Valores y Vectores Propios Departamento de Matem´aticas, CSI/ITESM 1 de abril de 2009

´Indice 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6.

9.1.

Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinaci´ on de los valores propios . . . . El teorema del factor . . . . . . . . . . . . . Multiplicidad algebraica de un valor propio Espacios Invariantes . . . . . . . . . . . . . Multiplicidad geom´etrica de un valor propio

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1 2 5 6 6 7

Definiciones

Definici´ on Sea A una matriz cuadrada, un n´ umero real λ se dice que es un valor propio o un eigenvalor o un valor caracter´ıstico de A si existe un vector, diferente del vector cero, x tal que: Ax = λx Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicaci´ on por A el vector resultante mantiene su direcci´on, posiblemente s´olo su longitud y/o sentido se modifique. El vector x se llama vector propio o eigenvector asociado al valor propio λ. Ejemplo Para la matriz A indique cu´ ales vectores son vectores propios.   1 2 A= 2 1         1 2 −1 0 v1 = , v2 = , v3 = , v4 = 1 3 1 2 Soluci´ on Debemos multiplicar cada vector por la matriz A y ver si el vector resultante es un m´ ultiplo escalar del vector.        1 2 1 3 1 Av1 = = =3 2 1 1 3 1 v1 s´ı es vector propio de A asociado al valor propio 3.        1 2 2 8 2 Av2 = = 6= k 2 1 3 7 3 v2 no es vector propio de A. Av3 =



1 2 2 1



−1 1



=



1 −1



= −1



−1 1



v3 s´ı es vector propio de A asociado al valor propio -1.        0 4 0 1 2 6= k = Av4 = 2 2 2 2 1 v4 no es vector propio de A. Ejercicio 1 Cu´ales son vectores propios a la matriz − 33 2

51 2

27 2

 83 A=  −4

121 4

57 4

− 75 4

− 27 4



57 4

   



           −3 −1 4 6 1 0  −3  ,  2  ,  2  ,  8  ,  −1  ,  1  2 −5 2 −6 4 −1 Ejemplo El vector



 2 v= 4  −4

es un vector propio de la matriz  5 0 3  1 18 A =  16 5 5 −2 0 −2 

Determine el valor propio al cual est´a asociado. Soluci´ on Determinemos Av:        2 −2 2 5 0 3  16 1 18   4  =  −4  = −1  4  5 5 −4 4 −2 0 −2 −4 Por tanto, v est´a asociado al valor propio λ = −1 de la matriz A. Ejercicio 2 Los vectores

       9 0 1 −3  −2  ,  2  ,  6  ,  6  −3 0 −2 1 

s´ı son vectores propios de la matriz  5 0 3 . 1 18 A =  16 5 5 −2 0 −2 

Determine los valores propios a los cuales est´an asociados.

2

9.2.

Determinaci´ on de los valores propios

Sea λo un valor propio de la matriz cuadrada A, as´ı existe un vector diferente cero de xo tal que: Axo = λo xo = λo In xo Por tanto: Axo − λo In xo = (A − λo In ) xo = 0 Si B = A − λo In lo anterior significa que el sistema homog´eneo n × n Bx = 0 tiene adem´as de la soluci´ on trivial otra soluci´ on (x = xo 6= 0). Por consiguiente, no tiene soluci´ on u ´nica. por tanto, el determinante de la matriz B debe ser cero: det(B) = det (A − λo In ) = 0. Resumiendo: Todo valor propio λo debe ser ra´ız del polinomio caracter´ıstico asociado a A: pA (λ) = det (A − λIn )

(1)

y un vector propio asociado al valor propio λ debe ser soluci´ on al sistema homog´eneo: (A − λIn ) x = 0

(2)

Ejemplo Determine los valores y los vectores propios correspondientes de las matrices:       1 2 1 1 1 2 A1 = , A2 = , A3 = 2 1 0 1 −1 2 Soluci´ on Para A1 : pA (λ) = det (A − λI2 ) = det



1 2 2 1



−λ



1 0 0 1



     1−λ 2 λ 0 1 2 = det pA1 (λ) = det − 2 1−λ 0 λ 2 1 1−λ 2 = (1 − λ)2 − 4 pA1 (λ) = 2 1−λ 

pA1 (λ) = λ2 − 2λ − 3 = (λ − 3) (λ + 1)

Por tanto, los u ´nicos valores propios de A1 son λ1 = 3 y λ2 = −1. Vector propio para λ1 = 3 Debe ser soluci´ on al sistema homog´eneo: (A1 − λI2 ) x = 0 Es decir:



1 2 2 1



− (3)



3

1 0 0 1



x=0

Y

Desarrollando y finalmente aplicando Gauss-Jordan:       −2 2 0 1−3 2 1 −1 0 x=0→ → 2 1−3 2 −2 0 0 0 0 Convirtiendo en ecuaci´on y poniendo en la notaci´ on vectorial:     1 x =y x−y =0→x=y → 1 y Lo anterior indica que cualquier vector de la forma:   1 y 1 es un vector propio asociado a λ1 = 3; nosotros nos conformaremos con uno: digamos el que se obtiene para y = 1:   1 1 Vector propio para λ2 = −1 Debe ser soluci´ on al sistema homog´eneo: (A1 − λI2 ) x = 0 Es decir:



1 2 2 1



− (−1)



1 0 0 1



x=0

Desarrollando y finalmente aplicando Gauss-Jordan:       1+1 2 2 2 0 1 1 0 x=0→ → 2 1+1 2 2 0 0 0 0 Convirtiendo en ecuaci´on y poniendo en la notaci´ on vectorial:     x −1 x + y = 0 → x = −y → =y y 1 Lo anterior indica que cualquier vector de la forma:   −1 y 1 es un vector propio asociado a λ2 = −1; nosotros nos conformaremos con uno: digamos el que se obtiene para y = 1:   −1 1 Para la matriz A2 : pA2 (λ) = det



1 1 0 1



−



λ 0 0 λ



1−λ 1 pA2 (λ) = 0 1−λ 4

= det



1−λ 1 0 1−λ

= (1 − λ)2



Por tanto, el u ´nico valor propio de A2 es λ1 = 1. Vector propio para λ1 = 1 Debe ser soluci´ on al sistema homog´eneo: (A2 − λI2 ) x = 0 Es decir:



1 1 0 1



− (1)



1 0 0 1



x=0

Desarrollando y finalmente aplicando Gauss-Jordan:       0 1 0 1−1 1 0 1 0 → x=0→ 0 0 0 0 0 0 0 1−1 Convirtiendo en ecuaci´on y poniendo en la notaci´ on vectorial:     1 x =x y=0→ 0 y Lo anterior indica que cualquier vector de la forma: x



1 0



es un vector propio asociado a λ1 = 1; nosotros nos conformaremos con uno: digamos el que se obtiene para y = 1:   1 0 Para la matriz A3 : pA3 (λ) = det



1 2 −1 2



−



λ 0 0 λ



= det



1−λ 2 −1 2 − λ



El polinomio caracter´ıstico queda: pA3 (t) = t2 − 3 t + 4 Como este polinomio tiene ra´ıces complejas, A3 no tiene valores ni vectores propios⋄ Ejercicio 3 Determine el polinomio caracter´ıstico, los valores propios, y  7 9 − 12 4 −4  5 11 − 85 A= 8  −4 − 15 4

9.3.

− 63 8

17 8

vectores propios asociados a la matriz:    

El teorema del factor

De los cursos b´asicos de ecuaciones algebraicas es importante recordar el teorema del factor: Teorema 9.1 Sea p(x) un polinomio. Un n´ umero c es ra´ız del polinomio p(x), es decir p(x = c) = 0 si y s´olo si x − c divide a p(x). Es decir, al hacer la divisi´ on de p(x) entre x − c el residuo es cero. 5

De hecho, p(c) es precisamente el residuo de la divisi´ on de p(x) entre x − c. Y este residuo puede calcularse por medio de un proceso elemental conocido como divisi´ on sint´etica: an an−1 ··· − c · an ··· an an−1 + c · an · · ·

9.4.

a1 ·

a0 c · p(c)

Multiplicidad algebraica de un valor propio

Definici´ on Sea A una matriz cuadrada y λo un valor propio. Como hemos visto λ debe ser ra´ız del polinomio caracter´ıstico de A pA (λ) as´ı: (λ − λo ) | pA (λ) Al mayor exponente m que cumple pA (λ) = (λ − λo )m q(λ) le llamaremos la multiplicidad algebraica de λo . Ejercicio 4 Determine la multiplicidad algebraica de cada uno de los vectores propios de la matriz   5 −5 −2 3  A =  −3 −2 7 −5 −4

9.5.

Espacios Invariantes

Teorema 9.2 Sea A una matriz cuadrada y λ un escalar cualquiera entonces {x ∈ Rn |Ax = λx} es un subespacio lineal de Rn . Demostraci´ on 1. No es vac´ıo pues: A0 = 0 = λ0. Es decir, 0 es un elemento del conjunto. 2. Si Ax1 = λx1 y Ax2 = λx2 : A (x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 = λx1 + λx2 = λ (x1 + x2 ) Es decir, que si x1 y x2 son elementos del conjunto, la suma de ellos tambi´en es un vector en el conjunto al cumplir la propiedad que define al conjunto. 3. Si Ax1 = λx1 : A (cx1 ) = cAx1 = cλx1 = λ (cx1 ) Es decir, que si un vector x1 pertence al conjunto y c es un escalar cualquiera, entonces, el vector cx1 tambi´en pertenece al conjunto al cumplir la propiedad. 6

Por tanto, el conjunto dado es un espacio lineal⋄ Observe que en la afirmaci´ on del teorema anterior no se requiere que el escalar λ sea un valor propio. Sin embargo, el conjunto anterior es diferente de {0} s´olo cuando el valor λ es efectivamente un valor propio. Ejercicio 5 Demuestre que si V es un espacio lineal y posee al menos un vector diferente del vector cero, entonces la dimensi´ on es mayor que 1. Sugerencia. Tome el vector que no es cero, y forme un conjunto s´olo con ´el: muestre que el conjunto es linealmente independiente.

9.6.

Multiplicidad geom´ etrica de un valor propio

Definici´ on Por el resultado anterior: Siendo λo un valor propio el anterior conjunto es un espacio lineal diferente de {0} as´ı tiene dimensi´ on mayor que cero: la dimensi´ on del espacio anterior se llamar´ a multiplicidad geom´etrica del valor propio λo . Teorema 9.3 La dimensi´ on geom´etrica de un valor propio es menor o igual que la dimensi´ on algebraica. Ejemplo Determine la dimensi´ on y una base para el espacio propio asociado a λ = −3 para la matriz:  7 9  − 21 4 −4   5 11 − 85  A= 8  −4  − 15 4

− 63 8

17 8

Soluci´ on El espacio propio de un valor λ es el conjunto de soluciones al sistema homog´eneo: (A − λI) x = 0 En este caso queda: 

 5/2 7/4 −9/4 0 35/8 −5/8 0  [A − (−3)I|0] =  −5/4 −15/4 −63/8 41/8 0 Despu´es de eliminaci´ on gaussiana obtenemos: 

 1 0 −2/3 0  0 1 −1/3 0  0 0 0 0

Como s´olo hay una variable libre, entonces la dimensi´ on geom´etrica del espacio propio de λ = −3 es 1. Y una base es:    2/3   1/3    1

7

Como se trabaja en R3 , el espacio propio es una l´ınea que pasa por el origen y que tiene direcci´on < 2/3, 1/3, 1 >′ por consiguiente tiene ecuaciones sim´etricas: x−0 y−0 z−0 = = ⋄ 2/3 1/3 1 Ejercicio 6 Determine la dimensi´ on y una base para el espacio propio asociado a λ = −2 para la matriz:   5 −5 −2 3  A =  −3 −2 7 −5 −4 En este ejemplo debido a estar en ℜ3 los espacios deber´ıan ser {0}, l´ıneas, planos o todo ℜ3 : ¿Cu´ al caso aplica? En caso de ser posible, encuentre la(s) ecuaciones correspondientes.

Teorema 9.4 Si los vectores v1 , v2 , . . . , vk son vectores propios asociados a valores propios diferentes entonces el conjunto formado por ellos es linealmente independiente. Demostraci´ on Llamemos λi al valor propio al cual est´a asociado el vector vi . Supongamos que el conjunto de vectores es linealmente dependiente. Puesto que ning´ un vector propio puede ser el vector cero , de esta suposici´ on deducimos entonces que un vector vi debe ser combinaci´ on lineal de los anteriores. Escojamos aqu´el que tiene el menor ´ındice posible, digamos j , as´ı: vj es combinaci´ on lineal de los vectores v1 ,. . . ,vj−1 y ning´ un vector vi es combinaci´ on lineal de los anteriores para i = 2, 3, . . . , j − 1. Tenemos vj = c1 v1 + c2 v2 + · · · + cj−1 vj−1 Multiplicando por A, y utilizando que cada v es vector propio, obtenemos λj vj = c1 λ1 v1 + · · · + cj−1 λj−1 vj−1 Si multiplicamos la primera de estas ecuaciones por λj y se la restamos a la segunda obtenemos: 0 = c1 (λ1 − λj ) v1 + · · · + cj−1 (λj−1 − λj ) vj−1 Como el conjunto formado por los vectores v1 ,. . . ,vj−1 es linealmente independiente , al no ser un vector combinaci´ on de los restantes , se deduce que todos los coeficientes de esta u ´ltima ecuaci´on deben ser cero: ci (λi − λj ) = 0 para i = 1, . . . , j − 1 Como los valores propios son diferentes entre si: λi − λj 6= 0. As´ı son los ci = 0 para i = 1, . . . , j − 1. As´ı la f´ ormula inincial de este teorema queda: vj = 0v1 + · · · + 0vj−1 = 0 Pero esto es imposible pues ning´ un vector propio es el vector cero. Esta contradicci´ on afirma que el conjunto formado por los vectores es linealmente independiente⋄ Ejercicio 7 Investigue c´omo se obtienen los valores y vectores propios en una calculadora avanzada. Docum´entese de cu´ al es el formato en el cual se presentan los resultados. 8