El Plano y la Recta en el Espacio

4º Año Cód. 1405-15

Matemática

Prof. María del Luján Martínez Prof. Juan Carlos Bue Prof. Mirta Rosito Prof. Verónica Filotti

Dpto. d e Matemática

EL PLANO ECUACIÓN GENERAL El plano como lugar geométrico Dados un punto p 0 y un vector no nulo n , el plano  perpendicular a n que contiene a p 0 es el lugar geométrico de los puntos p tales que p0p  n o p 0p  o .

n 

p

p b( 0; De la definición anterior, podemos 2; concluir: 0)

p    p 0 p  n o p0p  o  p0p  n  0 (1)

La expresión (1) es la ecuación vectorial del plano  perpendicular a n que contiene a p 0 .





Fijado un sistema o; i ; j; k , y en él un punto p0  x0 ; y0 ; z0  perteneciente a  y un vector no nulo n   a; b; c  perpendicular a dicho plano, resulta que para todo punto p  x; y; z  de 

p0p  n  0   x - x0 ; y - y0; z - z0   a; b; c   0 Resolviendo el producto escalar, obtenemos:

 x  x 0  a   y  y 0  b   z  z0  c  0 ax - ax0  by - by0  cz - cz0  0

ax  by  cz 

 axo  byo  czo   0

Sustituyendo -axo - byo - czo por d, nos queda: ax  by  cz  d  0

(2)

A la expresión (2) la llamamos ecuación general del plano  perpendicular a n que contiene a p 0 . Observación:  Si el plano pasa por el origen de coordenadas, es decir por el punto  0; 0; 0  , su ecuación resulta ax  by  cz  0 , ya que a0  b0  c0  d  0  d  0  Si d = 0 la ecuación del plano resulta ax + by + cz =0  (0;0;0) verifica la ecuación al plano, entonces el plano pasa por el origen de coordenadas Definición: Dadas las constantes a; b; c; d  R con a ; b y c no simultáneamente nulas, se llama ecuación lineal en tres variables x ; y y z la expresión: ax  by  cz  d  0 donde a ; b y c son los coeficientes y d es el término independiente.

POLITECNICO

1

P

El Plano y la Recta en el espacio Teniendo en cuenta la definición anterior, resulta:

La ecuación de un plano es una ecuación lineal en tres variables. Ejemplo: Determina la ecuación del plano perpendicular al vector n  1; 2;  3  que pasa por el punto

p  1; 0; 1 . Solución: Los infinitos planos perpendiculares a n tienen por ecuación:

x  2y - 3z  d  0; d  R

(*)

De todos ellos, el que pasa por el punto p  1; 0; 1 es el que con él se satisface la ecuación (*). De donde:

-1 2  0 - 3  1 d  0  d  4 Entonces el plano buscado tiene por ecuación:

x  2y - 3z  4  0 POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS Dos planos en el espacio pueden ser paralelos o secantes.



PLANOS PARALELOS

Dos planos 1 y 2 son paralelos si y sólo si sus vectores normales son paralelos. En símbolos: 1 // 2  n1 // n2 siendo n1  1 y n2  2

Gráficamente resulta:

2

P O

POLITECNICO

Si 1 ) a1x  b1y  c1z  d1  0 y 2 ) a2 x  b2y  c 2z  d2  0 entonces: 1 // 2  n1 // n2 siendo n1  1 y n2  2    R  0 tal que n2  n1

de donde:

a2; b2; c2    a1; b1; c1 

a2  a1   b2  b1 c  c 1  2

Si a1  0 ; b1  0 y c1  0 , la expresión anterior resulta equivalente a:

a2 b2 c 2    a1 b1 c1 Observación: En particular, cuando dos planos paralelos tienen algún punto en común, son a b c d coincidentes y resulta 2  2  2  2 a1 b1 c1 d1



PLANOS SECANTES

Dos planos no paralelos se llaman secantes. Caso particular de planos secantes: Planos perpendiculares Dos planos 1 y 2 son perpendiculares sí y sólo si son perpendiculares sus vectores normales. En símbolos:

1  2  n1  n2 siendo n1  1 y n2  2

Gráficamente resulta:

Si 1 ) a1x  b1y  c1z  d1  0 y 2 ) a2 x  b2y  c 2z  d2  0 entonces:

1  2  n1  n2 siendo n1  1 y n2  2  n1  n2  0 

a2; b2 ; c2   a1; b1; c1   0

de donde:

a1a2  b1b2  c1c 2  0

POLITECNICO

3

P

El Plano y la Recta en el espacio Ejemplos: a) Determina la ecuación de un plano paralelo no coincidente a 2 x - y + 3 z = 3. Solución: Basta multiplicar por un mismo número a las componentes del vector normal. Uno de los infinitos planos podría ser: 8 x - 4 y + 12 z = 3 b) Determina si los planos x  y  z - 5  0 y - x - y  z - 3  0 son perpendiculares. Solución: Debemos calcular el producto escalar entre los vectores normales a los planos dados, esto es: 1 . (-1) + 1 . (-1) + 1 . 1 = - 1 - 1 + 1 = -1  0  los planos no son perpendiculares.

PROBLEMAS 1)

Determina la ecuación del plano  sabiendo que p  1; 2;  2   y a  (2; 0;  1)   .

2) a) Determina, que un plano no paralelo a los ejes coordenados y que no contiene al origen, admite por ecuación una expresión de la forma:

x y z    1; p, q, r  R - 0 , que se p q r

conoce con el nombre de ecuación segmentaria del plano. b) A partir de la ecuación segmentaria del plano, analiza las intersecciones del mismo con los ejes coordenados. 3) Dada la ecuación del plano 3x  2y  6z  12  0 , determina: a) su ecuación segmentaria b) sus intersecciones con los ejes coordenados c) su representación gráfica 4) Tres puntos no alineados determinan un único plano. Determina la ecuación del plano que contiene a los puntos p 1;  1; 2 ; t0; 3; 3 y v1; 3; 4 . 5) Representa los siguiente conjuntos de puntos y define el lugar geométrico que determina cada uno: x y   a) A   x; y; z  / d) D   x; y  / x  1   z  1 2 3   y z   b) B   x; y; z  / e) E   x; y; z  / x  1   1 5 2   c) C  x / x  1 6) Sea la ecuación del plano ) ax  by  cz  d  0 . Determina las características geométricas del mismo si: a) a  0 d) a  b  0 b) b  0 e) b  c  0 c) c  0 f) a  c  0

4

P O

POLITECNICO

7) El plano  es perpendicular a los planos 2x  3y  z  1  0 y x  y  z  3  0 . Determina la ecuación de  si el punto  1; 2; 4 pertenece al mismo. 8) Los vectores a  1; 1;  4 y b  (0; 3; 1) son paralelos al plano  y además el punto 1; 2; 2 pertenece al mismo. Determina la ecuación de  . DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO Analizaremos a continuación el problema de cómo calcular la distancia desde un punto p 0 cualquiera a un plano  ( p 0 no perteneciente a  ). Para ello te proponemos que realices los siguientes pasos.

p0 i. Ubica  y p 0 en un gráfico ii. ubica un punto p1 cualquiera de 

vector proy n p1p0

iii. determina p1p 0 iv. considera un vector n normal (perpendicular) a  v. la distancia de p 0 a  esta dada por

distp0 ; 

n



p1

dist(p 0 ; )  proy n p1p 0

PROBLEMAS 9) Demuestra que dado el plano perteneciente

dist(p0 ; ) 



y

el

punto

) ax  by  cz  d  0 , el punto p1  x1; y1; z1 

perteneciente

p0  x0 ; y0 ; z0 

a

,

no

entonces

ax0  by0  cz0  d a2  b2  c 2

10) Halla la distancia del punto r  1; 2; 4 al plano ) 2x  3y  z  1  0 . 11) Determina la ecuación de el o los planos paralelos a 3x  y - 5z  2  0 , cuya distancia al punto s  0; - 2; 3  es 140 . PROBLEMAS ADICIONALES 12) Determina el plano perpendicular al plano ) x + y + z - 1 = 0, paralelo al vector

u   -1; 0; 2 y que pase por el punto p(0; -1; 2). 13) Determina justificando la respuesta si son V(verdaderas) o F(falsas) cada una de las siguientes proposiciones: a) Si 1 ) x  y  2z  1  0 y  2 )  2x  2y  1  0 entonces 1 //  2 b) el plano z = 3 es paralelo al eje z. c) Dos planos perpendiculares a un tercero son paralelos entre si. d) El plano x + 2y – 4 = 0 es paralelo al plano xy. e) Los planos 1 ) x  2y  z  2  0 y 2 ) 2x  y  3  0 son perpendiculares.

POLITECNICO

5

P

El Plano y la Recta en el espacio 14) Dados los plano ) x  2y  z  3  0 y ) x  2y  z  5  0 , a) Justifica que son paralelos b) Calcula la distancia entre ambos, es decir, dist(; ) . RECTA EN EL ESPACIO ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS

T

La recta en el espacio como lugar geométrico Dados un punto p 0 y un vector no nulo u , la recta T paralela a u que pasa por p 0 , es el lugar geométrico

p

de los puntos p tales que p 0 p // u o p 0p  o .

po

u

De la definición, resulta: p  T  p 0p // u o p0p  o  p0p  u ;   R (**)

A la expresión (**) ecuación vectorial de T paralela (o en la dirección de) al vector u que pasa por el punto p 0 Fijado

un

sistema

o;



i ; j; k ,

en

él

un

z

punto

p0 x 0 ; y 0 ; z 0  y un vector no nulo u  u1; u2 ; u3  , para

p0

todo punto px; y; z perteneciente a la recta T paralela a

u que pasa por p 0 resulta:

k

p0p  u ;   R

i

x  x 0 ; y - y 0 ; z - z0   u1; u2; u3  x  x 0 ; y - y 0 ; z - z0   u1; u2; u3 

de donde:

6

P O

POLITECNICO

 x  x 0  u1   y  y 0  u2 ;   R  z  z  u 0 3 

x

u

j

p

y

Es decir:  x  x0   u1   y  y0   u2 ;   R z  z   u 0 3 

(2)

Parámetro Coordenadas del punto de paso Componentes escalares del vector dirección

A la expresión (2) la llamamos ecuaciones paramétricas de la recta T que pasa por el punto p 0 y es paralela al vector u .

ECUACIÓN CANÓNICA  x  x0   u1  Sea la recta T dada por sus ecuaciones paramétricas:  y  y0   u2 ;   R z  z   u 0 3 

Suponiendo u1 ; u 2 y u3 distintos de cero, y despejando  de todas las ecuaciones, resulta:  x  x0 (1)   u 1   y  y0 (2) ;   R   u2   z  z0 (3)   u3  Igualando (1) con (2) y con (3), obtenemos:

x  x 0 y  y 0 z  z0   u1 u2 u3 A esta última expresión la llamamos “ecuación canónica de la recta T” que pasa por el punto p 0 y es paralela al vector u .

PROBLEMAS 15) Determina la ecuación canónica de la recta que: a) es paralela al vector u   2; 5; 1 y contiene al punto p  6; 4; 2  b)

pasa por los puntos a  5; 4;  1 y b  3; 1;  5 

 x  2 x 1 2  y z 5    16) Dadas las rectas R)  y  1  3 ;   R y T) , determina: 3 6 7 z  4    a) un vector paralelo a T b) si son paralelas c) un punto de R y otro de T

POLITECNICO

7

P

El Plano y la Recta en el espacio RECTA DETERMINADA POR LA INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS NO PARALELOS. PROBLEMAS 17)

x  2    Dado el plano 3 x + 2 y - 2 z + 5 = 0 y la recta  y  1   ;   R . ¿Existe intersección z  -2 -   entre ellos? En caso afirmativo determina analíticamente la misma.

18)

2x - y  z  6 Dada la recta  , Calcula: -x  y - z  1 a) sus ecuaciones paramétricas. b) las coordenadas del punto p para  = 1 c) su intersección con el plano “yz”

19)

Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos p(3; 1; 0) y q(0; 2; -1) y que es paralelo a la recta de intersección de los planos: 2x  z  3 y  x  y  3z  12 .

20)

¿Tienen algún punto en común las rectas L y M?

x  1   L)  y  3  2 ;   R z  2    21)

Grafica los siguientes lugares geométricos en distintos sistemas de referencia en el espacio: a)  x; y; z  / z  4 d)  x; y; z  / x  3; y  4; z  5 b) c)

22)

 x  17  3  M)  y  4   ;   R z  -8 -  

e)  x; y; z  /  x; y; z  / x  0; z  0  x; y; z  / x  ; y  ; z  4;   R

3x  2y  6; z  0

        Dados en un 0; i ; j;k  el punto a(1; 0; -2) y los vectores ob  ( 1; 1; 2) y v  j  k .   Determina: 

a)

la ecuación de la recta ab

b)

  la ecuación del plano  tal que contenga a la recta ab y sea paralelo al vector v

c) d)

las coordenadas del punto de intersección de la recta ab con el plano xy la ecuación de recta S perpendicular al plano xz que pase por el punto a



23)

        Dados en un 0; i ; j;k  , el punto m (0; 1; -1) y los vectores ot  (1;  1; 2) y s  i  k .   Determina justificando las respuestas. 

¿Es mto un ángulo recto? b) Si los puntos m; t y h(0; 2; 1) son coplanares. a)



c)

24)

8

P O

La recta T tal que T// mt  oT .

Determina justificando la respuesta si son V(verdaderas) o F(falsas) cada una de las siguientes proposiciones:

POLITECNICO

a)

Las rectas R)

 3 x  2y  z  2  0 x3 y2 z y T)  son paralelas.   1 2 3  x  4y  2z  1  0   2

 x  b) La recta  y  2   ;   R es perpendicular al plano 2x + 2y - 2z = 0. z  3   

c)

 x  1   x y z 1  Las rectas :  y  3 ;   R y  son paralelas. 2x  y  z  1  0 z  2   

 x  1  4  Dados la recta R )  y  2  4 ;   R y el plano  ) 6x + 9y - 4z + 12 = 0. Determina si  z  3  R  .

25)

 x  1    Dados el plano ) - 2x  3y  2z  6  0 y la recta M)  y  2  2;   R . Determina  z 3 

26)

las coordenadas de p y t si M    p y eje z

  t .

Dado el plano  de la figura. Determina: a) su ecuación segmentaria b) la ecuación de la recta perpendicular a  que pasa por b .

27)

z

c(0;0;2)

y

x y

a(2;0;0) x

RESPUESTAS Plano

z

1. 2x  z  0 2.

r

a. Demostración a cargo del alumno b. Intersección con el eje x  p; 0; 0 Intersección con el eje y  0; q; 0 Intersección con el eje z  0; 0; r 

q

y

x

POLITECNICO

9

P

El Plano y la Recta en el espacio 3.

x y z   1 4 6 2

a.

z

c.

b. Intersección con el eje x   4; 0; 0

2

Intersección con el eje y  0;  6; 0

-4

Intersección con el eje z  0; 0; 2

-6

y

4.

4x  4z  12  0

5.

Se determinan características, las representaciones a cargo del alumno

x 1 1  ; 1 2 3 

a. Plano perpendicular al vector  ; b. c. d. e.

Plano paralelo al eje x Punto en un eje Recta en el plano xy paralela al eje y Plano paralelo al plano yz

a. b. c. d. e. f.

Paralelo al eje x Paralelo al eje y Paralelo al eje z Paralelo al plano xy Paralelo al plano yz Paralelo al plano xz

6.

7.

 ) 4x  3y  z  6  0

8.

 ) 13x  y  3z  17  0

9.

Demostración a cargo del alumno

3

10.

14

11.

3x  y  5z  87  0  3x  y  5z  53  0

12.

2x  3y  z  5  0

13.

a. F

14.

a.

10

P O

b. F

1 2 1   1 2 1

POLITECNICO

c. F b.

d. F

2 6

e. V

Recta en el espacio x6 y4   z2 2 5

a.

16.

a. Un vector paralelo a T puede ser 3;  6;  7 b. No son paralelos c. 0; 1;  4  R y  1; 2; 5  T

17.

18.

b.

x  5 y  4 z 1   8 3 4

15.

 3 10 3  Si existe intersección y es el punto   ;  ;  7 7  7 x  3  a. posibles ecuaciones paramétricas y  5  ;   R z    b. 3; 6; 1 c. no existe intersección con el plano “yz”

19.

5x  7y  22z  8  0

20.

Si, 2;  1;  3

21.

A cargo del alumno

22.

x  1  2  a. y   ;  R  z  2  4 

b. ) - 5x  2y  2z  1  0

 1  c.  0; ; 0   2 

x  1  d. y  λ ; λ  R  z  2



23.

a. mto no es recto

x    c. T ) y  2;   R  z  3 

b. Si 24.

a. F

b. V

c. F

25.

R no está incluida en 

26.

 13 14 1  p  ;  ; -  y t0; 0; - 3 3 3  3

27.

x y z a.    1 2 2 2

x    b. por ejemplo R) y  2  ;   R z   

POLITECNICO

11

P