1

P(x)  2x3  3x2  8x  3 El polinomio es el producto de tres factores, siendo dos de ellos los correspondientes a las raíces x =1 y x = - 3. Halla mediante dos divisiones consecutivas por el método de Ruffini el tercer factor.

P(x)  x3  3x2  3x  1

2 Comprobar utilizando el valor numérico, que el polinomio calcula con una división otro factor del polinomio.

3

es divisible por x + 1, y

Saca factores comunes en las siguientes expresiones: 4x3  6x2 y  8x2z a) b) ax - ay + 2bx - 2by 2 c) x (x - 2) + x - 2

4

El siguiente esquema corresponde a la aplicación dos veces del método de Ruffini para la división de polinomios: 1 2 -1 4 0 1 1 3 2 6 1 3 2 6 6 -3 -3 0 -6 1 0 2 0 Prueba con la relación fundamental de la división que los resultados de las dos divisiones son correctos, y escribe P(x)  x 4  2x3  x2  4x como un producto de tres binomios más un número.

5

Hallando sus raíces enteras, factoriza los polinomios P(x)  x 4  3x3  4x2 Q(x)  x 4  32  2x y y calcula un máximo común divisor y un mínimo común múltiplo de los mismos.

P(x)  x3  2x2  2x  4

6

Hallando sus raíces enteras, factoriza los polinomios calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los mismos.

7

Simplifica las siguientes expresiones: 24x 3 y2 z 30xy8 z 4

a) 18(x 2  2)( x  1) 6x 3  12x

b)

Q(x)  x3  3x2  2x  6

y

,y

8

Estudia si las siguientes fracciones son equivalentes: x3  x2 1 , 4 2 x 1 x x

x2 x 1

9 Calcula una fracción equivalente a

3 , cuyo denominador sea x  x

10 Simplifica las siguientes fracciones factorizando, utilizando los productos notables donde sea necesario: x 2  6x  9 3x 3  9x 2

a) 9x 2  6x  1 9x 2  1

b)

11 Estudia si las siguientes fracciones se reducen a un polinomio: x 5  xy2 x 3  xy

a) x 4  2 x 2 y  y2 x 2 y  y2

b)

12 Efectúa las siguientes operaciones: 1 2 4   2 x  1 x  3 x  4x  3

13 Efectúa las siguientes operaciones: 1 x 1 3  2  2 2x x  2x x  4

x2 x2  1

14 Calcula una fracción equivalente a

3 2 , cuyo denominador sea x  2x  x  2.

15 Estudia si las siguientes fracciones son equivalentes: x2  4

x2 x 2 x  4x  4 2

,

SOLUCIONES 1.- Solución: El enunciado nos da las raíces enteras 1 y - 3, luego, el polinomio es divisible por (x - 1) y por (x + 3). Dividimos por el primer factor, y el cociente resultante por (x + 3), como se indica en la siguiente disposición de los coeficientes: 2 3 -8 3 1 2 5 -3 2 5 -3 0 -3 -6 3 2 -1 0 El último de los cocientes, 2x - 1, es el tercer factor del polinomio dado, es decir: P(x) = (x - 1)(x + 3)(2x - 1).

2.- Solución: Calculamos el valor numérico para x = - 1: P(1)  (1)3  3(1)2  3(1)  1  1 3  3  1  0 Luego, el polinomio es divisible por x + 1. 1 3 3 1 -1 -1 -2 -1 1 2 1 0 2 El cociente de la división es otro factor del polinomio: x  2x  1.

3.- Solución: 2 2 a) Factores comunes: 2 y x  2 x (2x -3y +4z) b) No hay ningún factor común en los cuatro sumandos, pero, sí los hay dos a dos: a(x - y) + 2b(x - y) Como el paréntesis es común, resulta: (a + 2b)(x - y) 2 c) El factor (x - 2) es común: (x - 2)( x +1).

4.- Solución: Para la primera división: D( x)  x 4  2x3  x2  4x

C( x)  x3  3x2  2x  6

, d(x) = x - 1, y R(x) = 6. Se debe verificar: D(x) = C(x)d(x) + R(x) Operamos: ( x3  3x2  2x  6)( x  1)  6  x 4  3x3  2x2  6x  x3  3x2  2x  6  6  x 4  2x3  x2  4x  D( x) Luego, es correcta. Para la segunda división debe verificarse: C1( x)  x2  2 C(x) = C1(x)(x + 3) + R(x), con y R(x) = 0. Operamos: ( x2  2)( x  3)  0  x3  3x2  2x  6  C( x) . También son correctos los resultados. ( x2  2) Sustituyendo la expresión C(x) = (x + 3) de esta última división en la primera, obtenemos el resultado pedido: ( x2  2) D(x) = (x + 3)(x -1) + 6.

5.- Solución: P(x)

tiene

2

como 3  9  16  4 x  2   1

Es decir:

x

P( x)  x2 ( x2  3x  4)

factor

común:

,

y

las

raíces

del

paréntesis

son:

. P( x)  x2 ( x  4)( x  1).

Q( x)  x( x3  3x  2) Q(x) tiene x como factor común o x = 0 como raíz entera: 1,  2 Las otras raíces enteras de Q(x) están entre los números: . Comprobamos que x = - 1 y x = 2 lo son: Q(- 1) = -1(- 1 + 3 - 2) = 0, Q(2) = 2(8 - 6 - 2) = 0. Dividimos el polinomio del paréntesis por (x + 1) y (x - 2) por el método de Ruffini sucesivamente, y el cociente resultante nos dará el tercer factor: 1 0 -3 -2 -1 -1 1 2 1 -1 -2 0 2 2 2 1 1 0 Q( x)  x( x  1)2 ( x  2). x3  3x  2. Entonces, el último cociente, (x + 1), es el tercer factor de . Es decir: Las reglas de la divisibilidad nos dan: P(x), Q(x)  x2(x  4)( x  1)2(x  2). M.C.D.[P, Q] = x(x + 1), m.c.m.

6.- Solución:

1,  2,  4 Las raíces enteras de P(x) están entre los números: . Comprobamos que solamente x = 2 lo es: P(2) = 8 - 8 + 4 - 4 = 0. Dividimos por (x - 2) para hallar el segundo factor: 1 -2 2 -4 2 2 0 4 1 0 2 0 2 C( x)  ( x  2) P( x)  ( x  2)( x2  2) Entonces, y . El cociente no tiene raíces reales. 1,  2,  3,  6 Las raíces enteras de Q(x) están entre los números: . Comprobamos que x = - 3 lo es: P(- 3) = - 27 + 27 - 6 + 6 = 0. Dividimos por (x + 3) para hallar un segundo factor: 1 3 2 6 -3 -3 0 -6 1 0 2 0 2 C( x)  ( x  2) Q( x)  ( x  3)( x2  2) Entonces, y . El cociente no tiene raíces reales. Aplicamos a los polinomios las reglas de la divisibilidad entre números, y obtenemos: P(x), Q(x)  (x2  2) P(x), Q(x)  (x  2)( x  3)( x2  2) M.C.D. , m.c.m.

7.- Solución: a) Suprimiendo los factores comunes en numerador y denominador, resulta: 4x2

5 y 6 z3 . b) Sacando factor común en el denominador, resulta: 18( x 2  2)( x  1) 3( x  1)  x 6x( x 2  2) .

8.- Solución: Simplificamos sacando factor común, y factorizando la diferencia de cuadrados: x 2 x  1 x3  x2 x 1 1    4 2 2 2 x x x x  1 x  1x  1 x  1





Por lo tanto, son equivalentes. NOTA: Puede resolverse el ejercicio por el procedimiento del producto en cruz.

9.- Solución: El nuevo denominador debe obtenerse multiplicando (x 1) por un factor, P(x). x 3  x  x x 2  1  x 2 x  1x  1 Al descomponer el nuevo denominador se obtiene: . Por tanto, el factor xx  1 P(x)= Multiplicando también el numerador por P(x) se obtiene la fracción xx  2x  1 x 3  3x 2  2x  xx  1x  1 x3  x



equivalente:



.

10.- Solución:

c) En el numerador tenemos el cuadrado de una diferencia, y en el denominador el factor 3x2 es común. x  32  x  3 x 2  6x  9  3x 3  9x 2 3x 2 x  3 3x 2 Factorizando y simplificando: . d) En el numerador tenemos el cuadrado de una suma, y en el denominador una diferencia de cuadrados. (3x  1)2 3x  1  (3x  1)(3x  1) 3x  1 Factorizamos y simplificamos:

.

11.- Solución: e) Simplificamos la fracción. En el numerador y denominador tenemos el factor x común, después, en el numerador aparece una diferencia de cuadrados.Factorizando y simplificando: x( x 4  y 2 ) x( x 2  y )( x 2  y )   x2  y x( x 2  y ) x( x 2  y ) . Luego se reduce a un polinomio. f)

Aplicando de nuevo las expresiones de los productos notables y sacando factor común, obtenemos: ( x 2  y )2 x 2  y  y y( x 2  y ) No se reduce a un polinomio.

12.- Solución: El último de los denominadores se escribe como producto de factores de la forma: (x -1)(x - 3), es el mínimo común denominador. Las operaciones de las fracciones con dicho denominador son: ( x  3)  2( x  1)  4 3x  9 3( x  3) 3    ( x  1)( x  3) ( x  1)( x  3) ( x  1)( x  3) x  1

13.- Solución: Los denominadores factorizados son: 2x, x(x-2) y (x + 2)(x - 2), respectivamente. El mínimo común denominador es: 2x(x - 2)(x + 2). Las operaciones con las fracciones con dicho denominador son: ( x  2)( x  2)  2( x  1)( x  2)  3·2x x2  4  2x2  2x  4  6x  x2  4x x4    2 2 2x( x  2)( x  2) 2x( x  4) 2x( x  4) 2( x2  4)

14.- Solución: Dividiendo el nuevo denominador entre el antiguo, obtenemos el factor por el cual debemos multiplicar numerador y denominador de la fracción:  2x2 + x- 2 x2  1 x3  x3 -x x-2  2x2 + 0x -2 +2 0 Luego, el factor por el que debemos multiplicar es (x - 2), y la fracción pedida es: ( x  2)2 x 2  4x  4  ( x 2  1)( x  2) x3  2x 2  x  2  2x

2

15.- Solución: Simplificamos la primera fracción. En el numerador tenemos una diferencia de cuadrados, y en el denominador el cuadrado de una suma: x  2x  2  x  2 x2 x  22 Luego, son dos fracciones equivalentes. NOTA: Puede resolverse el ejercicio por el procedimiento del producto en cruz.