Introducción a la Unidad I de Álgebra y Principios de Física ¿Recuerdas los devastadores estragos que ocasionó el tsunami en Indonesia en diciembre de 2004? ¿Con cuánto tiempo de anticipación se pudo avisar a los gobiernos de otros países para que pusieran a salvo sus pobladores?

Éste y muchos otros fenómenos que ocurren a nuestro alrededor y que incluyen algún tipo de movimiento pueden ser analizados con la ayuda de un lenguaje muy poderoso: el álgebra. Al comprender el funcionamiento de la naturaleza podremos obtener mayor provecho de ella y vivir mejor. En esta unidad aprenderás distintas formas de analizar el movimiento más simple que existe y con ello podrás calcular la distancia recorrida, el tiempo empleado y la velocidad de algunos objetos. ¿Te imaginas cuánto tiempo emplea la energía de un temblor de Tierra que se origina en las costas del Estado de Guerrero en llegar a la Ciudad de México?

A través del tiempo, el humano ha observado a la naturaleza y ha aprendido mucho de ella. Seguramente aún hay muchos de sus secretos que podemos descubrir. El movimiento es un fenómeno muy común en nuestro mundo y en la medida que lo sepamos manejar podremos entender mejor a la naturaleza y convivir mejor con ella Estamos muy entusiasmados porque inicias esta asignatura, ya que pronto entrarás al fascinante mundo del estudio de la naturaleza.

Comentario [U1]: Álgebra El álgebra ha sido definida como una rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas, lo que permite darles un carácter más general, válido para cualquier número. Esta ciencia surgió en Egipto y en Babilonia, civilizaciones cuyos matemáticos llegaron a resolver ecuaciones de primer y segundo grado, prácticamente mediante los mismos métodos empleados hoy. La tradición de los egipcios y de los babilonios fue retomada por los griegos, especialmente por los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante, quienes alcanzaron resultados sorprendentes en la resolución de ecuaciones indeterminadas especialmente difíciles. Cuando Europa se hundió en las tinieblas de la Edad Media, fueron los árabes quienes continuaron desarrollando el álgebra, que llamaron ‘ciencia de la reducción y el equilibrio’. Entre los matemáticos árabes se destacó alJwarizmi, de cuyo nombre tomó el castellano las palabras guarismo y algoritmo. Fue precisamente al-Jwarismi el primero en usar el término al-gabr para designar esta parte de las matemáticas cuyo nombre completo era ilm al-gabr wa lmuqabala, lo que explica el nombre antiguo del álgebra en portugués: almucábala. En el bajo latín de la Edad Media, álgebra se usaba tanto para designar esta parte de las matemáticas como el ‘arte de restituir a su lugar los huesos dislocados’. En la primera edición del Diccionario de la Real Academia (Autoridades), algebrista aparece con el significado de “componedor de huesos”.

Este es un menú para que puedas navegar por los subtemas de la unidad 1 1. Presentación 1.1 Introducción a la Unidad 1. 2. Fenómeno físico 2.1 Cambio físico. Sus características. 2.2 Ejemplos de fenómenos físicos. 2.3 Medición y unidades de medida de longitud, masa y tiempo. 2.4 Notación científica. 2.5 Leyes de los exponentes. Significado y utilidad. 2.5.1 Radicación. 3. Introducción a la Mecánica de Newton. Primera Ley 3.1 Concepto de movimiento. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU). 3.1.1 Características del MRU. 3.1.2 Gráficas distancia vs. tiempo. 3.2 Estudio de la función lineal y sus parámetros. 3.2.1 Características de la variación proporcional. 3.2.2 Características de la variación lineal. 3.3 Análisis gráfico y analítico de funciones lineales asociadas al movimiento rectilíneo uniforme. 4. Evaluación de la Unidad 4.1 Evaluación de la Unidad. Evaluación de salto

Un mundo cambiante Imagínate por un momento que todo en este mundo se detenga. El tiempo se para, las personas quedan inmóviles, los animales no se desplazan, las plantas dejan de crecer, etcétera. ¡Sería muy aburrida la vida! De hecho, eso NO sería vida. Ahora reflexiona un poco acerca de los cambios que hay en este preciso instante en que lees este párrafo. A continuación, te presentamos sólo unos cuantos ejemplos. En este momento: la Tierra gira en torno al Sol, la Luna en torno a la Tierra, miles de toneladas de roca fundida se desplazan en algún lugar debajo de la corteza terrestre, todas las hojas de un árbol están desarrollándose, un insecto está procesando su alimento, cada uno de tus cabellos y vellos están creciendo, tu corazón está contrayéndose o expandiéndose. Como puedes observar, existen cambios donde se transforma la estructura molecular o interna de los elementos involucrados y otros donde el cambio es solamente observable en su estructura externa o visible. A los fenómenos donde ocurre un cambio en la estructura molecular se les conoce como FENÓMENOS QUÍMICOS, en tanto que a los fenómenos donde ocurre un cambio observable en la estructura externa (y de carácter generalmente temporal) se les conoce como FENÓMENOS FÍSICOS.

Por lo anterior, generalmente resulta más fácil observar los fenómenos físicos que los químicos, los fenómenos físicos los encontramos muy frecuentemente en nuestra vida cotidiana y los advertimos fácilmente, ya que este tipo de fenómenos están asociados a movimientos, cambios de tamaño, diferencias de temperatura o presión, etc. En otras palabras, son cambios apreciables para nuestros sentidos, a diferencia de los fenómenos químicos, donde se involucran cambios a nivel molecular o atómico, lo que da como resultado que se generen sustancias distintas a las originales, por ejemplo la descomposición del agua en sus dos componentes primordiales: el hidrógeno y oxígeno. Ejemplos de fenómenos físicos A lo largo de nuestra vida, uno de los primeros fenómenos físicos que nos llama la atención tiene que ver con el movimiento o cambio en la posición de un objeto, y por lo tanto, estamos acostumbrados a ciertos movimientos, y de alguna manera los sabemos controlar. Pero esta familiaridad con el movimiento a veces provoca que nos olvidemos de él o no lo tomemos en cuenta, ¿recuerdas que la historia indica que en alguna época el ser humano consideró que el Sol se movía alrededor de la Tierra? Las personas que vivieron antes de la época de Galileo consideraban que la Tierra no se movía y que era el Sol el que giraba. Otro movimiento con el cual estamos muy relacionados es el proceso de caminar. Este es uno de los primeros movimientos que aprendemos a controlar. Más adelante combinamos varios tipos de movimiento y los relacionamos para realizar acciones más complejas, como cuando aprendemos a manejar una bicicleta. Piensa un poco en todos los movimientos coordinados que tiene que realizar una persona al patinar. Además del movimiento, hay otro tipo de fenómenos físicos, que involucran un cambio en la temperatura, la presión, la densidad, la magnitud de fuerza, la cantidad de corriente, la cantidad de luz o la desviación de trayectoria de un rayo luminoso, entre otros.

Comentario [U2]: Corteza terrestre Capa superficial de la Tierra, que está en contacto con la atmósfera. Tiene un espesor variable, puede medir 5 Km bajo los océanos y hasta 70 Km en las cordilleras

Comentario [U3]: http://www. biografiasyvidas.com/monografia/ galileo/index.htm Galileo Galilei nació en Pisa el 15 de febrero de 1564. Su padre, Vincenzo Galilei, era florentino y procedía de una familia que tiempo atrás había sido ilustre; músico de vocación, las dificultades económicas lo habían obligado a dedicarse al comercio, profesión que lo llevó a instalarse en Pisa…. VÍDEO…http://www.biografiasyv idas.com/monografia/galileo/video s.htm Comentario [U4]: Densidad Magnitud física (ρ) que expresa la relación entre la masa (m) y el volumen (V) de un cuerpo (ρ=m/V). Su unidad en el Sistema Internacional es el kilogramo sobre metro cúbico (Kg/m3). En una mezcla de compuestos, los cuerpos menos densos se ubican por encima de los cuerpos más densos. Tenemos como ejemplos: un corcho que flota en el agua o el acomodamiento de las diferentes capas de la Tierra. Comentario [U5]: Fuerza Interacción entre dos cuerpos que puede ser de contacto o a distancia. Provoca en los cuerpos una deformación y/o una modificación en su estado de reposo o movimiento.

Ejemplos de fenómenos físicos Veamos algunos ejemplos de fenómenos físicos que hay en una sección de una casa, como por ejemplo, en la cocina: un cambio de temperatura en un recipiente con agua que se encuentre en la estufa, un aumento de presión dentro de una olla express, la variación de la cantidad de corriente eléctrica a través del cable de la licuadora, la emisión de microondas dentro del horno, etcétera. Ahora, en un archivo digital, anota cinco fenómenos físicos que sean apreciables en la calle. Envía el archivo al portafolio grupal para que lo compartas. Como puedes observar, hay muchos tipos de fenómenos físicos y la razón del por qué casi siempre asociamos al fenómeno físico con algo en movimiento es que nuestros sentidos (en especial la vista) están condicionados para apreciar fácilmente un movimiento, en tanto que es difícil distinguir un pequeño cambio de temperatura o de cantidad de corriente. Cuando observamos el cambio de variables físicas en este tipo de fenómenos es inevitable que usemos nuestros sentidos y experiencia para compararlos con otros similares. Dicho de otra forma, medimos los cambios que ocurren en diversos fenómenos sobre todo con nuestros sentidos, aunque como verás más adelante, no son los mejores instrumentos de medición. Por ahora queremos que reflexiones un poco acerca de las mediciones que haces. ¿Sabes medir? ¿Sabes medir? ¿Cuándo fue la última vez que mediste algo? ¿Es posible medir todo? Una de las actividades que realizamos sin conciencia clara de cómo lo hacemos es medir algo. Constantemente hacemos o leemos el resultado de una medición: al poner sal a nuestros platillos, al observar la hora, al pagar algún producto comprado o al sentir la temperatura de un objeto que tocamos. Todos estos ejemplos muestran algunas acciones que implican una medición.

Al medir estamos haciendo una comparación con algún patrón establecido de común acuerdo y para lo cual utilizamos instrumentos de medición que ya están ajustados de acuerdo a las convenciones internacionales que se han establecido.

Tanto las unidades como los instrumentos de medición se han ido desarrollando y modificando a través del tiempo de acuerdo a las necesidades humanas y de la tecnología disponible.

Comentario [U6]: El sentido de la vista es el que nos permite percibir sensaciones luminosas y captar el tamaño, la forma y el color de los objetos, así como la distancia a la que se encuentran… http://www.escolar.com/cnat/05lav ista.htm Comentario [U7]: Variable física Propiedad física de los cuerpos o elementos que puede tener un valor cualquiera de los comprendidos en un conjunto, por ejemplo la temperatura, la velocidad y la presión. Comentario [U8]: Comparar una cantidad con su respectiva unidad, con el fin de averiguar cuántas veces la segunda está contenida en la primera.

Comentario [U9]: Modelo que sirve de muestra para obtener otra cosa igual. Comentario [U10]: http://es.wikipedia.org/wiki/Lista_ de_instrumentos_de_medici%C3% B3n En física, química e ingeniería, un instrumento de medición es un aparato que se usa para comparar magnitudes físicas mediante un proceso de medición. Como unidades de medida se utilizan objetos y sucesos previamente establecidos como estándares o patrones y de la medición resulta un número que es la relación entre el objeto de estudio y la unidad de referencia. Los instrumentos de medición son el medio por el que se hace esta conversión. Dos características importantes de un instrumento de medida son la precisión y la sensibilidad.

Por ejemplo, una de las necesidades primarias fue la de medir longitudes de terreno y anteriormente se usaron medidas arbitrarias como el tamaño del pie de una persona o la zancada del individuo que estaba tomando la medida. Para longitudes pequeñas se usaba la cuarta o el largo de la última parte del dedo pulgar (de donde surgió la pulgada). ¿Usarías de medida la longitud del pie del presidente? Para medir el tiempo, los humanos empleamos primeramente al día o al año como unidad de medida, y para lapsos más pequeños se usaron los latidos del corazón o el goteo de agua a través de filtros. Así, las variables físicas conocidas eran medidas de manera rudimentaria y poco confiable. ¿Te imaginas si a la persona que medía el tiempo se le alteraba su frecuencia cardiaca porque se encontrara enfermo en el día de la medición? ¿Qué pasaba con la unidad de medida cuando el rey moría? ¿Se proponía el pie del nuevo rey como unidad de medición? Además de estos problemas, existía la dificultad de que no eran aceptados por todos los habitantes del mundo conocido. De hecho, en la actualidad se siguen usando diferentes sistemas de medición. Por ejemplo, en Estados Unidos se usa el sistema inglés donde se emplean unidades como la pulgada, la libra o el galón para medir longitudes, masas y volúmenes respectivamente. A continuación se muestra una tabla de equivalencias de unidades del sistema inglés y el sistema métrico decimal que es el que usamos en México. Te presentamos a Javier Seguramente en muchas ocasiones has encontrado algunas medidas en unidades del sistema inglés. Por eso, es conveniente que te ejercites en el cambio de unidades, para lo cual se puede usar una regla muy sencilla llamada “regla de tres”. La regla de tres consiste en encontrar el valor de una equivalencia donde se tienen tres datos conocidos: los dos valores de la equivalencia y el tercer dato es la cantidad que queremos convertir. A continuación vamos a recordarte cómo se llevan a cabo conversiones del sistema inglés al sistema métrico decimal, pero primero te vamos a presentar a Javier. Él es un joven muy trabajador que vive en Los Ángeles y su familia vive en México. Javier va al doctor Hace unos días, Javier se sintió mareado mientras trabajaba y decidió ir al doctor al siguiente día. En una visita al doctor, la enfermera que lo recibió en el consultorio, midió su estatura y el resultado fue de 5 pies (5 ft). Para darnos idea de cuánto midió, debemos convertir los 5 pies a metros. Como 1 ft = 0.305 m, y queremos saber cuántos metros equivalen a 5 ft, formamos dos columnas, una con los datos de los pies y la otra con los datos de los metros, como se muestra a continuación: ft 1 5

m 0.305 ¿?

Ahora bien, el primer renglón de datos nos indica que 1 ft equivale a 0.305 m, y el segundo nos indica que 5 ft equivalen a alguna cantidad en metros, hasta ahora, desconocida (marcada con ¿?). Para resolver esta incógnita debemos multiplicar los valores “cruzados”, en este caso 0.305 m X 5 ft, y el resultado se divide entre el dato restante, en este caso 1 ft; como se muestra Con lo que obtenemos el valor buscado.

Comentario [U13]: Cuarta Distancia desde el extremo del pulgar al del meñique. Comentario [U14]: Pulgada Medida inglesa equivalente a 2.54 cm y equivale a la duodécima parte del pie. Comentario [U11]: Arbitrario Carácter de alguna decisión o voluntad no gobernada por la razón, sino por el apetito o capricho. Comentario [U12]: Zancada Paso largo que se da con movimiento acelerado o por tener las piernas largas.

Hay dos razonamientos importantes en ésta última ecuación: el primero es que al hacer la división de las unidades, los pies (ft) en el numerador se cancelan con los pies (ft) del denominador, y solamente prevalecen los metros que son las unidades del resultado. El otro razonamiento es que lo que indica la última ecuación es que si conocemos el valor (en metros) de un pie y queremos saber cuántos metros equivalen a 5 pies, simplemente se debe multiplicar el valor conocido por cinco y obtendremos el resultado. Javier es un “pesado” Además de medir su estatura, la enfermera lo pesó y la báscula que usó indica el resultado en kilogramos. El peso de Javier fue 49.94 kg, aunque, ¿cuál es su peso en libras? Nuevamente, se generan dos columnas para saber la equivalencia en libras de los 49.94 kg; formamos dos columnas, una con los datos de las libras y la otra con los datos de los kilogramos, como se muestra a continuación. lb 1 ¿?

kg 0.454 49.94

En este caso los valores que se multiplican son los “cruzados” (49.94 kg y 1 lb) y el resultado se divide entre 0.454 kg. Haz la operación y escribe el resultado con todos sus decimales en el espacio de respuesta.

Aunque en estos casos simples se advierte que hay una operación matemática de más, el método de la regla de tres es muy útil cuando no se conoce el valor unitario de la medición. Para poder apreciar la utilidad, veamos la situación en que se encuentra nuestro amigo Javier cuando va a la casa de cambio. Haz clic en el botón para acompañar a Javier. El regalo de cumpleaños Javier tiene un sobrino que vive en México y como se acerca el cumpleaños de éste, Javier quiere enviarle 75 dólares como regalo. Al llegar a la casa de envíos, observa que a la persona que acaba de enviar 85 dólares le dijeron que sus familiares recibirían 890.80 pesos y se pregunta ¿cuántos pesos le darán a mi sobrino por 75 dólares? Como anteriormente se hizo, formamos dos columnas, de la siguiente forma: dólares 85 75

pesos 890.80 ¿?

Aquí, para resolver esta incógnita debemos multiplicar los valores “cruzados”. En este caso, 75 dólares X 890.80 pesos, y el resultado se divide entre el dato restante, en este caso 85 dólares. Como se muestra enseguida:

Con lo que obtenemos el valor buscado. Después de hacer el envío de dólares a su sobrino, Javier regresa a casa en su auto y en el trayecto se detiene en una gasolinera para echarle gasolina al tanque.

En la gasolinera En la estación de gasolina, la bomba despachadora marca 8.4 galones al marcar a la mitad del tanque del automóvil de Javier ¿cuántos litros fueron los que se le pusieron al tanque? gal 1 8.4

L 3.785 ¿?

Haz la operación y escribe el resultado con todos sus decimales en el espacio de respuesta.

Pero... ¿qué pasó con el sobrino de Javier cuando recibió su regalo de cumpleaños? Una hermosa bicicleta Paquito, el sobrino de Javier recibe el dinero por su cumpleaños y decide ir a comprar una bicicleta en compañía de su papá. La bicicleta que compró es grande y muy bonita. El diámetro de la rueda de la bicicleta es de 18 pulgadas y el papá de Paquito se pregunta ¿a cuántos centímetros equivale el diámetro de la rueda? Te invitamos a que lo investigues y procedas de manera similar a los casos anteriores.

Paquito disfruta de su nueva bicicleta, y aunque al principio tiene dificultad para manejarla, después se vuelve todo un experto “en dos ruedas”. Un buen ciclista Paquito es un buen ciclista y al viajar en su bici recorre 6.436 kilómetros en 12 minutos ¿Qué distancia, en millas, recorrió el ciclista en los 12 minutos?

Como te habrás dado cuenta, no resulta práctico el hecho de tener muchas unidades de medición. Desde hace muchos años se ha presentado la necesidad de unificar las unidades de medida y estos temas se discutían a nivel mundial en los congresos sobre pesos y medidas que periódicamente se realizaban. Con la idea de facilitar el intercambio comercial y científico en cuanto a mediciones se refiere, fue necesario establecer un acuerdo de manera que los patrones de medición fueran invariables, indestructibles, reproducibles y de fácil acceso para todos los humanos. Entre las unidades de medición más conocidas están el metro, el kilogramo y el segundo. Hay siete unidades fundamentales a partir de las cuales se derivan las demás unidades de medida, algunas de las cuales conforman el Sistema Internacional de Unidades (SI).

Comentario [U15]: Unificar Hacer única dos o más opiniones, propuestas o proyectos. Comentario [U16]: El metro Se redefinió en 1983 como la longitud recorrida por la luz en el vacío en cierto intervalo de tiempo. Comentario [U17]: El kilogramo En el SI el kilogramo se define, desde 1889, como la masa del cilindro de platino-iridio conservado en París. Comentario [U18]: El segundo Actualmente se define como la duración de 9 192 631 770 veces que cierto átomo de cesio radia entre dos niveles energéticos. Comentario [U19]: UNIDAD ES FUNDAMENTALES

Comentario [U20]: Sistema Internacional de Unidades Nombre de un sistema universal, unificado y coherente de unidades de medida, basado en el sistema mks (metro-kilogramo-segundo). Este sistema se conoce simplemente como SI, iniciales de Sistema Internacional. En 1960 se definieron los patrones para seis unidades básicas o fundamentales y dos unidades suplementarias (radián y estereorradián); en 1971 se añadió una séptima unidad fundamental, el mol.

UNIDADES FUNDAMENTALES

Al estar de acuerdo en cuáles deben ser las unidades de medición, podemos fácilmente leer y entender los resultados de una medición hecha por otras personas en algún otro lugar de la Tierra. Un ejemplo claro está en la medición de la rapidez de un atleta profesional como Ana Gabriela Guevara, quien en 2003 corrió 400 metros (400 m) en 48.89 segundos (48.89 s). Aunque la carrera fue llevada a cabo en París, cualquier otra persona en alguna parte de la Tierra puede entender la distancia que recorrió en el tiempo mencionado. Evaluación de salto Para que puedas conocer tu desempeño sobre el manejo de la notación científica, realiza el siguiente ejercicio. Si ya posees los conocimientos necesarios, el sistema te llevará automáticamente al siguiente subtema del programa. Si no es así, juntos estudiaremos el manejo de la notación científica y verás que fácilmente lo vas a dominar.

La enorme belleza de la naturaleza ¿Has estado a la orilla del mar disfrutando su vastedad? ¿Volteas a veces a ver el cielo y observas el Sol, la Luna, las estrellas?

Para los poetas son una fuente de inspiración, y para quienes quieren desentrañar los misterios de la naturaleza son todo un reto. En relación con ella podemos encontrar números enormes con los que trabajamos desde diversos campos de la ciencia. ¿Te has preguntado alguna vez, cuántos granos de arena puede haber en una playa?, ¿cuáles son las dimensiones de la Tierra?, ¿cuál será su masa?, ¿qué tan lejos estamos del Sol, de la Luna, de los demás planetas? ¿Sabes a qué velocidad viaja la luz?

¿De dónde vienen los ceros? Una manera de hacer más eficientes los cálculos cuando trabajamos con números muy grandes, que incluyen muchos ceros (en su expresión decimal), es escribirlos de otra forma. Por ello, necesitamos analizar a qué se debe su presencia. Para empezar, ¿te acuerdas cómo se multiplica un número entero por 10, por 100, por 1000? Tomemos por ejemplo al cinco: 5x10 = 50 5x100 = 500 ¡Los ceros se deben a una multiplicación 5x1 000 = 5 000 escondida! 5x10 000 = 50 000 Si siguiéramos multiplicando por múltiplos de 10 que tienen más ceros, empezaríamos a perder la cuenta de cuántos ceros hemos puesto y además ocuparíamos mucho espacio para la escritura. Por ello, ver qué sucede en este tipo de multiplicaciones nos puede dar una idea de cómo simplificar la escritura de grandes números. Una escritura corta para un número grande Si analizamos qué características tienen los números 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 o incluso 100 000 000 000 000, podemos darnos cuenta que TODOS son potencias de 10; es decir: 10 = 101 100 = 10 x 10 =102 1000 = 10 x 10 x 10 =103 10 000 = 10 x 10 x 10 x10 = 104 100 000 = 10 x 10 x 10 x10 x 10 =105

Comentario [U21]: Potencias Una potencia es una expresión del tipo an y está formada por dos partes: a es la base y n es el exponente.

¿Ya viste qué relación existe entre el exponente de 10 y el número de ceros? ¿Cómo vas a guardar en tu memoria de largo plazo este dato? Detente un momento y asegúrate de tener una estrategia para recordar que el exponente de 10 coincide con el número de ceros en las potencias de diez. Así, 100 000 000 000 000 = 1014. ¿Estás de acuerdo? Usemos esta idea para escribir de manera más concisa las multiplicaciones. Retomemos lo que ya se tenía. Haz clic en las palabras “por lo tanto” para que veas cómo queda expresada la cantidad correspondiente en potencias de 10.

De esta manera el número 500 000 000 000 000 lo escribimos como 5 x 1014 ¿Estás de acuerdo? A esta última forma de escritura se le llama notación científica. Características de la notación científica Ya vimos que 500 000 000 000 000 puede escribirse como 5 x 1014 con ayuda de las potencias de 10, y te comentamos que esta última forma de representarlo se llama notación científica. Precisamente recibe ese nombre porque con frecuencia en las ciencias aparecen números muy grandes, y por lo mismo hacen uso de ella. Pero, ¿cuáles son sus características?

Comentario [U22]: Notación científica Una forma abreviada de escribir números que incorporan muchos ceros, utilizando las potencias de 10.

En cualquier lenguaje escrito, en particular el que se usa en Matemáticas, siempre se dan acuerdos (o convenciones) sobre las reglas para utilizar una notación. Es decir, se estipula de qué manera se escriben y manipulan los símbolos establecidos. Un número escrito en notación científica cumple con la siguiente regla: Está formado por un número mayor o igual que 1 pero menor que 10 multiplicado por una potencia de base 10 Veamos algunos ejemplos Es fácil verificar que los números de la columna derecha siguen la regla establecida. Es decir, todos están formados por un número menor que 10 (2, 7, 1.2, 3.2 y 1.82) y están multiplicados por una potencia de base 10. ¿Cómo saber cuál debe ser el exponente de la potencia de 10? En los tres últimos casos NO coincide con el número de ceros.

Explora lo siguiente: en la notación decimal, el punto decimal (aunque no aparece escrito) se encuentra al término del último cero. Elige cualquiera de los números de la columna izquierda de la tabla. Sitúa el cursor enseguida de su último cero. ¿Ya estás ahí? Ahora con tu ratón traslada el cursor hacia la izquierda, dígito por dígito, y ve contando cada clic del ratón (sin contar los espacios entre cada trío de ceros) hasta que tengas el número menor que 10 que aparece en la notación científica respectiva ¿Cuántos clics son?, ¿Cuál es el exponente que se usó en la notación científica de este número? Haz lo mismo con los demás ejemplos de la tabla. ¿Ya descifraste el procedimiento para escribir un número de este tipo en notación científica? Toma unos minutos para expresarlo en tus palabras antes de pasar a la siguiente pantalla. Nuestro lejano Sol ¡Veamos un ejemplo más! ¿Qué te parece si tomamos la distancia media de la Tierra al Sol? Según te comentamos anteriormente, es cercana a 15 0000 000 km. Para expresar esa distancia en notación científica, debemos quedarnos con un número MENOR a 10. Como 15 no lo es, tenemos que tomar 1.5. Ahora, al determinar el exponente de 10 tenemos que sumar uno al número de ceros para compensar que recorrimos el punto decimal un lugar más a la izquierda. Así, la distancia media de la Tierra al Sol en notación científica es: 1.5 x 108 km

La rapidez de la luz Cuando estás aprendiendo una nueva forma de escribir, siempre es conveniente pasar de una notación a otra y viceversa. Eso te dará una gran soltura en su manejo. ¿Listo? ¿Sabes qué tan rápido viaja la luz? Se estima que un rayo de luz recorre 3x108 m/s. ¿Cómo se expresa este número en notación decimal?, ¿ya lo tienes? Efectivamente, un rayo de luz recorre 300 000 000 m/s

Los beneficios de la notación científica Como ya viste, la notación científica es una forma más concisa de escribir los números que incluyen muchos ceros en su expresión decimal. Pero no sólo ahorramos espacio al utilizarla, sino que además nos brinda dos beneficios adicionales: 1. Cuando una cantidad determinada tiene muchos ceros es fácil que perdamos la cuenta de cuántos son y en ocasiones tenemos que contarlos de nuevo. Los últimos números con los que trabajaste son pequeños en comparación con otros. Al presentarlos escritos en notación científica, no tenemos que contar los ceros y evitamos cometer errores por un conteo equivocado.

2. Además, es común que en las ciencias se tenga que hacer operaciones con ellos. ¿Te imaginas hacer una división de dos números, uno de ellos con 90 ceros y otro con 70? El proceso en sí no es difícil, pero sí resulta un tanto laborioso y no te puedes auxiliar de una calculadora, ya que tienen restricciones en la cantidad de dígitos que puedes teclear, pero…

Multiplicación en notación científica Siempre es conveniente empezar con ejemplos sencillos para entender cómo funciona un algoritmo que vamos a utilizar; en este caso, la multiplicación de números en notación científica. Así que tomaremos números pequeños en comparación con los que hemos trabajado. De hecho, no necesitamos notación científica para escribirlos, pero nos darán una idea de lo que hay que hacer cuando sí se requiere expresarlos así. Supongamos, por ejemplo, que tenemos que hacer la siguiente operación: 400 x 2000. Con la aritmética básica sabemos que 400 x 2000 = 800 000. ¿Estás de acuerdo? Reflexiona un momento sobre lo que hicimos. Al hacer la operación, multiplicamos 4 por 2 y agregamos cinco ceros, es decir, “JUNTAMOS” los dos ceros de 400 con los tres ceros de 2 000. Ahora, expresemos 400 y 2 000 en notación científica y hagamos el procedimiento equivalente, es decir: 400 x 2000 = ( 4x102 ) ( 2x103 ) = 8x105 Recuerda que en POTENCIAS de 10, el número de ceros coincide con el exponente. Por ello, “juntar” los ceros, equivale a SUMAR los exponentes de las potencias de 10. Veamos tres ejemplos más: 1. (2.2 x 105 ) (3.4 x 104 ) = (2.2) (3.4) x 105 + 4 = 7.48 x 109 2. (1.2 x 109 ) (7.5 x 103 ) = (1.2) (7.5) x 109 + 3 = 9 x 1012

Comentario [U23]: Algoritmo (Del árabe Al Jwarismi). Conjunto finito de pasos a seguir que permite obtener un resultado.

3. (3.4 x 103 ) (5.1 x 103 ) = (3.4) (5.1) x 103 + 3 = 17.34 x 106 = 1.734 x 107 En el último ejemplo, como 17.34 NO es menor que 10, ajustamos el resultado al recorrer el punto decimal una vez a la izquierda, y para compensar agregamos una unidad al exponente. Es sencillo ¿verdad? Piensa cómo resumirías este algoritmo antes de hacer clic en Multiplicación en notación científica. Multiplicación en notación científica

En síntesis, el algoritmo para multiplicar dos números en notación científica es el siguiente:

Para hacer un producto de números expresados en notación científica: ( a x 10 m ) ( b x 10 n ) • •

Multiplicamos los dos números a y b que son mayores o iguales a uno y menores que 10. ¿Te acuerdas de esa regla? Es decir, efectuamos l multiplicación a • b. Sumamos los exponentes de las potencias de 10, esto es: m+ n. El valor de la suma es el nuevo exponente de 10.

El resultado es: a • b x 10 m + n Nota: Si al hacer el producto se obtiene un número mayor que 10, ya sabes qué hacer. Recorres el punto decimal a la izquierda y sumas al exponente el mismo número de lugares que corriste el punto decimal. ¿Cuánto oxígeno llevas contigo? Como ya te habíamos comentado, un adulto varón tiene, en promedio, 25 000 000 000 000 glóbulos rojos en su sangre (el dato es menor en las mujeres). En cada glóbulo rojo hay aproximadamente 265 000 000 moléculas de hemoglobina. ¿Cuántas moléculas de hemoglobina viajan por tu sangre?

También se sabe que cada una de esas moléculas de hemoglobina es capaz de transportar 4 moléculas de oxígeno. ¿Cuántas moléculas de oxígeno viajan en nuestro cuerpo a través de los glóbulos rojos? Haz el procedimiento y al terminar presiona el botón respuesta para corroborar tu resultado.

Dividiendo en notación científica Empecemos de nuevo con un ejemplo muy sencillo para que podamos ver qué sucede cuando dividimos números que tienen ceros. Calculemos

Por aritmética elemental sabemos que el resultado es 300.

Pero recuerda que lo que nos interesa en este momento es encontrar la manera de hacerlo cuando tengamos muchos ceros. Este es un ejemplo de notación científica donde intervienen potencias de 10.

Observa que dividimos el 6 entre 2 y por separado dividimos las potencias de 10. ¿Qué pasó con los exponentes? ¿Recuerdas que en el caso de la multiplicación los sumábamos? Tómate unos momentos para reflexionar qué debe hacerse en el caso de la división y por qué será así. ¿Ya lo tienes? Efectivamente, cuando dividimos potencias con la misma base, los exponentes se restan. Quizás te quede más claro por qué si desarrollamos las potencias de 10

Así, cancelamos dos veces 10 tanto en el numerador como en el denominador. Si requieres otro ejemplo haz clic en el botón:

Comparando las masas del Sol y la Tierra La masa del Sol se calcula en 1 980 000 000 000 000 000 000 000 000 000 kg, Mientras que la de la Tierra en 6 000 000 000 000 000 000 000 000 kg ¿Cuántas veces es mayor la masa del Sol que la de la Tierra? Para hacer esa comparación tenemos que dividir la masa del Sol entre la masa de la Tierra. En notación científica, la masa del Sol es 1.98 x 1030, y la de la Tierra es 6 x 1024. Comparando su masa tenemos:

Eso indica que la masa del Sol es ¡330 000 veces más grande que la masa de la Tierra! Revisión de lo aprendido Hasta el momento, has aprendido a convertir números grandes de notación decimal a notación científica y viceversa. También sabes hacer multiplicaciones y divisiones con ellos, lo que te ha llevado a revisar el manejo de exponentes cuando intervienen potencias de la misma base en dichas operaciones. Además, conociste algunas magnitudes enormes vinculadas con nuestro organismo, con la Tierra, con el Universo. Es conveniente hacer un alto en el camino y reafirmar el aprendizaje. Realiza los ejercicios siguientes y envía tus respuestas a tu asesor. Recuerda que si tu asesor encuentra algún detalle que necesites revisar, te lo hará saber antes del examen de la unidad para que tengas oportunidad de asimilarlo. Realiza los siguientes ejercicios. Si así lo quieres, despliega la calculadora del Bachillerato a Distancia. Descarga el siguiente archivo y contéstalo en el procesador de textos:

Actividad Archivo

Comentario [U24]: 1). Realiza los siguientes ejercicios… 2). Llena la columna derecha, expresando en notación científica…

Resuelve operaciones con notación científica

Cuando termines de resolverlo adjúntalo para que lo revise tu asesor.

Realiza los siguientes ejercicios. Si así lo quieres, despliega la calculadora de Windows.

1.

(2.7 × 10 )(3.2 × 10 ) =

2.

6.6 × 1012 = 1.2 × 10 9

5

6

(6.3 × 10 )(2.4 × 10 ) = 5

3. I.

3 × 10

6

7

Llena la columna derecha, expresando en notación científica los números expresados en notación decimal que se dan en la columna izquierda. Te servirá más adelante, cada vez que requieras hacer conversiones entre unidades de longitud del sistema métrico decimal. Una vez que te la revise tu asesor, guárdala en un archivo al que puedas acceder con facilidad.

Relación entre algunas medidas de longitud Expresadas en notación decimal Un kilómetro (km) = 1000 metros

En notación científica 1 km = ___________ m

Un metro (m) = 100 centímetros (cm)

1 m =____________cm

Un metro (m) = 1000 milímetros (mm)

1 m = ____________mm

Un metro (m) = 1 000 000 micrómetros* (µm)

1 m =_____________µm

* al micrómetro también se le llama micra (µ) Un metro (m) = 1 000 000 000 nanómetros (nm)

1 m = _____________nm

Un metro (m) = 10 000 000 000 ǻngstroms (Ǻ)

1 m =______________Ǻ

Cuando termines de resolverlo adjúntalo para que lo revise tu asesor. Subir un archivo (Tamaño máximo: 20Mb)

Longitudes pequeñísimas En la naturaleza, además de cantidades muy grandes, también están presentes números muy pequeños vinculados al tamaño de objetos microscópicos. Por ello, suelen utilizarse unidades de longitud como el micrómetro, el nanómetro y el angstrom que aparecían en la tabla que llenaste en la pantalla anterior, en la que expresaste en notación científica cuántos de ellos hay en un metro.

Para que tengas una idea de la pequeñez de esas medidas de longitud, compáralas con algo cercano a ti. Por ejemplo, tus ojos seguramente alcanzan a percibir un milímetro. En algunas agujas eso mide el ancho del orificio y a veces nos cuesta trabajo ensartarlas.

¿Te imaginas dividir ese pequeño espacio en 1 000 partes? Ese es el tamaño de un micrómetro (µm), es decir, la milésima parte de la milésima parte de un metro. Lo que podemos expresar como: 1 µ = 0.000 001m. Para poder visualizar el mundo de los micrómetros requerimos del microscopio óptico que muy probablemente utilizaste en secundaria. Ahora, un nanómetro (nm) es la milésima parte de un micrómetro ¿puedes imaginarlo? Al compararlo con el metro, tenemos que es la milésima parte de la milésima parte de la milésima parte de un metro. Es decir la milmillonésima parte de un metro. Si escribimos esto en notación decimal queda: 0.000 000 001m. Con estas medidas el microscopio óptico ya no es suficiente, por lo que se utiliza el llamado microscopio electrónico. Y bueno, si dividimos entre 10 cada una de esas microscópicas longitudes nanométricas llegamos a la dimensión de los angstroms.

Comentario [U25]: Nanómetro Elemento compuesto de nombres que significan la milmillonésima parte de las respectivas unidades (10 -9 ). Su símbolo es nm.

Notación científica en lo microscópico Seguramente ya te diste cuenta que también para los números relacionados con dimensiones microscópicas necesitamos una forma abreviada de escribirlos. De nuevo recurrimos a la notación científica y la regla para expresar un número usando esta notación sigue siendo la misma. ¿Te acuerdas de ella? ¿Cómo utilizar las potencias de 10 con estos números pequeñísimos? ¿Qué es lo que debemos modificar para expresar ahora que el punto decimal se encuentra a la izquierda de los números que queremos abreviar? ¡Recurrimos a los exponentes negativos!

En Matemáticas, por definición tenemos:

siempre y cuando

(ya que no se puede dividir entre cero). Así que

y así sucesivamente. Con esto en mente, estamos listos para expresar números muy pequeños en notación científica.

Operaciones en situaciones microscópicas Cuando el exponente de las potencias de 10 es positivo multiplicamos o dividimos los números que acompañan a las potencias de 10. En la multiplicación, SUMAS los exponentes de 10, mientras que en la división se RESTAN. ¿Cómo hacerlo cuando los exponentes son negativos? Te tenemos una buena noticia: ¡El procedimiento es exactamente el mismo! Es decir, ¡ya sabes también operar con números asociados con situaciones microscópicas! Sólo hay que tener cuidado en la suma o resta de números enteros con signo. Veamos algunos ejemplos

Si lo requieres, despliega en tu pantalla la calculadora del Bachillerato a Distancia para corroborar las operaciones realizadas con los números que anteceden a las potencias de 10. Como habrás podido darte cuenta, en el último ejercicio ya combinamos ambas operaciones, y además, en las potencias de 10, incluimos exponentes tanto positivos como negativos. Un paso más

haz que ambas columnas coincidan

Como puedes ver, además de entender cómo se representa un número en notación científica ya sabes hacer operaciones con números expresados de esta manera. Por otra parte, también has manejado algunas propiedades de los exponentes. ¡Enhorabuena! Evaluación de salto

La economía de los exponentes En la simbolización matemática, los exponentes representan una invaluable ayuda en el manejo del lenguaje matemático. A través de diversos cursos verás como al utilizar los exponentes se simplifican tanto la escritura como las operaciones. Recordemos algo de lo que ya viste. Al aprender a manejar la notación científica, pudiste darte cuenta que hacer uso de los exponentes nos permite escribir los números muy grandes (o muy pequeños) de manera más económica, es decir, mucho más corta. En esa notación utilizamos potencias de base 10, lo que nos permitió a través del exponente, indicar cuántos ceros debía incluir cierto número y a la vez, simplificar operaciones. Cuando aprendiste a multiplicar y dividir números expresados en notación científica, al operar con las potencias de 10 hiciste uso de dos propiedades importantes del manejo de los exponentes. ¿Las recordamos? • •

Al multiplicar las potencias de base 10, SUMABAS los exponentes. Es decir Al dividir las potencias de base diez, RESTABAS los exponentes (el del numerador menos el del denominador). En símbolos,

Pero, ¿qué sucede cuando la base no es 10? ¿Se siguen cumpliendo esas dos propiedades? ¿Podemos simplificar operaciones? Verificando propiedades Seguramente recuerdas qué representaba 10n. Pensemos ahora en un número cualquiera a y revisemos el significado de an, cuando n es un entero positivo. El exponente n nos indica el número de veces en que se multiplica a por sí misma, es decir:

Veamos con un valor de a diferente de 10. Por ejemplo a = 5. ¿Se cumplirá lo que habíamos observado para las potencias con base 10? Multipliquemos y dividamos potencias con base 5.

Vemos entonces que para potencias de base 5, se cumple que:



Al multiplicarlas sumamos los exponentes. Al dividirlas restamos los exponentes.

Otra forma de verificarlo consiste en multiplicar o dividir, según el caso, los valores resultantes de una potencia de base 5, auxiliándonos de una calculadora, o bien de una tabla de potencias de 5, y comparar el resultado de la operación con el valor de la potencia en cuestión. Veamos cómo usar la tabla de potencias de 5. Aprieta el botón: Tabla de 5n

Comprobemos si 54 • 52 = 56 .En la tabla puedes ver que 54 = 625 y 52 = 25. Al multiplicar 625 por 25 obtenemos 15 625 ¡que es precisamente 56 !

También con la tabla podemos verificar lo siguiente:

¿Lo intentas con otras potencias de 5?

Los negativos no se discriminan

Como pudimos ver, SÍ se cumplen para potencias de base 5 las mismas propiedades que estuvimos usando para potencias de base 10. Por supuesto, los matemáticos no se conforman con verificar este hecho con algunos ejemplos, por lo que utilizan demostraciones rigurosas. Los ejemplos nos importan a nosotros para que veas por qué sumamos o restamos los exponentes enteros positivos, al multiplicar o dividir potencias de la MISMA base.

Pero, ¿qué sucederá cuando los exponentes son enteros negativos? Veamos. Cuando trabajamos con la notación científica, otro aspecto que también utilizamos fue la definición de exponentes negativos. ¿Recuerdas cómo se definían?

Si tenemos cualquier número real diferente de cero , entonces: Si recuerdas, los exponentes negativos los usamos con números muy pequeños que nos permitieron representar situaciones microscópicas. Al hacer operaciones con ellos, NO cambiaban las reglas, es decir, en la multiplicación también SUMÁBAMOS los exponentes y en la división los RESTÁBAMOS. En lo único que teníamos que tener cuidado era en el manejo de los signos. Como de hecho esas dos propiedades se cumplen para cualquier número a diferente de cero que elijamos como base, y para cualquier pareja de números enteros m y n, comúnmente, junto con otras que se desprenden de ellas, se les conoce con el nombre de Leyes de los exponentes. Ellas nos ayudarán a simplificar operaciones. Hay que conocer la ley Te presentamos a las Leyes de los exponentes. Éstas son:

Leyes de los exponentes: Si a y b son números diferentes de cero y m y n dos enteros, entonces:

Te recomendamos imprimir esta tabla. Por supuesto, ya conoces las dos primeras porque las utilizamos en la notación científica que ya manejas. Comentamos al inicio que también son válidas para potencias de base distinta de 10. Por cierto, en la segunda ley, ¿qué sucede si m = n? Veamos un ejemplo: tomemos un número diferente de cero ya que vamos a trabajar con una división. Sea a=3.

Aplicando la segunda ley tenemos:

Pero por otro lado sabemos que cualquier número diferente de cero entre sí mismo, da uno. Es decir: tanto 1=30.

por lo

Comentario [U26]: a diferente de cero Se pide que a ≠ 0 para evitar tener una división entre cero que no está definida, es decir no podemos asignarle un resultado.

Así, la segunda ley nos permite definir lo que significa que cualquier número (diferente de cero) esté elevado al exponente cero. Es decir: Con esto, ya tenemos definido lo que significa la potencia, cuando el exponente es cualquier número entero, ya sea positivo, negativo o cero. ¿Qué hay de las otras leyes? Qué nos dice la tercera ley Veamos con ejemplos cada una de las tres siguientes leyes para que comprendas qué dicen y cómo funcionan. Empecemos por la tercera: ¿Qué nos dice la tercera ley? En español lo que nos está diciendo es que si tenemos una potencia cuya base es a la vez otra potencia, entonces para simplificarla sólo tenemos que multiplicar los exponentes.

Por ejemplo: si tenemos (a3)4 el resultado será a12. Te preguntarás ¿por qué es así? Usemos lo que conocemos: la definición de un exponente entero positivo y la primera ley.

Por cierto, esta ley también nos sirve para comparar números y poder saber cuál es mayor. Por ejemplo, ¿cuál de los siguientes números es más grande? ¿Tú que piensas? Como 8 y 16 son potencias de 2, escríbelas así: 8=23 y 16=24. Ahora sustituye las potencias de dos en vez de 8 y 16 y aplica la tercera ley:

. ¡Así que 240 es el mayor! Hacer fácil lo que parece difícil ¿Has oído hablar de las Olimpiadas de Matemáticas? Es un evento que se realiza cada año entre jóvenes de todo el mundo menores de 18 años. Los problemas que deben resolver requieren más de ingenio que de conocimientos muy sofisticados y en muchas ocasiones es cuestión de encontrar una clave para hacer fácilmente lo que parece difícil. Veamos un problema que puede usarse en la primera fase de entrenamiento.

¿Cuál es la suma de todos los dígitos del número que resulta de la siguiente multiplicación? Es una simple multiplicación, pero…las potencias no tienen la misma base y los exponentes ¡son enormes! ¡Ufff! ¿Quién se para luego hacer la multiplicación y finalmente sumar todos los dígitos de este resultado?

va a poner a calcular ¡Nadie!

Así que debe haber una forma alterna de resolverlo. La cuarta ley de los exponentes es la que viene en nuestro auxilio. Esta es

Pongamos primero un caso sencillo para entender cómo funciona esta ley, antes de regresar al problema. Por ejemplo: La cuarta ley nos dice que es lo mismo multiplicar 2 por 5 y elevar el resultado al cubo, que si seguimos el otro camino, es decir, elevar al cubo cada uno de los dos números por separado y luego multiplicar los resultados. Verifiquemos esto.

¡De las dos formas obtenemos el mismo resultado! ¿Cuál fue más sencilla de calcular? Revisa de nuevo el problema. ¿Cómo calculas más fácilmente

? Tómate unos momentos y cuando tengas una idea aprieta el botón.

Sólo se trataba de UNO ¿Qué hubiéramos hecho sin la cuarta Ley? Afortunadamente existe, así que:

Tú ya sabes que estas potencias de 10 te dan un UNO seguido de tantos ceros como indica el exponente, así que en este caso, tienes un UNO y 2005 ceros. Calcular la suma de todos los dígitos resulta muy sencillo:

Por supuesto que es UNO Como pudiste darte cuenta, fue posible transformar una situación que se veía muy difícil en otra muy sencilla que involucraba las potencias de 10 que tanto trabajaste en notación científica. Las Matemáticas también nos proporcionan estrategias y formas de trabajo como ésta, que además de desarrollar lo que se llaman habilidades de pensamiento nos ayudan a analizar situaciones cotidianas aparentemente muy complejas si sabemos convertirlas en otras que ya sabemos manejar. Si te llamó la atención el problema anterior y quieres resolver otro similar, aprieta el botón.

Por lo pronto, ¿Qué te parece que le pones a algún familiar o a amigo el problema anterior que resolvimos juntos? ¿Se asustarán? Tú ya sabes que no hay motivo para ello.

La quinta ley también permite hacer trucos

Léela con cuidado e intenta interpretar lo que

¿Y qué hay de la quinta ley? Veamos qué nos dice: está afirmando. Cuando tengas una idea aprieta Ya lo tengo

Hagamos un ejemplo:

¡Y así la expresión es más simple!

¿Listo para otro reto? ¿Cuál es el valor de

?

Para usar esta última ley, necesitaríamos que los dos elementos de la fracción tuvieran el mismo exponente y en este caso no es así. El numerador (50) está elevado a la 50, mientras que el denominador (25) está elevado a la 25. ¿Qué hacer? Busquemos la manera de que tengan los mismos exponentes, es decir, ¡convertirlo a la situación anterior que ya conocemos! Combinando leyes ¡Usemos la Primera Ley!, ¿la recuerdas? Esta es:

Aunque ahora requerimos utilizar la igualdad en sentido

inverso, es decir, partir el exponente en dos partes: Con esta idea, reescribimos quinta ley.

como sigue:

Así nuestra fracción está lista para que apliquemos la

Revisa con cuidado cada paso que se da entre un signo igual y otro, ya que incluyen operaciones con fracciones y el uso de otra ley en el penúltimo paso. Contesta lo que se te pide:

Comentario [U27]: Quizás lo pensaste con otras palabras, pero comprendiste que te permite saber cómo elevar una fracción a un exponente: basta elevar cada elemento de la fracción a dicho exponente. Por cierto, también se lee la igualdad en el otro sentido, es decir, si tienes una división de potencias con el mismo exponente, puedes dividir las bases y poner a cada elemento el exponente común.

Evaluación de salto

Recordando lo que es un exponente Ya trabajaste con exponentes y viste la ventaja de utilizarlos como una forma más concisa de escritura, en particular en la notación científica. En el manejo de las expresiones algebraicas, también nos sacan de apuros cuando se presentan expresiones complejas que pueden simplificarse mucho si aplicamos las leyes de los exponentes, combinadas con las operaciones que incluyen dichas expresiones. Aunque la idea de exponente surge inicialmente para simplificar la escritura de una multiplicación abreviada de un número por sí mismo varias veces (los exponentes naturales), pronto empezaron a surgir necesidades que llevaron a extender ese concepto hacia los enteros negativos y luego al cero. Por ello, revisamos contigo el significado de un exponente cuando es un número entero, ya sea positivo, negativo o cero. ¿Te acuerdas de la definición? Si no es así, aprieta el botón:

Pero, de la misma manera en que no fue suficiente la definición de exponentes enteros positivos, los matemáticos requirieron construir el significado de un exponente fraccionario y posteriormente de un número real cualquiera. Ello ha permitido trabajar, por ejemplo, con las llamadas funciones exponenciales que tienen múltiples aplicaciones en el cálculo del interés compuesto, el crecimiento de una población, la prueba del Carbono 14, la asimilación de un medicamento en la sangre, etcétera, como verás en las asignaturas de Matemáticas y Economía y, Modelos cuantitativos en ciencias de la vida. En esta parte del programa se extiende el concepto de exponente a los números racionales, es decir, a aquellos números que puedes escribir como el cociente de dos enteros. Por ejemplo 1/2, 2/3, 4/2, etcétera. (Recuerda que los números racionales incluyen a los enteros pero incorporan a las fracciones propias). Los exponentes se fraccionan Un concepto no se extiende con base a una ocurrencia de alguien, sino que debe cuidarse que las leyes y las condiciones que se tenían establecidas antes de extenderlo. Pensemos en la fracción más simple: ½. ¿Qué significado podemos darle a exponentes. Por ejemplo, si calculamos:

? Apoyémonos en las leyes de los

Por lo tanto, si Por otra parte, porque

tenemos que ver qué número multiplicado por sí mismo me da a. Ese es precisamente

.

se define precisamente como el número que multiplicado por sí mismo me da a. Por ejemplo . En general tenemos que

Por esta razón, se tiene que

¿Te imaginabas esto?

De una manera análoga, el concepto de exponente fraccionario se define en general de la siguiente manera: Si a, m y n son enteros positivos, entonces:

Cuando se presentan expresiones con muchos radicales, siempre es conveniente simplificarlas lo más que se pueda. Esto se hace aplicando las leyes de los exponentes y, por una convención, un procedimiento para que en el denominador no queden radicales. Para saber cómo se realizan este tipo de operaciones, ve al tema 3 de la materia de Física y su matemática.

Comentario [U28]: Radicales Un radical es otra forma de nombrar a la raíz de un número o de una expresión algebraica. Ejemplos de radicales son: