Introducción Estructuras Algebraicas Espacios Vectoriales Valores y Vectores Propios

Espacios Vectoriales, Valores y Vectores Propios José Juan Rincón Pasaye,

División de Estudios de Postgrado FIE-UMSNH Curso Propedéutico de Matemáticas para la Maestría en Ciencias opciones: Sistemas de Control y Sistemas de Potencia Noviembre de 2008

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Espacios Vectoriales, espacios propios

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Contenido

1

Estructuras Algebraicas

2

Espacios Vectoriales 1 2 3 4

3

Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema fundamental del álgebra lineal

Valores y vectores propios 1 2

Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales

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Introducción

El álgebra trata con conjuntos de diversos tipos de objetos, tales como: números, arreglos numéricos vectoriales, matrices y funciones, así como también con operaciones bien de…nidas como la suma y el producto entre cada uno de estos objetos. Todos estos conjuntos poseen una cierta Estructura, que está dada por esa suma y ese producto.

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Introducción Estructuras Algebraicas Espacios Vectoriales Valores y Vectores Propios

Dependiendo del conjunto de objetos tratados, las operaciones de…nidas y las propiedades generadas se establece una estructura algebraica que puede ir desde la más sencilla que es un Grupo, hasta una de las más completas que es el Espacio Vectorial.

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Grupos Anillos Cuerpos

Estructuras Algebraicas

Las estructuras algebraicas son conjuntos en los cuales se han de…nido Operaciones entre elementos de los conjuntos.

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Grupos Anillos Cuerpos

Grupos

De…nición de Grupo Un Grupo es un Conjunto G en el cual se ha de…nido una operación + con las siguientes propiedades: 1 2

3

+ es Asociativa: x + (y + z ) = (x + y ) + z 8x, y , z 2 G Neutro: Existe el elemento neutro denotado 0 2 G tal que x + 0 = 0 + x = x 8x 2 G Inverso: 8x 2 G existe el inverso de x, denotado x 0 2 G tal que x + x 0 = x 0 + x = 0

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Grupos Anillos Cuerpos

De…nition Si además la operación es Conmutativa, es decir, 8x, y 2 G se cumple que x + y = y + x, entonces el Grupo se dice Conmutativo o Abeliano

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplos: Los Enteros Z con la operación de suma son un grupo

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplos: Los Enteros Z con la operación de suma son un grupo Los Números pares Z2 con la operación de suma son un grupo

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplos: Los Enteros Z con la operación de suma son un grupo Los Números pares Z2 con la operación de suma son un grupo Los múltiplos de k 2 Z denotados Zk con también son un grupo con la operación suma.

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplos: Los Enteros Z con la operación de suma son un grupo Los Números pares Z2 con la operación de suma son un grupo Los múltiplos de k 2 Z denotados Zk con también son un grupo con la operación suma. Los Enteros con la operación multiplicación no son un grupo, pues no se pueden de…nir inversos.

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplos: Los Enteros Z con la operación de suma son un grupo Los Números pares Z2 con la operación de suma son un grupo Los múltiplos de k 2 Z denotados Zk con también son un grupo con la operación suma. Los Enteros con la operación multiplicación no son un grupo, pues no se pueden de…nir inversos. Los racionales Q f0g con la multiplicación sí forman un grupo, lo mismo pasa con R f0g, C f0g.

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplos: Los Enteros Z con la operación de suma son un grupo Los Números pares Z2 con la operación de suma son un grupo Los múltiplos de k 2 Z denotados Zk con también son un grupo con la operación suma. Los Enteros con la operación multiplicación no son un grupo, pues no se pueden de…nir inversos. Los racionales Q f0g con la multiplicación sí forman un grupo, lo mismo pasa con R f0g, C f0g. El conjunto de los polinomios de grado n con coe…cientes reales, denotados Rn [x ] forman un grupo con la suma.

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplo El conjunto Rn n de Matrices cuadradas invertibles forma un grupo no abeliano con la operación producto matricial.

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplo El conjunto Rn n de Matrices cuadradas invertibles forma un grupo no abeliano con la operación producto matricial.

[Z]k denota al conjunto de los enteros módulo k que son los residuos de dividir un entero entre el entero k, es decir, [Z]k = fz 2 Z jz =x mod k, para algún x 2 Zg es un grupo abeliano con la suma usual:

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplo El conjunto Rn n de Matrices cuadradas invertibles forma un grupo no abeliano con la operación producto matricial.

[Z]k denota al conjunto de los enteros módulo k que son los residuos de dividir un entero entre el entero k, es decir, [Z]k = fz 2 Z jz =x mod k, para algún x 2 Zg es un grupo abeliano con la suma usual: Por ejemplo, [Z]5 = f0, 1, 2, 3, 4g . En este conjunto por ejemplo 2+2=4, pero 2+3=0

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplo: Una Función de un conjunto A en un conjunto B denotada f : A ! B es una regla que asigna a cada elemento x 2 A uno y solo un elemento f (x ) 2 B. Al conjunto A se le llama Dominio de la función y al conjunto B se le llama Rango o codominio. Al elemento f (x ) se le llama imagen de x bajo f .

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplo: Una Función de un conjunto A en un conjunto B denotada f : A ! B es una regla que asigna a cada elemento x 2 A uno y solo un elemento f (x ) 2 B. Al conjunto A se le llama Dominio de la función y al conjunto B se le llama Rango o codominio. Al elemento f (x ) se le llama imagen de x bajo f . Una Función se dice inyectiva o uno a uno si f (x1 ) 6= f (x2 ) 8 x1 6= x2 .

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplo: Una Función de un conjunto A en un conjunto B denotada f : A ! B es una regla que asigna a cada elemento x 2 A uno y solo un elemento f (x ) 2 B. Al conjunto A se le llama Dominio de la función y al conjunto B se le llama Rango o codominio. Al elemento f (x ) se le llama imagen de x bajo f . Una Función se dice inyectiva o uno a uno si f (x1 ) 6= f (x2 ) 8 x1 6= x2 . Una función se dice suprayectiva o sobre si 8y 2 B existe x 2 A tal que y = f (x ).

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplo: Una Función de un conjunto A en un conjunto B denotada f : A ! B es una regla que asigna a cada elemento x 2 A uno y solo un elemento f (x ) 2 B. Al conjunto A se le llama Dominio de la función y al conjunto B se le llama Rango o codominio. Al elemento f (x ) se le llama imagen de x bajo f . Una Función se dice inyectiva o uno a uno si f (x1 ) 6= f (x2 ) 8 x1 6= x2 . Una función se dice suprayectiva o sobre si 8y 2 B existe x 2 A tal que y = f (x ). Una función se dice biyectiva si es inyectiva y suprayectiva. También se dice que f de…ne un isomor…smo de A en B.

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplo: Una Función de un conjunto A en un conjunto B denotada f : A ! B es una regla que asigna a cada elemento x 2 A uno y solo un elemento f (x ) 2 B. Al conjunto A se le llama Dominio de la función y al conjunto B se le llama Rango o codominio. Al elemento f (x ) se le llama imagen de x bajo f . Una Función se dice inyectiva o uno a uno si f (x1 ) 6= f (x2 ) 8 x1 6= x2 . Una función se dice suprayectiva o sobre si 8y 2 B existe x 2 A tal que y = f (x ). Una función se dice biyectiva si es inyectiva y suprayectiva. También se dice que f de…ne un isomor…smo de A en B. El conjunto de funciones biyectivas de variable real SR = ff : R ! R, g con la operación (composición de funciones) forman un grupo abeliano. JJRP

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Grupos Anillos Cuerpos

Tarea: 1) ¿Cual es el elemento neutro para el grupo SR y cual para el grupo R3 [x ]? 2) ¿Son las siguientes funciones de variable real inyectivas, suprayectivas o biyectivas? ¿Cual es su Dominio y su Rango para cada una de ellas? Si alguna de ellas es biyectiva pertenece a SR por lo tanto tiene un inverso, encuentra el inverso. a) f (x ) = sen(x ) b ) g (x ) = x 2 c ) h (x ) = e x d) 3 i (x ) = x

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Grupos Anillos Cuerpos

Tarea: 3) Sea C un conjunto cualquiera y sea el conjunto de subconjuntos de C fS (C ) = S j S C g. Se de…ne la operación ∆ llamada diferencia simétrica de conjuntos como: A∆B = (A [ B ) (A \ B ). ¿Es S (C ) un grupo con esta operación? ¿Es Abeliano?, ¿Cual es el neutro si lo hay?, dado un A 2 S (C ), ¿cual es el inverso de A? 4) ¿Cuales son los elementos del conjunto [Z]7 ? ¿cuál es el neutro?, ¿cuál es el inverso de cada uno de sus elementos?

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Grupos Anillos Cuerpos

Anillos De…nición de Anillo Un Anillo es un conjunto R en el cual se han de…nido dos operaciones: + y con las siguientes propiedades: 1

R es un grupo abeliano con la operación +

2

La operación es asociativa y tiene elemento neutro denotado 1.

3

La operación es Distributiva sobre la operación +, es decir, 8x, y , z 2 R:

4

x (y + z ) = x y + x z y también (x + y ) z = x z + y z.

5

Si además la operación es conmutativa se dice que R es un Anillo conmutativo JJRP

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplos: Los conjuntos Z, Q, R, y C son Anillos conmutativos con las operaciones de suma y producto usuales .

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplos: Los conjuntos Z, Q, R, y C son Anillos conmutativos con las operaciones de suma y producto usuales . El conjunto Zk es un anillo conmutativo con las mismas operaciones.

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplos: Los conjuntos Z, Q, R, y C son Anillos conmutativos con las operaciones de suma y producto usuales . El conjunto Zk es un anillo conmutativo con las mismas operaciones. Rn [x ] también es un anillo con la suma y multiplicación de polinomios.

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplos: Los conjuntos Z, Q, R, y C son Anillos conmutativos con las operaciones de suma y producto usuales . El conjunto Zk es un anillo conmutativo con las mismas operaciones. Rn [x ] también es un anillo con la suma y multiplicación de polinomios. El conjunto de funciones continuas de variable real ff : R ! R, g con la suma y producto usuales es un anillo conmutativo.

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplos: Los conjuntos Z, Q, R, y C son Anillos conmutativos con las operaciones de suma y producto usuales . El conjunto Zk es un anillo conmutativo con las mismas operaciones. Rn [x ] también es un anillo con la suma y multiplicación de polinomios. El conjunto de funciones continuas de variable real ff : R ! R, g con la suma y producto usuales es un anillo conmutativo. El conjunto Rn n de Matrices cuadradas forma un anillo no conmutativo con las operaciones de suma y producto matricial.

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplos: Los conjuntos Z, Q, R, y C son Anillos conmutativos con las operaciones de suma y producto usuales . El conjunto Zk es un anillo conmutativo con las mismas operaciones. Rn [x ] también es un anillo con la suma y multiplicación de polinomios. El conjunto de funciones continuas de variable real ff : R ! R, g con la suma y producto usuales es un anillo conmutativo. El conjunto Rn n de Matrices cuadradas forma un anillo no conmutativo con las operaciones de suma y producto matricial. El conjunto [Z]k de los enteros módulo k es un anillo conmutativo con la suma y producto usuales. JJRP

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplos En un anillo no necesariamente se cumple la ley de cancelación, es decir si x, y son elementos de un anillo y x y = 0, no necesariamente x = 0 o y = 0,

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplos En un anillo no necesariamente se cumple la ley de cancelación, es decir si x, y son elementos de un anillo y x y = 0, no necesariamente x = 0 o y = 0, Por ejemplo en el anillo [Z]4 = f0, 1, 2, 3, 4g

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplos En un anillo no necesariamente se cumple la ley de cancelación, es decir si x, y son elementos de un anillo y x y = 0, no necesariamente x = 0 o y = 0, Por ejemplo en el anillo [Z]4 = f0, 1, 2, 3, 4g en este conjunto, por ejemplo: 2 2=0

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Ejemplos En un anillo no necesariamente se cumple la ley de cancelación, es decir si x, y son elementos de un anillo y x y = 0, no necesariamente x = 0 o y = 0, Por ejemplo en el anillo [Z]4 = f0, 1, 2, 3, 4g en este conjunto, por ejemplo: 2 2=0

En el anillo de las matrices R2 2 , por ejemplo 1 0 0 0 0 0 = 0 1 0 0 0 0

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Grupos Anillos Cuerpos

Tarea: 5) Es un anillo S (C ), el conjunto de subconjuntos de S con las operaciones ∆ y \? ¿es conmutativo? ¿Cual es el neutro de la operación \? 6) Para los anillos R2 2 y [Z]7 ¿cuales son los neutros de la suma y del producto?

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Grupos Anillos Cuerpos

Campos

De…nition Un Cuerpo, también llamado Campo es un conjunto K con dos operaciones + y tales que K es una anillo conmutativo y además todo elemento de K , excepto el cero tiene inverso multiplicativo, Es decir: 1

K es un grupo abeliano con la operación +

2

K

3

f0g es un grupo abeliano con la operación Se cumple la propiedad distributiva de con respecto a +.

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Grupos Anillos Cuerpos

Ejemplos Los conjuntos Q, R, y C son Cuerpos con las operaciones de suma y producto usuales. [Z]k es un cuerpo solamente si k es primo. Tarea: 7) ¿Porqué [Z]4 no es un cuerpo? 8) [Z]7 sí es un cuerpo. Encuentra los inversos multiplicativos para cada elemento de este cuerpo.

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Espacios Vectoriales De…nición de Espacio Vectorial Sea K un cuerpo cuyos elementos llamaremos Escalares y sea V un conjunto cuyos elementos llamaremos Vectores. Sea + una operación en V llamada suma de vectores y sea una operación de K V en V denominada producto vector por escalar. V es un Espacio Vectorial sobre K si: 1

V es un grupo abeliano con la operación +.

2

La operación satisface las siguientes propiedades: 1 2 3 4

1 v = v 8v 2 V , donde 1 es el neutro multiplicativo en K a (v + w ) = a v + a w 8a 2 K , 8v , w 2 V (a + b ) v = a v + b v 8a, b 2 K , 8v 2 V (ab ) v = a (b v ) 8a, b 2 K , 8v 2 V JJRP

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Observación Obsérvese que en un espacio vectorial NO está de…nido el producto de vectores.

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Para averiguar si un conjunto dado es un espacio vectorial se deben checar las 7 propiedades anteriores, es decir, las tres propiedades de la suma de vectores (+) y las cuatro del producto por escalar ( ). En los siguientes ejemplos de espacios vectoriales se cumplen punto por punto cada una de ellas.

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Ejemplos de Espacios Vectoriales R es un espacio vectorial sobre sí mismo con la suma y producto usuales.

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Ejemplos de Espacios Vectoriales R es un espacio vectorial sobre sí mismo con la suma y producto usuales. C es un espacio vectorial sobre R con la suma de números complejos usual y el producto real por complejo.

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Ejemplos de Espacios Vectoriales R es un espacio vectorial sobre sí mismo con la suma y producto usuales. C es un espacio vectorial sobre R con la suma de números complejos usual y el producto real por complejo. El conjunto R1 n de los vectores renglón con componentes reales, es decir R1 n = f[x1 , x2 , ..., xn ] j x1 , x2 , ..., xn 2 Rg así como el conjunto Rn 1 de los vectores columna con componentes reales son espacios vectoriales con las operaciones de suma de vectores y producto por escalar usuales.

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Ejemplos de Espacios Vectoriales R es un espacio vectorial sobre sí mismo con la suma y producto usuales. C es un espacio vectorial sobre R con la suma de números complejos usual y el producto real por complejo. El conjunto R1 n de los vectores renglón con componentes reales, es decir R1 n = f[x1 , x2 , ..., xn ] j x1 , x2 , ..., xn 2 Rg así como el conjunto Rn 1 de los vectores columna con componentes reales son espacios vectoriales con las operaciones de suma de vectores y producto por escalar usuales. El conjunto Rn m de las matrices de n renglones por m columnas con componentes reales es un espacio vectorial con las operaciones usuales de suma de matrices y producto por escalar. JJRP

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

En forma similar Cn m el conjunto de matrices con componentes complejas es un espacio vectorial sobre el cuerpo C, aunque también lo es sobre R.

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

En forma similar Cn m el conjunto de matrices con componentes complejas es un espacio vectorial sobre el cuerpo C, aunque también lo es sobre R. El conjunto de los polinomios de grado n con coe…cientes reales Rn [x ] son un espacio vectorial con la suma de polinomios y el producto escalar por polinomio.

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

En forma similar Cn m el conjunto de matrices con componentes complejas es un espacio vectorial sobre el cuerpo C, aunque también lo es sobre R. El conjunto de los polinomios de grado n con coe…cientes reales Rn [x ] son un espacio vectorial con la suma de polinomios y el producto escalar por polinomio. El conjunto de las funciones de variable real ff : R ! Rg con la suma de funciones de…nida como (f + g )(x ) = f (x ) + g (x ) 8x 2 R. y el producto por escalar: (k f ) (x ) = kf (x ) 8x 2 R.

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Subespacios

De…nition Un subconjunto W de un espacio vectorial V sobre el cuerpo K se dice Subespacio del espacio vectorial V si W es en sí mismo un espacio vectorial sobre K

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Para veri…car si W V es un subespacio del espacio vectorial V sobre K , no es necesario checar las 7 propiedades anteriores, basta solamente con checar las siguientes 3 propiedades: 1

El vector 0 está en W .

2

Si x, y 2 W entonces x + y 2 W

3

Si k 2 K y v 2 W entonces k v 2 W

Observación: las propiedades 2 y 3 se pueden reemplazar por: Si x, y 2 W , k 2 R2 entonces x + ky 2 W

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Ejemplos Dado un Espacio vectorial V el subconjunto f0g formado exclusivamente por el vector 0 y el propio V son siempre subespacios, por ello se denominan los subespacios triviales de V.

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Ejemplos Dado un Espacio vectorial V el subconjunto f0g formado exclusivamente por el vector 0 y el propio V son siempre subespacios, por ello se denominan los subespacios triviales de V. Sea el espacio vectorial R2 ¿qué vectores debe contener W R2 para ser un subespacio no trivial de R2 ?

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Ejemplos Dado un Espacio vectorial V el subconjunto f0g formado exclusivamente por el vector 0 y el propio V son siempre subespacios, por ello se denominan los subespacios triviales de V. Sea el espacio vectorial R2 ¿qué vectores debe contener W R2 para ser un subespacio no trivial de R2 ? Sea x = [x1 x2 ] 6= 0 2 W , por la propiedad 3 kx = [kx1 kx2 ] 8k 2 R2 también debe estar en W por lo tanto W es toda la recta que pasa por el origen en dirección x.

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

R2

Subespacio vectorial W x2

kx x x1

W

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Ejemplo: Veri…car que el conjunto W = f[x1 , x2 ] j x1 = 2x2 g es un subespacio de R2 .

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Ejemplo: Veri…car que el conjunto W = f[x1 , x2 ] j x1 = 2x2 g es un subespacio de R2 . La propiedad 1 se cumple, pues el vector cero se puede escribir como 0 = [2(0), 0] 2 W .

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Ejemplo: Veri…car que el conjunto W = f[x1 , x2 ] j x1 = 2x2 g es un subespacio de R2 . La propiedad 1 se cumple, pues el vector cero se puede escribir como 0 = [2(0), 0] 2 W .

Sean x, y 2 W , es decir, x = [2x2 , x2 ], y = [2y2 , y2 ]. Las propiedades 2 y 3 se cumplen, pues z = x + ky = [2z, z ], donde z = x2 + ky2

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Ejemplo: Veri…car que el conjunto W = f[x1 , x2 ] j x1 = 2x2 g es un subespacio de R2 . La propiedad 1 se cumple, pues el vector cero se puede escribir como 0 = [2(0), 0] 2 W .

Sean x, y 2 W , es decir, x = [2x2 , x2 ], y = [2y2 , y2 ]. Las propiedades 2 y 3 se cumplen, pues z = x + ky = [2z, z ], donde z = x2 + ky2 De hecho, W es el conjunto de puntos de la recta que pasa por el origen x1 = 2x2

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Tarea: 9.- ¿Cual de los siguientes subconjuntos de R2 es un subespacio de R2 ?. En caso de ser subespacio, gra…ca la recta que de…ne. W1 = f[x1 , x2 ] j x1 = 0g W2 = f[x1 , x2 ] j x1 = x2 g W3 = f[x1 , x2 ] j x1 = 1 + x2 g 10.- Veri…car las tres propiedades de los subespacios en R3 para el subconjunto W4 = f[x1 , x2 , x3 ] j x1 = x2 g. ¿Qué tipo de región de…ne en el espacio tridimensional R3 ? 11.- Veri…car que R2 [x ] se comporta como un subespacio de R3 [x ] checando las tres propiedades.

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Generadores de subespacios:

Dado un vector no nulo x 2 V siempre podemos generar un subespacio de V formado por todos los múltiplos de x la siguiente manera: W = fkx j k 2 K g. En Rn W corresponde a la recta que pasa por el origen en dirección de x. Al subespacio anterior se le llama subespacio de V generado por x y se denota W = span fx g.

JJRP

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

La idea anterior se puede generalizar a cualquier conjunto de vectores: Así, por ejemplo en R3 , el subespacio generado por v1 , v2 2 R3 sería el plano que contiene al origen y a ambos vectores, es decir, es el conjunto de vectores de la forma k1 v1 + k2 v2 donde k1 , k2 2 R. De…nition En general, si fv1 , v2 , ..., vn g son vectores de un espacio V sobre el campo K entonces span fv1 , v2 , ..., vn g = fk1 v1 + k2 v2 + ... + kn vn j k1 , k2 , ..., kn 2 Kg

JJRP

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Ejemplos: En R2 : span

1 1

es la recta con pendiente unitaria que pasa por

el origen

JJRP

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Ejemplos: En R2 : span

1 1

es la recta con pendiente unitaria que pasa por

el origen span

1 0

,

0 1

,

1 1

JJRP

es todo el espacio R2 .

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Ejemplos: En R2 : span

1 1

es la recta con pendiente unitaria que pasa por

el origen span

1 0

,

0 1

,

1 1

es todo el espacio R2 .

En R3 :

JJRP

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Ejemplos: En R2 : span

1 1

es la recta con pendiente unitaria que pasa por

el origen span

1 0

,

0 1

,

1 1

es todo el espacio R2 .

3 : En R8 2 39 < 1 = span 4 1 5 es la recta que pasa por el origen y el punto : ; 1 (1,1,1).

JJRP

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En R3 :

82 3 2 39 0 = < 1 Sea W = span 4 0 5 , 4 1 5 . W es el plano que : ; 0 0 contiene los primeros dos ejes cartesianos pues cualquier vector x en ese plano se puede escribir como:

JJRP

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

En R3 :

82 3 2 39 0 = < 1 Sea W = span 4 0 5 , 4 1 5 . W es el plano que : ; 0 0 contiene los primeros dos ejes cartesianos pues cualquier vector x en ese plano se puede escribir como: 2 3 2 3 2 3 x1 1 0 x = 4 x2 5 = x1 4 0 5 + x2 4 1 5. 0 0 0

JJRP

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x3

82 3 2 39 0 = < 1 W = span 4 0 5 , 4 1 5 : ; 0 0

JJRP

x2 x

x1

W

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Tarea: 3 12.- ¿A plano el subespacio 82que 3 2 en3R2 corresponde 39 0 1 = < 1 span 4 0 5 , 4 1 5 , 4 1 5 ? Escribe un vector cualquiera en ; : 0 0 0 ese plano como una combinación lineal de estos tres vectores

JJRP

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Independencia Lineal

El conjunto de vectores fv1 , v2 , ..., vn g V se dice Linealmente Independiente si la combinación lineal k1 v1 + k2 v2 + ... + kn vn es el vector cero solamente en el caso trivial, es decir, solo cuando k1 = k2 = ... = kn = 0. De lo contrario el conjunto se dice Linealmente Dependiente, o simplemente Dependiente.

JJRP

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Ejemplos: Sean dos vectores v1 , v2 2 R2 formemos la combinación lineal k1 v1 + k2 v2 = 0. Si son dependientes podemos suponer por ejemplo que k1 6= 0; entonces v1 = kv2 , donde k = kk21 . Es decir, uno es múltiplo del otro, o lo que es lo mismo: ambos están sobre la misma recta que pasa por el origen.

JJRP

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Ejemplos: Sean dos vectores v1 , v2 2 R2 formemos la combinación lineal k1 v1 + k2 v2 = 0. Si son dependientes podemos suponer por ejemplo que k1 6= 0; entonces v1 = kv2 , donde k = kk21 . Es decir, uno es múltiplo del otro, o lo que es lo mismo: ambos están sobre la misma recta que pasa por el origen. x2 v1=kv2 v2 x1

JJRP

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Sean tres vectores v1 , v2 , v3 2 R3 formemos la combinación lineal k1 v1 + k2 v2 + k3 v3 = 0. Si son dependientes podemos suponer por ejemplo que k1 6= 0; entonces v1 = kk21 v2 kk31 v3 . Es decir,v1 2 span fv2 , v3 g, o bien, los tres están sobre el mismo plano que contiene al origen.

JJRP

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Sean tres vectores v1 , v2 , v3 2 R3 formemos la combinación lineal k1 v1 + k2 v2 + k3 v3 = 0. Si son dependientes podemos suponer por ejemplo que k1 6= 0; entonces v1 = kk21 v2 kk31 v3 . Es decir,v1 2 span fv2 , v3 g, o bien, los tres están sobre el mismo plano que contiene al origen. x3

x2 v1 span{v2,v3}

x1 JJRP

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Ejemplo: La manera más e…ciente de averiguar si un conjunto de vectores fv1 , v2 , ..., vk g en Rn es linealmente independiente es tomarlos como …las de una matriz y averiguar el rango de la matriz con el proceso de eliminación gaussiana.

JJRP

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Ejemplo: La manera más e…ciente de averiguar si un conjunto de vectores fv1 , v2 , ..., vk g en Rn es linealmente independiente es tomarlos como …las de una matriz y averiguar el rango de la matriz con el proceso de eliminación gaussiana. Por ejemplo, 2 3consideremos 2 3 2 el 3siguiente conjunto de vectores 1 4 7 en R3 4 2 5 , 4 5 5 , 4 8 5 3 6 9

JJRP

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2

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1 2 Formamos la matriz A = 4 4 5 7 8 operaciones elementales 2 3 por2 …la 1 2 3 1 3 6 5 4 0 A 4 0 0 6 12 0

JJRP

3 3 6 5 , y aplicamos 9 2 3 0

3 3 6 5 0

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2

Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

1 2 Formamos la matriz A = 4 4 5 7 8 operaciones elementales 2 3 por2 …la 1 2 3 1 3 6 5 4 0 A 4 0 0 6 12 0

3 3 6 5 , y aplicamos 9 2 3 0

3 3 6 5 0

Por lo tanto, rank (A) = 2 ) Solo dos …las de A son Linealmente independientes.

JJRP

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Tarea:

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2

3 2 3 2 3 1 1 1 13.- Averiguar si los vectores 4 1 5 , 4 1 5 , 4 3 5 son 1 1 3 Linealmente independientes 14.- En R2 , hallar un vector linealmente independiente al vector 1 . 1 3 15.- En R 2 , hallar 3 un 2 vector 3 linealmente independiente a los 1 1 vectores 4 1 5 , 4 1 5 1 1 JJRP

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Bases y Dimensión

Base de un espacio vectorial El conjunto …nito fv1 , v2 , ..., vn g espacio vectorial V si: 1 2

V se dice que es una Base del

V = span fv1 , v2 , ..., vn g

fv1 , v2 , ..., vn g es Linealmente Independiente.

JJRP

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Observación: El número de vectores de cualquier base de un espacio vectorial es el mismo. De…nition Al número de vectores de una base cualquiera de un espacio vectorial se le llama la dimensión del espacio y si este número es …nito, se dice que el espacio es de dimensión …nita.

JJRP

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Ejemplos: La base de Rn formada unitarios 82 por 3 los 2 vectores 3 2 39 1 0 0 > > > > > > > : ; 0 0 1 n base canónica de R . de acuerdo a lo anterior, la dimensión de Rn es n.

JJRP

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Ejemplo: La base canónica de los polinomios Rn [x ] es f1, x, x 2 , ..., x n g : Es evidente que cualquier polinomio se puede escribir como una combinación lineal de elementos de esta base y además es L.I., pues k0 + k1 x + k2 x 2 + ... + kn x n es el polinomio nulo solamente si k0 = k1 = ... = kn = 0.

JJRP

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Ejemplo: ¿Cual de los siguientes conjuntos de vectores es una base de R2 ?

JJRP

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Ejemplo: ¿Cual de los siguientes conjuntos de vectores es una base de R2 ? 1 1 a) , . No son una base porque son L. D. (solo 1 1 generan la recta a 45o que pasa por el origen)

JJRP

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Ejemplo: ¿Cual de los siguientes conjuntos de vectores es una base de R2 ? 1 1 a) , . No son una base porque son L. D. (solo 1 1 generan la recta a 45o que pasa por el origen) 1 1 0 b) , , . No son una base pues son 3 vectores 0 1 0 y la dimensión de R2 es 2. (Generan a R2 pero son L. D.)

JJRP

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82 3 2 3 2 39 1 1 = < 1 4 5 4 5 4 0 , 1 , 1 5 es una 16.- Veri…car que el conjunto ; : 0 0 1 base de R3 17.- Veri…car que el conjunto f1, 1 + x, 1 + x + x 2 g es una base de R2 [ x ]

JJRP

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Subespacios asociados con matrices Dada una matriz A 2 Rm n Existen 4 subespacios asociados a ella: El Espacio Fila de A (RAT ): es el subespacio de R1 n generado por las …las de A. El Espacio Columna de A (RA ): es el subespacio de Rm 1 generado por las columnas de A. El Núcleo o Espacio Nulo de A (NA ): es el subespacio de Rn 1 que consta de los vectores x 2 Rn 1 tales que Ax = 0. El Espacio Nulo Izquierdo de A (NAT ): es el subespacio de Rm 1 que consta de los vectores x 2 Rm 1 tales que x T A = 0, o bien, AT x = 0.

JJRP

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

El espacio …la de una matriz A se puede escribir como los vectores …la y T 2 R1 n tales que y T = x T A, ya que este producto es una combinación lineal de …las de A El espacio columna de una matriz A se puede escribir como los vectores columna y 2 Rm 1 tales que y = Ax, ya que este producto es una combinación lineal de columnas de A

JJRP

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Ejemplo: Escribir el producto Ax como lineal 2 una 3 combinación 2 3 de x1 1 0 1 columnas de A, con x = 4 x2 5 , A = 4 0 1 2 5 =) x3 1 0 1 2 3 x1 + x3 Ax = 4 x2 + 2x3 5 x1 + x3

JJRP

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Ejemplo: Escribir el producto Ax como lineal 2 una 3 combinación 2 3 de x1 1 0 1 columnas de A, con x = 4 x2 5 , A = 4 0 1 2 5 =) x3 1 0 1 2 3 x1 + x3 Ax = 4 x2 + 2x3 5 x1 + x3 2 3 2 3 2 3 1 0 1 es decir, Ax = x1 4 0 5 + x2 4 1 5 + x3 4 2 5 1 0 1

JJRP

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Ejemplo: Escribir el producto Ax como lineal 2 una 3 combinación 2 3 de x1 1 0 1 columnas de A, con x = 4 x2 5 , A = 4 0 1 2 5 =) x3 1 0 1 2 3 x1 + x3 Ax = 4 x2 + 2x3 5 x1 + x3 2 3 2 3 2 3 1 0 1 es decir, Ax = x1 4 0 5 + x2 4 1 5 + x3 4 2 5 1 0 1 es decir, Ax de…ne el espacio generado por las columnas de A.

JJRP

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Ejemplo: Encontrar una base del Espacio columna y del espacio nulo de la matriz del ejemplo anterior.

JJRP

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Ejemplo: Encontrar una base del Espacio columna y la matriz del ejemplo anterior. 82 3 2 3 2 0 < 1 Solución: RA = span 4 0 5 , 4 1 5 , 4 : 1 0

JJRP

del espacio nulo de 39 1 = 2 5 ; 1

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Ejemplo: Encontrar una base del Espacio columna y del espacio nulo de la matriz del ejemplo anterior. 82 3 2 3 2 39 0 1 = < 1 Solución: RA = span 4 0 5 , 4 1 5 , 4 2 5 : ; 1 0 1 Pero columnas son L.I., por lo tanto, la base 82como3sólo 2 dos 39 0 = < 1 es: 4 0 5 , 4 1 5 : ; 1 0 JJRP

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Para 2 1 4 0 1

NA 0 1 0

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formamos el sistema 32 3 2 3Ax = 0: 1 x1 0 5 4 5 4 2 x2 = 0 5 1 x3 0

JJRP

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Para NA formamos el sistema 32 3 2 3Ax = 0: 2 1 0 1 x1 0 4 0 1 2 5 4 x2 5 = 4 0 5 1 0 1 x3 0 Que …las es: 2 en la forma 3 2 reducida 3 2por 3 1 0 1 x1 0 4 0 1 2 5 4 x2 5 = 4 0 5 0 0 0 x3 0

JJRP

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Obtenemos: 82 x1 = 3 x3 , x2 =9 2x3 , x3 arbitrario, es decir, x3 < = NA = 4 2x3 5 j x3 2 R , : ; x3

JJRP

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Obtenemos: 82 x1 = 3 x3 , x2 =9 2x3 , x3 arbitrario, es decir, x3 < = NA = 4 2x3 5 j x3 2 R , : ; x3 2 3 1 es decir, NA es la recta generada por el vector 4 2 5 , el 1 cual es la base buscada.

JJRP

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Tarea:

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2

3 2 3 1 0 1 x1 18.- Para la matriz A = 4 0 1 2 5 , y el vector x = 4 x2 5 , 1 0 1 x3 escribir el producto x T A como una combinación lineal de las …las de A. 19.- Encontrar una base para el espacio …la de A y una base para el espacio nulo izquierdo de A.

JJRP

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Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Teorema fundamental del Algebra Lineal:

Para cualquier matriz A 2 R m

n

se cumple lo siguiente:

M

1

rango de A = dimensión de RAT = dimensión de RAT = r

2

dimensión de NAT = m

3

dimensión de NA = n

r r

JJRP

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Tarea: 20.- Veri…car matriz 2 1 0 4 A= 0 1 1 0

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el teorema fundamental del álgebra lineal para la 3 1 2 5 1

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Valores y Vectores Propios

El problema de valores y vectores propios, también llamados valores y vectores característicos, eigen-valores y eigen-vectores, o autovalores y autovectores surge en diversos campos de aplicación del álgebra lineal, tales como: - Ecuaciones diferenciales - Estabilidad de sistemas lineales - Sistemas eléctricos (componentes simétricas) - Polos y ceros de funciones transferencia - Diagonalización de matrices

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

De…nition Sea A 2 Rn n una matriz cuadrada, se dice que el vector no nulo x 2 Rn es un vector propio de A correspondiente al escalar λ llamado valor propio si se cumple que Ax = λx

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Observación: Para un vector x en general el producto Ax es otro vector con dirección completamente diferente a x, sin embargo, la de…nición de vector propio pide que Ax vaya en la misma dirección de x: x2 λx

Ax x

x1

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

En otras palabras, de existir dichos vectores propios, serán aquellos vectores x a los que A no les cambia de dirección al premultiplicarlos.

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

De la de…nición, para que x sea un vector propio de A correspondiente al valor propio λ se requiere que Ax = λx Es decir, x debe satisfacer la ecuación:

(λI

A)x = 0

En otras palabras, x pertenece al Espacio Nulo de (λI

JJRP

A)

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

De esta manera el problema de encontrar los valores y vectores propios de A se convierte en el problema de encontrar el espacio nulo de la matriz cuadrada (λI A). Como el espacio nulo de una matriz es un subespacio de Rn al espacio nulo de (λI A) se le llama el subespacio propio de A y está formado por puros vectores propios de A.

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Si la dimensión del espacio nulo de (λI A) es cero el único vector que contiene dicho espacio es el vector cero, el cual por de…nición no es un vector propio. Por lo tanto, para que exista algún vector propio de A se requiere que la dimensión del espacio nulo de (λI A) sea diferente de cero, es decir, que la ecuación (λI A)x = 0 tenga una solución no nula, o bien, det (λI

JJRP

A) = 0

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

De…nition Al determinante det (λI A) se le llama polinomio característico de A y a la ecuación det (λI A) = 0 se le llama ecuación característica de la matriz A. Dada una matriz A de n n, su polinomio característico es de grado n, la ecuación característica deberá tener hasta n soluciones para λ, es decir, habrá hasta n valores propios para cualquier matriz A de n n. Obsérvese que los valores propios pueden ser reales o complejos.

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Ejemplo: Calcular los valores propios de la matriz A = Solución:

JJRP

Espacios Vectoriales, espacios propios

4 2

5 3

Introducción Estructuras Algebraicas Espacios Vectoriales Valores y Vectores Propios

Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Ejemplo: Calcular los valores propios de la matriz A = Solución: La ecuación característica es

JJRP

Espacios Vectoriales, espacios propios

4 2

5 3

Introducción Estructuras Algebraicas Espacios Vectoriales Valores y Vectores Propios

Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Ejemplo: Calcular los valores propios de la matriz A = Solución: La ecuación característica es λ 4 5 det =0 2 λ+3

JJRP

Espacios Vectoriales, espacios propios

4 2

5 3

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Ejemplo: Calcular los valores propios de la matriz A = Solución: La ecuación característica es λ 4 5 det =0 2 λ+3 es decir, λ2

λ

2 = (λ + 1)(λ

JJRP

2) = 0

Espacios Vectoriales, espacios propios

4 2

5 3

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Ejemplo: Calcular los valores propios de la matriz A =

4 2

5 3

Solución: La ecuación característica es λ 4 5 det =0 2 λ+3 es decir, λ2

λ

2 = (λ + 1)(λ

2) = 0

de donde obtenemos dos valores propios: λ1 =

JJRP

1, λ2 = 2.

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Ejemplo: Los vectores propios para la matriz anterior se pueden obtener como sigue:

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Ejemplo: Los vectores propios para la matriz anterior se pueden obtener como sigue: Para λ1 =

1 el sistema (λ1 I

JJRP

A)x = 0 queda

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Ejemplo: Los vectores propios para la matriz anterior se pueden obtener como sigue: Para λ1 = 5 5 2 2

1 el sistema (λ1 I x1 0 = x2 0

JJRP

A)x = 0 queda

Espacios Vectoriales, espacios propios

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Ejemplo: Los vectores propios para la matriz anterior se pueden obtener como sigue: Para λ1 = 5 5 2 2

1 el sistema (λ1 I x1 0 = x2 0

A)x = 0 queda

de donde los vectores propios tienen la forma k

JJRP

1 1

Espacios Vectoriales, espacios propios

T

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Ejemplo: Los vectores propios para la matriz anterior se pueden obtener como sigue: Para λ1 = 5 5 2 2

1 el sistema (λ1 I x1 0 = x2 0

A)x = 0 queda

de donde los vectores propios tienen la forma k Para λ2 = 2 el sistema (λ1 I

JJRP

1 1

A)x = 0 queda

Espacios Vectoriales, espacios propios

T

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Ejemplo: Los vectores propios para la matriz anterior se pueden obtener como sigue: Para λ1 = 5 5 2 2

1 el sistema (λ1 I x1 0 = x2 0

A)x = 0 queda

de donde los vectores propios tienen la forma k Para λ2 = 2 el sistema (λ1 I 2 5 x1 0 = 2 5 x2 0

JJRP

1 1

A)x = 0 queda

Espacios Vectoriales, espacios propios

T

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Ejemplo: Los vectores propios para la matriz anterior se pueden obtener como sigue: Para λ1 = 5 5 2 2

1 el sistema (λ1 I x1 0 = x2 0

A)x = 0 queda

de donde los vectores propios tienen la forma k Para λ2 = 2 el sistema (λ1 I 2 5 x1 0 = 2 5 x2 0

T

A)x = 0 queda

de donde los vectores propios tienen la forma k

JJRP

1 1

5 2

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T

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Observación: como los vectores propios correspondientes a un valor propio dado no son únicos, se acostumbra obtener los vectores propios unitarios. Para el ejemplo anterior el vector propio unitario correspondiente al 1 valor propio λ1 = 1 es p12 , mientras que para el valor 1 5 propio λ2 , es p129 2

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

La suma de los n valores propios de la matriz A es igual a su traza: traza(A) = λ1 + λ2 + ... + λn El producto de los n valores propios de la matriz A es igual a su determinante: det(A) = λ1 λ2 ...λn . Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que det(A) = 0 si y solo si algún valor propio de A es cero. Los valores propios de una matriz triangular (superior o inferior) son los valores de su diagonal.

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Tarea: 21.- Calcula los valores propios y vectores propios unitarios 0 1 correspondientes para la matriz A = . Veri…ca las dos 2 3 primeras propiedades anteriores.

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Diagonalización

De…nition Dada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible T , a la operación T 1 AT se le llama transformación de similaridad y a la matriz B = T 1 AT se le llama matriz similar a la matriz A

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

La relación de similaridad entre dos matrices se dice que es una relación de equivalencia y cumple con las siguientes propiedades: 1

Propiedad re‡exiva: Una matriz A es similar a sí misma.

2

Propiedad simétrica: si A es similar a B entonces B es similar a A.

3

Propiedad transitiva: Si A es similar a B y B es similar a C , entonces A es similar a C .

Otros ejemplos de relaciones de equivalencia son: La igualdad numérica, la semejanza de triángulos, el paralelismo entre líneas rectas, etc.

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Tarea: 22.- Veri…car las tres propiedades para la relación de similaridad entre matrices de…nida como: A similar a B si B = T 1 AT 23.- Dar otro ejemplo de relación de equivalencia.

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Otras propiedades: Las siguientes características de una matriz A no se alteran bajo una transformación de similaridad: el determinante la traza los valores y vectores propios

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Tarea: 0 1 1 1 yT = calcula 1 0 1 1 B = T 1 AT . Veri…ca las propiedades anteriores para A y B. 24.- Para las matrices A =

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Si la matriz A de n n tiene n vectores propios L.I., y formamos una matriz T cuyas columnas sean estos vectores, entonces la transformación D = T 1 AT produce una matriz diagonal D. Además, los elementos en la diagonal de D serán justamente los valores propios de A. Observación: La condición de independencia lineal de los n vectores propios de A se satisface cuando todos los valores propios de A son diferentes (el inverso no siempre es cierto).

JJRP

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Ejemplo: Para la matriz A =

Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

4 2

5 3

, obtener la forma

diagonal. Solución: Usando los vectores propios ya obtenidos: 1 5 2 5 T = , de donde T 1 = 13 , por lo tanto, 1 2 1 1 1 0 D = T 1 AT = 0 2

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Observaciones: 1

No todas las matrices tienen forma diagonal.

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Observaciones: 1

No todas las matrices tienen forma diagonal.

2

Si una matriz tiene sus n valores propios distintos tiene n vectores propios L.I. y por lo tanto tiene forma diagonal.

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Observaciones: 1

No todas las matrices tienen forma diagonal.

2

Si una matriz tiene sus n valores propios distintos tiene n vectores propios L.I. y por lo tanto tiene forma diagonal.

3

Si una matriz tiene valores propios repetidos puede no tener forma diagonal.

JJRP

Espacios Vectoriales, espacios propios

Introducción Estructuras Algebraicas Espacios Vectoriales Valores y Vectores Propios

Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Observaciones: 1

No todas las matrices tienen forma diagonal.

2

Si una matriz tiene sus n valores propios distintos tiene n vectores propios L.I. y por lo tanto tiene forma diagonal.

3

Si una matriz tiene valores propios repetidos puede no tener forma diagonal.

4

Toda matriz tiene una forma diagonal por bloques llamada Forma de Jordan.

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Observaciones: 1

No todas las matrices tienen forma diagonal.

2

Si una matriz tiene sus n valores propios distintos tiene n vectores propios L.I. y por lo tanto tiene forma diagonal.

3

Si una matriz tiene valores propios repetidos puede no tener forma diagonal.

4

Toda matriz tiene una forma diagonal por bloques llamada Forma de Jordan.

5

Una matriz simétrica tiene valores propios reales y vectores propios ortogonales que pueden formar una matriz diagonalizante ortogonal T tal que T 1 = T T .

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Observaciones: 1

No todas las matrices tienen forma diagonal.

2

Si una matriz tiene sus n valores propios distintos tiene n vectores propios L.I. y por lo tanto tiene forma diagonal.

3

Si una matriz tiene valores propios repetidos puede no tener forma diagonal.

4

Toda matriz tiene una forma diagonal por bloques llamada Forma de Jordan.

5

Una matriz simétrica tiene valores propios reales y vectores propios ortogonales que pueden formar una matriz diagonalizante ortogonal T tal que T 1 = T T .

6

De acuerdo a lo anterior, una matriz simétrica A se puede diagonalizar mediante la transformación: D = T T AT JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Aplicación a ecuaciones diferenciales lineales Consideremos el sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coe…cientes constantes dado por x˙ = Ax, con x (0) = x0 2

3 x1 (t ) 6 x2 (t ) 7 7 Donde x = 6 4 ... 5 , x˙ xn (t ) 2 a11 a12 ... a1n 6 a21 a22 ... a2n A=6 4 ... an1 an2 ... ann

2

3 x˙ 1 (t ) 6 x˙ 2 (t ) 7 7 =6 4 ... 5 , x˙ n (t ) 3 7 7 5

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

La solución al sistema de ecuaciones anterior se calcula de manera análoga al caso escalar como x (t ) = e At x0 Sin embargo, el cálculo de e At que en el caso A escalar es trivial, se complica si A es una matriz.

JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Cálculo de la matriz exponencial Si A 2 es una matriz diagonal,3digamos a11 0 ... 0 6 0 a22 ... 0 7 6 7 A=6 7 , el cálculo es directo: . . 4 5 . 0 0 ... ann 2 a t 3 e 11 0 ... 0 6 0 e a22 t ... 0 7 6 7 e At = 6 7 .. 4 5 . a t nn 0 0 ... e JJRP

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Pero si A no es diagonal, podemos recurrir al cálculo del exponencial mediante la serie e At = I + At +

1 2 2 2! A t

+ 3!1 A3 t 3 + ...

Que en el caso matricial se convierte en una suma …nita pues por el Teorema de Cayley-Hamilton An se puede expresar como una combinación lineal de las potencias anteriores de A, con lo cual e At = α0 (t )I + α1 (t )A + α2 (t )A2 + ... + αn

JJRP

n 1 1 (t )A

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k

Como TDT 1 = TD k T sumatoria …nita, obtenemos T eT

1

para cualquier k entero, de la 2

1 e At T 1 AtT

Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

= α0 (t )I + α1 (t )T 1 AT + α2 (t ) T 1 AT + ... + n 1 αn 1 (t ) T 1 AT = e Dt = α0 (t )I + α1 (t )D + α2 (t )D 2 + ... + αn 1 (t )D n

JJRP

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1

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

es decir, 2

e λ1 t 0 ... 0 λ2 t 6 0 e ... 0 6 6 .. 4 . 0 0 ... e λn t 2 α0 + α1 λ1 + α2 λ21 + ... + αn 1 λn1 1 ... 6 .. 4 . 0 ...

JJRP

3

7 7 7= 5

0

α0 + α2 λ2n + ... + αn

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n 1 1 λn

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

igualando los elementos de la diagonal e λ1 t = α0 + α1 λ1 + ... + αn e λ2 t = α0 + α1 λ2 + ... + αn ... λ t n e = α0 + α1 λn + ... + αn En forma matricial: 2 1 λ1 λ21 6 1 λ2 λ2 2 6 6 4 1 λn λ2n

... λn1 ... λn2 .. .

1

λnn

1

...

JJRP

1

32

n 1 1 λ1 n 1 1 λ2 n 1 1 λn

3 2 α0 76 6 7 6 α1 7 7=6 74 5 ... 5 4 αn

3 e λ1 t e λ2 t 7 7 ... 5 e λn t

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Ejemplo: Encontrar la solución de la ecuación diferencial x˙ = Ax x10 4 5 con x (0) = y con A = . x20 2 3 Solución: Como ya se calculó: λ1 = 1, λ2 = 2, formamos el sistema 1 1

1 2

α0 α1

=

e t e 2t

,

de donde α0 α1

=

1 3

e t e 2t

2 1 1 2

JJRP

=

2 t + 1 e 2t 3e 3 1 t + 2 e 2t e 3 3

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Sustituyendo en e At = α0 I + α1 A, se obtiene e At =

2 t 3e

+ 31 e 2t

e At =

1 0 + 0 1 2 t + 3e 2t 3e 2 t + 31 e 2t 3e

1 t 3e 5 t 3e 5 t 3e

+ 23 e 2t

4 2

10 2t 3 e 5 2t 3e

por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial es x (t ) =

2 t + 3e 2t 3e 2 t + 1 e 2t 3e 3

JJRP

5 t 3e 5 t 3e

10 2t 3 e 5 2t 3e

x10 x20

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5 3

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Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At

Tarea: Obtener e At para A =

0 1 1 0

JJRP

.

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