A .Paniagua F-20 ELECTRICIDAD MÓDULO 1 Carga Eléctrica Los cuerpos cuando son frotados adquieren la propiedad de atraer cuerpos livianos como por ejemplo: pequeños trozos de papel, corcho, etc. En su estado natural o sea antes de ser frotados no presentan esta propiedad. Tenemos entonces que un cuerpo al ser frotado pasa de su estado natural a otro estado que llamaremos estado electrizado. El nombre se debe a que los primeros en observar este efecto fueron los griegos en un trozo de ámbar, que en su idioma se dice elektron Durante el proceso de frotamiento, en el cuerpo algo cambió y ese algo es el responsable de la nueva propiedad que presentan dichos cuerpos. A ese algo lo llamaremos carga eléctrica, es decir "carga eléctrica es la parte del cuerpo responsable de la propiedad de atracción". Video: Carga Eléctrica. Video: Electrización por frotamiento. La experiencia con barras colgantes que pueden girar libremente muestra que existen dos tipos de estados electrizados. Como la causa de la electrización de un cuerpo la hemos llamado carga eléctrica, concluímos que existen dos tipos diferentes de carga eléctrica. La carga eléctrica que corresponde al grupo donde se encuentra la varilla de vidrio frotada con seda la llamaremos tipo vidrio y la carga eléctrica que corresponde al grupo donde se encuentra la varilla de ebonita frotada con seda la llamaremos tipo ebonita. Hasta aquí hemos cargado eléctricamente un cuerpo por frotamiento. Surge entonces la pregunta ¿ese es el único método para que un cuerpo adquiera carga eléctrica ? Trabajemos ahora con un electroscopio. Veamos que sucede si ponemos en contacto con el electroscopio una varilla de vidrio que ha sido electrizada previamente por frotamiento, podemos observar que la láminas de la parte inferior se separan.

1

Por lo cual podemos ver que un cuerpo se puede electrizar por contacto. Tenemos entonces que la separación de las láminas de un electroscopio nos permite determinar su electrización. Si frotamos nuevamente la varilla de vidrio y volvemos a tocar el electroscopio vemos que sus láminas se separan más. O sea cargas eléctricas del mismo tipo se refuerzan. Si tocamos ahora el electroscopio con una varilla de ebonita previamente frotada vemos que las láminas del electroscopio se juntan mostrándonos que la carga eléctrica del tipo ebonita anuló a la carga eléctrica del tipo vidrio . Tenemos entonces que cargas eléctricas de distinto tipo se anulan entre sí, es decir el cuerpo queda en estado no electrizado. Para aprovechar esta propiedad en la parte cuantitativa de la teoría se da por nombre a los dos tipos de carga: positiva (+) y negativa (- ). Y se designa de forma convencional a la carga eléctrica tipo vidrio (obtenida por el frotamiento de una varilla de vidrio con seda) como carga eléctrica positiva (+) y a la carga eléctrica tipo ebonita (obtenida por el frotamiento de una varilla de ebonita con piel) como carga eléctrica negativa (- ). Si electrizamos una varilla suspendida de un hilo aislante y luego le acercamos otra varilla también electrizada, podemos observar que si las varillas tienen estados de electrización del mismo tipo se repelen y si tienen estados de electrización de diferentes tipos se atraen. Como la responsable de los estados de electrización la hemos llamado carga eléctrica y le hemos asignado signo, podemos entonces decir que cargas del mismo signo se repelen y de distinto signo se atraen. Conductores y aislantes Analicemos el siguiente experimento: Se colocan dos electroscopios y se unen ambos por medio de una varilla metálica. Se procede luego a cargar uno de los electroscopios por contacto con una varilla previamente frotada. Se puede observar que el otro electroscopio que está unida por la varilla metálica también se carga eléctricamente. Esto nos muestra que la varilla metálica permite que el estado electrizado de un electroscopio se transfiera al otro electroscopio. Como la carga eléctrica es la responsable del estado electrizado, podemos decir que a través de la varilla metálica hubo transferencia de carga eléctrica. A los materiales que permiten el paso de carga eléctrica a través de ellos los llamaremos conductores. Son buenos conductores los metales, el aire húmedo, el agua. Repitamos el experimento uniendo ahora ambos electroscopios por medio de una varilla plástica. Podemos observar que en este experimento el estado

2

electrizado de un electroscopio no se transfiere al otro. Por lo cual podemos decir que la carga eléctrica no se transfiere a través de la varilla plástica al otro electroscopio. A los materiales que no permiten el paso de carga eléctrica través de ellos los llamaremos aislantes (también llamados dieléctricos). Son buenos aislantes el plástico, la madera seca, el caucho.

Ley de Coulomb Los experimentos de Coulomb y otros científicos sobre las fuerzas ejercidas por una carga puntual sobre otra, se resumen en la ley de Coulomb. •

La fuerza ejercida por una carga puntual sobre otra está dirigida a lo largo de la línea que las une.

•

Es repulsiva si las cargas tienen el mismo signo y atractiva si las cargas tienen signos opuestos.

•

La fuerza varía inversamente con el cuadrado de la distancia que separa las cargas.

Con la balanza de torsión que vemos en la figura Coulomb fue capaz de determinar que la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa las cargas. Las medidas con esa balanza son difíciles de hacer con una precisión de más de unos cuantos céntimos, por lo tanto en esa época no se podía afirmar que el exponente fuera justamente 2 y no por ejemplo 2.01. Experimentos posteriores con una mayor precisión ponen de manifiesto que el valor está comprendido entre 2.000000002 y 1.999999998. Por esa razón no es de extrañarse que el exponente se considere exactamente 2 La expresión matemática que reúne los hechos experimentales con respecto a la interacción entre cargas está dada por

F12 "

q1 q2 r122

( 1T )

La carga eléctrica se mide en coulombs y se designa por el símbolo C. El coulomb es una unidad muy grande de carga; se necesitan unos 6x1018 electrones par obtener ! un coulomb.

3

!

Debido a la dificultad de medir la interacción entre cargas eléctricas estáticas, se define la unidad básica de carga a través de una unidad de corriente, el ampere; éste se determina por medio de la fuerza de interacción magnética entre alambres por los cuales circula corrriente. Esta interacción se estudiara más adelante en Magnetismo. Se tiene por lo tanto que la carga eléctrica en el sistema SI es el coulomb (siendo su símbolo C) y se define como la cantidad de carga que fluye a través de una sección transversal dada de un alambre en un segundo, cuando en el alambre existe una corriente estacionaria de un ampere. La expresión (1T) se puede escribir con un signo de igualdad si se introduce una constante de proporcionalidad

F12 =

k q1 q2 r122

Ley de Coulomb

( 2T )

1 puesto que 4!" 0 ! la forma de ciertas ecuaciones que se derivan de ( 2T ) simplificará

En general la constante k se escribe como k =

Tenemos entonces que

k = 9.0 ! 109 Nm2 / C 2

! 0 = 8.85 " 10#1 2C 2 / Nm2 Donde ! 0 recibe el nombre de constante de permitividad. Podemos escribir la expresión (2T) en forma vectorial definiendo un vector unitario rˆ1 2 que está dirigido desde la carga 1 a la carga 2 a lo largo de la línea que une las cargas. r kq q F12 = 12 2 rˆ12 (3T) r12 Esta expresión se denomina Ley de Coulomb en forma vectorial y r corresponde a la fuerza! F12 que la carga eléctrica 1 ejerce sobre la carga eléctrica 2. La fuerza ejercida por la carga eléctrica 2 sobre la carga eléctrica 1 está dada entonces por ! la siguiente expresión r kq q F21 = 12 2 rˆ21 r21

!

4

donde el vector unitario rˆ21 está dirigido desde la carga 2 a la carga 1 a lo largo de la línea que une las cargas. Analicemos si la expresión matemática (3T) así definida, satisface las observaciones experimentales de atracción entre cargas eléctricas de distinto ! signo y de repulsión entre cargas eléctricas de igual signo. En la siguiente tabla se desea representar en la columna de la izquierda la acción de la carga 1 sobre la carga 2 y en la columna de la derecha la acción de la cara 2 sobre la carga 1, ambas situaciones para distintas combinaciones de carga eléctrica. Dibuje en cada caso los vectores unitarios que corresponda y haciendo uso de la expresión de la fuerza indicada en la parte superior de cada columna dibuje las fuerzas para cada situación física. r kq q F12 = 12 2 rˆ12 r12

r kq q F21 = 12 2 rˆ21 r21

!

!

Si reunimos ahora en un sólo dibujo el análisis realizado en la parte anterior tenemos

que nos muestra que la Ley de Coulomb en forma vectorial satisface el hecho experimental de la atracción entre cargas eléctricas de distinto signo y la repulsión entre cargas eléctricas de signos iguales.

5

Sistema de partículas (distribución discreta). r r r r r FT1 = F2 1 + F3 1 + F4 1 + F5 1

(4T)

Dibujar las fuerzas que actúan sobre la carga 1 de parte de las otras cargas que forman el sistema.

Estructura del átomo En la Grecia presocrática, Demócrito (546-370 A.C) argumentó que la materia está compuesta de pequeñas partículas indivisibles llamadas "átomos", que significa indivisibles. La idea paso desapercibida y no adquirió significación científica hasta que John Dalton (1803-1807), publicó una teoría atómica para explicar diversas observaciones experimentales. Esta teoría ha permanecido fundamentalmente intacta hasta el presente. Tenemos que se entiende por átomo la menor partícula en que puede dividirse un elemento químico conservando sus propiedades y pudiendo ser objeto de una reacción química. A mediados del siglo XIX los científicos empezaron a estudiar las descargas eléctricas a través de tubos de vacío y observaron que a un voltaje elevado se produce radiación dentro del tubo. Esta radiación fué conocida como rayos catódicos porque se originaba en el electrodo negativo o cátodo. Aunque estos rayos no se podían observar, su movimiento se pudo detectar porque los rayos hacen que algunos materiales entre ellos el vidrio emitan luz. Se observó que la incidencia de estos rayos en una placa metálica hacia que esta adquiriera carga eléctrica negativa. Esto sugirió que dichos rayos constituían un haz de partículas cargadas negativamente a las cuales se les llamó electrones. (*) J. J Thomson físico británico en 1897 midió la relación de la carga a la masa del electrón utilizando un tubo de rayos catódicos.

6

carga del electrón e = = 1.76 "10 8 C / g masa del electrón m

(5T)

(*) Millikan en 1909 en un experimento conocido como "experimento de la gota de aceite de Millikan" encontró que la carga eléctrica que aparecía ! "1 9 sobre las gotas de aceite era siempre múltiplo entero de 1.6 !10 C . Dedujo que esta debía ser la carga eléctrica del electrón. e = 1.6 "10 #19 C

(6T)

Utilizando la relación carga masa del electrón obtenida por Thomson se calculó la masa del electrón. !

me = 9.10939 ! 10"2 8 g

(7T)

El descubrimiento de los rayos catódicos hizo intuir una mayor complejidad al átomo. En 1911, los experimentos de Rutheford de bombardeo de láminas metálicas con partículas α permitieron que postulara que la mayor parte de la masa del átomo y toda su carga positiva reside en una región muy pequeña, extremadamente densa, a la cual llamó núcleo. La mayor parte del volumen total del átomo es un espacio vacío y los electrones se mueven alrededor del núcleo. Este es un modelo clásico del átomo. Tenemos que el átomo es neutro, por lo tanto tiene la misma cantidad de carga positiva y negativa.

Si un átomo pierde carga negativa queda con un exceso de carga positiva y se denomina ion positivo.

Si un átomo gana carga negativa queda con un exceso de carga negativa y se denomina ion negativo.

7

Posterior al modelo del átomo de Rutherford se han desarrollado otros modelos que permiten explicar fenómenos físicos que no tienen explicación desde un punto de vista clásico. Para los temas tratados en este curso es suficiente con el módelo clásico del átomo de Rutherford. Electrización de los cuerpos Los cuerpos de pueden electrizar por: Frotamiento, contacto o inducción. 1) Carga por frotamiento Si dos cuerpos como el vidrio y la seda se frotan entre sí, pasa una pequeña cantidad de carga de uno a otro, alterándose la neutralidad eléctrica de ambos.

En el caso a) el vidrio se hace positivo y la seda negativa. El vidrio cede electrones y la seda gana electrones. En el caso b) la ebonita se hace negativa y la piel positiva. La piel cede electrones y la ebonita gana electrones. 2) Carga por contacto Analizaremos que le sucede a una esfera conductora colocada en un soporte aislante, al tocarla con una varilla que ha sido electrizada previamente.

8

1) Si se hace contacto en la esfera conductora con una varilla cargada positivamente, la varilla atrae electrones de la esfera quedando esta con déficit de carga negativa, por lo tanto cargada positivamente. 2) Si se hace contacto en la esfera conductora con una varilla cargada negativamente, la varilla cede electrones a la esfera quedando ésta con exceso de carga negativa, por lo tanto cargada negativamente. 3) Carga por inducción Antes de analizar la electrización por inducción, veamos más en detalle el comportamiento de los materiales conductores y aislantes.

Recordemos que los conductores poseen electrones libres que pueden desplazarse a través del material. Los electrones libres en un conductor se desplazan por la atracción de la varilla cargada positivamente. Produciéndose en el conductor la distribución de cargas que se muestra en la fig. anterior. En cambio en un aislante que no posee electrones libres, la acción de la varilla cargada positiva solamente actúa desplazando los centros de carga positiva y negativa de los átomos, formando dipolos. Como se muestra en la siguiente fig.

9

Dipolo

En un átomo sin interacción con un cuerpo cargado los centros de carga eléctrica positiva y negativa se encuentras solapados dando como efecto, el comportamiento neutro que tiene el átomo. Veamos ahora como se produce la electrización de un objeto en un proceso de inducción. Si acercamos a la esfera conductora una varilla cargada negativamente, tenemos que se produce la separación de cargas que se muestra en la fig. desplazándose los electrones al extremo contrario al cual se acercó la varilla. Si conectamos a la esfera un conductor a tierra, se tiene que los electrones que están siendo repelidos por la varilla cargada negativamente fluyen a tierra. Quedando, la esfera con un déficit de electrones y por lo tanto cargada positivamente. Podemos observar que al cargar eléctricamente un conductor por inducción este adquiere carga de signo contrario al objeto utilizado para producir la inducción. Observe que la varilla cargada no toca la esfera conductora.

10

Problema 1. Se tiene la configuración de cargas que se muestra en la figura. Encontrar la fuerza total sobre la carga ubicada en el vértice superior derecho. Considere:

q = 1.0 !10 "7 C a = 5.0cm = 5.0 ! 10"2 m

Solución Hagamos una representación gráfica de la situación física planteada, dibujando las fuerza de atracción y repulsión que actúan sobre la carga 2 de parte de las cargas ubicadas en los otros vértices.

Tenemos entonces puesto que dicha carga se encuentra en una situación de equilibrio que r r r r FT2 = F1 2 + F3 2 + F4 2

r F12 = "F12iˆ r F32 = +F32 ˆj r F42 = "F42 cos #iˆ " F42 sen#ˆj r FT = "( F12 + F42 cos# )iˆ + ( F32 " F42 sen# ) ˆj F12 = ?

!

(1" P1)

F32 = ? 2

F42 = ?

#7 kq q Nm 2 (1.0 "10 C ) #2 F12 = 1 2 2 = 9 "10 9 2 2 = 3.6 "10 N #2 ! a C (5.0 "10 m)

!

11

F32 =

F42 =

!

2 2.0 "10 #7 C 1.0 "10 #7 C k q3 q2 )( ) = 7.2 "10#2 N 9 Nm ( = 9 "10 2 2 2 a C (5.0 "10#2 m)

k q4 q2

(a 2 )

2

#7 #7 Nm 2 (2 "10 C )(1.0 "10 C ) = 9 "10 = 3.6 "10 #2 N 2 #2 C2 2 " (5.0 "10 m) 9

Reemplazando en (1-P1) los módulos de las fuerzas y el ángulo ! = 45° obtenemos r F = "6.15 #10 "2 iˆ + 4.65 #10 "2 ˆj N

!

[

]

Problema 2. H-26-3(V), 9(N) ! Dos bolas similares de masa m se cuelgan de hilos de seda de longitud l y llevan cargas similares q como se muestra en la figura. Suponga que ! es tan pequeña que tg" puede sen! reemplazarse por por ser aproximadamente igual. Haciendo esta aproximación, demostrar que: !

$ q 2l ' x =& ) % 2 "# 0 mg (

!

1

3

siendo x la separación entre las bolas si l = 120cm , m = 10g y x = 5.0cm . ¿Cuánto vale q ? ! Datos m = m2 ! 1 l =! 120cm = 1.20m ! q1 = q2 m = 10g = 10 "10 #3 Kg = 0.010Kg l1 = l2 x = 5.0cm = 0.05m tg! " sen! Plan de solución

!

Análisis físico de la situación.

12

•

Situación es simétrica. Por lo tanto es suficiente analizar la situación de una sola carga.

•

Situación de equilibrio.

r FT1 = 0, •

r FT 2 = 0

"$! Fx = 0 # $%! Fy = 0

(1-P2)

Dibujamos las fuerzas que actúan sobre una de las cargas. "$ P = mg kq1q2 # $%Fe = x 2

r r r T , P, Fe

•

Dibujamos un sistema de coordenadas.

•

Aplicamos las ecuación (1-P2) en ese sistema de coordenadas. ! Despejamos x .

•

Solución ! Analizamos la carga 2

!

" Fx = 0

F12 " Tsen# = 0

k q2 " T sen# = 0 x2

" F != 0

T cos" # mg = 0 !

T=

y

mg cos"

(2-P2)

(3-P2)

reemplazando (2-P2) en (3-P2) tenemos: ! ! ! kq 2 sen! = mg = mgtg! = mgsen! x2 cos ! kq 2 = mgsen" x2

Considerando que ! x sen" = 2l

!

13 !

k=

1 4 "# 0

(4-P2)

y despejando x de (4-P2) tenemos

$ q 2l ' x =& ) % 2 "# 0 mg (

!

1

3

Problema 3. H-27-8

! Tres pequeñas esferas de 10g se suspenden de un punto común, mediante hilos de seda de 1.0m de ! longitud. Las cargas de cada esfera son iguales y forman un triángulo ! equilátero cuyos lados miden 0.1m ¿Cuál es la carga de cada esfera?

!

z

l

Datos

!

q

T 2

a 30°

q1

m = 10g = 0.01Kg

!

l

l

a/2

30° 30°

F 23

mg

x

a = 0.1m q1 = q2 = q3 = q = ?

F13

! q3

d

Solución Por ser una situación de equilibrio tenemos que r F ! =0

por lo tanto

! Fy = 0

!

T cos " = F13 cos 30° + F23 cos 30° = 2

!F

!

Tsen! = mg

z

=0

! De la fig. se tienen las relaciones d cos ! = l

14

kq 2 cos 30° a2

(1-P3) (2-P3)

y

d cos30°=

a 2

y

eliminando entre ellas d se obtiene a 0.1m cos " = = 2 l cos 30° 2 (1.0m) cos 30° !

!

! = 87°

Eliminando T de las ecuaciones (1-P3) y (2-P3) tenemos que !

# mg ctg" a 2 & q =% ( $ 2k cos 30° '

1

2

reemplazando los valores numéricos se obtiene

! 1 # (0.01 kg)(9.8 m 2 )(ctg87°)(0.1 m)2 & 2 seg ( = 6.0 "10 )8 C q = %% 9 Nm 2 ( 2(9 "10 C 2 ) cos 30° $ ' r E Campo Eléc trico !

Campo eléctrico es aquello que existe alrededor de un cuerpo cargado y ! por medio del cual puede actuar con otros cuerpos cargados o descargados. Tenemos por la Ley de Coulomb (3T) que la fuerza entre cargas puntuales esta dada por

r kq q F1 0 = 1 2 0 rˆ1 0 r1 0

(4T)

A partir de la expresión (4T ) se define el campo eléctrico como

r r F1 0 kq1 E1 = = rˆ q0 r1 02 1 0

(5T)

Vemos entonces que el campo eléctrico se define en función de la carga que lo produce.

15

Apliquemos la expresión (5T) al diagrama que aparece a la derecha. Tenemos entonces que el campo eléctrico producido por una carga positiva tiene una dirección que está a lo largo de la línea que une la carga con el punto donde se desea conocer el campo, y apunta en sentido saliente desde la carga. Dibuje el vector campo eléctrico si la carga que lo produce es negativa. De la expresion (5T) se obtiene que las unidades del campo eléctrico E son N / C. Distribución discreta de carga Dibuje en la fig. a), que aparece más abajo, el campo eléctrico producido en el punto P por cada una de las cargas eléctricas que forman esta distribución.

Fig. a)

Fig. b)

Tenemos que el campo eléctrico total producido en el punto P por las cargas eléctricas q1 , q2 , q3 está dado por r r r r r ET = E1 + E2 + E3 + E4 !

!

!

16

(6T)

Líneas de campo eléctrico o líneas de fuerza Un concepto muy útil para representar visualmente la configuración de un campo eléctrico es el de la líneas del campo eléctrico o líneas de fuerza. Michael Faraday no manejó el concepto de campo eléctrico como vector sino que él siempre pensó en función de líneas de fuerza. Las líneas de fuerza siguen siendo una manera conveniente de representarse en la mente la forma de los campos eléctricos. Experimento donde se muestran las líneas de fuerza de distintas configuraciones.

Cargas puntuales del mismo signo.

Cargas puntuales de distinto signo.

++++++++++++++++

Láminas paralelas finitas de distinto signo

17

Lámina finita cargada

Características de las líneas de campo eléctrico o líneas de fuerza Veamos como se representa el campo eléctrico por medio de las líneas de fuerza. a)

b)

c)

d)

e)

1) Tenemos entonces que la r tangente a un línea de fuerza en un punto cualquiera da la dirección de E en ese punto. Veamos como se entiende esto cuando tenemos más de una carga que produce el campo eléctrico. En la fig. de la izquierda se eligió una línea de campo eléctrico que une las cargas positiva y negativa, en ella se marcó un punto que divide dicha línea simétricamente. En dicho punto se dibujó el campo producido por la carga eléctrica positiva y el campo eléctrico producido por la carga negativa y se obtuvo a partir de esos campos el campo eléctrico resultante. De la fig. se puede ver que el campo eléctrico resultante es tangente a la línea de campo de esa distribución. 2) Las líneas de fuerza se dibujan de modo que el número de líneas rpor unidad de área de sección transversal sea proporcional a la magnitud de E .

18

3) Las líneas empiezan y terminan en cargas eléctricas. 4) Las líneas de fuerza no se cortan. ¿Explique porqué? Problema 4. H-27-Ejemplo 3 Se tiene la distribución de cargas que se muestra en la figura. Encontrar el campo eléctrico en el punto P. b) Si r >> a dicha configuración constituye un dipolo eléctrico, encontrar el campo eléctrico en el punto P en ese caso. c) ¿Cuál es la dirección del campo eléctrico? Solución a) Dibujemos en primer lugar los campos eléctricos producidos por cada una de las cargas de la configuración en el punto P. Tenemos que r r r ET = E1 + E2 r E1 = E1 cos"iˆ # E1sen"ˆj r E2 = #E2 cos "iˆ # E2 sen"ˆj

!

19

Por lo tanto el campo eléctrico total en el punto P esta dado por r ET = ( E1 " E2 ) cos#iˆ " ( E1 + E2 ) sen#ˆj

tenemos que

E1 = E2 =

! sen" =

a

kq

(

a2 + r 2

(3-P4)

a2 + r 2

(1-P4)

)

(2-P4)

2

cos " =

r a2 + r 2

(4-P4)

! Reemplazando las expresiones (2-P4), (3-P4) y (4-P4) en (1-P4) tenemos !

r ET = "

2kqa!

(a + r 2

2

)

3

ˆj

(5-P4)

2

b) Si r >> a La distribución de cargas que aparece en la fig. puede ser considerada para efectos de cálculo!de campo eléctrico como un dipolo. ET =

2kqa

(a

2

+ r2 )

3

2

=

2kqa 3

" a2 % 2 r 3 $ 2 +1' r 1#424&3 Si r>>a(

ET "

2kqa r3

*

2kqa r3

a2 )0 r2

Campo eléctrico producido por un dipolo.

! Cálculo campo eléctrico

! Cálculo para distribuciones de carga continua. En la fig. que aparece a la derecha se presenta una varilla cargada positivamente. En ella se ha seleccionado un elemento que contiene una carga eléctrica dq1 y se ha dibujado en el r pto. P el campo eléctrico dE1 producido por dicho elemento de carga. Dibuje en el pto. P el campo ! eléctrico producido por los ! elementos de carga dq2 y dq3 .

!

!

20

dE 1 P

dq1

dq2

dq3

r Tenemos por lo tanto que el campo eléctrico total ET producido en el pto. P está dado por las contribuciones de todos los elementos de carga eléctrica de la varilla.

r ET =

r

" d!E

por toda la distribución de carga

Si se introduce un sistema de coordenadas x, y.

r ET = ETxiˆ + ETy jˆ

Donde

! ETx = " dE x !

ETy = " dE y

Tenemos que dq representa un elemento arbitrario de carga, el cual recorre toda la varilla durante la ! ! integración. ! Si designamos como ángulo r α, al ángulo formado por el vector dE y el sentido positivo del eje x, tenemos para ese sistema de coordenadas y ese ángulo. ETx =!" dE x =

" dE cos#

y dE ! P

x dq

ETy =

" dE = " dEsen# y

Donde k dq dE = ! 2 r

!

(12T)

Densidad de carga eléctrica

q a) Densidad lineal "! . Por Ej.: varillas, alambres. ! = L q b) Densidad superficial ! . Por Ej.: Discos, planos. " = S ! c) Densidad volumétrica ! . Por Ej.: Esferas, cilíndros. " =

q V

! El elemento dq que aparece en (12T) depende de la densidad de la distribución. ! dq =2 !4 " dV dq "3 ds dq =2!4 "3 dl 14 3 14=2!4 14 lineal

superficial

21

volumétrica

Problema 5 Se tiene una varilla de longitud L, que está cargada con una densidad r lineal de carga ! . Encontrar el campo eléctrico E en el punto P que se muestra en la figura.

Solución En las siguientes figuras se han representado gráficamente algunos pasos a seguir en la resolución de este tipo de problemas. En la fig. a) se indica la posición del punto P donde se desea calcular el campo eléctrico En la fig. b) se ha dibujado un elemento arbitrario de carga eléctrica y el diferencial de campo eléctrico correspondiente en el pto. P. En la fig. c) se ha introducido un sistema de coordenadas, en el cual uno de sus ejes pasa por el pto. P donde se pide calcular el campo eléctrico. En la fig. c) se han expresado las distintas variables del problema en función del sistema de coordenadas introducido.

22

Tenemos que

r ET = ETx iˆ + ETy ˆj

Donde

" dE 123x ! por toda la

ETx =

por toda la var illa carg ada

var illa carg ada

ETx =

$ dE

x

(1-P5)

= " $ dE sen#

!

ETy =

# dE = # dE cos" y

(2-P5)

! dE = ? sen! = ? ! cos" = ?

!

dE =

" dE 123y

ETy =

!

kdq 2 x + h2

dq = "dx #

dE =

! x

sen" =

!(4-P5)

x 2 + h2

!

k"dx x 2 + h2

h

cos" =

x 2 + h2

!

(3-P5) (5-P5)

a) Cálculo de ETx !

Reemplazando en (1-P5) las expresiones de (3-P5) y (4-P5) tenemos ! 2L

!# ETx = "k

3

$

"L

3

cambio de variable

xdx

(x 2 + h2 )

3

x 2 + h2 = z 2xdx = dz

2

2L

!

ETx

!

k# =" 2

$

ETx

"3

z !2 dz = k#z

$ = k"& & %

"1

2

1 4 L2 9

+ h2

=

#

k# x 2 + h2

' ) L2 + h 2 ) ( 9 1

b) Cálculo de ETy ! Reemplazando (3-P5) y (5-P5) en (2-P5) tenemos

! 23

"L

3

3

2L

ETy = k"h

3

dx

3

2 (1x 24+2h4 )3

&

%L

3

(

(

3

3

)2

h 3 tg2# +1 h 3 sec2 #

cambio de variable x = h! tg"

2

dx = h !sec 2 " ! d"

) 2 =h3$sec 3 #

h sec 2 #d# k" ETy = k"h $ 3 3 = h h sec #

!

d#

$ sec# =

k" h 2L

k" k" ETy = sen# = h h

!

!

# k" % ETy = h %3 $

x x 2 + h2

$L

$ cos#d# 3

3

& ( + 2 2 ( 2 2 4L + h 3 L9 + h ' 9 2L

L

Reemplazando ETx y ETy en !

r ET = ETx iˆ + ETy ˆj

! ! tenemos para el campo eléctrico producido por la varilla en el pto. P la siguiente expresión ! *$ ' $ ' . r ,& 1 1 2L L )iˆ + & ) ˆj ,/ ET = k" + # + 2 2 & ) 2 L2 + h 2 ) 4L2 ,&% 4L + h 2 3h L9 + h 2 ( ,0 ( % 3h 9 + h 9 9 -

Problema 6 , H-27-22, N 32 ! Un disco delgado de radio a está cargado uniformemente y su carga por unidad de área es ! encontrar el campo eléctrico en el eje del disco a una distancia h de éste.

24

h

a

Solución En la solución de este problema presentaremos dos procedimientos. Procedimiento 1 El disco se puede subdividir en anillos de área

ds = 2 "rdr Se introduce el sistema de coordenadas que se indica en la fig. donde!el disco se encuentra en el plano xy y el eje del disco está ubicado a lo largo del eje z . Se dibuja el campo eléctrico producido por dos elementos ! simétricos del !anillo como se muestra en la fig. Considerando que r r E = " dE tenemos ! Er = " dEr =

" dEsen# = 0 (por simetría)

Ez =

" dE = " dE cos# z

Por lo tanto solo es necesario calcular la componente z del campo eléctrico !

!

# dE cos"

Ez =

dE = ? ! dE = !

cos" = ?

kdq

(

(1-P6)

2

=

) (

h2 + r 2 !

cos" =

! Reemplazando en (1-P6) tenemos !

25

k"ds h2 + r 2

)

h h2 + r 2

2

=

k" 2 #rdr h2 + r 2

a

Ez = k"h2 # $ 0

rdr

(h

2

+ r2 )

3

h2 + r 2 = u

2

h2 +a 2

!

cambio de variable

(2-6P)

Ez = k"h#

$

h2

du u

3

2

! %1 = k"h2 # %u 2

(

)

h2 +a 2 h2

2rdr = du

& 1 1) = %k"h2 # (( % ++ ' h2 + r 2 h *

% 1 1( Ez = "k#h2 $ ' 2 2 " * h) & h +r

!

(3-P6)

Procedimiento 2 ! En este caso el elemento de carga ds es el que se indica en la fig. y corresponde a r

!

dl

d! dr

Donde

d" =

dl r

ds = dldr = rd"dr !

dE =

!

k"rd#dr h2 + r 2

cos" =

h 2

h + r2

! reemplazando en (1-P6) tenemos !h $$ Ez = k"

2%

rd#dr

(

h2 + r 2

)

3

2

a

= k"h $ d# $ 0

0

rdr

(

h2 + r 2

al integrar por " se obtiene el mismo integral (2-P6)

!

! 26

3

)2

a

Ez = k"h2 # $ 0

rdr

(h

2

+ r2 )

3

2

el cual nos permite llegar a la expresión (3-P6) obtenida anteriormente. Analice el resultado obtenido, en los siguientes casos: ! a) a ! " b) a ! 0 a) Si a ! " el disco se convierte en un plano infinito. ' 1 1* lim Ez = lim($k%h2 & )) 2 2 $ , = k% 2 & a"# a"# h+ ( h +a

ya que k =

1 4 "# 0

lim Ez = a"#

$ 2% 0

! Campo eléctrico producido por un plano infinito ! Ez =! ! 2 "0

b) Si a ! 0 el disco se convierte en una carga puntual. Consideremos un disco de r = a que tiene una carga Q , la densidad de carga " está dada por lo tanto por

"=

!

Q #a 2

!

!

Tenemos por lo tanto de (2-P6) !

# h 2 + a 2 " 1 2 " h "1 & ( ) ( Ez = "2khQ% 2 % ( a $ '

a !0 " !

Ez =

0 0

$ # 1 h 2 + a 2 #3 2 2a ' ) ) = kQ 2( lim Ez = lim(#2khQ)& a"0 a"0 & ) h2 2a % ( kQ E= 2 h

! !

27

Campo eléctrico producido por una carga puntual a una distancia h de ella.

! Problema 7 Se tiene un semianillo de radio a, que tiene una carga Q uniformemente distribuida. r Encontrar el campo eléctrico E en el punto O que se indica en la figura.

a

o

!

Solución y

En primer lugar dibujemos el campo eléctrico producido en el punto O por un elemento dl y analicemos la simetría del problema. r ! E = E x iˆ + E y ˆj

Ey = 0 !

dl !

dE dE

d! !

por simetría

E x = " $ dE cos #

(1- P7)

! dE =

!

kdq a2

dq = "dl =

Qad# Qd# = a$ $

Entonces

!

!

dE =

kQd" #a 2

Reemplazando esta expresión en (1-P7) tenemos ! # # kQ 2 kQ 2kQ E x = " 2 % cos$d$ = " 2 sen$ " #2 = " 2 2 #a " # #a #a 2

!

28

x

Ex = "

r 2kQ E = " 2 iˆ #a

2kQ #a 2

Flujo campo eléctrico " E !

! El flujo (cuyo símbolo es " ) es una propiedad de todos los campos vectoriales. A nosotros nos interesa el flujo " E del campo eléctrico. !

! Consideremos en primer lugar un ! campo eléctrico cuyo valor y dirección es uniforme en cierta región del espacio. Las líneas de campo de este tipo se muestran en la fig. Consideremos la superficie rectangular de área A, perpendicular al campo eléctrico indicado en la fig. Puesto que el número de líneas por unidad de área transversal es proporcional al valor del campo eléctrico, el número de líneas que atraviesa esta superficie es proporcional al producto del campo eléctrico E por el área A N " EA#

El producto de la intensidad del campo eléctrico por el área de una ! ! superficie perpendicular al campo se denomina flujo del campo a través de esa superficie. ! (13T)

" E = EA#

(14 T)

" E = EA cos #

Donde el ángulo ! es el ángulo que se muestra en la fig.

E A cos !

Si tenemos una superficie que no ! es perpendicular al campo eléctrico la expresión (13 T) se puede escribir como

A !

!

Puesto que el campo eléctrico es un vector, si definimos el área A como un vector podríamos escribir la expresión (14 T) como un producto escalar entre el campo eléctrico E y el área A .

! !

!

29

r Se define como A a un vector que tiene como magnitud el área A y su dirección es perpendicular a ella.

A

!

!

A

E A cos !

Entonces podemos escribir el flujo del campo eléctrico como

r r !E = E " A

A !

! A

Ejercicio a) Se tienen tres superficies en un campo eléctrico uniforme como muestra la fig. escriba el flujo a través de cada una de ellas.

r r "1 = E # A1 = EA1 cos 0° = EA1 r r "2 = E # A2 = EA2 cos 90° = 0 !

r r " 3 = E # A3 = EA3 cos $ ° = EA1

! A3 cos" = A1 #1 = # 3

!

!

Ejercicio b) Se tiene una cuerpo formada por las tres superficies planas que se muestra en la fig. anterior, ahora unidas entre si, más dos superficies paralelas que cierran dicho cuerpo formando una superficie cerrada. La vista transversal de este cuerpo se muestra en la siguiente figura.

30

Encontrar el flujo a través de cada una de las caras de este cuerpo. r r En una superficie cerrada el vector A o dA es define saliente de dicha superficie. !

!

!

"1 = EA1 cos # < 0 % &Entrante "2 = EA2 cos $ < 0'

r r " 3 = E # A3 = EA3 cos 0 = EA3 > 0 Saliente

! 4 = !5 = 0

! Flujo de campo eléctrico a través de superficies no planas Si deseamos calcular el flujo del campo eléctrico a través de una superficie que no es plana, no tenemos en este caso un único vector que represente la superficie a través de la cual queremos calcular el flujo, por lo tanto debemos subdividir dicha superficie en pequeños elementos que podamos considerar planos. Consideremos la superficie abierta que se muestra en la fig.

E

E dA

En este caso el flujo del campo eléctrico está dado por la siguiente expresión r r " E = $ E # dA (15 T) Si se trata de una superficie cerrada (15 T) se escribe como r r ! " E = $ E # dA

(16 T)

donde el circulo sobre el signo de integración indica que se trata de una superficie cerrada. !

31

Ley de Gauss Calcule el flujo a través de una superficie de radio R que rodea a una carga puntual q . Tenemos que el flujo está dado por "E =

!

r

r

$ E # dS

!

r

r

El ángulo que forma E con dS es 0° . !

El campo eléctrico sobre la superficie de radio R es el producido por la carga puntual puntual q .

E=

!

kq R2

!

Por lo tanto

"E =

r

r

kq

kq

2

2

$ E # dS = $ EdS cos 0° = R $ dS = R

Considerando que k =

!

4 %R 2 = kq4 %

1 tenemos finalmente que 4 !" 0 "E =

q #0

Si calculamos el flujo del campo eléctrico a través de una esfera de radio 2R , tenemos en este caso ! que el campo eléctrico sobre dicha superficie está dado por

!

E=

kq (2R) 2

Por lo tanto "E =

r r

kq

kq

# EdS = # EdS cos 0° = (2R) # dS = (2R) 2

2

4 $ (2R)2 = kq4 $ =

q %0

O sea que el flujo a través de una superficie cerrada no depende del tamaño de la superficie, sino que depende solamente de la carga encerrada ! por dicha superficie.

32

"E =

r r

q

# EdS = $

Ley de Gauss

(17-T)

0

La ley de Gauss es válida independientemente de la posición de la carga q dentro de la ! superficie y de la forma de ésta.

La carga q representa la carga total encerrada por la superficie que ! denominaremos Superficie Gaussiana. Conductor cargado aislado en equilibrio electrostático ! Experimentalmente de puede observar que el exceso de carga eléctrica en un conductor yace en su superficie externa. Este hecho se puede explicar utilizando la ley de Gauss. La fig. representa una sección transversal de un conductor aislado que tiene un exceso de carga q . La línea interna muestra la superficie gaussiana que se encuentra a poca distancia de la superficie real del ! conductor. Aunque la superficie gaussiana puede estar tan cerca de la superficie real como se desee, es importante recordar que se encuentra dentro del conductor. Si un conductor recibe carga eléctrica, en su interior se producirán campos eléctricos. Estos campos actuarán sobre los electrones libres del conductor y harán que se muevan por un intervalo de tiempo muy corto hasta que los campos eléctricos en el interior del conductor se anulen en todas partes y se establezcan condiciones electrostáticas. Recordemos que la fuerza que sobre una partícula cargada en un r actúa r campo eléctrico está dada por F = qE . Si, en condiciones de equilibrio electrostático el campo eléctrico E es cero en todos los puntos internos del conductor, también debe ser cero en todos los puntos situados sobre la superficie gaussiana, debido a que esta superficie se encuentra en el interior del conductor. ! Aplicando la ley de Gauss a dicha superficie y considerando que E = 0 en ella tenemos

33

r

r

q

# E " dS = $

q=0

"

=0

0

O sea la carga encerrada por la superficie gaussiana es nula. ! está dentro de esa superficie, solamente Entonces si el exceso de carga no ! puede estar fuera de ella; esto es debe encontrarse sobre la superficie real del conductor.

Otra propiedad que presenta un conductor en equilibrio electrostático es que el campo r eléctrico E es perpendicular a su superficie. En la fig. aparecen dibujados dos campos eléctricos sobre la superficie del conductor, uno perpendicular y otro que no es perpendicular a su superficie Para analizar que sucedería si el campo no fuera perpendicular a la superficie, descomponga ese vector campo eléctrico en dos componentes una tangencial y otra perpendicular a la superficie. Analice que efecto produce sobre los electrones libres del conductor cada una de esas componentes. Solución de Problemas utilizando la Ley de Gauss La ley de Gauss es útil para calcular campos eléctricos en aquellos casos en que la distribución de cargas tenga cierta simetría que nos permita colocar una superficie auxiliar para aplicar Gauss, y en la cual el módulo del campo eléctrico sea constante. Veamos por uniformemente.

ejemplo

el

caso

Se entiende por alambre infinito, para los efectos de cálculo de campo eléctrico, a un alambre en el cual el punto en el cual se desea encontrar el campo está a un distancia h tal que

de

un

alambre

infinito

cargado

p h L

h a

b) Para puntos dentro de la esfera

r a como se muestra en la fig. Aplicando Gauss tenemos r

!

r

q

# E " dS = $ r

0

r

# E " dS = # EdS cos 0° = E # dS = E4 $r

!

! q kq E= = 2 2 4 "# 0 r r

2

=

q %0

r kq E = 2 rˆ r

La esfera para puntos fuera de ella se comporta como si fuera como una carga puntual ubicada en el centro. ! Solución b) Tenemos que para encontrar el campo eléctrico para puntos que se encuentran dentro de la esfera colocamos una superficie gaussiana esférica dentro de ella con un radio r < a como se muestra en la fig.

!

Aplicando Gauss tenemos r r # E " dS =

# EdS cos 0° = E # dS = E4 $r

q ! es la carga encerrada por la superficie Gaussiana.

q" = #V " =

!

E4 "r 2 =

q q qr 3 V " = 4 3 43 $r 3 = 3 V a 3 $a

r kqr E = 3 rˆ a

qr 3 #0a 3

! Representar el campo eléctrico en un gráfico E vs r . ! 37

!

2

=

q% &0

Problema 10 Se tiene un cilindro infinito no conductor de radio a y densidad de carga volumétrica uniforme ! . r Encontrar el campo eléctrico E

a

a) dentro del cilindro b) fuera del cilindro.

Solución a) Tenemos que para encontrar el campo eléctrico para puntos que se encuentran dentro del cilindro, colocamos una superficie gaussiana cilíndrica dentro de él con un radio r < a como se muestra en la fig.

!

Aplicando Gauss tenemos r

r

q$

# E " dS = %

0

donde q ! es la carga encerrada por la superficie Gaussiana. q" = #V "

!

V " = $r 2 L

r E2 "dS2 !

Por lo tanto

r r !# E1 " dS1 +

"

! E=

!

!

#

0 6 r 78 r E!2 " dS2 +

r E3"dS3

#

0 6 r 78 r $%r 2 L E3 " dS3 = &0

E1dS1 cos 0° = E1 " dS1 = E1 2 #rL = 123 1

$#r 2 L %0 r !r E= rˆ 2 "0

"r 2# 0

38

Solución b) Tenemos que para encontrar el campo eléctrico para puntos que se encuentran fuera del cilindro colocamos una superficie gaussiana cilíndrica fuera de él con un radio r > a como se muestra en la fig.

!

Aplicando Gauss tenemos r r q " E ! dS = # 0

r r E2 "dS2 r

!

r

# E " dS + # 1

1

q = "V

siendo

V = #a 2 L

r r E3"dS3 0 6 r 78 r E2 " dS2 + !

#

! 0 6 r 78 r $%a 2 L E3 " dS3 = &0

" E dS cos 0° = E 2#rL = 1

!

1

1

$#a 2 L %0 r !a 2 E= rˆ 2 " 0r

"a 2 E= ! 2# 0 r

Problema 11 ! Calcular el campo eléctrico producido por un plano infinito delgado no conductor que tiene una densidad superficial uniforme ! . Solución Dibujamos las líneas de campo eléctrico producidas por el plano infinito delgado, para encontrar la superficie gaussiana más apropiada para aplicar la ley de Gauss.

39

Por las características que presentan esas líneas una superficie gaussiana práctica puede ser la indicada en la fig.

Aplicando Gauss tenemos r r q " E ! dS = # 0 donde q es la carga encerrada por la superficie gaussiana y corresponde a la parte de la lámina interceptada por el cilindro auxiliar.

!

r

r

r

# E " dA + # E 1

2

" E dA cos 0° + " E dA 1

!

1

1

2

2

r " dA2 +

r

#E

cos 0° +

3

r $A " dA3 = %0

" E dA 3

E1 = E2 = E

!

cos 90° =

#A $0

A1 = A2 = A

2 " EdA = 2E " dA = 2EA =

!

3

#A $0 r " ˆ E =± j 2# 0

" E =! 2# 0

Proponga otras superficies gaussianas para utilizar en el desarrollo de ! este!problema. Analice ventajas y desventajas de cada una de ellas.

40

Expresiones útiles al usar la Ley de Gauss

Bibliografía recomendada Halliday D. y Resnick R. -

Física

Parte II

Tipler P. A.

Física

Tomo II

Serway R. A. y Beichner R. J.

Física

Tomo II

Wilson J. D.

Física

Hewitt P. G.

Conceptos de Física

Máximo A. y Alvarenga B.

Física General.

Tippens P. E.

Física. Conceptos y Aplicaciones

41