Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y C. de la Computación Lic. en Educ. Matemática y Computación código 4500.

ESTUDIO DE 16 TEOREMAS MATEMÁTICOS DE LA UNIDAD Nº 4: “SOBRE LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ÁNGULOS” DE 2° AÑO MEDIO

Alumnos

:

Marta Eugenia Muñoz Cerda Eugenio Enrique Pérez Rocco.

Profesor

:

Hernán González Guajardo.

Asignatura

:

Metodología de la Enseñanza de la Matemática II.

Código

:

1827.

Carrera

:

Lic. en Educ. Matemática y Computación.

Código

:

4500.

Fecha

:

Lunes 29 de Octubre de 2007.

ÍNDICE

Introducción ¿Qué es un teorema? Algo sobre la circunferencia Especificaciones de la unidad Conceptos previos

3 4 5 6 7

Teoremas: 1. “Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia” 2. “Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco” 3. “Ángulo semi-inscrito y su correspondiente ángulo del centro” 4. “Teorema del ángulo inscrito en una semicircunferencia” 5. “Relativo a las cuerdas de una circunferencia” 6. “Relativo a los ángulos del centro de una circunferencia” 7. “Cuadrilátero inscrito en una circunferencia” 8. “Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia” 9. “Teorema del ángulo interior de una circunferencia” 10. “Teorema del ángulo exterior a una circunferencia” 11. “Relativo a la perpendicular desde el centro a una cuerda de circunferencia” 12. “Teorema de las cuerdas congruentes que equidistan del centro de una circunferencia” 13. “Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunf.” 14. “Relativo al segmento desde el centro al punto medio de una cuerda en una circunferencia” 15. “Relativo a las secantes de una circunferencia” 16. “Teorema de los segmentos de cuerdas proporcionales”

11 24 32 40 49 57 65 75 83 92 105 113 121 130 138 146

Soluciones de los ítemes Bibliografía

153 161

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INTRODUCCIÓN El propósito de este escrito metodológico es apoyar el estudio de dieciséis teoremas matemáticos de la unidad Nº 4 “Sobre la circunferencia y sus ángulos” de segundo año medio. Si bien está diseñado para consulta de alumnos, puede ser utilizado por docentes. El usuario encontrará por cada uno de los dieciséis teoremas matemáticos desarrollados, ciertos instantes tales como aseveración, instanciación, tareas del tipo I y tipo II, variables y conjuntos dominio, mapa deductivo, aspectos históricos, aproximaciones intuitivas, entre otros instantes que le ayudarán a comprender con mayor cabalidad los teoremas o generalizaciones correspondientes a la unidad mencionada. La importancia de este escrito radica en la demostración de algunos teoremas matemáticos presentes en esta unidad, pero ¿Qué es un teorema? Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un marco lógico. Demostrar teoremas es una actividad central en matemáticas. Un teorema generalmente posee un número de condiciones que deben ser aclaradas de antemano y que se denominan hipótesis. Luego existe una conclusión, la denominada tesis, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones en las que se trabaja. Una conjetura es una afirmación matemática que se cree verdadera pero no ha sido demostrada. Un teorema requiere de un marco lógico; este marco consistirá en un conjunto de axiomas y un proceso de inferencia, el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han sido derivados previamente. En el desarrollo de este trabajo, encontrarás demostraciones deductivas, que se basan en implicaciones con operatoria algebraica, definiciones geométricas y teoremas. Que estarán apoyados por un mapa deductivo. En este trabajo se encontrará la siguiente simbología matemática: Símbolo ⇒ ∈ m( ABC ) AB m( AB) ∼

≅ AB m( AB)

Significado Ángulo Entonces Pertenece a Medida del ángulo ABC Arco AB Medida del arco AB Semejante a Conjunto de los números reales Congruente a Segmento AB Longitud del segmento AB

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¿QUÉ ES UN TEOREMA? Como mencionábamos anteriormente un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un marco lógico. Demostrar teoremas es una actividad central en matemáticas. Un teorema generalmente posee un número de condiciones que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano y que se denominan hipótesis. Luego existe una conclusión, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones en las que se trabaja. En matemáticas generales una afirmación debe ser interesante o importante dentro de la comunidad matemática para ser considerada un teorema. Las afirmaciones menos importantes se denominan: •

Lema: una afirmación que forma parte de un teorema más largo. Por supuesto, la distinción entre teoremas y lemas es arbitraria.

• Corolario: una afirmación que sigue inmediatamente a un teorema. Una proposición A es un corolario de una proposición o teorema B si A puede ser deducida sencillamente de B. • Proposición: un resultado no asociado a ningún teorema en particular Una afirmación matemática que se cree verdadera pero no ha sido demostrada se denomina conjetura o hipótesis. Un teorema requiere de un marco lógico; este marco consistirá en un conjunto de axiomas y un proceso de inferencia, el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han sido derivados previamente. En este libro, encontraras demostraciones deductivas, que se basan principalmente en implicaciones con operatoria algebraica, definiciones y teoremas. También apoyadas por un mapa deductivo

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ALGO SOBRE LA CIRCUNFERENCIA La Circunferencia es, en geometría, una curva plana cerrada en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto fijo, llamado centro de la circunferencia. No se debe confundir con el círculo (superficie), aunque ambos conceptos están estrechamente relacionados. La circunferencia pertenece a la clase de curvas conocidas como cónicas. Cualquier segmento rectilíneo que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferencia se denomina diámetro. Un radio es un segmento que va desde el centro hasta la circunferencia. La proporción entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es una constante, representada por el símbolo π , o Pi. Es una de las constantes matemáticas más importantes y desempeña un papel fundamental en muchos cálculos y demostraciones en matemáticas, física y otras ciencias, así como en ingeniería. Pi es aproximadamente 3,141592, aunque considerar 3,1416, o incluso 3,14, es suficiente para la mayoría de los cálculos. El matemático griego 10 1 Arquímedes encontró que el valor de π estaba entre 3 + y3+ mediante la inscripción y 71 7 circunscripción infinita de polígonos regulares, aumentando gradualmente su número de lados, acercando su perímetro al perímetro de la circunferencia. Algunos de los elementos de una circunferencia son: diámetro, radio, cuerda y arco. Para experimentar con las propiedades de la circunferencia, se ata un hilo alrededor de una lata y se mide la longitud del hilo (longitud de la circunferencia). Utilizando el hilo, se divide la tapa de la lata en dos partes iguales y se mide la longitud (diámetro de la tapa). Se divide el valor medido de la circunferencia (C) por el del diámetro (D); si se repite varias veces esta operación con distintos objetos circulares, se obtiene siempre un cociente C:D alrededor de 3:1, sean los círculos grandes o pequeños. Este cociente se representa con el símbolo π . El centro de la circunferencia es centro de simetría, y cualquier diámetro es eje de simetría.

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ESPECIFICACIONES DE LA UNIDAD Curso: Tercer año Medio Formación Diferenciada. Unidad: Nº 1 “Profundización del lenguaje algebraico”. Tiempo Estimado: 40 a 45 Horas. Contenidos Mínimos:

a. Ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia. Teorema que relaciona la medida del ángulo del centro con la del correspondiente ángulo inscrito. b. Distinción entre hipótesis y tesis. Organización lógica de los argumentos. c. Uso de algún programa computacional geométrico que permita en especial visualizar regularidades y medir ángulos. Aprendizajes Esperados: Los alumnos y las alumnas: 1. Conocen el teorema que relaciona las medidas de los ángulos del centro y de los ángulos inscritos en una circunferencia y lo aplican a la resolución de problemas. 2. Conjeturan acerca de regularidades geométricas asociadas a la circunferencia, sus elementos (radio, tangente, cuerda, secante) y otras figuras geométricas; buscan formas para demostrarlas distinguiendo entre hipótesis y tesis. 3. Analizan propiedades y relaciones en figuras geométricas que se pueden inscribir o circunscribir a una circunferencia. 4. Describen cuerpos utilizando curvas de nivel.

Información extraída del Programa de Estudio Segundo Año Medio Formación General, Ministerio de Educación, Chile, Segunda Edición 2004.

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Conceptos previos importantes  Circunferencia:

Línea plana curva y cerrada, cuyos puntos equidistan de un punto llamado centro. Se denota C(O,r), donde O es el centro y r el radio. En la figura siguiente se ilustra una circunferencia y sus elementos, que son:

Radio:

Segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. En la

figura corresponde al segmento OC .

Cuerda:

Segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia. En la figura

corresponde al segmento DE. Diámetro: Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. En la figura corresponde al

segmento AB .

Arco:

Es una porción de circunferencia comprendida entre dos puntos, se leen en

sentido contrario a las manecillas del reloj. La medida de un arco está determinada por la medida del ángulo del centro que lo subtiende. En la figura, el arco AC es el de color lila. No es lo mismo que el arco CA , que es el de color azul.

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Ángulo del centro:

Ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y cuyos lados son radios de la circunferencia. En las figuras siguientes, se ilustra el ángulo del centro

AOC en color azul oscuro, y el

arco que subtiende en color verde.

 Ángulo inscrito:

Es todo ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y cuyos lados son cuerdas. En las figuras siguientes, se ilustra el ángulo inscrito

ABC con azul oscuro, y el arco que

subtiende de color verde.

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 Ángulo semi-inscrito:

Es todo ángulo cuyo vértice está en la circunferencia y cuyos lados corresponden a una cuerda y una tangente. En las siguientes figuras,

ABC es el ángulo semi-inscrito, y AB es el arco subtendido por

la cuerda AB .

 Secante a una circunferencia:

Recta que intersecta a la circunferencia en 2 puntos. La secante contiene a una cuerda. En la siguiente figura, AB y CD son secantes a la circunferencia de centro O.

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 Ángulo interior:

Ángulo cuyo vértice está en el interior de una circunferencia y cuyos lados son segmentos de cuerda de esta circunferencia. En la figura,

APC , APD ,

BPD y

BPC son ángulos interiores de la circunferencia.

 Ángulo exterior:

Ángulo cuyo vértice está en el exterior de una circunferencia y cuyos lados son segmentos de secantes. En las figuras,

AEB es un ángulo exterior a la circunferencia.

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TEOREMA Nº 1

“TEOREMA DEL ÁNGULO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA”

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Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia1 Institucionalización del Teorema: Si el CAB es un ángulo inscrito en una circunferencia de centro O y COB es un ángulo del centro en la circunferencia (subtienden el mismo arco de circunferencia), entonces la m( CAB) es la mitad de la m( COB) .

Estudiemos algunos casos particulares de este teorema. 1. El ángulo ABC de medida 53.51º es inscrito en la circunferencia de centro O y el ángulo AOC de medida 107.03º es ángulo del centro. 107.03 Como 53.51 = se cumple el Teorema del ángulo inscrito en una 2 circunferencia.

2. En la circunferencia de la figura se tiene que ABC es un ángulo inscrito en la circunferencia de centro O y su medida es 27.03º. Además AOC es un ángulo del centro de la circunferencia de medida 54.06º. 54.06 Claramente se cumple el Teorema, puesto que 27.03 = 2

1

Aprendizaje esperado asociado: Conocen el teorema que relaciona las medidas de los ángulos del centro y de los ángulos inscritos en una circunferencia y lo aplican a la resolución de problemas.

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3. En la circunferencia de centro O, el ángulo ABC es inscrito en ella y el ángulo AOC es ángulo del centro. Cumpliendo el teorema de Ángulo 83.46 inscrito en una circunferencia ya que 41.73 = . 2

Análisis de componentes del teorema en estudio Como te podrás dar cuenta en el teorema encontramos conceptos estudiados con anterioridad, éstos son los siguientes. i.

Conceptos Involucrados. ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

ii.

Ángulo inscrito en una circunferencia. Ángulo del centro en una circunferencia. Medida de un ángulo. Diámetro, radio y centro de una circunferencia. Arco de circunferencia. Variables y Dominios.

En este teorema podemos distinguir Variables (elementos que varían) y asociadas a ellas un conjunto de Dominios (conjunto al cual pertenece la variable)

Variables Circunferencia Centro (O) de la circunferencia

Dominios Todas las circunferencias del plano

Longitud del radio (r) de la circunferencia

ℜ+ Cualquier punto que pertenece a la circunferencia de centro O y radio r

Ubicación del vértice del ángulo inscrito Ubicación del vértice del ángulo central Ubicación de los extremos del ángulo central

2

Centro (O) de la circunferencia ( 2 ) Cualquier punto que pertenece a la circunferencia de centro O y radio r

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iii.

Competencias asociadas al Teorema (destrezas a desarrollar o a ser desarrolladas) Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada)

Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia son: 9 9 9 9

Reconocer un ángulo inscrito en una semicircunferencia. Reconocer un ángulo del centro de una circunferencia. Reconocer el arco de circunferencia que subtiende un ángulo inscrito en una circunferencia. Reconocer el arco de circunferencia que subtiende un ángulo del centro de una circunferencia.

Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar)

Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia son: 9 9

Determinar la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia, dado el ángulo del centro que subtiende el mismo arco de circunferencia. Determinar la medida de un ángulo del centro de una circunferencia, dado el ángulo inscrito que subtiende el mismo arco de circunferencia.

Justificación del Teorema Al igual que en las demostraciones de los teoremas anteriores, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que si el teorema es válido para todos los ángulos inscritos en una circunferencia en el plano. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos identificar los datos que se tienen, los datos que nos dan, a esto le llamamos Hipótesis, y lo que se desea demostrar le llamamos Tesis. 2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado). Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema.

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Hipótesis: ABC es un ángulo inscrito en una circunferencia de centro O AOC es un ángulo el centro de la circunferencia de centro O ABC y AOC subtienden el mismo arco de circunferencia

Tesis:

La medida del ángulo ABC es la mitad de la medida del ángulo m( AOC ) es: m( ABC ) = 2

AOC , esto

Antes de comenzar a revisar la demostración de este teorema, cabe señalar que existen 3 casos cuya demostración se tratará independientemente, estos casos responden a las siguientes situaciones gráficas: CASO A

CASO B

CASO C

Demostración: CASO A: El centro de la circunferencia está en uno de los lados del ángulo, es decir, O ∈ AB .

Por hipótesis se tiene que: ABC es un ángulo inscrito en una circunferencia de centro O AOC es un ángulo el centro de la circunferencia de centro O ABC y AOC subtienden el mismo arco de circunferencia A continuación se traza el radio OC , formándose el triángulo ΔBOC que es isósceles, puesto que sus lados OB y OC son radios de la circunferencia de centro O, entonces OB ≅ OC

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CBO ≅ OCB (1) (por ser el

En el ΔBOC se tiene que: ΔBOC isósceles) Por ser el ángulo que:

AOC un ángulo exterior al triángulo ΔBCO se tiene

m( CBO) + m( OCB) = m( AOC ) (2)

Sustituyendo (1) en (2), se tiene que:

m( CBO) + m( CBO) = m( AOC ) Sumando: 2m( CBO) = m( AOC ) Despejando: m( CBO) =

m( AOC ) (3) 2

Como O pertenece al lado AB del ángulo (3) se obtiene finalmente:

ABC ,

m( ABC ) =

Es decir: La medida del

CBO ≅ CBA ≅ ABC , sustituyendo en

m( AOC ) 2

ABC es la mitad de la medida del

AOC

CASO B: El centro de la circunferencia está en el interior del ángulo.

Por hipótesis se tiene que: ABC es un ángulo inscrito en una circunferencia de centro O AOC es un ángulo el centro de la circunferencia de centro O ABC y AOC subtienden el mismo arco de circunferencia

A continuación se traza el diámetro BD , de manera que se formen los ángulos inscritos ABD y CBD . Además se trazan los radios AO y CO , formando los ángulos del centro de la circunferencia COD y AOD , como lo muestra la siguiente figura:

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El ángulo ABC es la suma de las medidas de los ángulos CBD , esto es:

ABD y

m( ABC ) = m( ABD) + m( CBD) (1)

Pero, por el Caso A ya demostrado se tiene que: m( ABD) =

m( AOD) m( COD) (2) y m( CBD) = (3) 2 2

Sustituyendo (2) y (3) en (1), se obtiene: m( ABC ) =

m( AOD) m( COD) + 2 2

m( ABC ) =

m( AOD) + m( COD) , finalmente se obtiene: 2

m( ABC ) =

m( AOC ) 2

Es decir: La medida del

ABC es la mitad de la medida del

AOC

CASO C: El centro de la circunferencia está en el exterior del ángulo.

Por hipótesis se tiene que: ABC es un ángulo inscrito en una circunferencia de centro O AOC es un ángulo el centro de la circunferencia de centro O ABC y AOC subtienden el mismo arco de circunferencia

A continuación se traza el diámetro BD , formándose los ángulos ABD y CBD , ambos inscritos. De la misma forma se trazan los radios AO y CO , formando el ángulo del centro AOC , como se muestra en la siguiente figura:

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El ángulo CBD y

ABC es la diferencia entre las medidas de los ángulos ABD , esto es:

m( ABC ) = m( CBD) − m( ABD) (1) Pero por la Caso A, ya demostrado se tiene que:

m( CBD) =

m( DOC ) m( DOA) (2) y m( ABD) = (3) 2 2

Sustituyendo (2) y (3) en (1), se obtiene: m( ABC ) =

m( DOC ) m( DOA) − 2 2

m( ABC ) =

m( DOC ) − m( DOA) , finalmente se obtiene: 2

m( ABC ) =

m( AOC ) 2

Es decir: La medida del ángulo

ABC es la mitad de la medida del ángulo

AOC

Quedan entonces demostrados los tres casos, por lo tanto queda demostrado el Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia.

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Mapa Deductivo CASO A: El centro de la circunferencia está en uno de los lados del ángulo, es decir, O ∈ AB . Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis • ABC es un D1 ángulo inscrito en una circunferencia de centro O Se traza AOC es un OC • ángulo el centro de la ⇒ OB ≅ OC circunferencia de centro O ABC y • AOC subtienden el mismo arco de circunferencia

D2

T1

⇒ ΔBOC isósceles

⇒ CBO ≅ OCB

R1

T2

⇒ m( CBO ) + m( OCB) = m( AOC )

⇒ m( CBO ) + m( CBO ) = m( AOC )

(*)

O1 (*) ⇒ 2m( CBO ) = m ( AOC )

O2 ⇒ m( CBO ) =

R2 m ( AOC ) 2

Tesis

como m ( CBO ) = m( ABC ) ⇒ m( ABC ) = m( AOC ) 2

Significado de los Símbolos Definición 1 (D1): Los radios de una circunferencia son congruentes Definición 2 (D2): Un triángulo es isósceles si dos de sus lados son congruentes Teorema 1 (T1): Los ángulos basales de un triángulo isósceles son congruentes Teorema 2 (T2): La medida de la suma de dos ángulos interiores es igual a la medida del ángulo exterior opuesto a éstos Reemplazo 1 (R1): Se reemplaza la m( OCB ) por la m( CBO ) (a causa de T1) Operación 1 (O1): Se reduce términos semejantes m ( CBO ) Operación 2 (O2): Se divide la ecuación por 2 Reemplazo 2 (R2): Se reemplaza m( CBO ) por la m ( ABC ) pues los puntos O y A pertenecen al mismo segmento Estudio de 16 Teoremas Matemáticos de la unidad Nº 4 de 2º año medio. Autores: Marta Eugenia Muñoz Cerda, Eugenio Enrique Pérez Rocco

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Mapa Deductivo CASO B: El centro de la circunferencia está en el interior del ángulo. Hipótesis • ABC es un D1 T1 R1 ángulo inscrito en una circunferencia de centro O Se traza AOC es un BD diámetro, AO y OC radios • m( AOD ) ⇒ m( ABD ) = y m( AOD) m( COD) ángulo el centro de la 2 ⇒ m( ABC ) = + ⇒ m( ABC ) = m( ABD ) + m( CBD ) 2 2 circunferencia de m( COD ) m( CBD ) = centro O 2 ABC y • AOC subtienden el mismo arco de circunferencia

D2

(*) ⇒ m( ABC ) =

O1

⇒ m( ABC ) =

m( AOD ) + m( COD ) 2

(*)

Tesis

m( AOC ) 2

Significado de los Símbolos Definición 1 (D1): Un ángulo se puede escribir como la suma de dos ángulos adyacentes Teorema 1 (T1): Se usa teorema anterior (CASO A), pues la medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo del centro cuando el centro de la circunferencia está en uno de los lados del ángulo. Reemplazo 1 (R1): Se reemplaza la m( ABD ) y la m( CBD ) en D1 por lo hallado en T1 Operación 1 (O1): Suma de fracciones. Definición 2 (D2): La suma de dos ángulos adyacentes se puede escribir como un solo ángulo. Estudio de 16 Teoremas Matemáticos de la unidad Nº 4 de 2º año medio. Autores: Marta Eugenia Muñoz Cerda, Eugenio Enrique Pérez Rocco

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Mapa Deductivo CASO C: El centro de la circunferencia está en el exterior del ángulo. Hipótesis • ABC es un D1 T1 ángulo inscrito en una circunferencia de centro O Se traza AOC es un BD diámetro, AO y OC radios • m( DOC ) ⇒ m( CBD) = y ángulo el centro de la 2 ⇒ m( ABC ) = m( CBD ) − m( ABD ) circunferencia de m( DOA) m( ABD) = centro O 2 ABC y • AOC subtienden el mismo arco de circunferencia

R1

⇒ m( ABC ) =

O1

m( DOC ) m( DOA) − 2 2

⇒ m( ABC ) =

m( DOC ) − m( DOA) 2

(*)

D2

Tesis

(*) ⇒ m( ABC ) =

m( AOC ) 2

Significado de los Símbolos Definición 1 (D1): Un ángulo se puede escribir como la diferencia de otros dos ángulos Teorema 1 (T1): Se usa teorema anterior (CASO A), pues la medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo del centro cuando el centro de la circunferencia está en uno de los lados del ángulo. Reemplazo 1 (R1): Se reemplaza la m( CBD ) y la m( ABD ) en D1 por lo hallado en T1 Operación 1 (O1): Suma de fracciones Definición 2 (D2): La diferencia de dos ángulos se puede escribir como un solo ángulo.

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Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia para determinar la medida del ángulo β ? a)

O es centro de la circunferencia y m( GFO) = 52°

b)

O es centro de la circunferencia y m( JHI ) = 30°

c)

O es centro de la circunferencia

d)

O es el centro de la circunferencia

e)

O es el centro de la circunferencia

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Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia. Ítem 2

¿Cuál es el valor de

1 + 2 + 3 si

AOB = 100° ?

a) 50º b) 100º c) 150º d) 300º e) No se puede determinar

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis y tesis del Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia. Ítem 3

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la correcta? Teorema: “Si ABC es un ángulo inscrito en una circunferencia de centro O y AOC es un ángulo del centro en la circunferencia (abarcan el mismo arco de circunferencia), entonces la medida del ABC es la mitad de la medida del AOC ” a) La hipótesis del Teorema es “ ABC es un ángulo inscrito en una circunferencia de centro O” b) La tesis del Teorema es “abarcan el mismo arco de circunferencia”. c) La hipótesis del Teorema es “ ABC es un ángulo inscrito en una circunferencia de centro O AOC es un ángulo del centro en la circunferencia (abarcan el mismo arco de y circunferencia)” d) La tesis del Teorema es “ AOC es un ángulo del centro en la circunferencia” e) La hipótesis del Teorema es “la medida del

ABC es la mitad de la medida del

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AOC ”

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TEOREMA Nº 2

“TEOREMA DE LA CONGRUENCIA DE LOS ÁNGULOS INSCRITOS QUE SUBTIENDEN UN MISMO ARCO DE CIRCUNFERENCIA”

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Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco2 Institucionalización del Teorema: Si dos o más ángulos están inscritos en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes y subtienden un mismo arco, entonces dichos ángulos son congruentes o tienen la misma medida.

Estudiemos algunos casos particulares de este teorema. 1. En este caso AC , CD , AP y PD son cuerdas en la circunferencia de centro O y los ángulos ACD y APD subtienden el arco AD , efectivamente las medidas de estos ángulos son iguales es decir: m( ACD) = m( APD) = 22.23° Se cumple el Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco.

2

Aprendizaje esperado asociado: Conjeturan acerca de regularidades geométricas asociadas a la circunferencia, sus elementos (radio, tangente, cuerda, secante) y otras figuras geométricas; buscan formas para demostrarlas distinguiendo entre hipótesis y tesis.

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2. En este caso TP , TQ , SP , SQ , RP y RQ son cuerdas en la circunferencia de centro O y los ángulos PTQ , PSQ y PRQ subtienden el arco QP , efectivamente las medidas de estos ángulos son iguales es decir: m( PTQ) = m( PSQ) = m( PRQ) = 31.68°

Se cumple el Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco.

Análisis de componentes del teorema en estudio Como te podrás dar cuenta en el teorema encontramos conceptos estudiados con anterioridad, éstos son los siguientes. i.

Conceptos Involucrados. ¾ ¾ ¾ ¾

ii.

Ángulo inscrito en una circunferencia. Medida de un arco. Congruencia de ángulos. Medida de un ángulo.

Variables y Dominios.

En este teorema podemos distinguir Variables (elementos que varían) y asociadas a ellas un conjunto de Dominios (conjunto al cual pertenece la variable)

Variables Circunferencia Centro (O) de la circunferencia

Dominios Todas las circunferencias del plano

Longitud del radio (r) de la circunferencia

ℜ+ Cualquier punto que pertenece a la circunferencia de centro O y radio r Cualquier punto que pertenece a la circunferencia de centro O y radio r

Ubicación del vértice del ángulo Ubicación de los extremos del ángulo central

2

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iii.

Competencias asociadas al Teorema (destrezas a desarrollar o a ser desarrolladas) Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada)

Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco son: 9

9

Reconocer el arco de circunferencia que subtiende un ángulo inscrito en una Reconocer un ángulo inscrito en una semicircunferencia.

Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar)

Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco son: 9

Determinar la medida de un ángulo dada la medida de otro ángulo que subtiende el mismo arco de circunferencia.

Justificación del Teorema Al igual que en las demostraciones de los teoremas anteriores, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que el teorema es válido para todos los ángulos inscritos en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes que subtienden un mismo arco de circunferencia. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos identificar los datos que se tienen, los datos que nos dan, a esto le llamamos Hipótesis, y lo que se desea demostrar le llamamos Tesis. 2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado). Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema.

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Hipótesis:

Sean los ángulos ABD y ACD dos ángulos inscritos en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes tales que subtienden un mismo arco de circunferencia.

Tesis: ABD ≅

ACD o m( ABD) = m( ACD)

Demostración:

Por Hipótesis se tiene que: ABD y ACD son dos ángulos inscritos en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes tales que subtienden el mismo arco AD de circunferencia. A continuación se trazan los radios AO y OD para formar el ángulo del centro de la circunferencia AOD En efecto: Por teorema estudiado anteriormente “la medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo del centro que subtiende el mismo arco” tenemos que: m( ABD) =

m( AOD) (1) y 2

m( ACD) =

m( AOD) (2) 2

Por lo tanto por transitividad se tiene que m( ABD) = m( ACD) lo que implica que En consecuencia,

ABD ≅

ABD ≅

ACD

ACD o m( ABD) = m( ACD) como se quería demostrar.

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Mapa Deductivo Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis Se trazan los segmentos AO y OD

ABD y ACD son dos

Sea

ángulos inscritos en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes tales que subtienden el mismo

m( ABD) =

m( AOD) 2

m( ACD) =

m( AOD) 2

=> T1

=> I m( ABD) = m( ACD )

=> T2

ABD ≅

ACD

Tesis

arco AD de circunferencia.

Significado de los Símbolos Teorema 1 (T1): La medida de un ángulo inscrito o semi-inscrito en una circunferencia, es la mitad de la medida del arco que subtiende. Igualar (I): Si a = b y b = c , entonces a = c (Transitividad) Teorema 2 (T2): Si dos ángulos tienen la misma medida entonces los ángulos son congruentes.

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Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco de circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco de circunferencia para determinar si α = β ? a)

b)

c)

d)

e)

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Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco de circunferencia. Ítem 2

¿Cuál es el valor de α + γ ? a) 10° b) 20° c) 40° d) 60° e) No se puede determinar

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis y la tesis del Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco de circunferencia. Ítem 3

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la correcta? Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco de circunferencia: “Si dos o más ángulos están inscritos en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes y subtienden un mismo arco, entonces dichos ángulos son congruentes o tienen la misma medida”. a) La hipótesis del teorema es “los ángulos son congruentes o tienen la misma medida” b) La tesis del teorema es “sean dos ángulos inscritos en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes tales que subtienden un mismo arco” c) La tesis del teorema es “los ángulos son congruentes o tienen la misma medida” d) La hipótesis del teorema es “sean dos ángulos inscritos en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes tales que subtienden un mismo arco y dichos ángulos son congruentes o tienen la misma medida” e) La hipótesis del teorema es “sean dos ángulos inscritos en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes”

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TEOREMA Nº 3

“ÁNGULO SEMI-INSCRITO Y SU CORRESPONDIENTE ÁNGULO DEL CENTRO”

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Teorema del ángulo semi-inscrito y su correspondiente ángulo del centro3 Institucionalización del Teorema:

Si α es la medida de un ángulo semi-inscrito en una circunferencia de centro O y radio r y β es la medida de un ángulo del centro que subtienden un mismo arco o un arco congruente, entonces la medida del ángulo semi-inscrito es la mitad de la medida del ángulo del centro.

Es decir: α =

β 2

Estudiemos algunos casos particulares de este teorema. 1. En la circunferencia de la figura,

( )

AOB ≅ COD ∧ m( AOB) = m( COD) = 79º y

m AB = 2,54 , ¿Cuál es la medida del segmento CD ? De acuerdo al Teorema, tenemos que: Si AOB ≅ COD ⇒ AB ≅ CD Y si AB ≅ CD ⇒ m AB = m CD

( )

( )

( )

∴ Como m AB = 2,54 , entonces de acuerdo a lo anterior

( )

m CD = 2,54

Aprendizaje esperado asociado: Conocen el teorema que relaciona las medidas de los ángulos del centro y de los ángulos inscritos en una circunferencia y lo aplican a la resolución de problemas. 3

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Análisis de componentes del teorema en estudio Como te podrás dar cuenta en el teorema encontramos conceptos estudiados con anterioridad, éstos son los siguientes. i.

Conceptos Involucrados. ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

ii.

Circunferencia Triángulo Ángulo semi-inscrito Medida de ángulo semi-inscrito Ángulo del centro Medida de ángulo del centro Recta tangente en un punto

Variables y Dominios.

En este teorema podemos distinguir Variables (elementos que varían) y asociadas a ellas un conjunto de Dominios (conjunto al cual pertenece la variable)

Variables Circunferencia Centro (O) de la circunferencia Longitud del radio (r) de la circunferencia

Dominios Todas las circunferencias del plano

Longitud de la cuerda

]0, 2r[

Ángulo del centro

Ángulo semi-inscrito

2

ℜ+

Cualquier ángulo del centro de la circunferencia de centro O y radio r tal que este subtendido por el mismo arco o un arco congruente al del ángulo semi-inscrito Cualquier ángulo del semi-inscrito de la circunferencia de centro O y radio r tal que este subtendido por el mismo arco o un arco congruente al del ángulo del centro

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iii.

Competencias asociadas al Teorema (destrezas a desarrollar o a ser desarrolladas) Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada)

Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema del ángulo semi-inscrito y su correspondiente ángulo del centro son: 9 9 9 9 9

Reconocer un ángulo semi-inscrito en una circunferencia. Reconocer un ángulo del centro de una circunferencia. Reconocer el arco de circunferencia que subtiende un ángulo semi-inscrito en una circunferencia. Reconocer el arco de circunferencia que subtiende un ángulo del centro de una circunferencia. Reconocer recta tangente en un punto.

Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar)

Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema del ángulo semi-inscrito y su correspondiente ángulo del centro son: 9 9

Determinar la medida de un ángulo semi-inscrito en una circunferencia, dado el ángulo del centro que subtiende el mismo arco de circunferencia. Determinar la medida de un ángulo del centro de una circunferencia, dado el ángulo semi-inscrito que subtiende el mismo arco de circunferencia.

Justificación del Teorema Con algunos elementos geométricos que tenemos hasta el momento podemos intentar alguna demostración formal del teorema que se está estudiando, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que el teorema es válido Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos identificar los datos que se tienen, los datos que nos dan, a esto le llamamos Hipótesis, y lo que se desea demostrar le llamamos Tesis. 2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado). Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema. Estudio de 16 Teoremas Matemáticos de la unidad Nº 4 de 2º año medio. Autores: Marta Eugenia Muñoz Cerda, Eugenio Enrique Pérez Rocco

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Hipótesis:

El punto O es centro de una circunferencia. AOB es ángulo del centro de la circunferencia de centro O. ABC es ángulo semi-inscrito de la circunferencia de centro O. m( AOB) = α ∧ m( ABC ) = β Ambos ángulos subtienden un mismo arco o arcos congruentes. CD Tangente ha OB Tesis:

β⎞ ⎛ La medida del ángulo semi-inscrito es la mitad de la medida del ángulo del centro. ⎜ α = ⎟ 2⎠ ⎝ Demostración:

Triangulo AOB es Isósceles, ya que AO = BO (radios de la circunferencia). Luego OAB ≅ OBA . ( m ( OAB ) =m ( OBA ) ) Además por hipótesis: CD Tangente ha OB , entonces (1) m ( OBA ) + α =90º . Por otro lado tenemos que: ( 2 ) m ( OBA ) + m ( OAB ) + β =180º De (1) tenemos que: m ( OBA ) =90º-α y por hipótesis m ( OAB ) =m ( OBA ) Luego reemplazando en (2) se tiene: m ( OBA ) + m ( OAB ) + β =180º 2 ⋅ m ( OBA ) + β =180º 2 ⋅ ( 90º-α ) + β =180º 180º-2 ⋅ α + β =180º β =2 ⋅ α

β 2

=α

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Mapa Deductivo Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis α es la medida de un ángulo semi-inscrito en una circunferencia de centro O y radio r y β es la medida de un ángulo del centro que subtienden un mismo arco o un arco congruente

=> T1

AOB Isósceles.

=> T3

m ( OAB ) =m ( OBA )

=> T2

m ( OBA ) + m ( OAB ) + β =180º

=> O

2 ⋅ m ( OBA ) + β =180º

=> H

m ( OBA ) + α =90º

=> O

m ( OBA ) =90º-α

(*)

=> S

2 ⋅ ( 90º-α ) + β =180º 180º-2 ⋅ α + β =180º

=> (*)

=> O

β =2 ⋅ α β =α 2

Tesis Significado de los Símbolos Teorema (T1): Si la medida de dos lados de un triángulo son iguales, entonces el triángulo es isósceles. Teorema (T2): La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. Hipótesis (H): Por hipótesis Teorema (T3): Si un triángulo es isósceles, entonces la medida de los ángulos básales es la misma. Operación (O): Operación algebraica. Sustitución (S): Sustitución simple.

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Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema del ángulo semi-inscrito y su correspondiente ángulo del centro. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema del ángulo semi-inscrito y su correspondiente ángulo del centro para determinar la medida del ángulo β?

a)

b)

c)

d)

e)

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Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema del ángulo semi-inscrito y su correspondiente ángulo del centro. Ítem 2

Según los datos que entrega la figura, ¿Cuál es la medida del ángulo β? a) 90º. b) 35º. c) 70º. d) 160º. e) 140º.

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis y tesis del Teorema del ángulo semi-inscrito y su correspondiente ángulo del centro. Ítem 3

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la correcta? Teorema: Si α es la medida de un ángulo semi-inscrito en una circunferencia de centro O y radio r y β es la medida de un ángulo del centro que subtienden un mismo arco o un arco congruente, entonces la medida del ángulo semi-inscrito es la mitad de la medida del ángulo del centro. Es decir: α =

β

2

a) La hipótesis del Teorema es “α es la medida de un ángulo semi-inscrito en una circunferencia de centro O y radio r”. b) La tesis del Teorema es “ α =

β

”. 2 c) La tesis del Teorema es “β es la medida de un ángulo del centro que subtienden un mismo arco o un arco congruente”. d) La hipótesis del Teorema “la medida del ángulo semi-inscrito es la mitad de la medida del ángulo del centro”. e) La tesis del Teorema es todo el enunciado del teorema.

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TEOREMA Nº 4

“TEOREMA DEL ÁNGULO INSCRITO EN UNA SEMICIRCUNFERENCIA”

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Teorema del ángulo inscrito en una semicircunferencia4 Institucionalización del Teorema: Si un ángulo está inscrito en una semicircunferencia, entonces es un ángulo recto.

Es decir, Si

MPN está inscrito en una semicircunferencia ⇒ m( MPN ) = 90°

Estudiemos algunos casos particulares de este teorema. 1. En la circunferencia de la figura, AB es el diámetro de la circunferencia y C es un punto en la ésta, luego el BCA está inscrito en la semicircunferencia de radio 3 y centro O (lo que escribiremos

C (O, 3) ), luego por el teorema del ángulo inscrito en una semicircunferencia tenemos que la m( BCA) = 90° Se cumple el teorema del ángulo inscrito en una semicircunferencia.

4

Aprendizaje esperado asociado: Conjeturan acerca de regularidades geométricas asociadas a la circunferencia, sus elementos (radio, tangente, cuerda, secante) y otras figuras geométricas; buscan formas para demostrarlas distinguiendo entre hipótesis y tesis.

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2. En la circunferencia de la figura, SR es el diámetro de la circunferencia y T es un punto en ésta, luego el RTS está inscrito en la 5 semicircunferencia de radio y centro O (lo que 6 ⎛ 5⎞ escribiremos C ⎜ O, ⎟ ), luego por el teorema relativo al ángulo inscrito ⎝ 6⎠ en una semicircunferencia tenemos que la m( RTS ) = 90° Se cumple el teorema del ángulo inscrito en una semicircunferencia.

Análisis de componentes del teorema en estudio Como te podrás dar cuenta en el teorema encontramos conceptos estudiados con anterioridad, éstos son los siguientes. i.

Conceptos Involucrados. ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

ii.

Ángulo Recto. Medida de un ángulo. Ángulo inscrito en una circunferencia. Diámetro, radio y centro de una circunferencia. Semicircunferencia. Variables y Dominios.

En este teorema podemos distinguir Variables (elementos que varían) y asociadas a ellas un conjunto de Dominios (conjunto al cual pertenece la variable) Variables Circunferencia Centro (O) de la circunferencia Longitud del radio (r) de la circunferencia

Dominios Todas las circunferencias del plano

Longitud de las cuerdas

]0, 2r[

2

ℜ+

Cualquier punto que pertenece a la Ubicación de los extremos de los lados del circunferencia de centro O y radio r tal que corresponden a los puntos extremos del ángulo diámetro de la circunferencia Cualquier punto que pertenece a la Ubicación del vértice del ángulo circunferencia de centro O y radio r iii.

Competencias asociadas al Teorema (destrezas a desarrollar o a ser desarrolladas)

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Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada)

Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema Relativo al ángulo inscrito en una semicircunferencia son: 9 9

Reconocer un ángulo inscrito en una semicircunferencia. Reconocer un ángulo recto.

Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar)

Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema Relativo al ángulo inscrito en una semicircunferencia son: 9 9

Determinar la medida de un ángulo inscrito en una semicircunferencia. Si un ángulo inscrito en una circunferencia mide 90º, reconocer que sus extremos (no vértice) coinciden con los extremos del diámetro.

Justificación del Teorema Al igual que en las demostraciones de los teoremas anteriores, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que si el teorema es válido para todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia en el plano. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos identificar los datos que se tienen, los datos que nos dan, a esto le llamamos Hipótesis, y lo que se desea demostrar le llamamos Tesis. 2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado). Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema.

Estudio de 16 Teoremas Matemáticos de la unidad Nº 4 de 2º año medio. Autores: Marta Eugenia Muñoz Cerda, Eugenio Enrique Pérez Rocco

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Hipótesis:

El MPN es un ángulo inscrito en una semicircunferencia.

Tesis:

La m( MPN ) = 90°

Demostración:

Por Hipótesis se tiene que: M y N son puntos extremos del diámetro de la circunferencia de centro O, ya que el MPN está inscrito en una semicircunferencia.

A continuación se traza el segmento desde el punto P al punto O como indica la siguiente figura:

Se tiene entonces que MO, ON , PO son radios de la circunferencia de centro O es decir: m( MO) = m(ON ) = m( PO) = r por lo tanto se tiene que MO ≅ ON ≅ PO . Ahora como MO ≅ OP , el ΔMOP es isósceles lo que implica que OMP ≅ MPO , llamemos α a la medida de estos ángulos, es decir:

m( OMP) = m( MPO) = α (1) Por otra parte PO ≅ ON , entonces el ΔNPO es isósceles también, lo que implica que OPN ≅ PNO , llamemos β a la medida de estos ángulos, es decir: m( OPN ) = m( PNO) = β (2)

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Se puede observar además que m( MPN ) = m( MPO ) + m( OPN ) (3) Por lo tanto reemplazando por (1) y (2) se tiene que: m( MPN ) = α + β Del ΔMPN se tiene que m( OMP ) + m( MPN ) + m( PNO) = 180° Reemplazando se tiene: α + (α + β ) + β = 180° Reduciendo términos semejantes resulta: 2α + 2 β = 180° Factorizando por 2 queda: 2(α + β ) = 180º Simplificando por

m( MPN ) = 90° Por lo tanto el

1 resulta: α + β = 90° , por lo que por (3) se tiene finalmente que 2

MPN inscrito en una semicircunferencia es recto.

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Mapa Deductivo Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis

D1

D2

El MPN es un ángulo ⇒ m ( MPN ) = m ( MPO ) + m ( OPN ) ⇒ MO ≅ ON ≅ PO inscrito en una semicircunferencia .

R1

D3

T2

⇒ ΔMPO isósceles ⇒ OMP ≅ MPO PNO ≅ OPN ΔNPO

O1

(*) ⇒ m( MPO) + m( MPO) + m( OPN ) + m( OPN ) = 180°

T1

⇒ m( OMP ) + m( MPN ) + m( PNO) = 180°

O2

⇒ 2m( MPO) + 2m( OPN ) = 180° ⇒ m ( MPO ) + m ( OPN ) = 90°

(*)

R2

⇒ m ( MPN ) = 90° Tesis

Significado de los Símbolos Definición 1 (D1): Un ángulo se puede escribir como la suma de dos ángulos adyacentes Definición 2 (D2): Los radios de una circunferencia son congruentes Definición 3 (D3): Un triángulo es isósceles si dos de sus lados son congruentes Teorema 1 (T1): Los ángulos basales de un triángulo isósceles son congruentes Teorema 2 (T2): La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180° Reemplazo 1 (R1): Se reemplaza la m( MPN ) por m( MPO ) + m( OPN ) (a causa de D1) Operación 1 (O1): Se reduce términos semejantes m( MPO ) y m( OPN ) Operación 2 (O2): Se divide la ecuación por 2 Reemplazo 2 (R2): Se reemplaza m( MPO ) + m( OPN ) por m( MPN ) (a causa de D1) Estudio de 16 Teoremas Matemáticos de la unidad Nº 4 de 2º año medio. Autores: Marta Eugenia Muñoz Cerda, Eugenio Enrique Pérez Rocco

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Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema Relativo al ángulo inscrito en una semicircunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema Relativo al ángulo inscrito en una semicircunferencia para determinar la medida del ángulo θ ? a)

GC es diámetro

b)

m( HB) = m( BD) = r

c)

KL es diámetro

d)

BC es diámetro y m( AWE ) = 90°

e)

RU es diámetro

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Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema Relativo al ángulo inscrito en una semicircunferencia. Ítem 2

En la siguiente figura A y C son puntos colineales, y el punto medio entre A y C es el centro de la circunferencia. ¿Cuál es la medida del ABC ? a) 51.36° b) 90° c) 102.72° d) 205.44° e) No se puede determinar

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis y tesis del Teorema Relativo al ángulo inscrito en una semicircunferencia. Ítem 3

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la correcta? Teorema: Si un ángulo ABC está inscrito en una semicircunferencia de centro O, entonces la medida de ABC es 90° . a) La hipótesis del Teorema es “la medida de b) La tesis del Teorema es “un ángulo

ABC es 90° ”.

ABC está inscrito en una semicircunferencia”.

c) La tesis del Teorema es “la medida de

ABC es 90° ”.

d) La hipótesis del Teorema es “un ángulo inscrito en una semicircunferencia mide 90° ”. e) La hipótesis del Teorema es “un ángulo

ABC está inscrito en una circunferencia”.

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TEOREMA Nº 5

“RELATIVO A LAS CUERDAS DE UNA CIRCUNFERENCIA”

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Relativo a las cuerdas de una circunferencia5 Institucionalización del Teorema:

Si dos ángulos del centro son congruentes, entonces las cuerdas que los subtienden son congruentes.

Es decir, Si

AOB ≅ COD ⇒ AB ≅ CD

Estudiemos algunos casos particulares de este teorema. 1. En la circunferencia de la figura,

( )

AOB ≅ COD ∧ m( AOB ) = m( COD ) = 79º y

m AB = 2,54 , ¿Cuál es la medida del segmento CD ? De acuerdo al Teorema, tenemos que: Si AOB ≅ COD ⇒ AB ≅ CD Y si AB ≅ CD ⇒ m AB = m CD

( )

( )

( )

∴Como m AB = 2,54 , entonces de acuerdo a lo anterior

( )

m CD = 2,54

5

Aprendizaje esperado asociado: Conjeturan acerca de regularidades geométricas asociadas a la circunferencia, sus elementos (radio, tangente, cuerda, secante) y otras figuras geométricas; buscan formas para demostrarlas distinguiendo entre hipótesis y tesis.

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Análisis de componentes del teorema en estudio Como te podrás dar cuenta en el teorema encontramos conceptos estudiados con anterioridad, éstos son los siguientes. i.

Conceptos Involucrados. ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

ii.

Ángulo del Centro de una Circunferencia. Ángulos Congruentes. Medida de un ángulo. Cuerdas de Circunferencia. Segmentos Congruentes. Medida de un segmento.

Variables y Dominios.

En este teorema podemos distinguir Variables (elementos que varían) y asociadas a ellas un conjunto de Dominios (conjunto al cual pertenece la variable)

iii.

Variables Circunferencia Centro (O) de la circunferencia Longitud del radio (r) de la circunferencia

Dominios Todas las circunferencias del plano

Longitud de las cuerdas

]0, 2r[

Ángulos del centro

Cualquier par de ángulos del centro de la circunferencia de centro O y radio r tal que estos sean congruentes

2

ℜ+

Competencias asociadas al Teorema (destrezas a desarrollar o a ser desarrolladas) Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada)

Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema Relativo a las Cuerdas de una Circunferencia son: 9 9 9 9

Reconocer ángulos del centro de una circunferencia. Reconocer ángulos congruentes. Reconocer cuerdas de circunferencia. Reconocer cuando dos segmentos son congruentes.

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Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar)

Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema Relativo a las Cuerdas de una Circunferencia son:

9 9

Dados dos ángulos del centro congruentes determinar qué cuerdas de circunferencia son congruentes. Dado dos ángulos congruentes y la medida de una cuerda, determinar la medida de la otra cuerda de circunferencia.

Justificación del Teorema Con algunos elementos geométricos que tenemos hasta el momento podemos intentar alguna demostración formal del teorema que se está estudiando, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que el teorema es válido para todos los pares de ángulos del centro congruentes de una circunferencia en el plano. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos identificar los datos que se tienen, los datos que nos dan, a esto le llamamos Hipótesis, y lo que se desea demostrar le llamamos Tesis. 2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado). Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema. Hipótesis:

El punto O es centro de una circunferencia. AOB es ángulo del centro de la circunferencia de centro O. COD es ángulo del centro de la circunferencia de centro O. AOB ≅ COD

Tesis:

(

)

Las cuerdas de circunferencia AB y CD son congruentes AB ≅ CD .

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Demostración:

Por Hipótesis se tiene que: AO y OB son radios de circunferencia, porque centro de la circunferencia de centro O.

AOB es ángulo del

Así también se tiene que CO y OD son radios de circunferencia, porque COD es ángulo del centro de la circunferencia de centro O. Se tiene que AO ≅ OB ≅ DO ≅ CO , puesto que todos son radios de la circunferencia de centro O, entonces todos tienen igual medida. (1) AO ≅ CO y (2) BO ≅ DO

Se construyen las Cuerdas de Circunferencia AB y CD , y se obtienen los triángulos: ΔAOB y ΔCOD Además por hipótesis se tiene que: (3) AOB ≅ COD

Con los datos (1), (2) y (3) y por Teorema de Congruencia de Triángulos (Lado-ÁnguloLado), se tiene que ΔAOB ≅ ΔCOD Por lo tanto, AB ≅ CD : donde AB y CD son cuerdas de circunferencia.

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Mapa Deductivo Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis

El punto O es centro de una circunferencia. AOB es ángulo del centro de la circunferencia de centro O. COD es ángulo del centro de la circunferencia de centro O. AOB ≅ COD

=> D1

AO ≅ CO BO ≅ DO => T1

ΔAOB ≅ ΔCOD => T2

AB ≅ CD

Tesis

=> H

AOB ≅ COD

Significado de los Símbolos

Hipótesis (H): Por hipótesis Definición 1 (D1): Los radios de una circunferencia son congruentes Teorema 1 (T1): Criterio de congruencia de triángulos lado-ángulo-lado (LAL) Teorema 2 (T2): Si dos triángulos son congruentes, entonces los lados son congruentes Estudio de 16 Teoremas Matemáticos de la unidad Nº 4 de 2º año medio. Autores: Marta Eugenia Muñoz Cerda, Eugenio Enrique Pérez Rocco

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Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema Relativo a las cuerdas de una circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema Relativo a las cuerdas de una circunferencia para determinar la longitud de la cuerda CD ?

a)

b)

c)

d)

e)

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Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema Relativo a las cuerdas de una circunferencia. Ítem 2

Según los datos que entrega la figura, ¿Cuál es la longitud de AB ? a) 7 cm. b) 14 cm. c) 28 cm. d) 58.5 cm. e) No se puede determinar

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis y tesis del Teorema Relativo a las cuerdas de una circunferencia. Ítem 3

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la correcta? Teorema: Si en una circunferencia de centro O, los ángulos AOB y COD son ángulos del centro y AOB ≅ COD , entonces las cuerdas AB y CD son congruentes. a) La hipótesis del Teorema es “los ángulos

AOB y

COD son ángulos del centro”.

b) La tesis del Teorema es “ AOB ≅ COD , entonces las cuerdas AB y CD son congruentes”. c) La tesis del Teorema es “las cuerdas AB y CD no son congruentes”. d) La hipótesis del Teorema “en una circunferencia de centro O, los ángulos son ángulos del centro y AOB ≅ COD ”.

AOB y

COD

e) La tesis del Teorema es todo el enunciado del teorema.

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TEOREMA Nº 6

“RELATIVO A LOS ÁNGULOS DEL CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA”

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Relativo a los ángulos del centro de una circunferencia6 Institucionalización del Teorema:

Si dos cuerdas son congruentes, entonces los ángulos del centro subtendidos por ellas son congruentes.

Es decir, Si AB ≅ CD ⇒ AOB ≅ COD

Estudiemos algunos casos particulares de este teorema. 1. En la circunferencia de la figura, AB ≅ CD ∧ m( AB) = m(CD) = 2 y m ( COD ) = 60º , ¿Cuál es la medida del ángulo α ? De acuerdo al Teorema, tenemos que: Si AB ≅ CD ⇒ AOB ≅ COD Y si AOB ≅ COD ⇒ m ( AOB ) = m ( COD ) ∴Como m ( COD ) = 60º , entonces de acuerdo a lo anterior m ( AOB ) = 60º

6

Aprendizaje esperado asociado: Conjeturan acerca de regularidades geométricas asociadas a la circunferencia, sus elementos (radio, tangente, cuerda, secante) y otras figuras geométricas; buscan formas para demostrarlas distinguiendo entre hipótesis y tesis.

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Análisis de componentes del teorema en estudio Como te podrás dar cuenta en el teorema encontramos conceptos estudiados con anterioridad, éstos son los siguientes. i.

Conceptos Involucrados. ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

ii.

Ángulo del Centro de una Circunferencia. Ángulos Congruentes. Medida de un ángulo. Cuerdas de Circunferencia. Segmentos Congruentes. Medida de un segmento. Variables y Dominios.

En este teorema podemos distinguir Variables (elementos que varían) y asociadas a ellas un conjunto de Dominios (conjunto al cual pertenece la variable)

iii.

Variables Circunferencia Centro (O) de la circunferencia Longitud del radio (r) de la circunferencia

Dominios Todas las circunferencias del plano

Longitud de las cuerdas

]0, 2r[

Ángulos del centro

Cualquier par de ángulos del centro de la circunferencia de centro O y radio r tal que estén subtendidos pos las cuerdas dadas

2

ℜ+

Competencias asociadas al Teorema (destrezas a desarrollar o a ser desarrolladas) Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada)

Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema Relativo a los ángulos del centro de una Circunferencia son: 9 9 9 9

Reconocer cuerdas de circunferencia. Reconocer cuando dos segmentos son congruentes. Reconocer ángulos del centro de una circunferencia. Reconocer ángulos congruentes.

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Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar)

Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema Relativo a los ángulos del centro de una Circunferencia son: 9 9

Dadas dos cuerdas congruentes determinar qué ángulos del centro de la circunferencia son congruentes. Dada dos cuerdas congruentes y la medida de un ángulo del centro, determinar la medida del otro ángulo del centro.

Justificación del Teorema Con algunos elementos geométricos que tenemos hasta el momento podemos intentar alguna demostración formal del teorema que se está estudiando, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que el teorema es válido para todos los pares de cuerdas congruentes de una circunferencia en el plano. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos identificar los datos que se tienen, los datos que nos dan, a esto le llamamos Hipótesis, y lo que se desea demostrar le llamamos Tesis. 2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado). Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema. Hipótesis:

Las cuerdas de circunferencia AB y CD son congruentes

( AB ≅ CD ) . Tesis:

Los ángulos del centro subtendidos por las cuerdas AB y CD son congruentes ( AOB ≅ COD ).

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Demostración:

Por Hipótesis se tiene que (1) AB ≅ CD , luego se construyen los segmentos: AO, OB, DO, CO , y se obtienen los triángulos: ΔAOB y ΔCOD . Luego se tiene que AO ≅ OB ≅ DO ≅ CO , puesto que todos son radios de la circunferencia de centro O, entonces todos tienen igual medida. (2) AO ≅ CO y (3) BO ≅ DO Con los datos (1), (2) y (3) y por Teorema de Congruencia de Triángulos (Lado-Lado-Lado), se tiene que ΔAOB ≅ ΔCOD Por lo tanto, circunferencia.

AOB ≅ COD : donde

AOB y

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COD son ángulos del centro de la

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Mapa Deductivo Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis

Se construyen los segmentos: AO, OB, DO, CO Radios de la circunferencia

Las cuerdas de circunferencia AB y CD son congruentes.

( AB ≅ CD ) .

=> D1

AO ≅ CO BO ≅ DO

=> T1 ΔAOB ≅ ΔCOD => T2

AOB ≅ COD

Tesis

=> H

AB ≅ CD

Significado de los Símbolos

Hipótesis (H): Por hipótesis Definición 1 (D1): Los radios de una circunferencia son congruentes Teorema 1 (T1): Criterio de congruencia de triángulos lado-lado-lado (LLL) Teorema 2 (T2): Si dos triángulos son congruentes, entonces los ángulos interiores son congruentes

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Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema relativo a los ángulos del centro de una circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema Relativo a los ángulos del centro de una circunferencia para determinar la medida del ángulo AOB ?

a)

b)

c)

d)

e)

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Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema relativo a los ángulos del centro de una circunferencia. Ítem 2

Según los datos que entrega la figura, ¿Cuál es la medida de

COD ?

a) 100º. b) 2º c) 50º d) 200º e) 80º

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis y tesis del Teorema relativo a los ángulos del centro de una circunferencia. Ítem 3

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la correcta? Teorema: Si en una circunferencia de centro O, las cuerdas AB y CD son congruentes, entonces los ángulos del centro AOB y COD son congruentes. a) La hipótesis del Teorema es “los ángulos

AOB y

b) La tesis del Teorema es “los ángulos del centro

COD son ángulos del centro”.

AOB y

COD son congruentes”.

c) La tesis del Teorema es “las cuerdas AB y CD son congruentes”. d) La hipótesis del Teorema “en una circunferencia de centro O, los ángulos son ángulos del centro y AOB ≅ COD ”.

AOB y

COD

e) La tesis del Teorema es todo el enunciado del teorema.

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TEOREMA Nº 7

“CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA”

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Cuadrilátero inscrito en una circunferencia7 Institucionalización del Teorema:

Si un cuadrilátero ABCD esta inscrito en una circunferencia de centro O y radio r, entonces los ángulos opuestos son suplementarios.

Es decir, α + γ = 180º y β + δ = 180º

Estudiemos algunos casos particulares de este teorema.

Los ángulos ∠DAB = 101º y∠BCD = 79º son ángulos opuestos del cuadrilátero ABCD inscrito en la circunferencia de centro O. Así también, los ángulos ∠CDA = 125º y∠ABC = 55º Son ángulos opuestos del cuadrilátero ABCD inscrito en la circunferencia de centro O. Claramente 101º+79º=180º, entonces el primer par de ángulos son suplementarios, y 125º+55º=180º, entonces el segundo par de ángulos son suplementarios. Cumpliendo el Teorema del Cuadrilátero Inscrito en una circunferencia.

Aprendizaje esperado asociado: Analizan propiedades y relaciones en figuras geométricas que se pueden inscribir o circunscribir a una circunferencia. 7

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Los ángulos ∠DAC y ∠BCD son ángulos opuestos del cuadrilátero ABCD inscrito en la circunferencia de centro O: 85.68º+94.32º=180º Los ángulos ∠ABC y ∠CDA son también ángulos opuestos del cuadrilátero ABCD: 102.34º+77.66º=180º Por lo tanto cumple el Teorema del Cuadrilátero Inscrito en una circunferencia.

Análisis de componentes del teorema en estudio Como te podrás dar cuenta en el teorema encontramos conceptos estudiados con anterioridad, éstos son los siguientes. i.

Conceptos Involucrados. ¾ Cuadrilátero inscrito en una circunferencia. ¾ Ángulos suplementarios. ¾ Ángulos opuestos de un cuadrilátero.

ii.

Variables y Dominios.

En este teorema podemos distinguir Variables (elementos que varían) y asociadas a ellas un conjunto de Dominios (conjunto al cual pertenece la variable)

Variables Circunferencia Centro (O) de la circunferencia Longitud del radio (r) de la circunferencia Vértices del cuadrilátero inscrito en la circunferencia Lados del cuadrilátero inscrito en la circunferencia

iii.

Dominios Todas las circunferencias del plano 2

ℜ+ Cualquier punto de la frontera de la circunferencia de centro O y radio r Cuerdas de la circunferencia de centro O y radio r

Competencias asociadas al Teorema (destrezas a desarrollar o a ser desarrolladas) Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada)

Estudio de 16 Teoremas Matemáticos de la unidad Nº 4 de 2º año medio. Autores: Marta Eugenia Muñoz Cerda, Eugenio Enrique Pérez Rocco

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Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema del cuadrilátero inscrito en una circunferencia son: 9 9 9

Reconocer un cuadrilátero inscrito en una circunferencia. Reconocer ángulos suplementarios. Reconocer ángulos interiores opuestos de un cuadrilátero.

Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar)

Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema del cuadrilátero inscrito en una circunferencia son: 9 9 9

Saber con certeza que los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son suplementarios. Determinar la medida de un ángulo interior de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia si se conoce su ángulo opuesto. Determinar, dados los ángulos interiores de un cuadrilátero, si es inscriptible en una circunferencia.

Justificación del Teorema Con algunos elementos geométricos que tenemos hasta el momento podemos intentar alguna demostración formal del teorema que se está estudiando, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que el teorema es válido para todos los cuadriláteros inscritos en circunferencias del plano. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos identificar los datos que se tienen, los datos que nos dan, a esto le llamamos Hipótesis, y lo que se desea demostrar le llamamos Tesis. 2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado). Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema.

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Hipótesis:

El cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia de centro O y radio r. Tesis:

Los ángulos opuestos del cuadrilátero ABCD inscrito en la circunferencia son suplementarios. ( α + γ =180º y β + δ =180º ) Demostración:

Sean α = m ( CBA ) , β = m ( ABC ) , γ = m ( BCD ) , δ = m ( CDA ) Por Teorema del Ángulo Inscrito en una Circunferencia relativo a arco tenemos:

( (

1 2 1 γ = m BAD 2

) )

α = m DCB

Sumando las ecuaciones anteriores queda: 1 1 α + γ = m DCB + m BAD 2 2 1 α + γ = m DCB + m BAD 2 1 α + γ = ⋅ ( 360º ) 2 α + γ = 180º

(

( (

)

(

) (

)

))

Por lo tanto α y γ son suplementarios (1)

Análogamente, Por Teorema del Ángulo Inscrito en una Circunferencia relativo a arco tenemos:

( ) ( )

1 2 1 δ = m CBA 2

β = m ADC

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Sumando las ecuaciones anteriores queda:

(

)

(

1 1 2 2 1 β + δ = m ADC + m CBA 2 1 β + δ = ⋅ ( 360º ) 2 β + δ = 180º

β + δ = m ADC + m CBA

( (

) (

)

))

Por lo tanto β y δ son suplementarios (2)

De las conclusiones (1) y (2), se puede afirmar que los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son suplementarios.

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Mapa Deductivo 1 Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis

El cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia de centro O y radio r.

( (

1 2 => T 1 γ = m BAD 2

) )

α = m DCB

=> O α + γ =

(*)

(

)

(

1 1 m DCB + m BAD 2 2

1 => D1 α + γ = ⋅ ( 360º ) 2

)

=> S

1

( (

) (

=> F α + γ = 2 m DCB + m BAD

))

=> (*)

α + γ = 180º Tesis

Significado de los Símbolos

Teorema (T): Si α es un ángulo inscrito en una circunferencia, entonces la medida del arco que forma es el doble de la medida de α. Operación (O): Operación aritmética (Suma) Factorización (F): Se factoriza por el factor común

1 2

Definición (D): La longitud del arco completo que forma una circunferencia es 360º. Simplificación (S): Se simplifica por 2. Estudio de 16 Teoremas Matemáticos de la unidad Nº 4 de 2º año medio. Autores: Marta Eugenia Muñoz Cerda, Eugenio Enrique Pérez Rocco

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Mapa Deductivo 2 Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis

El cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia de centro O y radio r.

( ) ( )

1 2 => T 1 δ = m CBA 2

β = m ADC

(

)

(

=> O β + δ =

1 1 m ADC + m CBA 2 2

(*)

β + δ = ⋅ ( 360º )

=> D1

1 2

)

=> S

1

( (

) (

=> F β + δ = 2 m ADC + m CBA

))

=> (*)

β + δ = 180º Tesis

Significado de los Símbolos

Teorema (T): Si α es un ángulo inscrito en una circunferencia, entonces la medida del arco que forma es el doble de la medida de α. Operación (O): Operación aritmética (Suma) Factorización (F): Se factoriza por el factor común

1 2

Definición (D): La longitud del arco completo que forma una circunferencia es 360º. Simplificación (S): Se simplifica por 2. Estudio de 16 Teoremas Matemáticos de la unidad Nº 4 de 2º año medio. Autores: Marta Eugenia Muñoz Cerda, Eugenio Enrique Pérez Rocco

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Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema del Cuadrilátero Inscrito. Ítem 1

Considerando la siguiente figura:

¿Cuál es el valor de α y β ? a) α b) α c) α d) α e) α

= 83º , β = 81º = 81º , β = 81º = 99º , β = 97º = 97º , β = 99º = 7 º , β = 9º

Competencia asociada al teorema: Aplicar el recíproco del Teorema. Ítem 2

¿El cuadrilátero de la figura puede ser inscrito en una circunferencia?

a) Sí, depende del radio de la circunferencia. b) Sí, todos los cuadriláteros son inscriptibles en una circunferencia c) No, la suma de sus ángulos internos es distinta a 360º d) No, sus lados tienen distintas longitudes e) No, sus ángulos interiores opuestos no son suplementarios

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Competencia asociada al teorema: Reconocer la tesis del Teorema del Cuadrilátero Inscrito en una Circunferencia

Ítem 3

¿Cuál de estas afirmaciones es verdadera? Teorema del Cuadrilátero Inscrito en una Circunferencia: “Si un cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia de centro O, entonces sus ángulos opuestos son suplementarios. Esto es: α + γ = 180º y β + δ = 180º ” a) La tesis del Teorema es “cuadrilátero ABCD” b) La tesis del Teorema es “un cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia de centro O” c) La tesis del Teorema es “ángulos suplementarios” d) La tesis del Teorema es “sus ángulos opuestos son complementarios” e) La tesis del Teorema es “sus ángulos opuestos son suplementarios. Esto es: α + γ = 180º y β + δ = 180º ”

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TEOREMA Nº 8

“TEOREMA DE LAS TANGENTES TRAZADAS DESDE UN PUNTO EXTERIOR A UNA CIRCUNFERENCIA”

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Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia8 Institucionalización del Teorema:

Si C es una circunferencia de centro P y Q es un punto del exterior de C tal que QA y QB son tangentes a C en A y B respectivamente, entonces las longitudes de QA y QB son iguales y

PQA ≅

PQB

Estudiemos algunos casos particulares de este teorema. 1. En este caso QA y QB son tangentes a la circunferencia de centro O y efectivamente m(QA) y m(QB ) miden lo mismo (2.66 cm.) y los ángulos AQO ≅ OQB pues m( AQO ) = m( OQB ) = 30.5° Se cumple el Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia.

8

Aprendizaje esperado asociado: Conjeturan acerca de regularidades geométricas asociadas a la circunferencia, sus elementos (radio, tangente, cuerda, secante) y otras figuras geométricas; buscan formas para demostrarlas distinguiendo entre hipótesis y tesis.

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2. En este caso QS y QT son tangentes a la circunferencia de centro O y efectivamente m(QS ) y m(QT ) miden lo mismo (2.78 cm.) y los ángulos TQO ≅ OQS pues m( TQO ) = m( OQS ) = 22.35° Se cumple el Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia.

Análisis de componentes del teorema en estudio Como te podrás dar cuenta en el teorema encontramos conceptos estudiados con anterioridad, éstos son los siguientes. i.

Conceptos Involucrados. ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

ii.

Tangente. Ángulo exterior a una circunferencia. Congruencia de triángulos. Medida de un ángulo. Longitud de un segmento.

Variables y Dominios.

En este teorema podemos distinguir Variables (elementos que varían) y asociadas a ellas un conjunto de Dominios (conjunto al cual pertenece la variable)

Variables Circunferencia Centro (O) de la circunferencia

Dominios Todas las circunferencias del plano

Longitud del radio (r) de la circunferencia Ubicación de los puntos tangentes a la circunferencia Ubicación del vértice del ángulo exterior a la circunferencia Longitud de un segmento

ℜ+ Cualquier punto que pertenece a la circunferencia de centro O y radio r Cualquier punto que pertenece al exterior de la circunferencia de centro O y radio r

2

Estudio de 16 Teoremas Matemáticos de la unidad Nº 4 de 2º año medio. Autores: Marta Eugenia Muñoz Cerda, Eugenio Enrique Pérez Rocco

ℜ+

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iii.

Competencias asociadas al Teorema (destrezas a desarrollar o a ser desarrolladas) Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada)

Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia son: 9 9 9

Reconocer una tangente a una circunferencia. Reconocer los criterios de congruencia. Reconocer ángulos rectos.

Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar)

Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia son: 9

Determinar la longitud de un segmento tangente a una circunferencia, dada la longitud del otro segmento tangente si comparten un mismo punto fuera de la circunferencia.

Justificación del Teorema Al igual que en las demostraciones de los teoremas anteriores, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que el teorema es válido para todos los ángulos interiores a una semicircunferencia en el plano. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos identificar los datos que se tienen, los datos que nos dan, a esto le llamamos Hipótesis, y lo que se desea demostrar le llamamos Tesis. 2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado). Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema. Hipótesis: Estudio de 16 Teoremas Matemáticos de la unidad Nº 4 de 2º año medio. Autores: Marta Eugenia Muñoz Cerda, Eugenio Enrique Pérez Rocco

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C es una circunferencia de centro P y Q es un punto del exterior de C tal que QA y QB son tangentes a C en A y B respectivamente

Tesis:

Las longitudes de QA y QB son iguales (o bien m(QA) = m(QB ) ) y

PQA ≅

PQB

Demostración:

Por Hipótesis se tiene que: C es una circunferencia de centro P y Q es un punto del exterior de C tal que QA y QB son tangentes a C en A y B respectivamente. Además se tiene que m( PA) = m( PB ) ya que PA y PB son radios de la circunferencia C, también m( PQ ) = m( PQ ) (lado común), y los QAP y QBP son rectos por el teorema que enuncia que toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado por el punto de contacto. Por el teorema de la hipotenusa y el cateto que enuncia que dos triángulos son congruentes si la hipotenusa ( PQ en este caso) y un cateto (el radio AP ) de un triángulo son congruentes con las partes correspondientes del segundo triángulo ( PQ y PB respectivamente) (o criterio LLA de congruencia); los triángulos ΔPQA y ΔPQB son congruentes, es decir ΔPQA ≅ ΔPQB . En consecuencia, m(QA) = m(QB ) y

PQA ≅

PQB como se quería demostrar.

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Mapa Deductivo Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis Sea C una circunferencia de centro P, y Q un punto del exterior de C tal que QA y QB son tangentes a C en AyB respectivamente

Se trazan los segmentos PQ , PA y PB

=> D1 m( PA) = m( PB ) => T2 ΔPQA ≅ ΔPQB QAP

=> T1 rectos => D2

y

QBP son

=> T3 m(QA) = m(QB ) y PQA ≅

PQB

Tesis

m( PQ ) = m( PQ )

Significado de los Símbolos Definición 1 (D1): Los radios de una circunferencia son congruentes Teorema 1 (T1): Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado por el punto de contacto Definición 2 (D2): Un segmento es congruente a sí mismo Teorema 2 (T2): Criterio LLA (para triángulos rectángulos) Teorema 3 (T3): Si dos triángulos son congruentes, entonces los lados y ángulos correspondientes son congruentes.

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Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia para determinar la relación entre las medidas de las tangentes (x en verde e y en rojo)? a)

b)

c)

d)

e)

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Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia. Ítem 2

¿Cuál es el valor del ángulo θ ? a) 10.5º b) 21º c) 42º d) 111º e) 222º

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia. Ítem 3

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la hipótesis correcta? Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia: “Si C es una circunferencia de centro P, y Q es un punto del exterior de C tal que QA y QB son tangentes a C en A y B respectivamente, entonces las longitudes de PQA ≅ PQB

QA y QB son iguales y

a) “las longitudes de QA y QB son iguales” b) “ PQA ≅

PQB ”

c) “Q es un punto del exterior de una circunferencia C de centro P, tal que QA y QB son tangentes a C en A y B respectivamente” d) “C es una circunferencia de centro P, y Q es un punto del exterior de C tal que QA y QB son tangentes a C en A y B respectivamente y las longitudes de QA y QB son iguales y PQA ≅ PQB ” e) “las longitudes de QA y QB son iguales y

PQA ≅

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PQB ”

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TEOREMA Nº 9

“TEOREMA DEL ÁNGULO INTERIOR DE UNA CIRCUNFERENCIA”

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Teorema del ángulo interior de una circunferencia9 Institucionalización del Teorema:

Si x es la medida del ángulo interior de la circunferencia de centro O formado por las cuerdas de circunferencia AB y CD , α y β son las medidas de los arcos

DA y CB respectivamente, entonces la medida del ángulo interior se puede determinar mediante la expresión: x=

α +β 2

Estudiemos algunos casos particulares de este teorema. 1. En este caso las cuerdas son diámetros de la circunferencia de centro O, formando un ángulo interior de 90º y dos arcos de 90º cada uno. Así se tiene que: 90º +90º 90º = 2 Se cumple el Teorema del Ángulo Interior de una circunferencia de centro O.

9

Aprendizaje esperado asociado: Conjeturan acerca de regularidades geométricas asociadas a la circunferencia, sus elementos (radio, tangente, cuerda, secante) y otras figuras geométricas; buscan formas para demostrarlas distinguiendo entre hipótesis y tesis.

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2. En la circunferencia de la figura se tiene que: m( DA) = 97.12° m(CB ) = 35.66° El ángulo interior mide 66.39º, ya que: 97.12º +35.66º = 66.39° 2

Entonces se cumple el Teorema del Ángulo Interior de una circunferencia.

Análisis de componentes del teorema en estudio Como te podrás dar cuenta en el teorema encontramos conceptos estudiados con anterioridad, éstos son los siguientes. i.

Conceptos Involucrados. ¾ ¾ ¾ ¾

ii.

Cuerda de Circunferencia. Ángulo interior de una circunferencia. Medida de un ángulo. Arco de circunferencia. Variables y Dominios.

En este teorema podemos distinguir Variables (elementos que varían) y asociadas a ellas un conjunto de Dominios (conjunto al cual pertenece la variable)

Variables Circunferencia Centro (O) de la circunferencia

Dominios Todas las circunferencias del plano

Longitud del radio (r) de la circunferencia Ubicación de los puntos extremos de las cuerdas de circunferencia Ubicación del punto de intersección de las cuerdas de la circunferencia

ℜ+ Cualquier punto que pertenece a la circunferencia de centro O y radio r Cualquier punto que pertenece al interior de la circunferencia de centro O y radio r

2

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iii.

Competencias asociadas al Teorema (destrezas a desarrollar o a ser desarrolladas) Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada)

Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema del ángulo interior de una circunferencia son: 9 9 9

Reconocer un ángulo interior a una circunferencia. Reconocer la medida de un arco de circunferencia. Reconocer cuerdas de circunferencia.

Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar)

Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema del ángulo interior de una circunferencia son: 9 9

Determinar la medida de un ángulo interior a una circunferencia dadas las medidas de los arcos que subtienden los extremos de las cuerdas que lo forman. Determinar la medida de un arco de circunferencia, dados el ángulo interior y el otro arco.

Justificación del Teorema Al igual que en las demostraciones de los teoremas anteriores, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que el teorema es válido para todos los ángulos interiores a una semicircunferencia en el plano. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos identificar los datos que se tienen, los datos que nos dan, a esto le llamamos Hipótesis, y lo que se desea demostrar le llamamos Tesis. 2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado). Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema.

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Hipótesis:

x es la medida de un ángulo interior de una circunferencia de centro O, formado por las cuerdas AB y CD de la circunferencia

α es la m( DA) β es la m(CB)

Tesis:

La medida del ángulo interior (x), se puede determinar mediante la expresión: α +β x= 2 Demostración:

Por Hipótesis se tiene que: x es la medida de un ángulo interior de una circunferencia de centro O, formado por las cuerdas AB y CD de la circunferencia

α es la m( DA) β es la m(CB) Llamaremos P al punto de intersección entre las cuerdas de circunferencia AB y CD A continuación se traza la cuerda de circunferencia AC , formando el triángulo ΔAPC , y los ángulos PAC y PCA Por la construcción auxiliar, x es un ángulo exterior del triángulo ΔAPC , entonces: x = m( PAC ) + m ( PCA)

Pero P ∈ AB y P ∈ CD , entonces: x = m( BAC ) + m( DCA) (1)

Donde los ángulos BAC y DCA son ángulos inscritos en la circunferencia de centro O, y por Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia relativo a arco, se tiene que:

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m( DCA) = m( BAC ) =

α 2

β

2

(2) (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1), se obtiene: x= x=

α 2

+

β 2

α +β 2

Es decir, la medida del ángulo interior (x), se puede determinar mediante la expresión: x=

α +β 2

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Mapa Deductivo Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis x es la medida de un ángulo interior de una circunferencia de centro O, formado por las cuerdas AB y CD de la circunferencia

α β

es la m( DA) es la m(CB)

Se traza el segmento

AC => T1

x = m( PAC ) + m( PCA)

m( DCA) =

=> T2

m( BAC ) =

α

=> S1 x = m( BAC ) + m( DCA)

=> S2 x =

2

α 2

+

β 2

=> O

x=

α +β 2

Tesis

β

2

Significado de los Símbolos Teorema 1 (T1): La suma de las medidas de dos ángulos interiores de un triángulo, es igual a la medida del ángulo exterior opuesto a éstos. Teorema 2 (T2): La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia, es la mitad de la medida del arco que subtiende. Sustitución 1 (S1): Como P ∈ AB entonces m( PAC ) = m( BAC ) y P ∈ CD entonces

m( PCA) = m( DCA) .

Sustitución 2 (S2): Sustitución simple. Operación (O): Operación aritmética, suma de fracciones.

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Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema del ángulo interior a una circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema del ángulo interior a una circunferencia para determinar la medida del ángulo x ? a)

b)

c)

d)

e)

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Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema del ángulo interior a una circunferencia. Ítem 2

¿Qué operaciones aritméticas se deben realizar para encontrar el valor de α ? 81.3 + 91.12 2 a) 81.3 + 91.12 α= − 180 2 b) 81.3 + 91.12 α= + 180 2 c) 81.3 + 91.12 α = 180 − 2 d) e) No se puede determinar.

α=

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis Teorema del ángulo interior a una circunferencia. Ítem 3

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la hipótesis correcta del teorema? Teorema del Ángulo Interior a una Circunferencia: “Si x es la medida del ángulo interior a la circunferencia de centro O formado por las cuerdas de circunferencia AB y CD , α y β son la medida de los arcos DA y CB respectivamente, entonces la medida del ángulo interior se puede determinar mediante la expresión:

x=

α +β 2

a) “x es la medida del ángulo interior a la circunferencia de centro O formado por las cuerdas de circunferencia AB y CD ” b) “ α y β son la medida de los arcos DA y CB respectivamente” c) “x es la medida del ángulo interior a la circunferencia de centro O formado por las cuerdas de circunferencia AB y CD , α y β son la medida de los arcos DA y CB respectivamente” α +β d) “ x = ” 2

e) “x es la medida del ángulo interior a la circunferencia de centro O”

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TEOREMA Nº 10

“TEOREMA DEL ÁNGULO EXTERIOR A UNA CIRCUNFERENCIA”

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Teorema del ángulo exterior a una circunferencia10 Institucionalización del Teorema:

Si x es la medida del ángulo exterior a la circunferencia de centro O formado por secantes (o por tangentes) α es el arco de mayor medida que subtiende el ángulo exterior y β es el arco de menor medida que subtiende el ángulo exterior, entonces la medida del ángulo exterior se puede determinar mediante la expresión: α −β x= 2 donde x es la medida de dicho ángulo exterior

Estudiemos algunos casos particulares de este teorema. 1. En este caso el ángulo exterior a la circunferencia de centro O, está formado por una secante y una tangente. Así se tiene que: 138.51º −68.23º 35.14º = 2 Se cumple el Teorema del Ángulo exterior a una circunferencia de centro O.

10

Aprendizaje esperado asociado: Conjeturan acerca de regularidades geométricas asociadas a la circunferencia, sus elementos (radio, tangente, cuerda, secante) y otras figuras geométricas; buscan formas para demostrarlas distinguiendo entre hipótesis y tesis.

Estudio de 16 Teoremas Matemáticos de la unidad Nº 4 de 2º año medio. Autores: Marta Eugenia Muñoz Cerda, Eugenio Enrique Pérez Rocco

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2. En la circunferencia de la figura se tiene que: m( SR) = 80.6° m(TQ) = 32.31° El ángulo exterior mide 24.15º, ya que: 80.6º −32.31º = 24.15° 2

Entonces se cumple el Teorema del ángulo exterior a una circunferencia.

Análisis de componentes del teorema en estudio Como te podrás dar cuenta en el teorema encontramos conceptos estudiados con anterioridad, éstos son los siguientes. i.

Conceptos Involucrados. ¾ ¾ ¾ ¾

ii.

Secante, Tangente. Ángulo exterior a una circunferencia. Medida de un ángulo. Arco de circunferencia. Variables y Dominios.

En este teorema podemos distinguir Variables (elementos que varían) y asociadas a ellas un conjunto de Dominios (conjunto al cual pertenece la variable)

Variables Circunferencia Centro (O) de la circunferencia

Dominios Todas las circunferencias del plano

Longitud del radio (r) de la circunferencia Ubicación de los puntos extremos, y de intersección, de las secantes y/o tangentes a la circunferencia Ubicación del vértice del ángulo exterior a la circunferencia

ℜ+

2

Cualquier punto que pertenece a la circunferencia de centro O y radio r Cualquier punto que pertenece al exterior de la circunferencia de centro O y radio r

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iii.

Competencias asociadas al Teorema (destrezas a desarrollar o a ser desarrolladas) Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada)

Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema del ángulo exterior a una circunferencia son: 9 9 9

Reconocer un ángulo exterior a una circunferencia. Reconocer la medida de un arco de circunferencia. Reconocer secantes y tangentes de circunferencia.

Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar)

Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema del ángulo exterior a una circunferencia son: 9 9

Determinar la medida de un ángulo exterior a una circunferencia dadas las medidas de los arcos formados por el ángulo al interceptar la circunferencia. Determinar la medida de un arco de circunferencia, dados el ángulo exterior y el otro arco.

Justificación del Teorema Al igual que en las demostraciones de los teoremas anteriores, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos si el teorema es válido para todos los ángulos exteriores a una semicircunferencia en el plano. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos identificar los datos que se tienen, los datos que nos dan, a esto le llamamos Hipótesis, y lo que se desea demostrar le llamamos Tesis. 2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado). Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema.

Estudio de 16 Teoremas Matemáticos de la unidad Nº 4 de 2º año medio. Autores: Marta Eugenia Muñoz Cerda, Eugenio Enrique Pérez Rocco

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Hipótesis:

x es la medida de un ángulo exterior de una circunferencia de centro O, formado por secantes o tangentes de la circunferencia

α es la medida del mayor arco que subtiende el ángulo exterior β es la medida del menor arco que subtiende al ángulo exterior

Tesis:

La medida del ángulo exterior (x), se puede determinar mediante la expresión: α −β x= 2 Antes de comenzar a revisar la demostración de este teorema, cabe señalar que existen 3 casos cuya demostración se tratará independientemente, estos casos responden a las siguientes situaciones gráficas: CASO A

CASO B

CASO C

Demostración: CASO A: El ángulo exterior está formado por dos secantes

Por hipótesis se tiene que: x es la medida de un ángulo exterior de una circunferencia de centro O, formado por las secantes RS y RT de la circunferencia α es la m( ST )

β es la m( ZV ) A continuación se traza la cuerda de circunferencia VT , formando el triángulo ΔTRV como lo indica la siguiente figura:

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Llamaremos δ al ángulo exterior ΔTRV y ε al RTV , es decir δ = m( SVT ) y ε = m( RTV ) , por lo tanto se tiene que:

δ = ε + x , despejando x tenemos x = δ − ε (1) Por otro lado se tiene que

m( ZV ) m( ST ) (2) y δ = (3) por Teorema del 2 2 ángulo inscrito en una circunferencia relativo a arco.

ε=

Reemplazando (2) y (3) en (1), se obtiene:

m( ST ) m( ZV ) − , pero por hipótesis se tiene que 2 2 α es la m( ST ) x=

β es la m( ZV ) Luego x =

α 2

−

Finalmente x =

β 2

α −β 2

Es decir, la medida del ángulo exterior (x), se puede determinar mediante la expresión: x=

α −β 2

CASO B: El ángulo exterior está formado por una secante y una tangente.

Por hipótesis se tiene que: x es la medida de un ángulo exterior de una circunferencia de centro O, formado por la secante BC y la tangente AB de la circunferencia

α es la m(CA) β es la m( AD)

A continuación se trazan las cuerdas de circunferencia AD y AC formando el triángulo ΔADC como lo indica la siguiente figura: Estudio de 16 Teoremas Matemáticos de la unidad Nº 4 de 2º año medio. Autores: Marta Eugenia Muñoz Cerda, Eugenio Enrique Pérez Rocco

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Llamaremos ε a la medida del CDA , ψ a la medida del θ a la medida del BDA , es decir ε = m( CDA) ψ = m( DAB ) θ = m( BDA) Por lo tanto en ΔABD se tiene: x + θ + ψ = 180° (1)

DAB y

CDA es un ángulo inscrito que subtiende el arco CA en la circunferencia, se tiene que

Como

m(CA) α es decir ε = . Como θ es el ángulo suplementario de ε se tiene que 2 2 θ = 180° − ε es decir α θ = 180° − (2) 2 y DAB es un ángulo semi inscrito que subtiende el arco AD por lo tanto m( CDA) =

m( DAB) =

ψ =

β

m( AD) es decir 2

(3)

2

Reemplazando (2) y (3) en (1) se obtiene: α β x + 180° − + = 180° , despejando x tenemos: 2 2 x+−

α 2

+

β 2

Luego x =

=0

α 2

−

Finalmente x =

β 2

α −β 2

Es decir, la medida del ángulo exterior (x), se puede determinar mediante la expresión: x=

α −β 2

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CASO C: El ángulo exterior está formado por dos tangentes.

Por hipótesis se tiene que: x es la medida de un ángulo exterior de una circunferencia de centro O, formado por las tangentes AC y BC de los puntos A y B de la circunferencia respectivamente. α es la m( AB)

β es la m( BA) A continuación se traza la cuerda de circunferencia AB formando el triángulo ΔABC y se extiende las tangentes como lo indica la siguiente figura: Sean S y T dos puntos tales que S ∈ AS y T ∈ BT Llamaremos ε a la medida del SAB y ψ a la medida del CBA , podemos observar que ε es un ángulo exterior al ΔABC esto implica que ε = ψ + x (1) Como SAB es un ángulo semi inscrito que subtiende el arco

AB en la circunferencia, se tiene m( SAB) = decir ε = Además

α

m( AB) , es 2

(2)

2

CBA es un ángulo semi inscrito que subtiende el arco BA por lo tanto

m( CBA) =

m( BA) β es decir ψ = (3) 2 2

Reemplazando (2) y (3) en (1) se obtiene: α β = + x , despejando x tenemos: 2 2 α β x= − 2 2 α −β Finalmente x = 2 Es decir, la medida del ángulo exterior (x), se puede determinar mediante la expresión: x=

α −β 2

Quedan entonces demostrados los tres casos, por lo tanto queda demostrado el Teorema del ángulo exterior a una circunferencia.

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Mapa Deductivo CASO A: El ángulo exterior está formado por dos secantes. Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis x es la medida de un ángulo exterior de una circunferencia de centro O, formado por las secantes RS y RT de la circunferencia

α es la m( ST ) β es la m ( ZV )

Se traza el segmento VT , sea δ = m ( SVT ) y ε = m( RTV )

=> T1 δ = ε + x

=> O x = δ − ε

=> S1 x =

m( ST ) m( ZV ) − 2 2

α β => H x = 2 − 2

=> T2 ε = m( ZV ) 2

δ=

=> O x =

α −β 2

Tesis

m( ST ) 2

Significado de los Símbolos Teorema 1 (T1): La suma de las medidas de dos ángulos interiores de un triángulo, es igual a la medida del ángulo exterior opuesto a éstos. Teorema 2 (T2): La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia, es la mitad de la medida del arco que subtiende. Operación (O): Operación aritmética y/o algebraica Sustitución 1 (S1): Sustitución simple (consecuencia de T1 y T2) Hipótesis (H): Se sustituye la solución de x por α y β dados en la hipótesis.

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Mapa Deductivo CASO B: El ángulo exterior está formado por una secante y una tangente. Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Se trazan los segmentos AD y AC , sea

Hipótesis

ψ = m ( BAD ) ,

x es la medida de un ángulo exterior de una circunferencia de centro O, formado por la secante BC y la tangente AB de la circunferencia α es la m(CA)

ε = m ( ADC ) y θ = m( BDA)

β es la

m( AD )

=> T1 x + θ + ψ = 180° ε=

=> T2 ψ=

m(CA) α = 2 2 (Por H) m( AD) β 2

=

α

β

⎛ ⎞ => S1 x + ⎜180° − 2 ⎟ + 2 = 180° ⎝ ⎠

α β => O x = 2 − 2

=> O

x=

α −β 2

Tesis

2 (Por H)

=> D θ = 180° − ε

Significado de los Símbolos Teorema 1 (T1): La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º Teorema 2 (T2): La medida de un ángulo inscrito o semi-inscrito en una circunferencia, es la mitad de la medida del arco que subtiende. Definición (D): Ángulos suplementarios Operación (O): Operación aritmética y/o algebraica Sustitución 1 (S1): Sustitución simple (consecuencia de T1, T2 y D)

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Mapa Deductivo CASO C: El ángulo exterior está formado por dos tangentes. Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis x es la medida de un ángulo exterior de una circunferencia de centro O, formado por las tangentes AC y BC de los puntos A y B de la circunferencia respectivamente. α es la m( AB)

β es la

m( BA)

Se traza el segmento AB , sea ε = m ( SAB ) y ψ = m( ABC )

=> T1 ε = ψ + x

=> S1 α = β + x 2 2

=> O x =

α 2

−

β 2

=> O

m( AB ) α = 2 2 Por (H) m( BA) β ψ= = 2 2 Por (H)

=> T2 ε =

x=

α −β 2

Tesis

Significado de los Símbolos Teorema 1 (T1): La suma de las medidas de dos ángulos interiores de un triángulo, es igual a la medida del ángulo exterior opuesto a éstos. Teorema 2 (T2): La medida de un ángulo inscrito o semi-inscrito en una circunferencia, es la mitad de la medida del arco que subtiende. Sustitución 1 (S1): Sustitución simple (consecuencia de T1 y T2). Operación (O): Operación aritmética y/o algebraica.

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Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema del ángulo exterior a una circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema del ángulo exterior a una circunferencia para determinar la medida del ángulo x ? a)

b)

c)

d)

e)

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Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema del ángulo exterior a una circunferencia. Ítem 2

¿Cuál es el valor de α = m( BPA) ? a) 61.66º b) 17.28º c) 78.94º d) 44.38º e) No se puede determinar. Competencia asociada al teorema: Reconocer la tesis Teorema del ángulo exterior a una circunferencia. Ítem 3

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la tesis correcta del teorema señalado? Teorema del Ángulo Exterior a una Circunferencia: “Si x es la medida del ángulo exterior a la circunferencia de centro O formado por las secantes (o por tangentes) α es el arco de mayor medida que comprende el ángulo exterior y β es el arco de menor medida que comprende el ángulo exterior, entonces la medida del ángulo exterior se puede determinar mediante la expresión:

x=

α −β 2

”

a) “x es la medida del ángulo exterior a la circunferencia de centro O formado por las secantes (o por tangentes) a ésta” b) “x es la medida del ángulo exterior a la circunferencia de centro O formado por las secantes (o por tangentes) α es el arco de mayor medida que comprende el ángulo exterior y β es el arco de menor medida que comprende el ángulo exterior” c) “la medida del ángulo exterior se puede determinar mediante la expresión:

x=

α −β 2

”

d) “x es la medida del ángulo exterior a la circunferencia de centro O formado por las secantes (o por tangentes) α es el arco de mayor medida que comprende el ángulo exterior y β es el arco de menor medida que comprende el ángulo exterior y la medida del ángulo exterior se puede determinar mediante la expresión:

x=

α −β 2

”

e) “x es la medida del ángulo exterior a la circunferencia de centro O” Estudio de 16 Teoremas Matemáticos de la unidad Nº 4 de 2º año medio. Autores: Marta Eugenia Muñoz Cerda, Eugenio Enrique Pérez Rocco

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TEOREMA Nº 11

“RELATIVO A LA PERPENDICULAR DESDE EL CENTRO A UNA CUERDA DE UNA CIRCUNFERENCIA”

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Relativo a la perpendicular desde el centro a una cuerda de una circunferencia11 Institucionalización del Teorema:

Si se traza la recta perpendicular desde el centro a una cuerda, entonces la perpendicular bisecta a la cuerda.

Es decir, AF ≅ FB

Estudiemos algunos casos particulares de este teorema. 1. En la circunferencia de la figura, AB cuerda de la circunferencia, FO ⊥ AB y m AF = 5cm. , ¿Cuál es la medida del segmento BF ?

( )

De acuerdo al Teorema, tenemos que: Si FO ⊥ AB entonces AF ≅ FB

( )

∴ Como m AF = 5cm. , entonces de acuerdo a lo anterior

( )

m BF = 5cm.

Aprendizaje esperado asociado: Conjeturan acerca de regularidades geométricas asociadas a la circunferencia, sus elementos (radio, tangente, cuerda, secante) y otras figuras geométricas; buscan formas para demostrarlas distinguiendo entre hipótesis y tesis. 11

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Análisis de componentes del teorema en estudio Como te podrás dar cuenta en el teorema encontramos conceptos estudiados con anterioridad, éstos son los siguientes. i.

Conceptos Involucrados. ¾ ¾ ¾ ¾

ii.

Recta perpendicular. Cuerdas de Circunferencia. Segmentos Congruentes. Medida de un segmento. Variables y Dominios.

En este teorema podemos distinguir Variables (elementos que varían) y asociadas a ellas un conjunto de Dominios (conjunto al cual pertenece la variable)

iii.

Variables Circunferencia Centro (O) de la circunferencia Longitud del radio (r) de la circunferencia

Dominios Todas las circunferencias del plano

Longitud de las cuerdas

]0, 2r[

Recta perpendicular

Cualquier recta perpendicular a una cuerda de circunferencia que contenga al centro de la circunferencia.

2

ℜ+

Competencias asociadas al Teorema (destrezas a desarrollar o a ser desarrolladas) Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada)

Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema Relativo a la perpendicular desde el centro a una cuerda de una circunferencia son: 9 9 9 9

Reconocer cuerdas de circunferencia. Reconocer cuando dos segmentos son congruentes. Reconocer recta perpendicular. Reconocer punto de intersección entre dos rectas.

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Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar)

Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema Relativo a la perpendicular desde el centro a una cuerda de una circunferencia son: 9

Dada la medida de una parte de una cuerda y una recta perpendicular que contiene al centro de la circunferencia, conocer la medida de la cuerda.

Justificación del Teorema Con algunos elementos geométricos que tenemos hasta el momento podemos intentar alguna demostración formal del teorema que se está estudiando, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que el teorema es válido para todos los pares de cuerdas congruentes de una circunferencia en el plano. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos identificar los datos que se tienen, los datos que nos dan, a esto le llamamos Hipótesis, y lo que se desea demostrar le llamamos Tesis. 2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado). Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema. Hipótesis:

Sea una circunferencia de centro O y radio r, tal que OF ⊥ AB , AB cuerda y F ∈ AB

Tesis:

(

F punto medio de AB . AF ≅ FB

)

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Demostración:

Sea la circunferencia de centro O y radio r, y OF ⊥ AB Se construyen los segmentos AO ∧ BO . Luego los triángulos: AOF y BOF , son congruentes, ya que: OA ≅ OB (Radios) OF ≅ OF (Lado común) AFO ≅ BFO (Por hipótesis m( AFO) ≅ m( BFO) = 90º ) Luego,

AOF ≅ BOF por teorema de congruencia de triángulos lado-lado-ángulo (LLA)

∴ AF ≅ FB , entonces F es punto medio de AB .

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Mapa Deductivo Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis

Sea una circunferencia de centro O y radio r, tal que OF ⊥ AB , AB cuerda y F ∈ AB

Se construyen los segmentos: AO ∧ BO Radios de la circunferencia

OA ≅ OB => D1 OF ≅ OF

=> T1

AOF ≅ BOF

=> T2

AF ≅ FB Tesis

=> H

AFO ≅ BFO

Significado de los Símbolos

Hipótesis (H): Por hipótesis Definición 1 (D1): Los radios de una circunferencia son congruentes, y lado común Teorema 1 (T1): Criterio de congruencia de triángulos lado-lado-ángulo (LLA) Teorema 2 (T2): Si dos triángulos son congruentes, entonces los lados son congruentes

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Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema Relativo a la perpendicular desde el centro a una cuerda de una circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema Relativo a la perpendicular desde el centro a una cuerda de una circunferencia para determinar la medida del segmento BF ?

a)

b)

c)

d)

e)

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Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema Relativo a la perpendicular desde el centro a una cuerda de una circunferencia. Ítem 2

Según los datos que entrega la figura, ¿Cuál es la medida del AF ? a) 6 cm. b) 12 cm. c) 24 cm. d) 90 cm. e) 102 cm.

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis y tesis del Teorema Relativo a la perpendicular desde el centro a una cuerda de una circunferencia. Ítem 3

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la correcta? Teorema: Si se traza la recta perpendicular desde el centro a una cuerda, entonces la perpendicular bisecta a la cuerda. a) La hipótesis del Teorema es “se traza la recta perpendicular desde el centro a una cuerda”. b) La tesis del Teorema es “se traza la recta perpendicular desde el centro a una cuerda”. c) La tesis del Teorema es “la cuerda bisecta a la perpendicular”. d) La tesis del Teorema es todo el enunciado del teorema. e) La hipótesis del Teorema es “la perpendicular bisecta a la cuerda.”.

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TEOREMA Nº 12

“TEOREMA DE LAS CUERDAS CONGRUENTES QUE EQUIDISTAN DEL CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA”

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Teorema de las cuerdas congruentes que equidistan del centro de una circunferencia12 Institucionalización del Teorema:

Si dos o más cuerdas están a igual distancia del centro de una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, entonces las cuerdas son congruentes o tienen la misma longitud

Estudiemos algunos casos particulares de este teorema. 1. En este caso la cuerda AB está a 4 cm del centro de la circunferencia y la cuerda CD también está a 4 cm del centro de la circunferencia y efectivamente la m( AB) y la m(CD) son iguales, es decir m( AB ) = m(CD) = 7 cm Se cumple el Teorema de las cuerdas congruentes que equidistan del centro de una circunferencia.

12

Aprendizaje esperado asociado: Conjeturan acerca de regularidades geométricas asociadas a la circunferencia, sus elementos (radio, tangente, cuerda, secante) y otras figuras geométricas; buscan formas para demostrarlas distinguiendo entre hipótesis y tesis.

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Análisis de componentes del teorema en estudio Como te podrás dar cuenta en el teorema encontramos conceptos estudiados con anterioridad, éstos son los siguientes.

i.

Conceptos Involucrados. ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

ii.

Cuerdas de Circunferencia. Ángulo recto. Segmentos Congruentes. Distancia de un segmento a un punto. Medida de un segmento.

Variables y Dominios.

En este teorema podemos distinguir Variables (elementos que varían) y asociadas a ellas un conjunto de Dominios (conjunto al cual pertenece la variable)

iii.

Variables Circunferencia Centro (O) de la circunferencia

Dominios Todas las circunferencias del plano

Longitud del radio (r) de la circunferencia Ubicación de los puntos extremos de las cuerdas de la circunferencia

ℜ+ Cualquier punto que pertenece a la circunferencia de centro O y radio r

Longitud de las cuerdas

]0, 2r[

2

Competencias asociadas al Teorema (destrezas a desarrollar o a ser desarrolladas) Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada)

Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema de las cuerdas congruentes que equidistan del centro de una circunferencia son: 9 9 9

Reconocer cuerdas de circunferencia. Reconocer cuando dos segmentos son congruentes. Reconocer la distancia de un segmento a cierto punto.

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Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar)

Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema de las cuerdas congruentes que equidistan del centro de una circunferencia son: 9

Determinar la longitud de una cuerda sabiendo la longitud de otra cuerda que está a la misma distancia del centro de la circunferencia que la primera.

Justificación del Teorema Al igual que en las demostraciones de los teoremas anteriores, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que el teorema es válido para todos los ángulos interiores a una semicircunferencia en el plano. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos identificar los datos que se tienen, los datos que nos dan, a esto le llamamos Hipótesis, y lo que se desea demostrar le llamamos Tesis. 2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado). Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema.

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Hipótesis:

Sean AB y CD dos cuerdas de una misma circunferencia o de circunferencias congruentes tales que están a la misma distancia del centro de dicha circunferencia.

Tesis:

Las cuerdas son congruentes o tienen la misma medida, es decir AB ≅ CD

Demostración:

Por Hipótesis se tiene que: AB y CD son dos cuerdas de una misma circunferencia o de circunferencias congruentes tales que están a la misma distancia del centro de dicha circunferencia.

Se trazan los segmentos OB y OC OG es el segmento perpendicular a AB con puntos extremos en el punto G que está en AB y el punto O (centro de la circunferencia), y OF es el segmento perpendicular a CD con puntos extremos en el punto F que está en CD y el punto O (centro de la circunferencia).

La correspondencia OBG ↔ OCF es congruencia de triángulos por el teorema LLA del triángulo rectángulo, ya que: OB ≅ OC radios OG ≅ OF ya que las cuerdas están a la misma distancia del centro (hipótesis) OGB ≅ OFC pues ambos ángulos son rectos

Luego: BG ≅ CF , lo que implica que m( BG ) = m(CF ) Además 2m( BG ) = m( AB) y 2m(CF ) = m(CD) por teorema donde una recta que pasa por el centro de la circunferencia dimidia la cuerda que intersecta. En consecuencia, m( AB) = m(CD) es decir AB ≅ CD como se quería demostrar.

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Mapa Deductivo Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis

Se trazan los segmentos OB y OC

Sean AB y CD dos cuerdas de una misma => D1 OB ≅ OC circunferencia o de circunferencias congruentes tales => H OG ≅ OF que están a la misma distancia del centro de dicha circunferencia => D2 OGB ≅

=> T1 ΔOBG ≅ ΔOCF => T2 BG ≅ CF => T3

2m( BG ) = m( AB) 2m(CF ) = m(CD)

=> I m( AB) = m(CD ) Tesis

OFC

Significado de los Símbolos Definición 1 (D1): Los radios de una circunferencia son congruentes Hipótesis (H) : Las cuerdas están a la misma distancia del centro Definición 2 (D2): La distancia de un segmento a un punto es la perpendicular entre ellos Teorema 1 (T1) : Criterio LLA (para triángulos rectángulos) Teorema 2 (T2) : Si dos triángulos son congruentes, entonces los lados correspondientes son congruentes. Teorema 3 (T3) : Una recta que pasa por el centro de la circunferencia dimidia la cuerda que intersecta Igualar (I)

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: Si a = b y b = c , entonces a = c (Transitividad)

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Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema de las cuerdas congruentes que equidistan del centro de una circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema de las cuerdas congruentes que equidistan del centro de una circunferencia para afirmar que m( AB) = m(CD) ? a)

b)

c)

d)

e)

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Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema de las cuerdas congruentes que equidistan del centro de una circunferencia. Ítem 2

En la circunferencia de centro O m( AB ) = 8 cm , m( EO) = m(OF ) = 5 cm . ¿Cuál es la m(CD) ? a) 4 cm b) 5 cm c) 8 cm d) 16 cm e) No se puede determinar.

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis Teorema de las cuerdas congruentes que equidistan del centro de una circunferencia. Ítem 3

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la hipótesis correcta? Teorema de las cuerdas congruentes que equidistan del centro de una circunferencia: “Si dos o más cuerdas están a igual distancia del centro de una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, entonces las cuerdas son congruentes o tienen la misma longitud” a) “dos o más cuerdas están a igual distancia del centro de una misma circunferencia o en circunferencias congruentes” b) “las cuerdas son congruentes o tienen la misma longitud” c) “dos o más cuerdas están a igual distancia del centro de una misma circunferencia o en circunferencias congruentes y las cuerdas son congruentes o tienen la misma longitud” d) “las cuerdas congruentes equidistan del centro de la circunferencia” e) “dos o más cuerdas están a igual distancia”

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TEOREMA Nº 13

“TEOREMA DE LAS CUERDAS DE DISTINTAS LONGITUDES Y SUS DISTANCIAS AL CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA”

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Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunferencia13 Institucionalización del Teorema:

Si AB y CD son dos cuerdas de distinta longitud en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, entonces la cuerda de mayor longitud está a menos distancia del centro.

Estudiemos algunos casos particulares de este teorema. 1. En este caso la cuerda AB está a 2 cm del centro de la circunferencia y la m( AB ) = 12 cm . La cuerda CD está a 4 cm del centro de la circunferencia y la

m(CD) = 8 cm . Se observa

efectivamente que la cuerda AB está a menos distancia del centro que la cuerda CD es decir m(OF ) > m(OE ) Se cumple el Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunferencia.

13

Aprendizaje esperado asociado: Conjeturan acerca de regularidades geométricas asociadas a la circunferencia, sus elementos (radio, tangente, cuerda, secante) y otras figuras geométricas; buscan formas para demostrarlas distinguiendo entre hipótesis y tesis.

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2. En este caso la cuerda AB está a 1 cm del centro de la circunferencia y la m( AB ) = 10 cm . La cuerda CD está a 5 cm del centro de la circunferencia y la m(CD) = 3 cm . Se observa efectivamente que la cuerda AB está a menos distancia del centro que la cuerda CD es decir m(OF ) > m(OE ) Se cumple el Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunferencia.

Análisis de componentes del teorema en estudio Como te podrás dar cuenta en el teorema encontramos conceptos estudiados con anterioridad, éstos son los siguientes. i.

Conceptos Involucrados. ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

ii.

Cuerdas de Circunferencia. Ángulo recto. Segmentos no congruentes. Distancia de un segmento a un punto. Medida de un segmento.

Variables y Dominios.

En este teorema podemos distinguir Variables (elementos que varían) y asociadas a ellas un conjunto de Dominios (conjunto al cual pertenece la variable)

Variables Circunferencia Centro (O) de la circunferencia

Dominios Todas las circunferencias del plano

Longitud del radio (r) de la circunferencia Ubicación de los puntos extremos de las cuerdas de la circunferencia

ℜ+ Cualquier punto que pertenece a la circunferencia de centro O y radio r

Longitud de las cuerdas

]0, 2r[

2

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iii.

Competencias asociadas al Teorema (destrezas a desarrollar o a ser desarrolladas) Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada)

Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunferencia son: 9 9 9

Reconocer cuerdas de una circunferencia. Reconocer que la distancia de un segmento a un punto es la perpendicular entre ellos. Reconocer ángulos rectos.

Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar)

Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunferencia son: 9 9

Determinar la relación entre las longitudes de las distancias de dos segmentos al centro de una circunferencia o de circunferencias congruentes. Determinar la relación entre las longitudes de las cuerdas de una circunferencia o de circunferencias congruentes sabiendo la relación que existe entre las longitudes de las distancias de estas cuerdas al centro de la circunferencia.

Justificación del Teorema Al igual que en las demostraciones de los teoremas anteriores, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que el teorema es válido. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos identificar los datos que se tienen, los datos que nos dan, a esto le llamamos Hipótesis, y lo que se desea demostrar le llamamos Tesis. 2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado). Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema.

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Hipótesis:

Sean AB y CD dos cuerdas de distinta longitud en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes

Tesis:

La cuerda de mayor longitud está a menos distancia del centro.

Demostración:

Por Hipótesis se tiene que: AB y CD son dos cuerdas de distinta longitud en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes. OE es el segmento perpendicular a AB con puntos extremos en el punto E que está en AB y el punto O (centro de la circunferencia), y OF es el segmento perpendicular a CD con puntos extremos en el punto F que está en CD y el punto O (centro de la circunferencia). Es decir:

OE ⊥ AB, E ∈ AB OF ⊥ CD, F ∈ CD Se trazan los radios OB y OC para formar los triángulos ΔOEB y ΔOCF Luego el ΔOEB es rectángulo en E por hipótesis, entonces por Pitágoras se tiene: m(OB) 2 = m(OE ) 2 + m( EB) 2 El ΔOCF es rectángulo en F por hipótesis, entonces por Pitágoras se tiene: m(OC ) 2 = m(OF ) 2 + m(CF ) 2 (1) Luego

m(OE ) 2 + m( EB) 2 = m(OF ) 2 + m(CF ) 2 , puesto que

m(OC ) 2 = m(OB) 2

ya que

OB y OC son radios.

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Pero m( EB) > m( FC ) (ya que E, F son puntos medios de AB y CD respectivamente y m( AB) > m(CD) ) lo que implica que m( EB) 2 > m( FC ) 2 pues 0 < m( FC ) < m( EB ) Por (1) se tiene que m(OE ) 2 < m(OF ) 2 , luego m(OF ) 2 < m(OE ) 2 lo que implica que m(OF ) 2 − m(OE ) 2 > 0 Entonces (m(OF ) − m(OE ))(m(OF ) + m(OE )) > 0 , como m(OF ) + m(OE ) > 0 entonces m(OF ) − m(OE ) > 0 Finalmente m(OF ) > m(OE )

En consecuencia, m(OF ) que es la distancia de la cuerda de menor longitud CD al centro de la circunferencia es mayor que m(OE ) que es la distancia de la cuerda de mayor longitud AB al centro de la circunferencia como se quería demostrar.

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Mapa Deductivo Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis Sean AB y CD dos cuerdas de distinta longitud en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes m( AB ) > m(CD )

Se trazan los segmentos OB y OC

=> T1

=> D

m(OB) 2 = m(OE ) 2 + m( EB ) 2

=> I

m(OE ) 2 + m( EB ) 2 = m(OF ) 2 + m(CF ) 2

m( EB) 2 > m( FC ) 2

=> T2 m(OF )2 > m(OC )2 => O m(OF ) > m(OE )

m(OC ) 2 = m(OF ) 2 + m(CF ) 2

OB ≅ OC

=> H m( EB ) > m( FC )

Tesis

OE ⊥ AB, E ∈ AB OF ⊥ CD, F ∈ CD

Significado de los Símbolos Teorema 1 (T1) : Teorema particular de Pitágoras Definición (D) : Los radios de una circunferencia son congruentes Igualar (I)

: Si a = b y b = c , entonces a = c (Transitividad)

Hipótesis (H)

: Como m( AB ) > m(CD ) y m( BE ) = m( AB) y m(CF ) = m(CD) entonces m( EB ) > m( FC )

Teorema (T2)

: Si a > b entonces a 2 > b 2

Operación (O)

: Por operación algebraica.

2

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2

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Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunferencia para determinar la relación entre las distancias de las cuerdas al centro de la circunferencia? a)

m( AB) = 15 cm y m( BC ) = 15 cm

b)

m( AB) = 12 cm y m(CD) = 10 cm

c)

m( AB) = 12 cm y m(OF ) = 2 cm

d)

m( AB) = 17 cm y m(CD) = 17 cm

e)

m(OF ) = 3 cm

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Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunferencia. Ítem 2

¿Qué relación se puede establecer entre m( EO) y m(OF ) si m( AB ) = 8 cm y m(CD) = 8.5 cm ? a) m( EO) > m(OF ) b) m( EO) < m(OF ) c) m( EO) = m(OF ) d) m( EO) ≤ m(OF ) e) No se puede determinar.

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunferencia. Ítem 3

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la hipótesis correcta? Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunferencia: “Si AB y CD son dos cuerdas de distinta longitud en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, entonces la cuerda de mayor longitud está a menos distancia del centro. a) “ AB y CD son dos cuerdas de distinta longitud en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes” b) “ AB y CD son dos cuerdas de distinta longitud en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes y la cuerda de mayor longitud está a menos distancia del centro” c) “la cuerda de mayor longitud está a menos distancia del centro” d) “las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunferencia” e) “ AB y CD son dos cuerdas”

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TEOREMA Nº 14

“RELATIVO AL SEGMENTO DESDE EL CENTRO AL PUNTO MEDIO DE UNA CUERDA EN UNA CIRCUNFERENCIA”

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Relativo al segmento desde el centro al punto medio de una cuerda en una circunferencia14 Institucionalización del Teorema:

Si se construye el segmento desde el centro al punto medio de una cuerda en una circunferencia de centro O y radio r, entonces el segmento es perpendicular a la cuerda.

Es decir, OF ⊥ AB

Estudiemos algunos casos particulares de este teorema. 1. En la circunferencia de la figura, AB cuerda de la circunferencia, y m AF = m BF = 6cm. , ¿Cuál es la medida del ángulo BFO ?

( )

( )

De acuerdo al Teorema, tenemos que:

( )

( )

Si m AF = m BF entonces F punto medio de AB

∴ m ( BFO ) = 90º , ya que OF ⊥ AB

Aprendizaje esperado asociado: Conjeturan acerca de regularidades geométricas asociadas a la circunferencia, sus elementos (radio, tangente, cuerda, secante) y otras figuras geométricas; buscan formas para demostrarlas distinguiendo entre hipótesis y tesis. 14

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Análisis de componentes del teorema en estudio Como te podrás dar cuenta en el teorema encontramos conceptos estudiados con anterioridad, éstos son los siguientes. i.

Conceptos Involucrados. ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

ii.

Segmento perpendicular. Cuerdas de Circunferencia. Segmentos Congruentes. Medida de un segmento. Ángulos. Medida de ángulos. Variables y Dominios.

En este teorema podemos distinguir Variables (elementos que varían) y asociadas a ellas un conjunto de Dominios (conjunto al cual pertenece la variable)

iii.

Variables Circunferencia Centro (O) de la circunferencia Longitud del radio (r) de la circunferencia

Dominios Todas las circunferencias del plano

Longitud de las cuerdas

]0, 2r[

Segmento perpendicular

Cualquier segmento perpendicular a una cuerda de circunferencia que contenga al centro de la circunferencia.

2

ℜ+

Competencias asociadas al Teorema (destrezas a desarrollar o a ser desarrolladas) Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada)

Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema Relativo a la perpendicular desde el centro a una cuerda de una circunferencia son: 9 9 9 9

Reconocer cuerdas de circunferencia. Reconocer cuando dos segmentos son congruentes. Reconocer segmento perpendicular. Reconocer punto de intersección entre dos segmentos.

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Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar)

Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema Relativo a la perpendicular desde el centro a una cuerda de una circunferencia son: 9

Dado el punto medio de una cuerda de circunferencia, identificar el segmento perpendicular a esta.

Justificación del Teorema Con algunos elementos geométricos que tenemos hasta el momento podemos intentar alguna demostración formal del teorema que se está estudiando, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que el teorema es válido para todos los pares de cuerdas congruentes de una circunferencia en el plano. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos identificar los datos que se tienen, los datos que nos dan, a esto le llamamos Hipótesis, y lo que se desea demostrar le llamamos Tesis. 2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado). Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema. Hipótesis:

Sea una circunferencia de centro O y radio r, tal que AF ≅ FB , AB cuerda y F ∈ AB

Tesis: OF ⊥ AB

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Demostración:

Sea la circunferencia de centro O y radio r, y AF ≅ FB Se construyen los segmentos AO ∧ BO . Luego los triangulos: AOF y BOF , son congruentes, ya que: OA ≅ OB (Radios) OF ≅ OF (Lado comun) AF ≅ FB (Por hipotesis)

Luego, AOF ≅ BOF por teorema de congruencia de triángulos lado-lado-lado (LLL), entonces AFO ≅ BFO y como estos ángulos forman un par lineal, se tiene que son rectos.

( )

( )

∴ m OF = m AB = 90º , entonces OF ⊥ AB .

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Mapa Deductivo Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis

Sea una circunferencia de centro O y radio r, tal que AF ≅ FB , AB cuerda y F ∈ AB

Se construyen los segmentos: AO ∧ BO Radios de la circunferencia

=> D1

OA ≅ OB OF ≅ OF

=> T1

AOF ≅ BOF

AFO ≅ BFO => T2 Y par lineal => T3 OF ⊥ AB

Tesis

=> H AF ≅ FB

Significado de los Símbolos

Hipótesis (H): Por hipótesis Definición 1 (D1): Los radios de una circunferencia son congruentes, y lado común Teorema 1 (T1): Criterio de congruencia de triángulos lado-lado-lado (LLL) Teorema 2 (T2): Si dos triángulos son congruentes, entonces los ángulos interiores son congruentes. Teorema 2 (T3): Si dos ángulos son congruentes, y forman un par lineal, entonces la medida de estos es 90°. Estudio de 16 Teoremas Matemáticos de la unidad Nº 4 de 2º año medio. Autores: Marta Eugenia Muñoz Cerda, Eugenio Enrique Pérez Rocco

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Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema Relativo al segmento desde el centro al punto medio de una cuerda en una circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema Relativo al segmento desde el centro al punto medio de una cuerda en una circunferencia para determinar si OF ⊥ AB ?

a)

b)

c)

d)

e)

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Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema Relativo al segmento desde el centro al punto medio de una cuerda en una circunferencia. Ítem 2

Según los datos que entrega la figura, ¿Cuál es m ( OFB ) ? a) 90º. b) 35º. c) 45º. d) 5º. e) 100º.

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis y tesis del Teorema Relativo al segmento desde el centro al punto medio de una cuerda en una circunferencia. Ítem 3

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la correcta? Teorema: Si se construye el segmento desde el centro al punto medio de una cuerda en una circunferencia de centro O y radio r, entonces el segmento es perpendicular a la cuerda. OF ⊥ AB

(

)

(

)

a) La hipótesis del Teorema es “ OF ⊥ AB ”. b) La tesis del Teorema es “se construye el segmento desde el centro al punto medio de una cuerda”. c) La tesis del Teorema es “el segmento es perpendicular a la cuerda”. d) La tesis del Teorema es todo el enunciado del teorema. e) La hipótesis del Teorema es “el segmento es perpendicular a la cuerda”.

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TEOREMA Nº 15

“RELATIVO A LAS SECANTES DE UNA CIRCUNFERENCIA”

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Teorema Relativo a las secantes de una circunferencia15 Institucionalización del Teorema: Si desde un punto P cualquiera exterior a una circunferencia de centro O y radio r se trazan dos secantes, entonces los productos de las distancias desde P a los puntos de intersección de cada secante con la circunferencia son iguales. En la figura,

( ) ( ) ( ) ( )

m PA ⋅ m PB =m PC ⋅ m PD

Estudiemos algunos casos particulares de este teorema. 1.- Consideremos la siguiente figura, donde se tiene que: m PB = 12 cm .

( ) m ( PA ) = 36 cm . m ( PD ) = 9 cm . .

Determinemos la medida del segmento PC Sea m PC = x

( )

Según el teorema de las secantes tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )

m PA ⋅m PB =m PC ⋅m PD

9x = 36·12 9x = 432 x=

432 9

Aprendizaje esperado asociado: Conjeturan acerca de regularidades geométricas asociadas a la x = 48 circunferencia, sus elementos (radio, tangente, cuerda, secante) y otras figuras geométricas; buscan formas Luego, el segmento PC mideentre 48 cm. para demostrarlas distinguiendo hipótesis y tesis. 15

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2.- Calculemos las medidas de los segmentos PA y PC indicados en la figura, si: m PA = ( x + 9 ) cm . , m PB = ( 5 - x ) cm . , m PC = (9 - x) cm. y m PD = ( x + 4 ) cm .

( )

( )

( )

( )

Según el teorema de las secantes:

( ) ( ) ( ) ( )

m PA ⋅m PB =m PC ⋅m PD

(9-x)(x+4) = (x+9)(5x)

9 x + 36 − x 2 − 4 x = 5 x − x 2 + 45 − 9 x 9 x + 36 = 45

9x = 9 x =1

Entonces,

( ) m ( PC ) = 9 - x = 9 - 1 = 8cm

m PA = x + 9 = 1 + 9 = 10 cm.

Análisis de componentes del teorema en estudio Como te podrás dar cuenta en el teorema encontramos conceptos estudiados con anterioridad, éstos son los siguientes. i.

Conceptos Involucrados. ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

ii.

Circunferencia Segmentos. Medidas de segmentos. Secante de un punto a una circunferencia Proporción. Variables y Dominios.

En este teorema podemos distinguir Variables (elementos que varían) y asociadas a ellas un conjunto de Dominios (conjunto al cual pertenece la variable) Variables Circunferencia Centro (O) de la circunferencia Longitud del radio (r) de la circunferencia

Dominios Todas las circunferencias del plano

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2

ℜ+ Página 140 de 159

Longitud de segmento Punto P Secantes iii.

ℜ+ Cualquier punto del plano tal que no pertenezca a la circunferencia Cualquier segmento que sea secante a la circunferencia y que contenga al punto P

Competencias asociadas al Teorema (destrezas a desarrollar o a ser desarrolladas) Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada)

Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema Relativo a las Secantes de una circunferencia son: 9 9 9

Reconocer un punto fuera de la circunferencia. Reconocer las secantes desde un punto a la circunferencia. Reconocer una proporción inversa.

Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar)

Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema Relativo a las Secantes de una circunferencia son: 9

Dada una circunferencia de centro O y radio r, un punto fuera de ella, 2 secantes que pasen por P y las distancias de P a 3 de los puntos de intersección, calcular la distancia al 4º punto de intersección.

.

Justificación del Teorema Con algunos elementos geométricos que tenemos hasta el momento podemos intentar alguna demostración formal del teorema que se está estudiando, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que el teorema es válido Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos identificar los datos que se tienen, los datos que nos dan, a esto le llamamos Hipótesis, y lo que se desea demostrar le llamamos Tesis. 2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado).

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Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema.

Hipótesis:

El punto O es centro de una circunferencia. P punto fuera de la circunferencia. PA ∧ PC tangentes a la circunferencia. Tesis:

( ) ( ) ( ) ( )

m PA ⋅ m PB =m PC ⋅ m PD Demostración:

Se construyen los segmentos AD ∧ BC y consideremos los triángulos PAD y PCB , en los cuales se cumple que son semejantes, ya que: APD ≅ CPB ( lado comun ) PAD ≅ PCB ( ya que subtienden un mismo arco )

Luego

PAD ∼ PCB por criterio de semejanza ángulo – ángulo (AA)

( ) = m ( PC ) , por propiedad de semejanza de triángulos. m ( PD ) m ( PB ) ∴ m ( PA ) ⋅ m ( PB ) = m ( PC ) ⋅ m ( PD ) Entonces se cumple que:

m PA

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Mapa Deductivo Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera.

Hipótesis

El punto O es centro de una circunferencia. P punto fuera de la circunferencia. PA ∧ PC tange ntes a la circunferencia.

Se construyen los segmentos AD ∧ BC y consideremos los triángulos PAD y PCB

( )

m PA

=> T2

PAD ∼ PCB

( )

m PC

=> D m PD = m PB ( ) ( )

=> O

( ) ( )

( ) ( )

m PA ⋅ m PB = m PC ⋅ m PD

Tesis

=> T1

APD ≅ CPB PAD ≅ PCB

Significado de los Símbolos

Teorema (T1): Si dos ángulos subtienden un mismo arco, entonces ellos son congruentes. Teorema (T2): Criterio de semejanza de triángulos ángulo-ángulo (AA). Definición (D): En dos triángulos semejantes, los lados son proporcionales Operación (O): Operación algebraica.

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Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema Relativo a las secantes de una circunferencia.

Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema Relativo a las secantes de una circunferencia para determinar la medida del segmento PA ?

a)

b)

c)

d)

e)

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Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema Relativo a las secantes de una circunferencia. Ítem 2

Según los datos que entrega la figura, ¿Cuál es la medida del segmento PA ? a) 10 cm. b) 2.5 cm. c) 21.6 cm. d) 0.1 cm. e) 0.4 cm.

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis y tesis del Teorema Relativo a las secantes de una circunferencia. Ítem 3

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la correcta? Teorema: Si se tiene una circunferencia C y un punto Q fuera de ella, y sea L1 una secante que pasa por Q e intercepta a C en los puntos R y S; y sea L2 otra recta secante que pasa por Q e intercepta a C en los puntos U y P, entonces:

( ) ( )

( ) ( )

m QR ⋅ m QS = m QU ⋅ m QT

a) La hipótesis del Teorema es “sea L1 una secante que pasa por Q e intercepta a C en los puntos R y S”. b) La tesis del Teorema es todo el enunciado del teorema. c) La tesis del Teorema es “sea L2 otra recta secante que pasa por Q e intercepta a C en los puntos U y P”.

( ) ( )

( ) ( )

d) La hipótesis del Teorema es “ m QR ⋅ m QS = m QU ⋅ m QT ”.

( ) ( )

( ) ( )

e) La tesis del Teorema es “ m QR ⋅ m QS = m QU ⋅ m QT ”.

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TEOREMA Nº 16

“TEOREMA DE LOS SEGMENTOS DE CUERDAS PROPORCIONALES”

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Teorema de los segmentos de cuerdas proporcionales16 Institucionalización del Teorema:

Si RS y TU son cuerdas de una circunferencia de centro o y radio r y se interceptan en Q, entonces:

( ) ( ) ( ) ( )

m QR ⋅ m QS =m QU ⋅ m QT

Estudiemos algunos casos particulares de este teorema. 1.- Consideremos la siguiente figura, donde se tiene que: m QR = 12 cm .

( ) m ( QS ) = 36 cm . m ( QU ) = 9 cm . .

Determinemos la medida del segmento QT

( )

Sea m QT = x Según el teorema de las secantes tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )

m QR ⋅ m QS =m QU ⋅ m QT

9x = 36·12 9x = 432 x=

432 9

x = 48 Luego, el segmento QT mide 48 cm. Aprendizaje esperado asociado: Conjeturan acerca de regularidades geométricas asociadas a la circunferencia, sus elementos (radio, tangente, cuerda, secante) y otras figuras geométricas; buscan formas para demostrarlas distinguiendo entre hipótesis y tesis. 16

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Análisis de componentes del teorema en estudio Como te podrás dar cuenta en el teorema encontramos conceptos estudiados con anterioridad, éstos son los siguientes. i.

Conceptos Involucrados. ¾ ¾ ¾ ¾

ii.

Circunferencia Segmentos. Medidas de segmentos. Proporción. Variables y Dominios.

En este teorema podemos distinguir Variables (elementos que varían) y asociadas a ellas un conjunto de Dominios (conjunto al cual pertenece la variable)

iii.

Variables Circunferencia Centro (O) de la circunferencia Longitud del radio (r) de la circunferencia

Dominios Todas las circunferencias del plano

Longitud de las cuerdas

]0, 2r[

2

ℜ+

Competencias asociadas al Teorema (destrezas a desarrollar o a ser desarrolladas)

Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada) Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema Relativo a las Secantes de una circunferencia son: 9 9 9

Reconocer cuerdas en una circunferencia. Medida de segmentos. Reconocer una proporción inversa.

Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar) Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema Relativo a las Secantes de una circunferencia son: 9

Dada una circunferencia de centro O y radio r, dos cuerdas que se intercepten en Q, las distancias de Q a 3 de los puntos de intersección, calcular la distancia al 4º punto de intersección.

Estudio de 16 Teoremas Matemáticos de la unidad Nº 4 de 2º año medio. Autores: Marta Eugenia Muñoz Cerda, Eugenio Enrique Pérez Rocco

Página 148 de 159

Justificación del Teorema Con algunos elementos geométricos que tenemos hasta el momento podemos intentar alguna demostración formal del teorema que se está estudiando, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que el teorema es válido. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos identificar los datos que se tienen, los datos que nos dan, a esto le llamamos Hipótesis, y lo que se desea demostrar le llamamos Tesis. 2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado). Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema. Hipótesis:

El punto O es centro de una circunferencia. RS ∧ TU cuerdas de la circunferencia que se interceptan en el punto P. Tesis:

( ) ( ) ( ) ( )

m QR ⋅ m QS =m QU ⋅ m QT Demostración:

Se construyen los segmentos SU ∧ TR y consideremos los triángulos SQU y TQR , en los cuales se cumple que son semejantes, ya que: SUQ ≅ TRQ ( ya que subtienden un mismo arco )

SQU ≅ TQR ( Opuestos por el vertice ) Luego

SQU ∼ TQR por criterio de semejanza ángulo – ángulo (AA)

Entonces se cumple que:

( ) = m (QU ) , por propiedad de semejanza de triángulos. m ( QT ) m ( QR ) m QS

( ) ( ) ( ) ( )

∴ m QR ⋅ m QS =m QU ⋅ m QT

Estudio de 16 Teoremas Matemáticos de la unidad Nº 4 de 2º año medio. Autores: Marta Eugenia Muñoz Cerda, Eugenio Enrique Pérez Rocco

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Mapa Deductivo Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera.

Hipótesis

El punto O es centro de una circunferencia. RS ∧ TU cuerd as de la circunferencia que se interceptan en el punto P.

Se construyen los segmentos SU ∧ TR y consideremos los triángulos SQU y TQR

( )

m QS

=> T2

( )

m QU

SQU ∼ TQR => D m QT = m QR ( ) ( )

=> O m( QR) ⋅ m( QS ) =m( QU ) ⋅ m( QT ) Tesis

=> T1

SUQ ≅ TRQ SQU ≅ TQR

Significado de los Símbolos

Teorema (T1): Si dos ángulos subtienden un mismo arco, entonces ellos son congruentes. Teorema (T2): Criterio de semejanza de triángulos ángulo-ángulo (AA). Definición (D): En dos triángulos semejantes, los lados son proporcionales Operación (O): Operación algebraica.

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Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema de los segmentos de cuerdas proporcionales. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema de los segmentos de cuerdas proporcionales para determinar la medida del segmento QT ?

a)

b)

c)

d)

e)

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Página 151 de 159

Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema Relativo a las secantes de una circunferencia. Ítem 2

Según los datos que entrega la figura, ¿Cuál es la medida del segmento QS ? (sabiendo que m(QR ) = 5 cm ) a) 10 cm. b) 2.5 cm. c) 0.4 cm. d) 14.4 cm. e) 21.6 cm.

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis y tesis del Teorema Relativo a las secantes de una circunferencia. Ítem 3

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la correcta? Teorema: Si RS y TU son cuerdas de una circunferencia de centro o y radio r y se interceptan en Q, entonces:

( ) ( ) ( ) ( )

m QR ⋅ m QS =m QU ⋅ m QT

a) La hipótesis del Teorema es “ RS y TU son cuerdas de una circunferencia”. b) La tesis del Teorema es todo el enunciado del teorema. c) La tesis del Teorema es “se interceptan en Q”.

( ) ( )

( ) ( )

d) La hipótesis del Teorema es “ m QR ⋅ m QS = m QU ⋅ m QT ”.

( ) ( )

( ) ( )

e) La tesis del Teorema es “ m QR ⋅ m QS = m QU ⋅ m QT ”.

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SOLUCIONES DE LOS ÍTEMES Teorema

Ítem Nº I

Nº 1 “Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia”

II

III

I Nº 2 “Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco”

II

III

I Nº 3 “Teorema del ángulo semi-inscrito y su correspondiente ángulo del centro”

II

III

Alternativa correcta y justificación de los distractores a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e)

(*) H no está en la circunferencia C no está en la circunferencia No subtienden el mismo arco No subtienden el mismo arco Calcula un solo ángulo inscrito Cree que el ángulo inscrito mide lo mismo que el del centro (*) Cree que el ángulo inscrito mide lo mismo que el del centro Cree que falta información Hipótesis incompleta Confunde tesis con una parte de la hipótesis (*) Confunde hipótesis con tesis Confunde hipótesis con tesis No subtienden el mismo arco (*) No subtienden el mismo arco B no está en la circunferencia No subtienden el mismo arco Calcula la mitad de la medida del ángulo en D Responde dato (*) Suma los tres ángulos inscritos Cree que falta información Confunde hipótesis con tesis Confunde hipótesis con tesis (*) Responde el teorema completo Hipótesis incompleta No entrega medida No hay ángulo semi-inscrito (*) Falta información El ángulo semi-inscrito no presenta medida Responde la medida del ángulo tangente Responde la mitad de la medida en vez del doble. Responde la misma medida del dato A la medida del ángulo semi-inscrito le suma 90° (*) Hipótesis incompleta (*) Confunde hipótesis con tesis Confunde hipótesis con tesis Responde el teorema completo

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Teorema

Ítem Nº I

Nº 4 “Teorema del ángulo inscrito en una semicircunferencia”

II

III

I Nº 5 “Relativo a las cuerdas de una circunferencia”

II

III

I Nº 6 “Relativo a los ángulos del centro de una circunferencia”

II

III

Alternativa correcta y justificación de los distractores a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e)

E pertenece a otra circunferencia El segmento HD no es diámetro (*) El ángulo pedido no es inscrito El ángulo pedido no es inscrito Responde la mitad del ángulo del centro (*) Responde el dato Responde el doble del dato Cree que falta información Confunde hipótesis con tesis Confunde hipótesis con tesis (*) Responde el teorema completo Confunde circunferencia con semicircunferencia Los ángulos del centro no son congruentes Falta información (*) No hay información Falta información Responde la mitad del dato (*) Responde el doble del dato No realiza cálculo alguno Cree que falta información Hipótesis incompleta Confunde hipótesis con tesis No se fija en el “no” (*) Responde el teorema completo Falta información Falta información Falta información (*) Las cuerdas no son congruentes (*) Confunde medida de un ángulo con longitud de una cuerda Responde la mitad del dato Responde el doble del dato Le resta 20° al dato Confunde hipótesis con tesis (*) Confunde hipótesis con tesis Confunde hipótesis con tesis Responde el teorema completo

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Teorema

Ítem Nº I

Nº 7 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia

II

III

I Nº 8 Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia

II

III

I Nº 9 Teorema del ángulo interior de una circunferencia

II

III

Alternativa correcta y justificación de los distractores a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e)

Cree que los ángulos opuestos miden lo mismo Confunde los datos (*) Cree que los ángulos que con lado común son suplementarios Cree que los ángulos opuestos son complementarios No reconoce que los áng. opuestos internos deben ser suplem No comprende el teorema Cree que la suma de los áng. opuestos internos es 360° Cree que la longitud de cuerda incide en el teorema (*) Confunde hipótesis con tesis Confunde hipótesis con tesis Tesis incompleta No especifica qué ángulos (*) (*) El segmento PS no es una tangente a la circunferencia Los lados son secantes, no tangentes Las tangentes no comparten el mismo punto El segmento PB no es una tangente a la circunferencia Responde la mitad de la medida del ángulo adyacente (*) Responde el doble de la medida del ángulo adyacente Responde la mitad de la medida del ángulo del centro Responde la medida del ángulo del centro Confunde hipótesis con tesis Confunde hipótesis con tesis (*) Responde el teorema completo Confunde hipótesis con tesis Falta información Datos incorrectos, se necesita otro arco (*) Datos incorrectos Falta información Sólo aplica la fórmula Se equivoca al restar No calcula el ángulo suplementario (*) Cree que falta información Hipótesis incompleta Hipótesis incompleta (*) Confunde hipótesis con tesis Hipótesis incompleta

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Teorema

Ítem Nº I

Nº 10 Teorema del ángulo exterior a una circunferencia

II

III

I Nº 11 Relativo a la perpendicular desde el centro a una cuerda de una circunferencia

II

III

I Nº 12 Teorema de las cuerdas congruentes que equidistan del centro de una circunferencia

II

III

Alternativa correcta y justificación de los distractores a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e)

El ángulo pedido no está en el exterior de la circunferencia Faltan datos (*) Faltan datos Faltan datos Calcula la semisuma (*) Responde la medida de uno de los datos Responde la medida de uno de los datos Cree que falta información Confunde hipótesis con tesis Confunde hipótesis con tesis (*) Responde el teorema completo Confunde hipótesis con tesis (*) Falta información No hay perpendicular La perpendicular no pasa por el centro de la circunferencia No hay perpendicular Responde la mitad de la medida entregada como dato (*) Responde el doble de la medida entregada como dato Se confunde con el ángulo recto No encuentra ninguna relación con los datos (*) Confunde hipótesis con tesis Confunde cuerda con perpendicular Responde el teorema completo Confunde hipótesis con tesis (*) Las distancias de las cuerdas al centro deben ser iguales Confunde los datos Confunde los datos No necesariamente las distancias son iguales Responde la mitad de la medida del segmento AB Confunde los datos (*) Responde el doble de la medida del segmento AB Cree que falta información (*) Confunde hipótesis con tesis Responde el teorema completo Confunde hipótesis con tesis No especifica a distancia de qué

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Teorema

Ítem Nº I

Nº 13 Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunferencia

II

III

I Nº 14 Relativo al segmento desde el centro al punto medio de una cuerda en una circunferencia

II

III

I Nº 15 Teorema Relativo a las secantes de una circunferencia

II

III

Alternativa correcta y justificación de los distractores a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e)

Las cuerdas son congruentes (*) Confunde los datos Las cuerdas son congruentes Confunde los datos Confunde la desigualdad (*) Confunde la relación Confunde la desigualdad Cree que falta información (*) Responde el teorema completo Confunde hipótesis con tesis Mezcla hipótesis y tesis Mezcla hipótesis y tesis F no es punto medio Faltan datos (*) F no es punto medio Faltan datos (*) No relaciona los datos Responde la mitad de dicho ángulo Confunde medidas de ángulos y segmentos Se confunde con los datos entregados Confunde hipótesis con tesis Confunde hipótesis con tesis (*) Responde el teorema completo Confunde hipótesis con tesis (*) Faltan datos Faltan datos Faltan datos Faltan datos Calcula erróneamente Calcula erróneamente (*) Calcula erróneamente Calcula erróneamente Hipótesis incompleta Responde el teorema completo Confunde hipótesis con tesis Confunde hipótesis con tesis (*)

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Teorema

Ítem Nº I

Nº 16 Teorema de los segmentos de cuerdas proporcionales

II

III

Alternativa correcta y justificación de los distractores a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e)

Faltan datos Faltan datos Faltan datos Faltan datos (*) Calcula erróneamente Calcula erróneamente Calcula erróneamente (*) Calcula erróneamente Hipótesis incompleta Responde el teorema completo Confunde hipótesis con tesis Confunde hipótesis con tesis (*)

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BIBLIOGRAFÍA

• Programa de Estudio Segundo Año Medio, “Sobre la circunferencia y sus ángulos”, Ministerio de educación, Chile, Segunda Edición 2004. • Texto para el estudiante “Matemática Segundo año medio”, Editorial Santillana. • Matemática Moderna Geometría, Edwin E. Moise • Introducción a la Geometría Euclidiana, Rigoberto Becerra Allende. Paginas WEB:

• http://www.sectormatematica.cl • http://www.rae.es

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