´ INVESTIGACION

REVISTA MEXICANA DE F´ISICA 53 (4) 270–280

AGOSTO 2007

Ecuaciones de fuerza de Lorentz como ecuaciones de Heisenberg para un sistema cu´antico en el espacio euclidiano 4D A.R. Rodr´ıguez-Dom´ınguez Instituto de F´ısica-UASLP, Alvaro Obreg´on 64, 78000 San Luis Potos´ı , M´exico, e-mail: [email protected] Recibido el 14 de noviembre de 2006; aceptado el 11 de junio de 2007 En uno de sus trabajos anteriores, las ecuaciones din´amicas relativistas de una part´ıcula cargada bajo la acci´on de campos electromagn´eticos fueron formuladas en t´erminos de momentos tanto externos como internos por R. Yamaleev [1]. Las ecuaciones de evolucio´ n de los momentos externos, esto es, las ecuaciones de fuerza de Lorentz, fueron derivadas de las ecuaciones de evoluci´on de los momentos internos. El mapeo entre las observables de ambos momentos externos e internos est´a relacionado mediante la formulaci´on polinomial cuadr´atica de Vi`ete, que es el polinomio caracter´ıstico de la din´amica relativista. En este trabajo mostramos que el sistema de ecuaciones din´amicas, construidas en la Ref. 1, puede ser resuelto en el esquema de Heisenberg para un sistema cu´antico de cuatro dimensiones. En este esquema las ecuaciones de los momentos internos juegan el papel de ecuaciones de evoluci´on para un vector de estado, mientras que los momentos externos obedecen la ecuaci´on de Heisenberg para un operador de evoluci´on. Las soluciones de la ecuaci´on de fuerza de Lorentz para el movimiento, dentro de un campo electromagn´etico constante, se presentan a trav´es de las funciones pentagonom´etricas. Descriptores: Ecuaciones de Lorentz; de Hisenberg; de evoluci´on; momentos internos y externos; formulaci´on cuaterni´onica; espinorial; funciones pentagonom´etricas. In an earlier work, the dynamic equations for a relativistic charged particle under the action of electromagnetic fields were formulated by R. Yamaleev [1] in terms of external, as well as internal momenta. Evolution equations for external momenta, the Lorentz-force equations, were derived from the evolution equations for internal momenta. The mapping between the observables of external and internal momenta are related by Vi`ete formulae for a quadratic polynomial, the characteristic polynomial of the relativistic dynamics. In this paper we show that the system of dynamic equations, constructed in Ref. 1, can be cast into the Heisenberg scheme for a four-dimensional quantum system. Within this scheme the equations in terms of internal momenta play the role of evolution equations for a state vector, whereas the external momenta obey the Heisenberg equation for an operator evolution. The solutions of the Lorentz-force equation for the motion inside constant electromagnetic fields are presented via pentagonometric functions. Keywords: Lorentz; Hisenberg and Evolution Equations; internal and external momenta; cuaternionic and espinorial formulations; pentagonometric functions. PACS: 03.30.+p; 03.65.Pm; 03.65.Sq; 03.65.-w

1. Introducci´on Recientemente R.M. Yamaleev ha construido una nueva formulaci´on de la din´amica relativista. En este primer paso, se inici´o esta formulaci´on con el prop´osito de crear un an´alogo de la mec´anica cl´asica empleando el formalismo de espacio fase de Nambu. Posteriormente result´o concluyente el hecho que esta mec´anica cl´asica no es otra que la mec´anica relativista. De esta manera se puede construir una jerarqu´ıa de sistemas din´amicos, disponiendo en un primer nivel la mec´anica newtoniana, en un segundo nivel la mec´anica relativista y, en un tercer nivel, se encontrar´ıa una din´amica relativista generalizada basada en la teor´ıa de las funciones el´ıpticas[1-9]. La nueva formulaci´on muestra una estructura compuesta de la din´amica que describe el movimiento de una part´ıcula relativista. Se mostr´o que la din´amica completa de la part´ıcula relativista dentro de un campo electromagn´etico puede ser formulada tanto en t´erminos de momentos externos como internos. Las ecuaciones de evoluci´on para los momentos externos, que son las ecuaciones de Lorentz, son derivables de las correspondientes ecuaciones de evoluci´on para los momentos internos. El mapeo entre ambos tipos de momentos

se obtiene por medio de las f´ormulas de Vi`ete para un polinomio cuadr´atico, que es el polinomio caracter´ıstico de la din´amica relativista. En el presente trabajo exploramos nuevas posibilidades sobre las generalizaciones propuestas por Yamaleev. Mostramos que esta teor´ıa permite formular el sistema de ecuaciones din´amicas como ecuaciones de Heisenberg para un sistema cu´antico cuadridimensional. Dentro de este esquema, las ecuaciones para los momentos internos juegan el papel de ecuaciones de evoluci´on para un vector de estado, mientras que los momentos externos obedecen la ecuaci´on de Heisenberg para el operador de evoluci´on. Para dar una idea principal sobre los principios de la nueva din´amica, empezaremos con un caso unidimensional, el que corresponde a la proyecci´on de las ecuaciones de Lorentz en direcci´on del movimiento (Sec. 2). Siguiendo los respectivos desarrollos mencionados demostramos que las ecuaciones relativistas, expresadas en t´erminos del tiempo propio, se descomponen en t´erminos de dos ecuaciones newtonianas con diferentes par´ametros de evoluci´on. Conversamente, la ecuaci´on relativista puede considerarse como compuesta por dos ecuaciones de Newton.

271

ECUACIONES DE FUERZA DE LORENTZ COMO ECUACIONES DE HEISENBERG PARA. . .

A fin de desarrollar la teor´ıa completa es necesario extender las componentes del espacio-tiempo al espacio euclidiano cuadridimensional. Una ventaja de este espacio euclidiano cuadridimensional es que nos permite el uso de t´ecnicas de cuaterniones. Las ecuaciones b´asicas de la teor´ıa son formuladas primeramente para los momentos internos, de las que se siguen las ecuaciones para la fuerza de Lorentz como una consecuencia (Sec. 3). En la Sec. 4, las ecuaciones de evoluci´on se presentan en la forma de ecuaciones de Heisenberg en una mec´anica cu´antica cuadridimensional. En la Sec. 5 se establece la correspondencia con la representaci´on espinorial. En la Sec. 6 se obtiene la soluci´on de la ecuaci´on de evoluci´on para el movimiento dentro de un campo electromagn´etico constante, usando el conjunto de funciones pentagonom´etricas.

2.

Grados de libertad internos de la din´amica relativista

Consideremos el movimiento de una part´ıcula relativista con ~ B}. ~ carga e bajo la acci´on del campo electromagn´etico {E, Las ecuaciones relativistas del movimiento en t´erminos del tiempo propio τ = {xµ xµ }1/2 /c est´an dadas por las siguientes ecuaciones de la fuerza de Lorentz: dP~ e ~ dP0 e ~ ~ ~ = (E P0 + [P~ × B]), = (E · P ), (1) dτ mc dτ mc d~r P~ dt P0 = , = . (2) dτ m dτ mc Estas ecuaciones implican la siguiente integral del movimiento M : P02 − P 2 = M 2 c2 ,

(3)

la cual en general vale la pena distinguir del par´ametro de masa m de las ecuaciones de movimiento. En el caso de la din´amica de part´ıculas con masa M 6= 0, ambos valores coinciden: m = M ; en cambio, para part´ıculas sin masa M = 0, se rompe esta conexi´on. Para una discusi´on m´as amplia ver la Ref. 17. La forma covariante de las ecuaciones de Lorentz en notaci´on tensorial es obviamente d e pµ = Fµν pν . dτ mc Para nuestro prop´osito, sin embargo, necesitamos las ecuaciones anteriores, escritas expl´ıcitamente en sus componentes. Estas ecuaciones dejan invariante la norma del cuadrimomento. Esta propiedad de la ecuaci´on de la fuerza de Lorentz, formulada de manera tensorial, resulta obvia debido al tensor antisim´etrico Fµν presente en el miembro derecho. Es importante mostrar la analog´ıa entre la fuerza tridi~ y la fuerza de Minkowski [7] mensional del giroscopio G ~ no trabaja a lo largo de la cuadridimensional. La fuerza G ~ trayectoria dl, mientras que la fuerza de Minkowski no trabaja a lo largo de la trayectoria de la l´ınea de mundo dlµ .

~ no intercambia energ´ıa cin´etica, mientras que la La fuerza G fuerza de Minkowski no contribuye al cambio de masa (3). En seguida exploraremos la ecuaci´on de fuerza de Lorentz proyectada en la direcci´on del movimiento. En este caso, las Ecs. (1) se reducen a dP e ~ dP0 e ~ P~ = (E · ~n) P0 , = (E · ~n)P, ~n = . (4) dτ mc dτ mc P En la din´amica relativista, el as´ı llamado cascar´on de masa (3) juega un papel preponderante. Esta relaci´on podemos escribirla como sigue: c2 P 2 = c2 P02 − M 2 c4 = (cP0 − M c2 )(cP0 + M c2 ). (5) En el l´ımite no relativista cP0 − M c2 →

p2 , 2m

esto es, la expresi´on en el primer par´entesis transforma en la energ´ıa cin´etica de una part´ıcula newtoniana. Esto nos inspira la idea de identificar la expresi´on en el segundo par´entesis tambi´en como una energ´ıa cin´etica. Introducimos as´ı dos energ´ıas cin´eticas: Ep =

p2 =(cP0 − M c2 ), 2m

Eq =

q2 =(cP0 + M c2 ). 2µ

(6)

Para estas nuevas cantidades introducimos las siguientes unidades dim[p] = [dimension of momentum], dim[q] = dim[µ] = [dimension of energy]. Por tanto, la masa m de la part´ıcula p es la misma que la masa de la part´ıcula relativista. Se sigue de esta definici´on que, la masa propia de la part´ıcula relativista y la masa de la part´ıcula newtoniana son las mismas. Hay que notar que podr´ıamos manejar otra posibilidad, la de asignar a las part´ıculas p, q las masas propias mp , mq . En este caso, la masa de la part´ıcula relativista habr´ıa quedado definida como √ 2m = mp mq [1]. Las definiciones (6) y (5) conducen al siguiente mapeo: µ ¶ 1 q2 p2 p2 q 2 , cP0 = + , c2 P 2 = 2m 2µ 2 2µ 2m µ ¶ 1 q2 p2 M c2 = − , (7) 2 2µ 2m el cual, desde un punto de vista formal, no es otra cosa que el mapeo de Cartan de espinores de dos componentes a las respectivas coordenadas de un vector is´otropo tridimensional dado por (iP0 , P, M c). El mapeo inverso est´a dado por (6). Nuestro prop´osito es el de obtener las ecuaciones de evoluci´on para los momentos p y q, los que denominaremos como momentos internos de la part´ıcula relativista. Las ecuaciones de evoluci´on para los cuadrados p2 y q 2 se siguen de

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la ecuaci´on de P0 . De hecho, al tomar en cuenta que M c es una constante del movimiento, de (6) obtenemos 2

κ=

2

d p e ~ = (~n · E)P, dτ 2m mc

d q e ~ = (~n · E)P. dτ 2µ mc

(8)

Estas ecuaciones nos permiten derivar las ecuaciones para el m´odulo de los momentos internos p y q. Al substituir la siguiente f´ormula para P , P = pq

1 , √ 2c mµ

en (8) y al igualar las expresiones de p y q, respectivamente. Finalmente arribamos al siguiente sistema de ecuaciones de evoluci´on: r dp e m ~ (a) = (~n · E) q , dτ 2mc µ r e dq µ ~ (b) = (~n · E) p , dτ 2mc m (c)

y

d~r pq 1 = ~n . √ dτ m 2c mµ

E − M c2 . E + M c2

Esta integral el´ıptica implica las soluciones de (2.4) para el potencial del oscilador en t´erminos de las funciones el´ıpticas de Jacobi [2]: r 2(E − M c2 ) x= sn(φ|κ), mω 2 p P = 2(E − M c2 ) cn(φ|κ) dn(φ|κ). N´otese que estas f´ormulas nos permiten tambi´en introducir las siguientes expresiones para los momentos internos: p = α1 cn(φ|κ), q = α2 dn(φ|κ). Al usar estas variables podemos arribar a las Ecs. (9). En el caso de un potencial con fronteras mon´otonamente crecientes, las soluciones est´an definidas por funciones de doble periodo, los periodos est´an dados por las siguientes integrales:

(9)

x(2) Z

mc dx , (Ep − V (x))(Eq − V (x))

p

T0 = 2

Con la primera integral

x(3)

q2 p2 − = 2M c. 2µ 2m

x(1) Z

mc dx , (Ep − V (x))(Eq − V (x))

p

T1 = 2

Inversamente, de estas ecuaciones podemos reproducir las Ecs. (4) usando (7). En el caso de un campo potencial estacionario, con

donde x(1), x(2), x(3), x(4) son soluciones de la ecuaci´on

~ = −∇V ~ (r), E

(Ep − V (x))(Eq − V (x)) = 0.

(10)

las ecuaciones de fuerza de Lorentz implican una nueva constante del movimiento, a saber, la energ´ıa de la part´ıcula relativista E = cP0 + V (r). Correspondientemente las Ecs. (9) implican dos constantes de movimiento, las que poseen la forma de una energ´ıa newtoniana Ep =

p2 q2 + V (r), Eq = + V (r). 2m 2µ

(11)

En el caso del potencial del oscilador arm´onico V (x) = mω 2 x2 /2, la soluci´on de (4) est´a dada por la integral el´ıptica y(φ) Z

y(φ0 )

con

dy

p

φ − φ0 =

(1 − y 2 )(1 − κy 2 ) r

φ = ω(τ − τ0 )

E + M c2 2mc2

x(2)

,

para el potencial del oscilador, las soluciones est´an dadas por las funciones el´ıpticas de Jacobi [2] r 2Ep x= sn(φ|κ), mω 2 p p = 2Ep mp cn(φ|κ), p q = 2Eq mq dn(φ|κ), donde

r

φ = Ω(τ − τ0 ),

Ω=ω

Eq 2mc2

y

κ=

Ep . Eq

En este caso, las f´ormulas para los per´ıodos est´an dadas por las integrales el´ıpticas T0 =

2 Ω

4 T1 = Ω

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Z1 p −1

dy (1 − y 2 )(1 − κy 2 )

Z1/κ p 1

,

dy (1 −

y 2 )(1

− κy 2 )

.

ECUACIONES DE FUERZA DE LORENTZ COMO ECUACIONES DE HEISENBERG PARA. . .

las energ´ıas cin´eticas q 2 /2µ, p2 /2m son eigenvalores del polinomio

Las Ecs. (9) pueden estructurarse como ecuaciones de Nambu, al definir como funciones de Hamilton-Nambu las siguientes Hp = Ep , Hq = Eq , c = 1, [1, 2]:

X 2 − 2cP0 X + c2 P 2 = 0,

dp ∂Hp ∂Hq ∂Hq ∂Hp = − , dτ ∂q ∂x ∂q ∂x

2. La proyecci´on de las ecuaciones de fuerza de Lorentz sobre el vector de momento nos permite la representaci´on para los momentos externos

dx ∂Hp ∂Hq ∂Hq ∂Hp = − . dτ ∂p ∂q ∂p ∂q El sistema de Ecs. (9) puede separarse en dos ecuaciones de Newton con diferentes par´ametros de evoluci´on [5]. Reemplacemos el par´ametro de evoluci´on τ por el p siguiente nuevo par´ametro de evoluci´on dtp = dτ (q/2mc) m/µ. Con respecto a este nuevo par´ametro de evoluci´on, las Ecs. (9) se transforman en las ecuaciones de Newton dr p = , dtp m

P = M c sinh(φ), P0 = M c cosh(φ), donde φ obedece la ecuaci´on dφ e ~ = (E · ~n). dτ mc

p2 + V (r). 2m

(13)

Esta representaci´on puede denominarse representaci´on polar.

Ahora, si reemplazamos en las Ecs. (9) el par´ametro p τ por el nuevo par´ametro de evoluci´on cdtq = dτ p/2mc µ/m. De esta manera arribamos a las otras ecuaciones de Newton, d ~ (r), q = −(~n · ∇)V d(ctq )

3. N´otese que q 2 /2µ ≥ p2 /2m. El caso q 2 /2µ = p2 /2m corresponde a la part´ıcula sin masa con M = 0.

dr q = , d(ctq ) µ

4. La velocidad con respecto al tiempo coordenado est´a definida como

con energ´ıa Eq =

v P = = tanh(φ), c P0

q2 + V (r). 2µ

Por supuesto, las Ecs. (12) y (13) no son del todo independientes, sino que ellas juntas describen el movimiento de la part´ıcula relativista [17]. En el l´ımite no relativista las Ecs. (12) se convierten naturalmente en las ecuaciones de Newton, mientras que las Ecs. (13) desaparecen. El presente ejercicio nos muestra que podemos definir la pareja {p, Ep } como el momento y la energ´ıa de la part´ıcula p, y la pareja {q, Eq } como el momento y la energ´ıa de la part´ıcula q respectivamente. Las ecuaciones din´amicas de la part´ıcula compleja, compuesta por las subpart´ıculas p y q se escriben con respecto a un tiempo u´ nico, el que en la mec´anica relativista recibe el nombre tiempo propio. En e´ sta terminolog´ıa las subpart´ıculas p y q significan part´ıculas no observables de una part´ıcula real observable, denominada por R. Yamaleev part´ıcula corporal. Como conclusi´on de esta secci´on hagamos las siguientes observaciones. 1. Las Ecs. (7) no son otra cosa que las formulas de Vi`ete de una ecuaci´on cuadr´atica. De hecho, es f´acil ver que

(15)

En esta representaci´on obtenemos las siguientes f´ormulas para p y q los momentos internos: µ ¶ √ p φ √ = 2M c sinh , 2 2m µ ¶ √ q φ √ = 2M c cosh . 2 2µ

(12)

y con ellas, la Ec. (2.9b) se convierte en la ley de conservaci´on de la energ´ıa. La energ´ıa de este sistema de ecuaciones es Ep =

(14)

que denominamos polinomio caracter´ıstico de la mec´anica relativista.

dq ∂Hp ∂Hq ∂Hq ∂Hp = − , dτ ∂x ∂p ∂x ∂p

dp ~ (r), = −(~n · ∇)V dtp

273

(16)

donde φ obedece la Ec. (15). N´otese que en la cinem´atica relativista, la variable φ es conocida como la rapidez, a la cual nunca antes se le hab´ıa encontrado una interpretaci´on f´ısica. La relaci´on entre la velocidad y los momentos internos se obtiene de las Ecs. (16) y (7) r 2ρ p µ v = , ρ= . (17) c (1 + ρ)2 q m

3.

Ecuaciones din´amicas del movimiento en el espacio euclidiano 4D, en base cuaterni´onica

En la secci´on anterior hemos considerado el mapeo entre los m´odulos de los momentos internos y externos de una part´ıcula relativista, considerando solamente las proyecciones de las ecuaciones en la direcci´on del movimiento. A continuaci´on, siguiendo los trabajos [6,8,9] construiremos ecuaciones

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din´amicas covariantes y buscaremos un mapeo pleno entre ambas formulaciones de la mec´anica relativista. Por cuestiones de facilidad introduzcamos la siguiente renormalizaci´on de los momentos internos y del par´ametro de evoluci´on: e p q p= √ , q= √ , s=τ . mc 2µ 2m

y al momento externo

Con ello, las Ecs. (7) toman una forma mas simple, tomando incluso c = 1:

Correspondientemente, el mapeo (18) expresado en la base cuaterni´onica queda definido como

P 2 =p2 q 2 ,

1 P0 = (q 2 + p2 ), 2

1 M = (q 2 − p2 ). 2

(18)

Considerando las simplificaciones mencionadas y de la Ec. (8) para el m´odulo al cuadrado de los momentos internos, tenemos d 2 ~ · P~ ) = d q 2 . p = (E ds ds

(19)

Es necesario imponer la condici´on de que el espacio de las variables internas {p, q} deba poseer tal estructura, a fin que la transici´on entre las ecuaciones de estas variables y las ecuaciones de (P0 , P ) sean satisfechas irrestrictamente. Puede mostrarse que esta condici´on se cumple solamente si las variables {p, q} constituyen un vector del espacio euclidiano 4D. Introduzcamos la pareja de vectores euclidianos {~ p, p4 ; ~q, q4 } tales que p2 = (~ p2 + p24 ),

q 2 = (~q2 + q42 ),

entonces, el mapeo (7) es generalizado al siguiente, con c = 1, 1 2 (~ p + p24 + ~q2 + q42 ), 2 P 2 = P42 + P~ 2 = (~ p2 + p24 )(~q2 + q42 ). P0 =

Una vez establecidas esta relaciones procedemos a introducir el a´ lgebra de cuaterniones. La base cuaterni´onica ~κ = (κ1 , κ2 , κ3 ) se define por las siguientes relaciones: κ2i = −1,

i = 1, 2, 3;

κ3 κ2 = −κ2 κ3 = κ1 ,

P = P4 + (~κ · P~ ) = pq.

Separando en componentes, la expresi´on anterior se transforma en P4 = p4 q4 − (~ p · ~q),

~ B = B4 + (~κ · B),

κ2 = iσ2 ,

κ3 = iσ3 .

De esta manera podemos definir los cuaterniones asociados a los momentos internos p = {p4 + (~κ · p~)},

~ E = E4 + (~κ · E).

Una vez introducidas estas definiciones podemos reescribir las Ecs. (19) como sigue d 1 ¯ d 1 ¯ ¯ ¯ (p¯ p) = (EP + PE), (q¯ q) = (PE + EP). ds 2 ds 2 Derivando con respecto al nuevo par´ametro de evoluci´on s, e igualando las expresiones asociadas a los cuaterniones p y q, respectivamente, arribamos a las ecuaciones d d 1 1 ¯ E, ¯. p= q q= Ep (22) ds 2 ds 2 En el caso de la din´amica de una part´ıcula dentro de un campo electromagn´etico, R.Yamaleev propone el conjunto de ecuaciones d 1 d 1 p = (¯ qE − pB), q = (E¯ p + Bq). (23) ds 2 ds 2 Estas ecuaciones deben quedar acopladas a las ecuaciones cuaterni´onicas de la velocidad d r = P = pq, r = r4 + (~κ · ~r). (24) dτ Los m´odulos al cuadrado de los momentos externos satisfacen la relaci´on m

P02 − P~ 2 − P42 = M 2 .

Incluso podemos tambi´en usar una representaci´on matricial; a saber, la base de las matrices de Pauli: {I, i~σ }, con la siguiente correspondencia: κ1 = iσ1 ,

P~ = p~q4 + p4 ~q − [~ p × ~q].

1 1 P0 = (p¯ p + q¯ q), M = (q¯ q − p¯ p), P=pq. (21) 2 2 A fin de poder formular todas las ecuaciones del movimiento en esta base cuaterni´onica, construiremos de igual forma los cuaterniones asociados al campo electromagn´etico, como ~ B}: ~ una generalizaci´on de trivectores {E,

κ2 κ1 = −κ1 κ2 = κ3 , κ1 κ3 = −κ3 κ1 = κ2 .

q = {q4 + (~κ · ~q)}

(20)

(25)

Las Ecs. (23) resultan en cierto sentido m´as fundamentales que las ecuaciones de la fuerza de Lorentz, porque de las primeras podemos derivar estas u´ ltimas. A partir de las Ecs. (23) podemos derivar las siguientes ecuaciones de evoluci´on para P, P0 y M : d P = (BP − PB + E P0 ) , ds ³ ´ d ~ · P~ ) + E4 P4 , P0 = B4 M + (E ds d M = ( B4 P0 ) . ds

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(26) (27) (28)

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ECUACIONES DE FUERZA DE LORENTZ COMO ECUACIONES DE HEISENBERG PARA. . .

Estas ecuaciones no son, por supuesto, las ecuaciones convencionales de la fuerza de Lorentz. Ello se debe a que hemos empleado las componentes indefinidas E4 , B4 del campo electromang´etico. A fin de regresar a las ecuaciones convencionales, debemos obviamente tomar E4 = 0, B4 = 0. Entonces, la Ec. (28) se convierte en la ley de la conservaci´on de la masa, la Ec. (27) se reduce a la segunda de las Ecs. (1). La parte escalar de la ecuaci´on cuaterni´onica (26) corresponde a d P4 = 0, ds

d~q ds dq4 ds d~ p ds dp4 ds

4.

que expresa el hecho que P4 es una constante del movimiento. Si escogemos P4 6= 0, entonces r4 es proporcional al tiempo propio. En cambio, si tomamos P4 = 0, en dicho caso r4 se convierte en una constante arbitraria. Por tanto, a fin de obtener una correspondencia con la din´amica relativista convencional, debemos considerar el movimiento dentro de un campo electromagn´etico normal con E4 = 0, B4 = 0, e igualmente tomar la constante de movimiento P4 = 0. Sustituyendo estos valores en las Ecs.(26)-(28) recuperamos con ello la forma convencional de las ecuaciones de fuerza de Lorentz dadas en (1), (2). Las Ecs. (26)-(28) implican que la masa propia y P4 no son m´as constantes del movimiento, sino m´as bien variables din´amicas. La cuarta componente del campo magn´etico B4 genera cambios en el cuadrado de la masa invariante de Lorentz. De la misma manera, la cuarta componente del campo el´ectrico E4 genera un cambio en P4 . Como fue se˜nalado por Land y Horwitz [14], tal cambio de masa requiere del fen´omeno de aniquilaci´on o creaci´on de pares. Luego que postulamos la existencia de estas componentes del campo electromagn´etico, es posible para el movimiento pasar por el cono de luz, dando lugar a una posible aniquilaci´on de pares. Stueckelberg [15] encontr´o que, aunque podr´ıa en principio ocurrir una creaci´on o aniquilaci´on cl´asica de pares en el marco de una teor´ıa manifiestamente covariante, tales procesos no son inducidos por los campos de Maxwell ordinarios. Cuando E4 , H4 no se anulan en el espacio 4D, entonces la formulaci´on cuaterni´onica de las ecuaciones de Maxwell queda dada por el siguiente sistema de ecuaciones: ´ ~ H − 1 ∂ E = j4 + (~κ · ~j), ∇4 − (~κ · ∇) c ∂t ³ ´ ~ E − 1 ∂ H = −ρ + (~κ · ρ ∇4 + (~κ · ∇) ~). c ∂t ³

Estas ecuaciones han sido consideradas por un buen n´umero de autores dentro de la formulaci´on de doble potencial de las ecuaciones de Maxwell provistas de la monocarga magn´etica. Nos damos entonces cuenta que la existencia del monopolo magn´etico se encuentra directamente relacionada cuando hay intercambio de la masa propia. En sus componentes, las ecuaciones cuaterni´onicas de los momentos internos (23) est´an dadas por

1 ~ × p~] + Ep ~ 4 ) + [~q × B] ~ − Bq ~ 4 ), (−[E 2 1 ~ ~ · ~q)], = [(E · p~) + (B 2 1 ~ ~ 4 ) + [~ ~ + Bp ~ 4 ), = (([E × ~q] − Eq p × B] 2 1 ~ ~ · p~)]. = [(E · ~q) − (B 2 =

Formulaci´on de las ecuaciones din´amicas como ecuaciones de Heisenberg de un sistema cu´antico 4D

Ya hemos explorado dos maneras de formular las ecuaciones din´amicas de Yamaleev, en t´erminos de los momentos internos y externos. Adem´as de la correspondencia entre este conjunto de variables, existe otra interrelaci´on interesante entre ellas. En esta secci´on mostraremos que el sistema de ecuaciones din´amicas (23), (26) puede estructurarse en un esquema de Heisenberg de un sistema cu´antico cuadridimensional. Dentro de este esquema, las ecuaciones en t´erminos de los momentos internos juegan el papel de una ecuaci´on de evoluci´on para el vector de estado, mientras que los momentos externos obedecen la ecuaci´on de Heisenberg para el operador de evoluci´on. Recordemos que, en el campo de los cuaterniones, la base del a´ lgebra de Dirac est´a dada por las siguientes matrices [18]: ¶ ¶ µ µ 0 1 1 0 , , Γ0 = 1= 1 0 0 1 µ ¶ κk 0 Γk = , k = 1, 2, 3, 0 −κk y Γ0k = Γ0 Γk ,

Γlk = Γl Γk ,

Γ012 = Γ0 Γ1 Γ2 ,

Γ123 = Γ1 Γ2 Γ3 ,

Γ230 = Γ2 Γ3 Γ0 ,

Γ301 = Γ3 Γ0 Γ1 ,

Γ0123 = Γ0 Γ1 Γ2 Γ3 .

En esta base, definamos adem´as las siguientes matrices: µ ¶ (~κ · P~ ) P0 Π = P0 Γ0 + Pk Γk = , P0 −(~κ · P~ ) as´ı como µ F =F

νµ

Γνµ =

~ −(~κ · B) ~ −(~κ · E)

~ (~κ · E) ~ −(~κ · B)

¶ .

(29)

La matriz Π puede ser representada como un producto de otras dos matrices,

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Π = ΨΨ+

(30)

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276 donde 1 Ψ : =√ 2

µ

¯ p q −¯ q p

¶

1 , Ψ+ : = √ 2

µ

¯ q p ¯ −q p

¶ . (31)

Estas matrices cuaterni´onicas satisfacen las siguientes ecuaciones de evoluci´on: d Ψ = F Ψ, ds

d + Ψ = − Ψ+ F. ds

(32)

Sin embargo, estas ecuaciones no son otra cosa que las Ecs. (23) expresadas en forma matricial. Ellas juegan el papel de ecuaciones de evoluci´on para el vector de estado de un sistema cu´antico finito. De estas ecuaciones es posible derivar la ecuaci´on de fuerza de Lorentz, construida con la estructura de la ecuaci´on de Heisenberg: d Π = [F, Π]. ds

(33)

A fin de completar el an´alogo, en vez de Ψ+ , definamos la ¯ la que satisface matriz adjunta Ψ, ¯ = −mc I. ΨΨ

(34)

Notemos, sin embargo, que estas relaciones son verdaderas, solamente si P4 = 0. Entonces ¯ ΨΨ+ = ΨΓ0 Ψ.

(35)

Aqu´ı la matriz Π0 = mcΓ0 es la matriz del momento en el estado de reposo. Entonces, la matriz Ψ corresponde a un operador de evoluci´on para un sistema cu´antico finito, que parte de un estado inicial, arribando a un estado posterior de evoluci´on. La matriz F sirve como el generador de translaci´on en la evoluci´on del tiempo propio. A la f´ormula (30) puede asoci´arsele otra interpretaci´on [16]. Al usar mΛ = Ψ, es posible transformar cualquier propiedad del sistema de referencia en reposo al sistema del laboratorio del observador. Por ejemplo, cualquiera de los vectores ortonormales {eµ }, en el sistema en reposo, transformar´a como un cuadrivector en el correspondiente vector de Frenet

del momento angular, de una part´ıcula sin masa, aparecieron desdobladas en una pareja de espinores. Al aplicar esta t´ecnica de desdoblamiento, la ecuaci´on de fuerza de Lorentz pudo ser reformulada en t´erminos de twistores [11]. Previamente, la ecuaci´on de fuerza de Lorentz hab´ıa sido escrita en t´erminos de espinores de Weyl y matrices de Pauli, y tambi´en fue escrita, a fin de contar con la conservaci´on de paridad, en t´erminos de matrices, y de espinores de Dirac [12, 13]. Es notorio que la descripci´on en t´erminos de twistores del espacio fase de una part´ıcula con masa, carga y esp´ın involucra en un u´ nico marco a ambas: a la ecuaci´on de fuerza de Lorentz y a la ecuaci´on de Bargmann-Michel-Telegdi. El twistor, en su definici´on, corresponde a la part´ıcula sin masa. A fin de describir a una part´ıcula con masa, se requiri´o para ello de un par de twistores; habi´endoseles dado la siguiente interpretaci´on: se considera a la part´ıcula masiva relativista como un sistema compuesto, constituido por dos part´ıculas sin masa. Esta interpretaci´on podr´ıa aparecer poco plausible; sin embargo, notemos que a partir de un an´alisis de la ecuaci´on de Dirac, podemos arribar a la misma conclusi´on. La ecuaci´on de Dirac posee dos representaciones, as´ı llamadas representaciones de alta y de baja energ´ıa. En la representaci´on de alta energ´ıa, la ecuaci´on de Dirac consiste de dos bloques que se separan en dos ecuaciones de Weyl, cuando la masa tiende a cero; y de manera similar; en la representaci´on de baja energ´ıa, se logran otros dos bloques, que se separan en dos ecuaciones de Pauli, cuando la velocidad de la luz tiende a infinito. A nivel de la din´amica cl´asica relativista desarrollada con la ecuaci´on de fuerza de Lorentz, observamos una situaci´on similar: la ecuaci´on de fuerza de Lorentz puede constituirse a partir de dos ecuaciones de Newton. Por tanto, adem´as de la representaci´on en t´erminos de twistores, la din´amica relativista nos permite la representaci´on de baja energ´ıa, problema que ha sido precisamente resuelto por R. Yamaleev en su teor´ıa. En la presente secci´on estableceremos un puente entre ambos enfoques. A fin de reformular las Ecs.(23), en t´erminos de espinores, remplazaremos primeramente la base cuaterni´onica por la base de las matrices de esp´ın de Pauli. Entonces obtenemos d 1³ ~ 4 + i(σ · ~q)) (q4 + i(σ · ~q)) = i(σ · B)(q ds 2 ´ ~ 4 − i(σ · p~) , + i(σ · E)(p

uµ = Λeµ Λ+ , en el sistema del laboratorio.

1³ d ~ (p4 + i(σ · p~)) = −i(p4 + i(σ · p~))(σ · B) ds 2 ´ ~ . + i(q4 − i(σ · ~q))(σ · E) (37)

5. Correspondencia con la formulaci´on espinorial Un primer intento para construir una teor´ıa cl´asica apta para describir el movimiento de la part´ıcula con carga y esp´ın ha sido emprendido dentro del marco de la teor´ıa de twistores. Los objetos as´ı llamados twistores aparecieron en la mec´anica relativista como el resultado de un procedimiento de desdoblamiento de pares: la pareja del impulso lineal y

(36)

Emplearemos la representaci´on estandard de las matrices de Pauli dadas por µ σ1 =

0 1 1 0

Rev. Mex. F´ıs. 53 (4) (2007) 270–280

¶

µ , σ2 =

0 i

−i 0

¶

µ , σ3 =

1 0 0 −1

¶ .

277

ECUACIONES DE FUERZA DE LORENTZ COMO ECUACIONES DE HEISENBERG PARA. . .

Notemos que la base σ4 = I, σk , k = 1, 2, 3, 4 es invariante bajo conjugaci´on compleja C combinada con la transformaci´on matricial µ ¶ 0 −1 σk = U Cσk U, U = . (38) 1 0

y acoplada con la operaci´on de conjugaci´on compleja. Denotando este operador por UC , podemos f´acilmente checar que

El sistema de ecuaciones matriciales (5.1a,b) es separable en cuatro ecuaciones para los espinores de Dirac. Una forma ex¯ obpl´ıcita del conjunto de vectores ortonormales Ψ and Ψ, tenidos a partir de (31), usando las matrices de Pauli en su representaci´on est´andar, se expresan mediante las siguientes f´ormulas: ¡ ¢ Ψ = η(1) η(2) η(3) η(4) , ¡ ¢ ¯ = η (1) η (2) η (3) η (4) , Ψ (39)

Entonces, actuando con el operador UC sobre ambos miembros de la Ec. (40) para η(1) :

UC (F νµ Γνµ ) UC−1 = F νµ Γνµ ,

i

iqx + qy

p4 − ipz

η (2) = (iqx − qy

q4 − iqz

−ipx + py

η (3) = (p4 − ipz

−ipx − py

−q4 − iqz

−iqx + qy )

p4 − ipz

−iqx + qy

−q4 + iqz ),

η (4) = (−ipx + py y

 −q4 + iqz  iqx − qy   =  p4 + ipz  , ipx − py   p4 + ipz  ipx − py   =  q4 − iqz  , −iqx + qy 

η(1)

η(3)

ipx − py ) p4 + ipz )

 iqx + qy  −q4 − iqz   η(2) =   ipx + py  , p4 − ipz   ipx + py  p4 − ipz   η(4) =   −iqx − qy  . q4 + iqz 

Estos espinores satisfacen las siguientes ecuaciones: d 1 (k) i ηα(k) = (F νµ Γνµ )βα ηβ , k, α = 1, 2, 3, 4. (40) ds 2 Por tanto, hemos descompuesto las ecuaciones cuaterni´onicas (23) en un sistema de cuatro Ecs. (40) para los espinores de Dirac. Estas ecuaciones son manifiestamente covariantes de acuerdo con el grupo SL(2, C), el cual es localmente isomorfo al grupo de Lorentz, siendo e´ ste su doble cobertura. La forma espinorial de estas ecuaciones muestra igualmente que las Ecs. (23), al igual que las Ecs. (40), describen el movimiento de una part´ıcula relativista, con esp´ın un medio. M´as a´un, dentro del marco de esta estructura din´amica de ecuaciones para los momentos internos se encuentra codificada la informaci´on sobre la pareja part´ıcula-antipart´ıcula. La situaci´on es exactamente similar como en el caso de la ecuaci´on de Dirac. De hecho, definiendo la transformaci´on de carga como consistiendo del operador dado por la matriz   0 −1 0 0  1 0 0 0   Γ=  0 0 0 −1  , 0 0 1 0

d 1 η(1) α = (F νµ Γνµ )βα η(1) β , ds 2

(41)

obtenemos la ecuaci´on par η(2) : i

donde η (1) = (q4 + iqz

UC η (1) = η (2) .

d 1 η(2) α = − (F νµ Γνµ )βα η(2) β , ds 2

y viceversa. Para las Ecs. (36) y (37), escritas en la base de las matrices de esp´ın de Pauli, la situaci´on se describe mediante la transformaci´on (38). Bajo esta transformaci´on, las Ecs. (36) y (37) toman la forma d (q4 − i(σ · ~q)) ds ´ 1³ ~ 4 −i(σ · ~q))+i(σ · E)(p ~ 4 +i(σ · p~)) , =− i(σ · B)(q 2 d (p4 − i(σ · p~)) ds ´ 1³ ~ ~ . =− −i(p4 −i(σ · p~))(σ · B)+i(q q ))(σ · E) 4 +i(σ · ~ 2 Por tanto, como resultado obtenemos la carga con signo opuesto. Vemos entonces que, en la formulaci´on cuaterni´onica, esta transformaci´on corresponde a la transici´on de una ecuaci´on cuaterni´onica en su contraparte conjugada.

6.

Movimiento bajo un campo electromagn´etico constante

En esta secci´on buscaremos soluciones para la evoluci´on del cuadrimpulso, en t´erminos del tiempo propio. Considerando la ecuaci´on de fuerza de Lorentz como una ecuaci´on de evoluci´on, podemos escribirla como sigue: d |P i = [F ] |P i, ds donde s = (e/mc)τ , y

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

 p0  p1   |P i =   p2  p3

(42)

A.R. RODR´IGUEZ-DOM´INGUEZ

278 y 

0  Ex [F ]=  Ey Ez

Ex 0 −Hz Hy



Ey Hz 0 −Hx

Ez −Hy  . Hx  0

(43)

La ecuaci´on para el correspondiente vector contravariante es d hP | = −hP | [F ], ds

Definamos el siguiente vector de funciones pentagonom´etricas [19]:   g0    g1    (50) |Gi =  ,  g2    g3 que obedece la siguiente ecuaci´on de evoluci´on d |Gi = E|Gi. ds

donde hP | =

¡

p0

−p1

−p2

−p3

¢

.

La siguiente forma escalar bilinear define una m´etrica para el espacio de Minkowski hP | P i = p20 − p21 − p22 − p23 .

(44)

La soluci´on general para esta ecuaci´on de evoluci´on ha sido elaborada recientemente por R.Yamaleev en la Ref. 19. En seguida aplicamos esta teor´ıa al caso de la ecuaci´on de fuerza de Lorentz. Sea |P0 i un cuadrivector inicial de momento. Entonces, la soluci´on de la Ec. (6.1) viene dada por |P i = exp([F ]s)|P0 i.

(45)

La expansi´on de la funci´on exponencial con respecto a [F ] queda representada por el polinomio de tercer grado 2

3

exp([F ]s) = g0 + [F ]g1 + [F ] g2 + [F ] g3 ,

(46)

donde [F ] obedece su propia ecuaci´on polinomial caracter´ıstica 4

2

[F ] + a2 [F ] + a0 = 0,

(47)

~ · H) ~ 2 . La Ec. (47) posee con a2 = (H 2 − E 2 ), a0 = −(E los siguientes autovalores: Ã λ1 = + Ã λ2 = +

a2 + 2 a2 − 2

λ3 = −λ1 ,

r

r

a22 − a0 4 a22 − a0 4

λ4 = −λ2 .

(51)

Cuando se conocen los autovalores de la ecuaci´on polinomial, las funciones pentagonom´etricas se expresan mediante las funciones seno-coseno hiperb´olicas: ¡ ¢ g0 = η −λ22 cosh(λ1 s) + λ21 cosh(λ2 s) , µ 2 ¶ λ2 λ21 g1 = η − sinh(λ1 s) + sinh(λ2 s) , λ1 λ2 g2 = η (cosh(λ1 s) − cosh(λ2 s)) , µ ¶ 1 1 g3 = η sinh(λ1 s) − sinh(λ2 s) , λ1 λ2 con η = 1/λ21 − λ22 . ~ H, ~ el polinomio (6.5) pueEn el caso especial, cuando E|| de expresarse como F 4 − [(iH)2 + E 2 ]F 2 + (iH 2 )(E 2 ) = 0. Por tanto, λ22 = E 2 , λ21 = (iH)2 . En este caso, las funciones pentagonom´etricas se expresan como combinaciones lineales de las funciones hiperb´olicas usuales seno-coseno. £ ¤ g0 = η H 2 cosh(Es) + E 2 cos(Hs) , µ 2 ¶ H E2 g1 = η sinh(Es) + sin(Hs) , E H g2 = η [cosh(Es) − cos(Hs)] , ¶ µ 1 1 sinh(Es) − sin(Hs) , g3 = η E H

!1/2 , !1/2 , (48)

Para el polinomio (47) podemos poner en correspondencia una cierta matriz, consistente exclusivamente de los coeficientes del polinomio caracter´ıstico. Ella resulta ser   0 0 0 a0  1 0 0 0   E= (49)  0 1 0 a2  . 0 0 1 0

con η = 1/(E 2 + H 2 ). Las funciones hiperb´olicas seno-coseno que dependen u´ nicamente del campo el´ectrico, representan la aceleraci´on de la part´ıcula en la direcci´on del campo; a su vez, las funciones hiperb´olicas seno-coseno que dependen u´ nicamente del campo magn´etico, representan un movimiento de rotaci´on de la part´ıcula bajo la acci´on de dicho campo. Tomando en cuenta (40), el vector |P (s)i puede expresarse como sigue: |P (s)i = [g0 + F g1 + F 2 g2 + F 3 g3 ] |P0 i = [|P0 i, F |P0 i,

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F 2 |P0 i,

F 3 |P0 i]|G(s)i.

ECUACIONES DE FUERZA DE LORENTZ COMO ECUACIONES DE HEISENBERG PARA. . .

Entonces

279

Toda vez que

|P (s)i = [ |P0 i F |P0 i, F 2 |P0 i, F 3 |P0 i ] |G(s)i.

(52)

Es claro que el vector |P (s)i obedece una ecuaci´on diferencial ordinaria del tipo µ 4 ¶ 2 d 2 2 d 2 ~ ~ − (E − H ) 2 − (E · H) |P (s)i = 0. (53) ds4 ds

d d2 ~ · H) ~ 2 |P i, |P i = [F ]4 |P i = 2 |P i + (E 4 ds ds obtenemos d Det[P C(t)] = 0. ds

Esta proposici´on se sigue de la ecuaci´on d |P i = F |P i. ds Esta ecuaci´on nos permite escribir directamente las relaciones d2 d3 2 |P i = F |P i, |P i = F 3 |P i. ds2 ds3 Consideremos ahora la siguiente matriz:

(54)

[P C(s)] := [|P (s)i, F |P (s)i, F 2 |P (s)i, F 3 |P (s)i]. (55) Si escogemos s0 = s como el instante en que inicia la evoluci´on, entonces la ecuaci´on 0

0

|P (s )i = [ P C(s) ] |G(s )i

(56)

describir´a la relaci´on entre |P (s0 )i y |G(s0 )i para un instante s0 > s. Notemos que el vector |G(s)i es definido u´ nicamente por los invariantes del campo electromagn´etico. Al tomar en cuenta las ecuaciones (6.16), la matriz [P C(s)] puede igualmente escribirse como sigue: [P C(s)] = [ |P (s)i, |P 0 (s)i, |P 00 (s)i, |P 000 (s)i ]

(57)

Esta matriz no es otra cosa que la matriz de Wronskian. Por tanto, su determinante Det[P C(s)], el que tambi´en es denominado el wronskiano, obedece el siguiente teorema. Teorema El wronskiano Det[P C(s)] de la ecuaci´on de evoluci´on d |P i = F |P i ds es una constante del movimiento.

(58)

Demostraci´on Desarrollemos la derivada del determinante Det[P C(s)]. Al tomar en cuenta la f´ormula del determinante aunada con la Ec. (6.11), concluimos que · ¸ d d2 d4 d Det[P C(s)] = Det |P i, |P i, 2 |P i, 4 |P i . ds ds ds ds

Fin de la demostraci´on Por tanto, el volumen Det[P C(s)] se conserva durante el movimiento de la part´ıcula cargada relativista.

7.

Conclusiones

En el marco de la nueva formulaci´on de la din´amica relativista, construida por R.M. Yamaleev, las ecuaciones din´amicas de la part´ıcula cargada relativista pueden formularse en t´erminos de momentos tanto externos como internos. Esta situaci´on nos refleja una verdadera estructura compleja de la part´ıcula relativista. Esta teor´ıa despliega nuevos aspectos, los que quedaron en el pasado escondidos en los desarrollos de t´ecnicas tradicionales. Una condici´on para obtener una correspondencia entre las variables internas y externas es que requerimos de un espacio cuadridimensional con m´etrica ´ euclideana. Esta es la u´ nica hip´otesis de la teor´ıa. La existencia de las variables internas se sigue de la ecuaci´on cuadr´atica para el cascar´on de masa, y del hecho que encontramos, adem´as, otra ecuaci´on cuadr´atica cuyos coeficientes son los momentos externos, y cuyos autovalores son precisamente los momentos internos, a dicha ecuaci´on la denominamos ecuaci´on caracter´ıstica de la din´amica relativista. Hemos mostrado que el nuevo sistema de ecuaciones din´amicas puede encuadrarse en el esquema de Heisenberg de un sistema cu´antico cuadridimensional. En este esquema, las ecuaciones para los momentos internos juegan el papel de una ecuaci´on de evoluci´on para el vector de estado, mientras que los momentos externos obedecen la ecuaci´on de evoluci´on para un operador. Las soluciones de la ecuaci´on de fuerza de Lorentz para el movimiento, dentro de campos electromagn´eticos constantes, han sido desarrolladas por medio de las funciones pentagonom´etricas, y se puede mostrar que existe una nueva constante adicional del movimiento, el volumen dado por Det[P C(s)], el que se conserva durante el movimiento de la part´ıcula cargada, relativista.

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A.R. RODR´IGUEZ-DOM´INGUEZ

280 1. R.M. Yamaleev, J. Ann. Phys. 285 (2000) 141.

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12. A. Proca, J. Phys. Radium 15 (1954) 5.

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