Capítulo VII

Energía específica y momenta

CAPITULO

VII

ENERGIA ESPECIFICA Y MOMENTA

7.1

Energía específica

La energía de la corriente en una sección determinada de un canal es igual a la suma del tirante, la energía de velocidad y la elevación del fondo con respecto a un plano horizontal de referencia arbitrariamente escogido y se expresa así

Energía =

y +α

V2 +z 2g

(7-1)

y es el tirante, α el coeficiente de Coriolis, V la velocidad media de la corriente en la sección considerada, z la elevación del fondo con respecto a un plano de referencia. Si tomamos como plano de referencia el fondo del canal, la energía así calculada se denomina energía específica y se designa con la letra

E . Esta definición significa z = 0.

E = y +α

V2 2g

(7-2)

La energía específica es, pues, la suma del tirante y la energía de velocidad. Como está referida al fondo va a cambiar cada vez que éste ascienda o descienda. Obsérvese que las definiciones anteriores no implican necesariamente condiciones normales. Puede, por ejemplo, calcularse la energía específica para una sección que forma parte de un

323

Hidráulica de tuberías y canales

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movimiento gradualmente variado, siempre y cuando el flujo pueda considerarse como paralelo y aceptarse una distribución hidrostática de presiones, que son los supuestos fundamentales de la ecuación 7-1. La energía específica se interpreta gráficamente así

Línea de energía

α

2

V 2g E y

Fondo (plano de referencia)

Figura 7.1 Interpretación gráfica de la Energía Específica

Estamos considerando que la pendiente del canal es cero (horizontal), o muy pequeña. En consecuencia, es indiferente que el tirante se mida vertical o normalmente al fondo. Hemos visto en el capítulo I que en muchos casos se justifica considerar que el coeficiente de Coriolis es igual a la unidad. Entonces,

E = y+

V2 2g

(7-3)

es la ecuación de la energía para este caso particular. Esta ecuación puede también expresarse en función del gasto transversal, que es una función del tirante

Q y el área A de la sección

y ( V = Q A ).

E = y+

Q2 2gA2

(7-4)

En esta ecuación se ve con claridad que hay tres variables involucradas: energía específica, gasto y tirante

324

Capítulo VII

Energía específica y momenta

y = ö (E, Q)

(7-5)

Para poder discutir y analizar esta función consideraremos sucesivamente la constancia de cada una de las dos variables del segundo miembro de la ecuación 7-5. Así, si aceptamos que el gasto es constante

y = φ( E )

(7-6)

y = φ(Q)

(7-7)

Pero si la energía es constante,

7.2

Energía específica a gasto constante

Discusión de la curva

E− y

La ecuación de la energía específica a gasto constante puede ser graficada colocando en el eje de abscisas los valores de la energía específica y en el eje de ordenadas los del tirante

y,

tal como se ve en el Figura 7.2. Empezaremos por discutir las asíntotas de la ecuación 7-4,

E = y+

Q2 2gA2

que evidentemente son

E− y =0 ;

y=0

Es decir, que las dos asíntotas están constituidas por una recta a 45º ( E

= y ) y por el eje de

abscisas. Es claro que si la pendiente del canal no es cero entonces dicha asíntota no está a 45º. Es decir, que si la pendiente del canal es lo suficientemente grande como para tenerse que tomar en cuenta, entonces no es lo mismo medir el tirante vertical o normalmente al fondo. Examinemos el mínimo de la ecuación 7-4 que corresponde a

dE =0 dy

325

Hidráulica de tuberías y canales

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E=y

y Tirante

V2 E = y+ 2g V22 2g

y2

R

IO

V < Vc

dE dy = 0 y2

F< 1

0<

Q2 T 3 1

dE 1 gA

V2 E = y+ 2g

E min

Energía Específica

V2 E = y1 + 1 2g TORRENTE

=

V2 y2 + 2 2g RIO

y1 e y2 son tirantes alternos V12 Vc 2 > 2g 2g 2

( E1 = E 2 )

(flujo supercrítico)

F > 1 ( y1 < yc )

(flujo subcrítico)

F < 1 ( y2 > yc )

2

V2 Vc < 2g 2g

Si E < E min no hay flujo posible del gasto Q

Figura 7.2 Gráfico de la Energía Específica a gasto constante (Curva

326

E− y)

Capítulo VII

Energía específica y momenta

y a partir de la ecuación 7-4 se obtiene

dE Q 2 dA = 1− 3 dy gA dy

(7-8)

Esta expresión es aplicable a una sección transversal cualquiera, como la que se ve en la figura

T

Para cada valor del tirante

y , que es

variable, hay un valor del área valor del ancho superficial

dy

A y un

T . El área

es

y

A

A( y ) = ∫ T ( y )dy y

0

Al diferenciar esta expresión se llega a

dA = Tdy Luego,

T=

dA dy

(7-9)

Siempre se cumple que la derivada del área con respecto al tirante es igual al ancho superficial. Evidentemente que esta igualdad también es válida para un conducto abovedado. Obsérvese en el cuadro “Elementos geométricos de diversas secciones” (Tabla 6.11) que para todas las secciones se cumple la ecuación 7-9. Reemplazando este valor en la ecuación 7-8 se obtiene

dE Q2T = 1− dy gA3

(7-10)

Si esta ecuación se iguala a cero nos da el mínimo valor de la energía con que puede escurrir un gasto

Q en un canal dado y que corresponde a las condiciones críticas dE Q2T = 1− =0 dy gA3

327

Hidráulica de tuberías y canales

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o bien,

Q 2 A3 = g T

ó

Q 2T =1 gA3

(7-11)

que es la condición general de flujo crítico en cualquier sección transversal. Es interesante notar que la ecuación 7-11, de condición general de crisis, puede hacerse adimensional al dividir ambos miembros por

L5 .

Q2 A3 = gL5 TL5 siendo

(7-11a)

L una magnitud lineal característica de la sección (ancho, diámetro, etc.).

Hasta el momento hemos establecido que la ecuación de la energía específica tiene dos asíntotas y un mínimo. Por lo tanto tiene dos ramas tal como se ve en la Figura 7.2. La rama superior corresponde al régimen denominado RIO. En él siempre se cumple que

Q 2T 1 gA3 El régimen crítico, que separa los ríos de los torrentes, corresponde a (ec. 7-11)

Q 2T =1 gA3 La velocidad y el tirante que corresponden a la energía mínima se denominan críticos. De esta última ecuación se obtiene

Q= A g AT

328

Capítulo VII

Energía específica y momenta

El tirante hidráulico se definió en el capítulo I como,

d=

A T

es decir, como la relación entre el área de la sección transversal y el ancho superficial. Luego,

Q = A gd o bien,

V = g A T = gd que es la velocidad que corresponde al mínimo contenido de energía y que se denomina velocidad crítica

Vc (en cualquier sección transversal). Vc = g A T = gd c

(7-12)

Desde el punto de vista de la consistencia en la notación quizá sería más conveniente que en las ecuaciones 7-11, 7-12 y otras se escriba en lugar de

A , Ac y en lugar de T , Tc , etc. Por

comodidad se omiten los subíndices, pero debe entenderse claramente que los valores de

A , T y otros que corresponden al mínimo contenido de energía son necesariamente críticos. Si no hubiéramos considerado que el coeficiente de Coriolis es igual a 1, entonces la velocidad crítica sería

Vc =

De la ecuación 7-12, para

g d α c

(7-13)

α = 1 , se obtiene que Vc2 dc = 2g 2

(7-14)

Significa esta ecuación que en un régimen crítico la energía de velocidad es igual a la mitad del tirante hidráulico (para cualquier sección). Es claro que las expresiones 7-11, 7-12 y 7-14 son absolutamente equivalentes.

329

Hidráulica de tuberías y canales

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Se observa en la Figura 7.2 que para un valor dado de la energía específica, superior a la mínima, pueden presentarse dos tirantes diferentes. El mayor de ellos corresponde a un régimen de río. Se caracteriza porque la velocidad siempre es menor que la crítica. Por eso se llama régimen subcrítico. El menor de ellos corresponde a un régimen de torrente. Se caracteriza porque la velocidad siempre es mayor que la crítica. Por eso se llama régimen supercrítico. De acuerdo a las definiciones anteriores se comprende de inmediato que

Emin = yc +

Vc2 2g

(7-15)

Más adelante veremos que la proporción en la que se distribuye la energía mínima entre tirante y energía de velocidad depende de la forma de la sección transversal. Los tirantes

y1 e y 2 , uno de torrente y otro de río, que corresponden a la misma energía

específica se denominan alternos.

Introducción del Número de Froude Veamos como el número de Froude es útil para distinguir los tres regímenes anteriormente presentados. El número de Froude es un indicador del tipo de flujo y describe la importancia relativa de las fuerzas gravitacionales e inerciales. Su definición general es

F=

Si la velocidad

V = gd

V gAT

(7-16)

V de la corriente es igual a la crítica, entonces

F=

gd c =1 gd c

(7-17)

Llegándose así a la importante conclusión que en un régimen crítico el número de Froude es igual a 1.

330

Capítulo VII

Energía específica y momenta

En un río la velocidad de la corriente es menor que la crítica y, por lo tanto, el número de Froude es menor que 1. En un torrente la velocidad de la corriente es mayor que la crítica y, por lo tanto, el número de Froude es mayor que 1. Examinemos nuevamente la ecuación 7-10

dE Q2T = 1− dy gA3 Al introducir

V = Q A se obtiene

dE V2 = 1− A dy g T

(7-18)

Pero, (ec. 7-16)

F=

V g

A T

De donde,

dE =1− F2 dy

(7-19)

Si el número de Froude es igual a 1 (condiciones críticas) entonces,

dE =0 dy

(7-20)

Condición que es precisamente la de energía mínima. Si el número de Froude es menor que 1 (régimen subcrítico) entonces,

0<

dE 0. dy

En cambio, en un torrente un aumento del tirante implica una disminución de la energía específica

dE < 0. dy

y

En un río las variaciones de

∆y

E e y son del mismo signo y

∆E RI O

del mismo orden de magnitud.

En un torrente las variaciones de

45º

∆y

TORR ENTE

E e y son de diferente signo y

∆E

de diferente orden de magnitud.

E Figura 7.2a Variación de la energía específica y el tirante

Ejemplo 7.1 Probar que la sección de un canal en la cual el flujo es crítico puede ser expresada en la forma siguiente x2 y3 =

Q2 32 g

Donde “x” es la mitad del ancho superficial e “y” es la distancia de la superficie del agua a la línea de energía. Solución. Sea T el ancho superficial y V la velocidad media de la corriente. Entonces, x=

T 2

y=

V2 2g

Como el problema establece que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación fundamental 7-11 Q2 g

334

=

A3 T

Capítulo VII

Energía específica y momenta

Siendo en este caso, T = 2x

Q = V

A=

Q 2 gy

Reemplazando los valores de A3 y de T en el segundo miembro de la ecuación 7-11 se verifica la expresión propuesta. Podría haberse usado como condición de crisis la ecuación 7-12.

7.3

Sección rectangular

Condiciones críticas En cualquier sección transversal en la que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación 7-11 ó la 7-12, ya que son equivalentes. Partamos de esta última ecuación

Vc = g

expresión en la que

A T

Vc es la velocidad crítica, A el área de la sección transversal, T el

ancho superficial. Tal como lo señalamos antes, siendo el flujo crítico se sobreentiende que

A es Ac y T es

Tc . En una sección rectangular la relación

A T (tirante hidráulico) es igual al tirante. Luego, Vc = gyc

(7-23)

que es la ecuación de la velocidad crítica en una sección rectangular. De esta ecuación se obtiene de inmediato

Vc2 yc = 2g 2

(7-24)

Esta última ecuación significa que en un régimen crítico en sección rectangular la energía de velocidad es igual a la mitad del tirante crítico.

335

Hidráulica de tuberías y canales

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La energía que corresponde a las condiciones críticas es

E = yc +

Este valor de la energía es el mínimo en la curva

Vc2 2g E − y , tal como se ve en la Figura 7.2.

Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene

2 E 3

(7-25)

Vc2 1 = E 2g 3

(7-26)

yc =

Esta es, pues, la proporción en la que se distribuye la energía, en condiciones críticas, en un canal rectangular. Al respecto puede leerse nuevamente el comentario hecho después de presentar la ecuación 7-15.

Vc2 2g

1 E 3

yc

2 E 3

E

Figura 7.3 Distribución de la Energía Específica en un canal rectangular

Se puede obtener fácilmente una expresión para el tirante crítico en función del gasto recordando que

336

Capítulo VII

Vc =

Q q = A yc

Energía específica y momenta

o

o o

yc =

3

2 q2 = 0,467q 3 g

(7-27)

Vc = gyc q es el gasto específico, es decir, el gasto por unidad de ancho. La última expresión corresponde al sistema métrico. En general, la energía específica de un canal rectangular es

E = y+

Si dividimos ambos miembros por el tirante

V2 2g

y , se llega a

E V2 =1 + y 2 gy

Introduciendo el número de Froude

F=

V se obtiene gy

E F2 = 1+ y 2

(7-28)

Si esta expresión se combina con la ecuación 7-19, se obtiene,

dE 2E = 3− dy y Nótese que si en la ecuación 7-28 hacemos obtiene

E=

(7-29)

F = 1 esto significa condiciones críticas, y se

3 y , tal como se demostró anteriormente. 2 c

Lo mismo se podrá hacer en la ecuación 7-29. Las condiciones críticas están dadas por

337

Hidráulica de tuberías y canales

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3 dE = 0 , obteniéndose también E = yc . 2 dy

Expresión adimensional de la energía específica (Figura 7.4) La expresión que nos da la energía específica en un canal rectangular cuyo gasto específico es

q , se obtiene de inmediato a partir de 7-4 E= y+

q2 2gy 2

Dividiendo ambos miembros por el tirante crítico

(7-30)

yc se obtiene

E y q2 = + y c yc 2 gy 2 yc Pero, en una sección rectangular

yc = 3

q2 g

ó lo que es lo mismo,

q 2 = gy3c

(7-31)

E y y2 = + c2 yc yc 2 y

(7-32)

Reemplazando se obtiene

que es la expresión adimensional de la energía específica en un canal rectangular. La ecuación 7-32 puede también tomar la forma siguiente

E 2 y 1 y c2 = + Emin 3 yc 3 y 2

338

(7-32a)

Capítulo VII

Energía específica y momenta

y yc

E=y

3 yc2 y E = + yc yc 2y2 O RI

2

1

CRISIS TORRENTE

yc = 2 E 3 45º 0

1

1,5

2

3

E yc

Figura 7.4 Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal rectangular

339

Hidráulica de tuberías y canales

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Variación del gasto con el tirante a energía específica constante El análisis hecho hasta ahora ha sido considerando gasto constante y energía específica variable en función del tirante. Vamos a examinar ahora la posibilidad mencionada en la ecuación 7-7

y = φ(Q) , para energía constante La ecuación de la energía específica en un canal rectangular es

E= y+ De acá podemos despejar el gasto específico

q2 2gy 2

q

q = 2 g (E − y ) y

(7-33)

Siendo la energía específica constante se tendrá que para cada valor del tirante

y hay un

valor correspondiente del gasto. Por lo tanto habrá un valor del tirante que produzca el gasto máximo

dq =0 dy 1 1 dq 1 = 2 g (E − y )2 − ( E − y )− 2 y  = 0 dy 2  

De donde,

y=

2 E 3

Se obtiene así que el gasto es máximo cuando el tirante es los 2/3 de la energía específica. Esta es precisamente la ecuación 7-25 obtenida al examinar las condiciones críticas en un canal rectangular. Luego, pues, el gasto es máximo cuando las condiciones son críticas. El gasto máximo en un canal es el que corresponde a las condiciones críticas 3

Q = AVc = byc gy c = g byc2

340

Capítulo VII

Energía específica y momenta

Pero, en un canal rectangular

Luego,como

q=

yc =

2 E 3

Q se obtiene b 3

2 2 q = g   E 2 3 3

(7-34)

En el sistema métrico 3

q = 1,704E 2

(7-35)

Este es el gasto máximo que puede transportar un canal con un contenido de energía específica dado. La representación gráfica de la ecuación 7-33 aparece en la Figura 7.5.

Ejemplo 7.2 En un canal rectangular de 4 m de ancho se ha determinado que las ondas superficiales remontan la corriente con una velocidad de 2,2 m/s y son arrastradas por la corriente con una velocidad de 3,0 m/s. Hallar el gasto en el canal. Solución. Sea V la velocidad de la corriente en el canal y c la celeridad de las ondas superficiales. Entonces, c - V = 2,2 c+V=3 De donde, c = 2,6 m/s y V = 0,4 m/s A partir de la ecuación 7-22 obtenemos que y=

c2 = 0,69 m g

El gasto es Q =AV = 2,76 x 0,4 = 1,10 m3/s Como las ondas pueden remontar la corriente esto significa que el número de Froude es menor que 1 y que la velocidad media de la corriente es menor que la crítica, como puede fácilmente comprobarse. (F= 0,15). Si la onda se produce en la dirección de la corriente su velocidad sería de 2,6 + 0,4 = 3,0 m/s, pero si la onda se produce contra la corriente su velocidad sería 2,6 - 0,4 = 2,2 m/s.

341

Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha

y q = 2g(E - y) y VR2 2g

RI

q

O

dq FR

Vc 2 2g q = 1,704 E

<

dy 1

3 2

CRISIS

qmax

F=1

2 T

V 2g E

=0

T

F>

1

yR

2 y 3 (sección rectangular)

TO RR EN TE

yc =

q yT

q

q < q max 3

q

max

= 1,704 E 2

(sección rectangular)

yT yR yR yT

2

=

FR (1 + 4 2

FT = (1 + 4

1+

8 2 ) FR

Los subíndices R y T se refieren a río y torrente

8 1+ 2 ) FT

Figura 7.5 Curva de descarga para Energía Específica constante

342

Capítulo VII

Energía específica y momenta

Ejemplo 7.3 En un canal rectangular el gasto específico es de 1 m3/s/m. Presentar una tabla que muestre la variación de la energía específica y de otros parámetros descriptivos de la corriente en función del tirante, para valores comprendidos entre 1,50 m y 0,10 m. Solución. Asignaremos sucesivamente valores al tirante. Para cada uno de ellos se puede calcular el área, la velocidad media, la energía de velocidad y la energía específica. Conviene calcular en primer lugar el tirante crítico. Por ser una sección rectangular usamos la ecuación 7-27 yc = 3

q2 = 0,4673 m (0,47 aprox.) g

En la tabla se ha considerado cuatro tirantes mayores que el crítico y cuatro menores. (Ver Figura 7.6 y Tabla 7.1). La velocidad crítica puede calcularse como gasto entre área, o usando la ecuación 7-23 Vc = gy c = 2,14 m/s

La energía mínima es 0,7009 m. Esta es la mínima energía con la que puede establecerse un régimen de 1 m3/s/m en un canal rectangular.

(2,14)

2

0,4673 +

yc

2g

Vc2 2 g

= 0,7009

E (mínima)

Para cualquier valor de la energía superior a 0,7009 m puede establecerse dos tipos de escurrimiento (ríos y torrentes). Los ríos tienen tirantes mayores que el crítico y velocidades menores que la crítica (régimen subcrítico). Los torrentes tienen tirantes menores que el crítico y velocidades mayores que la crítica (régimen supercrítico). Los tirantes que corresponden al mismo contenido de energía específica se denominan alternos. Así por ejemplo, con una energía de 1,48 m puede haber dos escurrimientos a)

Un río, con un tirante de 1,46 m y una velocidad de 0,685 m/s (como esta velocidad es menor que la crítica el régimen es subcrítico). El número de Froude es menor que 1 y los valores de

dE son positivos, pero menores que 1. dy

343

Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha

y (m)

E=y

Tirantes alternos

2,00

1,50 (1,46)

0,17 (Número de Froude) 0,18

R

IO

yc

2

1,00

Vc 2g

yc

0,32 3

q = 1 m /s/m

1m

0,69 0,50

(0,20)

0

0,4673

0,2336

1,00 CRISIS 1,26 1,94 3,57

TORRENTE

45º

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

E (m)

0,7009 1,48

Figura 7.6 Gráfico para el ejemplo 7.3

b)

Un torrente, con un tirante de 0,20 m y una velocidad de 5 m/s (como esta velocidad es mayor que la crítica el régimen se denomina supercrítico). El número de Froude es mayor que 1 y los valores de

dE son negativos. dy

Como los tirantes 1,46 m y 0,20 m corresponden a la misma energía específica (1,48 m) se dice que son tirantes alternos. Obsérvese que satisfacen la expresión propuesta en el ejemplo 7.4. En los ríos al disminuir el tirante disminuye la energía específica. En cambio en los torrentes al disminuir el tirante aumenta la energía específica. Así por ejemplo, al pasar de un tirante 0,30 m a otro 0,20 la energía específica aumenta de 0,87 m a 1,48 m. En cambio en un río al disminuir el tirante de 1,46 m a 1,00 m la energía específica disminuye de 1,48 a 1,05 m.

344

Energía específica y momenta

EJEMPLO 7.3 ( = 1 m3/s/m)

TABLA 7.1

Capítulo VII

345

Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha

Para ilustrar la diferencia entre ríos y torrentes se ha calculado para cada tirante, la celeridad de una pequeña onda superficial. En la Tabla 7.1 se muestra para el rango de valores solicitado, la variación de la energía específica y de otros parámetros descriptivos de la corriente en función del tirante. Ejemplo 7.4 Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos y1 e y2 y el tirante crítico yc la siguiente relación 2 y12 y 22 = y 3c y1 + y2 Solución. Por ser y1 e y2 tirantes alternos corresponden a flujos que tienen la misma energía específica y1 +

V12 V2 = y2 + 2 2g 2g

Introduciendo el gasto específico q (gasto por unidad de ancho) se obtiene y1 +

q2 q2 = y2 + 2 2 gy1 2 gy22

Pero en un canal rectangular yc = 3

q2 g

Luego, y1 +

y 3c yc3 = y + 2 2 y12 2 y 22

Efectuando las operaciones indicadas se llega fácilmente a 2 y12 y 22 = y 3c y1 + y2 En el ejemplo 7.3 hay 2 tirantes alternos, 0,20 m y 1,46 m (pues ambos corresponden a la misma energía específica). A modo de comprobación 2(0 ,20 ) (1, 46 ) = 0 ,1027 1,66 2

2

que es prácticamente igual al cubo del tirante crítico.

346

Capítulo VII

7.4

Energía específica y momenta

Sección parabólica

T

A

yc

En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (o la 7-12 que es su equivalente)

Vc = g

A T

Por propiedades geométricas de la parábola se sabe que el área transversal es igual a los 2/3 del área del rectángulo circunscrito

A=

2 yT 3 c

reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) se obtiene

Vc =

2 gy 3 c

Vc =

2 gyc 3

(7-36)

o bien,

que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal parabólico. De acá se obtiene

Vc2 yc = 2g 3

(7-37)

347

Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha

Esta ecuación puede compararse con la ecuación 7-24. Combinando la ecuación 7-37 con la definición de energía específica en condiciones críticas se obtiene

3 E 4

(7-38)

Vc2 1 = E 2g 4

(7-39)

yc =

Vc 2 2g 1 E 4 E

3 E 4

yc

Figura 7.7 Distribución de la Energía Específica en un canal parabólico

En la Figura 7.7 se ve la distribución de la energía específica en un canal parabólico, en condiciones críticas. El gasto máximo que puede escurrir con una energía dada es el que corresponde a las condiciones críticas. Su expresión para un canal parabólico es

Q=

2 2 yc T gy 3 3 c Vc

A 3

3 2 2 1 Q =   g 2 T yc2  3

Si denominamos gasto específico

q al gasto por unidad de ancho superficial se tiene q=

348

(7-40)

Q T

Capítulo VII

Energía específica y momenta 3

 22 q =   g 2 yc2  3 1

3

(7-41)

De donde, en el sistema métrico 2

yc = 0,701 q 3

(7-42)

El gasto máximo con energía específica constante es el que corresponde a las condiciones críticas 3

q = 1,1067 E 2 3

 3 2 q = 1,7039  E  4 

(7-43)

Ejemplo 7.5 Demostrar que el tirante crítico en una sección parabólica es 1

1

1

 27  4  1  4 Q 2 yc =     1  64   p  g 4

(7-44)

Considerar que la ecuación de la parábola es x 2 = 2 py Solución. La expresión general para las condiciones y

críticas viene dada por la ecuación 7-11 Q2 A3 = g T

T ( T , yc ) 2

Por ser una parábola el área es A=

2

x = 2 py yc

2 ycT 3

Por condición de parábola x 2 (T 2 ) T2 = = 2y 2yc 8yc 2

p= x

349

Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha

De donde, T = 8 py c A=

2 yc 8 pyc 3

Reemplazando en la ecuación general de crisis se obtiene (ec. 7-44) 1

1

1

 27  4  1  4 Q 2 yc =     1  64   p  g 4 que es la expresión propuesta.

7.5 Sección triangular. T

A yc

1 z

En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (o la 7-12 que es su equivalente).

Vc = g

A T

En el triángulo el área es

A=

1 yT 2 c

Reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) se obtiene

350

Capítulo VII

Energía específica y momenta

Vc =

1 gy 2 c

Vc =

1 gyc 2

(7-45)

o bien,

que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal triangular. De acá se obtiene

Vc2 yc = 2g 4

(7-46)

ecuación que puede compararse con la 7-24 y la 7-37. Combinando la ecuación 7-46 con la definición de energía específica en condiciones críticas se obtiene

yc =

4 E 5

(7-47)

Vc2 1 = E 2g 5

(7-48)

ecuaciones que muestran la proporción en la que se distribuye la energía específica en condiciones críticas en un canal triangular tal como se ve en la Figura 7.8.

Vc2 2g 1 5 E yc

4 E 5

E

Figura 7.8 Distribución de la Energía Específica en un canal triangular

351

Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha

El gasto en condiciones críticas es el gasto máximo.

Q = AV =

1 1 y cT gy 2 2 c 3

1 2 Q =   g 2 T yc2  2 Si denominamos gasto específico

1

3

(7-49)

q al gasto por unidad de ancho superficial q = Q T 3

 1 2 q =   g 2 yc2  2 1

3

de donde, en el sistema métrico

q = 0,7920 E

3 2

(7-50)

o bien, 2

yc = 0,9346 q 3

(7-51)

Se demuestra fácilmente que en un canal triangular en condiciones críticas el tirante es

0, 2

 2  Q  yc =     g z  siendo

0, 4

(7-52)

z el talud.

Como ilustración podríamos señalar que en un canal triangular de 90º ( z = 1) el tirante crítico en el sistema métrico es

yc = 0,7277 Q 0 , 4 Veamos, sólo a título ilustrativo, otro método para obtener las condiciones críticas en un canal triangular. La energía específica es

E = y+ De donde,

352

V2 2g

Capítulo VII

Energía específica y momenta

V = 2g(E − y ) Designemos por

z el talud de la sección triangular. Su área es A = zy 2

Luego,

Q = AV = zy 2 2 g ( E − y ) Para las condiciones críticas el gasto es máximo. Luego

dQ =0 dy De acá se obtiene inmediatamente

yc =

4 E 5

verificando así la ecuación obtenida anteriormente y comprobando una vez más que las condiciones críticas implican energía mínima para gasto constante y gasto máximo para energía constante. Nota. En algunas de las ecuaciones en las que aparece la aceleración de la gravedad se ha reemplazado ésta por su valor 9,8 m/s2, restringiendo así su uso al sistema métrico. Sin embargo, como las fórmulas genéricas están dadas, es posible utilizarlas en cualquier sistema de unidades. Debe, sin embargo, observarse en que casos se ha reemplazado previamente el citado valor de la gravedad.

7.6

Sección trapecial T

yc

1 z

A

b

353

Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha

En cualquier sección transversal en régimen crítico debe cumplirse que (ec. 7-12)

Vc = g

A T

En una sección trapecial se tiene, por consideraciones geométricas, las siguientes expresiones

A = (b + zy ) y T = b + 2 zy que al reemplazarse en la ecuación de la velocidad crítica dan

Vc = g

(b + zyc ) yc b + 2 zyc

(7-53)

o bien,

Vc =

b + zyc b + 2 zyc

gyc

Como el primer radical siempre es menor que 1 se tiene que en un canal trapecial la velocidad crítica es menor que la que tendría un canal rectangular del mismo tirante. Esta es la expresión general de la velocidad crítica en un canal trapecial. Obsérvese que si

b = 0 se obtiene la velocidad crítica en una sección triangular y si z = 0 se obtiene la velocidad crítica en una sección rectangular. Si hubiéramos partido de la ecuación 7-11

Q 2 A3 = g T se tendría que las condiciones críticas en un canal trapecial están dadas por

(b + zy c )3 yc3 b + 2 zyc

=

Q2 g

(7-54)

Las ecuaciones 7-53 y 7-54 son equivalentes. Para resolver cualquiera de ellas se debe

354

Capítulo VII

Energía específica y momenta

recurrir a tanteos. Si el ancho en la base

b y el talud z son datos, entonces se debe suponer

valores para el tirante hasta encontrar uno que satisfaga la ecuación 7-53 (ó la 7-54). Se puede también obtener otra expresión para las condiciones críticas si expresamos el área del trapecio de la siguiente manera

A=

b +T yc 2

valor que reemplazado en la ecuación 7-12 da

Vc = g

b +T y 2T c

(7-55)

De donde,

Vc2 b + T = E 2 g 5T + b

(7-56)

4T E 5T + b

(7-57)

yc = Obsérvese que siempre se cumple

2 4T 4 E< E< E 3 5T + b 5 yc : (Rectángulo) (Trapecio) (Triángulo) Vc 2 2g b+T E 5T + b yc

4T E 5T + b

E

Esta figura muestra la proporción en la que se distribuye la energía en un canal trapecial en condiciones críticas. (Se observa que es función del talud).

355

Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha

Veamos a título ilustrativo una expresión para el tirante crítico en un canal trapecial obtenida a partir de la consideración de que en condiciones críticas el gasto es máximo. La energía específica es

E = y+

V2 2g

La velocidad es

V = 2g(E − y ) El gasto es

Q = (b + zy ) y 2 g ( E − y )

(7-58)

La condición crítica corresponde a gasto máximo (siendo constante la energía)

dQ =0 dy Luego de derivar la ecuación 7-58 e igualar a cero y operar se obtiene

5 zyc2 + (3b − 4 zE ) yc − 2bE = 0

(7-59)

que es una expresión general para las condiciones críticas en un canal trapecial. Si en esta expresión hacemos hacemos Si

b = 0 se obtiene las condiciones críticas para un canal triangular y si

z = 0 se obtienen las condiciones críticas para un canal rectangular..

z no es cero se puede resolver la ecuación 7-59 llegando a

yc =

4 zE − 3b + 16 z 2 E 2 + 16 zEb + 9b 2 10 z

(7-60)

Abaco de Ven Te Chow Ven Te Chow en su libro “Open-channel Hydraulics” presenta un gráfico (Figura 7.9) que permite el cálculo rápido del tirante crítico. La precisión es la que corresponde a un método gráfico. Si se desea un cálculo más preciso puede usarse para obtener un valor aproximado y luego proseguir con la ecuación 7-53 ó 7-54. Para el cálculo, Ven Te Chow introduce una variable auxiliar

356

Z que es

Capítulo VII

Energía específica y momenta

Z=

Se entra al gráfico con el valor de

Q g

(7-61)

Z y y se obtiene el valor de c para cada valor del talud 2, 5 b b

z , (Figura 7.9). Z 2,5

b

z yc

yc

b

b

Ejemplo 7.6 Hallar el tirante crítico para un caudal de 10 m3/s en un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 0,50 m. El talud es 3. Solución. Si partimos de la expresión general

A3 Q 2 = se tiene, luego de reemplazar el gasto, que T g

A 3 = 10 , 2 T Luego, A = (b + zy c ) yc = (0, 5 + 3 y c ) yc T = 0 ,5 + 6 yc

(0,5 y

+ 3 yc2 ) = 10,2(0,5 + 6 yc ) 3

c

Para resolver esta ecuación procedemos por tanteos (o cualquier otro método numérico) obteniéndo el valor del tirante crítico yc = 1,098

≈ 1,10 m. Luego se puede calcular, a modo de comprobación y

análisis, otros valores:

357

b 0,001

0,01

Hidráulica de tuberías y canales

A = 4,18 m2

358

Z

(Secciones trapeciales)

2,5

0,1

1

100

10

10 8 6

r) ula ng a t c 0 ,5 (re 0,5 = 1, z = 1 0 z z= z=

y

1

z

4 3 z = 2,0 z = 2,5 z = 3,0 z = 4,0

b

2

1,0 0,8 0,6 cir

lar cu

0,4 0,3 0,2

yc b ó yc D

0,1 0,08 0,06

D

y

0,04 0,03 0,02

2 0,0001

3

4 5 67 9 0,001

2

3

4 5 67 9 0,01

2

D

2,5

4 5 67 9 0,1

2

3

0,01

4 5 67 9

(Secciones circulares)

Figura 7.9 Cálculo del tirante crítico (Ven Te Chow)

1

2

3

4 5 67 9 10

Arturo Rocha

Z

3

Capítulo VII

Energía específica y momenta

A = 4,18 m2 Vc = 2,39 m/s, Vc2 = 0,29 m 2g

E = yc +

Vc2 = 1,39 m 2g

Obsérvese que también se cumple que Vc = dc =

A = 0,59 m T

gd c Vc = 9,8 × 0,59 = 2,40 m/s

Se aprecia que yc = 0,79 E valor intermedio entre el rectángulo (2/3) y el triángulo (0,8) y casi igual a este último, pues la figura es casi triangular. También hubiéramos podido hacer el cálculo a partir del gráfico de Ven Te Chow. Entonces, Z=

Q g

= 3,19

Z = 18 b 2 ,5

yc = 2, 2 b

yc = 1,10 m

De donde, (Figura 7.9),

A modo de comprobación se puede verificar que los valores obtenidos satisfacen las ecuaciones 7-47, 7-48 y 7-60.

Línea de energía

1

0,29 m

21 % E

1,10 m

79 % E

E = 1,39 m

3 0,50 m

359

Hidráulica de tuberías y canales

360

TABLA 7.2 SECCIONES CRITICAS ( E

= yc +

Vc2 ) 2g

(Sistema métrico) RECTANGULO

PARABOLA

TRIANGULO

TRAPECIO

2 E 3

3 E 4

4 E 5

4T E 5T + b

yc

TIRANTE CRITICO

0,467q

2 3

0,701q

2 3

0,935q

2

2 3

0,467

1

2

2T 3 q b +T

⎛ 1 ⎞4 0,456⎜⎜ ⎟⎟ Q 2 ⎝ p⎠

⎛ Q ⎞5 0,728⎜ ⎟ ⎝z⎠

4 zE − 3b + 16 z 2 E 2 + 16 zEb + 9b 2 10 z

T +b E 5T + b

1

ENERGIA DE VELOCIDAD

Vc2 2g

1 E 3

1 E 4

1 E 5

VELOCIDAD CRITICA

Vc

gyc

0,816 gyc

0,707 gyc

T +b gyc 2T 3

qmax

GASTO MAXIMO

1,704 E

3 2

1,107 E

0,792 E

3 ⎡ b +T ⎤ 2 2 8,854⎢ E ⎥ ⎣ 5T + b ⎦

3 2

T

T

Q T

yc

yc

x 2 = 2 py

yc

1 z

yc

z b

1

Arturo Rocha

T

T

q=

3 2

Capítulo VII

7.7

Energía específica y momenta

Sección circular y otras secciones Como en cualquier sección transversal las condiciones críticas vienen dadas por

D

la ec. 7-11 ó 7-12. Consideremos la primera de ellas

Q 2 A3 = g T yc

En una sección circular el área es (ec.

θ

6-37)

A=

r2 (θ − sen θ) 2

Teniendo en cuenta las ecuaciones 6-43 y 7-9 se obtiene

dA r (1 − cosθ ) = θ dy sen 2

T=

(7-62)

Esta última expresión es equivalente a la que aparece en la Tabla 6.11. Reemplazando en la ecuación 7-11 se obtiene

Q 2 r 6 (θ − sen θ )3 θ r 5 (θ − sen θ )3 θ = sen = sen g 8 r (1 − cosθ ) 2 8 (1 − cosθ ) 2 Haciendo

r=

D 2 2

5

Q D = 8 g 2

(θ − sen θ )3  sen θ  2  (1 − cos θ)

(7-63)

Esta ecuación puede compararse con la ec. 7-11a Teniendo en cuenta consideraciones trigonométricas se puede sustituir

361

Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha

1 − cosθ θ = 2 sen θ 2 sen 2

(7-64)

Luego,

g (θ − sen θ )2 3

Q=

24

θ  2  sen  2 

5

(7-65)

D2

1 2

En el sistema métrico

(θ − sen θ) 2 Q = 0,1383 3

1

D

5 2

θ 2   sen  2 

(7-66)

Esta última expresión, en el sistema métrico, es la que da las condiciones críticas en una tubería circular parcialmente llena, la que hidráulicamente es un canal. Dada una tubería de diámetro ángulo

D se puede calcular para cada valor del gasto el correspondiente

θ que da condiciones críticas.

El tirante crítico es

yc =

D θ 1 − cos  2 2

(7-67)

La ecuación 7-65 expresa que para las condiciones críticas existe una función

Q D

5 2

= φ(θ )

(7-68)

El gráfico de la Figura 7.10 permite resolver rápidamente la ecuación 7-65. Este gráfico da también las condiciones críticas para otros conductos abovedados. También puede emplearse el gráfico de Ven Te Chow (Figura 7.9) .

362

3

Capítulo VII

4

D/2 D

D

D

D/2

y

y

D

y

yc

y D/2

D 4

1,50

5

6

4

1,25

3 1

1,00

0,75

4

1 3 2

0,10

0,20

0,30

4

5

6

0,30

2 0,50

0,20

0,10 0,25

0 0

1

2

3

363

Figura 7.10 Gráfico para el cálculo de secciones críticas

Q D

5/2

Energía específica y momenta

Ejemplo 7.7 En un conducto circular el gasto es de 2 m3/s, el diámetro es 1 m. Calcular

2

1

Hidráulica de tuberías y canales a) b) c) d)

Arturo Rocha

tirante crítico velocidad crítica energía mínima ángulo en el centro

Solución. Vamos a usar la Figura 7.10 Q D

5 2

=2

o o o

yc = 0,81 m

A partir de la ecuación 7-67 encontramos el ángulo en el centro correspondiente yc =

D θ 1 − cos  2 2

0,81 θ = 1 − cos 0 ,5 2

θ = 256º 38’ θ = 4,4791 rad

El área es A=

r2 (θ − senθ) = 0, 25 (4, 4791 + 0, 9729 ) 2 2 A = 0,6815 m2

Podría haberse obtenido el mismo resultado a partir de la Tabla 6.7 y = 0,81, D

A = 0,6815 D2

o o o

A = 0,6815 m2

La velocidad crítica es Vc =

La energía mínima es

Q 2 = = 2,93 m/s A 0 ,6815

o o o

Vc2 = 0,44 m 2g

E = 0,81 + 0,44 = 1,25 m

Hay también la posibilidad de usar el gráfico de Ven Te Chow Z=

Q g

= 0,64 ;

Z D

5 2

= 0,64

o o o

yc = 0,80 m

Podría también resolverse este problema sin ninguno de los dos gráficos mencionados. Siempre es aplicable el método de tanteos (o cualquier otro método numérico) en secciones para las que no exista gráficos especialmente preparados.

7.8 Flujo crítico normal. Pendiente crítica

364

Capítulo VII

Energía específica y momenta

Mientras la velocidad de la corriente sea baja lo más probable es que estemos lejos de las condiciones críticas. Pero, cuando la pendiente es grande o cuando haya revestimientos muy lisos se puede conseguir velocidades altas y acercarse o igualar las condiciones críticas. En principio no hay inconveniente, desde el punto de vista puramente hidráulico, en tener un régimen supercrítico. Las dificultades se originan en la necesidad de mantener el revestimiento y, por ejemplo, dar servicio a lo largo del canal. Lo que si debe evitarse es el régimen crítico. En condiciones críticas el tirante normal es igual al tirante crítico. La pendiente correspondiente se llama pendiente crítica. Cuando la pendiente es crítica la superficie libre es ondulada e inestable. Pequeñas variaciones de la energía específica dan lugar a perturbaciones e inestabilidades en el escurrimiento. Se produce oleaje y “pequeños saltos imperfectos”. Estas oscilaciones de la superficie libre no son recomendables, pues obligan a un borde libre mayor. Este problema ha sido estudiado, entre otros, por José Gandolfo, quien recomienda que una condición de diseño sea

  V2  A  y +  ≥ 1,05 yc + c 2g  2Tc  

  

(7-69)

Cambiando la notación se podría escribir

d E ≥ 1,05 y c + c  2 

(7-70)

La pendiente crítica se calcula igualando la velocidad crítica (ec. 7-12) con una ecuación de la velocidad normal. (Manning, Chezy, etc).

Vc = g A T 2

1

R 3S 2 V= n Igualando ambas expresiones se obtiene

365

Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha 2

1

R 3 Sc2 = gA T n de donde,

Sc = g

A n2 T 43 R

(7-71)

que es la ecuación de la pendiente crítica, si se usa la fórmula de Manning. Si hubiéramos empleado, por ejemplo, la ecuación de Chezy, entonces la pendiente crítica sería

Sc =

g P C2 T

(7-72)

En un canal muy ancho se puede considerar sin mayor error que el perímetro es igual al ancho superficial,

P =T .

entonces la ec. 7-72 queda reducida a

Sc = pero,

f =

g C2

8g 8g 2 , de donde, C = , siendo f el coeficiente de fricción de Darcy. Luego, 2 C f Sc =

f 8

(7-73)

Ejemplo 7.8 En un canal rectangular de 1,80 m de ancho fluye un gasto de 5 m3/s. La rugosidad es de 0,018 (Kutter). ¿Cuál debe ser la pendiente para que se establezca un flujo crítico normal? Solución. Como las condiciones deben ser críticas la velocidad es Vc =

gyc (ec. 7-19)

Como el flujo debe ser normal, su velocidad se puede calcular por la fórmula de Manning, la que debe ser igual a la crítica para cumplir la condición del problema de tener a la vez un tirante que sea crítico y sea normal.

366

Capítulo VII

Energía específica y momenta 2

1

R 3S 2 = gyc n De donde, El tirante crítico es según la ec. 7-27 yc = 3

q2 = 0,92 m g

El radio hidráulico correspondiente es 0,46 m. Reemplazando valores se obtiene Sc =

gyc n 2 R

4 3

=

9,8 × 0,92 (0,018 )

(0, 46)

4 3

2

= 0,0082

S c = 0,0082 Esta pendiente se denomina pendiente crítica. Es la que separa los ríos de los torrentes. Lo que significa que en este canal se establece, con una pendiente de 0,0082, un movimiento uniforme, cuyo tirante es igual al tirante crítico. Si este canal tuviera una pendiente mayor que 0,0082 se establecería un flujo torrencial (supercrítico). T

Ejemplo 7.9 En un canal de concreto 3

frotachado el gasto es de 3,86 m /s. La sección transversal es la mostrada en la figura. Calcular: a) el tirante crítico y la A

energía específica correspondiente, b) la

yc

pendiente para que se establezca un flujo crítico normal.

45º

Solución. a)

La condición general de crisis es

A=

A3 Q 2 = = 1,5204 T g

1 1 ycT = y c2 2 2

T = yc

De donde, A3 y6 y5 = c = c T 8yc 8

367

Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha

yc5 = 1,5204 8

o o o

Vc =

yc = 1,648

Q 3,86 = = 2,84 m/s A 1,358

V2 = 0,412 2g

≈ 0,41 m

E = 1,65 + 0,41 = 2,06 m

Podría emplearse la ecuación 7-52, 0 ,2

 2  Q yc =     g  z 

0 ,4

0 ,2

 2   3,86  =      g   0,5 

0 ,4

= 1,648

≈ 1,65 m

siendo, z=

b)

z1 + z 2 0 + 1 = = 0,5 2 2

S es S c cuando la velocidad correspondiente es la crítica 2

1

R 3 S c2 Vc = V = n P = yc + y c 2 = 3,9835 m R=

A 1,3613 = = 0,3417 m P 3,9835  12  S c    0 ,015

(0,3417 ) Vc = 2,84 = Obteniéndose finalmente, S c = 0,0076

368

2 3

≈ 1,65 m

Capítulo VII

7.9

Energía específica y momenta

Pendiente crítica mínima (Pendiente límite, S L )

En un canal de geometría dada se puede establecer para cada gasto la pendiente crítica correspondiente. De todas las pendientes críticas posibles hay, para determinada sección, una que es la mínima. Se le llama pendiente límite ( S L ). Si bien es cierto que el concepto de pendiente crítica mínima no parece tener mayor interés práctico se presenta acá para favorecer el esclarecimiento teórico. Examinemos en primer lugar un canal rectangular. En general la pendiente crítica es (ec. 7-71)

Sc = g

A n2 T 43 R

Para un canal rectangular es

Sc =

gn2 4

(b + 2 yc )3 = 4

1

b3

(7-74)

yc3

La pendiente crítica mínima se obtiene a partir de

dSc =0 dy c

y , igualar a cero y resolver se obtiene

Al derivar la ecuación 7-74 con respecto a

b = 6 yc

(7-75)

P = 8 yc

(7-76)

de donde,

R=

b 3 = y 8 4 c

(7-77)

que son las ecuaciones para el cálculo de la sección transversal correspondiente a la pendiente límite

SL .

Introduciendo la ecuación 7-75 en la 7-74 se llega a

SL =

8 gn 2 3 13 b

(7-78)

369

Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha

Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy, entonces

4g 3C 2

SL =

si ahora introducimos el coeficiente de Darcy (ec. 3-2),

f =

8g se llega a C2

f 6

SL =

(7-79) (7-80)

El gasto que corresponde a la pendiente límite es 5

Q = 6 g y c2

(7-81)

Examinemos ahora una sección trapecial. La expresión general de la pendiente crítica es (ec. 7-71) 4

Sc = gn

2

P3 1

A 3T La pendiente límite se obtiene a partir de

dSc = 0 , teniendo en cuenta que dy c

P = b + 2 1 + z 2 yc A = (b + zy c )y c T = b + 2 zy c Reemplazando, derivando e igualando a cero, se obtiene después de algunas simplificaciones

A=

T2 4T dP dT −3 P dy dy

(7-82)

que es la expresión general del área en un canal trapecial con pendiente crítica mínima. Si en esta última expresión se hace rectangular.

370

z = 0 se obtiene A = 6 yc2 que es lo correcto para un canal

Capítulo VII

Energía específica y momenta

Ejemplo 7.10 Para un canal rectangular de 2,4 m de ancho, cuyo coeficiente de rugosidad de Kutter es 0,014, calcular la pendiente límite así como las características del escurrimiento para estas condiciones. Solución. La pendiente límite S L, es decir la menor pendiente crítica posible es S L = 2, 67

(ec. 7-78)

gn 2 1

= 0,0038

b3 Luego, yc =

yc =

(ec. 7-81)

q2 g

b = 0,40 m 6 q = gyc3 = 0,792 m3/s/m

o o o

Q = 1,9 m3/s Vc =

gyc = 1,98 m/s

Como verificación calculamos la velocidad media (condiciones normales) 2

1

R 3S 2 V = = 1,98 m/s n 1

R6 C= = 58,4 m1/2/s n f =

SL =

7.10

8g = 0,0229 C2

0, 0229 = 0,0038 6

Transiciones

Como una aplicación del concepto de energía específica vamos a estudiar el perfil de la superficie libre en un canal en el que hay un cambio en la sección transversal. Este cambio puede originarse en una pequeña grada de fondo, positiva o negativa, según que el fondo ascienda o descienda. Las transiciones se originan también por un cambio en el ancho del canal y se llaman contracciones si el ancho disminuye y expansiones si aumenta. Para el estudio del perfil de la superficie libre en una transición suponemos que la pérdida de carga es

371

Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha

despreciable. En consecuencia, cualquiera que sea la transición se tendrá que entre dos secciones 1 y 2 la ecuación de la energía es

y1 +

siendo

V12 V2 = y2 + 2 + a 2g 2g

(7-83)

a la altura de una grada (positiva o negativa). Si no existiera una grada de fondo,

entonces

a = 0 . La grada positiva significa una disminución de la energía específica y la

grada negativa un aumento. En ambas secciones debe cumplirse la ecuación de continuidad.

V1 A1 = V2 A2 = Q Si el ancho es constante y el cambio de la superficie libre se origina en una grada se observa en las Figuras 7.11, 7.12, 7.13 y 7.14 los perfiles, esquemáticos, de la superficie libre en varios casos. La conclusión general es que, a gasto constante, una disminución de la energía específica significa una disminución del tirante en los ríos y un aumento del tirante en los torrentes. Por el contrario, un aumento de la energía específica significa un aumento del tirante en los ríos y una disminución en los torrentes. El valor máximo que puede tener una grada positiva, sin alterar la línea de energía, es el que corresponde a un flujo crítico sobre ella. (Figura 7.15)

Curva

E − y para diferentes caudales

Obsérvese en la Figura 7.16 como es que para diferentes valores del gasto se obtiene una familia de curvas

E − y . Es evidente que para un canal rectangular la recta que une el origen

con los vértices de las curvas tiene una pendiente igual a 2/3 (cada vértice corresponde a la condición crítica del respectivo caudal).

372

Capítulo VII

Energía específica y momenta

2

V1 2g

Línea de energía

y 2

V2 2g y1

E1

E2

q

y2

y1

yc

y2

a

45º

E2

E

a

E1 Río (subcrítico, V yc

E 1 (Energía específica antes de la grada)

y1 +

2

Ecuación de la energía (1-2) Luego, Del gráfico de la energía específica

V1 2g

En un río una disminución de la

E 1 = E 2+ a

energía específica, a gasto constante,

E 2< E

implica una disminución del tirante.

1

y2 < y 1

Figura 7.11 Grada positiva en un río

2

Línea de energía

V2 2g

q

y2

y

V12 2g E1 y1 yc

E2

a

y2

y1 45º

E1

a

E

E2 Río (subcrítico, V y c

E1 (Energía específica antes de la grada)

y1 +

Ecuación de la energía (1-2)

V12 2g

E 1= E 2- a

Luego,

E 2> E

En un río un aumento de la energía específica, a gasto constante, implica un aumento del tirante.

1 2

E2

y + 2

Del gráfico de la energía específica

V2 2g

y 2> y 1

Figura 7.12 Grada negativa en un río

373

Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha

y

Línea de energía 2

V2 2g

V1 2 2g

E2

E1

yc

y2

q

y1

y2

y1

a

45º E2

E

a

E1 Torrente (supercrítico, V >Vc )

y1 < yc

E 1 (Energía específica antes de la grada) Ecuación de la energía (1-2)

V1 2 y1 + 2 g

En un torrente una disminución de la energía específica, a gasto constante,

E1 = E 2 + a

Luego,

E2 < E 1

Del gráfico de la energía específica

y 2> y 1

implica un aumento del tirante.

Figura 7.13 Grada positiva en un torrente

y

Línea de energía 2

V1 2g E1 y1

2

V2 2g E2

yc

q

y2

a

y1 y2 45º

E1

a

E2 Torrente (supercrítico, V >Vc ) E1 (Energía específica antes de la grada) Ecuación de la energía (1-2) Luego,

y1 < yc y1 +

V1 2 2g

E 1= E 2 - a E 2> E 1

Del gráfico de la energía específica

En un torrente un aumento de la energía específica, a gasto constante, implica una disminución del tirante.

y2< y 1

Figura 7.14 Grada negativa en un torrente

374

E

Capítulo VII

Energía específica y momenta

Línea de energía

y

2

E

2g

2

RIO

2 V1

y2 TOR

REN

Vc 2g

TE

RI O

V2 2g

E min

yc

q

y1

a max

TORRENTE

45º E min

a max

E

E

Si a es máximo, la energía específica C

E = E min+ a max

sobre la grada debe ser mínima

E min= y c +

Vc 2 2g

El máximo valor de la grada, sin alterar las condiciones aguas arriba, corresponde a condiciones críticas (energía mínima).

Figura 7.15 Valor máximo de la grada positiva

y E=y

q1 < q2 < q3

E min (3) pendiente = 2/3 (canal rectangular)

E min (2) E min (1) q3 q2 q1 45º

3 2 1

E=y+

V2 2g

Figura 7.16 Curva Energía Específica - Tirante para diferentes caudales

375

Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha

Ejemplo 7.11 En un canal rectangular el ancho se reduce de 4 a 3 m y el fondo se levanta 0,25 m (grada positiva). Aguas arriba la profundidad de la corriente es 2,80 m. En la zona contraída la superficie libre desciende 0,10 m. Calcular el caudal, dibujar el perfil de la superficie libre y el gráfico de la energía específica. Calcular también cual es el máximo valor que podría tener la grada para que circule el mismo gasto sin alterar la línea de energía. ¿Cuál sería en este caso la depresión de la superficie libre? Solución.

4,0 m

3,0 m

q1 = 3,41 m3/s/m

q2 = 4,55 m3/s/m

y Línea de energía 0,08 m 0,10 m 1,06 m 0,53 m

2,63 m 2,88 m

2,80 m

2,45 m

Q = 13 ,64 m3/s yc

2,80 m

yc 2 = 1,28 m

= 1,06 m

1,06 m

1

45º 1,59 m

0,25 m

E

2,88 m

Aplicamos la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 que corresponden a los anchos de 4 y 3 m, respectivamente 2 ,80 +

V12 V2 = 2, 45 + 2 + 0, 25 2g 2g

Por continuidad, V1 =

Q Q Q = = A1 4 y1 11,2

V2 =

Q Q = 3 y 2 7 ,35

Reemplazando en la ecuación de la energía se obtiene Q = 13,64 m3/s Efectuando las operaciones indicadas se tiene que V1 = 1,22 m/s;

376

V2 = 1,86 m/s;

V1 2 = 0,08 m; 2g

V22 = 0,18 m 2g

Capítulo VII

Energía específica y momenta

De donde, E1 = y 1 +

V1 2 = 2,88 m 2g

E 2 = y2 +

V22 = 2,63 m 2g

Como referencia se puede calcular los números de Froude y los tirantes críticos F1 = 0,23 ;

y c1 = 1,06 m ;

F2 = 0,38 ;

y c2 = 1,28 m

Obsérvese que el gasto específico q cambia al pasar a la zona contraída. El máximo valor a de la grada corresponde a condiciones críticas sobre ella. Como el tirante crítico es 1,28 m y la sección es rectangular la energía específica es

3 yc , o sea, 1,92 m. La ecuación de la energía 2

es E1 = Emin + a max 2,88 = 1,92 + a max a max = 0,96 m La depresión de la superficie libre es 0,56 m

7.11 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la energía específica Si al extremo de un canal se produce una caída como la mostrada en la Figura 7.17, hay un cambio de régimen: se pasa de un movimiento uniforme a un movimiento gradualmente variado, y por último, sobre el plano de la grada hay un movimiento rápidamente variado. En una sección cualquiera ubicada aguas arriba la energía es caída la energía específica va disminuyendo hasta llegar a

E . Al desplazarnos hacia la

Emin , (lo que ocurre teóricamente

sobre el plano de la grada y corresponde a condiciones críticas). Sobre la grada el tirante no puede ser menor que el crítico pues esto implicaría un aumento de energía. Sobre la grada la energía es mínima, pero el tirante que hay sobre ella no es el tirante crítico que se obtendría al aplicar las ecuaciones hasta ahora establecidas. Ello se debe a que sobre el plano de la grada el movimiento es rápidamente variado y por lo tanto no es aceptable la suposición de una distribución hidrostática de presiones.

377

Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha

Rouse, determinó que para canales de pequeña pendiente la profundidad crítica es 1,4 veces el tirante sobre la grada. El tirante crítico, calculado con las fórmulas usuales, se ubica a una distancia de

3 yc a 4 y c ,

aproximadamente, aguas arriba de la grada.

y

ENERGIA MINIMA

yc E

E min ≈ 3,5y

c

Figura 7.17 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la Energía Específica

7.12 Fuerza Específica (Momenta) La segunda Ley del movimiento

2

1

de Newton dice que el cambio de la cantidad de movimiento por unidad de tiempo es igual a la resultante de las fuerzas

Q P1

exteriores.

y1

Wsenθ

y2

P2

Ff

Consideremos un canal con un flujo permanente cualquiera y un

L

volumen de control limitado por dos secciones transversales 1 y 2, la superficie libre y el fondo

Figura 7.18

del canal, tal como se ve en la

Gráfico para la deducción de la ecuación de la Fuerza Específica.

Figura 7.18. Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento (segunda ley del movimiento de Newton) entre las secciones 1 y 2 se obtiene

ρ Q(β2V2 − β1V1 ) = P1 − P2 + Wsenθ − F f 378

(7-84)

Capítulo VII

Energía específica y momenta

ρ densidad del fluido; Q gasto; β coeficiente de Boussinesq; V velocidad media; P fuerza hidrostática; W peso; Ff fuerza debida a la fricción; θ ángulo que corresponde a la pendiente del canal; L longitud; W sen θ componente del peso en la dirección del escurrimiento; y es el tirante. expresión en la que:

En la ecuación 7-84 se ha considerado una distribución hidrostática de presiones lo que es válido para el movimiento uniforme y aproximadamente válido en el movimiento gradualmente variado. En consecuencia, las secciones 1 y 2 deben escogerse de tal manera que en cada una de ellas sea aplicable la ley hidrostática. Obsérvese que la ecuación 7-84 es diferente a la ecuación de la energía. En la ecuación de la cantidad de movimiento están involucradas las fuerzas exteriores, en tanto que en la ecuación de la energía se expresa la disipación de energía interna. Analicemos la ecuación de la cantidad de movimiento para un canal horizontal en el que el volumen de control tenga peso y fricción despreciables y en el que

β1 = β2 = 1 . Entonces la

ecuación 7-84 se reduce a

ρ Q(V2 − V1 ) = P1 − P2 La fuerza hidrostática

(7-85)

P es γ y A , siendo y la profundidad del centro de gravedad.

Introduciendo este valor de la fuerza hidrostática en la ecuación 7-85 y haciendo algunos reemplazos se llega a

Q2 Q2 + y1 A1 = + y 2 A2 gA1 gA2

(7-86)

Como los dos miembros son análogos se puede escribir

Q2 + y A = constante = Fuerza Específica = Momenta gA

(7-87)

que es la ecuación de la Fuerza Específica o Momenta. Cada uno de los dos términos de la ecuación de la Fuerza Específica es dimensionalmente una fuerza por unidad de peso de agua.

379

Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha

Q2 es la cantidad de movimiento del fluido que pasa por la sección, por unidad de tiempo y gA por unidad de peso.

y A es la fuerza hidrostática por unidad de peso. A la suma de ambos términos se le llama Fuerza Específica o Momenta El gráfico de la Fuerza Específica es

ec. 7-87

y Tirante

F. E. mínima

RI

O

y2 yc

TORRENTE

y1 M

F. E. Fuerza específica (Momenta)

Figura 7.19 Fuerza Específica

Se observa que para una Fuerza Específica dada hay dos tirantes posibles

y1 e y 2 . Los

tirantes que corresponden a la misma Fuerza Específica se denominan conjugados. En el mismo gráfico se aprecia que la Fuerza Específica tiene un mínimo

d ( F .E.) Q 2 dA d ( y A) =− 2 + =0 dy gA dy dy De donde, luego de un desarrollo matemático, se obtiene que

380

Capítulo VII

Energía específica y momenta

V2 d = 2g 2 que se puede comparar con la ecuación 7-14. Obteniéndose así la importante conclusión que la Fuerza Específica mínima corresponde a condiciones críticas. Como una aplicación de la ecuación de la Fuerza Específica a un caso particular se puede examinar un canal rectangular en el que

Q = bq ; A1 = by1 ; A2 = by 2 y1 = siendo

y1 y2 ; y2 = 2 2

b el ancho del canal.

Efectuando estos reemplazos en la ecuación 7-86 y operando se llega luego de algunas simplificaciones a

q2 1 = y1 y 2 ( y1 + y2 ) g 2

(7-88)

Pero, en un canal rectangular el tirante crítico es

yc = 3

q2 g

valor que sustituido en 7-88 nos da

yc3 =

Siendo

1 y y ( y + y2 ) 2 1 2 1

(7-89)

y1 e y 2 tirantes conjugados (es decir que tienen la misma Fuerza Específica).

381

Hidráulica de tuberías y canales

7.13

Arturo Rocha

Salto hidráulico

El salto hidráulico es el paso violento de un régimen supercrítico a uno subcrítico con gran disipación de energía. También se le llama resalto. Esquemáticamente se ve en la Figura 7.20.

Línea de energía h f = (∆E) 1-2 2

2

E1

V2 2g

V1 2g

RIO TORRENTE

y2

O SALT

y1

E2

( F.E.)1 = ( F .E.)2

E1 = E2 + h f

Figura 7.20 Salto hidráulico

La Fuerza Específica es la misma antes del salto y después del salto. Por lo tanto son tirantes conjugados. La energía específica disminuye de

E1 a E2 .

Salto hidráulico en un canal rectangular Partimos de la ecuación 7-88

q2 1 = y1 y 2 ( y1 + y2 ) g 2 Se divide ambos miembros por

y13 , y luego de algunas sustituciones se llega a V1 2 1 y 2  y 2  1 +  = gy1 2 y1  y1 

De donde,

F12 =

382

1 y2  y2  1 +  2 y1  y1 

y1 e y 2

Capítulo VII

Energía específica y momenta

De acá se obtiene una ecuación en

y2 y1 2

 y2  y 2   + − 2 F1 2 = 0 y1  y1  Resolviendo esta ecuación se obtiene

y2 1 = y1 2

( 1 + 8 F − 1) 2

1

(7-90)

Que es la ecuación de un salto hidráulico en un canal rectangular. La relación entre los tirantes conjugados

y 2 es función exclusiva del número de Froude incidente y1 y2 = ϕ( F1 ) y1

Este resultado es sumamente importante para los estudios en modelo hidráulico. Basta con tener el mismo número de Froude en el modelo y en el prototipo para que, si es que hay suficiente turbulencia en el modelo, haya similitud. El salto hidráulico es un movimiento rápidamente variado, con fuerte curvatura de las líneas de corriente. Se caracteriza por la gran disipación de energía. Se puede describir como el paso violento de un régimen supercrítico a uno subcrítico. El salto hidráulico es un fenómeno tridimensional que presenta grandes fluctuaciones de la velocidad y de la presión en cada punto; es decir que tiene un alto grado de turbulencia, lo que se traduce en una alta capacidad de mezcla. En un salto hidráulico se produce también la incorporación de aire a la masa líquida. El salto produce oleaje, que se propaga hacia aguas abajo. Para la elaboración de un modelo matemático del salto hidráulico es necesario hacer muchas simplicaciones. Así por ejemplo, la ecuación 7-90 es sólo una aproximación, una representación esquemática, del modo como ocurren los fenómenos. Sin embargo, cuando se estudia estructuras muy grandes, no se puede despreciar los efectos de las fluctuaciones instantáneas de la presión. Las presiones consideradas como un promedio temporal son en este caso de poca utilidad.

383

Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha

En un salto hidráulico es posible que las fluctuaciones instantáneas de presión tengan valores tan altos, que de no tomarse en cuenta en los cálculos podrían conducir a la falla total de la estructura. Lopardo, investigador argentino, cita lo ocurrido con las presas: Blustone, Calyton, Alamogordo, Glendo, Bonneville, señalando que “estos ejemplos son más que suficientes para llamar la atención de los proyectistas acerca de la necesidad de conocer con mayor aproximación las solicitaciones variables”. Las fluctuaciones son esencialmente aleatorias. Se pueden describir por medio de su frecuencia y amplitud.

Tipos de salto En función del número de Froude y según el U. S. Bureau of Reclamation se distingue los siguientes tipos de salto

F =1

Flujo crítico, no hay salto

1 < F < 1,7

“salto ondular” (la superficie libre presenta ondulaciones)

1,7 < F < 2,5 “salto débil”. La disipación de energía es pequeña 2,5 < F < 4,5 “salto oscilante”. Se produce el efecto de chorro. Hay ondas superficiales 4,5 < F < 9

“salto permanente o fijo”. Buena disipación de energía (45 - 70 %)

F >9

“salto fuerte”. Gran disipación de energía (85 %)

Pérdida de energía en el salto La perdida de energía en el salto hidráulico se define así

 V2   V2  h f =  y 2 + 2  −  y1 + 1  2g   2g  

(7-91)

expresión que aplicada a un canal rectangular da lugar luego de algunas pequeñas transformaciones a

∆E = h f = E1 − E2

384

( y 2 − y1 )3 = 4 y1 y2

(7-92)

Capítulo VII

Energía específica y momenta

Eficiencia Se denomina eficiencia de un salto hidráulico a la relación entre la energía específica después del salto y la que hay antes de él.

E2 (8F12 + 1) 2 − 4 F1 2 + 1 = E1 8 F1 2 (2 + F12 ) 3

(7-93)

La pérdida de energía relativa es

1−

E2 ∆E = E1 E1

(7-93a)

Altura del salto ( hi ) La altura del salto se define como la diferencia entre los tirantes después y antes del salto ( hi

= y2 − y1 )

Se demuestra fácilmente que

1 + 8F1 2 − 3 hi = E1 F12 + 2

(7-94)

Longitud del salto ( L ) La longitud del salto depende de muchos factores (pendiente del canal, número de Froude, etc.). Aproximadamente se tiene que

L = 6,9( y 2 − y1 )

(7-95)

En algunos casos para fijar el salto y disminuir su longitud se colocan dados o bloques. Oleaje En un salto hidráulico se producen ondas que se propagan hacia aguas abajo. Sus alturas y periodos dependen del número de Froude incidente. Se designa como

H S a la altura

significativa (promedio del tercio superior). Lopardo y Vernet han encontrado que

HS 1 = ( F −1) y1 6 1 Para

(7-96)

F1 ≤ 7

385

Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha

Ejemplos de salto hidráulico

Línea de energía

a)

h f = E1 - E2

2

2

V1 2g

y

2

y1

Rápida

Para vencer un desnivel se construye una

V2 2g

rápida. Al final de ella debe disiparse

yn

Canal

la energía. El salto hidráulico actúa como un disipador de energía

Colchón Dispipador

L

b) En un río se costruye una presa derivadora Vertedero

Oleaje

(barraje) para elevar el nivel del agua

yn

y2

y1

en época de estiaje. La energía se disipa por medio de un salto hidráulico.

c) Si en un canal se coloca una compuerta

Compuerta Línea de energía

que deja una abertura en la parte inferior se produce aguas abajo un salto hidráulico.

E y1

a

y2

yn

En la figura se observa el llamado salto hidráulico libre.

d)

Si el tirante normal aguas abajo es mayor que y2 se produce el llamado salto

y

S

y1

(yn es el tirante normal aguas abajo)

386

yn

hidráulico ahogado.

Capítulo VII

Energía específica y momenta

7.14 Descarga por una compuerta de fondo Como una aplicación del concepto de energía específica examinaremos brevemente el flujo a través de una compuerta plana de fondo.

Línea de energía

V12 2g

V22 2g

y1

a

E

y2

Figura 7.21 Descarga por una compuerta de fondo

Consideremos un fondo plano e ignoremos la pérdida de carga. La energía específica en una sección ubicada inmediatamente aguas arriba de la compuerta debe ser igual a la energía específica en otra sección ubicada inmediatamente aguas abajo. Sea

a la abertura de la compuerta, cc el coeficiente de contracción. Entonces y2 = cc a . La

ecuación de la energía específica es

y1 +

V12 V2 = y2 + 2 2g 2g

Por cierto que debe cumplirse la ecuación de continuidad

V1 A1 = V2 A2 = Q Estas dos ecuaciones permiten resolver totalmente el flujo bajo la compuerta. Evidentemente que si la pérdida de carga es importante habrá que tomarla en cuenta

y1 +

V12 V2 = y2 + 2 + h f 2g 2g

En ambos casos se ha supuesto que el coeficiente de Coriolis es igual a 1. La descarga bajo una compuerta sumergida puede tener diversas características, según las

387

Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha

condiciones de aguas abajo. Ellas son a) No se forma salto b) Se forma un salto libre c) Se forma un salto sumergido (ahogado)

Ejemplo 7.12 Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento y la ecuación de continuidad para el análisis de un salto hidráulico sumergido, como el que puede ocurrir a la salida de una compuerta en un canal rectangular, demostrar que se cumple la siguiente expresión

 y  ys = 1 + 2 F22  1− 2  y2  y1  Siendo ys el tirante inmediatamente aguas abajo de la compuerta, y1 la abertura de la compuerta, y2 el tirante aguas abajo del salto, q el gasto por unidad de ancho, F2 el número de Froude aguas abajo del salto. Despréciese la fricción en el canal. Solución. Por continuidad, V1 y1 = V2 y2 . Aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento (ec. 785) entre las secciones 1 y 2 (ver Figura d, ejemplos de salto hidráulico).

P1 − P2 = ρ Q(V2 − V1 ) Reemplazando la fuerza hidrostática P e introduciendo la ecuación de continuidad se obtiene 1 γ γ ( ys2 − y 22 ) = V2 y 2 (V2 − V1 ) 2 g Efectuando algunas sustituciones y operaciones se llega a  γ V2 1  y 2s γ  2 − 1 = (V2 − V1 ) 2  y2  g y2  V  y 2s − 1 = 2 F22 1 − 1  2 y2  V2  Obteniéndose finalmente la expresión propuesta.

388

Capítulo VII

Energía específica y momenta

PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo VII) 1.

En un canal rectangular de 3 m de ancho circula un caudal de 7,5 m3/s. Calcular el tirante crítico, la velocidad y la energía correspondiente. Verificar que se cumplen las ecuaciones 7-25 y 7-26.

2.

Demostrar que un canal rectangular que conduce un gasto Q en condiciones críticas, debe tener un tirante igual a los 3/4 del ancho para que el perímetro sea mínimo.

3.

En un canal rectangular se tiene los siguientes datos

Q = 12 m 3/s ;

b =6m;

S = 0,315

n = 0,0125

Calcular a) el tirante normal b) la energía específica correspondiente al flujo uniforme c) el gasto máximo que podría ser transportado con la energía calculada en b Verificar que se cumple la ecuación 7-14. 4.

En un canal rectangular la energía especifica es 2,3 m. Hacer una tabla y graficar los diferentes valores que puede tomar el tirante en función del gasto. Hallar la altura de río y de torrente para

q = 4 m 3/s/m. ¿Cuál es el gasto máximo que puede ser conducido? 5.

Se tiene un canal rectangular de 8 m de ancho y rugosidad 65 de Strickler. ¿Cuál será la pendiente crítica, el tirante normal correspondiente y la energía específica mínima cuando el gasto sea de 6 m 3/s? Si este canal tuviera una pendiente mayor que la crítica ¿qué tipo de flujo se establecería en él? (¿Río o torrente?) ¿Por qué?

6.

En un canal rectangular el tirante es 0,75 m y la velocidad es de 1,15 m/s. Se deja caer una piedra en el canal. Calcular las velocidades de propagación, hacia aguas arriba y aguas abajo, de las ondas superficiales producidas.

7.

Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos y1 e y 2 la siguiente relación

y1 F22 + 2 = y 2 F1 2 + 2

389

Hidráulica de tuberías y canales

8.

Arturo Rocha

Demostrar que en un canal rectangular de máxima eficiencia hidráulica la pendiente crítica es

24,69

n2 y

9.

1 3 c

=

f 4

( g = 9,8 m/s2)

Demostrar que en un canal rectangular en condiciones críticas son aplicables, en el sistema métrico, las siguientes ecuaciones 3

a) q = 3,13 y 2 max c

b)

2 c) Emin = 0, 7 3 qmax

d)

1

1

2 Vc = 3,13 yc2 = 2,56 Emin

yc = 0,467 3 q 2max

e) Vc = 2,14 3 q max 10. En un canal parabólico la velocidad crítica es de 3,95 m/s. El gasto es de 12 m 3/s. ¿Cuál es la ecuación de la parábola. Mostrar que se cumplen las ecuaciones 7-11, 7-38, 7-39 y 7-44. 11. Demostrar que en un canal de sección parabólica cuya ecuación es x 2 = 16 y , la energía específica mínima es 0,3611 Q1 2 . 12. Hallar el tirante crítico para el canal de la figura. El gasto es de 8 m 3/s. ¿Cuál es la energía que corresponde a las condiciones críticas? Demostrar que se cumplen las ecuaciones 7-14, 7-56 y 7-57.

yc 45º

60º 2,20 m

13. Un canal trapecial revestido en concreto tiene un coeficiente C de Chezy igual a 55 m 1/2/s y conduce un gasto de 10 m 3/s (talud 45º; ancho en el fondo 2,5 m). Calcular para qué pendiente se establecerá un movimiento uniforme con el mínimo contenido de energía. Si en estas condiciones de pendiente crítica se presenta un gasto menor que 10 m 3/s, ¿qué tipo de flujo se establecerá? 14. Un gasto de 28 m3/s escurre en un canal trapecial ( b = 3 m, z = 2, n = 0,017). Calcular la pendiente crítica y el tirante crítico. ¿Qué porcentaje de la energía mínima corresponde a la energía cinética? Demostrar que se cumple la condición dada por el ejemplo 7.1.

390

Capítulo VII

Energía específica y momenta

15. ¿Cuál debe ser la pendiente del canal mostrado en la figura para que se produzca un movimiento uniforme yc

con el mínimo contenido de energía para un gasto de 3,5 m 3/s, y sabiendo que la rugosidad del contorno corresponde a G = 0,46 en la fórmula de Bazin?.

45º 3,00 m

Si por una razón u otra el contorno fuera más rugoso de lo señalado, indicar que tipo de flujo se presentaría con la pendiente crítica calculada. 16. Se tiene un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 4 m. El talud es de 45º. La longitud del canal entre los puntos A y B es de 1 000 m. La cota del punto A es 864,30 m y la cota del punto B es 863,70 m. El gasto es de 10 m 3/s. Considerar que el coeficiente n de Kutter es 0,020. Calcular a) el tirante normal b) el tirante crítico c) la pendiente crítica d) la pendiente crítica para un tirante normal de 1 m y el gasto correspondiente (Las cotas están medidas sobre la superficie libre). 17. En un canal trapecial los taludes tienen una inclinación z = 4/3. El canal es de concreto ( n = 0,015). La pendiente es 0,004. Si el canal está trabajando en condiciones de máxima eficiencia hidráulica, hallar a) el caudal, de forma tal que la energía específica sea mínima y el valor de dicha energía b) la energía específica cuando el gasto sea de 15 m 3/s 18. Un canal trapecial revestido en concreto ( C = 60 m 1/2/s) conduce un gasto de 8 m 3/s a) establecer si este flujo es un río o un torrente b) ¿Cuál debería ser la pendiente para que conduciendo el mismo gasto, éste sea crítico? (Talud 60º ; tirante 0,80 m; ancho en el fondo 3 m) 19. Demostrar que los resultados del ejemplo 7.6 son compatibles con la ecuación 7-60. 20. Un canal trapecial tiene un ancho en el fondo de 2,80 m. El talud es de 45º. El gasto es de 8 m 3/s. Determinar si el flujo es torrencial o tranquilo. El tirante es 1,80 m.

391

Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha

21. Calcular la altura de río y de torrente que podrían producirse en el canal cuya sección aparece en la figura, para un gasto de 6,5 m 3/s y una energía específica de 3,14 m. Calcular también para cada uno de los dos regímenes, el número de Froude y el correspondiente valor de dE dy en la curva E − y . Dibujar la curva E − y y verificar todos los valores calculados, así como las condiciones críticas.

1

0,25

1,00 m

22. ¿Cuál debe ser el ancho en la base de un canal trapecial cuyo talud es 2 para que un gasto de 30 m 3/s dé un tirante crítico normal de 1,25 m? 23. Demostrar que el tirante crítico en un sección triangular es 0, 2

(ec. 7-52)

 2  Q  yc =     g z 

0, 4

24. En un canal triangular el tirante es de 0,40 m. La velocidad es de 2,50 m/s. ¿Cuál es la energía específica? ¿Cuáles son el tirante y la velocidad cuando con la misma energía el gasto es máximo? ¿Cuál debe ser al ángulo en el vértice para que este gasto máximo sea de 321,8 l/s?. 25. Demostrar que la velocidad crítica en un canal triangular de 90º ( z = 1) es

Vc = 1,8883Q0 , 2

para que con una pendiente de 0,0022 se establezca un flujo crítico normal?

392

1:2

yc

1: 1

1 1:

26. Para el canal mostrado en la figura ¿Cuál es el tirante crítico para un gasto de 12 364 l/s? ¿Cuál debe ser el coeficiente n de Kutter

90º

1,50 m

Capítulo VII

Energía específica y momenta

27. En un canal de sección circular de 3 m de diámetro fluye un gasto de 15 m 3/s, con un tirante de 1,20 m. Hallar el tirante alterno, el número de Froude correspondiente a cada uno de los regímenes, el tirante crítico, la velocidad crítica y la energía mínima para que escurra el gasto mencionado. Verificar que se cumple las ecuaciones 7-66 y 7-67. Como comprobación hacer el cálculo con la Figura 7.10. 28. Un acueducto de sección cuadrada, una de cuyas diagonales es vertical, lleva un gasto de 6 m 3/s con un mínimo contenido de energía. ¿Cuánto debe medir el lado L del cuadrado para que el tirante sea el 75 % del tirante máximo? ¿Cuál es la energía? 29. Demostrar que a energía constante, para un mismo gasto, hay dos regímenes posibles: río y torrente. Entre los tirantes respectivos debe cumplirse que

yT FR2  8  = 1 + 1 + yR 4  FR2 

o bien,

y R FT2  8  = 1 + 1 + yT 4  FT2 

FR y FT son los números de Froude para río y torrente. ¿Qué ocurre cuando FR = FT =1? 30. Un canal rectangular pasa de una sección de 1,20 m de ancho a otra de 1,80 m de ancho, por medio de una transición suave en las paredes del canal. El fondo no sufre ninguna alteración. El gasto es de 2,1 m 3/s. El tirante en la segunda sección es de 1,15 m. Hallar el tirante en la primera sección, considerando que aguas arriba hay un régimen subcrítico. Dibujar el perfil de la superficie libre. 31. En un canal rectangular de flujo torrencial cuyo tirante es de 0,40 m y la velocidad es 2,75 m/s se desea saber cual debe ser la sobreelevación de una grada de fondo para que se produzca un régimen crítico. 32. Un canal rectangular muy ancho conduce un gasto de 4 m3/s/m. Calcular cual es la máxima sobreelevación que puede tener una grada de fondo para no afectar las condiciones de aguas arriba. El tirante normal es 2,50 m. 33. Por un canal rectangular de 5 m de ancho escurre un caudal de 10 m3/s. En el canal se produce un resalto hidráulico. Si el número de Froude antes del resalto es 10 veces mayor que el que hay después del resalto, hallar a) el tirante crítico b) el tirante antes del resalto c) el tirante después del resalto d) la fuerza específica (momenta) e) la energía disipada en el resalto f) la potencia del resalto en HP

393

Hidráulica de tuberías y canales

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34. En un canal rectangular de 2 m de ancho se produce un salto hidráulico en el cual la disipación de energía corresponde a una potencia de 31,2 HP. El tirante inicial es 0,60 m. Hallar el tirante después del salto y el gasto. 35. En un canal rectangular de 5 m de ancho se produce un salto hidráulico que disipa el 40 % de la energía. Si el gasto es de 20 m 3/s, hallar los tirantes antes y después del salto. 36. Demostrar (detalladamente, fundamentando cada paso) que en un canal rectangular en el que se produce un salto hidráulico, cuyos tirantes conjugados son y1 e y 2 , se cumple que

1 + 8F12 − 3 y 2 − y1 = E1 F1 2 + 2 siendo E1 y F1 la energía específica y el número de Froude antes del salto. 37. En un canal rectangular cuyo tirante normal es de 1,50 m se coloca una compuerta que deja en el fondo una abertura de 0,50 m. El coeficiente de contracción del tirante en la compuerta es de 0,6. Calcular la fuerza que soporta la compuerta por unidad de ancho del canal. No considerar la fricción. 38. En un canal rectangular de 0,75 m de ancho se ha colocado una compuerta plana vertical que descarga por el fondo una vena líquida cuya altura es de 0,25 m y que luego forma un resalto. Aguas arriba de la compuerta la altura del agua es de 0,10 m. Calcular a) c) e) f)

el caudal b) la fuerza sobre la compuerta la altura conjugada del resalto d) la energía disipada la pendiente que debería tener el canal aguas abajo del salto ( n = 0,015) la altura y la eficiencia del salto

No considerar la fricción. 39. Dibujar para un canal rectangular las siguientes curvas a) E − y

para q = 5 m 3/s/m

b) F .E. − y

para q = 5 m 3/s/m

c) q − y

para E = 4 m

Calcular los mínimos o máximos en cada caso. Considerar en el intervalo 0 ≤ y ≤ 2,80 m, valores de ∆y = 0,50 m. 40. Demostrar que en un canal rectangular la Fuerza Específica (Momenta) es

q2 1 2 + y gy 2 394