ESTRATEGIAS PARA APRENDER MATEMÁTICA

¡Bienvenido a la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales! Desde nuestro lugar, queremos ayudarte en tu inserción a nuestras aulas. Para ello confeccionamos este documento que pretende brindarte algunos elementos, estrategias y actividades, que puedan orientar tu estudio personal y te sirvan para reflexionar y actuar durante la organización de tus actividades como estudiante de matemática. ¿QUÉ SUPONE ESTUDIAR MATEMÁTICA? En general, los alumnos que ingresan a la Universidad estudian de manera independiente en muy escasos momentos, en general antes de una evaluación. Sus actividades se restringen al trabajo que se realiza en clase produciendo una fuerte dependencia hacia el profesor, no están acostumbrados a utilizar libros de matemática y las carpetas suelen estar llenas de respuestas a ejercicios que ni siquiera están enunciados. Pero, Estudiar, queridos estudiantes, significa mucho más que resolver ejercicios de la carpeta o similares, aunque esta actividad está incluida en el estudio. Estudiar un concepto involucra, entre otras cosas, relacionarlo con otros conceptos, identificar qué tipos de problemas se pueden resolver y cuáles no con esta herramienta, saber cuáles son los errores más comunes que se han cometido en la clase como parte de la producción y por qué. Cada disciplina tiene una especificidad en su quehacer, tiene formas particulares de producir, de comunicar y validar conocimientos, y en matemática esto se hace mucho más evidente. Estas formas específicas que irás conociendo, siempre deben estar incluidas en el momento del estudio; es decir, no puedes estudiar desconociendo, por ejemplo, las maneras de establecer la verdad en matemática. Estas formas específicas de producir conocimiento, de validarlo y de comunicarlo deben estar incluidas en el estudio y ello supone la utilización de estrategias de aprendizaje que te permitan buscar soluciones, no simplemente memorizar procedimientos; explorar patrones, no simplemente memorizar fórmulas; formular conjeturas, no simplemente resolver ejercicios. Recuerda: Estudiar matemática supone, además de resolver ejercicios, resolver problemas, construir estrategias de validación, comunicar y confrontar con otros el trabajo producido y reflexionar sobre el propio aprendizaje.

¿QUÉ ASPECTOS CARACTERIZAN LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA? La Comunicación a través del lenguaje matemático Algunos autores definen la matemática como una ciencia exacta que tiene un sistema de códigos y símbolos que le permiten expresar ideas contextualizadas a una situación determinada. Por ello para comprenderla es necesario entender la sintaxis y semántica de su lenguaje. Es fundamental para los alumnos que estudian matemática hacer del uso de su lenguaje, en sus diferentes formas (oral, escrito, simbólico y gráfico), una actividad cotidiana, porque esto les ayudará a desarrollar el pensamiento lógico – formal, a construir caminos propios de razonamiento y de estrategias a la hora de resolver problemas, a precisar, simplificar y formalizar ideas y conceptos propios de la disciplina.

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A través de diferentes actividades matemáticas podrás comprender que el lenguaje matemático, es la herramienta que te ayudará a construir lazos entre tu experiencia matemática informal y los símbolos abstractos usados por ella, a optimizar tu vocabulario y tus maneras de expresar ideas. Es decir el dominio del lenguaje matemático te permitirá ganar comprensión y poder, sobre una situación (problema) o decisión que es muy difícil de explorar y expresar sin usar los símbolos y los gráficos. La Resolución de ejercicios y problemas: Una actividad fundamental en matemática es desarrollar la capacidad para ‘manipular’ y también ‘leer a través’ de expresiones simbólicas, como dos aspectos complementarios en la resolución de problemas algebraicos. Es decir, debes aprender, por un lado, a separarte de los significados y adoptar una visión global de las expresiones simbólicas para poder manipular con ellas de manera rápida y eficiente; y por otro lado, aprender a leer “a través” de las expresiones simbólicas con el objeto de captar significados. Este trabajo te permitirá armonizar las manipulaciones automáticas con ciertos niveles de razonabilidad. La resolución de problemas es la actividad diaria de un alumno que estudia matemática. Estos son muy importantes en tu formación porque te permiten adquirir entrenamiento para desarrollar estrategias de pensamiento, métodos de razonamiento y de validación. La Validación, Justificación y Demostraciones En la vida en sociedad estamos permanentemente inmersos en situaciones de comunicación en las que intercambiamos ideas, opiniones y, frente a las diferencias, necesitamos argumentar a favor de una idea propia y analizar si nos parecen valederas las razones de nuestros interlocutores, para avanzar en el propósito de convencer y convencernos, propio de una comunidad que elabora consensos sobre normas y valores. Cuando el intercambio de argumentos se produce entre los integrantes de una comunidad de producción de conocimientos (por ejemplo en una clase), se van elaborando formas de argumentación que justifican su validez; pero, en algún momento se pueden producir dudas sobre ello y entonces se debe revisar la pertinencia de lo enunciado o investigado. Estas actividades, la justificación y validación de argumentos, son esenciales para trabajar de manera autónoma y permiten desarrollar el método de trabajo y de razonamiento en matemática. Los razonamientos considerados como procesos de pensamiento, son aquellos mediante los cuales se sacan conclusiones a partir de cierta información. En ocasiones, al observar varias veces que una acción produce un mismo resultado, se puede elaborar la conclusión que esa acción tendrá siempre el mismo resultado. A esta clase de razonamiento, propio de las ciencias naturales, se le llama razonamiento “inductivo” y a la conclusión que se obtiene a través de este razonamiento se la llama generalización. En matemática también podemos utilizar este tipo de razonamientos para formular “conjeturas”, es decir aquellos enunciados generales de los cuales se sospecha que pueden ser verdaderos. Existe otro proceso de razonamiento que se utiliza en matemática y es el razonamiento “deductivo”, que consiste en aceptar cuestiones generales (llamadas postulados) para obtener conclusiones para casos particulares. Todos aquellos enunciados que se derivan de esta forma, se llaman “teoremas” y el proceso que requiere del razonamiento deductivo para probar que son verdaderos se llama “demostración”.

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¿QUÉ ESTRATEGIAS Y ACTIVIDADES PUEDEN ORIENTARTE EN LA COMPRENSIÓN DE LOS DISTINTOS CONTENIDOS? Muchas veces los profesores nos encontramos en una situación en que los alumnos nos preguntan qué hay que utilizar para resolver un cierto problema:"¿Es de regla de tres simple directa o inversa? Sólo dígame eso y yo después lo resuelvo." Es claro que nos están preguntando lo esencial del problema. Pero, ¿por qué esto no resulta evidente para los alumnos? ¿Por qué para ellos la búsqueda de las herramientas adecuadas no forma parte esencial en la resolución de un problema? ¿Por qué la tarea se restringe a la aplicación de un algoritmo que, si fuera por ellos, debería estar "adosado" al enunciado? ¿No crea esto una ficción? Los que resolvieron el problema no fueron los alumnos, sino el profesor, quien les dijo qué concepto tenían que utilizar, pero puede suceder que el alumno piense que fue él quien llegó a la respuesta. Pensamos que de esta manera, ustedes, los alumnos, pueden crearse una idea equivocada acerca de cuánto saben: "No sé qué me pasó en la prueba, si yo en clase resolví todos los ejercicios y me salieron bien. Después los volví a hacer para estudiar e igual me fue mal. No entiendo qué pasó." Creemos, entonces, que esta actividad de anticipación de procedimientos y la dependencia del profesor, están relacionada con la toma de conciencia por parte del alumno de cuáles son sus responsabilidades. Pero los cambios no se consiguen de un momento para el otro, sino que requieren tiempo. Cada uno de ustedes debe proponer los caminos y estrategias que te permitan solucionar los problemas planteados. No todo se resuelve de la misma forma Las estrategias de aprendizaje que pondrás en práctica surgirán de tu estado motivacional de acuerdo con las demandas de las tareas que deberás realizar. Es por esto que, las siguientes actividades estarán orientadas a motivarte hacia el desarrollo de estrategias que te permitan aprender de forma significativa y autónoma; es decir a planificar, controlar y valorar tu actuación, intentando utilizar “en forma reflexiva” las técnicas y los procedimientos aprendidos a través de la resolución de ejercicios y problemas. También podrás adquirir las herramientas que te permitan analizar, antes de empezar una tarea, qué sabes y qué desconoces de ella, cuáles son sus características y su finalidad, podrás justificar adecuadamente tus decisiones sobre los procedimientos y algoritmos que se deben utilizar en función de las reflexiones precedentes. ¿Qué Instrumentos necesitas para estudiar? La Carpeta La carpeta es el espacio en el que se deja registro de las interacciones que se producen en la clase a propósito de un saber matemático. Tiene, o debería tener, un valor instrumental importante. Para que este valor instrumental pueda construirse, es necesario que sea el alumno quien elabore y decida cómo incluir en la carpeta los aspectos centrales del trabajo, para ello debes considerar lo esencial y tener en cuenta que: a) La solución de los ejercicios y problemas planteados en las guías de Trabajos Prácticos deben estar acompañadas de alguna reflexión o de discusión a cerca del procedimiento utilizado, o a cerca de los errores que se pudieron haber cometido (o que se cometieron) al resolverlos, con anotaciones personales que faciliten tu estudio posterior. También al finalizar la guía puedes elaborar una síntesis de lo aprendido hasta el momento o las relaciones que tiene con lo aprendido en guías anteriores.

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b) En general, “parte de la teoría” estará explicada por el profesor durante la clase, por ello debes aprender a Tomar Apuntes. Esta técnica es necesaria en la Universidad. Es evidente que para una buena toma de apuntes debes estar atento en clase y con una actitud positiva tanto hacia el profesor como hacia lo que se expone. Para facilitar la toma de apuntes es conveniente que anteriormente se haya leído el tema de clase, y ya saber el tema dictado en la clase anterior. Podrías, además tener en cuenta: - Anotar constantemente y no dejes de lado los comentarios del profesor, aunque te parezcan triviales. - Interpretar las ideas del que habla y, si es posible, expresarlas con tus palabras, a excepción de que lo tratado sea la rigurosidad del lenguaje matemático. - Escribe lo más claro posible. - Anota los ejemplos, diagramas, etc, que el profesor propone en cada tema (Ayudará a la memoria visual). - Marca las ideas o conceptos que el profesor repite, reitera o destaca con inflexiones de la voz, anotaciones especiales o referencias aparte. - Anota las recomendaciones dadas por el exponente en cuanto a bibliografía, puntos de vista, aplicación de los temas, etc. - Deja espacios suficientes (conviene los márgenes amplios) para facilitar la complementación posterior (como por ejemplo: colocar subtítulos, destacar ideas centrales, agregar aspectos faltantes, anotar dudas, opiniones personales o aspectos tomados de textos) - Repasa bien las notas de cada clase, antes de iniciar apuntes de otra. c) Se puede completar la carpeta, ya sea la solución de un ejercicio o problema, o la toma de apuntes, con información extraída de libros de texto. Esta tarea de complementación es muy importante y hace que la carpeta sea un instrumento fundamental para estudiar bien. Esto significa que podemos incluir definiciones sobre los temas trabajados, se pueden resolver los ejercicios de otra forma, averiguar si se utiliza la misma notación, y muchas cuestiones más que a vos se te pueden ocurrir. d) También puedes incluir las crónicas del día, esto es, una actividad que estaremos poniendo en práctica en este curso. Consiste en escribir, al finalizar cada clase, qué se hizo, qué se debe retener de las actividades que se llevaron a cabo, qué se aprendió, qué tipo de ejercicios o problemas se trabajaron, cuáles fueron los errores más comunes que se cometieron, qué técnicas de resolución es conveniente aplicar en la solución de los ejercicios, porqué una estrategia de resolución de problemas es más apropiada que otra, etc. Resulta así la crónica de cada día una síntesis fundamental, cuya lectura servirá de punto de partida para iniciar las actividades del día siguiente. e) Si quieres, también, puedes dedicarle una parte de la carpeta a elaborar un Glosario de términos matemáticos al cual puedes remitirte cada vez que necesites recordar algún concepto. De esta manera te irás independizando de la figura del profesor como única fuente de información y de confirmación en la clase. Además, esto servirá para que frente al “esto no lo vimos” respecto de un determinado tema, se te irá haciendo costumbre en la clase mirar previamente el glosario, una suerte de memoria colectiva como ayuda a la memoria individual. El libro de texto

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En la escuela secundaria el libro sólo ha sido utilizado para sacar ejercicios, ya que la "teoría" la explicaba el profesor. Si bien esta circunstancia también ocurre en la Universidad, deberás consultarlo con mayor frecuencia no sólo para completar la carpeta, como vimos anteriormente, sino también para aprender mejor el lenguaje matemático, para analizar si los conceptos coinciden o no con los dados en clase. En caso de no coincidir, deberás profundizar sobre esas diferencias: ¿son sólo diferencias de lenguaje?, ¿se están definiendo, bajo el mismo nombre, conceptos diferentes?, ¿es una definición más general que la otra? De esta manera se estaría prestando especial atención a las distintas formulaciones de un concepto. También puedes analizar, para un tema que se haya estudiado, si los subtítulos del correspondiente capítulo del libro fueron todos trabajados en clase. Si tienes distintos libros disponibles puedes comparar el desarrollo de un mismo tema. ¿Qué actividades te ayudarán a reflexionar y a actuar en matemática? Resolver problemas Para resolver un problema, cada alumno debe proponer su estrategia de solución, pero si no tienes experiencia en ello te podemos dar algunas sugerencias útiles: - Trata de comprender el enunciado: Lee el problema, trata de entender el significado global, distingue los datos de la incógnita, observa la relación entre ellos, intenta expresar el problema con tus propias palabras. - Intenta comprender el problema: haz un dibujo, un esquema, una representación de la situación, experimenta, considera el problema con datos más sencillos. Si no sabes cómo empezar, identifica lo que QUIERES hacer y lo que SABES hacer. - Busca unas cuántas estrategias, algo que te ayude: resuelve primero un problema más sencillo, haz un esquema, una tabla, un diagrama, elige un papel apropiado, usa lápices de colores, tantea, elabora preguntas, identifica pautas o regularidades, considera casos particulares, comienza por el final - Selecciona una estrategia y trabaja con ella: sin desanimarse ante las dificultades, sin empecinarse en una idea o camino, anota lo que haces (qué y cómo lo haces), acude a otra estrategia si la elegida no funciona, trata de llegar hasta el final - Revisa: repasa las operaciones y los razonamientos, pregúntate si tiene sentido la solución o es absurda, explica lo que has hecho de manera que otra persona pueda entenderlo, verifica tu trabajo, cuestiónate luego si el problema se puede resolver de manera más sencilla, ¿qué ocurriría si…?, enuncia variantes del problema y resuélvelo. Anticipar la resolución Consiste en tratar de poder decir cómo se puede resolver un problema, pero sin hacerlo. Es decir, poder plantear alguna estrategia de resolución, sin desplegarla totalmente, predecir una postura frente a la situación planteada justificándola. Luego el paso siguiente será resolverla y ver efectivamente si la estrategia considerada fue correcta o no. Tratar el error Es habitual que en las clases de matemática el alumno se dirija exclusivamente al docente con la intención de mostrarle qué sabe o para preguntarle una duda. No desea ser oído por sus compañeros en caso de decir algo inexacto o no pertinente. El cambio al que apuntamos implica que dejes de considerar al profesor como interlocutor privilegiado

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y que te dirijas más a sus pares. No se trata sólo de que muestres frente a la clase sólo lo que sabes, sino que puedas explicar y dudar a cerca de tus respuestas y enfrentes los errores con actitud crítica y de aprendizaje. Mientras que consideres el error como sinónimo de anormalidad, de falta, de tiempo perdido, tratando de disimularlo, será difícil tu aprendizaje. Sin embargo, si el error es discutido y analizado, con sumo respeto, por la clase y se explicitan cuáles son las concepciones erróneas que llevaron a producirlo, podrás obtener herramientas de control y sabrás qué actitud tomar para no volver a cometerlo. La Evocación: Evocar significa revisar los conceptos aprendidos o problemas resueltos desde otra perspectiva no ya como resolutores sino como personas que reflexionan sobre los mismos. Puede ocurrir que para algunos alumnos sea necesario volver a resolver, o aplicar otro procedimiento de resolución distinto del utilizado en clase, o bien puede consistir en una explicación de cómo fue tratado y de qué otra manera podría haberse encarado, sin llegar a resolver, sino más bien como una oportunidad para reflexionar a cerca de lo aprendido. Los alumnos que no entendieron encuentran otra oportunidad y una razón para hacerlo puesto que deberán hablar de lo sucedido y describirlo sin poder actuar. Puestas en común y debates La obtención de conclusiones por parte de los alumnos no se da de manera espontánea, en general, no saben cómo hacerlo. Pero, sacar conclusiones a propósito de problemas, confrontar distintos procedimientos, opinar acerca de la validez de una conjetura, son actividades fundamentales del trabajo matemático, por lo cual es una actividad que debes aprender a realizar y los profesores deben ayudarte para lograrlo. Las puestas en común tienen varios objetivos; dos esenciales son la confrontación de procedimientos y la producción de conclusiones colectivas. Para que la puesta en común tenga sentido, es necesario que exista cierta incertidumbre respecto de aquello que se discute. A nadie le resulta estimulante involucrarse en un debate sobre algo acerca de lo cual hay una certeza absoluta. Por otro lado, la incertidumbre que se genera en la clase respecto del valor de verdad de una cierta cuestión resulta entonces un elemento esencial que contribuye a la conceptualización. Las exigencias de explicitación, de argumentación, de revisión y de validación brindan oportunidades para transformar el conocimiento y hacerlo más reconocible; son por esto, elementos esenciales en la constitución del sentido de los conocimientos. Durante el debate, cada grupo expone sus conclusiones y se entera de las conclusiones de los demás. Luego, según el caso, defiende la propia postura o la deja de lado para adoptar la postura de otro. Sin embargo, la explicitación de los puntos de vista será de interés si se expresan en un marco en el cual todos puedan ser escuchados. Es decir, que el debate no consiste en oponer una opinión a otra o en forcejear esperando el arbitraje del profesor, sino que su funcionamiento exige a todos aportar argumentos basados en hechos que los demás puedan constatar.

¿Cómo organizar los Repasos?

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Es obvio que son los alumnos, y no el profesor como pasa a veces en la escuela secundaria, quien debe ser la parte activa del repaso antes de una evaluación. Por lo tanto cada uno tendrá su estrategia, pero, podemos señalarte algunas que te pueden ayudar en las distintas instancias de repaso:

a) “Machetes”: Consistiría en una síntesis de los temas estudiados. Puede incluir mapas conceptuales o esquemas que relacionen los diferentes conceptos, las fórmulas con las aclaraciones que corresponda a cada una, ejemplos, aclaraciones, carteles de precaución. Elaborar un “machete” de esta manera es muy interesante porque te ayudará a reflexionar acerca de cuáles son los aspectos más importantes para recordar y cuáles son los errores comunes. También es interesante exponerlo en clase o mostrárselo a un compañero para que puedan hacerle aportes referidos a aspectos que no hayas tenido en cuenta. De esta manera, podrás organizar un repaso, que no necesariamente debe realizarse antes de una evaluación escrita, sino que puede hacerse en cualquier momento del aprendizaje e irse completando.

b) “Explicación a un compañero”: Después de comprender un tema, puedes intentar comunicarle a un compañero lo que aprendiste, para ello debes previamente organizar esa explicación para que él pueda comprenderte y simular por un momento que eres profesor (en fin, la mayoría de ustedes lo serán), y éste será un buen momento para practicar la comunicación oral, que en un futuro cercano lo pondrás en práctica durante los exámenes. Es importante para tu formación y para aprender a estudiar, el intercambio de información que se realiza en clase, la posibilidad de discutir, reflexionar, modificar lo que cada uno hizo, justificar las razones por las cuales está haciendo una elección en particular y no otra y, además, debes poder aceptar como útil el trabajo hecho por otro compañero adoptando aquellas partes que sirvan para completar el propio.

c) “Preparación de un examen”: Lo primero que tienes que hacer es quitarle esa trascendencia al examen como algo imposible de lograr o de lo difícil que será. Luego, es necesario que conozcas con claridad los contenidos que tienes que estudiar. A partir de allí podrás tener una idea de cómo te organizarás: con gran memorización, con conexión de ideas, con todos los datos hasta los de menos importancia, analiza qué tipo de problemáticas se resolvieron alrededor de los conceptos que se estuvieron trabajando en un determinado momento, cuáles son las diferencias y similitudes entre ellos, es decir qué sentidos del objeto matemático se ponen en juego en cada uno. También puedes proponer preguntas a cerca de lo que tú piensas que no se puede pasar por alto en un examen.

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A continuación presentaremos distintos tipos de estrategias y actividades que puedan orientarte a aprender estudiar matemática ACTIVIDADES 1) Calcula la suma y la diferencia entre el mayor número de siete cifras y el menor número de siete cifras. Cuéntale a un compañero cómo lo hiciste y qué tuviste en cuenta 2) El siguiente dibujo representa el piso de una habitación

a) ¿Cuántas losetas enteras (sin partir) hay? b) Las losetas miden 40 cm de lado. Si las que acabas de contar y las pusiéramos una detrás de la otra, en fila india, ¿qué longitud alcanzarían? c) ¿Qué dimensiones, en losetas, tiene el suelo de la habitación? d) ¿Cuál es la superficie del suelo? e) Si la altura de la habitación es de 2,80 m ¿Cuál es el volumen? f) ¿Cuánto costará pintar las paredes y el techo a $25,90 el m2 (Los pintores no descuentan la superficies de puertas y ventanas). A través de este problema, se pretende que repases un poquito las operaciones entre números, por ello te pedimos que hagas las cuentitas a mano y luego puedes revisarlas con la calculadora. 3) Queremos generalizar. Si designamos con

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al lado de la loseta ¿cuáles son las

expresiones que responden a cada uno de las preguntas del ejercicio anterior? 4) La suma de tres números es de 12725; los dos primeros suman 7560 y el segundo es 2349. Calcula los tres números. a) Identifica cuáles son los datos y la o las incógnitas. Utiliza símbolos para expresar la relación entre ellos. b) Escribe el procedimiento que utilizaste para resolverlo. c) ¿hay una única solución para el problema?; d) ¿el procedimiento se adapta a cualquier conjunto de datos?, por ejemplo si se hubiera trabajado con mayor cantidad de números, o si alguno fuera negativo. e) ¿puede suceder que si se cambian los valores de los datos se llegue a un problema sin solución? 5) Se repartió una herencia de 16 millones y medio de pesos entre la viuda, su hijo y su hija, de modo que el hijo recibió la mitad de lo que recibió su hermana y, esta, el triple de lo que recibió su madre. ¿Cuánto recibió cada uno?

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6) Si no elaboraste una expresión simbólica que representa la situación problemática anterior. Hazlo y verifica que resolviéndolo de esta manera puedes llegar a la misma respuesta. ¿Te resulta útil la notación simbólica? 7) ¿Podría suceder que al dividir un número natural entre otro resulta un decimal con infinitas cifras no periódicas? Escribe los argumentos que te permiten justificar tu respuesta. 8) Considera la siguiente afirmación: “Si al cuadrado de un número le restamos el producto del siguiente por el anterior, el resultado da siempre 1”. ¿Es cierto? ¿Cómo lo explicas? ¿Se cumple para todos los números o sólo para algunos? ¿Por qué? ¿Puedes considerar como número el 2/7? (No te olvides de anotar en tu carpeta, todo lo que tuviste en cuenta para llegar a tus respuestas, hasta lo que discutiste con tus compañeros). 9) ¿Puedes construir un triángulo rectángulo de lados 3 2 cm, 3 cm y 3 cm? ¿Por qué? 10) Decidir si son Verdaderas o Falsas las siguientes afirmaciones, justificando la decisión tomada, utilizando para ello ejemplos o contraejemplos. a) No existen números irracionales entre el 1 y el 2 b) No existen números irracionales entre el 0 y el 1 c) Existen infinitos números racionales entre el 1 y el 2 d) Existen infinitos números entre el 1,23 y el 1,2333333… 11) Elabora problemas sencillos donde se incluya el número 3/5 como: a) parte de una unidad b) porcentaje c) como número decimal periódico. 12) Ordena de menor a mayor los siguientes números: -3; 4; 2 ; -15; -1,2; - 2 ; 0 ; 0,001; 0,01; 1,41; -100; 101. 13) De los números anteriores, ¿cuáles son mayores que 1 y menores que -1? 14) Indica las características de los ejercicios de la guía desde el 69 hasta el 114. ¿Qué tipos de problemáticas se trabajaron, cuáles son las diferencias y similitudes entre ellos?. 15) Un utilitario tiene que transportar cuatro tipos de insumos agropecuarios: A, B, C y D, los que se llevarán en cajas. Una caja del insumo A pesa 10 Kg, una caja del insumo B pesa 15 Kg, una caja del insumo C pesa 12 Kg y una del insumo D pesa 20 Kg. La capacidad del utilitario es 600 Kg. a) Determina la ecuación adecuada para que el utilitario esté cargado en toda su capacidad. ¿Existe una única solución? Ejemplifica b) Si se decide enviar 13 cajas del insumo A, 10 del B y 10 del C. ¿Cuántas cajas del insumo D se enviarán? Explica el procedimiento utilizado c) Si se decide enviar un solo insumo por vez, ¿Cuántas cajas de cada insumo se podrán transportar? d) Si cada caja del insumo A, B, C y D cuesta $98, $49, $57 y $123, respectivamente y un cliente dispone de $1316 para su compra. Elabora

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una ecuación de manera que el cliente pueda ocupar todo el dinero disponible, y una posible compra del cliente. 16) Encuentre todos los pares ordenados de números reales que satisfacen la ecuación 4x + 3y = 5. a) Escribe esos pares ordenados en una tabla. ¿Todos obtuvieron el mismo conjunto solución? ¿Por qué? b) ¿De qué otra manera puedes expresar ese conjunto? c) ¿Cuál de todas las formas te parece más apropiada?, ¿por qué? 17) Dada la ecuación:

2x  3 2 4x  6

a) Trata de anticipar: sin resolverla, escribe qué se lee a través de su expresión simbólica. ¿tendrá solución? ¿por qué? b) Ahora, resuélvela por el procedimiento que consideres conveniente y luego verifica si tu anticipación fue acertada completamente o en algunos aspectos. 18) Expresa todo lo que puedes leer a través de la siguiente expresión: 4n(n+1) siendo n un número natural. Es decir, qué características tienen los números representado de esta manera. 19) ¿Existen números que verifican las siguientes desigualdades? Justifica tu respuesta con ejemplos y contraejemplos. a) x ≥ 3 y x < 7 b) x ≤ 2 y x > 5 c) x ≥ 2 y x ≤ 2 d) │x -1│< -7 d) │x +4│ > 7 20) El dinero que tienes que pagar a un banco por el dinero que te han prestado es proporcional a la cantidad de dinero. También es proporcional al tiempo durante el que te lo presta. Elabora un enunciado que represente un problema de este tipo. 21) Por grupos, inventen dos problemas de proporcionalidad directa y explica por qué lo son. Resuélvelos 22) Intercambia con otro grupo los problemas plantados y resuélvelos. Luego, se reunirán ambos equipos, analizarán las diferencias en los planteos y en las soluciones y escribirán ese análisis en la carpeta. 23) En un papel cuadriculado (si es posible milimetrado) dibuja una circunferencia de 10 cm de radio y en ella traza un rectángulo inscrito en ella. Mide sus lados (por ejemplo: a = 16,8 cm de altura y b = 10,8 cm de base ) a) Dibuja varios rectángulos (por lo menos seis), mide sus lados y con ellos elabora una tabla de doble entrada y luego representa eso pares en un sistema de ejes cartesianos. ¿Con qué conjunto numérico puedes trabajar?¿Puedes unir esos puntos con una línea? ¿por qué? b) Observa la diagonal de los distintos rectángulos, ¿mide siempre lo mismo en todos los rectángulos? ¿Por qué? c) La diagonal del rectángulo es la hipotenusa de los dos triángulos rectángulos que ella forma. Trata de elaborar una fórmula que relacione los lados (base y altura) del rectángulo. (Recurre a todos los conceptos aprendidos o a tus experiencias)

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d) La fórmula obtenida, ¿representa una función? 24) Siguiendo con el problema anterior y formando grupos, responde: a) ¿Cuál es la fórmula que representa al perímetro y al área del rectángulo? b) De acuerdo a los datos de la tabla que elaboraste en 16 a): ¿es el perímetro constante o varía con respecto a los lados? ¿y el área? c) Sin representarlas, qué puedes decir: ¿las relación perímetro – lado es función?, y ¿la relación área – lado lo es? ¿las gráficas son rectas, curvas, cuáles?. Escribe estas respuestas en tu carpeta d) Ahora, elabora los gráficos que representen estas relaciones y verifica si lo que habías anticipado fue correcto. 25) "Imagínate que un compañero no entiende estos problemas (el 23 y el 24) y les pide ayuda. Pero, debido a incompatibilidades de horarios, no se pueden reunir y ustedes deben explicárselos por escrito. Por supuesto, el escrito no debe sólo contener la resolución de los ejercicios, sino que tiene que incluir explicaciones, consejos, ayudas, relaciones entre los distintos conceptos que se involucran, indicar qué tiene cada problema de general, etc. Es decir, que todo lo que este amigo necesite para estudiar tiene que estar escrito." 26) A partir de lo resuelto en estos problemas, ¿se puede llegar a una generalización? 27) Dada la función f ( x ) 

1 . P es un punto en el gráfico de la función en el primer x

cuadrante. La recta tangente al gráfico en P crea, con los ejes cartesianos, un triángulo rectángulo. ¿Cuáles deben ser las coordenadas de P para que la hipotenusa de ese triángulo tenga longitud mínima? ¿y máxima? 28) Escribe en los siguientes trinomios el término que hace falta que el trinomio sea cuadrado perfecto. Luego, factorea. a) ….. + 2 x + 1 b) 4 x2 – 12 x + …… c) 36 x2 - …… + 4 b2 29) a) Resuelve la ecuación (x – 3). (x – 4 ) = 0 (Ten en cuenta de que para que un producto de varios factores sea 0, es suficiente que uno de ellos sea 0). ¿Qué tipo de ecuación es? b) Efectúa el producto (x – 3 ). (x – 4 ). ¿Has obtenido x2 – 7x + 12?. Resuelve esta última ecuación igualando previamente a 0. c) Observa los coeficientes -7 y 12. ¿Encuentras alguna relación entre ellos?. d) Prueba lo observado escribiendo una ecuación que tenga como raíces 2 y 3. 29) Busca en cualquier texto de matemática, algunas definiciones, propiedades o conceptos estudiados y analiza si coinciden o no con las dadas en clase. En caso de no coincidir, profundiza sobre esas diferencias:¿son sólo diferencias de lenguaje?, ¿se definen conceptos distintos bajo el mismo nombre?, ¿es una definición más general que otra? 30) Prepara, individualmente, un "machete" lo más detallado posible que incluya todas las consideraciones a tener en cuenta referido a lo aprendido en funciones (no sólo las fórmulas sino todas las aclaraciones necesarias para evitar errores comunes o que ellos han cometido y las dificultades).

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