Unidad IV

Á lg ebr a

Esquema conceptual: Unidad IV

2. Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas

Ecuaciones dependientes Ecuaciones independientes Ecuaciones incompletas

Métodos gráficos Estrategia de eliminación por igualación

3. Solución de sistemas de tres ecuaciones lineales en tres incógnitas

1. Sistemas de ecuaciones lineales

UNIDAD IV Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

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7. Resolución de un sistema de 3x3 por regla de Kramer Aplicación de determinantes en la solución de sistemas de ecuaciones lineales

4. Determinantes de 2x2

6. Regla de Sarrus

5. Determinantes de 3x3

Definición de matriz Representación matricial de un sistema de valores Determinantes

Semana 7

Unida d IV. Siste ma s de ecuacione s line a le s y matr ice s

Presentación

U

na ecuación es una expresión que contiene una o más incógnitas o variables. Mediante operaciones algebraicas, es posible determinar los valores de dichas variables. En diversas aplicaciones, tanto de las ciencias matemáticas como de la administración, los problemas se plantean en términos de más de una ecuación, los cuales forman parte de un sistema que debe resolverse simultáneamente ya que el valor hallado para las incógnitas es el mismo para todas las ecuaciones del sistema.

Objetivos específicos r
El alumno resolverá sistemas de ecuaciones lineales.

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Tema y subtemas IV Sistemas de ecuaciones lineales y matrices IV.1

Sistema de ecuaciones lineales

IV.2

Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas

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IV.1 Sistema de ecuaciones lineales Definición de sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de m ecuaciones de primer grado con n incógnitas cuyos valores, una vez hallados, resuelven (o satisfacen) a todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Ejemplo: 4x + 3y = 10 2x + 5y = 11 es un sistema de ecuaciones lineales con m = 2 (dos ecuaciones) y n = 2 (dos incógnitas), en donde la solución es x = 1 , y = 2 que satisface simultáneamente ambas ecuaciones del sistema.

Ecuaciones dependientes Características de las ecuaciones dependientes

Cuando las ecuaciones de un sistema son múltiplos entre sí, el sistema tiene un número infinito de soluciones. Por ejemplo, en el sistema: x+y=6 2x + 2y = 12

100

La segunda ecuación equivale a la primera ecuación multiplicada por dos (es decir, la segunda ecuación es múltiplo de la primera), por lo tanto, el sistema tiene un número infinito de soluciones, lo que en la práctica no es de utilidad para la resolución de problemas. Una solución es x = 4, y = 2 y otra x = 5 , y = 1, son dos de un número infinito de soluciones.

Ecuaciones independientes Características de las ecuaciones independientes

Cuando las ecuaciones de un sistema no son múltiplos entre sí (es decir, ninguna de ellas puede obtenerse a partir del producto de otra multiplicada por determinado valor), se dice que son ecuaciones independientes y, en consecuencia, tienen solución única, lo que es de gran utilidad en la solución de problemas prácticos. Por ejemplo, el sistema 4x + 3y = 22 2x + 5y = 18 tiene sus dos ecuaciones independientes, por lo que la solución única es: x=4,y=2

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Ecuaciones incompatibles Se dice que un sistema de ecuaciones es incompatible si, pese a conformarse de ecuaciones independientes, éstas no tienen solución en común. Por ejemplo, el sistema:

Características de las ecuaciones incompatibles

3x + 6y = 30 6x + 12y = 15 se conforma de ecuaciones incompatibles debido a que no existen valores de x y y, que resuelvan ambas ecuaciones en forma simultánea.

IV.2 Solución de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas Métodos gráficos La primera técnica para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas es el método gráfico. Considerando que la gráfica de una ecuación de primer grado corresponde a una recta, se procede a graficar ambas ecuaciones en el plano cartesiano para determinar visualmente las coordenadas (x y y) en donde la rectas se cortan. Ejercicio. Resolver el sistema por el método gráfico: 2x + y = 0 x + y = −1 Solución: Se procede a graficar ambas ecuaciones, despejando en ambas. y = −2x y = −1 − x Puede observarse que las rectas se cortan en el punto x =1 , y = 2, y que puede comprobarse al sustituir dichos valores en el sistema original resolviéndolo de manera simultánea. 2(1) + (−2) = 0 1 + (−2) = 0

Solución de un sistema de ecuaciones a través de métodos gráficos

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2x+y, x+y 6 4 2 0 −2 −4 −6 −6

−4

−2

0

2

4

6

Estrategia de eliminación por igualación

102 Solución de un sistema de ecuaciones a través de eliminación por igualación

Este método consiste en despejar cualquiera de las dos incógnitas de ambas ecuaciones, con el fin de generar una ecuación de primer grado con una sola incógnita, es decir, se elimina la incógnita inicial. Al resolver la ecuación de primer grado mediante los pasos anteriores, ahora el valor obtenido se sustituye en cualquiera de las ecuaciones para obtener el valor de la otra incógnita. Ejercicio. Resolver el sistema: 4x + 3y = 22 [1] 2x + 5y = 18 [2] Solución: Despejamos alguna de las incógnitas, digamos x en las dos ecuaciones. Para la ecuación [1], x se despeja de la siguiente manera: 4x = 22 − 3y x=

22 − 3y 4

Para la ecuación [2], x se despeja de la siguiente manera: 2x = 18 − 5y

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x = 18 − 5y 2 Se procede ahora a igualar los valores de x obtenidos en los pasos anteriores: 22 − 3y 18 − 5y = 4 2 Así, se obtiene una ecuación con una sola incógnita, en donde la variable x ha sido eliminada. Se resuelve entonces la ecuación y tenemos: 22 − 3y 18 − 5y = 4 2 2(22 – 3y) = 4(18 − 5y) 44 − 6y = 72 − 20y 14y = 28 y=

28 14

y=2 Este valor se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones por ejemplo en [1] 4x + 3(2) = 22 4x = 16 x=

16 4

x=4 Con lo que el sistema queda resuelto.

103

Reactivos de autoevaluación Instrucciones: Selecciona la respuesta correcta: 1. Resuelve el sistema: a) x = −1, y = −3

b) x = −1, y = 3

2. Resuelve el sistema: a) x = −1, y = −2

[1] x + 4y = 13

c) x = 1, y = 3

[1] −x − y = 3

b) x = 1, y = −2

[2] 2x − y = –1

[2] x − y = 1

c) x = –1, y = 2

3. Resuelve el sistema: [1] 5x − y = −9 [2] x − 5y = 3 a) x = −2, y = −1 b) x = 2, y = −1 c) x = −2, y = 1 4. Resuelve el sistema: a) x = −3, y = 1

b) x = 3, y = 1

5. Resuelve el sistema: a) x = 5, y = 0

[1] 3x − 2y = 7

[1] 7x + y = 5

b) x = −5, y = 0

[2] −4x + 6y = −6 c) x = −3, y = −1 [2] x − 3y = −15

c) x = 0, y = 5

Instrucciones: Relaciona las columnas anotando en el paréntesis el número de la opción correcta. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Expresión que contiene una o más incógnitas: Colección de m ecuaciones con n incógnitas: Sistema con número infinito de soluciones: Sistema de ecuaciones independientes que no tienen solución en común: Técnica visual para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales: Ecuación de primer grado: Punto donde se cortan las rectas del sistema de ecuaciones: Método para comprobar la solución de un sistema de ecuaciones: La igualación de una estrategia de:

10. Ecuaciones independientes:

( ( ( (

) ) ) )

Ecuación lineal. Sistema de ecuaciones. Método gráfico. Eliminación.

(

)

( (

) )

(

)

Sistema con ecuaciones incompatibles. Sustitución. Ecuaciones que nos son múltiplo entre sí. Ecuación.

(

)

(

)

Sistema con ecuaciones dependientes. Solución del sistema.

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Glosario Despeje: Conjunto de pasos algebraicos para hallar el valor de una incógnita. Graficar: Realizar la representación de una ecuación en el eje cartesiano. Cortar: En matemáticas se refiere al punto donde se intersectan las gráficas de ecuaciones. Múltiplo: Dos valores o dos ecuaciones son múltiplos si uno divide al otro de forma exacta. Eliminación: Estrategia empleada para hallar el valor de una incógnita en un sistema de ecuaciones. Incógnita: En una ecuación, es el valor desconocido de una variable

Fuentes de información Baldor, A. (2001). Álgebra. México: Publicaciones Cultural. Grossman, S. (1998, 2a edición). Álgebra Lineal. México: Grupo Editorial Iberoamericana. Swokowski, E. (1994). Álgebra Universitaria. México: CECSA. Thompson, E. (1996). Álgebra. México: UTEHA

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