2

46

1):

Para

= 0; se obtiene de la parte a. y del dato (s) que u = s2

Como y =

1;

y=

;

x = (s2

1) + s:

; entonces x = (1

s2 )y + s:

Resolviendo la ecuación para s de obtiene p 1 1 4y(x s= 2y

y)

;

y reemplazando en u = s2

1; resulta p 1 1 4y(x u= 2y 2

y)

2xy

:

Si se de…ne u(x; 0) = l m u(x; y); y!0

la solución del problema con dato inicial y = 0; es u=

1

p

1

u = x2

4y(x 2y 2

1

y)

2xy

;

ya que aplicando dos veces la regla de L’Hopital, resulta p 1 1 4y(x y) 2xy u(x; 0) = l m = x2 2 y!0 2y

1:

En la página siguiente se muestran las grá…cas de la super…cie solución u (x; y) y las curvas pedidas en el literal b. de este ejercicio.

47

Super…cie u (x; y) =

1

p

1

4y(x 2y 2

y)

2xy

:

La grá…ca siguiente muestra las curvas pedidas en el literalpb, las cuales están con1 1 4y(x y) 2xy tenidas en la super…cie correspondiente a u (x; y) = : 2y 2

Grá…cas de u(x; 0); u(x; 1=2); u(x; 1); u(x; 2); u(x; 3): 48

Ejercicio 3.7 Sea el sistema diferencial x0 (t) = f (x(t); y(t); u(t)); y 0 (t) = g(x(t); y(t); u(t)); u0 (t) = h(x(t); y(t); u(t)):

(3.1)

Se llama integral primera del sistema (3.1) a una función W (x; y; u) 2 C 1 tal que es constante a la largo de las trayectorias de (3.1). ¿Qué ecuación en derivadas veri…ca la integral primera W ? Interpretar el resultado. Solución Que W sea constante a lo largo de las trayectorias de (3.1) signi…ca que la derivada de W en la dirección del vector v = (x0 ; y 0 ; u0 ) es cero, es decir, Dv W (x; y; u) = rW: (f; g; h) = 0; f

@W @W @W +g +h = 0: @x @y @u

Obsérvese que 0 = Dv W (x; y; u) @W @W @W +g +h @x @y @u @W 0 @W 0 @W 0 = x + y + u @x @y @u d = W (x; y; u) : dt De lo anterior se deduce que el campo v = (x0 ; y 0 ; u0 ) es tangente a las super…cies de nivel de W; es decir, las curvas integrales del campo vectorial v están contenidas en las super…cies de nivel de W: =f

Ejercicio 3.8 Dos super…cies se dicen ortogonales, si son ortogonales sus planos tangentes en los puntos en que se cortan. a) Probar que para que la grá…ca de la función u = (x; y) sea una super…cie ortogonal a la familia uniparamétrica de super…cies de…nida implícitamente por H(x; y; u; ) = 0, es necesario y su…ciente que veri…que la ecuación Hx

x

+ Hy

y

= Fu :

b) Hallar las super…cies ortogonales a la familia de…nida por x2 + y 2 = 2 u. 49

Solución a) Que dos planos sean ortogonales equivale a que sus vectores normales sean ortogonales. Las ecuaciones u = 0 y H(x; y; u; ) = 0;

G (x; y; u) = (x; y)

son super…cies de nivel, luego los vectores rG (x; y; u) =

x;

y;

1

y rH (x; y; u) = (Hx ; Hy ; Hu )

son ortogonales a las super…cies de…nidas por G y H, respectivamente. Si las super…cies son ortogonales entonces x;

Hx

y;

1 x + Hy

(Hx ; Hy ; Hu ) = 0; y = Hu :

Inversamente, cada solución u = (x; y) de la ecuación Hx ux + Hy uy = Hu es ortogonal la familia de super…cies generada por la ecuación H(x; y; u; ) = 0; puesto que Hx x + Hy y = Hu equivale a x ; y ; 1 (Hx ; Hy ; Hu ) = 0: b) Sea H(x; y; u; ) = x2 + y 2 2 u = 0: En la parte a) del ejercicio se mostró que para encontrar super…cies ortogonales a la familia de super…cies de…nida por H se debe resolver la ecuación Hx u x + Hy uy = Hu ; 2xux + 2yuy = 2 : Del sistema característico se tiene 8 dx > > = f1 (x1 ; x2 ; u) = Hx > > dt > > < dy = f2 (x1 ; x2 ; u) = Hy > dt > > > > > : du = f (x1 ; x2 ; u) = Hu ; dt

luego

dx dy du = = Hx Hy Hu dy du dx = = : 2x 2y 2

50

Entonces

dx dy du = = ; x y dx + dy du = ; x+y du d (x + y) = ; x+y u (x; y) =

ln (x + y) + C;

y así las super…cies ortogonales a x2 + y 2 = 2 u son de la forma u (x; y) = ln (x + y) + C: Ejercicio 3.9 (Teorema de Euler) Una función u(x1 ; x2 ) se dice homogénea de grado m > 0 si u( x1 ; x2 ) = m u(x1 ; x2 ). Pruébese que la condición necesaria y su…ciente para que u sea homogénea de grado m es que veri…que la ecuación x1 ux1 + x2 ux2 = mu: Solución Condición necesaria. Sea u( x1 ; x2 ) = m u(x1 ; x2 ) y = x1 ; u( ; ) = m u(x1 ; x2 ); y derivando con respecto a se obtiene

Haciendo

= x2 : Entonces

@u( ; ) @ @u( ; ) @ @u = + = m m 1 u(x1 ; x2 ) @ @ @ @ @ @u( ; ) @u( ; ) x1 + x2 = m m 1 u(x1 ; x2 ): @ @ = 1 se tiene = x1 ; = x2 ; y así x1 ux1 + x2 ux2 = mu:

Condición su…ciente. Supóngase que una función u(x1 ; x2 ) satisface al ecuación x1 ux1 + x2 ux2 = mu; entonces haciendo ( ) = u ( x 1 ; x2 ) y derivando con respecto a 0

se obtiene

@u @u ( x 1 ; x2 ) + x 2 ( x 1 ; x2 ) @x1 @x1 1 @u @u = x1 ( x 1 ; x2 ) + x 2 ( x 1 ; x2 ) @x1 @x1 m m = u ( x 1 ; x2 ) = ( );

( ) = x1

51

de donde

0

( ) m = ; ( )

ln j ( )j = ln (C1 ( )= Tomando

n

n

);

C:

= 1 resulta (1) = C; ( ) = (1) n ; u ( x1 ; x2 ) = n u (x1 ; x2 ) ;

ya que

(1) = u (x1 ; x2 ) :

Ejercicio 3.10 Considerar la ecuación cuasilineal (x2 + 1)ux

xyuy =

u x

y la curva dato x = 1;

u = y:

a. Comprobar si se cumple la condición de transversalidad. b. En el caso en que se cumpla, resolver el problema de Cauchy. Solución. Este es el ejercicio que se utilizó en el ejemplo 2.4. a. Las funciones coe…cientes son f1 (x; y; u) = x2 + 1;

f2 (x; y; u) =

xy;

f (x; y; u) =

y la curva dato parametrizada (s) = (1; s; s): La condición de transversalidad consiste en que 0 f1 [ 1 (s); 2 (s); (s)] det @ [f2 ( 1 (s); 2 (s); (s)] Para este problema se tiene

det

2 0 s 1 52

!

= 2:

0 1 (s) 0 2 (s)

1

A 6= 0:

u ; x

b. El sistema característico es dx = x2 + 1; d

dy = d

du u = : d x

xy;

De la primera ecuación se obtiene arctan x = + c: Si = 0, entonces arctan 1 = c; y así arctan x =

+

4

;

ó también x = tan

+

: 4 Reemplazando a x en la segunda ecuación se obtiene 1 dy = y

tan

+

jyj = c cos

+

d ;

4

cuya solución es

Si

c = 0 entonces jsj = p y así 2 p jyj = 2 jsj cos

:

4

+

:

4

Reemplazando a x en la tercera ecuación se obtiene d du = u tan +

; 4

cuya solución es juj = c sin

Si

+

:

4

c = 0 entonces jsj = p y así 2

juj =

p

2 jsj sin( +

4

) :

De las expresiones correspondientes a juj ; jyj y x se obtienen juj =

jyj cos

+

sin

+

4

= jyj tan

+

4

4

Se escoge u = xy, porque es la solución que satisface el dato. 53

= jxyj :

Ejercicio 3.11 Considerar la ecuación cuasilineal xux + yuy = 2(x2 + y 2 )u; y la curva dato x = 1 y u = e: a. Comprobar si se cumple la condición de transversalidad. b. En el caso que se cumpla, resolver el problema de Cauchy. Solución a. La parametrización de la curva dato es (s) = (1; s; e): La condición de transversalidad, se cumple porque 0 1 0 f1 ( 1 (s); 2 (s); (s)) (s) 1 A = det det @ 0 (s) f2 ( 1 (s); 2 (s); (s)) 2

1 0 s 1

donde f1 (x; y; u) = x; f2 (x; y; u) = y:

b. El sistema característico es dx = x; d

dy = y; d

du = 2(x2 + y 2 )u: d

Las soluciones de las dos primeras ecuaciones con el dato (s) = (1; s; e); son jxj = e

y

jyj = jsj e :

Para solucionar la tercera ecuación obsérvese que x2 + y 2 = e2 (1 + s2 ); luego du = 2e2 (1 + s2 ); u cuya solución es ln juj = e2 (1 + s2 ) + c: 54

!

= 1;

Por el dato inicial resulta ln juj = e2 (1 + s2 ) Como e2 = x2

y s2 =

s2 : y2 ; x2

se llega a y2 : x2 Entonces la solución del problema de Cauchy es ln juj = x2 + y 2

u = e(x

2 +y 2

y 2 =x2 )

;

la cual satisface el dato inicial. Ejercicio 3.12 a. Solucionar el problema vt + cvx = f (x; t);

v(x; 0) = F (x):

b. Aplicar el resultado anterior al caso f (x; t) = xt;

F (x) = sin x:

Solución. a. El sistema característico es dx = c; d

dt = 1; d

dv = f (x; t); d

con dato inicial (s) = (s; 0; F (s)): De las primeras dos ecuaciones resulta x=c +s y t= ; entonces s=x

55

ct:

La tercera ecuación queda dv = f (c + s; ); d luego v=

Z

f (cw + s; w)dw + c:

0

Cuando

= 0; entonces v = F (s) y así Z v= f (cw + s; w)dw + F (s): 0

Reemplazando a s y

en términos de x y t resulta como solución la función Z t v(x; t) = f (cw + x ct; w)dw + F (x ct): 0

Si se desea probar que ésta última expresión satisface la ecuación, obsérvese que Z t @v @ = f (cw + x ct; w)dw + F 0 (x ct) @x @x 0 Z t @f (z; w)dw + F 0 (x ct); donde z = cw + x ct: = 0 @z @v se utiliza la regla de Leibniz, con lo cual resulta @t Z t @ @v = f (cw + x ct; w)dw + f (ct + x ct; t) cF 0 (x @t @t 0 Z t @f c (z; w)dw + f (x; t) cF 0 (x ct): = @z 0

Para hallar

b. Si f (x; t) = xt y F (x) = sin x; entonces Z t v(x; t) = (cw + x

ct)wdw + sin(x

0

t2 = (3x 6

ct) + sin(x

ct):

Ejercicio 3.13 Resolver el problema tux + xut = cu;

56

u(x; 0) = f (x):

ct)

ct)

Solución El problema característico es dt du dx = t; = x; = cu; d d d De las primeras dos ecuaciones se obtiene

(s) = (s; 0; f (s)):

d d(x + t) (x + t) = x + t; luego =d : d x+t Entonces ln jx + tj =

+ c;

y por el dato inicial c = ln jsj; quedando ln jx + tj =

+ ln jsj ó jx + tj = jsje :

También de las dos primeras ecuaciones se obtiene dx t = ; dt x cuya solución es x2 2

t2 = c; 2

x2

t2 = s2 :

y por el dato inicial resulta La solución de la tercera ecuación es juj = jf (s)j ec : De las igualdades y x2

jx + tj = jsje se obtiene

t2 = s2 ;

x+t 0; x t t han de tener el mismo signo. Si se toman positivos entonces, e2 =

es decir, x + t y x jsj = Escogiendo a s

jx + tj x+t =p e (x + t) = (x

t)

=

p

p x + t: x

i

x+t x t

t=

0, se llega a la solución h

u(x; t) = f (x lo cual satisface el dato inicial para x

2

2

t)

0: 57

1 2

c 2

p

x2

t2 :

Ejercicio 3.14 a. Probar que una solución general1 de la ecuación f (x; y; z)

@z @z + g(x; y; z) = h(x; y; z); @x @y

(3.2)

se puede obtener de la forma (3.3)

'(u(x; y; z); v(x; y; z)) = 0; donde ' 2C1 es una función arbitraria y

(3.4)

u(x; y; z) = k1 ; v(x; y; z) = k2 ; constituyen una solución del sistema de ecuaciones ordinarias dy dz dx = = : f g h

(3.5)

b. Utilizar el resultado en a. para hallar una solución general de xzx + yzy = 3z: Solución a. Diferenciando la primera ecuación en (3.4) resulta (3.6)

ux dx + uy dy + uz dz = 0: De (3.5) se obtiene

h g dx; dz = dx: (3.7) f f Como u es solución de (3.5), entonces (3.6) y (3.7) son compatibles y sustituyendo (3.7) en (3.6) se obtiene f ux + guy + huz = 0: (3.8) dy =

De forma análoga se llega a (3.9)

f vx + gvy + hvz = 0: Sumando la ecuación (3.8) multiplicada por ux ; se obtiene g

(ux vy

uy v x )

h

(uz vx

ux vz ) = g

1

vx ; con la (3.9) multiplicanda por

ux uy vx vy

h

uz ux vz vx

= 0;

Una solución general de una EDP de primer orden F (x; y; z; zx ; zy ) = 0 es la que depende de una función arbitraria, [5].

58

luego h g = ; @(u; v)=@(z; x) @(u; v)=@(x; y) donde

@(u; v) @(z; x)

denota el Jacobiano de (u; v) con respecto a z y x: De manera análoga se obtiene f h = ; @(u; v)=@(y; z) @(u; v)=@(x; y) y así f g h = = : @(u; v)=@(y; z) @(u; v)=@(z; x) @(u; v)=@(x; y)

(3.10)

Ahora se procede a diferenciar (3.3), pero antes obsérvese que en (3.4) u(x; y; z) = U (x; y) = k1

y v(x; y; z) = V (x; y) = k2 ;

ya que z = z(x; y); luego @u @u @z @U = + ; @x @x @z @x

@V @v @v @z = + : @x @x @z @x

Las derivadas parciales de ' son @' @' @U @' @V @' @' = + = [ux + uz zx ] + [vx + vz zx ] = 0; @x @U @x @V @x @u @v

(3.11)

@' @' @U @' @V @' @' = + = [uy + uz zy ] + [vy + vz zy ] = 0: @y @U @y @V @y @u @v

(3.12)

y

De (3.11) y (3.12) resulta ux + uz zx vx + vz zx = ; uy + uz zy vy + vz zy de donde

@(u; v) @(u; v) @(u; v) zx + zy = ; @(y; z) @(z; x) @(x; y)

(3.13)

y de (3.10) se tiene @(u; v) f @(u; v) = ; @(y; z) h @(x; y)

59

@(u; v) g @(u; v) = : @(z; x) h @(x; y)

(3.14)

Sustituyendo en (3.13) de obtiene f @(u; v) g @(u; v) @(u; v) zx + zy = ; h @(x; y) h @(x; y) @(x; y) de donde f (x; y; z)zx + g(x; y; z)zy = h(x; y; z): Se concluye que (3.3) es solución de (3.2), si (3.4) es solución de (3.5). b. Del sistema característico se obtiene dx dy dz = = ; x y 3z de las igualdades dy dx = x y resulta

x = k1 y

respectivamente. Haciendo u(x; y; z) =

x = k1 ; y

dx dz = x 3z

y

y

z = k2 ; x3

v(x; y; z) =

z = k2 ; x3

se obtiene una solución general para EDP de la forma '

x z ; y x3

= 0;

' 2 C 1:

Si se hacen otras combinaciones aparecen otras soluciones generales, por ejemplo, tomando dx dy dy dz = y = ; x y y 3z se llega a otra solución general de la forma '

x z ; y y3

= 0:

Ejercicio 3.15 Analizar los siguientes problemas de Cauchy. a. ux + uy = 0; u (x; x) = k b. ux + uy = u; u (x; x) = 1 c. ux + uy = x; u (x; x) = 1

60

Solución Considérese el problema general aux + buy = cu + d;

con dato u (x; h (x)) = f (x) ;

(3.15)

donde a; b; c; d son funciones de x; y; y el dato u (x; h (x)) = f (x) corresponde a la solución y = h (x) del sistema dx = a (x; y) ; d

dy = b (x; y) ; d

es decir, del sistema formado por las dos primeras ecuaciones de los sistemas característicos, (esta función y = h (x) se conoce con el nombre de característica base, y obsérvese que dy=dx = b=a). Lo que se está haciendo es tomar como dato a una curva característica en el espacio (x; y; u) de…nida sobre la característica base y = h (x) ; es decir sobre la curva y = h (x) ; u (x; h (x)) = f (x) : Derivando u a lo largo de la característica base se tiene d @u @u 0 @u @u b u (x; h (x)) = + h (x) = + = f 0 (x) ; dx @x @y @x @y a luego aux + buy = af 0 (x) = cf + d: Por tanto, para que exista solución, la función f debe satisfacer la condición de compatibilidad af 0 (x) = cf + d; (3.16) sobre la curva característica base y = h (x) : Enseguida se analizan los tres problemas propuestos. a. Utilizando el método de las características se tiene como solución del problema característico a x = + s; y = + s; u = k; ya que la parametrización del dato es (s; s; k) ; 61

y así x = y;

y u (x; y) = k;

pero esto corresponde solo a una curva característica y no a una super…cie, entonces el método no suministra ninguna solución. Obsérvese que la curva dato corresponde a una curva característica y que además la función f = k cumple la condición de compatibilidad (3.16). Esto signi…ca que existe la condición necesaria para intentar hallar soluciones al problema. Haciendo el cambio de variables x= + ;

y=

;

se tiene ux = U + U ;

uy = U

U ;

y la ecuación diferencial se transforma en 2U = 0; entonces u (x; y) = U ( ; ) = f ( ) = f (x

y) ;

donde f ha de tener primeras derivadas continuas. Para que se satisfaga el dato se debe cumplir que u (x; x) = f (x

x) = f (0) = k:

En conclusión el problema tiene in…nitas soluciones y son de la forma u = f (x y) con f 2 C 1 y f (0) = k: b. Si se intenta usar el método de las características se llega a x=

+ s;

y=

+ s; u = e ;

de donde x = y;

y u (x; y) = ex s :

Esta función satisface la ecuación diferencial pero no al dato inicial. Además esta función corresponde a una curva característica y no a una super…cie. Con respecto a la condición de compatibilidad (3.16), esta no se cumple y así se concluye que el problema de Cauchy no tiene solución.

62

c. La solución del problema característico es 2

x=

+ s;

y=

+ s;

u=

2

+ s + 1:

El análisis es similar al fectuado en el literal b. El problema no tiene solución porque el dato corresponde a una curva característica y la condición (3.16) no se cumple. Nota 3.16 La no unicidad o la no existencia de la solución para los problemas de este ejercicio es consecuencia del no cumplimiento de la condición de transversalidad. En los tres casos ! 0 1 1 f1 (s 1 = = 0; det 0 1 1 f2 2 (s) y se dice que el problema de Cauchy está mal planteado.

63

Conclusiones 1. La interpretación geométrica de una ecuación cuasilineal de primer orden hace intuir un método para encontrar sus soluciones y en particular para solucionar un problema de cauchy. 2. El método que induce la interpretación geométrica se llama método de las características, este reduce el problema de EDP a uno de EDO: 3. Para hallar la solución de las EDP cuasilineales de primer orden usando el método de las características se comienza solucionando problema característico. Si la curva dato no coincide con alguna de las curvas características (condición de tranversalidad), queda garantizada la existencia y unicidad de la solución local para el problema de Cauhy. 4. El Teorema sobre la Existencia y Unicidad de la solución, en el sentido clásico, del problema de Cauchy es de carácter local En general para hallar una solución global se debe extender el concepto al de solución débil. 5. El modelado de problemas físicos a través de ecuaciones diferenciales es un medio para su comprensión y análisis. Por ejemplo, la expresión diferencial de la conservación de masa o la ecuación de continuidad; y las ecuaciones de Euler que describen el movimiento de ‡uidos no viscosos.

64

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