Estructuras de acero: Problemas Vigas Dimensionar con un perfil IPE una viga biapoyada de 5 m de luz que soporta una sobrecarga de 30 kN/m uniformemente repartida. El acero es S275. Solución: Se supone un peso propio1 de la viga de 0,5 kN/m. El valor de la carga mayorada será: q = γ G ⋅ G + γ Q ⋅ Q = 1,35 ⋅ 0,5 + 1,50 ⋅ 30 = 45,675 kN/m Comprobación a flexión En una viga biapoyada cargada uniformemente, el momento máximo se produce en el centro del vano, y su valor es:

MEd =

1 1 ⋅ q ⋅ l 2 = ⋅ 45,675 ⋅ 5 2 = 142,73 kN ⋅ m 8 8

Si se observa la tabla 8.1 del documento «Estructuras de acero. Bases de cálculo», puede comprobarse como los perfiles IPE, sometidos a flexión, son siempre de clase 1. El momento flector que actúa sobre la sección MEd no podrá superar la resistencia a flexión de la sección Mc,Rd : MEd ≤ Mc,Rd Esta resistencia a flexión varía con el tipo de sección. En secciones de clase 1 y 2, esta resistencia viene definida por la expresión:

Mpl,Rd = Wpl ⋅ f yd Por tanto, haciendo MEd = 142,73 ≤ Wpl ⋅ f yd se puede determinar el perfil a partir del cual se hace válida la condición anterior. 1

El peso propio de un perfil IPE 330 es de 49,1 kg/m.

Estructuras de acero. Problemas. Vigas.

1

Así, Wpl ≥

MEd . f yd

Numéricamente, Wpl ≥

142,73 ⋅ 10 6 = 545 ⋅ 10 3 mm 3 275 1,05

El primer perfil que cumple este requisito del módulo plástico es el IPE 300 (Anejo 1), cuyos datos son: h=300 mm

Ιz=604·104 mm4

b=150 mm

r=15 mm

tw=7,1 mm

A=5380 mm2

tf=10,7 mm

Wpl,y=628·103 mm3

Ιy=8360·104 mm4

P=42,2 kg/m

Se comprueba que el peso es menor del supuesto (0,422 < 0,50 kN/m) y que el mayor espesor del perfil (tf=10,7 mm) es inferior a 16 mm, por lo que no se minora más la resistencia del acero (tabla 4.1 DB SE-A). Comprobación a esfuerzo cortante

El mayor valor del esfuerzo cortante se da en los apoyos, y su valor es el de la reacción. Por tanto, no es coincidente con el máximo momento flector. El valor de cálculo del esfuerzo cortante vale:

VEd =

q ⋅ l 45,675 ⋅ 5 = = 114,19 kN 2 2

La resistencia plástica de la sección a cortante viene definida por la expresión: Vpl,Rd = A V ⋅

f yd 3

donde el término relativo al área a cortante AV, para perfiles en Ι cargados paralelamente al alma, vale: A V = A − 2 ⋅ b ⋅ t f + (t w + 2 ⋅ r ) ⋅ t f

Estructuras de acero. Problemas. Vigas.

2

A V = 5380 − 2 ⋅ 150 ⋅ 10,7 + (7,1 + 2 ⋅ 15 ) ⋅ 10,7 = 2567 mm 2 f yd

Vpl,Rd = A V ⋅

3

= 2567 ⋅

275 1,05 ⋅ 3

≅ 388,2 kN 2

Por tanto, VEd 88,82 y la viga es inestable lateralmente. Es necesario arriostrar en un punto intermedio. Si se opta por arriostrar de forma que el vano se divida en tres tramos5, Lc = 1667 mm, y las expresiones anteriores quedan como sigue: MLTv =

1,13 ⋅ 451459·10 6 = 306027996 N·mm 1667

MLTw =

1,13 ⋅ 1538013·109 = 625413498 N·mm 2 1667

2 2 Mcr = MLTv + MLTw = 306027996 2 + 625413498 2 = 696272345 N·mm

λLT =

Wy ⋅ fy Mcr

=

628·103 ⋅ 275 = 0,50 282713585

[

]

φLT = 0,5 ⋅ 1 + 0,21⋅ (0,50 − 0,2) + 0,502 = 0,66 χLT =

1 0,66 + 0,66 2 − 0,50 2

= 0,92

Así, Mb,Rd = χLT ⋅

Wy ⋅ f y γ M1

= 0,92 ⋅

628·103 ⋅ 275 = 151318095 N·mm ≅ 151,32 kN·m 1,05

Al ser 142,73 < 151,32 se cumple la comprobación de pandeo lateral. Comprobación a abolladura6

En principio no se van a disponer rigidizadores. No es preciso comprobar la resistencia a la abolladura del alma en las barras en las que se cumpla: d < 70 ⋅ ε t

5 6

[59]

Puede comprobarse que un arriostramiento en el punto medio del vano no es suficiente. Apartado 5.3.2 del documento «Estructuras de acero. Cálculo plástico de secciones».

Estructuras de acero. Problemas. Vigas.

5

Como el canto del alma7 d de un IPE 300 es 249 mm y su espesor tw 7,1 mm, se tiene: d 249 = = 35,1 t 7,1

Por otro lado, ε =

235 , por lo que 70 ⋅ ε = 64,7 . 275

Por tanto, al ser 35,1 < 64,7, no es necesario comprobar la resistencia de abolladura del alma. Comprobación a efectos locales: Cargas concentradas8

En una viga biapoyada con carga uniformemente repartida, la concentración de cargas se produce en los apoyos, con las reacciones. R=

q ⋅ l 45,675 ⋅ 5 = = 114,19 kN 2 2

Debe cumplirse R ≤ Rb,Rd , siendo Rb,Rd = Nb,Rd . Se estudia el pandeo del tramo del alma afectado por la carga puntual, considerado como un soporte corto sometido a compresión simple. Nb,Rd =

χ ⋅ A ⋅ fy γ M1

Este elemento tiene una longitud igual al canto del alma y una anchura eficaz igual a 10 ⋅ t w ⋅ ε a cada lado de la fuerza. Por tanto, beff = 10 ⋅ t w ⋅ ε = 10 ⋅ 7,1⋅

235 = 131,2 mm 275

Las propiedades de la sección son: A = 131,2 ⋅ 7,1 = 931,5 mm 2

Ι min =

7 8

1 1 ⋅ beff ⋅ t 3w = ⋅ 131,2 ⋅ 7,13 = 3913 mm 4 12 12

Anejo 1. Apartado 5.3.3 del documento «Estructuras de acero. Cálculo plástico de secciones».

Estructuras de acero. Problemas. Vigas.

6

Ι min = 2,05 mm A

imin =

tw

d=249 mm

d

beff tw

Obtención del coeficiente χmin λ=

λ λR

λR=86,6 para acero S275 LK = 0,80 ⋅ d = 0,80 ⋅ 249 = 199,2 mm λ max =

λ=

LK 199,2 = = 97,2 imin 2,05

λ 97,7 = = 1,06 λR 86,6

Con curva de pandeo c (siempre para esta comprobación), se tiene que χ=0,53, por lo que: Nb,Rd =

χ ⋅ A ⋅ fy γ M1

=

0,53 ⋅ 931,52 ⋅ 275 = 129303 N ≅ 129,3 kN 1,05

Como R=114,2 < Nb,Rd=129,3 es admisible.

Estructuras de acero. Problemas. Vigas.

7

Comprobación a flecha (ELS)

Cuando no se puede discriminar entre las acciones variables, se recurre a tres sencillos conceptos con las denominaciones que se dan en la referencia [9] del documento «Estructuras de acero. Bases de cálculo».

•

Flecha activa

q = G + Q = 0,5 + 30 = 30,5 kN/m = 30,5 N/mm

δ=

5 ⋅ q ⋅ l4 5 ⋅ 30,5 ⋅ 5000 4 = = 14,14 mm 384 ⋅ E ⋅ Ι y 384 ⋅ 210000 ⋅ 8360 ⋅ 10 4

Esta flecha sólo cumple la condición de

l = 16,67 mm . 300

Por tanto, si esta viga tuviese que soportar tabiques no sería admisible. •

Flecha instantánea

q = Q = 30 = 30 kN/m = 30 N/mm δ=

5 ⋅ q ⋅ l4 5 ⋅ 30 ⋅ 5000 4 = = 13,91 mm 384 ⋅ E ⋅ Ι y 384 ⋅ 210000 ⋅ 8360 ⋅ 10 4

δ<

l = 14,29 mm . Por tanto, admisible. 350 •

Flecha total

q = G + ψ 2 ⋅ Q = 0,5 + 0,6 ⋅ 30 = 18,5 kN/m = 18,5 N/mm

Estructuras de acero. Problemas. Vigas.

8

Al no disponer de datos, se ha adoptado como coeficiente Ψ2 el valor más desfavorable 0,6. δ=

5 ⋅ q ⋅ l4 5 ⋅ 18,5 ⋅ 5000 4 = = 8,58 mm 384 ⋅ E ⋅ Ι y 384 ⋅ 210000 ⋅ 8360 ⋅ 10 4

δ<

l = 16,67 mm . Por tanto, admisible. 300

Estructuras de acero. Problemas. Vigas.

9

Tablas de perfiles IPE DIMENSIONES (mm)

IPE 80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300 330 360 400 450 500 550 600

h

b

tw

tf

r

d

80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300 330 360 400 450 500 550 600

46 55 64 73 82 91 100 110 120 135 150 160 170 180 190 200 210 220

3,8 4,1 4,4 4,7 5,0 5,3 5,6 5,9 6,2 6,6 7,1 7,5 8,0 8,6 9,4 10,2 11,1 12,0

5,2 5,7 6,3 6,9 7,4 8,0 8,5 9,2 9,8 10,2 10,7 11,5 12,7 13,5 14,6 16,0 17,2 19,0

5 7 7 7 9 9 12 12 15 15 15 18 18 21 21 21 24 24

60 75 93 112 127 146 159 178 190 220 249 271 299 331 379 426 468 514

SECC. A

PESO P

·10 2 (mm 2)

(N/m)

7,6 10,3 13,2 16,4 20,1 23,9 28,5 33,4 39,1 45,9 53,8 62,6 72,7 84,5 98,8 116,0 134,0 155,0

58,9 79,5 102 127 155 184 220 257 301 354 414 482 560 650 761 890 1040 1197

REFERIDO AL EJE y-y Wy iy

Iy

·104 (mm4) ·10 3 (mm3) 80,1 171 318 541 869 1320 1940 2770 3890 5790 8360 11770 16270 23130 33740 48200 67120 92080

20 34,2 53 77,3 109 146 194 252 324 429 557 713 904 1160 1500 1930 2440 3070

(mm) 32,4 40,7 49,0 57,4 65,8 74,2 82,6 91,1 99,7 112,0 125,0 137,0 150,0 165,0 185,0 204,0 223,0 243,0

Wply

REFERIDO AL EJE z-z iz Wz

Iz

·103 (mm3) ·104 (mm4) ·103 (mm3) 23,2 39,4 60,8 88,4 123,8 166,4 220 286 366 484 628 804 1020 1308 1702 2200 2780 3520

8,49 15,9 27,7 44,9 68,3 101 142 205 284 420 604 788 1040 1320 1680 2140 2670 3390

4 6 9 12 17 22 29 37 47 62 81 99 123 146 176 214 254 308

Wplz

(mm)

·103 (mm3 )

10,5 12,4 14,5 16,5 18,4 20,5 22,4 24,8 26,9 30,2 33,5 35,5 37,9 39,5 41,2 43,1 44,5 46,6

5,8 9,2 13,6 19,2 26,1 34,6 44,7 58 74 97 125 154 191 229 275 336 401 486

Valores de agotamiento para fy=275 N/mm2 IPE 80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300 330 360 400 450 500 550 600

fy

AV

Vpl,Rdy

AV

Vpl,Rdz

Nplw

N pl,Rd

Mpl,Rdy

Mel,Rdy

Mpl,Rdz

M el,Rdz

(N/mm 2)

(mm2 )

(N)

(mm2 )

(N)

(N)

(N)

(N.mm)

(N.mm)

(N.mm)

(N.mm)

275 275 275 275 275 275 275 275 275 275 275 275 275 275 275 275 265 265

357,36 506,17 629,52 761,63 966,6 1120,4 1401,6 1591,08 1912,76 2209,32 2566,97 3080,25 3510,8 4273,1 5082,44 6035,2 7192,52 8280

54036,7 76538,4 95190,2 115166,7 146160,3 169416,6 211937,0 240588,5 289229,9 334073,0 388153,5 465767,0 530870,8 646138,8 768519,7 912587,3 1048038,0 1206497,1

536 722,5 910,8 1113,6 1375 1616,2 1959,6 2289,8 2732 3138 3612,1 4227,5 4878 5603,4 6317,4 7254,8 8205,2 9332

81049,0 109249,8 137722,8 168388,3 207914,8 244386,9 296312,7 346242,5 413107,9 474499,4 546188,5 639243,6 737606,2 847294,5 955259,0 1097004,0 1195597,8 1359786,4

59316,2 80106,2 107632,4 138112,9 166571,4 202661,9 233200,0 274434,3 309173,3 379594,3 462277,6 532321,4 625638,1 745538,1 932569,5 1138028,6 1309948,0 1556685,7

200095,2 269761,9 345714,3 429523,8 526428,6 625952,4 746428,6 874761,9 1024047,6 1202142,9 1409047,6 1639523,8 1904047,6 2213095,2 2587619,0 3038095,2 3381904,8 3911904,8

6076190,5 10319047,6 15923809,5 23152381,0 32423809,5 43580952,4 57619047,6 74904761,9 95857142,9 126761904,8 164476190,5 210571428,6 267142857,1 342571428,6 445761904,8 576190476,2 701619047,6 888380952,4

5238095,2 8957142,9 13880952,4 20245238,1 28547619,0 38238095,2 50809523,8 66000000,0 84857142,9 112357142,9 145880952,4 186738095,2 236761904,8 303809523,8 392857142,9 505476190,5 615809523,8 774809523,8

1519047,6 2409523,8 3561904,8 5028571,4 6835714,3 9061904,8 11707142,9 15190476,2 19380952,4 25404761,9 32738095,2 40333333,3 50023809,5 59976190,5 72023809,5 88000000,0 101204761,9 122657142,9

966428,6 1516428,6 2265476,2 3221428,6 4373809,5 5814285,7 7464285,7 9769047,6 12388095,2 16290476,2 21083333,3 25797619,0 32214285,7 38238095,2 46095238,1 56047619,0 64104761,9 77733333,3

IPE 80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300 330 360 400 450 500 550 600

Pandeo lateral IPE 80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300 330 360 400 450 500 550 600

if,z (mm) 11,4 13,5 15,7 17,9 20,0 22,2 24,4 26,9 29,4 33,0 36,5 38,8 41,3 43,3 45,2 47,2 49,1 51,3

IT 4

bLT,v

Ia 4

6

6

6

b LT,w 2

9

2

·10 (mm ) ·10 (mm ) ·10 (N·mm ) ·10 (N·mm ) 0,72 1,14 1,77 2,63 3,64 5,06 6,67 9,15 12 15,4 20,1 26,5 37,3 48,3 65,9 91,8 122 172

Estructuras de acero. Problemas. Vigas.

118 351 890 1981 3959 7431 12990 22670 37390 70580 125900 199100 313600 490000 791000 1249000 1884000 2846000

10130 17444 28690 44525 64605 92627 126098 177456 239195 329524 451459 592090 806999 1034576 1363325 1816060 2338501 3128716

5387 12919 27077 51334 90366 149134 239387 377941 580442 968287 1538013 2224703 3195859 4507677 6351659 8911696 12191913 16745270

IPE 80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300 330 360 400 450 500 550 600

10