ECUACIONES VECTORIAL Y PARAMÉTRICAS DE LA RECTA Una recta queda determinada s1 se conoce un vector que lleve su d1recc1ón. llamado vector d~rector, y un punto que pertenece a ella

y

La ecuac16n de una recta es una exprestón matemática que SINe para dec1d1r Que pun-

v que puntos no

tos del plano pertenecen a ella

Ecuación vectorial de la recta Sea la recta r que pasa por el punto A(e,. a1} y que lleva la d1recc1ón P(x. y) un punto cualQUiera del plano -----·~or-~a~------~x-=x

1

ü

= (u,. u,) y sea

Para que P pertenezca a la recta r, el vector AP trene que tener la m sma drreccrón que el vector es dec1r debe ser proporcronal a ü, por tanto

u.

AP ;:: AÜ con A E R Llamando {J y § a los vectores de postC:Ión de P y A respectivamente. se obt1ene

p = ii +

'J...E R

1\Ü

A &.:>t

x- a, = y- a2

u,

u2

U2

Ecuación general de la recta f d o en 1a ecuac1Ón continua. -x Operando y s1mpii1Can

- a,

u,

y - . a2 se obt ene =1

u

2 u2(x- a,) = u,(y - a))~ u2x - u2a, = u,y - u,a, ==> u.x - u.a, - u,y + u,a = O 1 s se hace U2 = A. -u, = B. u,a~ - u.p, == C. fa úl11ma ecuación es de la forma 2

Ax+8y+C=O Esta e1-pres16n es la ecuación general de la recta

A partir de la ecuaCI()n general de la recta se pueden obtener tanto puntos como el vector d1rector de la recta • un punto de la recta seria cualqu1er punto cuyas coordenadas venhquen la ecuación. • El vector drrector de la recta es ü = (-8, A)

Rectas paralelas a los ejes de coordenadas RECTAS PARALELAS A lOS EJES

Las rectas paralelas al eJe de abscrsas OX t1enen como drreccrón la del vector (1. O) Por tanto su ecuacrón será de la forma y + e = o

y

Y= k En particular la ecuac1ón del e¡e OX es y

x=2

=O

Las rectas paralelas al eje de abscisas OY tienen como Por tanto su ecuac1ón c:erá de la forma x + == O

e

d~recc16n la del vector (O. 1)

o

X=k En pan1cular.

'a ecuac1ón

del e¡e OY es

2. Calcula la ecuac1ón general

de cada uno de los lados del trrángulo cuyos vértrces son

...:1

X

1

y=-1

x == O

13 822 Lado AB {A( - · ), ( · ) A8 = (3, - 1)

A(-1, 3), 8(2, 2), y C{2, -3)

Lado AC

~

x+3

1

3 = y=>-x-1 =3y-9=>AB•x+3y-8=0 -1

{1:'-

13 2 3 1 3 • ), C( , - ) => x+ =y- =>-2x- 2 =y- 3=>AC= 2x+ y-1 =O AC=(3,-6)..,{1,-2) 1 -2

Para simplificar los cálculos, se ha tomado como vector director AC uno paralelo al obtenrdo que, obviamente, tamb1én es director de la recta buscada

2 2 L d0 Be { B( , ), C(2, - 3) => x - 2 = O=> BC = . BC = (O, - 5) a

X=

2

EJERCICIOS PROPUESTOS =~-~-

3, En cada caso, calcula la ecuac16n general de la recta que pasa por los puntos.

a) A(2, -5) y 8(1, -3)

e) A{1, 4) y 8(1, -3)

b) A(3, -3) y 8( - 3, -3)

d) A(-2, -4) y 8(3, -2)

4. Calcula las ecuac1ones de las med1anas del trrángulo de vért1ces· A(2, 3), 8(-1. O) y C(O. -3). 5. Calcula las ecuaciones de las rectas paralelas a los e1es que pasan por el punto A(- 3, 5)

ECUACIÓN NORMAL DE LA RECTA Vector perpendtcular a una recta Dada la recta r de ecuactón genera¡ l\x + By + e, - o. el '' ·c,or (A 8) e., un vector perpendtcular 0 normal a ,·

/

r

El vector dtrector de ( es i1 = ( -8. A) Para probar que el vector ñ es perpendrcular a la recta r. basta con ver que el product o escalar de n y u es

u

- -

_.....,....¿:__ _,J-.------xx

o

ñ · ü = -A · B + B · A == o

o

. otro dt'rector de fa recta r 2x _

EJemplo. Determma un vector norma 1 Y Un vector normal 8->

n

(2.

3) Y uno drrector d

3y

+

7

=

0

(J. 2)

=

Ecuación normal de la recta. Ecuación normal canónica :,ea O(a • a ) un puNo por el que pasa la recta r Ax 1 2 punto cualqUiera de la recta. entonces se verrl!ca

+ By +

C

= O Y sea P(x.

y), un

ñ·OP=O Susutuyendo las coordenadas

(A 8) • (x -

se obtrene 8 1• y - a2)

A(x - a,)

=O

+

B(y - a2 ) = O

Esta ul~ma e1(presron es a ecuactón normal de la recta e::.

1 ..:ha ex1

"'r se desarrolla y se dlvtde por el módulo de

ñ se obtrene fa ecuación

normal canónrca

= [O - 3, -2 Vector normal de r ñ = [1, -(-3}]

3. Escnbe un vector dtrector y un vector normal a fa recta que pasa por los puntos A(3, -3) y 8(0, -2)

Vector dtrector. AB

4. Dado el segmento de extremos A{3, 1), 8(7, 4). halla la ecuación general de la recta que es medíatriz del segmento

El vector deftn1d0 por los extremos del segmento será normal a la recta medtatnz:

(-3}] "" (-3, 1)

== (1, 3)

AB = (7 - 3, 4 - 1)

= (4, 3)

Por otra parte, el punto med1o del segmento pertenece a la medtatnz buscada

3 7 1 4 M( ; . ; ) r 4(x- 5)

+

~ M(5, t). con lo que la ecuación

3(y- ~) = O~

4x- 20

+ 3y

15 2

o bren, multtphcando por 2 la ecuación r· 8x + 6y - 55

de la medtatnz será

= o~ 4x +

55

3y- 2

=O

=o

EJERCICIOS PROPUESTOS 6. Halla un vector dtrector y otro normal de la recta que pasa por el punto

A(-2. ~) y por el ongen de coordenadas.

7. Una recta ttene como vector normal el ñ :: (2. -3) y pasa por el punto A(-1, 2) Escnbe su ecuación normal. su ecuacrón normal canóntca y su ecuacrón general

8. Indica un vector director y otro normal de la recta de ecuación -3x + 2y- 4 = O. 9. Escnbe las ecuactones general. normal y normal canónica de la recta que pasa por A(3, -3) y 8( -1, 2). 1O. Halla la ecuacrón de la recta perpend•cular al segmento de extremos A(O, - 2) y 8(1, 4) y que pasa por el pun· to C(3, O)

ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA Pendiente y ordenada en el origen de una recta

y

;::,~ l'dma pendiente de una recta r. y se denota por m, a la tangente tngonoméwca del flngufo a quG torma dicha recta con la parte pos1t1va del e¡e ox. E! ángulo a se denom1na mclinación

m =

tga

Sr la recta es crec1ente la pendiente es POSitiVa, por el contrano s1 fa recta es decrectente la pendiente es negativa Dada una recta r Ax -A d1ente es m = 8

+ By + C

ü = (u,, u1) = {-B. A). su pen-

= O con vector director

Se llama ordenada en el o rigen de una recta r a! valor de la ordenada del punto de la recta cuya absc1sa es x = O La ordenada en el ongen puede ser posaiva o negattva según que el punto de corte esté

por enc1ma o por deba¡o del ongen de coordenadas

Ecuación explicita de la recta S1 r AX

+ By + C = O se

t1ene que el vector

tamb1én será dlfector de la recta el vector

d

=

ü = (-B. A) es d~rector de r Por tanto. ~1 a = (1 (1. m). ya que es

ECUACIÓN EXPLICITA

-¿') ""'

SI r Ax + By + e e o Oespe¡ando y se ltene

proporc1onar a ü y Siendo m la pendiente de fa recta Además. s1 la ordenada en el ongen de r es b. la recta pasa por el punto P(O. b) Por tanto. la ecuac1ón cont1nua de esta recta será

1X

Y- b = --;ncomo m

Operando y despe1ando se obuene la ecuación explfctta de la recta de pendiente m y ordenada en el ongen b

b "" -

e 73. se t1ene

y=mx + b

= mx + b

y

-A e = Bx8 = - 8A y st se denota

Jl

Ecuación punto pendiente y= mx+ b

La ecuac1Cf1 cont1nua de una recta cuya pend1ente es m y que pasa por el punto A(a,. a ) es. 2

x-a. _ y- a2 1 m

Operando esta expres1ón

se

obtiene la ecuacrón punto-pendtente de la recta

y -

~JERCICIO RESUELTO 15. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(a, a2) y B(b~o b2) Verifica que su pendiente es:

X

a2 = m(x - a,)

-- - - ---

---

----

--

----

-------------------.

El vector AB = (b, - a,, b2 - a7) es director de la recta Por tanto fa ecuac16n continua de la recta será (supontendo que b1 az).

*

x - a, b, -

m= b2 - az b,- a,

y- a2

a, "" b1

-

a2

l

Despe¡ando en esta Igualdad, se llega a la ecuac16n expltc1ta y al valor de

Y

= ; - a, . (b2 1

-

a,

az) +

al ~

b¡ - al . x - b2 b, - a, b, -

a2 . a,

a,

m

+ a, => ' m = bz - al J b, - a, 1

EJERCICIOS PROPUESTOS 11 • Calcula la ecuactón de la recta que pasa por el punto A(- 2, 4) y t1ene de pendiente m

=

t

-

12. Calcula la pendtente y la ordenada en el origen de la recta que pasa por los puntos A( - 1. 5) y 8(2, -2)

POSJCIONES RELATIVAS DE RECTAS EN EL PLANO Paralelas

Secantes

o

Cotnctdentes

--

r X

Nmgún punto en común

Infinitos puntos en común

J

Ew;lfdof do Afe/llndrla

( 326 a.c

- 265 o.c .¡

Mntem!l!tco qrtcgo quo $lstomatJz6 todcM IO:'i conocimientos ooomélllcos dr su 6pocn on w obm 'C:Iomonros· quo fuo mforenc/;¡ mdxtmo de kt macomtlttca occidonr,1J por mus de

2000 ",""

E)(1s1en vanos cntenos analittcos para determtnar la postctón relatMl de dos rectas. basa. do"' r.n la compnrac16n de algunas de su~ caractensttcas

Comparación de tos vectores dírectores o normales Dos recta r y ~. do vec.tore& dtrectores i1 v ü'. y vectores normales ñ y ñ'. son • secantes )1 sus vectores do dlfecctón o sus vectores normales no son paralelos. es dü' tr nr r¡on proporCionales

a * )\ a·

ñ

* ~ r:·

• paralelas o coincidentes s• sus vectores de d1re~c 1 6n o sus vectores normales son r ~r 111 1lc ') j( 1r 1 ~ ¡oporcronalss

ü = >.

ñ = >. ñ'

Ü'

Comparación de las pendientes Dos rectH:; r y .s, úe f.ll.:lfld1untes

m y m'

..on

• secantes SI sus pendientes son dtferentes

m :f: m'

• paralelas o coincidentes -6y = -6 => y = 1 => P(2. 1)

[ 1?0 J

X

Haz de rectas secantes Ce

del p

ma haz do rectas -secantes con vértice P(a, b) al no que pa 10 PQr 1 Pll"l1o p

LO ecu ..16:1 de

cu IQu cr recta

Y- b

dood es un do cadz ., 00

m(x- a)

p~~t,metro QUE' PUede tornar cua:q~ cr v.lfor real y repc;

Cnt.l

pene! '1te

Par.. cada valor quo so as•gne a m se outendrá t.na recta concreta oel haz P k = 1 y k ... -1

Pura averiguar su pos1c16n relativa Ge resuelve el Sistema

las recta"

[x = 2 + e fx = 1 - s '· }y = 1 + 3r Y 5' lY =2 + s

{,,. 1-s {2+1,..t-s 1 + 31 • 2+S ~ 1 +3( 1 S) • 2 +S

~-2-3s 2+s

-4s•4

Al obtener soluciÓn ün!Co. las rectos son SCCílntes y se cortan en P(2, 1)

EJERCICIOS PROPUIITOI ·---~--~

13. Estudia la posiCión relai1V41 de las rectos n) 2x -t 5y - S • O y 3x - 5y + 5 • O b) 3x + 5y 5 • o y 9x + 15y -t 5 • O

14.

e !tufo 1

ocu c1ón de la recta paralela e la recta r 2A t y +- 1• Oy que pa${1 POr el punto de lnteJSecdón d IJS rectas s· x y + 5 • O y r .~ Y ~ 5 • O f

DISTANCIA ENTRE PUNTOS Y RECTAS Distancia entre dos puntos La

dtstanc~a

entrt- los puntos P(p,, p.¡) '1 O(q1,

La distancia entre Jos puntos P(p

d (P. O) = y (q, - p,}2 X

del plano cotnclde con el módulo del

PO Por lanto

vector

o

a,)

p) y O(q. q2) es

+ (q1 - p 2)1- = y(p, - q ,)i + (pl :.._ G1Y

Ejemplo. Halla fa distancia entre los puntos P(-2, 4) y 0 (- 1, - 3)

d(P O)= y(-1 +2)2 +(-3-4)1

= yl1+4'9-

V5o =50 unlddCI(;;S de long1tud (u)

Distancia de un punto a una recta Dados un punto P y una recta r. se ent,ende por distancia del p u nto P a la recta r la m1n1ma d1stancta entre d1cho punto y cualQUier punto df> l • C(!Ct P' (a, b)

¡

¡

0(1 , 2)

X

5y 1 H> • O e;) V"" 3, X d

0(1, 2)

r M(l, - 2) O' (11 b)

-f-• 1 t=> u•

2,

1 +D

b

t=> ~- 1

Ln recto P'O' pusn por P'(2,

O'(t, O)

")y llene vwctor d1roc tor

pro:' . (1 - 2, - 6 + 4) • (- 1, - 2) x - 2 • Y-1 4 o - 214 x • P'O' • -1 -2

EJERCICIOS PROPUeSTOS 19. Calcula el stmétnco da P( -2, 3) rospecto dOI punto M(l -4) 20. Calcula el sirnétrtco de P(5, - 1) ror;pocto de In lllCiu

rx-y+3=0

y

4

21. Clllculu 1o rocto sirnótrtClt d 1010 el Of(lonnd 8 ttJilf)t>C.to dO y • X ·1 1

22. Hnlln ol oxtr01110 B .as rectas a las rectaS b V b.

que dMden a los ángu'os determma J·

v · r , s en dos partes rguales

Las rectas b, y b~ son perpendiCUlares ya que

; +%=~== 'f ~900

Todos los puntos de la btsectnz verd1can que su dtstancJa

y

~ r cotnctde con su dtstarlCJ.3 a

Sea P un punto cua\qutera de b, Los triángulos OOP '1 OF?P son rectángulOs en O Y €11' fl respectivamente, t'eneo la hipotenusa común y otro angu10 '! 2 · tmbrén comun Por tan•.o. son 1guales y en consecuencra PO = PR Esta proptedad perrntte deflnlf la bJsecwz de dos rectas como lugar geométnco la5 b1sectnces de dos rectas r Y s constnuyen el Jugar geometnco de tos puntos a..

P'"'"' Oue r.qwdtstan de r y de S

Cálculo de la mediatnz de un segmento ,J\1 .... -

, __ g1, u.•ntv de extrer1o,

,.,._a,

a2) y B(b, b 2¡

¡>ara calcu'ar la med1atnz del segmento AB 1

se calcula el pLnto med10 M del segmento AB.

2 . se calcula la perpendicular

a la recta AB y que pasa por M

Existe ot•o método para calcular la med1atnz del segmento A8 pan1e'1do de la def•n1C16n corno lugar geométnco es el con¡unto de puntos P (x, y) que venhcan d(P. A)

= d(P. B) => Y(x -

a.)

2

+

a~v =- V!x - b.)2 +

(y -

Elevando esta últ1ma expres1ón al cuadrado. operando y reduc1endo de la med1atnz del segmento AB

(y - b1

se obt1ene

Y

la ecuación

Cálculo de las bisectrices de dos rectas

=o

sean las rectas r. Ax + By + C = O y s· A'x + B'y + C'

se aphca la def1ntC1ón de b1sectnz como lugar geométnco es el ccn1unto de los puntos P(r.. y) que equ1d1stan de las rectas r y s

d(P r)=d(P. s)=> IAx+By+CI 1 \ A +Bl

IA'x+By+CI ::::>Ax+By+C =+A'x+B'v+C VA' 7 +B' 2 vA· +B' VA' 2 +B'

según se tome en la ultima expres1ón el s1gno + o el s1gno -, se obtendrá una u otra b1sectnz

j1a. Calcula la mediatrlz del

Primer método

segmento de extremos

Punto med1o de AB: M =(·

A(- 2, 3) y 8(4, 1)

2

+ -\ 3 ; 1 )

2

= (1, 2)

Perpendicular a AB por M M(1, 2) { AB = (6,

( , _ 1) => 3(x - 1) - (y - 2) 3

2)

= O ~ 3x -

y- 1

=O

Segundo método Sea un punto cualqUiera P(x. y) de la mediatriz d(P. A) = d(P, 8) ~ \ l(x + 2)7 + (y- 3)2 ~

: 17. Calcula las b1sectnces de la

rectas r 3x + 4y - 10 S. X- 2y = 0

=O y

x2 + 4x + 4 + y2

-

6y + 9

=x

2

= y(x-

Bx + 16 + y 2

-

-

4)2 + (y- 1)2::)

2y + 1 :::::> 3lC - y - 1 .., O

Sea un punto cualquiera P(x. y) de las b1sectnces d(P,r)

= d{P.s) ~

3x+4y -1_()_

V3 +4 2

=~ \

x- 2y ~ 3x + 4y- 10 + (-2)~

1·

V5

= ±x-2r

V5

+ (4Vs + 10)y- 10\rS = O (3Vs + 5)x + (4\'S - 10)y- 10\'5"" O (3Vs - 5)x

b,

b2

2

:

EJERCICIOS PROPUESTOS 23. Dadas las rectas r. x -- 3y + 4 = O y s· calcula sus b1sectnces y comprueba que

x+y -

O,

24. Dado el tnángulo de vérttces A(5. 1). 8(3. 7) y C(-2, 3):

a) Se cortan en el punto de mtersecc16n de r y s

a) Calcula el cncuncentro y el rad1o de \a c1rcunferencía c1rcunscnta

b) Son perpendiculares.

b) Calcula el incentro y el radio de la circunferencia 1nscnta

l

l

1¡

1

EJERCICIOS ~RESUEUOS--+-----------------Poatctón relativa de rectas Eatudla In pastelón relativa de las slgul&ntes. rectos, segun los diferentes valoros del parámetro

Las rectas r y s serán paralelas s1 m 2-2m m ""'s-m---3 = 2 - 10m ~ Bm - 3

m

Operando se obMne la sigUiente 1gualdad

=O

r· mx- (2m - 2)y + 1

m - 5rrr = am - 3 -

s (8m -3)x +(2 - 10m)y-1 =O

=

anr + 3m => 3nr -

1

-m

1 - 5m

+3 =o

1Om

Se resuelve la ecuac16n de segundo grado·

=v'100 - 36 = -1o:t- 8 ==>

m = 1o

6

6

m,

= 3,

- Para m = '3 las rectas son paralelas

r

3x

4y

+

1 = o y

s · 21 x -

28y - 1 = O

- Para m - ~ las rectas son c01nc1dentes.

- Para

m -¡:

1

4

- 1

4

x + '3Y + 1 "' O y s 3x - 3Y 3 1 y m :f. , las rectas son secantes. 3 r

3

1 = O

Ángulo de doa rectas

=

Dada la recta r 2x + 4y 5, halla la ecuación do la recta s,

perpendicular a r qua pasa por el punto P(1, -2) ¿Qué ónoulo forma la recta con la recta t y= x + 5?

s

Como ñ, = (2, 4), un vector perpendicular a él es. por e¡emplo, ñs = (- 4, 2) - ( - 2, 1), por lo que la recta buscada es de la forma - 2x + Y + e = O. Al pasar por P(\, -2), se debe cumplir. -2 · 1 + 1 • ( -2)

+e

= O=>

e

=4

s ped1da es - 2x + y + 4 = O La pendiente de la recta t es m = 1 y la de s es m' ~ 2, as1 el ángulo oc que La ecuacrón general de la recta

forman ambas rec\as vrene dado por

tga=

m - m' l 1 1 + mm'

Con lo que resulta a

!

1 -2 1= ~-3-1 j =1+ 1 2

1 =-=0333 3

'

= 18.435° = 18Q 26' 6".

Puntot simétricos • Un rayo parte del punto

P(-1, 4) en dirección al espejo determmado por la recta , . 'J( + 2y- 2 =o SI el rayo reflejado se observa en et punto 0(3, 2), calcula en qué punto del espejo incide el rayo

Los ángulos que forman los rayos 1ne1dente y refle¡ado con la recta r deben ser 1guales. Sr O' es el 51métrrco de O respecto de r, los tnángulos OTM y O' TM son rguales y. por tanto, sus ángulos OMT y éfMf son 1guales Así resul1a que para calcular M es suf1crente con hallar el punto O' y la 1nterseccrón de r con PO'. • Recta 00': es la perpendrcutar a r por O

2x - y

+ e = O~ 6 -

+ e == o ~ e r y oo·

• Punto T. Intersección de X + 2Y { 2x - y

- 2

=O

- 4 == O

2

= -4 => 00'

::..) { 2x - 4y .,. 4 = O ~ y 2x - y - 4 = O

= 2x -

= O, X ==

y - 4

=O

2 ~ T(2, O)

• Punto O'(a, b) Se uhhza que Tes el punto medio de 00'

a+3 r = 2 ~a= 1,

-b+2 - =O~ b 2

• Recta PO'· El vector drrector es PO'

x+1

= -2 => 0'(1,

-2)

= {2, -6)- (1, -3)

y-4 -3

---=--=>3X+y-1 ;:::0

1

r:JPt2y- 2=0

• Punto M lnterseccrón de r y PO'

x + 2y {3x+y-

2 1

= O~ {-3x+=O

3x

6y

+_o 6 = O=>-5y+5=0=>y== 1, x=O=>M(O,

y- 1 -

1)

-----~e~-------------------------------------------------------------------

Punto• y rectes notables del trl6ngulo Dado el triángulo A(3, 2), B(1, -2) y C(-1 , O)

a

a) Calcula las ecuaciones de los lados y las coordenadas de sus puntos medios. b) Calcula las ecuaciones do las medianas y las coordenadas del bancentro. e) Calcula las ecuaciones de las alturas y las coordenadas del ortocentro

X • 3 ) AB {~(3. 2) · AB ( 2, - 4) .., (1 , 2) ::) - 1-

6 • y - 2

?x

= CB

3 - 2y - 4

X -

{S.. 1, O) CB (?.

2)

= AC •

x+1 ..,

Ne

1

}1

22

e

~ O

2 ")

1

2y + 1

X -

=

=y

=o

L

-1

~

=O

x+y +1

~ CB

(1, 1).

3

2

(1, ·1)

y

?x - y - 4

= x-

AC {A{3, 2) AC • ( 4, - 2) - (2, 1)

M(3 2_1. 22)

d) Calcula las ecuaciones de las med1atrlces y el c1rcuncentro

=AB •

= -y -2 -2

2_),

p( ·12+ '. ~2) = (0, -1)

(2, 0),

b) Las med1anas AP. BM y CN ¡on las rectas que pasan por un vért1ce y por el punto med1o del lado opuesto. El bancentro G es el punto donde se cortan las tres med1anas

y

AP . {A(?. 2)

+

AP · ( · 3, -3),.. (1, 1)

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x- y- 1 = O

8(1, -2) BM: ( BM (0, 3)

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= ! -1 3 = y -1 2 ~ x -

~

e) Las alturas son las rectas que pasan por un vért1ce y son perpendiculares al iado 1

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y

A

hro: x - y+ k = O Pasa por A (3. 2) ~ 3 - 2 + k = O

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hAB:

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h,4C 2x +y+ k= O, Pasa por 8(1, -2) ::) 2- 2 +k::: O =* k= O ~

X +

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hac X- y- 1 =O

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es el punto donde se cortan las tres alturas

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H.

opuesto El ortocentro.

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H:

2x+ y= O

=

x + 2y +k= O. Pasa por C(-1, O) ~ hAB: X+ 2y + 1 :: 0

r-y-1=0 ~ 3y + X + ·2y + 1 • 0

2

- 1 +O+ k=

o ~ k= 1 ~

2 = O ~ y = --3' X=_!_~ H= 3

(-!-3' .::1) 3

d) Las mediatrices de los lados del tnángulo se cortan en el c~rcuncentro R.

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2x+ y+ k=O. Pasa por

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M(1, 1)::) 2 + 1 +k=O =k= -3 =>

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X

Mw: x + 2y +k.= O. Pasa por N(2, O) ::) 2 +O+ k= o => k= -2 ::) MAII: X+ 2y- 2

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