Ecuaciones, ecuaci´ on de la recta y sistemas Ecuaciones Una ecuaci´on es una igualdad condicionada en la que aplicando operaciones adecuadas se logra despejar (aislar) la inc´ognita. Cuando una ecuaci´on contiene fracciones, puede escribirse en una forma m´as sencilla si se multiplican ambos miembros de la igualdad por el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de todos los denominadores de la ecuaci´on. De esta forma se obtiene una ecuaci´on que no contenga fracciones. Para resolver un problema debemos seguir los siguientes pasos: Paso 1: Leer con atenci´on el problema. Paso 2: Anotar los datos del problema. Paso 3: Distinguir cu´al es la pregunta del problema y representar ese dato desconocido por una letra. Paso 4: Con los datos del problema escribir una ecuaci´on. Paso 5: Resolver la ecuaci´on. Paso 6: Comprobar si el resultado est´a de acuerdo con los datos.

Problemas con fracciones Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracci´on de un n´ umero. a a La fracci´on de un n´ umero x se calcula multiplicando por x. b b

Problemas de d´ıgitos Para este tipo de problemas debemos recordar que en el sistema decimal un n´ umero de la forma 2 1 0 xyz queda representado por x · 10 + y · 10 + z · 10

Problemas de edades En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentes indicando en una linea de tiempo o una tabla sus edades pasadas, las presentes y sus futuras, segun corresponda: Edad pasada (hace b a˜ nos) Edad actual Edad futura (dentro de c a˜ nos) x−b x x+c y−b y y+c

Elementos de geometr´ıa anal´ıtica Distancia entre dos puntos y punto medio La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos) A(x1 , y1 ) y B(x2 , y2 ) se determina mediante la expresi´on:

dAB =

p (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

Dados los puntos A(x1 , y1 ) y B(x2 , y2 ), las coordenadas del punto medio del segmento AB son:

xm =

y1 + y2 x1 + x2 , ym = 2 2

Pendiente de una recta Es la tangente trigonom´etrica del ´angulo de inclinaci´on (´angulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta)

m = tan α =

BP y2 − y1 = x2 − x1 AP

Relaci´ on entre el ´ angulo de inclinaci´ on y la pendiente de la recta Sea α el ´angulo de inclinaci´on y sea m la pendiente de la recta L. Entonces: (α = 0◦ ) si y solo si (m = 0)

L es paralela al eje x

(0◦ < α < 90◦ ) si y solo si (m > 0)

L tiene pendiente positiva

(α = 90◦ ) si y solo si (m no est´a definida)

(90◦ < α < 180◦ ) siy solo si (m < 0)

L es paralela al eje y

L tiene pendiente negativa

Ecuaci´ on de la recta punto y pendiente La ecuaci´on de la recta que pasa por un punto (x1 , y1 ) y cuya pendiente es m es y − y1 = m(x − x1 ) Si el punto dado est´a sobre el eje y, llamando n a su ordenada, la ecuaci´on anterior se escribe y = mx + n La expresi´on anterior es llamada Ecuaci´ on principal de la recta con n como el coeficiente de posici´on.

Ecuaci´ on de la recta que pasa por dos puntos La ecuaci´on de la recta que pasa por dos puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) es y − y1 =

y2 − y1 (x − x1 ) x2 − x1

Ecuaci´ on General de la recta Toda ecuaci´on lineal de la forma donde Ax + By + C = 0 son constantes reales y los n´ umeros A y B no son ambos nulos, representa la ecuaci´on general de la recta. Si se despeja y en funci´on de x se obtiene la ecuaci´on principal y=

−C −A x+ B B

donde m =

−A −C y n= B B

Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si y s´ olo si sus pendientes son iguales. Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces:

L1 //L2 si y solo si m1 = m2

Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares si y s´olo si el producto de sus pendientes es -1. Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces:

L1 ⊥L2 si y solo si m1 · m2 = −1

Sistemas de ecuaciones Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos inc´ognitas, constituyen un sistema de ecuaciones lineales. La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es:  Ax + By = C donde A,B,C,D,E y F son n´ umeros reales. Dx + Ey = F Se denomina soluci´ on del sistema a todo par (x, y) que satisfaga simult´ aneamente ambas ecuaciones. Observaci´ on: Cada ecuaci´on de un sistema de ecuaciones, representa una l´ınea recta en un sistema de ejes coordenados.

M´ etodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos inc´ ognitas Resoluci´ on gr´ afica: Para resolver gr´aficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos inc´ognitas, se representan ambas rectas en un sistema de ejes coordenados, con lo cual surge una de las siguientes posibilidades. i) Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la soluci´on del sistema (Figura 1). ii) Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (Figura 2). iii) Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay soluci´on (Figura 3).

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Resoluci´ on algebraica: Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales con dos inc´ognitas existen varios m´etodos; utilizaremos s´olo dos de ellos: sustituci´on y reducci´on. M´ etodo de sustituci´ on: Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuaci´on, gener´andose as´ı una ecuaci´on con una inc´ognita. M´ etodo de reducci´ on: Se deben igualar los coeficientes de una de las inc´ognitas, en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteni´endose un sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando as´ı una ecuaci´on con una inc´ognita.

An´ alisis de las soluciones de un sistema de ecuaciones con dos inc´ ognitas Sea el sistema



a1 x + b 1 y = c 1 Entonces: a2 x + b 2 y = c 2

* El sistema tiene soluci´ on u ´ nica si

a1 b1 6= a2 b2

* El sistema tiene infinitas soluciones si * El sistema no tiene soluci´ on si

b1 c1 a1 = = a2 b2 c2

b1 c1 a1 = 6= a2 b2 c2

Ejercicios 1. La ecuaci´on de una recta es x − my − 2 = 0. Si el punto (−2, 8) pertenece a esta recta, entonces el valor de m es: a) −2 b) −3 1 c) − 2 1 d) 2 e) 2 2. Una recta que contiene al punto P1 de coordenadas (1, 3) tiene pendiente 2, otra recta perpendicular con ella contiene al punto P2 de coordenadas (8, 2). Ambas rectas se cortan en el punto P cuya abscisa x toma el valor: a) −5 b) −2 c) 2 d) 5 e) −

1 2

3. ¿Cu´al es el valor de x en la ecuaci´on

1−x 2 = ? 15 5

a) −5 b) 5 c) −25 d ) 25 e) −35 4. En un supermercado, el precio de costo de un kilogramo de pan es de $ 600 y lo venden en $ 820; las conservas de mariscos tienen un costo de $ 800 y las vende en $ 1060. Si la pol´ıtica de asignaci´on de precios del supermercado es lineal, ¿cu´al es el precio de venta de un kilogramo de arroz cuyo costo es de $ 400? a) $ 600 b) $ 580 c) $ 547 d ) $ 537 e) $ 530 5. En la figura, las rectas L1 y L2 son perpendiculares, entonces ¿cu´al de las siguientes opciones representa a la ecuaci´on de la recta L1 ? 5 a) y = x − 2 4 5 b) y = (x − 2) 4 4 c) y = (x − 2) 5 4 d) y = x − 2 5 5 e) y = − (x − 2) 4 6. La relaci´on entre las temperaturas Fahrenheit y Celsius es lineal. Si se sabe que 32o F corresponde a 0o C y 212o F corresponde a 100o C, entonces ¿cu´al es la temperatura en grados Celsius que corresponde a 55o F aproximadamente? a) -21◦ C b) -12,7◦ C c) 12,7◦ C d ) 23◦ C e) 25,9◦ C

7. La ecuaci´on (2 − k)x + 3y − 4 = 0 representa una recta perpendicular a la recta cuya ecuaci´on es −6x + y − 9 = 0. ¿Cu´al es el valor de k? a) 20 3 b) 2 c) 8 7 d) 2 13 e) 6 8. Si 1 −

3 = 9, entonces x = x

9 2 2 − 9 9 2 8 3 3 − 8

a) − b) c) d) e)

9. ¿Cu´al de las siguientes figuras representa la intersecci´on de 3x + y = 4 con y + x = 0?



3x − my = 9 ¿Qu´e valores debe tener m y n para que la soluci´on nx + 4y = −11 del sistema sea el par (1, −3)?

10. En el sistema

m n a) −2 1 b) −2 −1 c) 2 1 d) 4 −23 e) Ninguno de los valores anteriores

11. En la figura, la ecuaci´on de L1 es y + x = 5, ¿cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) L1 //L2 II) La ecuaci´on de L2 es y = −x + 3 III) Ambas rectas tienen igual inclinaci´on respectodel eje x a) Solo I b) Solo I y II c) Solo I y III d ) Solo II y III e) I, II y III 12. La intersecci´on de las rectas y = 5 − x e y = x − 1 es el punto: a) (2, 3) b) (2, 1) c) (3, −2) d ) (0, 2) e) (3, 2) 13. Juan en 10 a˜ nos m´as tendr´a el doble de la edad que ten´ıa hace 5 a˜ nos. ¿Qu´e edad tendr´a Juan en un a˜ no m´as? a) 21 a˜ nos b) 20 a˜ nos c) 16 a˜ nos d ) 15 a˜ nos e) 11 a˜ nos 14. Un grupo de amigos salen a almorzar a un restaurante y desean repartir la cuenta en partes iguales. Si cada uno pone $ 5500 faltan $ 3500 para pagar la cuenta y, por otra parte, si cada uno pone $ 6500 sobran $ 500. ¿Cu´al es el valor de la cuenta? a) $ 20000 b) $ 22000 c) $ 25500 d ) $ 26000 e) $ 29500

15. La se˜ nora Marta compr´o 3 kilogramos de az´ ucar y 2 kilogramos de harina y pag´o $ s. Si el kilogramo de az´ ucar vale $ p, ¿cu´anto cuesta el kilogramo de harina? a) $ (s − 3p)   s − 3p b) $ 2   s + 3p c) $ 2   s−p d) $ 2 e) $ (s + 3p)

16. Si −3 =

2x − 1 , entonces ¿Cu´anto vale x? 1 − 3x

2 7 4 b) 7

a)

c) −

2 5

d) 2 e) 4 17. Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es: a) 9 b) 16 c) 18 27 d) 10 e) Ninguno de los valores anteriores 18. ¿Cu´al de las siguientes rectas del plano cartesiano es representada por la ecuaci´on x = a? a) La recta paralela al eje x que pasa por el punto (0, a). b) La recta paralela al eje x que pasa por el punto (a, 0). c) La recta paralela al eje y que pasa por el punto (0, a). d ) La recta paralela al eje y que pasa por el punto (a, 0). e) La recta que pasa por el origen y por el punto (a, a). 19. Un padre reparte 12.000 hect´areas entre sus tres hijos. Al menor le da x hect´areas, al del 2 medio los de las hect´areas del menor y al mayor la mitad de las hect´areas de su segundo 3 hijo. El hijo mayor recibi´o a) 2.000 hect´areas b) 4.000 hect´areas c) 5.333,3 hect´areas d ) 6.000 hect´areas e) 8.000 hect´areas

20. ¿Para qu´e valor de k el sistema



5x − ky = 2 no tiene soluci´on? 3x + 2y = 3

a) 2 b) −2 c) − 10 3 d ) − 43 e) − 32 21. ¿Cu´al es el valor de x en la ecuaci´on

x+2 = −1? 3

a) −9 b) −5 c) −1 d)

1 3

e) 1 22. ¿Cu´al de las siguientes ecuaciones NO es equivalente a la ecuaci´on 0, 03x = 5, 2? a) 0, 03x =

26 5

b) 3x = 5, 2 · 10−2 c) d)

3 x 100 3 x 100

= 5 15 = 5, 2

e) 3 · 10−2 x = 5, 2 ( a+b = 6 2 entonces a · b = 1 1 23. Si + = a b 3 a) 3 b) 9 1 c) 3 2 d) 3 e) 1 24. En un local de flores se venden claveles por unidades. Juan y Luis compran en el local 1 ramo de claveles cada uno. El ramo de Juan tiene 12 claveles y le costo $ a. ¿Cu´anto pag´o Luis por su ramo si tiene 4 claveles m´as que el de Juan? a) 4a b) 16a a c) 3 3a d) 4 4a e) 3

25. Al ubicar los puntos A(−1, −2), B(5, −2) y C(5, 3), en el sistema de ejes coordenados, se pude afirmar que: I) AB⊥BC II) AB es paralelo al eje x III) (0, 5) es un punto del trazo BC Es(son) correcta(s): a) Solo II b) Solo I y II c) Solo I y III d ) Solo II y III e) I, II y III 26. Seg´ un el sistema



x + y = 7a + 3b ¿cu´al es el valor de y? x − y = 7a − 3b

a) 6b b) 3b c) b d ) −b e) −3b 27. Dada la recta L, donde a y b son positivos, ¿cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La pendiente de la recta L es negativa. II) El punto (a, b) pertenece a la recta. III) La recta L es perpendicular a la recta y = a) Solo II b) Solo I y II c) Solo II y III d ) Solo I y III e) I, II y III

ax b

28. Tres n´ umeros enteros consecutivos suman cero. Entonces es verdadero que: I) El n´ umero mayor y el menor suman cero. II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor. III) La diferencia entre el mayor y el menor es cero. a) Solo I b) Solo II c) Solo I y II d ) Solo II y III e) I, II y III 29. En la figura se muestra el gr´afico de la recta de ecuaci´on y = px + q. ¿Cu´al es el valor de q?

a) 1 b) 2 c) 0 d ) −1 e) −2 30. Si 3 · 2(2x + 4) = 24, entonces x es igual a: a) −4 b) 0 c) 3 d) 4 e) 36 31. Si 6 − 2x = 14 entonces x − x2 es igual a: a) −20 b) −10 c) −30 d ) 10 e) 30 32. Se corta una tabla de 3 metros de largo en dos partes, de modo que una de ellas es 50 cm m´as larga que la otra. ¿Cu´ales son las longitudes de cada parte? a) 250 cm y 50 cm b) 150 cm y 150 cm c) 175 cm y 125 cm d ) 200 cm y 100 cm e) Ninguna de las medidas anteriores.

33. En la figura, ¿cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La pendiente de AD y de BC no es un n´ umero real. II) La pendiente de DC es cero. III) La pendiente de AB es positiva.

a) Solo I b) Solo II c) Solo III d ) Solo I y II e) I, II y III 34. Hace 3 a˜ nos Luisa ten´ıa 5 a˜ nos y Teresa a a˜ nos. ¿Cu´al ser´a la suma de sus edades en a a˜ nos m´as? a) (11 + 3a) a˜ nos b) (11 + 2a) a˜ nos c) (11 + a) a˜ nos d ) (8 + 3a) a˜ nos e) (5 + 3a) a˜ nos 35. Jorge compr´o tres art´ıculos distintos en $ (4a + b). El primero le cost´o $ a y el segundo $ (2a − b). ¿Cu´anto le cost´o el tercero? a) $ a b) $ 7a c) $ (3a − b) d ) $ (3a + 2b) e) $ (a + 2b) 36. El promedio de un n´ umero entero positivo y su antecesor es 6, 5 entonces, el sucesor de ese n´ umero entero es: a) 6 b) 7 c) 8 d ) 14 e) Ninguno de los valores anteriores

37. Si

2t − 1 = 4, entonces t = 2

a) 5 b) 3 c) d) e)

3 2 9 2 7 2

38. Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de un licor Q. Si 6 litros del licor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b, ¿cu´al es el precio de los 5 litros de mezcla? a) $ b) $ c) $ d) $ e) $

a+b 3 a+b 5 (2a + 3b) 3a + 2b 18 5 · (3a + 2b) 18

5 3 39. “La diferencia de un n´ umero con sus , es igual a sus partes disminuido en 10”. La 12 4 expresi´on que resuelve el enunciado anterior es: a) x − b) x − c) x − d) x − e) x +

5 12 5 12 5 12 5 12 5 12

·x=

3 − 10 4

3 − 10 4 3 = · x − 10 4 3 · x = · x − 10 4 3 · x = · x − 10 4 =

40. Si la cuarta parte de la edad de una persona es 8, entonces, la mitad de su edad m´as uno a˜ no es: a) 2 a˜ nos b) 5 a˜ nos c) 16 a˜ nos d ) 17 a˜ nos e) 33 a˜ nos 41. ¿Cu´al debe ser el valor de x para que la expresi´on a) 2 b)

6 15

6 c) − 15

d) 1 e)

18 25

9 3 − sea igual al inverso aditivo de −3? 2 x