EJEMPLOS DE VALUACION DE OPCIONES EUROPEAS Y AMERICANAS EN MODELO BINOMIAL Juan CIRIELLI y Ernesto MORDECKI Facultad de Ciencias. Centro de Matemática

RESUMEN.El objetivo de este trabajo es obtener precios de opciones europeas y precios y regiones de ejercicio de opciones americanas, en el caso de contratos sobre divisas. Para esto se introduce el modelo binomial de COX-ROSS-RUBINSTEIN, así como los métodos de valuación de aquellas. Se procede a la estimación de parámetros en este modelo a partir de datos de tipo de cambio dólar-peso en los meses de enero, febrero y marzo de 1998, suponiendo que las opciones se emiten el 31 de marzo y se ejercitan el 30 de abril del mismo ano. En el caso de opciones europeas, se presenta una tabla de valores de los precios de las opciones donde varia el precio del ejercicio. En el caso de las opciones americanas, tras imponer un factor de descuento diario (lo que hace que la solución sea distinta de la europea) se calculan los precios como en el caso anterior, y las regiones de ejercicio, es decir, se determina el momento más conveniente para ejercer la opción a lo largo del mes. Por ú ltimo, se discuten las limitaciones del enfoque empleado. El material presentado es parte de la monografía correspondiente a la Licenciatura en Matemáticas (opción Estadística) del primer autor.

1.- BASES DEL MODELO DE INVERSIÓN. Vamos a considerar un modelo de inversión básico binario que llamaremos (B,S)-market operando en tiempos n = 0,1,... N, con dos activos: depósitos en un banco B = (Bn) e inversión en stocks S = (Sn). En concordancia con este modelo, la dinámica de un depósito en un banco está dada por la relación de recurrencia: Bn = (1+r) Bn-1, con B0>0 y r>0, siendo r la tasa de interés. Asimismo, asumimos que el precio de un stock evoluciona con la siguiente ley: Sn = (1+ρn) Sn-1, con S0>0 y ρ = (ρn) una sucesión “caótica” que toma sólo dos valores a y b, con –1 < a < r < b (esta condición implica en particular que Sn>0 ∀n). Para asumir la aleatoriedad de la sucesión ρ = (ρn) suponemos que está definida en un espacio de probabilidad (Ω, F, P), donde Ω = a, bN es el espacio de las realizaciones de la sucesión ρ, P pertenece a una familia de probabilidades P, tal que para toda P∈ P, ρ=(ρn(ω)) es una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con: 0 x0: g1(x) = x – K ; siendo x0 = K { INCRUSTAR Equation.3 }el punto de corte de las rectas y1 =(x – K) e y2 = β (x –{ INCRUSTAR Equation.3 }), que, como { INCRUSTAR Equation.3 }> 1, entonces x0 > K. Analicemos ahora g2(x) en los x: x ≥ { INCRUSTAR Equation.3 }: para estos x se cumple que x(1+b) > x(1+a) ≥ x0 > K y por lo tanto: g1(x(1+a)) = g(x(1+a)) = x(1+a) – K g1(x(1+b)) = g(x(1+b)) = x(1+b) – K y entonces: g2(x) = máx (x – K), β (x –{ INCRUSTAR Equation.3 }) por lo que: a) si { INCRUSTAR Equation.3 }< x ≤ x0: g2(x) = β (x –{ INCRUSTAR Equation.3 }); b) si x > x0: g2(x) = x – K . Repitiendo de idéntica forma este razonamiento deducimos que: a) si { INCRUSTAR Equation.3 }< x ≤ x0: gn(x) = β (x –{ INCRUSTAR Equation.3 }); b) si x > x0: gn(x) = x – K; para todo n: 2 ≤ n ≤ N. Por otra parte, ya vimos que g1(x) = g(x) = 0 para los x: x ≤{ INCRUSTAR Equation.3 }. Observemos que sucede con g2(x): a) si x ≤{ INCRUSTAR Equation.3 }, como g1(x(1+b)) = g1(x(1+a)) = 0, entonces: g2(x) = g(x) = 0; b) si { INCRUSTAR Equation.3 }< x ≤ K, como g1(x(1+b)) y/o g1(x(1+a)) son positivos, entonces: g2(x) > g(x) = 0. Repitiendo ahora este argumento deducimos que: gn(x) > g(x) = 0 para los x: { INCRUSTAR Equation.3 }< x ≤ K y 0 ≤ n ≤ N. Por otra parte, si x: K < x ≤ x0 ya vimos que g1(x) > g(x) y como gn(x) ≥ g1(x) para 1 ≤ n ≤ N, pues gn(x) = max {g(x), Tgn-1(x)} = Qng(x) = max {gn-1(x), Tgn-1(x)} eotonces también gn(x) > g(x) para 1 ≤ n ≤ N. Resumiendo entonces las anteriores consideraciones, obtenemos: 1) gn(x) = g(x) = 0 para los x: x ≤{ INCRUSTAR Equation.3 }; 2) gn(x) = g(x) = x – K para los x: x ≥ x0; 3) gn(x) > g(x) para los demás x. Por lo tanto, las regiones de continuación del contrato son: Cn =  x: x ∈ ({ INCRUSTAR Equation.3 }, x0)  para 0 ≤ n ≤ N, las de detención: Dn = (Cn)c y el tiempo óptimo de parada: τN = min {0 ≤ n ≤ N: gN-n(Sn) = g(Sn)} = min {0 ≤ n ≤ N: Sn ∈ DN-n}.

Teniendo en cuenta los valores asumidos para los distintos parámetros, calculamos x0 mediante la fórmula dada arriba y obtenemos: x0 = 103111,602. Por ello, las regiones de continuación de la opción son: Cn =  x: x ∈ ({ INCRUSTAR Equation.3 }, 103111,602)  para 0 ≤ n ≤ N, las de detención los complementos de ellas y el tiempo óptimo de parada es: τN = τ20 = 17. Todo ello lo podemos visualizar en la gráfica que exhibimos a continuación:

La función de pago es f17 = 0,9517 (S17 – 102450) + y por lo tanto la cantidad que se debe abonar al comprador es f17 = 0,9517 (103150 – 102450) + = 292,684.