Tema 3 Formas cuadr´ aticas.

3.1.

Definici´ on y expresi´ on matricial

Definici´ on 3.1.1. Una forma cuadr´ atica sobre R es una aplicaci´ on q : Rn −→ R que a cada vector ~x = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn le hace corresponder un n´ umero real dado por: q(x1 , x2 , · · · , xn ) = a11 x21 +a22 x22 +· · ·+ann x2n +2a12 x1 x2 +· · ·+2a1n x1 xn +· · ·+2an−1n xn−1 xn con aij ∈ R, ∀i, j = 1, 2, · · · , n, y que corresponde a un polinomio homog´eneo de segundo grado en las n variables x1 , x2 , · · · xn .

Esta expresi´ on polin´ omica puede expresarse como una expresi´on matricial de la forma;    a11 a12 · · · a1n x1    a    12 a22 · · · a2n   x2  q(x1 , x2 , · · · , xn ) = (x1 , x2 , · · · , xn )     = X t AX  · · · · · · · · · · · ·  · · ·     a1n a2n · · · ann xn donde la matriz A asociada a la forma cuadr´atica, es una matriz sim´etrica de orden n cuyos elementos de la diagonal principal son los coeficientes de los t´erminos cuadr´aticos de la expresi´ on polin´ omica, y los restantes elementos de la matriz son la mitad de los coeficientes de los t´erminos no cuadr´aticos de dicha expresi´on. Esta relaci´ on entre los elementos de una y otra expresi´on de la forma cuadr´atica, permite obtener f´ acilmente cada una de ellas a partir de la otra.

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Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)

Ejemplos 3.1.2.

(1.) La forma cuadr´atica q : R2 −→ R cuya expresi´on polin´omica

es q(x, y) = 3x2 − 6xy + y 2 tiene por expresi´on matricial:    3 −3 x   q(x, y) = (x, y)  −3 1 y (2.) La forma cuadr´ atica q : R3  1 −1   q(x, y, z) = (x, y, z) −1 −2 2 1

−→ R cuya expresi´on matricial es:   x 2     1 y   tiene por expresi´on polin´omica: z 0

q(x, y, z) = x2 − 2y 2 − 2xy + 4xz + 2yz

3.2.

Expresi´ on diagonal de una forma cuadr´ atica

Una expresi´ on diagonal o can´ onica de una forma cuadr´atica q : Rn −→ R viene dada por: 

d1

0

···

  0  q(x1 , x2 , · · · , xn ) = d1 x21 +d2 x22 +· · ·+dn x2n = (x1 , x2 , · · · , xn )  · · · 

d2

···

···

···

0

···

0

0



x1



    0   x2      · · ·  · · · dn

xn

es decir, la expresi´ on polin´ omica s´olo contiene t´erminos cuadr´aticos y la matriz asociada es diagonal. Cualquier forma cuadr´ atica admite, al menos, una expresi´on diagonal que es la que viene dada por los autovalores de la matriz asociada, aunque, bajo ciertas condiciones, tambi´en pueden existir otras expresiones diagonales. Teorema 3.2.1. (Expresi´ on diagonal por autovalores). Para toda forma cuadr´ atica q : Rn −→ R, con A su matriz asociada, y λ1 , λ2 , · · · , λn los autovalores de A, existe una expresi´ on diagonal dada por q(x1 , x2 , · · · , xn ) = λ1 x21 + λ2 x22 + · · · + λn x2n . Ejemplo 3.2.2. Sea la forma cuadr´atica q : R3 −→ R dada por:  3 −2  2 2 2 q(x, y, z) = 3x + 3y + 5z − 4xy = (x, y, z)  −2 3 0 0

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  0 x     0  y  5 z

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La matriz asociada A tiene los autovalores λ1 = 1, λ2 = λ3 = 5 por lo que una expresi´on diagonal de q es q(x, y, z) = x2 + 5y 2 + 5z 2 .

Teorema 3.2.3. (Expresi´ on diagonal de Jacobi). Sea una forma cuadr´ atica q : Rn −→ R , A su matriz asociada, D1 , D2 , · · · , Dn los menores principales de A (los formados con las i primeras filas y las i primeras columnas) y rg(A) = r ≤ n. La expresi´ on diagonal de Jacobi de la forma cuadr´ atica q viene dada por: q(x1 , x2 , · · · , xn ) = D1 x21 +

D2 2 Dr 2 x + ··· + x , D1 2 Dr−1 r

siempre que D1 6= 0, D2 6= 0, · · · , Dr 6= 0.

Ejemplo 3.2.4. Sea q la forma cuadr´atica del ejemplo anterior: Los menores principales 3 −2 0 3 −2 son D1 = 3, D2 = = 5, D3 = −2 3 0 = 25 Como rg(A) = 3 y los tres −2 3 0 0 5 menores principales son distintos de cero, la expresi´on diagonal de Jacobi es: 5 25 5 q(x, y, z) = 3x2 + y 2 + z 2 = 3x2 + y 2 + 5z 2 . 3 5 3

3.3.

Clasificaci´ on de las formas cuadr´ aticas

Definici´ on 3.3.1. Sea q : Rn −→ R una forma cuadr´ atica y ~x = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn . Se dice que: q(~x) es definida positiva si q(~x) > 0, ∀~x ∈ Rn , ~x 6= ~0. q(~x) es definida negativa si q(~x) < 0, ∀~x ∈ Rn , ~x 6= ~0. q(~x) es semidefinida positiva si q(~x) ≥ 0, ∀~x ∈ Rn , y ∃~u 6= ~0 : q(~u) = 0. q(~x) es semidefinida negativa si q(~x) ≤ 0, ∀~x ∈ Rn , y ∃~u 6= ~0 : q(~u) = 0. q(~x) es indefinida si ∃~u, ~v ∈ Rn : q(~u) > 0, q(~v ) < 0.

Ejemplos 3.3.2.

La forma cuadr´atica q(x, y) = x2 + y 2 es definida positiva pues al

ser una suma de cuadrados ser´a positiva salvo para el vector nulo.

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La forma cuadr´ atica q(x, y) = (x − y)2 es semidefinida positiva pues q(x, y) ≥ 0 ∀(x, y) ∈ R2 y q(x, x) = 0. La forma cuadr´ atica q(x, y) = x2 − y 2 es indefinida pues q(1, 2) = −3 y q(2, 1) = 3.

Vamos a estudiar unas caracterizaciones del signo de una forma cuadr´aticas que vienen dadas, bien por los autovalores de su matriz asociada, bien por los menores principales de dicha matriz. Proposici´ on 3.3.3. Sea q : Rn −→ R una forma cuadr´ atica y λ1 , λ2 , · · · , λn los autovalores de su matriz asociada.Se verifica: q(~x) es definida positiva si y s´ olo si los autovalores de A son todos positivos. q(~x) es definida negativa si y s´ olo si los autovalores de A son todos negativos. q(~x) es semidefinida positiva si y s´ olo si los autovalores de A son positivos y nulos. q(~x) es semidefinida negativa si y s´ olo si los autovalores de A son negativos y nulos. q(~x) es indefinida si y s´ olo si los autovalores de A son positivos y negativos.

Proposici´ on 3.3.4. Sea q : Rn −→ R una forma cuadr´ atica, A su matriz asociada, Di : 1 ≤ i ≤ n los menores principales de A, y r = rg(A). 1 |A| = 6 0 (nunca es semidefinida y r = n) • Si D1 > 0, D2 > 0, · · · , Dn > 0, entonces q es definida positiva. • Si D1 < 0, D2 > 0, · · · , (−1)n Dn > 0, entonces q es definida negativa. • Indefinida en otro caso. 2 |A| = 0 (nunca es definida y r < n) a) ∀i : 1 ≤ i ≤ r, Di 6= 0: ◦ Si D1 > 0, D2 > 0, · · · , Dr > 0, entonces q es semidefinida positiva. ◦ Si D1 < 0, D2 > 0, · · · , (−1)r Dr > 0, entonces q es semidefinida negativa. ◦ Indefinida en otro caso. b) ∃i : 1 ≤ i ≤ r, : Di = 0. Este criterio no se puede aplicar.

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Grupos A y D

3.4.

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Formas cuadr´ aticas restringidas

En el estudio del signo de una forma cuadr´atica real de n variables es frecuente que ´estas tengan que satisfacer un conjunto de restricciones, o lo que es lo mismo, que el vector ~x pertenezca a alg´ un subespacio de Rn . Por tanto, interesa clasificar la forma cuadr´atica en el subespacio en el que est´ an restringidas las variables. Definici´ on 3.4.1. Sean q : Rn −→ R una forma cuadr´ atica y E un subespacio vectorial de Rn . q restringida a E es definida positiva si q(~x) > 0, ∀~x ∈ E, ~x 6= ~0. q restringida a E es definida negativa si q(~x) < 0, ∀~x ∈ E, ~x 6= ~0. q restringida a E es semidefinida positiva si q(~x) ≥ 0, ∀~x ∈ E, y ∃~u ∈ E, ~u 6= ~0 : q(~u) = 0. q restringida a E es semidefinida negativa si q(~x) ≤ 0, ∀~x ∈ E, y ∃~u ∈ E, ~u 6= ~0 : q(~u) = 0.. q(~x) es indefinida si ∃~u, ~v ∈ E : q(~u) > 0, q(~v ) < 0.

Clasificaci´ on de una forma cuadr´ atica restringida a un subespacio Se obtienen las ecuaciones param´etricas del subespacio:    x1     x2 ..   .     xn

=

α1 u11 + α2 u21 + · · · + αk uk1

=

α1 u12 + α2 u22 + · · · + αk uk2 .. .

=

α1 u1n + α2 u2n + · · · + αk ukn

α1 , α2 , · · · , αn ∈ R.

Se sustituyen las ecuaciones param´etricas en la expresi´on anal´ıtica de la forma cuadr´ atica. Se clasifica la forma cuadr´ atica restringida

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q|E (α1 , α2 , · · · , αn ).

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3.5.

Matem´aticas (Grado en Qu´ımica)

Ejercicios resueltos

1.- Obtener la expresi´ on matricial y una forma diagonal de las siguientes formas cuadr´aticas: a) q(x, y) = 2x2 + 6xy + 2y 2  2 La expresi´ on matricial es: q(x, y) = (x, y)  3

  3 x   2 y

Para obtener le expresi´on diagonal podemos usar el m´etodo de Jacobi o los autovalores: 2 − λ |A − λI| = 3

3 = 0 tiene como soluci´on λ = 5, λ = −1, por lo que 2 − λ

una expresi´ on diagonal ser´a: q(x, y) = 5x2 − y 2 .

Como los menores principales de A son D1 = 2, D2 = |A| = −5, la expresi´on 5 diagonal de Jacobi es: q(x, y) = 2x2 − y 2 . 2    0 4 x   . b) q(x, y) = 8xy. Su expresi´on matricial: q(x, y) = (x, y)  4 0 y Como D1 = 0 no existe la expresi´on diagonal de Jacobi, utilizamos, por tanto, la de los autovalores: −λ 4 = 0 tiene como soluci´on λ = 4, λ = −4, por lo que una |A − λI| = 4 −λ expresi´ on diagonal ser´ a: q(x, y) = 4x2 − 4y 2 . c) q(x, y, z) = 3x2 + 3z 2 + 4xy + 8xz + 4yz.  3 2   Matricialmente: q(x, y, z) = (x, y, z) 2 0 4 2

  x 4     2 y  . z 3 0 2 = −4, D3 = |A| = 8, por lo Los menores principales son: D1 = 3, D2 = 2 0 que la expresi´ on diagonal de Jacobi es: 4 8 4 q(x, y, z) = 3x2 − y 2 − z 2 = 3x2 − y 2 −2z 2 . Dado que los autovalores de A son 3 4 3 λ = −1 (doble) y λ = 8, una expresi´on diagonal ser´a: q(x, y, z) = −x2 −y 2 +8z 2 .

d) q(x, y, z) = 2xy − 2xz + 2yz.

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Grupos A y D

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

0

 En forma matricial: q(x, y, z) = (x, y, z)  1 −1

  x     1  y  . z 0

1 −1 0 1

Como D1 = 0, no podemos utilizar la expresi´on diagonal de Jacobi, lo que nos obliga a calcular los autovalores de A: −λ 1 −1 |A − λI| = 1 −λ 1 = −λ3 + 3λ − 2 = 0, que tiene por soluci´on: λ = 1 −1 1 −λ (doble) y λ = −2, por lo que una forma diagonal ser´a: q(x, y, z) = x2 + y 2 − 2z 2 .

2.- Obtener la expresi´ on anal´ıtica y una expresi´on diagonal de las formas cuadr´aticas cuya matriz es:  −2  a) A =  4 0

4 −8 0

 0  0 . 1

La expresi´ on anal´ıtica la obtenemos:    −2 4 0 x    2 2 2    q(x, y, z) = (x, y, z)  4 −8 0 y   = −2x − 8y + z + 8xy 0 0 1 z −2 4 = 0, no existe la expresi´on diagonal de Jacobi. Como D2 = 4 −8 −2 − λ 4 0 Los autovalores: |A − λI| = 4 −8 − λ 0 = (1 − λ)(λ2 + 10λ) = 0, 0 0 1 − λ que tiene por soluci´ on: λ = 1, λ = 0 y λ = −10, por lo que una forma diagonal ser´ a: q(x, y, z) = x2 − 10z 2 .   1 0 −1    b) A =   0 2 0 . −1 0 1 La expresi´ on anal´ıtica la  1  q(x, y, z) = (x, y, z)  0 −1

obtenemos:   0 −1 x   2 2 2   2 0  y  = x + 2y + z − 2xz 0 1 z

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Los menores principales de A son D1 = 1, D2 = 2, D3 = 0, pero como el rango de A es 2, puede obtenerse la expresi´on diagonal de Jacobi que ser´a: q(x, y, z) = x2 + 2y 2 . Los autovalores de A son λ = 0 y λ = 2 (doble) por lo que tambi´en podemos escribir: q(x, y, z) = 2y 2 + 2z 2 .

3.- Clasificar las formas cuadr´ aticas: a) q(x, y) = x2 − 2xy + 4y 2 .  La matriz asociada es: A = 

1 −1

 −1  y los menores principales son: 4

D1 = 1 > 0, D2 = 3 > 0, por lo que la forma cuadr´atica es definida positiva. b) q(x, y) = −4xy + 3y 2 

0

 −2 . Como D1 = 0, no podemos utilizar 3

La matriz asociada es: A =  −2 este m´etodo de clasificaci´on. −λ −2 = λ2 − 3λ − 4 = 0 cuya soluci´on es Por los autovalores: |A − λI| = −2 3 − λ λ = −1, λ = 4, por lo que la forma cuadr´atica es indefinida. c) q(x, y, z) = x2 + 4xy + 4y 2 + 3z 2  1 2  La matriz asociada es: A =  2 4 0 0 utilizar el m´etodo de los menores

 0  0 . Como |A| = 0 y D2 = 0, no podemos 3 principales por ello, hay que calcular los 1 − λ 2 0 autovalores de la matriz: |A − λI| = 2 4 − λ 0 = 0, cuya soluci´on es 0 03 − λ λ = 0, λ = 3, λ = 5, por lo que la forma cuadr´atica es semidefinida positiva.

d) q(x, y, z) = −3x2 + 2xy − y 2 + z 2   −3 1 0    La matriz asociada es: A =   1 −1 0. Los menores principales: 0 0 1 D1 = −3 < 0, D2 = 2 > 0, D3 = 2 > 0, por lo que la forma cuadr´atica es indefinida.

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e) q(x, y, z) = −x2 − 3y 2 − 3z 2 + 4yz   −1 0 0    La matriz asociada es: A =   0 −3 2 . Los menores principales: 0 2 −3 D1 = −1 < 0, D2 = 3 > 0, D3 = −5 < 0, por lo que la forma cuadr´atica es definida negativa.

4.- Calcular el valor del par´ ametro a para que la forma cuadr´atica q(x, y, z) = 3x2 + 2xy + y 2 − 2axz + 3z 2 sea semidefinida positiva. 

3

1

 La matriz de la forma cuadr´atica es: A =   1

1

−a

0

 −a  0  . 3

Se verifica que D1 = 3 > 0, D2 = 2 > 0, por lo que para que q sea semidefinida positiva debe ser D3 = 0, es decir: 3 1 1 1 −a 0

−a √ 0 = 6 − a2 = 0, =⇒ a = ± 6. 3

5.- Clasificar las siguientes formas cuadr´aticas restringidas a los subespacios: S1 = {(x, y) ∈ R2 : x − y = 0},

S2 = {(x, y) ∈ R2 : x + 5y = 0}

a) q(x, y) = 3x2 − 2xy + y 2 

3

La matriz asociada a q es A =  −1

 −1 . 1

Sus menores principales son D1 = 3 > 0, D2 = 2 > 0, por lo que la forma cuadr´ atica es definida positiva, por tanto, restringida a cualquier subespacio seguir´ a siendo definida positiva. b) q(x, y) = −x2 + 2xy  −1 La matriz asociada a q es A =  1

 1 . 0

Sus menores principales son D1 = −1 < 0, D2 = −1 < 0, por lo que la forma cuadr´ atica es indefinida.

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Restringida a S1 , se tiene que x = y, por tanto q|S1 = −x2 +2xx = −x2 +2x2 = x2 > 0 ∀(x, y) 6= (0, 0), por tanto es definida positiva. Restringida a S2 , se tiene que x = −5y, por tanto q|S2 = −(−5y)2 + 2(−5y)y = −35y 2 < 0 ∀(x, y) 6= (0, 0), por tanto es definida negativa.

6.- Clasificar las siguientes formas cuadr´aticas restringidas a los subespacios: S1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x − y + z = 0},

S2 = h(0, 1, 1)i

a) q(x, y, z) = 2xy + 2xz + 2yz   0 1 1   . Para clasificarla debemos utilizar los La matriz asociada es A =  1 0 1   1 1 0 autovalores, pues D1 = 0. −λ 1 1 1 −λ 1 = 0 cuyas soluciones son λ = 2, λ = −1 (doble), por lo que la 1 1 −λ forma cuadr´ atica es indefinida. Restringida a S1 se tiene que x − y + z = 0 de donde y = x + z que sustituido es q queda:  2 q(x, z) = 2x(x + z) + 2xz + 2(x + z)z = 2x2 + 6xz + 2z 2 = (x, z)  3

  x   . 2 z 3

Los menores principales son D1 = 2 > 0, D2 = −5 < 0, por tanto tambi´en es indefinida si se restringe a S1 . Restringida a S2 = h(0, 1, 1)i, sus ecuaciones param´etricas son x = 0, y = α, z = α, que sustituidos estos valores en q queda: q(α) = 2 · 0α + 2 · 0α + 2αα = 2α2 > 0∀α 6= 0 que es definida positiva. b) q(x, y, z) = 2x2 − 2xy + 3y 2 

 0    La matriz asociada es A =  −1 3 0. 0 0 0 Como D1 = 2 > 0, D2 = 5 > 0, D3 = 0, la forma cuadr´atica es semidefinida 2

−1

positiva. Restringida a S1 se tiene que x − y + z = 0 de donde z = y − x que sustituido es q queda:

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

2

q(x, y) = 2x2 − 2xy + 3y 2 = (x, y)  −1

  −1 x   . 3 y

Los menores principales son D1 = 2 > 0, D2 = 5 > 0, por tanto es definida positiva si se restringe a S1 . Si la restringimos a S2 = h(0, 1, 1)i, sus ecuaciones param´etricas son x = 0, y = α, z = α, que sustituidos estos valores en q queda: q(α) = 2 · 0 − 2 · 0α + 3α2 = 3α2 > 0∀α 6= 0 que es definida positiva.

3.6.

Ejercicios propuestos

1.- Calcular la expresi´ on matricial de las formas cuadr´aticas cuyas expresiones anal´ıticas son: a) q(x, y) = −2x2 − 2xy + 5y 2 b) q(x, y, z) = x2 + y 2 + 4xy − 2xz + 6yz c) q(x, y, z) = x2 − 2xy + 3z 2 − 2yz + 4xz Encontrar una expresi´ on diagonal para cada una de ellas. 2.- Calcular la expresi´ on anal´ıtica de las formas cuadr´aticas cuya matriz asociada es:       −1 1 −1 1 0 −1     0 2  , A2 =  0 1 1  A3 =  1 2 1  . A1 =      2 3 −1 1 0 −1 1 −2 Encontrar una expresi´ on diagonal para cada una de ellas. 3.- Clasificar las formas cuadr´ aticas: a) q(x, y) = 3x2 + 6xy + 3y 2 b) q(x, y) = −x2 − xy c) q(x, y, z) = x2 − y 2 − 3z 2 + 2xy + 2xz − 2yz d) q(x, y, z) = −x2 + 3z 2 − 2xy + 4xz − 2yz e) q(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + 2xy f) q(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 2xy

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4.- Clasificar la forma cuadr´ atica q(x, y, z) = x2 + y 2 − 2z 2 restringida a los subespacios: S1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x + z = 0},

S2 = h(1, 1, −1)i.

5.- Sea la forma cuadr´ atica: q(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz, se pide: a) Determinar su expresi´ on matricial. b) Encontrar una expresi´ on diagonal para q. c) Clasificar la forma cuadr´atica sin restringir y restringida al subespacio S = {(x, y, z) ∈ R3 : x − y − 2z = 0}. 6.- Sea la forma cuadr´ atica: q(x, y, z) = 2x2 − 2y 2 + 2z 2 + 2xy + 2xz + 2yz, se pide: a) Determinar su expresi´ on matricial. b) Encontrar una expresi´ on diagonal para q. c) Clasificar la forma cuadr´atica sin restringir y restringida a los subespacios S1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x − 2z = 0},

S2 = h(0, 0, −1)i,

S3 = {(x, y, z) ∈ R3 : x − z = 0, y + z = 0}.

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