EJERCICIOS 3º E.S.O. NÚMEROS 1. Ordena de mayor a menor: 5/8, 3/4, 2/3, 5/6, 7/9 2. Representa sobre una recta los siguientes números: 2/3, 3/4, 1/2, 4/5, 5/6 3. Calcula: 3 -4 a) · 4 5

 3 4  1 b)  -  :  2 3  3

4. Calcula: 12 3 a) + 3 2  5   2 1  c)  - 1  ·  -   3   3 2 

 b)    d)  

1  1  - -1  3  2  c) 3 -1 2

2 -2 3 5 -1 2

 2 d)   -3 

2 1 5 3 2 1 3 5

     

2    · 3 -  3     ·3 

5. Opera: 1 1 1 a) + 3 2 5 1 1 e) + 2 6 3

1 1 1 b) - + 2 3 4 1 1 f) 2 - + 3 2

3 1 c) - + 1 4 2 1 1 g) - - 1 4 3

1 2 d) 3 - + 2 3 1 1 1 h) - 6 3 2

6. Calcula:  a) 2 -    d) 3 -  

2 1 + 3 6 1 1 + 2 3

     

2   1   b)  3 -  +  3 -  3   4   1  1  e) -  2 +  3  2 

2 1 c) - 2 + 3 2  3 1   2 1  f)  -  -  +   2 4   3 2 

7. Opera: 1 1 1 2 a) - + · 3 2 4 3 1  1 2 c) -  + 3  4 3 1  1 2 e) -  + 2  3 4 1 1 1 3 g) - · 4 3 2 2

1  -3· 2  1  -3· 2 

 5 1 1   2 1 1  b)  - +  -  _ +   3 2 4   3 2 4  1  3 1  d)  -  · 4 + - 2 3  5 2  1 3  1 1  f) - + 2  -  4 2  3 2  2 1  2  h) · -  + 1  4 3  6 

8. Opera:  1 1  1  3 1   a) 2 :  -  + b)  :  +   2 3  4  2 2    1 1   2 1  1  1 1   d)  -  :  ·  + e)  -  ·   3 2   3 2  4  4 3  

1 1 : 3 2 1 1 + 3 2

     

2  c) + 3 :  3   2 1 f)   3 2

1 2  ·  4 3   1 1 : +  6 2

9.

Disponemos de una cuerda de 30 metros de longitud. Calcula: a) 1/3 de esa cuerda b) 1/2 de la cuerda c) 2/5 de la cuerda

10.

Tenemos un bidón del que vaciamos 1/8 y luego 2/5 de lo que quedaba. Si todavía quedan 42 litros en el bidón, ¿cuántos litros tenía al principio?

11. Alberto tarda 3 horas en hacer un trabajo de matemáticas, Sergio tarda 4 horas y Juan tarda 6 horas. a) ¿Cuánto tardarán en hacerlo entre Sergio y Juan? b) ¿Y si les ayuda Alberto? 12. Un padre reparte una herencia entre sus tres hijos. Al primero le da los 3/5. Del resto, al segundo le da los ¾, y al tercero los 1200 euros restantes. ¿Cúal era la herencia? 13. Clasifica los siguientes números pasando a fracción los que sean racionales:  132 ' , 1'32 , 1'3232323232... , 1'31323334... 14. Contesta verdadero o falso, razonando la respuesta: a) El número π es un número irracional b) El 40% equivale a la fracción 1/4 a+2 a a -a c) d) - = = b+ 2 b b b 9 e) El número 3,211111... es irracional f) El número es natural 3 15. Calcula dejando el resultado en forma de fracción:

2 + 0,25 - 0,13333... 3

16. Indica a cuáles de los siguientes conjuntos: naturales , enteros Z, racionales Q, irracionales  y reales , pertenecen los siguientes números: a) 0,25; b) 3 ; c) 5/2; d) 1,020202...; e)  9 ; f) 15/5; g) 0,333...

17. Representa los intervalos (0,2), y [1,+) de todas las formas posibles

18. Representa de todas las formas posibles los siguientes intervalos: -3 2 1   ,1 , 0  x < 5 ,  ,  , x > 2 3 2 ¿Tienen los dos primeros puntos en común? ¿Cuáles? ¿Y los dos últimos?

19.-

a)

Clasificar los siguientes números reales y calcular la fracción generatriz de los que sean racionales:  3 2 1'15 ; 3 125 ; 4 '122222... ; 2 2 ;  3 ;  1'6 ; 9 Representa de todas las formas posibles los siguientes intervalos y lo que tengan en común. Indica además un número racional y otro irracional que pertenezcan al intervalo común a ambos.  3 7  ,   5 4

b)

POTENCIAS Y RAÍCES 1. Calcula las siguientes potencias: a) 24 b) (-3)3 4 e) (-1) f) 33

c) (-2)2 g) (-3)3

d) 104 h) 25

2. Escribe en forma de potencia de 2:  1  b)    2 

1 1 1 a) · · 2 4 8

2

-1

 1   1  ·  · -   4   8 

2

c) 16 · 8 -1 ·

3. Completa el siguiente cuadro: A

B

 1     3  2 5

3

 1     3 

A.B

 2     5   3     7 

 5     6 

A:B

-3

4

4

 3     7 

3

2

 5     6 

2

4. Realiza los siguientes productos: a) 23 . 24 . 20 b) 35 . 32 . 34 2

3

 1   1   1  d)        3   3   3  3

2

 1   4   2  f)        3   3   3 

-1

-2

2

c) 22 . 25 . 27 3

 2   3   3  e)        3   5   2 

-1

1 8

5. Opera:  4  a)    3 

 2 a2 b)   3

-2

  

3

3 .3 f) 26 2 2 .3

-4

e) (-3)

2

 3 a3 d)   5 a

  

-2

 2 x3 h)  2  3 x

  

 3 . x3 c)  2 2  2 .3

  

 3 . x2 g)  2  x .3

  

4

-3

6. Reduce las siguientes expresiones a una sola potencia: 6 2 3 2 .  2 . (-2 ) a) -1  5 -2 2  2 .2

 a 2 . a-3 c)  - 2 3  a .a

   

2

-1

 (-3 )2 33 (-3) b)  3 -1 3 .3 

  a 2 . a3  .  2   a .a

  

2

7. Realizar las siguientes operaciones: 3 2 -4 5 -3 3 2 a) a-4 b -1 a 0 b 3 · a7 b-3 a 4 a b a b a a b -2

 x 2 . x-1 d)  3  x . x

2

2

-1

  x . x-2  .  2   x . x

-2

-3

3   2 d)  4 1   3

5

3

2



  

-1

 1  3 2 6   5 5   5

4 x  yx 2

b)

1 2

a)

9.-

Opera y simplifica:

 1  5 2 3    5  5  5 a)   3  1  4   5  25 

10.-

Escribe primero en notación científica y calcula el resultado de: 9·10 8 ·0,000000081 a) b) 1'3  10 9  9'2  10 8  0'0025 300000· 2'7·10 8

 25  3  5 4 4

11.-







f) 3.3 2

g) 2.4 3

1  y

322 2 x 3 y 2  2

4 1 3  b3   a  b 1     a b) 2 1  27    32  a 2  b3 





Introduce en el radical los factores que aparecen fuera de él: a) 2. 5 b) 5. 3 c) 2.3 3 d) 4. 3 e) 3. 2

-2

-4

Opera y simplifica:



  

2 3     3 4 -4 3  -1  1       2  9

4

8.-

2

27 16 3 12 8 b) 6 -12 · 3 1 5 3 -1 2 -1 4 3 12 6 4 24 8 -2

5   252 3- 2 5-5 3 c)   2 3 3 3   753 5-3 2 5 5

   

h) 7. 3

2

3

12.-

Extrae de los radicales los factores que se indican: a) De

27 el 3

b) De

d) De

125 el 5

e) De

12.- Simplifica las expresiones: a) 3 . 3 2 + 4 . 3 2 - 2 . c) 50 - 72 - 2 . e) 3 - 3 . 12 + 5 g) 12 - 27 + 3 i) 45 - 20 + 80 k) 18 - 3 8 - 2

3

3

2 8 el 2 50 el 5

c) De f) De

b) 2 .

2

81 el 3

3

80 el 2

3 +3 .

3 - 9 .

d)

2 . 27

8 - 3 . 2 +4 f) 12 + 5 . h) 18 + 50 - 8 j) 27 - 12 - 75 l) 3 5 - 2 45 -

- 5 +5 2

3

. 18 + 50 3 - 27 - 2 + 3 20 + 3 20

13.- ¿Son ciertas las siguientes igualdades? a) 16 + 9 = 25 b) 4 + 36 = 40 c) 9 . 25 = 225 d) 36 - 4 = 32 e)

f)

100 : 4 = 25

36 : 4 = 9

14.- Opera y extrae los factores que puedas:

 3a bc  d)  2 a b c  g)  a b c  a)

3

3

6

7

2

3

2

3

4

2

 e) 

2

b)

2

2

h)

15.- Opera y simplifica: 3 32 3 a) b) 2 a 2 e) 3 b a b 3

4

i)

l) 3

16.5 3

a)

2 a2 b 2 a



3

a b2 c 3

    

3

2

a b c

8



4

2 a 3 b2 c5

3

a b

f)  

4

    

4

2

8 -

32 + 3 2

72

a b2 c 2 g) 2 3 a b c

2 a 3 b4 c 2 a b c2 m)

k) 4

2

a b  

4

3

3 a2 b a b c .6 3 b c



2

4

c)

3 a2 b f) 2 a b 3



2 a 2 b c3

32 - 2 8

j)

c)

3

3

a b a b c

d)

8 a3 b 2 a b

h) 3

2 a b 2 a b

2 a b . 3 2 a2 b 6 2 a b

n)

3

2 3 a b c d a b2 c

Calcula y simplifica:

9  27 6

2

3

3

b)

3 x 2 y  4 31 x y 2 6

2

9x y

3

c) 4 162  4 32  4 1250

POLINOMIOS 1.-

Si P(x)= x3-x2-3x+1, Q(x)= 2x2-2x+1 y R(x)= 2x3-6x2+6x-1, opera: a) P+Q; b) P-Q+R; c) 2P-3R; d) P.Q-R; e) P+Q-R; f) Q.(2P-R)

2.-

Simplifica las siguientes expresiones: a) 2x3-5x2+3-2-3x3+x2 b) 2x-3x2-2-(x2+3x+4) c) x2-(2x+3)-(x2+2x) d) 5-3(x2+1)+x(x+2) 2 2 e) x -3x+2-(x-x )+3x f) x2-x+2x2-4+3x

3.-

Multiplica: a) (x2-3x+1).(x+2)

4.-

Desarrolla los siguientes cuadrados: a) (x+1)2 b) (x-4)2 2

d) (3x+2) 5.-

b) (2x3-3x2+2).(2x-1)

 2  e)  x - 3   3 

c) (x2+x-2).(x2+1)

c) (2x-1)2 2

 2  f)  + 2x   3 

2

Dados los polinomios:

P ( x )  x 3  x 2  x  1 ; Q( x )  x 2  x  2 ; R ( x )  3 x 3  5 Calcula:

a) R( x)  P( x)  Q( x)

b) P ( x )  Q ( x )  P ( x )

6.-

Transforma en diferencia de cuadrados: 1   1   2 2 a)  2x +  .  2x  b)(x +1).(x -1) 3   3    a   a  c)  d) (x-a).(x+a) +b  . - b   3   3   x   x  e)  f) (a-3b).(a+3b) - 3  . + 3   2   2 

7.-

Expresa como cuadrado de una suma o de una resta a) x2-6x+9 b) x2-4x+4 c) 4x2-12x+9 e) x2-10x+25 f) x2-12x+36 g) 9x2-12x+4

8.-

9.-

Desarrolla: a) (x+3)2 b) (2x-3)2 c) (x-3).(x+3) e) (2x-5).(2x+5) f) (3-4x)2 g) (2x-x2)2

d) (3x-5)2 h) (x-2/3)2

Efectúa las siguientes divisiones, indicando el cociente y el resto: a ) 2 x 5  4 x 4  7 x 3  6 x 2  12 x  5 : x 3  2 x  1

b) 8 x 4  4 x 3  2 x  7 : 2 x  1 c) x 3  x 2  x  2 : x  1 d ) x 4  x 3  3x  9 : x  3

d) x2+8x+16 h) x2/4 - x + 1

10.-

Calcular (y ordenar si es posible):

a)  4 x  3x 2 

2

b)  5 x3 y  2 xy 2 

2

2

 a2  c)  4 y  3 y    4 y  3 y  d )   2a   4  Completa las siguientes expresiones sabiendo que son productos notables e indica cuáles son: 2

11.-

2

3

a ) 25 x 2  .....  36 

b ) 25  a 4 

c ) .....  40 xy  25 y 2 

d ) x 4  18 x 2  ..... 

e) 12.-

3

y6 y3   .....  4 3

Opera y simplifica (utiliza los productos notables): a)  x 2  2   x  x3  4 x  2  2

13.-

b)  3 x  5    3 x  5    3 x  5  2

Calcular el valor de m para que al dividir el polinomio P( x)  3 x 4  2 x 3  mx 2  6 x  m entre x – 2 el resto sea 5. ¿Cuál será el cociente de dicha división?

ECUACIONES Y SISTEMAS 1.-

Resuelve las ecuaciones: x - 3 2x - 13 a) + x= + 2+ x 2 3 x+2 2x + 1 c) x + 3(x - 3) = 2 + 3 3 2x - 5 x x+4 e) + 2= x+ 5 2 4 g) x -

x 3x 5+ x + 3x = + + x+1 2 2 3

x - 1 2x + 3 + x= +1 2 3 x-3 4+ x d) 2 x = x+ 2 3 x - 3 4x + 3 f) = 2x + 4 5 5

b)

h)

6x - 3 4x - 3 = 2x - 2 3 5

2.-

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado, sin utilizar la fórmula: a) 3x2-27=0 b) 2x2-4x=0 c) x2=16 d) 9x2=4 2 2 2 e) 2x /3-6=0 f) 2x -32=0 g) 25x -9=0 h) 6x2-2x=0

3.-

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado a) x2-6x-27=0 b) 4x2+4x=3 c) x2-x=20 d) x2+10x+25=0 2 2 e) 6x +1=5x f) x +3x=0 g) 3x2-16x+5=0 h) 3x2-75=0

2 3x + 2 (x - 3 )2 x =1 j) - x + x 2 = x - (x - 2) 3 3 2 2 5x x (x - 3) x 2 + 2= k) (x - 3) (x - 2) + l) = (x - 2 ) 3 3 2 x  1 1 2 m )3x 2  4 x  7   x  2  7 n )  o )2  x( x  3 )  10  x( 2 x  5 ) x  5 1 x

i) 1 -

4.-

¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación de segundo grado?. Di, cuántas soluciones tienen estas ecuaciones, sin resolverlas. a) x2-16=0 b) x2+16=0 c) x2+x-6=0 2 2 d) x +x+4=0 e) x +2x+1=0 f) x2-6x+9=0

5.-

Si a un número le restas 14, se reduce a su tercera parte. ¿Cuál es ese número?

6.-

La suma de tres números naturales consecutivos es igual al triple del segundo. Halla dichos números.

7.-

Inventa una ecuación de segundo grado que tenga: a) dos soluciones, x=1 y x=-2 b) una solución, x=-3 c) ninguna solución d) dos soluciones, x=0 y x=1

8.-

Plantea una ecuación con una incógnita (de primer o segundo grado) para cada uno de los siguientes enunciados y resuélvelos: a) b) c)

Ana tiene 13 años y su madre 45. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la edad de la madre de Ana duplique a la de su hija? La suma de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 340. Halla dichos número Una madre tiene 64 años y su hija 32. ¿Cuántos años han transcurrido desde que la edad de la madre era el triple de la de su hija?

d)

Si el lado de un cuadrado aumenta en 3 cm, su superficie aumenta en 81 cm2. Halla el lado del cuadrado

e)

La diferencia entre los cuadrados de dos números pares consecutivos es 52. ¿Qué números son? En un texto matemático babilónico que se conserva en una tablilla en el Museo Británico de Londres se lee: “Al restarle al área de un cuadrado su lado obtenemos 870 cm.” Hallar el lado de dicho cuadrado

f)

9. a)    d)    g)  

Resuelve los siguientes sistemas por métodos distintos: 3x + 2y = 3  4x - 3y = 5  b)  c)  - x + y = -1  - 2x + 5y = 1  5x - 6y = 3  2x + y = 9  e)  f)  7x - 2y = 17  x - y = 3  5(x + 2) = y  3 x+ y = 5  h)  i)  2x + y = 3  2(x + 1) = 2y 

x + 2y = 9

 4x - y = 3(x - 3 + y) j)   3x + 5y = - 3x + 2y

  k)   3x 

 3x =   m)   x =  2

 3x + 2y = 0  n)   x + 2y = - 1  2 3

6y 3y - 1 2

-

y = 2 4

x +

y = 1

3x + 2y = 0 4x + 12y = - 8 5x y = 6 2 ( 3x - 2) = - 5y 3 ( 2x + 3y) =

12

 x + y = 0  2  3 l)   2x + 3y = 1  3 4 

 2x  o)   2x  3

y = 1 y = 1 5

10.- Resuelve los siguientes sistemas indicando en cada caso el método empleado  3x  2 y  5 a)  2 x  4 y  14

x y x y  3  b)  4 2  12 x  7 y  39

 x 2 y  4 11   12 3 12 c)  x y 1     6 5 30

y 1  x 1  2   2 3 d)  x y2  1  4 2

7   3 x  2 y  2 e)   x  2 y  1  3 2

 2x  3 y  2 1  2  5  5 f )  x  2  3( y  1)  3  2

11.-

Dentro de 2 años la edad de una persona será el triple de la otra, y dentro de 14 años sólo será el doble. ¿Cuál es la edad de cada una?

12.-

Un comerciante quiere gratificar a sus empleados y para ello reparte cierta cantidad de dinero. Si a cada uno da 100 euros le sobran 300; pero si da 150 euros le faltan 200. ¿Cuál era la cantidad y cuál el número de empleados?

13.-

Una empresa envasa 3600 kg de jabón para lavadoras en recipientes de 3 kg y 8 kg. Si se han utilizado en total 700 recipientes, ¿Cuántos se han usado de cada tipo?

14.-

Un comerciante compra por 980 euros ovejas a 50 euros cada uno y cabras a 40 euros cada una. Se le mueren 3 ovejas y 2 cabras y calcula que si vende cada oveja y cada cabra a 10 euros más de lo que le costaron perdería en total 60 euros. ¿Cuántas ovejas y cabras compró?

15.-

He comprado un DVD y me ha costado 105 euros. Lo he pagado con 12 billetes de dos tipos, de 5 euros y de 10 euros. ¿Cuántos billetes de cada clase he entregado?

16.-

Sabemos que un padre tiene el doble de años que su hijo y que hace quince años, la edad del padre era el triple que la del hijo, ¿cuántos años tiene cada uno?

PROPORCIONALIDAD 1.-

En el colegio de Celia, la directora prevé que el curso próximo el número de estudiantes aumentará un 5 %. Ahora son 700. ¿Cuántos habrá el curso que viene?

2.-

Alfredo va a comprar una mochila de 38’60 euros, y le rebajan un 15 %.¿Cuánto le cuesta la mochila?

3.-

Para realizar un viaje, una clase de un colegio contrata un autobús de 80 plazas por 360 euros. Si el autobús se llena, ¿cuánto paga cada alumno? ¿Y si se llena hasta la mitad?

4.-

Cuando se lleva realizado la mitad del escrutinio de las quinielas hay 6 acertantes de 15 que cobrarían 108.00 euros cada uno. Al terminar el recuento hay 9 acertantes. ¿Cuánto cobrará cada uno?

5.-

Si en un pueblo en el que viven 2500 habitantes asistieron al pregón de las fiestas del año pasado 1000 de ellos, ¿qué porcentaje de habitantes del pueblo asistió? ¿Cuántos asistirán este año si se prevé que vayan un 5 % más?

6.-

Si 8 hombres cortan 9 troncos en 10 horas, ¿cuántas horas tardarán 4 hombres en cortar 6 troncos?

7.-

Un paquete de 500 gramos de café se vende a 4 euros. ¿A cuánto debe venderse el paquete de 650 gramos?

8.-

En una elección en la que se emitieron 5.781.200 votos un candidato obtuvo 2.948.412 de ellos. En las siguientes elecciones se emitieron 6.456.900 votos y el mismo candidato obtuvo 3.099.312. ¿Mejoró su porcentaje de votos?

9.-

Un artículo que vale 9’2 euros sufre un incremento del 5 %. Posteriormente, el mismo artículo vuelve a ver incrementado su precio en un 10 %. ¿Cuánto vale ahora? ¿Es ahora un 15 % más caro que antes?

10.-

En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal.¿Cuántos litros de agua de mar se necesitan para obtener 5200 gramos de sal?

11.-

Tres obreros fabrican 18 piezas en 5 horas.¿Cuántas harán 5 obreros en 6 horas?

12.-

Cuatro chicos en una acampada de 10 días han gastado en comer 150 euros. ¿Cuánto gastarán 6 chicos en una acampada de 15 días?

13.-

15 obreros trabajando 6 horas diarias tardan 30 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros empleando 8 horas diarias?

14.-

¿A qué interés se debe imponer un capital de 5000 euros durante dos años y medio para que se convierta en 5780 euros?

15.-

¿Durante cuánto tiempo tienen que estar 800 euros en un banco para que con un 3% de interés anual se conviertan en 890 euros?

16.-

En un negocio invierten 3 personas. Al final del año se quieren distribuir los beneficios, que son de 27000 euros, en partes directamente proporcionales al trabajo diario que realiza cada uno: 4, 5 y 6 horas, respectivamente. ¿Cuánto le corresponderá a cada uno?

17.-

Se quieren repartir 14100 euros en partes inversamente proporcionales a los goles encajados por 4 porteros de fútbol: 3, 8, 9 y 12 respectivamente. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?