Estimación de Parámetros de Sistemas Lineales vía Matrices Operacionales Isidro I. Lázaro, Salvador Ramírez [email protected] [email protected] Facultad de Ingeniería Eléctrica-Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo Morelia, Michoacán C.P. 58030, México Juan Anzurez [email protected] División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Ingeniería Eléctrica-Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo Morelia, Michoacán C.P. 58030, México

RESUMEN En este artículo se presenta una técnica eficiente que permite identificar los parámetros de procesos que pueden modelarse como Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo (SLVT) o Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (SLIT), la herramienta se basa en la utilización de series ortogonales y herramientas de cálculo operacional las cuales permiten obtener un ecuación algebraica que se emplea para resolver el problema de identificación paramétrica cuando la dinámica del modelo es conocida. Como casos de estudio empleados para validar el método, se analiza un SLIT y otro SLVT. Debido a virtud de que cualquier serie ortogonal puede emplearse para realizar dicho análisis, la aproximación dependerá del tipo de serie seleccionada y el número de términos, en este artículo se emplean las series de Hartley para realizar la identificación paramétrica. Palabras Claves: Matriz Operacional, Series Hartley, Identificación Paramétrica, Sistemas Lineales Variantes e Invariantes en el Tiempo y Redundancia Analítica.

1.

INTRODUCCIÓN

El uso de las series ortogonales es ampliamente conocido en la aproximación y representación de funciones, su utilización ha recibido una atención considerable al emplearse en varios problemas de la dinámica de los sistemas, tales como el análisis, estimación de parámetros y control óptimo. Ejemplos típicos de aplicaciones se pueden encontrar en [1,2,3,4], en donde las matrices operacionales juegan un papel importante en la transformación de una ecuación diferencial lineal en ecuaciones algebraicas. Por ejemplo, una ecuación diferencial lineal con coeficientes variantes en el tiempo puede ser transformada en un conjunto de ecuaciones algebraicas vía matriz operacional de integración. En este artículo la matriz operacional de integración, la matriz producto y la matriz de coeficientes para las series ortogonales, permiten desarrollar una técnica para la identificación fuera de línea de parámetros de SLVT y SLIT. Aunque la solución es esencialmente la misma en todos los dominios, las características de las matrices intermedias que son empleadas son usualmente diferentes. Ejemplos de ello son la aplicación de los polinomios de Chebyshev de primer y

segundo tipo, series de Fourier, series Walsh, series de Bloques de Pulso, series Hartley y series Haar. Como caso particular se emplean las series Hartley para mostrar la aplicación de la técnica en la identificación de parámetros de dos sistemas, uno de ellos es un SLIT y el otro un SLVT. Los resultados de la técnica desarrollada se muestran a través de simulaciones realizadas en la plataforma de Matlab. El método utiliza el cálculo de la pseudoinversa en la solución de los parámetros estimados, así como la redundancia analítica, es decir la posibilidad de realizar varios experimentos sobre el sistema al cual se está identificando. 2.

PROPIEDADES DEL CÁLCULO OPERACIONAL Y EXPANSIÓN EN SERIES ORTOGONALES

Conceptos del Cálculo Operacional Los métodos algebraicos para la solución de problemas descritos por ecuaciones lineales diferenciales, tales como identificación de sistemas, análisis, control y reducción de modelos han sido propuestos recientemente. Los métodos algebraicos también han sido utilizados para calcular la solución del estado estable sistemas lineales invariantes en el tiempo, sistemas periódicos y no lineales. Estos métodos algebraicos proporcionan soluciones idénticas pero poseen diferentes propiedades numéricas. En estos métodos, la integración numérica de las ecuaciones diferenciales se basa en la expansión de funciones en series ortogonales, en donde la idea básica consiste en convertir la ecuación integral en una algebraica usando la matriz de integración [5,6]. Series Hartley Consideremos una función f (t ) definida sobre el intervalo [0,T], entonces f (t ) puede ser representada por las series Hartley como: t

f (t ) = FΦ (t ) Donde

F = [F−n L F−1

F0

(1)

F1 L Fn ](1, 2 n+1) t

(2)

(3) Φ(t ) = [φ −n L φ −1 φ 0 φ1 L φ n ] Las funciones base de las series Hartley se pueden definir como φ n = cas(nwt ) = cos(nwt ) + sen(nwt ) . Cada coeficiente del vector F, se calcula por:

3.

t

Fn = k ∫ f (t )Φ (t )dt

(4)

0

Por lo tanto cualquier función que cumpla las condiciones de Dirichlet en el intervalo [0,T] puede aproximarse por medio de un producto matricial como lo indica la Ec. (1), mientras mayor sea el número de términos que se tomen en la serie mejor será la aproximación. Las propiedades operacionales de las series ortogonales pueden ser escritas en términos de la matriz de integración, en donde el principal concepto es el hecho de que la integral de una serie ortogonal también puede ser expresada como una serie ortogonal, en términos generales esta puede definirse como: t

t

n n { ∫ T (τ ) dτ = P Φ (t ) ∫L

(5)

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE SLVT Y SLIT

Descripción del Método de Identificación Considere un sistema lineal variante en el tiempo descrito de la forma: •

donde x(t) es el vector de estado y u(t) el vector de entrada de ordenes n × 1 y q × 1 , respectivamente, y las correspondientes matrices de coeficientes variantes A y B de orden n × n y n × q , respectivamente. Utilizando aproximaciones vía series ortogonales las expresiones de los elementos aij (t ) y bij (t ) de las matrices A(t) y B(t) pueden ser expresados como:

aij (t ) ≅ Aij t Φ(t )

0 n 0

En el caso de las series Hartley en [5,6] se muestra como se puede derivar la estructura de la matriz de integración P, cuya estructura es: 1  −  n  M   1 −  2   −1  1 1 1 P=  1 π L π n 2  −1 1   1 1 −  2 2  N M   1 1 − n  n

(6)

(7)

[C ] Φ(t ) = ∏(t )c

(8)

La matriz [C] de orden 2nh+1 es la matriz de coeficientes dado un vector c [6,7].

c−1 + c1

2c0

c−2 + c2 2c−3 c−2 − c2

c−1 + c1 + c−3 − c3 2c−2 c−1 − c1 + c−3 + c3

c−1 + c1

0

0

c1 − c−1

c−2 + c2 c−1 + c1 + c−3 − c3

2c−3 2c−2

c−2 − c2 c−1 − c1 + c−3 + c3

2c0

2c−1

c−2 + c2

2c−1

2c0

2c1

c−2 + c2 c1 − c−1 + c3 + c−3 c−2 + c2

2c1 2c2 2c3

c−1 + c1 0 c−1 − c1 + c3 + c−3 2c2

2c0

c−1 + c1

+ c2 − c−2

+ c2 − c−2

c1 + c−1 + c3 − c−3 c−2 + c2

2c0 c−1 + c1

(12)

Aij = [Aij , − n L Aij ,0 L Aij ,n ]

[

Bij = Bij , − n L Bij ,0 L Bij ,n

La matriz de coeficientes es definida en término de la matriz producto y el vector de series ortogonales base como una matriz que satisface,

c−1 + c1

bij (t ) ≅ Bij Φ (t ) donde

t

Π (t ) = Φ t (t )Φ(t )

2c0

(11)

t

t

1 n  N   1  2   1  1 1 −1 − L 2 n          (2 nh+1)×(2 nh+1)

En el caso del análisis de SLVT es necesario definir dos matrices adicionales, las matrices producto y de coeficientes. El producto del vector de las funciones base de las series ortogonales y su transpuesta se llama matriz producto Π(t), esto es:

          1 [C ] =  2          

(10)

x(t ) = A(t)x(t ) + B(t)u(t )

    c1 − c−1    c2 − c−2    2c3    c2 + c−2     c−1 + c1    2c0   0

(9)

(13)

]

(14)

Similarmente, los elementos del vector x(t) y u(t) pueden ser aproximados como: xi (t ) ≅ X i t Φ(t ) (15)

ui (t ) ≅ U it Φ (t ) (16) Considerando (15) y (16) el producto de las series ortogonales A(t)x(t) resulta:  A11t Φ(t ) X 1t Φ (t ) + L + A1tn Φ (t ) X nt Φ (t )   t  A Φ (t ) X 1t Φ(t ) + L + A2t n Φ (t ) X nt Φ (t )  A(t )x(t ) =  21   M  t  t t t  An1Φ (t ) X 1 Φ(t ) + L + Ann Φ (t ) X n Φ (t ) 

(17)

Tomando el factor Aijt Φ (t ) X tj Φ (t ) , donde cada producto t Aijt Φ (t ) y X j Φ(t ) producen un escalar. Por esta razón, se

puede reacomodar el producto como se muestra en la Ec. (18), al aplicar la transpuesta al término X j Φ (t ) y la definición de la Matriz Producto [5,6]. Aijt Φ(t ) X tj (t )Φ(t ) = Aijt Φ(t )Φt (t ) X j = Aij  X j  Φ(t )

Donde

 X j  es

(18) la matriz de coeficientes del vector x(t). Ahora,

reconstruyendo el producto A(t)x(t) se obtiene:  A11t  t A A(t ) x (t ) =  21  M  t  An1

donde

 X j 

vector

de

t 22

A M Ant 2

[ X1 ]    [ X 2 ] Φ (t )  M    [ X n ]

(19)

A(t ) x(t ) = A [ X ] Φ (t ) (20) es la matriz de coeficientes correspondiente a cada coeficientes

(2nh + 1) × (2nh + 1) , matrices

A1tn   L A2t n  O M  t  L Ann 

A12t L

de

Xj,

esta

tiene

dimensiones

[ X ] es la matriz formada por todas la

coeficientes

 X j 

de

orden

n(2nh + 1) × (2nh + 1) . Mientras que A es una matriz construida por cada vector de constantes

Aijt

y es de dimensión

n × n(2nh + 1) . Φ(t ) es el vector de funciones base de (2nh + 1) ×1 . De manera similar se puede demostrar que el producto B(t )u (t ) se puede aproximar por.

B(t )u (t ) = B [ U ] Φ(t )

(21)

B , [ U ] y Φ (t ) son respectivamente n × q(2nh + 1) , q (2nh + 1) × (2nh + 1) y

En donde las dimensiones de las matrices son

(2nh + 1) ×1 . Una vez obtenidos estos resultados es posible determinar una expresión para resolver el problema de la identificación. Integrando ambos lados de la Ec. (10), obtenemos: t

t

0

0

x(t ) − x0 (t ) = A∫ x(t )dt + B ∫ u (t ) dt

(22)

Utilizando las propiedades de la matriz de integración y los resultados obtenidos en la Ec. (20) y la Ec. (21), tenemos: X Φ (t ) = X 0Φ (t ) + A [ X ] PΦ (t ) + B [ U ] PΦ (t ) (23) En la Ec. (23) X0 es del mismo orden de X y contiene las condiciones iniciales de cada variable de estado, tal y como se muestra en la Ec. (24).  (0 (0 X0 =    (0 Φ (t ) Cancelando en

L 0 x1 (0) 0 L 0)  L 0 x2 (0) 0 L 0)    M  L 0 xn (0) 0 L 0) 

(24)

ambos lados de la Ec. (23), obtenemos

[6,7]:

X =θ Z

(25)

θ = [A B X 0 ] [ X ] P    Z = [ U ] P 

(26)

donde:

(27)

 e 

e = [L 0 1 0 L]

(28) Es claro que para resolver este problema y obtener los parámetros estimados es necesario aplicar el método de mínimos cuadrados para obtener la pseudo inversa de θ , así: ^

θ = XZ t ( ZZ t ) −1

Fig. 1. Esquema de redundancia analítica. diferentes modos de operación cuando estos se excitan con diferentes tipos de entradas en diferentes intervalos de tiempo. Otra variante constituye la aplicación de la misma señal a diferentes frecuencias, corrimientos de fase o cambios de magnitud. Posteriormente se utiliza toda esta información en un mismo proceso de estimación, tal y como se observa en al figura 1, la desventaja de la redundancia analítica es que hace que el proceso de identificación se realice fuera de línea. 4.

RESULTADOS

A continuación se muestran los dos casos de estudio utilizados para validar la técnica de identificación. Caso de Estudio I: Motor de CD con imanes permanentes (SLIT) En este artículo se muestra como primer caso de estudio la estimación de parámetros de un motor de CD con imanes permanentes, para lo cual la máquina de CD se visualiza como un convertidor de energía electromagnética ideal, cuyo circuito equivalente se muestra en la figura 2.

(29)

Cuando se tiene un SLIT las expresiones mostradas en las Ec. (25) a (29), siguen siendo válidas, la única diferencia consiste en que las matrices de coeficientes [ X ] y [U ] , serán matrices diagonales, esto debido a que un SLIT es un caso particular de un SLVT. Redundancia Analítica Dentro de los sistemas dinámicos es frecuente encontrar una redundancia física, es decir, la implementación de varios dispositivos de las mismas características dentro de un mismo sistema de medición y/o control, por ejemplo, cuando se utilizan dos o más sensores para prever cualquier eventualidad ante una falla del mismo que ocasiones una inestabilidad del sistema, esta situación ocurre en aquellos sistemas en donde se requieren sistemas de respaldo para proporcionar cualquier confiabilidad del sistema. Otra alternativa a la redundancia física que suele ser más económica es la redundancia analítica. Este tipo de redundancia supone la posibilidad de realizar varios experimentos sobre el sistema a identificar, los experimentos realizados incorporan

Fig. 2. Circuito equivalente del motor de CD. Este motor de CD se puede modelar en variables de estado tal y como se muestra en la Ec. (30).

 Ra  •  − i  •a  =  La ω   K    J

K 1 La  ia  +   v    La a f ω   − r    0  J 

−

Donde: ia .- Corriente de armadura. ω .- Velocidad rotacional de la armadura K .- Constante de velocidad

(30)

La,.- Inductancia de armadura Ra,.- Resistencia del devanado de armadura fr .- Coeficiente de fricción viscosa J .- Inercia del rotor Caso de Estudio I: Identificación de parámetros de un Motor de CD (SLIT) Aplicando la metodología mostrada el sistema descrito puede reescribirse usando la Ec. (25), en este caso se consideran condiciones iniciales cero, por lo que se tiene: ∧

[I a

θ 448 6447 K 1 Ia P  R − L − L L   t  ω] =    ωP  K b  − 0  V P  J  J  a 

(31)

La Ec. (29) aplicada a la Ec. (31) permite obtener la identificación de parámetros utilizando la pseudoinversa de Z ∧

para estimar θ . Con esta técnica se obtiene la identificación de los parámetros del motor a partir de la Ia y ω, las cuales pueden provenir de un conjunto de mediciones. Los programas utilizados en el proceso de identificación fueron implementados en el lenguaje de programación de Matlab, la tabla 1 muestra los parámetros reales del motor de CD con imanes permanentes modelado a través de la Ec. 30 [3]. Tabla 1. Parámetros del motor de CD. Potencia nominal Pot 120 W Voltaje nominal Va 24 V Resistencia Ra 1.21 Ω Inductancia La 5.84 x 10-3 H Coeficiente K 8.574 x 10-3 V/rpm Inercia del rotor J 1.42 x 10-5 N.M.S. Coeficiente de fricción fr 2.45 x 10-5 N.M/rpm

Fig. 3 Señal de entrada aplicada al motor de cd. realizó usando como entrada un escalón de magnitud 24 (emulando el arranque del motor), mientras que en la segunda se contaminó la entrada con una señal cuadrada de amplitud de ± 2.5 del valor del escalón, tal y como se muestra en la figura 3. La estimación de parámetros tiene buena exactitud en ambos casos pues el error es menor del 5%. Con el fin de validar los resultados obtenidos al usar esta técnica de identificación se compararon las respuestas del sistema ante una entrada escalón al usar los parámetros reales y los identificados. La figura 4 muestra la gráfica de la corriente al aplicarse un entrada escalón de amplitud 24 V al motor de cd, en ella se aprecia que no existen diferencias notables entre la respuesta del sistema real contra el identificado.

Para lograr la identificación del sistema se realizaron simulaciones en el dominio del tiempo (ODE 45) del arranque del motor de CD, empleando una función escalón de magnitud 24, con el objeto de obtener la evolución de las variables ia y ω, que en este caso se obtuvieron con 2048 muestras para un tiempo de 2 segundos, cada una de ellas se pasaron al dominio de la frecuencia calculando sus coeficientes usando como base ortogonal las series Hartley para obtener las variables en el dominio de la frecuencia Ia y ω . Tabla 2. Resultados de la estimación de parámetro usando 512 términos. Parámetro Reales Hartley Hartley (entrada (entrada escalón) señal cuadrada) R Ω 1.21 1.210061 1.2097 L H 5.84E-3 5.85750E-3 5.864E-3 K Nm / A 8.57E-3 8.56983E-3 8.570E-3 J kgm2 /s2 1.42E-5 1.39301E-5 1.3959E-5 b Nms 2.45E-5 2.29492E-5 2.3118E-5 Utilizando 512 términos de la función base se obtienen los resultados mostrados en la Tabla 2, en donde se muestran dos resultados de la identificación de parámetros, una prueba se

Fig. 4 Comparación de la respuesta de la Corriente de Armadura ante entrada escalón de magnitud 24V. La figura 5 muestra la gráfica de la velocidad al aplicarse una entrada escalón de magnitud 24 al motor de cd, al igual que en el caso anterior no existen diferencias notables entre las respuestas del sistema real contra el identificado. Con la aplicación de esta técnica se puede resolver el problema de identificar parámetros, debido a que hay ocasiones en las que el fabricante no proporciona todos los parámetros de un sistema, o bien existen parámetros a los cuales no se les puede aplicar alguna prueba para conocerse, en cambio si se aplica esta técnica se pueden determinar todos los parámetro con tan sólo disponer de un conjunto de mediciones del comportamiento del motor.

Hartley (m), la redundancia analítica empleada es de cuatro, por lo que se aplican 4 señales distintas para generar los conjuntos de mediciones para [X] y [ U ] , las cuales fueron:

u1 (t ) = cos(t ) u2 (t ) = 0.3cos(2t ) + 0.1cos(5t ) u3 (t ) = 0.3s e n(2t ) + 0.1cos(3t ) u4 (t ) = 1.1cos(t ) + 0.02s e n(3t ) + 0.15cos(3t ) + 0.1sen(5t ) Los resultados obtenidos de los parámetros estimados vs parámetros reales se muestran en la figura 7, en donde tales parámetros se representar por: •

Fig. 5 Comparación de la respuesta de la velocidad ante entrada escalón de magnitud 24V. Caso de Estudio II: Circuito RLC (SLVT) Para mostrar la aplicación de la técnica en un SLVT, se presenta la identificación de parámetros de una red RLC con elementos lineales periódicos en el tiempo como la mostrada en la figura 6.

c(t ) a11 (t ) = − c(t ) 1 a21 (t ) = − L(t )

a12 (t ) =

1 c (t )

•    R(t ) + L(t ) a22 (t ) = − L(t )

Fig. 6 Circuito RLC con elementos periódicos. Al analizar el circuito eléctrico mediante LVK y LCK se obtiene el modelo de la red como se muestra en la Ec. (32)  •  1  − c (t )  • (32)  x (t )   c (t ) c (t )   x (t )   0  1  =   1  +  1  Vs (t ) •    x (t )   •    R (t ) + L(t )    2   L (t )   x 2 (t )   1  − L (t ) −  L (t )   donde

vc (t ) = x1 (t )

Fig. 7 Comparación entre los parámetros estimados de la matriz con respecto a los reales usando 35 términos.

i (t ) = x2 (t )

Los parámetros de la red descrita por la Ec..(32) son:

R(t ) = 0.5 + 0.1s e n(t ) L(t ) = 0.4 + 0.1s e n(t ) c(t ) = 0.01 + 0.001sen(t ) •

c(t ) = 0.001cos(t ) •

L (t ) = 0.1cos(t )

Vs(t ) = cos(t ) Para aplicar la técnica propuesta para la estimación de parámetros se resuelve la Ec. (32) usando un método de integración numérica (ODE45). Con el fin de proporcionar vía simulación las mediciones requeridas. Para realizar las simulaciones se implementaron los algoritmos del cálculo operacional en Matlab y se utilizaron 35 términos de las series Hartley (nh) y 256 puntos para obtener la transformada de

Fig. 8 Comparación entre los parámetros estimados de la matriz con respecto a los reales usando 45 términos. De la figura 7 se observa que el error en la identificación es pequeño, al realizar dicha comparación entre parámetros, éste disminuye notablemente al incrementar el número de términos de la serie Hartley. La figura 8 muestra esta tendencia cuando

Fig. 9 Histograma del error para nh=45. nh=45. Así mismo, es posible emplear menos términos a cambio de incrementar la redundancia analítica. En la figura 9 se puede observar que el error tiene una distribución gaussiana lo que permite juzgar la calidad del modelo encontrado en el proceso de identificación, en promedio el error en cada parámetro estimado es cero. Con respecto a los parámetros de la matriz B, como se observa en la Ec. (32), uno de ellos es el negativo del elemento a21(t), mientras que el otro es una constante y por razones de espacio no se muestra en este artículo dichos resultados. De los resultados obtenidos se desprende que la técnica fuera de línea es confiable y de sencilla implementación computacional, por lo tanto, puede adaptarse para realizar identificación con mediciones obtenidas directamente del sistema físico a identificar. 5.

CONCLUSIONES

Se ha presentado una técnica basada en el dominio de la frecuencia para la estimación de parámetros de SLVT y SLIT, está emplea como herramienta la teoría de cálculo operacional y usa como base la matriz de integración para proporcionar una ecuación algebraica que permite la identificación de parámetros, ésta última es resuelta por medio de la pseudoinversa. Además la técnica permite determinar los parámetros del modelo continuo del sistema, es decir, se realiza la estimación sin tener que discretizar el modelo. Los casos de estudio abordado permiten mostrar la facilidad en la implementación computacional del método y la confiabilidad de los resultados. De la comparación realizada entre los parámetros estimados y los reales se observa que el error promedio disminuye a medida que el número de términos tomados para la serie ortogonal aumenta, en el caso de los SLIT el error esta por debajo del 5% y en el SLVT el error presenta una distribución gaussiana donde el error promedio es cero, lo cual valida el modelo obtenido. 6.

REFERENCIAS

[1] M. Razzaghi, A. Arabshahi, “Analysis of linear varying and bilinear systems via Fourier series”, International Journal of Control, V. 50, No. 3, pp. 889-898, 1989. [2] C. F. Chen, Y. T. Tsay, “Walsh Operational Matrices for Fractional Calculus and their Application to Distributed

Systems”, Journal of the Franklin Institute, Vol. 503, No. 3,pp. 267-284, March 1977. [3] L. Cheng-Chiian, S. Yen-Ping, Analysis and Optimal Control of Time-Varying Systems via Chebyshev Polynomials, International Journal of Control, V. 38, No. 5, pp. 10031012, 1983. [4] M. Samavat, A. J. Rashidie, “A New Algorith for Analysis and Identification of Time Varying System”, Proceeding of the American Control Conference. Seattle, Washington, pp. 708-712, June 1995. [5] I. I. Lázaro, J. J. Rico & G. T. Heydt, “Analysis of switching Loads in Networks Using Operational Matrices ”, IEEE Power Engineering Review, March 2000, pp. 51-53. [6 ] J. J. Rico, G. T. Heydt, A. Keyhani, B. L. Agrawal, D. Selin, “An Algebraic Approach for Identifying Operating Point Dependent Parameters of Synchronous Mechines Using Orthogonal Series Expansions”, IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol 16, No. 1,pp. 92-98, March 2001. [7] N. Alvarado, “Identificación de Cargas ante Condiciones no Senoidales, usando Técnicas de Estimación en el Dominio de la Frecuencia mediante Matrices Operacionales”, Tesis de Maestría, División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Ingeniería Eléctrica de la UMSNH, Enero 2001. BIOGRAFÍAS: Isidro Ignacio Lázaro Castillo nació en Cordoba, Veracruz, México. Recibió el grado de Ingeniero Electricista en la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, el grado de maestro en Ingeniería Eléctrica en la misma Institución en 1992 y 1999 respectivamente. Actualmente es Profesor Investigador de tiempo completo de la misma Facultad. Autor del libro Ingeniería de Sistemas de Control Continuo. Sus áreas de interés son Calidad de la Energía, Control e Instrumentación. Juan Anzurez Marin, nació en el estado de Puebla en 1968. Recibió el título de: Ingeniero Electricista por la Facultad de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo en 1991; Maestro en Ciencias en Ingeniería Electrónica opción instrumentación por el Instituto Tecnológico de Chihuahua en 1997 y Dr. en Ciencias en Ingeniería Eléctrica por el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN, CINVESTAV, Unidad Guadalajara en 2007. Ha sido profesor de la Facultad de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Michoacana desde 1987 actualmente colabora tanto en los programas de Licenciatura como en Posgrado de la misma Facultad. Sus áreas de interés son Instrumentación y Control de Sistemas así como el desarrollo de algoritmos para el Diagnóstico de Fallas en Sistemas no Lineales. Salvador Ramírez Zavala nació en Morelia, Mich. Recibió el grado de Ingeniero Electricista en la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, el grado de Maestro en Ingeniería Eléctrica en la misma Institución en 1990 y 1998 respectivamente. Sus áreas de interés son, Control e Instrumentación.