Estrategias para la Enseñanza de la Matemática

Módulo 5: Estrategias didácticas basadas en juegos, materiales concretos, representaciones y trabajo en equipo ¿Cuáles representaciones mentales o metáforas nos son las naturales a la mente? ¿Qué formas de organizar una actividad pueden ser efectivas? 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Estrategia de introducir la matemática como lenguaje Estrategias basadas en materiales concretos Estrategias basadas en múltiples representaciones Estrategias basadas en uso de manos y cuerpos Juegos unipersonales y multipersonales Equipos y dinámicas de participación Comunicación no verbal Negociación y resolución de conflictos Software

1

Educational Portal of the Americas http://www.educoas.org

Estrategias para la Enseñanza de la Matemática

1. Estrategia de introducir la matemática como lenguaje “Un aspecto esencial de esta cuestión es el papel de las “metáforas” físicas para los conceptos matemáticos, es decir, las representaciones físicas que permitan una manipulación directa de los materiales, de maneras tales que ayuden a asociar los algoritmos de ejecución con sus componentes matemáticos de base. Laureen Resnick y Wendy Ford Enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos.

Hemos revisado una lista de fuentes de atracción que pueden ayudarnos a diseñar actividades que logren entusiasmar a los estudiantes y a hacerlos invertir tiempo y energías en el aprendizaje de la matemática. Sin embargo, esa lista por sí sola no es suficiente. Es necesario también revisar otro ángulo. Pero, ¿cuáles son las diferentes estrategias que disponemos para planear y efectuar una actividad? Por un lado están estrategias de selección de materiales y formas de representar los conceptos matemáticos. ¿Qué tan concretos deben ser? ¿Cómo deben inducir a conectar con ideas más abstractas? ¿Cuáles posibilidades existen? Por otro lado están las estrategias de cómo organizar las actividades. ¿Cuándo una actividad conviene efectuarse como trabajo individual y cuándo en grupos? ¿Cuándo conviene usar un computador? ¿Cuándo conviene introducir un concepto con juegos? En esta unidad revisaremos algunas de las opciones disponibles. Con las categorías que aquí revisaremos, tendremos un espectro más amplio y completo de descriptores para clasificar actividades de enseñanza. Esto nos facilitará la revisión de actividades y la detección de oportunidades para mejorarlas. Así, por ejemplo, aquí vamos a trabajar sobre dos grandes categorías que buscan definir la estrategia a partir de la cual podemos introducir la matemática como lenguaje. La primera de ella la podemos denominar representaciones y allí incluimos lenguaje, materiales concretos, representaciones múltiples y uso de las manos y el cuerpo, en tanto que la segunda, está más bien asociada a la organización de actividades e incluye el resto de los aspectos que aquí trabajamos.

2

Educational Portal of the Americas http://www.educoas.org

Estrategias para la Enseñanza de la Matemática

Existe una larga tradición de enseñanza de la matemática que la considera como principalmente dedicada a los números, geometría y manejo de fórmulas. En esa visión no aparece la matemática como un lenguaje, ni mucho menos como uno que refina el lenguaje natural y que permite lograr más precisión. Muy por el contrario, la impresión general es que la matemática es de otro mundo, de una naturaleza muy distinta. Se la ve como mucho más simbólica y artificial, completamente ajena a las necesidades reales. Para la mayoría es un gran misterio cómo con esos símbolos ininteligibles, la matemática está en la base de las ciencias que permiten conocer e interactuar con el mundo y el ser humano. Es importante entonces revertir esta situación, pues ella impide que luego la matemática sea utilizada en problemas reales. La estrategia es que el profesor esté constantemente destacando el hecho de que la matemática es un lenguaje y que es uno especialmente adaptado para describir el mundo y realizar predicciones sobre eventos futuros. Por eso, la matemática es muy efectiva para ayudar a precisar situaciones típicas que con el lenguaje ordinario sólo pueden ser descritas muy someramente. Esta visión puede comenzar a introducirse a los niños desde pequeños, al mismo tiempo que están aprendiendo a leer. Así la matemática pasa a ser parte de la comprensión de lectura. Por ejemplo, ejercicios de comprensión de lectura del tipo: "Pinta verde el número más grande dentro del círculo" "Pinta rojo el techo de todas las casas que tengan al menos tres ventanas más que puertas" "Conecta entre sí todos los baúles que contengan alguna caja con todas las frutas del mismo color" A continuación le presentamos un ejercicio que requiere diseñar un micro lenguaje muy básico. Hay que pensar en dotarlo de un par de palabras claves y una pequeña sintaxis. Sin embargo debe poder comunicar y ser significativo para aquellos que lo usen. Desde nuestro punto de vista es un lenguaje muy limitado, pues sólo se pueden decir un par de cosas y nada más. Es lo que llamamos un lenguaje artificial., es decir, es algo como una maqueta o caricatura de nuestro lenguaje natural. Sin embargo, al ser más simple es más fácil de estudiar y también es más preciso ya que las pocas cosas que puede expresar están muy bien definidas. Lo interesante es que ese es el rol de la matemática. También es un lenguaje artificial. Es un lenguaje maqueta, una gran simplificación del lenguaje natural, que sólo puede expresar ciertas cosas sobre números y patrones. Pero gracias a esa simplificación, es mucho más preciso que el natural. Ahí radica su gran ventaja, y por esa razón es el lenguaje de la ciencia.

3

Educational Portal of the Americas http://www.educoas.org

Estrategias para la Enseñanza de la Matemática

Ejercicio 1: Imagine que usted debe diseñar un lenguaje para abejas robóticas, donde cuando una descubre alimento en algún lugar se vuelve a un lugar prefijado (típicamente la colmena) y a cada abeja que toca le debe comunicar donde ir y qué tanto hay ahí. Decida qué tipo de comandos incluiría. Determine si es un lenguaje matemático o no. Averigüe cómo mediante danzas se comunican las abejas reales y determine qué necesita para copiar el diseño para nuestras abejas robóticas. ¿Qué comandos podrían incluirse en su lenguaje de abejas robóticas que no fueran de naturaleza matemática? Proponga este ejercicio a estudiantes de sexto básico. Describa las respuestas de los estudiantes y qué tan diferente ven a la matemática de un lenguaje.

4

Educational Portal of the Americas http://www.educoas.org

Estrategias para la Enseñanza de la Matemática

2. Estrategias basadas en materiales concretos Cuando hablamos de materiales concretos incluimos desde objetos en papel y cartón hasta mecanos y robots. En un primer nivel, los materiales concretos son representaciones físicas de conceptos matemáticos que pueden ser tocadas y manipuladas. Esto significa que, procedimientos abstractos se traducen en series de operaciones manuales con los materiales. Por ejemplo, los algoritmos de suma sin o con reservas corresponden a secuencias de operaciones con argollas en un ábaco tal como se puede observar en el siguiente video:

Suma sin reserva

Suma con reserva

Un aspecto importante que hay que tener en cuenta es el límite hasta donde la representación concreta es un reflejo de la abstracta. Más allá de ese límite ya no es válida. Por ejemplo, si bien con el ábaco se logra comprender en detalle la aritmética y sus cuatro operaciones, e incluso es de gran valor pedagógico para entender los decimales, su valor decae cuando el estudiante ya logra entender la base posicional de los algoritmos. Tampoco nos ayuda a comprender las fracciones, los números irracionales, ni los números negativos. Otro aspecto crucial es la naturaleza de la correspondencia. Una caja contenedora, por ejemplo, es una buena representación concreta de la noción abstracta de "variable", pero hay operaciones matemáticas que se pueden realizar sobre una variable que no tienen significado como operación sobre cajas. Un desconocimiento de esos límites y de la naturaleza de la correspondencia puede llevar a confusión. Por ejemplo, si representamos una variable X como una caja y si bien puede buscarse una interpretación para el cuadrado de X, ya para otras potencias más allá de tres la metáfora no funciona. Esto no quiere decir que no podamos usar X a la cuarta, ni que podamos entenderla de alguna otra forma. Sólo significa que la idea de utilizar una caja ya no nos sirve.

5

Educational Portal of the Americas http://www.educoas.org

Estrategias para la Enseñanza de la Matemática

En un nivel más avanzado, podemos hablar de representaciones mediante mecanismos y robots programables. Estos permiten conectar con conceptos más abstractos y potentes, tales como el álgebra, la geometría analítica, la lógica de cuantificadores, etc.

Le pedimos que comparta algunas de sus reflexiones y experiencias con sus compañeros en el Foro. ¿Cuáles pueden ser las limitaciones de los ábacos mágicos para representar las operaciones aritméticas?. ¿Cómo se podría extender el alcance de los ábacos mágicos? Con el mismo criterio piense cuáles puede ser las limitaciones de las transparencias de las fracciones mágicas para la suma y resta de fracciones. ¿Cómo podría extender el alcance de esta representación?

6

Educational Portal of the Americas http://www.educoas.org

Estrategias para la Enseñanza de la Matemática

3. Estrategias basadas en múltiples representaciones Al trabajar con conceptos matemáticos es sumamente importante disponer de varias representaciones. Cada una es una oportunidad de ayudar a la comprensión desde un nuevo ángulo. Muchas veces, sólo luego de pasar por conocer y dominar varias de ellas, recién en ese momento, el estudiante comienza a entender y poder explicitar los conceptos introducidos. Hay que buscar representaciones de diferente naturaleza: desde visuales y auditivas hasta kinestéticas y muy particularmente las motoras manuales. Habitualmente cuando trabaja con su grupo de alumnos, ¿tiene en cuenta este tipo de representaciones? ¿Alguna vez sus alumnos le han planteado un tipo de representación de conceptos con la que usted no estaba trabajando? ¿De qué modo se puede favorecer en los alumnos la creación y afianzamiento de estas representaciones?

Ejercicio 1: Describa al menos tres representaciones de un número natural tal como el 5 y de la suma de naturales. Describa una estrategia para introducir las siguientes representaciones de la multiplicación por un entero: como repetición de objetos (por ejemplo, 3 veces 4 es repetir cuatro objetos tres veces y luego contar), como salto a recorrer la recta numérica multiplicar por tres es ir saltando de a tres en tres y en este caso hacerlo cuatro veces), como repetir en columnas (tomar una columna de cuatro objetos y repetir hasta lograr tener tres columnas iguales) y como repetir en filas (tomar una fila de cuatro objetos y repetir hasta lograr tener tres filas iguales). Recuerde que si así lo desea puede enviar sus descripciones con el profesor tutor.

7

Educational Portal of the Americas http://www.educoas.org

Estrategias para la Enseñanza de la Matemática

4. Estrategias basadas en uso de manos y cuerpos Las representaciones de naturaleza corporal o con las manos son las más básicas y atractivas. Inmediatamente llaman la atención y es, por lo tanto, una de las que conviene utilizar muy particularmente con niños pequeños. Con estas representaciones opera más directamente la imitación, que es una primera forma de conocer y asimilar un concepto. En una segunda etapa hay que buscar formas de mayor abstracción utilizando símbolos matemáticos, pero siempre haciendo el puente entre el lenguaje corporal y el simbólico.

Le pedimos que comparta algunas de sus reflexiones y experiencias con sus compañeros en el Foro: ¿Cómo implementaría las representaciones anteriores de multiplicación como repeticiones con una actividad física que involucre todo el cuerpo del niño? ¿Qué actividad podría crear para que la representación de variable como contenedor pueda ponerse en práctica utilizando todo el cuerpo del niño? ¿Qué ecuaciones podría crear para ser resuelta con todo el cuerpo?

8

Educational Portal of the Americas http://www.educoas.org

Estrategias para la Enseñanza de la Matemática

5. Juegos unipersonales y multipersonales Existe una larga tradición pedagógica sobre el juego, así por ejemplo, en su libro "El Arte de Amar", escrito a principios de la era cristiana, el poeta romano Ovidio, aconsejaba que las mujeres aprendieran a jugar. Según Ovidio jugando se aprende a controlar emociones importantes, se aprende a perder, a confiar y a respetar a los demás. En 1538 el preceptor español Juan Luis Vives, en su libro "Diálogos", destaca que en latín la palabra juego es sinónimo de escuela. Vives también establece sus cinco leyes del juego. Estas cinco leyes prescriben cuándo jugar, con quién jugar, tipos de juego, apuestas y cómo jugar. En 1658, el pedagogo Juan Amos Comenius, en su libro Schola Ludus propone una enseñanza participativa con juegos, pequeñas obras dramáticas interpretadas por los estudiantes y una sala de clases repleta de materiales concretos. Sin embargo, a pesar de todas estas recomendaciones pedagógicas, la clase tradicional tiene poco de juego. Terminado el jardín de infantes o pre escolar (sala de 5 años), el juego es reservado sólo para el descanso. Sin embargo, estudios recientes muestran una enorme capacidad educacional. Podemos mencionar aquí una experiencia realizada con el programa educacional RightStart que se basa en una serie de juegos para enseñar matemáticas básicas . http://www.acscd.ca/acscd/public/dhwn.nsf/printing/943C1B6D79EDA8BD88256B9 70082D1FF. Luego de varios años de implementado, niños de minorías étnicas de bajos ingresos que estaban cursando la sala de 5 años pero con hasta un año de retraso, lograron ser completamente recuperados. Con los juegos matemáticos ya al año lograron aventajar a niños de ingresos medios altos con buen conocimiento matemático. La noción de juego también tiene una larga tradición en matemáticas. Galileo y Cardan (uno de los inventores del álgebra) dedicaron libros completos al estudio de juegos. Aún más, la matemática misma como un juego es una concepción relativamente típica entre matemáticos. Luego de la concepción platónica de la matemática y de su posterior concepción como el pensamiento de Dios, al parecer fue el enciclopedista francés Denis Diderot a fines del siglo XVII, el primero en concebir la matemática sólo como un juego. Un juego que los matemáticos jugaban con las reglas que ellos mismos creaban. Por ejemplo, según John Holland, inventor de los llamados algoritmos genéticos, “los juegos de tablero no son usualmente considerados con la misma primacía que los números, pero para mi mente ellos son piedras fundamentales igualmente importantes de la actividad científica. En particular, creo que los juegos de tablero así como los números, marcan una vertiente en la percepción humana del mundo”. “Emergence: From Chaos to Order” Addison Wesley, 1998. Un ejemplo de juego unipersonal es el solitario en las cartas o los rompecabezas que aparecen en revistas y diarios. En estos juegos el jugador no compite contra

9

Educational Portal of the Americas http://www.educoas.org

Estrategias para la Enseñanza de la Matemática

otros, es sólo una prueba para sí mismo. Hay versiones sin embargo, en las que el jugador puede comparar su desempeño contra el de otros.

Ejercicio 1: Haga una lista de los principales juegos unipersonales relacionados con matemáticas que usted conozca. Describa en qué grados y contenidos pueden ser utilizados con mayor provecho. Describa sugerencias para incluirlos en las clases y mejorar su efectividad. Por otro lado, un juego con más de un jugador puede ser completamente competitivo o tener componentes cooperativas. En general se denomina al juego competitivo de suma cero, pues lo que gana uno lo pierde el otro. Por ejemplo, el ajedrez o las damas son juegos de suma cero. En cambio los juegos con componentes cooperativos se suelen denominar de suma no cero, pues si gana uno ganan varios. Por ejemplo, en un doble de tenis o en un partido de fútbol gana un equipo formado por 2 u 11 integrantes. El desempeño o el puntaje de un jugador ayuda a otro o acrecienta el puntaje de otro. Los juegos en dónde existe la posibilidad de cooperar son denominados de suma no cero.

Le pedimos que comparta algunas de sus reflexiones y experiencias con sus compañeros en el Foro: Haga una lista de los principales juegos multipersonales de suma cero relacionados con matemáticas que usted conozca. Describa en qué grados, o años escolares, y contenidos pueden ser utilizados con mayor provecho. Describa sugerencias para incluirlos en las clases y mejorar su efectividad. Haga una lista de los principales juegos multipersonales de suma no cero relacionados con matemáticas que usted conozca. Describa en qué grados, o años escolares, y contenidos pueden ser utilizados con mayor provecho. Describa sugerencias para incluirlos en las clases y mejorar su efectividad.

10

Educational Portal of the Americas http://www.educoas.org

Estrategias para la Enseñanza de la Matemática

6. Equipos y dinámicas de participación Según David Johnson y Roger Johnson, co-Directores del Centro de Aprendizaje Cooperativo de la Universidad de Minnesotta, la dinámica social que se produce en la sala de clase, y en particular la cooperación, depende casi exclusivamente de las reglas de evaluación de desempeño establecida por el profesor. Si cada estudiante es evaluado aisladamente por su propio desempeño, independiente de los desempeños de los demás, entonces difícilmente surge la cooperación y el aprendizaje en equipo. Una forma de evaluación grupal es por ejemplo, seleccionar al azar un miembro del grupo y evaluarlo. Luego la evaluación de cada uno de los integrantes es la que obtuvo el seleccionado. Otra forma menos drástica es evaluar a todos, y la evaluación final es un porcentaje de la individual y el resto el promedio del grupo. También son importantes las estructuras de interdependencia que el profesor establezca, de manera que resultados parciales o el resultado final dependa de trabajos intermedios realizados por otros miembros.

Ejercicio 1: ¿Qué otras formas de evaluación que incentiven el trabajo en equipo conoce?. Compárelas con las dos formas que acabamos de mencionar. Piense y diseñe una forma de estructurar una actividad que obligue a la interdependencia de tareas. De un ejemplo con actividades matemáticas.

11

Educational Portal of the Americas http://www.educoas.org

Estrategias para la Enseñanza de la Matemática

7. Comunicación no verbal La comunicación no verbal en la enseñanza es un aspecto no menor. Existe evidencia con mediciones detalladas que si un docente no gesticula con las manos en forma consonante con lo que está diciendo entonces los estudiantes tienen más dificultades de comprensión. La suma de los estímulos de los lenguajes favorece las instancias de comprensión. Esto significa que al diseñar actividades debe tener en cuenta e intentar hacer un seguimiento de cómo usted gesticula y cómo induce gesticulaciones que apoyen el aprendizaje del concepto matemático que usted está tratando de enseñar. Por ejemplo, al enseñar a sumar a estudiantes de primero es muy importante el uso de los dedos, y de hacerlo en un cierto orden. Al hacer 2+5, es natural parar dos dedos en una mano, luego 5 en la otra y posteriormente contarlos todos. El docente debe estar consciente y haciendo un seguimiento cuidadoso para cuando cada estudiante descubra que es mejor parar cinco dedos y contar luego dos posiciones, es decir, decirse “seis, siete” en la medida que levanta los dos dedos. Este cambio de estrategia es muy delicado y muy importante, y, por lo tanto, al momento de usarlo ayuda a incorporarlo más rápidamente si el docente retroalimenta al estudiante haciéndole saber que ha descubierto una estrategia astuta.

Ejercicio 1: Analice y elabore un listado con las gesticulaciones con la mano que pueden ayudar a explicar la resolución de ecuaciones de primer grado usando el método de las ecuaciones mágicas. Haga que los estudiantes practiquen en vacío, sin las cajas, resolviendo mentalmente ecuaciones como 3X + 1 = 10 , pero moviendo las manos. Describa la respuesta tanto cognitiva como emocional de los estudiantes al practicar los movimientos con las manos vacías resolviendo las ecuaciones. ¿A qué conclusiones podemos llegar? Ver video: Mentalmente ecuacion de grado 1.rm

12

Educational Portal of the Americas http://www.educoas.org

Estrategias para la Enseñanza de la Matemática

8. Negociación y resolución de conflictos Las actividades en grupo, tanto competitivas como aquellas que poseen componentes cooperativas, pueden aumentar las instancias de generación de conflictos. Estos sin embargo son una buena oportunidad de enseñanza tanto de contenido matemático como de ejercicios de valores de convivencia. Una estrategia muy recomendada para negociar y resolver conflictos comienza por identificar las posiciones y los intereses de ambos contrincantes o grupos. Una posición es un enunciado que especifica un valor fijo, por ejemplo: “ esto vale 100 mil pesos” Un interés, en cambio, es un enunciado que indica una meta, por ejemplo: “me interesa adquirir un automóvil” Luego de identificar posiciones e intereses, el paso siguiente es escribirlos y comparar los escritos con el contrincante de manera de asegurarse que ambos entienden la posición del otro. Finalmente, la solución requiere diseñar en forma creativa criterios de solución que sean generales. Normalmente es mucho más fácil acordar con otra persona o grupo criterios generales que posiciones específicas. Pero criterios generales es justamente la idea matemática de algoritmo en un lenguaje algebraico. Por ejemplo, en una disputa sobre venta de un automóvil se puede acordar un algoritmo como tomar el promedio de venta de un automóvil de la misma marca y año tal como aparece listado en el diario local. Otro ejemplo de algoritmo en una disputa es acordar muestrear al azar 3 personas del vecindario y preguntarles su opinión sobre la situación pero ocultando los nombres de los protagonistas, y luego elegir según la mayoría.

Ejercicio 1: Imagine un conflicto entre dos estudiantes de tercero básico sobre el uso de un recurso tal como un equipo computacional. Diseñe y envíe a su profesor tutor tres estrategias distintas de resolución de conflictos, de manera que utilicen contenidos matemáticos.

13

Educational Portal of the Americas http://www.educoas.org

Estrategias para la Enseñanza de la Matemática

9. Software Demás está decir que el uso de software puede ser de gran interés en la enseñanza de la matemática. Los criterios para escoger software son similares a los de cualquier material didáctico. En términos generales es preferible el uso de varias representaciones, usar formatos ecológicamente válidos, promover diversas estrategias, ofrecer múltiples oportunidades para reforzar conceptos y métodos, etc. Pero además el software puede ofrecer varias características mucho más difíciles de obtener en otros medios: Interactividad El software puede crear actividades con mucho mayor grado de interactividad. El computador puede responde instantáneamente y con diversas recomendaciones según el camino de aprendizaje que lleve el estudiante. Gestión de Progresos El software puede diseñarse de manera que vaya almacenando un registro de las diferentes dificultades y habilidades del estudiante, de su desempeño y de todo su historial de progreso. Además puede incluirse un asesor virtual que en cualquier instante se le pueda pedir un informe con un diagnóstico de la situación del estudiante. Equipos a Distancia El software puede diseñarse de manera que logre coordinar el aprendizaje de decenas o centenares de estudiantes, permitiendo, por ejemplo, crear juegos donde decenas de equipos compuestos de decenas de integrantes ubicados en diversas partes de la ciudad o el planeta jueguen y aprendan simultáneamente a través de la red.

Ejercicio 1: Describa tres software de enseñanza de matemáticas que usted conozca o del que tenga información y haga una comparación: • • • •

Según el número de representaciones que utilicen. Respecto a las estrategias utilizadas para introducir los matemáticos con metáforas o formatos ecológicamente válidos. Según el grado de interactividad. De acuerdo con el tipo de gestión de aprendizajes. 14

conceptos

Educational Portal of the Americas http://www.educoas.org

Estrategias para la Enseñanza de la Matemática

•

Teniendo en cuenta el tipo de conexión y posibilidad de jugar en equipos en redes internas y en Internet.

Le pedimos que comparta algunas de sus reflexiones y experiencias con sus compañeros en el Foro.

15

Educational Portal of the Americas http://www.educoas.org