ELEMENTOS DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO– CURSO 2015 Prof.Sergio Weinberger

6to MD.Mat IV

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS: a

b

1) PARALELAS: a//b ↔ a y b coplanares y a ∩ b= Ф o a = b

a

b

P

b

2) SECANTES(SE CORTAN):

a

a y b secantes ↔ a∩b={P} 3) SE CRUZAN (NO COPLANARES)

b a

a y b se cruzan ↔ a // b y a no es secante con b

DETERMINACIÓN DE UN PLANO: Un plano puede determinarse por los siguientes elementos :

α

1) Tres puntos no alineados.

Α

Β

C

α 2) Una recta y un punto que no pertenece a ella

A

r α

3) Dos rectas secantes

a

b α

4) Dos rectas paralelas no coincidentes

a POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS: α

1) PARALELOS: α //β ↔

b α=β

α ∩ β= Ф o α = β

β i

2) SECANTES(SE CORTAN): α y β secantes ↔ α ∩ β= i

α

β

POSICIONES RELATIVAS RECTA- PLANO: 1) PARALELOS: r // α ↔ r ∩ α = Ф o r ⊂ α 2) SECANTES: r y α secantes ↔ r ∩ α= {P}

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ALGUNAS PROPIEDADES 1) Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano, dicha recta está incluida en el plano r α A B Si A ∈α, B ∈α , r = AB → r ⊂ α

r α

P

2) Si dos planos tienen un punto en común, tienen una recta en común a la que pertenece dicho punto.

β

PARALELISMO ENTRE PLANOS 3) Condición necesaria y suficiente: α //β ↔ existen dos pares de rectas secantes, un par ({a,b}) incluido en α, el otro({c,d}) en β, y de modo que ambos pares estan constituidos por rectas respectivamente paralelas.

a

b

α β

c

d

α

4) Si dos planos contienen respectivamente a dos rectas r y s paralelas entre si, entonces:

β

r

i

s r s

α //β ο

α ∩ β = i , i // r //s

5) Si un plano corta a otros dos paralelos, lo hace según rectas paralelas, PARALELISMO RECTA-PLANO 6) CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES: 6.1)

6.2)

β

r // α ↔ ∃ β // α tal que r ⊂ β

α

r // α ↔ ∃ s ⊂ α tal que r // s

r α

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r

s

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PERPENDICULARIDAD RECTA-PLANO (DEFINICIÓN) “Una recta r es perpendicular a un plano α si lo es a toda recta s del plano que pase por el punto de intersección de r y α” r r ⊥ α ↔ r ∩α={P} y r ⊥ s, ∀ s / P ∈ s, s ⊂ α α

s

RECTAS ORTOGONALES (DEFINICIÓN): “ Dos rectas son ortogonales si una de ellas se encuentra incluida en un plano perpendicular a la otra” r s╨r

↔ ∃α /

s⊂α , α⊥ r

α

s

OBS: Puede demostrarse que esta relación es recíproca, también en este caso existirá un plano β que contenga a r y sea perpendicular a la recta s RECTAS ORTOGONALES (CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE) s╨r

↔ ∃ s’ / s’ // s , s’ ⊥ r

r s

s’

RECTA ⊥ PLANO (CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE): “Una recta es perpendicular a un plano si y sólo si existen dos rectas del plano perpendiculares a la recta considerada.” r r ⊥ α ↔ r ∩α={P} y ∃ a y b / r ⊥ a, P ∈ a, a ⊂ α r ⊥ b, P ∈ b, b ⊂ α α a b O “ Una recta es perpendicular a un plano si y sólo si existen dos rectas secantes del plano, ortogonales con la recta considerada” r r ⊥ α ↔

∃ a y b / a y b secantes r ╨ a , a ⊂ α r ╨ b, b ⊂ α

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α

a

b

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PERPENDICULARIDAD ENTRE PLANOS (DEFINICIÓN): “Dos planos son perpendiculares si y sólo si existe una recta que está incluida en uno de los planos y a su vez dicha recta es perpendicular al otro.” α ⊥ β ↔ ∃r / r⊂α , r ⊥ β OBSERVACIÓN: Puede demostrarse que dicha relación es recíproca, es decir, en este caso también existirá una recta s incluida en β y a su vez s ⊥ α.

PROPIEDADES: 1) “ Si dos planos secantes son perpendiculares a un tercero, la recta intersección entre ellos es perpendicular al tercer plano.” i Si α ∩ β= i , α ⊥ δ y β ⊥ δ → i ⊥ δ

α β δ β

2) “Si dos planos son perpendiculares, cualquier recta incluida en uno de los dos planos, que sea perpendicular a la intersección de ellos, es perpendicular al otro” α

r

¿es correcto plantear que: “si dos rectas se encuentran incluidas respectivamente en dos planos perpendiculares entre si, entonces dichas rectas son perpendiculares entre si” ?

3) “Si dos rectas son perpendiculares a un mismo plano, entonces son paralelas entre si.

Si dos rectas son perpendiculares a una tercera recta, ¿son paralelas entre si?

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ALGUNOS LUGARES GEOMÉTRICOS: 1) El lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de dos puntos fijos A y B es un plano llamado “mediator del segmento AB.” NOTACIÓN: plano mediator del segmento AB:

mt(AB)

PROPIEDAD CARACTERÍSTICA: Puede demostrarse que dicho plano es perpendicular a la recta AB, pasando por el punto medio M del segmento AB (dicho plano contiene a todas las mediatrices del segmento AB)

A = mt(AB)

M = B

2) El lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de tres puntos fijos no alineados A,B y C es una recta que llamaremos : “circuncentriz del triángulo ABC” r=cz(ABC) NOTACIÓN: circuncentriz del triángulo ABC: cz(ABC) C O PROPIEDAD CARACTERÍSTICA: A B La circuncentriz de ABC es perpendicular al plano(ABC) y pasa por el circuncentro (O) de dicho triángulo.

3) El lugar geométrico de los puntos del espacio que están a una distancia constante r de un punto fijo O, es la “cáscara esférica” de centro O y radio r.

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O

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