Estadística Descriptiva SESIÓN 11 Medidas de dispersión

Contextualización de la sesión 11  En la sesión anterior se explicaron los temas relacionados con la

dispersión, una de las medidas de dispersión, además de los diversos temas relacionados con ella. Esta es una cuantificación del grado de alejamiento de los datos respecto a su media aritmética. Ahora es necesario conocer otra de las medidas de dispersión conocida como desviación típica o estándar y los temas relacionados con esta medida.  Al terminar esta sesión habrás comprendido el concepto de

desviación estándar relacionado con los estudios estadísticos.

Introducción de la sesión 11  Las

medidas de dispersión se asocian a la precisión estadística de las observaciones o datos muestrales. Cuando la dispersión de un conjunto de datos es muy alta, las estimaciones que se realizan en función de éstas conllevan un notable grado de imprecisión. Y en sentido inverso, cuando un conjunto de datos presenta una dispersión baja, el nivel de incertidumbre disminuye notablemente.

Explicación: Desviación típica o estándar  La desviación típica o estándar, denotada por la literal s, es una

medida de dispersión que se emplea para variables de razón (también conocidas como ratio o cociente) y para variables de intervalo. La desviación estándar se considera una medida cuadrática que representa el promedio de las desviaciones (distancias) de los datos muestrales respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.

Explicación: Desviación típica o estándar

 La fórmula para calcular la desviación estándar para

datos no agrupados está dada por la siguiente expresión:

Explicación: Desviación típica o estándar

 Dónde: n=

Número de datos o elementos de la muestra.

i=

Índice de la suma que toma los valores 1, 2, 3...n.

xi =

Valor del i-ésimo dato de la muestra.

=

Media aritmética de la muestra.

Explicación: Desviación típica o estándar

 Es importante señalar que la siguiente fórmula se

considera más apropiada para una mejor estimación de la desviación estándar de la población a partir de la muestra:

Explicación: Desviación típica o estándar Cualquiera de las fórmulas puede usarse indistintamente, pero en la práctica es común el uso de la segunda. En ésta, al cociente n – 1 se le denomina corrección de Bessel.

Calculemos la desviación estándar para el siguiente conjunto de datos no agrupados: A = {2, 4, 6, 8, 10}  De este conjunto se desprende que: n=5

x1 = 2

x2 = 4

x3 = 6

x4 = 8

x5 = 10

Explicación: Desviación típica o estándar  Con estos datos, procedemos a calcular la media aritmética

del conjunto:

 Y a continuación se sustituyen los valores anteriores en la

fórmula:

Explicación: Desviación típica o estándar

 Tal como se muestra a continuación:

Explicación: Desviación típica o estándar  Por su parte, la fórmula para calcular la desviación estándar de

datos agrupados está dada por la siguiente expresión:

 Dónde: k=

Número de intervalos de clase en la distribución de frecuencias.

n=

Número de datos o elementos de la muestra.

i=

Índice de la suma que toma los valores 1,2,3...k.

fi =

Frecuencia del i-ésimo intervalo de clase.

xi = Marca de clase del i-ésimo intervalo de la muestra. Media aritmética de la muestra.

Explicación: Desviación típica o estándar  Para calcular la desviación estándar en un conjunto de datos

agrupados, también empleamos la versión que incorpora la corrección de Bessel. Como puede observarse, cada elemento de la fórmula se toma directamente de la tabla de datos agrupados. Considerando el caso práctico de una bebida, se toma de la tabla de datos agrupados las columnas referentes a las frecuencias de clase (fi) y a las marcas de clase (xi).

Explicación: Desviación típica o estándar

 De esta tabla se obtienen los siguientes valores para las

frecuencias de clase: f1 = 5

f2 = 10

f3 = 30

f4 = 40

f5 = 15

x3 = 17.5

x4 = 22.5

x5 = 27.5

 Y para las marcas de clase: x1 = 7.5

x2 = 12.5

 Asimismo, dado que hay cinco intervalos de clase y la muestra

tiene 100 elementos, los valores de k y n respectivamente son: k=5

n = 100

 Y como ya se determinó en ejercicios anteriores:

= 20

Explicación: Desviación típica o estándar

 Ahora, sustituyendo estos valores en la respectiva

fórmula se tiene que:

Explicación: Desviación típica o estándar

 La desviación estándar es una medida de dispersión que

nos permite evaluar la incertidumbre de los datos obtenidos por la muestra; es decir, analiza todos aquellos datos que se alejan de nuestro promedio para determinar si nuestra predicción o teoría está alejada del modelo que se construyó con la muestra.

Conclusión

 En esta sesión se han explicado la desviación estándar como

una medida de dispersión, que sirve para evaluar la incertidumbre de los datos de una muestra, además, se explicó el procedimiento para el correcto cálculo de esta desviación en un conjunto de datos no agrupados y agrupados.

Conclusión

 En la siguiente sesión conocerás los temas correspondientes a

la varianza como la última de las medidas de dispersión, así como el procedimiento para su cálculo en conjuntos de datos agrupados y no agrupados.