EL BILLAR NO ES PARA VAGOS

Carlos Bosch Giral ITAM

¿Qué es el billar? {

Billar: del francés billard. Juego g de destreza que se ejecuta con tacos, bolas de marfíl en una mesa rectangular forrada de paño, rodeada de barandas elásticas y con troneras o sin ellas.

Definición de Serge Tabachnikov {

Una mesa de billar es una variedad Riemanniana M con frontera suave a pedazos pedazos. El sistema dinámico del billar en M está generado por el movimiento libre de un punto donde se acumula la masa (llamada bola) sujeta a la reflexión ó en la frontera. Esto quiere decir que un punto se mueve según una geodésica en M con velocidad constante hasta que golpea la frontera. En un punto suave de la frontera la bola se refleja de manera que la correspondiente tangencial de la velocidad sea la misma mientras que la normal cambia de signo.

Definición de Donald {

Una mesa de billar es la unión de dos cuadrados donde el rebote de la bola es tal que el ángulo de entrada y el de salida son iguales.

{ { { { { { {

1800 juego de dos personas 1900 se admiten más de dos personas Tres jjuegos g p principales p El billar con tres bolas La pirámide con 15 bolas rojas sin número El pool número variable usualmente 15 bolas con número, una bola sin número El pool adquiere el nombre de la forma de apostar

{ { { { { {

El billar es un juego antiguo Sh k Shakespeare h bl d habla dell bill billar en “A “Antonio t i y Cleopatra” 1607 Llegó a Inglaterra a través de los caballeros que regresaban de las cruzadas. La primera evidencia que se tiene del billar es en Francia siglo XV Carlos IX de Francia y James I de Inglaterra en el siglo XVI tenian mesas de billar en sus palacios. palacios En América la primera mesa de billar apareció en Florida llevada p por los españoles p en 1565

Los números y los billares { { { {

Patente US 2,978,816 11 de abril de 1961 Andrés Zavrotsky Universidad de los Andes Venezuela Aparato óptico para calcular el máximo común di i divisor Tomaremos mesas de distintos tamaños 11 10

9

9

8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2 1

2

45°

0 1

2

0

1 0

45° 3

4

5

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Máximo común divisor De

6

y

9

6

2

9

3

6= 2 X 3

3

3

3

3

9= 3 X 3

1

1

1

1

mcd (6,9)=3

De

342

y

243

342

2

3 243

3

171

3

81

3

57

3

27

3

19

19

9

3

1

3

3

1

1

1

9= 3 X 3 mcd ((342,243)=9 )

{

H. Steinhaus probó que no importa cuales l son las l dimensiones di i d de la l mesa si una bola empieza en un vértice é con un ángulo á de 45° después de un número finito de rebotes llegará a alguno de los otros vértices. Pregunta { ¿Qué vértice de los tres restantes es el que tocará la bola?

8

7

4563 6

5

4

5 5802

3

2

1

0

5 4 3 2 1 0

9 8 8 7 7 6 6 5 5

par

impar

4

4 3 3 2 2 1 1 0 0 0

1

2

3

impar

4

5

0

1

2

3

4

impar

5

12 11 10 7

9

6

8

5 7 4 6 3

5

2

4

1

3

0 0

1

2

3

4

par

5

6

7

8

9

10

2 1 0 0

1

2

par

3

4

Máquina de Zavrotsky {

{

Se envía un rayo de luz a 45° partiendo del origen, el rayo p de un número finito de después “rebotes” llegará a uno de los g , entonces vértices del rectángulo, habrá sobre el lado más largo un punto iluminado A que es el más cercano al origen. Calcular la distancia de OA Representa el doble del MÁXIMO Á COMUN DIVISOR

6

0 0

6

A

9

3

0 0

A

8

A

5

P

A

Q

N

M

6

2mcd(a,b)=min{d:d=2am+2an 2mcd(a b)=min{d:d=2am+2an tal que m,n Z y d>0}

∈

0

A

8

Problemas de mínimos-máximos d(P,Q) = distancia de P a Q { Si P 1 y P 2 son fijos, P está en C una curva cu a lisa sa y L(P) ( ) = d(P 1 ,,P)) + d( d(P,, P 2) ; { L() alcanza un mínimo o un máximo en el punto P 0 de C entonces P 1 , P 0, P 2 es una trayectoria de billar con rebote en C {

P0 P1 P2

{ {

{

P2 P1

{

{

{

Observaciones (1) Si P1 y P2 son los focos de una elipse una bola que sale de P1 pasa siempre por P2 con un rebote de billar (2) d ( P1 , P) + d( P, P2) constante SUPONGAMOS Q QUE EL REBOTE EN P0 NO ES UN REBOTE DE BILLAR Consideremos la familia de elipses li que ti tiene y P P2 1 como focos. Como en el rebote no es P 0 de billar la tangente a C en no es tangente a alguna de P0 las elipses en , intersecta a las elipses P0

{ { {

{ { {

En una vecindad de P0 la curva C intersecta a la familia de las elipses. elipses P 0 está en una de las elipses así que d(P 1 , P 0) + d( P 2 , P 0 ) = k E claro Es l que siempre i h hay un punto t P en C que cumple d( P 1 , P 0 ) + d( P 2 , P ) > k y otro punto Q en C que cumple d( P 1 ,Q) + d( P 2 , Q) < k P y Q en las elipses De modo que d( P 1 , P 0 ) + d( P2 , P 0 ) no es ni máximo ni mínimo!

P1

P2

C A

¿Cuál es el camino más corto? A

{

B

C1

C2 l

C3

{

A B C l

A’

El mínimo se alcanza cuando ABC sea un rebote de billar Es decir, que si tomamos A’ el reflejado j de A respecto a l y trazamos BA’ está la recta intersecta a l en el punto C y BCA será y que q la trayectoria buscamos

A

Q

{

P1

P2

P

B

R

{

P P2''

P1 P2'

A

P2

P1

R B

P2

Q

{

¿ P1 QR P2 lo más corto t posible ibl con Q en PA y R en PB? P1 QR P2 debe ser una trayectoria de billar con rebotes en Q y R Con las simetrías obtenemos los rebotes de billar

P2'''

{

P1 '''

P 2''

P

' 2

P 1 ''

P1'

P P 1 P 2 tiene que ser un triángulo de billar en P 1 y P 2

Dado un punto P en un lado de un triángulo encontrar un triángulo de perímetro mínimo cuyos vértices estén en los lados del triángulo y uno de ellos sea P

T iá Triángulo l pedal d l = pies i d de las l alturas lt

P2''

P1'

P

3

(0,0)

5

llenar o vaciar recipiente grande llenar o vaciar recipiente pequeño mandar de un recipiente a otro

3

(0,0)

5

5

3

5

0

3

2

2

0

0

2

((1.3)) 3

(0,0)

5

5

3

5

2

4

3

4

0

1

3

3

5 0

(0,0)

5

3 3

3

0

3

3

5

1

Polígonos regulares y billares k cerrado, acotado, convexo int k ≠ φ , k ⊂ ℜ 2 f t de d k suave a pedazos d ∂ k frontera bola de billar=punto en el interior de k B l se mueve a velocidad Bola l id d constante t t en línea lí recta hasta que choca con un punto P ∈ ∂k . Si P es regular (frontera suave) la bola de billar rebota en la dirección determinada por la reflexión sobre la única recta tangente en P Si P no es regular P. l la l bola b l se “mueve”. “ ” La L bola genera una trayectoria de tipo billar. Una trayectoria de tipo billar es periódica si regresa donde empezó.

1

2

3

4

5

6

7

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Posición clave 4 Posición natural 4

Ángulo natural 3

Posición clave – ángulo natural = 4 – 3 =1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Posición clave 3.5 35

Ángulo natural 2 1

2

3

4

5

6

7

S

R

4 Q

P

1 O

N

7

M

L

T

K

5U

J

V

I

A

B

C

6

D

E

F

G

3

H

2

10

P 4

Q

1

7

5

6

2 6

S

3

R

¿Cuántas veces rebota la bola antes de llegar al punto Q?

Polígonos regulares y billares {

{ { {

En los puntos “suaves” la bola rebota en la dirección determinada por la reflexión. p En los puntos no suaves la bola se mueve La bola genera una trayectoria de tipo billar Una trayectoria de tipo billar es periódica si regresa donde empezó

Cierto para cualquier polígono regular de n lados

Teorema {

{

Un p polígono g convexo y cerrado P en el plano es regular si y sólo si P contiene una trayectoria periódica de tipo billar P’ semejante a P. IDEA DEMOSTRACIÓN: Ó z

z

Fácil al tomar P´ el p polígono g formado por los puntos medios de P P´una P una trayectoria peiódica tipo billar vértice en P y semejante a P

Observaciones

Cierto para cualquier polígono regular de n lados El recíproco también es cierto

Figuras de ancho constante Consideremos una figura convexa cerrada. En cada dirección la figura se encuentra limitada por dos rectas paralelas.

ancho o

{

ancho

{

Hay y una infinidad de figuras g que q tienen el mismo ancho en todas las direcciones

Círculo Triángulo de Reuleaux

Teorema {

{

Una curva suave es de ancho constante si y sólo si toda trayectoria de tipo billar que “rebota” hacia la derecha (izquierda) siempre sigue rebotando hacia la derecha (izquierda) No hay trayectorias de tipo

Sine R., Kreinovic V. Remarks on billiards Amer. Math A M th Monthly M thl 86, (1979), 204-206

P’ P α i' + 2

α i +1

α β i +1

α i −1

α i'

' i+1

αi

β

i

α i + β i + β i +1 = π α i' + 2 β i = π α1 + α 2 + ... + α n = α1' + α 2' + ... + α n' = (n − 2)π

αi =

α i'+1 + α i' 2

Además por la semejanza de P y P’, {α i } y {α i' } son una permutación una de la otra. Entonces

αi = αi +1

⎛ n−2⎞ αi = ⎜ ⎟π ⎝ n ⎠