UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE F´ISICA E INTELIGENCIA ARTIFICIAL

Estudio del proceso de solidificaci´ on en presencia de un potencial externo Ruth Bustos Ram´ırez Tesis presentada como requisito para obtener el t´ıtulo de: Licenciado en F´ısica

Asesores: Dra. Karen Volke Sep´ ulveda Dr. Adri´an Arturo Huerta Hern´andez

Universidad Veracruzana Xalapa, Veracruz Marzo, 2013

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“Around here, however, we don’t look backwards for very long. We keep moving forward, opening up new doors and doing new things. . . and curiosity keeps leading us down new paths.” Walt Disney

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Agradecimientos A mi familia, en especial a mis padres, por el apoyo econ´omico y moral brindado durante toda esta etapa y en mi vida. A la Dra. Karen Volke Sep´ ulveda por haberme brindado su amistad y la oportunidad de trabajar en su laboratorio, as´ı como por el apoyo brindado durante mi estancia en el IFUNAM. Tambien sus alumnos de licenciatura que tuve el gusto de conocer y considerarlos mis amigos. Al Dr. Adrian Huerta por haber aceptado ser mi asesor de tesis y haberme propuesto esta tesis tan interesante. Le agradezco la confianza, amistad y paciencia que me ha tenido a lo largo de esto a˜ nos. As´ı como el tiempo que me brind´o durante la realizaci´on de la tesis, ya que sin importar la hora estuvo para mi. A CONACYT por la beca autorizada mediante el oficio DICB/C110/0026/2013, as´ı como la aprobaci´on del proyecto n´ umero CB-2010/152431 con nombre “Estudio computacional y experimental de los mecanismos involucrados en las transiciones de fases en fluidos confinados o dos dimensiones”a cargo del Dr. Adri´an Arturo Huerta Hern´andez, del cual esta tesis forma parte. A la Dra. Norma Bagatella por la invitaci´on e inscripci´on al Winter Meeting on Statistical Physics realizado en Xalapa, Ver. A mis sinodales por las correcciones y el tiempo que emplearon en la revisi´on de la tesis. As´ı como por haber sido excelentes maestros en las materias que curs´e con ustedes. A mis maestros de la licenciatura por el conocimiento brindado durante sus clases. A mis compa˜ neros de generaci´on, por las tardes de problemas de f´ısica, salidas al cine, viajes, aventuras y malas experiencias que vivimos juntos.

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Resumen

En este trabajo se estudi´o el ordenamiento producido por un cambio de fase estructural el cual lleva a la solidificaci´on del sistema. Este cambio de fase estructural se indujo sobre un sistema de part´ıculas coloidales compuesto por esferas de borosilicato (4,9 ± 12 %µm) y agua destilada. La solidificaci´on se realiz´o mediante una trampa o´ptica cuyo potencial externo est´a formado por un patr´on de interferencia de Young. Cuando las esferas interact´ uan con el patr´on se produce la alineaci´on de estas debido a la transferencia de momento de la luz hacia las part´ıculas. A esto se le conoce como “Laser-Induced Freezing ” [1] (solidificaci´on inducida por l´aser). El experimento consiste en colocar una muestra de part´ıculas coloidales de tal forma que el potencial externo induce un alineamiento de dichas part´ıculas, formando estructuras aparentemente s´olidas. De estas estructuras se obtuvieron las coordenadas de los centros de las part´ıculas usando un software especialmente dise˜ nado con ese prop´osito, el cual se detalla en el ap´endice B. Con las coordenadas se calcularon los par´ametros de orden orientacional Ψ4 y Ψ6 , debido a que la solidificaci´on aparente para periodos grandes muestra un preferente orden cuadrado, mientras que el empaquetamiento m´aximo de un sistema de discos duros en dos dimensiones tiene preferencia a formar un red triangular el cual tiene orden seis. Con estos par´ametros se cuantific´o el orden orientacional de las estructuras en funci´on del periodo del potencial externo, estos resultados se compararon con el caso sin potencial externo, el cual se obtuvo a partir de simulaciones con discos duros.

Palabras clave: pinza o ´ptica, atrapamiento, an´ alisis orientacional, solidificaci´ on estructural, seguimiento de part´ıculas, discos duros, empaquetamiento.

Contenido Agradecimientos

III

Introducci´ on

1

1. Comportamiento ondulatorio de la luz 1.1. Movimiento ondulatorio: Ecuaci´on de onda . . . . . . . . . 1.2. Ondas electromagn´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Obtenci´on de la ecuaci´on de onda electromagn´etica 1.3. Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Teor´ıa de la interferencia . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Experimento de Young . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Patr´on de interferencia experimental . . . . . . . . . . . . 2. Solidificaci´ on estructural inducida por l´ aser 2.1. Conceptos fundamentales en el confinamiento o´ptico 2.1.1. Presi´on de radiaci´on . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Fuerzas ´opticas . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Trampa optica interferom´etrica . . . . . . . . . . . 2.2.1. Dispositivo experimental . . . . . . . . . . .

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5 5 7 8 8 10 10 12 15

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17 17 17 18 22 22

3. An´ alisis de estructuras solidificadas por un potencial externo 3.1. Caracterizaci´on del patr´on de intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Par´ametros de orden orientacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. An´alisis de orden orientacional de las estructuras obtenidas experimentalmente 3.4. Resultados y discusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Caso est´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Caso din´amico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Empaquetamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 27 28 30 31 32 32 36

viii Conclusiones

CONTENIDO 39

A. Preparci´ on de muestras

41

B. Obtenci´ on de la posici´ on de los centroides de las part´ıculas

45

Bibliograf´ıa

50

CONTENIDO

1

Introducci´ on

En 1957, Alder y Wainwright [2], observaron que al aumentar la densidad (o empaquetamiento η)1 , existe un cambio de fase de un fluido de desordenado a un s´olido ordenado en forma de red triangular. Este efecto es resultado del aumento de la densidad o empaquetamiento η mediante la reducci´on del a´rea donde se encuentran los discos confinados. Debido a que no existe un potencial energ´etico atractivo de interacci´on, esta transici´on es conducida por un efecto entr´opico. Huerta, A. et al. [3], en 2006 observando las funciones de distribuci´on radial2 , g(r), al acercarse al punto de congelamiento propusieron un mecanismo de cajas basado este en la aparici´on del desdoblamiento de la segunda oscilaci´on de dicha funci´on, conocido en la literatura comunmente como precursor de orden [4], ver figura 1 a. ´ Este mecanismo a diferencia de los propuestos en las primeras teor´ıas de celdas como en [5], consiste en una caja formada por tres part´ıculas en lugar de seis, cuya distancia es menor a 2σ, siendo σ el di´ametro de las discos duros como se explica en la figura 1. Utilizando una teselaci´on de Voronoi, es posible identificar estas cajas eligiendo apropiadamente las celdas ordenadas hexagonales cuyas distancias entre vecinos alternos sean menores a 2σ. Como se describe en la referencia [3]. En la figura 2 se muestran las fracciones de part´ıculas atrapadas mediante este mecanismo, representada por la l´ınea negra con cuadros negros. Es posible observar que dicha fracci´on se incrementa de manera similar al orden orientacional Ψ6 , representado por la l´ınea de guiones. Esto a diferencia de la fracci´on de part´ıculas atrapadas por cajas hexagonales cuyos vecinos consecutivos est´an a una distancia menor que 2σ, representado en la figura por la l´ınea continua con cuadros blancos. Adem´as analizaron el orden estructural de la fase s´olida usando el par´ametro de orden orientacional Ψ6 . Una de las conclusiones obtenidas es que Ψ6 aumenta a medida que aumenta el empaquetamiento, es decir, a medida que el sistema solidifica este se convierte en un cristal con estructura triangular al cruzar la regi´on de coexistencia de fases, 2. 1

La fracci´ on de empaquetamiento η es la raz´on del ´area ocupada por los discos duros al a´rea total. La funci´ on de distribuci´ on radial da la probabilidad de encontrar una part´ıcula a una distancia r con respecto de otra. 2

2

CONTENIDO

Figura 1: a) Funci´on de distribuci´on radial, donde se observa el desdoblamiento del segundo pico tambi´en conocido como precursor de orden [4]. En el esquema se muestra la propuesta de una caja triangular (ABC), donde se aprecian part´ıculas confinadas por sus vecinos alternos, cuya distancia es menor a 2σ, donde σ es el di´ametro de las part´ıculas. Imagen tomada de [3] b) Mecanismo de cajas hexagonales cuya distancia entre vecinos consecutivos es menos a 2σ. Imagen tomada de [5].

Por otra parte con el advenimiento del l´aser Ashkin mostr´o, en 1970, que se puede usar la presi´on de radiaci´on de haces focalizados para afectar de modo considerable la din´amica de part´ıculas de microm´etricas [6]. Con esto abre paso al desarrollo de las pinzas y trampas o´pticas. Desde sus inicios, las trampas o´pticas han tenido muchas aplicaciones, siendo una de las m´as importantes el estudio de suspensiones coloidales bidimensionales. Las suspensiones coloidales son sistemas de part´ıculas dispersas en un solvente con part´ıculas con tama˜ nos mucho m´as grandes que las dimensiones at´omicas, pero lo suficientemente peque˜ nas para tener movimiento browniano y as´ı prevenir la sedimentaci´on debida a la gravedad. Chowdhury, Ackerson, and Clark [1], en 1985, realizaron un experimento que consist´ıa en un par de haces l´aser se enfocaban sobre una muestra de un coloide. Como consecuencia las

CONTENIDO

3

Figura 2: Fracci´on de discos confinados mediante las dos definiciones descritas en el texto. La l´ınea continua con cuadros negros representa la fracci´on de part´ıculas confinadas en una caja triangular como la descrita en la figura 1a, la l´ınea continua con cuadros blancos representa la fracci´on de part´ıculas confinadas en un hexagono como en la figura 1b. Los esquemas representan las cajas triangulares, para bajos empaquetamientos las cajas est´an abiertas y las part´ıculas pueden fluir presentando bajos valores de orden orientacional Ψ6 , mientras que para empaquetamientos altos, las cajas triangulares producen un incremento en dicho orden. Las l´ıneas paralelas punteadas representan el punto de congelamiento y fundido (’freezing’y ’melting’) respectivamente, los cuales delimitan la regi´on de coexistencia de fases. Imagen tomada de [3].

part´ıculas se alineaban a largo de las franjas brillantes producidas por la interferencia de los dos haces, dando como resultado una estructura s´olida. A esta transici´on de fase estructural de las part´ıculas se le conoce como solidificaci´on inducida por l´aser (en ingl´es ’laser freezing’). El objetivo de esta tesis consiste en proponer un experimento con el cual se pueda comparar el comportamiento del orden orientacional de un sistema de discos duros al ser empaquetados, como el descrito anteriormente. Para esto propusimos el uso de una trampa o´ptica, la cual confina part´ıculas coloidales aproximadamente en un plano, por lo que se considera un sistema cuasi-2D. En esta trampa es posible generar un patr´on de interferencia de Young, el cual genera franjas que confinan a las part´ıculas aline´andolas sobre este potencial externo. Modificando la separaci´on de estas franjas (periodo del patr´on) se controla de manera indirecta el empaquetamiento de las part´ıculas. De esta forma es posible estudiar el ordenamiento de part´ıculas coloidales confinadas en cuasi-2D a diferentes empaquetamientos

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CONTENIDO

controlados por el patr´on de interferrencia (potencial externo), y as´ı poder comparar este tipo de ordenamiento con un sistema de discos duros sin potencial. Con objeto de comprender como el potencial externo modifica las estructuras, se propone como variable experimental el cociente entre el periodo del potencial y el di´ametro de la part´ıcula atrapada, a esto lo llamaremos periodo relativo al di´ametro Z. Para analizar las estructuras obtenidas se utilizan par´ametros de orden. Debido a la alineaci´on de las part´ıculas coloidales a lo largo de las franjas se pueden formar arreglos cuadrados o triangulares, por esta raz´on se decidi´o utilizar los par´ametros Ψ4 y Ψ6 . La tesis est´a dividida en tres cap´ıtulos. En el primer cap´ıtulo se analiza el comportamiento ondulatorio de la luz, as´ı como el fen´omeno de la interferencia, en el cual se puede observar este comportamiento. En el segundo cap´ıtulo se describen las bases del atrapamiento ´optico. En este cap´ıtulo se describen los conceptos de presi´on de radiaci´on y fuerzas o´pticas. Tambi´en se describe el dispositivo experimental (trampa o´ptica) utilizado en esta tesis. En el tercer cap´ıtulo se describe c´omo se calcularon los par´ametros de orden de los resultados experimentales y los resultados de este an´alisis. En el cuarto cap´ıtulo se describen las conclusiones.

Cap´ıtulo 1

Comportamiento ondulatorio de la luz En este cap´ıtulo se describe el comportamiento ondulatorio de la luz mediante una breve introducci´on a los conceptos b´asicos y se introduce el fen´omeno de la interferencia. En esta tesis se obtuvo un patr´on de interferencia experimental, esta es la herramienta principal para inducir la solidificaci´on estructural.

1.1.

Movimiento ondulatorio: Ecuaci´ on de onda

Una onda viajera es una perturbaci´on que se mueve en el espacio transportando energ´ıa e impulso. Cabe decir que es la perturbaci´on la que avanza no el medio material, los componentes del medio s´olo se desplazan sobre una posici´on de equilibrio. Si se usa como criterio de clasificaci´on la forma en que se propagan, existen dos tipos de ondas. Las ondas longitudinales son aquellas en que los desplazamientos de los componentes del material se desplazan en direcci´on del movimiento de la onda, y las transversales son aquellas en las que los desplazamiento ocurren en una direcci´on perpendicular). Particularmente la luz es una onda electromagn´etica transversal. Para describir el fen´omeno de la propagaci´on de ondas, analicemos una perturbaci´on Ψ(x, t) que viaja en la direcci´on positiva del eje x, con velocidad constante v. Otra caracter´ıstica es que al propagarse la forma de la onda no cambia. Por lo que siendo f (x) la funci´on que describe la forma de la onda: Ψ(x, t = 0) = f (x),

(1.1)

Ψ(x, t = t0 ) = f (x0 ).

(1.2)

Si introducimos a S’, un sistema coordenado que viaja junto con el pulso y a la misma velocidad, notamos la forma del pulso se conserva y s´olo ocurre un desplazamiento en una

6

1 Comportamiento ondulatorio de la luz

distancia vt desde el origen a x0 (ver figura 1.1). Por lo que Ψ(x, t) puede escribirse de la siguiente manera: Ψ(x, t) = f (x − vt).

(1.3)

Esto representa la forma m´as sencilla de la funci´on de onda unidimensional.

Figura 1.1: Onda desplanzandose en la direcci´on positiva del eje x. Para obtener la ecuaci´on de onda m´as general, se debe de derivar parcialmente a Ψ(x, t) con respecto de cada una de sus variables. Para esto es necesario hacer el cambio de variable x0 = x − vt, entonces se obtiene: ∂Ψ(x, t) ∂f ∂x0 ∂f = = , 0 ∂x ∂x ∂x ∂x0 ∂Ψ(x, t) ∂f ∂x0 ∂f = = −v . 0 ∂t ∂x ∂t ∂x Combinando ambas derivadas parciales obtenemos: ∂Ψ ∂Ψ = −v . ∂t ∂x Volviendo a derivar parcialmente se obtiene lo siguiente:

(1.4) (1.5)

(1.6)

Manteniendo a t constante ∂ 2Ψ ∂ 2f = . ∂x2 ∂x02 Manteniendo a x constante

(1.7)

1.2 Ondas electromagn´eticas

7 2 ∂ 2Ψ 2∂ f = v . ∂t2 ∂x02

(1.8)

Combinando ambas ecuaciones: ∂ 2Ψ 1 ∂Ψ = 2 2. (1.9) 2 ∂x v ∂t Esta es la ecuaci´on de onda unidimensional que es v´alida para cualquier onda que se propage en direcci´on x positiva con velocidad constante y manteniendo su forma. Para casos de ondas tridimensionales, pero con las mismas caracter´ısticas del caso anterior, se puede generalizar la ecuaci´on de onda. Siendo ~r = (x, y, z), el vector que describe el desplazamiento de la onda y v la magnitud de la velocidad resultante:

∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ 1 ∂Ψ + + = 2 2, (1.10) 2 2 2 ∂x ∂y ∂z v ∂t 1 ∂Ψ ∇2 Ψ = 2 2 . (1.11) v ∂t Esta es la ecuaci´on de onda en tres dimensiones para la funci´on Ψ(~r, t). Una de las caracter´ısticas principales de esta expresi´on es que es lineal, es decir, Ψ(r, t) y sus derivadas aparecen solamente con la primera potencia. Por lo tanto, si Ψ(~r, t)1 , Ψ(~r, t)2 , Ψ(~r, t)3 ,..., son soluciones individuales de la ecuaci´on, cualquier combinaci´on lineal de estas ser´a a su vez una soluci´on. Por lo tanto Ψ(~r, t) =

X

Ci Ψ(~r, t)i ,

(1.12)

satisface la ecuaci´on de onda, donde los coeficientes Ci son constantes arbitrarias. A esto se le denomina principio de superposici´on, y nos dice que la perturbaci´on resultante en cualquier punto de un medio es la suma algebraica de sus ondas constitutivas separadas. Este principio es v´alido para todas las ondas en medios lineales.

1.2.

Ondas electromagn´ eticas

Una onda electromagn´etica es una onda que transporta energ´ıa y momento de un punto a otro del espacio por medio de sus campos el´ectrico y magn´etico. Esta se genera cuando una carga se encuentra en movimiento. No pueden generarse ondas electromagn´eticas mediante cargas en reposo, ya que estas s´olo generan l´ıneas de campo el´ectrico. Cuando entran en movimiento, el campo el´ectrico que generan se ve alterado en sus alrededores y esta alteraci´on se propaga en el espacio con velocidad finita. Las ondas electrom´agneticas difieren de las ondas mec´anicas, en que las primeras no necesitan un medio para propagarse.

8

1.2.1.

1 Comportamiento ondulatorio de la luz

Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones que describen el campo electromagn´etico son las ecuaciones de Maxwell y la ecuaci´on de la fuerza de Lorentz.

Ley de inducci´on de Ampere-Maxwell ~ ~ = J~ + ∂ D . ∇×H ∂t

(1.13)

~

Donde a ∂∂tD se le conoce como corriente de desplazamiento. F´ısicamente significa que las fuentes de campo magn´etico pueden ser corrientes o distribuciones de carga variantes en el tiempo. Ley de inducci´on de Faraday ~ ~ = − ∂B . ∇×E (1.14) ∂t Cuando se tienen campos el´ectricos variantes se induce una fuerza electromotriz que se opone a la variaci´on del flujo magn´etico que las produjo. Ley de Gauss de la electricidad ~ = ρ. ∇·E

(1.15)

Las fuentes de campo el´ectrico son distribuciones de cargas. Ley de Gauss del magnetismo ~ = O. ∇·B

(1.16)

En la naturaleza no existen monopolos magn´eticos.

1.2.2.

Obtenci´ on de la ecuaci´ on de onda electromagn´ etica

Una de las consecuencias m´as importantes de las ecuaciones de Maxwell es la deduci´on de las ecuaciones de propagaci´on de las ondas electromagn´eticas. Considerando un medio is´otropo, homog´eneo y lineal, para deducir la ecuaci´on de onda que obedece el campo magn´etico se aplica el operador rotacional a la ecuaci´on 1.13 ~ = ∇ × J~ + ∇ × ∇×∇×H

~ ∂D . ∂t

(1.17)

1.2 Ondas electromagn´eticas

9

~ = E, ~ donde  es la permitividad (o constante El desplazamiento el´ectrico est´a dado por D ~ diel´ectrica) del material. De la ley de Ohm, la densidad de corriente est´a dada por J~ = g E, ~ es una funci´on continua, donde g es la constante de conductividad del material. Adem´as si E el orden de las derivadas con respecto al tiempo y al espacio pueden intercambiarse. Por lo que aplicando esto se obtiene: ~ = g∇ × E ~ +  ∂ ∇ × E. ~ ∇×∇×H ∂t

(1.18)

~ = µH, ~ Utilizando a la ecuaci´on 1.14 y la definici´on del campo de inducci´on magn´etica, B ~ quedando lo siguiente: donde µ es la permeabilidad del material, se puede reemplazar a ∇×E, ~ ~ ∂H ∂ 2H − µ 2 . (1.19) ∂t ∂t Aplicando la identidad del triple producto vectorial 1.20 a la ecuaci´on anterior, se obtiene ~ = −gµ ∇×∇×H

~ = ∇(∇ · A) ~ − ∇2 A, ~ ∇ × (∇ × A)

(1.20)

~ ~ ∂H ∂ 2H − µ 2 . (1.21) ∂t ∂t Al tratarse de un medio lineal, se pude obtener la siguiente relaci´on, que debido a la ecuaci´on 1.16 es igual a cero. Por lo que se elimina el primer t´ermino de la ecuaci´on 1.21 ~ − ∇2 H ~ = −gµ ∇(∇ · H)

~ = 1∇ · B ~ = 0. ∇·H µ

(1.22)

~ es: Por lo que la ecuaci´on de onda que obedece el campo magn´etico H ~ ~ ∂H ∂ 2H ~ ∇ H − gµ − µ 2 = 0. ∂t ∂t 2

(1.23)

~ se toma el rotacional Para obtener la ecuaci´on de onda que obedece el campo el´ectrico E, a la ecuaci´on 1.14 ~ = −∇ × ∇×∇×E

~ ∂B . ∂t

(1.24)

~ un funci´on bien Para sustituir al campo magn´etico de la ecuaci´on anterior, al ser B portada, se pueden intercambiar las derivadas temporales y las espaciales ~ =− ∇×∇×E

∂ ~ ∇ × B. ∂t

(1.25)

10

1 Comportamiento ondulatorio de la luz

~ en la ecuaci´on Para sustituir al rotacional del campo de inducci´on magn´etica (∇ × B), ~ yH ~ en la ec. 1.13. anterior, se deben de sustituir las definiciones de J~ , D ~ 1 ~ = gE ~ + ∂D . ∇×B µ ∂t

(1.26)

Y sustituyendo en 1.25 2~ ~ ~ = −gµ ∂ E − µ ∂ E . ∇×∇×E ∂t ∂t2 Aplicando la entidad vectorial 1.20

(1.27)

2~ ~ ~ − ∇2 E ~ = −gµ ∂ E − µ ∂ E . (1.28) ∇∇ · E ∂t ∂t2 Por tratarse de un medio sin carga, la ec. 1.15 es igual a cero y por ende el primer t´ermino de la ecuaci´on anterior lo es. Por lo que la ecuaci´on de onda que obedece el campo el´ectrico ~ es E

~ − gµ ∇2 E

1.3.

~ ~ ∂E ∂ 2E − µ 2 = 0. ∂t ∂t

(1.29)

Interferencia

El fen´omeno de la interferencia es aquel que ocurre debido a la superposici´on de dos o m´as ondas. Cuando interfieren ondas de luz se le llama interferencia ´optica.

1.3.1.

Teor´ıa de la interferencia

La teor´ıa de la interferencia de ondas de luz se basa en el principio de la superposici´on de los campos electromagn´eticos. Este principio enuncia que el campo el´ectrico producido en un punto debido a varias fuentes es igual al vector suma. ~ = E~(1) + E~(2) + E~(2) + . . . E

(1.30)

Donde E~(1) , E~(2) , E~(3) . . . son los campos producidos en el punto en cuesti´on por separado por las diferentes fuentes. El principio de superposici´on lineal es consecuencia del hecho de que las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales lineales. Considerando dos ondas monocrom´aticas linealmente polarizadas y con frecuencia ω, y cuyos campos el´ectricos est´an dados por:

1.3 Interferencia

11

E~(1) = E~01 cos(k~1 · ~r − ωt + φ1 ),

(1.31)

E~(2) = E~02 cos(k~2 · ~r − ωt + φ2 ),

(1.32)

y donde φ1 y φ2 son las fases de cada una de las ondas. Si la diferencia de fases φ1 − φ2 es constante, se dice que las dos fuentes son mutuamente coherentes. Las ondas resultantes de la interacci´on, en este caso, tambi´en lo son. En este caso se consideran ondas coherentes, ya que es una condici´on necesaria para que ocurra la interferencia. Cabe mencionar que al estudiar el fen´omeno de la interferencia, se toma en cuenta la irradiancia I y no el campo E. Esto es debido a que E var´ıa aproximadamente a la frecuencia de 1014 Hz, por lo que pr´acticamente es indetectable. Por otro lado la irradiancia puede ser medida en el laboratorio mediante el uso de medidores de intensidad. La irradiancia en un punto es proporcional al cuadrado de la amplitud del campo de la luz en el punto en cuesti´on. Por lo que la irradiancia para un material diel´ectrico, is´otropo, homog´eneo y lineal est´a dada por: D

E 2 ~ I = c E ,

(1.33)

 es la constante de permitividad y v es la velocidad de propagaci´on en el medio y E D donde 2 ~ E significa el promedio en el tiempo de la magnitud de la intensidad de campo el´ectrico al cuadrado. Pero suponiendo que la luz no cambia de medio al propagarse, se puede tomar entonces la irradiancia relativa, por lo que

 I = E2 .

(1.34)

Entonces la superposici´on de las dos ondas planas propuestas es:     ~ ·E ~ = E~1 + E~2 · E~1 + E~2 E 2 = E~2 = E

(1.35)

2 2 E 2 = E~1 + E~2 + 2E~1 · E~2 .

(1.36)

Sustituyendo en funci´on del promedio de la magnitud, es decir la irradiancia , la ecuaci´on queda: I = I1 + I2 + I12 , (1.37)

12

1 Comportamiento ondulatorio de la luz

donde p I12 = 2 I1 I2 cos δ,

(1.38)

con δ igual a k~1 · ~r − k~2 · ~r + φ1 + φ2 . A δ se le conoce como t´ermino de interferencia. Este t´ermino proporciona informaci´on f´ısica e indica que I puede ser mayor, igual o menor de la suma I1 + I2 , esto depende de su valor. Debido a que δ depende de ~r ocurren variaciones espaciales peri´odicas en la intensidad de las franjas resultantes. En el caso de la superposici´on de dos ondas, estas variaciones dan lugar un patr´on peri´odico de franjas brillantes y oscuras. De la ecuaci´on 1.37, se observa tambi´en que la irradiancia posee un m´aximo cuando δ = 1, ±2π, , ±4π, . . . , ±nπ siendo n un n´ umero par. En este caso se dice que las ondas est´an es fase y se produce una interferencia constructiva total. La irradiancia m´axima est´a dada por Imax = I1 + I2 + 2

p I1 I2

(1.39)

Cuando 0 < cosθ < 1 las perturbaciones est´an fuera de fase, entonces se dice que las ondas interact´ uan con interferencia constructiva, por lo que la I I1 + I2 < I < Imax

(1.40)

En el caso de que las ondas est´an se encuentran fuera de fase por π, la irradiancia alcanza su valor m´ınimo. Este valor ocurre cuando θ = ±π, , ±3π, . . . , ±nπ, siendo n un n´ umero impar. A este caso se le conoce como interferencia destructiva total. Donde la I est´a dada por

p Imin = I1 + I2 − 2 I1 I2 ,

(1.41)

y se presentala siguiente condici´on I1 + I2 > I > Imin

1.3.2.

(1.42)

Experimento de Young

En 1802, Thomas Young realiz´o un experimento que demostr´o el fen´omeno de la interferencia. En su experimento usa como fuente la luz del sol, pero se puede usar cualquier fuente brillante (foco de tungsteno, l´ampara led, etc.). El experimento consiste en que la luz atraviesa un orificio muy peque˜ no, este rayo ilumina otra pantalla con otros dos orificios

1.3 Interferencia

13

diminutos S1 y S2 , como se muestra en el figura 1.2. Se coloca una pantalla blanca P en una regi´on alejada de las hendiduras, se puede observar un patr´on de franjas brillantes y negras.

Figura 1.2: Experimento de Young, la clave de este experimento es s´olo se us´o un orificio S para iluminar la apertura. Esto dio origen a que las fuentes S1 y S2 fueran mutuamente coherentes. Para entender c´omo se forman las franjas, se debe de analizar la diferencia de fase entre las dos ondas que llegan a el punto P sobre la pantalla, y que recorren las distancias d1 y d2 , como se muestra en la figura 1.3. Se observa que la diferencia de camino o´ptico est´a dada por la distancia d1 − d2 , que es igual la diferencia entre las distancias S1 P y S2 P . Si θ ≈ sen θ, esta diferencia se puede expresar como: d1 − d2 = aθ.

(1.43)

De la figura 1.3 se observa que:

y θ= , s por lo que la diferencia de camino se puede expresar como: a d1 − d2 = y. s Y tomando en cuenta la condici´on para la interferencia constructiva se obtiene: d1 − d2 = mλ,

(1.44)

(1.45)

(1.46)

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1 Comportamiento ondulatorio de la luz

Figura 1.3: Analisis de la geometr´ıa del experimento de Young. Se tiene que a es la separaci´on entre aberturas, S es la distancia de una abertura a la pantalla blanca. La distancia y es medida desde el centro de la pantalla hasta las aberturas (justo a la mitad de la distancia que las separa). esto quiere decir que la diferencia de camino o´ptico es igual a un n´ umero entero de longitudes de onda. Este resultado puede ser relacionado a varios par´ametros f´ısicos del arreglo experimental, ya que si se reproduce la geometr´ıa de la figura 1.3 se observa que f´acilmente se pueden variar los par´ametros. Si se relacionan las ecuaciones 1.45 y 1.46 se obtiene: s (1.47) ym = mλ, a donde ym es la posici´on de la m-´esima franja brillante sobre la pantalla, si contamos en m´aximo en O como la franja cero. Si se sustituye la expresi´on 1.47 en la expresi´on para θ 1.44, da como resultado la posici´on angular del m-´esimo m´aximo, la cual es igual a: mλ . (1.48) a La separaci´on entre las franjas se puede obtener mediante la resta de las posiciones de dos m´aximos consecutivos (m + 1 y m), θm =

ym+1 − ym =

s a

(m + 1) λ − as mλ,

1.4 Patr´on de interferencia experimental

s ∆y = λ, a a esto se le conoce como el periodo espacial de las franjas.

1.4.

15

(1.49)

Patr´ on de interferencia experimental

Para lograr estructuras s´olidas se utiliz´o una trampa interferom´etrica, es decir, se utiliza un patr´on de interferencia para atrapar las part´ıculas. El patr´on se forma utilizando un par de biprismas de Fresnel y una lente focal positiva (para una imagen del dispositivo experimental completo, ir a la secci´on 2.2.1 de esta tesis). Este dispositivo se bas´o en el empleado en el trabajo “Interaction of interference laser field with an ensemble of particles in a liquid”[7], cuyo autor principal es A. N. Rubinov. Para obtener el patr´on de interferencia experimental se usaron dos biprismas de Fresnel y una lente focal positiva. El primer biprisma (BF1 ) divide al haz en dos haces de igual intensidad. Al tener una misma fuente, los haces son mutuamente coherentes, por lo que habr´a interferencia. Se sit´ ua un segundo biprisma (BF2 ) consider´andose id´entico al primero. El segundo biprisma se coloca de manera paralela justo enfrente del primero, de manera que ambos haces se vuelven paralelos e invariantes en intensidad y tama˜ no a lo largo del espacio. Con la ayuda de una lente focal positiva LP1 se interfieren a un a´ngulo de 2Θ. Esto da lugar a una patr´on de interferencia en el foco de la lente.

Figura 1.4: Se muestra c´omo el biprisma divide el haz del l´aser en dos fuentes secundarias, estas equivalen a las dos peque˜ nas aberturas del experimento de Young. Se utiliza un segundo biprisma para poder variar los periodos del patr´on obtenido. El patr´on de interferencia resultante est´a compuesto de franjas brillantes y obscuras

16

1 Comportamiento ondulatorio de la luz

consecutivas. Te´oricamente, en este dispositivo experimental, el periodo de las franjas esta dado por la ecuaci´on 1.50, donde podemos observar que existe una dependencia del a´ngulo en el que interfieren los haces. λ . (1.50) 2πsenΘ Analizando la geometr´ıa del arreglo podemos observar que el a´ngulo con el que interfieren los haces es funci´on de L. L Θ = arctg . (1.51) 2f ∆y =

Donde L es la distancia entre los ejes de los dos haces, que a su vez depende de la distancia de separaci´on entre los dos biprismas l. Al separar los biprimas, es decir aumentar l, L aumenta. Como consecuencia de esto, al variar la distancia l ocurre un cambio en el periodo ∆y de las franjas del patr´on de interferencia. De la geometr´ıa del dispositivo podemos observar que la relaci´on entre l y L est´a dada por

L , 2l

(1.52)

L . 2 tan Θ

(1.53)

tan Θ = por lo que l=

Cap´ıtulo 2

Solidificaci´ on estructural inducida por l´ aser En este cap´ıtulo se hace una revisi´on a los conceptos b´asicos del tema atrapamiento o´ptico y se mencionan las teor´ıas existentes. Se realiza un an´alisis utilizando o´ptica de rayos de las fuerzas ´opticas que influyen en este fen´omeno. Se describe el dispositivo experimental utilizado en esta tesis, as´ı como los resultados experimentales obtenidos con ´el.

2.1.

2.1.1.

Conceptos fundamentales en el confinamiento ´ optico Presi´ on de radiaci´ on

Al incidir una onda electromagn´etica sobre una superficie esta ejerce una fuerza sobre las part´ıculas que forman el material y por ende sobre la superficie. Esto se debe a que el material absorbe y refleja parcialmente parte de la onda, que sabemos por s´ı misma transporta momento y energ´ıa, por lo que ocurre un cambio de momento del fot´on. A esta fuerza se le conoce como presi´on de radiaci´on P . De acuerdo con la teor´ıa de Maxwell, P equivale a la densidad de energ´ıa de la onda, por lo que se expresa como la suma de la energ´ıa el´ectrica uE y la energ´ıa magn´etica uM

P = u = uE + uM =

1 2 0 2 E + B . 2 2µ0

(2.1)

Los primeros indicios que se tienen de este concepto fue en el siglo XVII, cuando Johanes Kepler propuso que la presi´on de la luz solar era la causa de que la cola de un cometa siempre apuntaba en sentido contrario al Sol. Esto no es cierto, son los vientos solares los

18

2 Solidificaci´on estructural inducida por l´aser

que provocan este efecto sobre las colas de los cometas. De hecho la presi´on de radiaci´on que ejerce el Sol sobre la Tierra , considerando absorci´on completa y tomando en cuenta que la densidad de flujo medio de la energ´ıa electromagn´etica del Sol que incide normalmente en una superficie justo en el exterior de la atm´osfera terrestre es de unos 1,400W/m2 , ser´ıa de 4,7x10−6 N/m2 . Comparando con presi´on atmosf´erica, que tiene un valor de 105 N/m2 , resulta ser casi inexistente. Por esta raz´on no se hab´ıa considerado una aplicaci´on en la Tierra para la presi´on de radiaci´on. Pero para los objetos microsc´opicos la presi´on de radiaci´on la situaci´on es distinta, ya que esta si provoca cambios en la din´amica de estos. Para ejemplificar esta situaci´on, consideremos un laser tenga una potencia de ≈ 1W y cuyo haz este enfocado. Si se coloca una part´ıcula de un di´ametro de ≈ λ o bien ≈ 10−4 cm a la distancia del foco de la lente que enfoca el haz, la fuerza total del l´aser est´a siendo aplicado a una part´ıcula de masa ≈ 10−12 g, gr asumiendo que la densidad de la part´ıcula es de ≈ 1 cm on 3 , da como resultado una aceleraci´ 6 de aproximada de ≈ 10 g, donde g es la aceleraci´on debida a la gravedad.

2.1.2.

Fuerzas ´ opticas

En general, las fuerza opticas se expresan como Qnm p . (2.2) c Donde nm es el ´ındice de refracci´on del medio en el cual la part´ıcula est´a inmersa, p es la potencia del laser y c la velocidad de la luz. Q es la fracci´on de la potencia incidente que ejerce la fuerza ´optica, depende de la longitud de onda, la polarizaci´on, de la diferencia en la ´ındice de refracci´on entre los dos medios y la geometr´ıa de la part´ıcula. Q es igual a uno cuando las ondas incidentes son ondas planas e inciden en una part´ıcula que la absorbe en su totalidad. F =

El estudio de las fuerzas ´opticas de divide en tres vertientes. La diferencia entre ellas es la relaci´on entre el di´ametro de la part´ıcula atrapada D y la longitud de onda de la onda electromagn´etica que la confina λ. Cuando se tienen part´ıculas que son muy peque˜ nas a comparaci´on con la longitud de onda (D 0,72 , es decir mayores a el punto donde se funde el sistema de discos duros, el valor de Ψ6 y la presi´on entre las part´ıculas son muy altos para el caso sin campo como se muestra en la figura 3.10. Curiosamente en los empaquetamientos experimentales correspondientes el desorden es notorio. Muy probablemente debido a que la presi´on haga que las part´ıculas acumulen tanta energ´ıa que las part´ıculas ya no se puede seguir incrementando el orden triangular de la estructura, haciendo que algunas part´ıculas se salten de una franja a otra. Siendo el potencial producido por la separaci´on entre franjas no conmensurable con una red triangular increment´andose la frustraci´on de dicha red conforme el empaquetamiento aumenta. Cuando los periodos de las franjas son menores que el empaquetamiento m´aximo de una red triangular, la presi´on del sistema sin campo en principio ser´ıa infinita ya que no puede

38

3 An´alisis de estructuras solidificadas por un potencial externo

Figura 3.11: En esta gr´afica se muestra una comparaci´on del comportamiento del orden orientacional de las estrcuturas obtenidas experimentalmente y por simulaci´on de discos duros al variar el empaquetamiento. Las gr´aficas en color verde representan a los valores de Ψ4 , las l´ıneas en color rojo al comportamiento de Ψ6 , la l´ıneas con cuadros representan el caso est´atico y las l´ıneas con asteriscos el caso din´amico. La l´ınea azul es resultado de la simulaci´on, tomado de [3]. Las l´ıneas grises representan un estimado del comportamiento, ya que al ser el empaquetamiento mayor, aumenta la presi´on entre las part´ıculas provocando que la estructura ya no pueda sostener el orden 6, siendo las distancias mayores entre vecinos causando que la f´ormula 3.4 para el empaquetamiento ya no sea adecuada en este caso. haber traslapes entre part´ıculas, lo cual no es posible obtener experimentalmente. Para este periodo observado se indica con un signo de interrogaci´on (?), observando una notoria disminuci´on de Ψ6 comparado con otros empaquetamiento, siendo este un claro indicativo de la frustraci´on geom´etrica de la red triangular producido por un efecto de presi´on entre las part´ıculas coloidales.

3.4 Resultados y discusi´on

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Conclusiones El desorden que se observa a empaquetamientos grandes es resultado de que la presi´on entre las part´ıculas es mayor que la capacidad de atrapamiento de las franjas. Esto produce una frustraci´on en la estructura cristalina de orden 6, red triangular, provocando desorden orientacional en el sistema.

Cuando el sistema experimental se encuentra en valores de empaquetamiento menores que el punto en donde se congela el sistema de discos duros, este de manera an´aloga a los discos duros, presenta un orden 6 creciente.

En los sistemas de discos duros no hay redes cuadradas estables, en este experimento las obtuvimos ya que fueron inducidas por la forma del potencial.

Trabajo a futuro Siguiendo con la misma l´ınea de investigaci´on se est´a desarrollando un proyecto a cargo de la Dra. Karen Volke Sep´ ulveda. El dispositivo experimental consiste en una trampa o´ptica con geometr´ıa circular. Las part´ıculas son atrapadas sobre la circunferencia, lentamente se hace disminuir el per´ımetro del c´ırculo. Al ser lo suficientemente peque˜ no, una de las part´ıculas confinadas es expulsada (por efectos de competencia de las part´ıculas) de la circunferencia.

Se propone realizar simulaciones de discos duros bajo el efecto de un potencial externo para comprarar con los casos expuestos en este trabajo. Experimentalmente se propone incrementar el n´ umero de part´ıculas atrapadas para que exista un mejor an´alisis, ya que se obtendr´ıa mayor estad´ıstica de los resultados, adem´as de implementar un dispositivo con el cual se controle la variaci´on en los periodos.

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3 An´alisis de estructuras solidificadas por un potencial externo

Ap´ endice A

Preparci´ on de muestras Preparaci´on del detergente Usando una pipeta se hace una soluci´on al 2 % del detergente Liquix -Nox con agua destilada en el vaso de precipitado que est´a marcado con el n´ umero 1. Limpieza de los cubreobjetos y portaobjetos Sumergir en la soluci´on los cubreobjetos y los portaobjetos. Poner a calentar la soluci´on a temperatura baja (=45◦ ) durante tres a cuatro horas. Se debe tratar de que el recipiente se mantenga tibio (de preferencia, siempre a la misma temperatura). Enjuagues Calentar agua destilada (aproximadamente a la misma temperatura a la que se mantuvo el detergente con los objetos a limpiar), una parte vaciarla en el vaso de precipitado se˜ nalado con el n´ umero dos y la otra al frasco de enjuague. Colocarnos guantes de latex, y con ayuda de pinzas, extraer con cuidado un objeto a limpiar. Se procede a enjuagar con agua destilada, cuidando de que estos no resbalen de la pinza. Al terminar el enjuague se coloca en otro vaso de precipitado, este debe contener agua tibia (m´as o menos a la temperatura del agua de enjuague y limpieza). Se pone al fuego por otras tres a cuatro horas y se repite el proceso de enjuague. La altura del vaso de precipitado es menor que la de los portaobjetos, por lo que una parte de estos sobresale, por esto se debe cuidar que en cada enjuague se coloquen con la misma orientaci´on, es decir siempre mantener un extremo de este sumergido. Para ambos componentes de la muestra es necesario revisar que estos no se encuentren sobrepuestos mientras se encuentran en el detergente o en un enjuague. Repetir el proceso de enjuague de dos a tres veces, o hasta que al poner un gota de agua sobre la superficie esta se deslice con facilidad sobre toda la superficie. Se deben dejar escurrir en una caja herm´etica. Los portaobjetos se deben colocar de manera que

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A Preparci´on de muestras

Figura A.1: Proceso de lavado para la elaboraci´on de muestras. el extremo que estuvo sumergido en el proceso coincida con el extremo opuesto al cual se abre la caja. Cuando se encuentren secos, se limpian con alcohol. Para esto se toma una toallita , con ayuda de pinzas se dobla en cuatro partes y se le aplica etanol. Se debe deslizar suavemente la toallita s´olo en un sentido (de arriba hacia abajo, del extremo que permaneci´o siempre sumergido hacia el otro). Si no se va a realizar una muestra en el instante en que se terminan de limpiar los objetos, estos se deben guardar nuevamente en la caja (de la manera mencionada anteriormente). Soluci´on de part´ıculas de borosilicato Las part´ıculas de monosolicato vienen en dos presentaciones en soluci´on o en polvo. Si las part´ıculas a usar se encuentran en la presentaci´on de soluci´on se utiliza menos de 1 ml de esta. Si se encuentran en la otra presentaci´on, con ayuda de una punta de pipeta se toma una diminuta cantidad (solo lo que queda en la punta cuando esta roza la superficie del polvo. Se colocan en un tubo de ensaye nuevo. Se procede a a˜ nadir agua destilada usando una pipeta, para tener mayor control de la concentraci´on. Para conocer cualitativamente la concentraci´on de una muestra, se debe de mirar a trav´es de ella a contraluz, ya que a mayor turbidez hay una mayor cantidad de part´ıculas (densidad m´as alta). Siempre utilizar un tubo nuevo al hacer una soluci´on nueva. Siempre se debe de marcar con un plum´on permanente el di´ametro de las part´ıculas que est´a en la soluci´on, as´ı como la concentraci´on de la soluci´on.

43 Ensamble de la muestra Colocar un portaobjetos sobre una toallita de limpieza nueva. Pegar sobre la parte limpia del portaobjetos una pegatina. La pegatina consta de un cuadrado negro que en el centro tiene un circulo de aproximadamente 1 cm de di´ametro. Se colocan de 2 a 3 ml de soluci´on en la parte central de la pegatina. Se toma el cubreobjetos de los extremos y se coloca encima el cubreobjetos. Para evitar burbujas de aire dentro de la muestra, se coloca de manera sesgada y lentamente. Cuando se ha colocado el cubreobjetos, se procede a sellar alrededor del cubreobjetos con un pegamento de secado r´apido.

44

A Preparci´on de muestras

Ap´ endice B

Obtenci´ on de la posici´ on de los centroides de las part´ıculas Lo primero que se tiene que hacer es elegir un software de an´alisis de videos e im´agenes. Es indispensable que el software se adapte a las necesidades del proyecto a desarrollar. El software utilizado en este trabajo se tesis fue el de ImageJ. Este es un paquete gratuito programado en Java. ImageJ fue dise˜ nado con una arquitectura abierta que proporciona extensibilidad v´ıa plugins Java y macros (macroinstrucciones) grabables. Posee muchas funciones, pero en especial se utiliz´o debido a que se ha desarrollado un plugin de seguimiento de part´ıculas. El programa se puede descargar de http: //rsb.info.nih.gov/ij/download.html, y el plugin de seguimiento de part´ıculas se encuentra en http://www.mosaic.ethz.ch/Downloads/ParticleTracker. Obtenci´on de las coordenadas de los centros de las part´ıculas • Importar video Abrir el programa, ir a la pesta˜ na FILES, elegir IMPORT, y elegir VIDEO (ver fig. B.1. A continuaci´on se despliega una ventana donde se abren los archivos, seleccionar el archivo del video que se analizar´a (formato AVI). Para facilitar el seguimiento se recomienda que el video se encuentre en escala de grises. Si no es el caso se abre autom´aticamente una ventana donde se muestra la opci´on de cambiar a escala de grises, dar aceptar. Despu´es se abre una ventana en la cual se puede observar el video. • Crear una secuencia de im´agenes Ir a la pesta˜ na de FILES, y elegir la opci´on SAVE AS, se despliega una lista y seleccionar IMAGE SECUENCE. Al elegir esta opci´on se abre una ventana donde se da la opci´on del nombre que se le desea otorgar a la secuencia. De ah´ı se

46

B Obtenci´on de la posici´on de los centroides de las part´ıculas

Figura B.1: Vista del programa imageJ. Se observan las pesta˜ nas con las opciones del programa.

Figura B.2: En esta imagen se muestra la ventana que se llena con la informaci´on de la secuencia de imagenes. Si se trata de un seguimiento bidimensional, la proppiedad SLICES debe ser igual a 1 y la propiedad FRAMES debe ser igual al n´ umero de fotograf´ıas que componen la secuencia de imagenes. selecciona la ubicaci´on que se quiere tenga esta secuencia de im´agenes. Cerrar la ventana donde se muestra el video. • Realizar el seguimiento Ir a la pesta˜ na FILES, de ah´ı a IMPORT, y elegir IMAGE SECUENCE. Se abre una pesta˜ na en la cual se muestra la secuencia de im´agenes. En caso de s´olo querer analizar una zona en especial, se puede usar el comando CROP. El comando CROP consiste en recortar una zona selecciona con el mouse. Para usarla solo se selecciona la zona con el mouse, se da click con el bot´on izquierdo se elige CROP. Si se trata de un seguimiento bidimensional, es importante indicar que s´olo son fotos sobre el mismo plano. Para esto se debe ir a la pesta˜ na IMAGE, elegir PROPERTIES. Aparecer´a una ventana, donde se encuentra la siguiente informaci´on

47 (ver fig.B.2: ◦ SLICES El valor al que equivale es el n´ umero de frames totales de la secuencia de im´agenes. En caso de ser un seguimiento tridimensional, es el n´ umero de planos los cuales se tomaron las fotos. ◦ FRAMES Se debe de poner el n´ umero de frames tomados en cada plano. Por defecto el valor es 1. Ya que considera por defecto que se trata de un seguimiento tridimensional. En caso de ser un seguimiento bidimensional, se deben de intercambiar los valores. Por lo se cambia el valor de SLICES a 1, y el valor de FRAMES a el n´ umero total de im´agenes que forman la secuencia. Despu´es ir a PLUGINS y elegir MOISAC POLIPARTICULES TRACKER. Esta acci´on despliega una ventana (ver fig. (B.3)), donde se pueden elegir los siguientes par´ametros.

Figura B.3: Ventana que se despliega al elegir la opci´on de seguimiento de part´ıculas en el software. Par´ametros de detecci´on de part´ıculas. ◦ Radious Se propone un radio aproximado de las part´ıculas a seguir. La unidad de

48

B Obtenci´on de la posici´on de los centroides de las part´ıculas

Figura B.4: Despliegue de resultados del seguimiento de part´ıculas. medida es en pixeles. El valor debe ser ligeramente mayor que el radio de la part´ıcula visible, pero m´as peque˜ no que el m´as peque˜ no entre las part´ıculas de separaci´on. ◦ CUT OFF En esta parte se puede delimitar a partir de que intensidad empezar´a a tomar en cuenta a los pixeles de la imagen. Se recomienda mantener en 0 para que sean analizados todos los pixeles. Es decir, es el punto de corte para la discriminaci´on de l fondo, es decir, de todo lo que no es part´ıcula. ◦ PREVIEW DETECTED Con esta opci´on se puede verificar si los par´ametros son correctos. Ofrece una vista premilinar del seguimiento. Par´ametros para la determinaci´on de las trayectorias ◦ DISPLACEMENT M´aximo n´ umero de pixeles en los que se permite que una part´ıcula se desplace entre dos im´agenes consecutivas. ◦ LINK RANGE N´ umero de im´agenes subsiguientes que son tomados en cuenta para determinar la coincidencia de correspondencia o´ptima entre las trayectorias de las part´ıculas. Es decir, el n´ umero m´ınimo de im´agenes en los que debe de aparecer una trayectoria para ser tomada en cuenta como tal. Cuando se hayan elegido los par´ametros dar click en OK. • Resultados Aparece una ventana donde se pueden observar las trayectorias obtenidas (ver

49 fig.B.4). Para guardar los resultados, dar click en exportar a tabla. Se puede guardar en cualquier formato de texto o hoja de c´alculo, en este trabajo se us´o .txt. Esto origina unas columna , en la primera es el n´ umero de fila del archivo, la segunda columna es el n´ umero de part´ıcula, la tercera el n´ umero de frame, las dos siguientes son las coordenadas x y y de la part´ıcula.

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B Obtenci´on de la posici´on de los centroides de las part´ıculas

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