UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” AREA DE TECNOLOGÍA. COMPLEJO ACADEMICO “EL SABINO” DEPARTAMENTO DE FISICA Y MATEMÁTICA UNIDAD CURRICULAR: FÍSICA II PROF. CARMEN ADRIANA CONCEPCIÓN

GUÍA DE ESTUDIO DE POTENCIAL ELÉCTRICO Debido a que la fuerza electrostática dada por la Ley de Coulomb es conservativa, los fenómenos electrostáticos pueden describirse convenientemente en términos de una energía potencial eléctrica. Esto permite una cantidad escalar conocida como potencial eléctrico, el cual brinda una manera más sencilla para describir los fenómenos electrostáticos que se presentan en el campo eléctrico (Serway, 2005). Recordemos que una fuerza es conservativa cuando el trabajo realizado por dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores iníciales y finales de una función que solo depende de una coordenada. A dicha función se le conoce como POTENCIAL. Además el trabajo realizado por una fuerza conservativa es independiente de la trayectoria seguida para determinarlo y es igual a cero para una trayectoria cerrada El concepto de Potencial Eléctrico tiene un gran valor práctico, el voltaje medido entre dos puntos de un circuito eléctrico es simplemente la diferencia de potencial eléctrico entre los puntos ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA Considere una carga prueba q0 que se coloca en un campo eléctrico y experimenta una fuerza eléctrica (q0.E) la cual es el vector resultante de las fuerzas individuales ejercidas sobre q0 por las cargas que producen el campo eléctrico. Ahora bien, si se pretende mantener la partícula en equilibrio, o desplazarla a velocidad constante, se requiere de una fuerza que contrarreste el efecto de la generado por el campo eléctrico, se debe ejercer una fuerza igual en magnitud y de sentido opuesto a la ejercida por el campo eléctrico; esto requiere un gasto de energía puesto que se debe efectuar trabajo

Estas FA EXT (fuerza del agente externo) y FE (fueza eléctrica) son iguales en magnitud y sentidos opuestos FAEXT = − FE FAEXT = − E ⋅ q0 La FA EXT contraria a la dirección del campo E. La FE tiene la dirección de E

Partiendo de la definición clásica de trabajo, en este caso se realizará un trabajo para trasladar la carga de un punto a otro. De tal forma que al producirse un pequeño desplazamiento dl se generará un trabajo dW. Es importante resaltar que el trabajo será positivo o negativo dependiendo de cómo se realice el desplazamiento en relación con la fuerza FAext 1

El trabajo que debe realizarse para mover una carga de prueba a velocidad constante desde un punto A hasta un punto B dentro de un campo eléctrico es igual a la variación de la energía potencial WAB = ∆U = U B − U A b

q⋅q =∫ ⋅ 2 0 dr r a 4πε 0 b

WAB = ∫ FEXT dr

WAB

a

1

WAB = ∆U =

WAB

q ⋅ q0 1 = 4πε 0 r

rb

ra

q ⋅ q0  1 1   −  4πε 0  ra rb 

Cuando una carga q0 se mueve en un campo eléctrico el trabajo realizado por el campo sobre la carga es igual al negativo del trabajo realizado por un agente externo que produce el desplazamiento; por lo tanto para un desplazamiento infinitesimal el trabajo es: r r r r dW = F .dl = q0 E.dl Por definición, el trabajo efectuado por una fuerza conservativa es igual al valor negativo del cambio en la energía potencial dU,r donde U es la energía potencial. Por lo tanto la energía potencial r eléctrica será: ; para un desplazamiento finito del punto a al punto b la energía dU = − q0 E.dl potencial eléctrica es: b r r Wab = ∆U = U b − U a = − q0 ∫ E.dl a

b r r Wab = ∆U = −q0 ∫ E.dl Cosθ

En forma general

a

En resumen la energía potencial eléctrica es el trabajo necesario para mover una carga desde un punto a otro dentro de un campo eléctrico. Como la fuerza eléctrica es conservativa, esta integral de línea no depende de la trayectoria seguida de un punto a otro. La cantidad de energía por unidad de carga recibe el nombre de Potencial Eléctrico, es independiente de q0 y tiene un valor único para cada punto en un campo eléctrico. Como la energía potencial es una magnitud escalar, el potencial también lo es. U V = q0 DIFERENCIA DE POTENCIAL La diferencia de potencial ∆V = VB - VA entre los puntos A y B, se define como el cambio de energía potencial dividida entre la carga q0.

∆V =

∆U

∆V =

q0

=

∆W q0

− q0 r r E ⋅ ∆L q0

dU dW = q0 q0 − q0 r r E ⋅ dL dV = q0

dV =

r r dV = E .dL

La diferencia de potencial se genera al trasladar una carga constante desde un punto a otro a velocidad constante dentro de un campo eléctrico y viene dada por: Vb b r b r r r dV = − E . d L V − V = V = − b a b −a ∫ ∫ ∫ E .dL Va

a

a

2

En forma general:

b r b r r r Vb − a = − ∫ E .ds = − ∫ E ⋅ Cosθ .ds a

Diferencia de Potencial

a

La diferencia de potencial eléctrico es proporcional al cambio de energía potencial electrostática ∆U ⇒ ∆U = q0 ⋅ ∆V ∆V = q0

UNIDADES DE DIFERENCIA DE POTENCIAL Puesto que la diferencia de potencial es una medida de la energía por unidad de carga; la unidad del potencial en el S.I es el Joule sobre Coulomb; definido como una unidad llamada Voltio. dW Joule 1Joul = Voltios ( S .I .) dV = se tiene que 1V = q0 Coul 1C r r Nw También : dV = E .dL → ⋅ m = Voltio ( S .I .) C r r r dV Voltio Por otra parte : dV = E .dL E= r E= → m dL Voltio Joul 1 Nw ⋅ m 1 Demostrando : = ⋅ = ⋅ m C V C m Voltio Nw = Unidades del Campo m C En la física atómica nuclear, encontramos frecuentemente partículas elementales, tales como electrones y protones, con cargas de magnitud e que se mueven a través de diferencias de potencial de varios miles de millones de voltios. Como la energía tiene dimensiones de carga eléctrica multiplicada por potencial eléctrico, una unidad conveniente de energía es el producto de la carga electrónica e por el voltio. Esta unidad se denomina electrón-voltio (eV), que es la energía adquirida para un electrón al moverse a través de una diferencia de potencial de 1 V, 1 eV = 1,6x10-19 J. Algunas veces se necesitan unidades mayores de energía, y se usan los kiloelectronvoltios (keV), megaelectronvoltios (MeV) y los gigaelectronvoltios (GeV). (1 keV=103 eV, 1 MeV = 106 eV, y 1 GeV = 109 eV).

OBSERVACIONES IMPORTANTES: • Las líneas de campo eléctrico siempre apuntan en la dirección en la que disminuye el potencial eléctrico. • La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos cualesquiera es independiente de la trayectoria; es decir; el trabajo realizado para mover una carga de un punto a otro en un campo eléctrico es el mismo por cualquier camino que se tome. Si se tiene un campo eléctrico uniforme dirigido a lo largo del eje y negativo; la diferencia de potencial entre los puntos “a” y “b” separados una distancia “d” es: a b r r Como E y dL son paralelos Vb−a = − ∫ EdL r E

a

b

Vb − a

r r = − ∫ E . cos 0.dL a

b

d

Vb− a = − ∫ E .dL = − E .d a

b El signo negativo resulta del hecho de que el punto b esta a menor potencial que el punto a, es decir; Vb0 si q es positiva q>0 Va 2 4πεo r r

VT = V1 + V2 + V3 V1 =

−1 q ⋅ 4πε 0 ( r + a ) V3 =

1 4πε 0

⋅

V2 =

1 4πε 0

⋅

q r

q (r − a)

 −q q q  q + + VT =   4πε 0  ( r + a ) r ( r − a )  4πε 0 q  − r 2 + ra + r 2 − a 2 + r 2 + ra  VT = VT   4πε 0  r( r 2 − a 2 ) 

VT =

1

Ya que r − a ≈ r 2

2

2

 − r( r − a ) + ( r + a )( r − a ) + r( r + a )    r( r + a )( r − a )   q  r 2 + 2 ra − a 2  =   4πε 0  r( r 2 − a 2 ) 

 r 2 + 2 ra − a 2  q V= Luego V =   2 2 4πε 0 4πε 0  r( r − a )  1  q 2 aq  + 2  V= 4πε 0  r r  q

 r 2 2 ar a 2   3 + 3 + 3 r r  r

5

EJERCICIO Nº 2: Un protón de masa 1,67x10-27 C se sitúa en un campo eléctrico uniforme E= (5,0 N/C)i=(5,0 V/m)i y desde el reposo se deja en libertad. ¿Qué velocidad posee después de recorrer 4 cm? Cuando el protón se mueve siguiendo la línea del campo eléctrico, su potencial disminuye y su energía cinética se incrementa en igual cantidad. La variación del potencial eléctrico para ∆x= 4 cm= 0,04 m

dV = − E .dl = −(5 ,0V / mi )(. dxi ) = −(5 ,0V / m )dx ∆V = −(5 ,0V / m )(0 ,04 m ) = −0 ,20V es La variación de energía potencial del protón viene dada por el producto de su carga por el incremento de potencial: De acuerdo con el principio de conservación de la energía, la pérdida de energía potencial es igual a la ganancia de energía cinética. Como el protón parte del reposo, su ganancia en energía cinética es

(

)

∆U = q∆V = 1,6 × 10 −19 C (− 0 ,20V ) = −3,2 × 10 −20 J 2

½mv , siendo v la velocidad que posee después de recorrer los 4 cm. Tenemos, por tanto,

(

∆Ec = −∆U = − − 3 ,2 × 10 −20 J

∆Ec + ∆U = 0

)

1 2 mv = 3,2 × 10 −20 J 2 La conversión de unidades entre electrón-voltio y Julios se obtiene expresando la carga electrónica en culombios:

1eV = 1,6 × 10

−19

C .V = 1,6 × 10

−19

J

v

2

( 2 )(3,2 × 10 −20 J ) = 3 ,83 × 107 J / kg = 1,67 × 10 −27 kg

v = 3 ,83 × 10 7 J / kg = 6 ,19 × 10 3 m / s En el ejemplo la variación de energía potencial del protón después de recorrer 4 cm es

∆U = q∆V = e(− 0 ,02V ) = −0 ,20eV EJERCICIO Nº 3: a)¿Cuál es el potencial eléctrico a una distancia r= 0,529x10-10 m de un protón? (Esta es la distancia media entre el protón y el electrón en el átomo de hidrógeno?. b)¿Cuál es la energía potencial del electrón y el protón a ésta separación? a) La carga del protón es q=1,6x10-19 C. entonces:

V=

(

)(

)

kq 8 ,99 × 10 9 N .m 2 / C 2 1,6 × 10 −19 C = 27 ,2 J / C = 27 ,2V = r 0 ,529 × 10 −10 m b) La carga del electrón es -e= -1,6x10-19 C. En electrón-voltios, la energía potencial del electrón y el protón separados a una distancia de 0,529x10-10 m es

U = qV = −e(27 ,2V ) = 27 ,2eV

En unidades SI, la energía potencial es

(

)

U = qV = − − 1,6 × 10 −19 C (27 ,2V ) = −4 ,35 × 10 −18 J

6

POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGAS El Potencial Eléctrico debido a Distribuciones Continuas de Carga puede calcularse de dos maneras: • Si se conoce la distribución continua de carga • Si la distribución continua de carga es altamente simétrica y se conoce el campo eléctrico evaluado por Ley de Gauss • SI SE CONOCE LA DISTRIBUCIÓN DE CARGA Se comienza con el potencial para una carga puntual, luego se considera un elemento de carga dq. El diferencial de potencial dV en algún punto P debido a este elemento de carga dq es: dV = K ⋅

1) dq = λ .dL

2) dq = σ .dA

3) dq = ρ .dV

dq r

V =

⇒

⇒

⇒

1 4 πε

1

V =

V =

V =

0

dq r

∫

4 πε 1 4 πε

0

0

1 4 πε

0

∫

Donde :

λ .dL r

σ .dA

∫

r

∫

ρ .dV r

• SI LA DISTRIBUCIÓN DE CARGA ES ALTAMENTE SIMÉTRICA Y SE CONOCE EL CAMPO ELÉCTRICOEVALADO POR LEY DE GAUSS Se evalúa el Campo Eléctrico E usando la Ley de Gauss y después se sustituye el valor obtenido en la ecuación: b r r Vb − a = − ∫ E .dL a

Se determina ∆V entre dos puntos y se elige un V=0 en algún punto conveniente.

POTENCIAL ELÉCTRICO DE UN CONDUCTOR ESFÉRICO CARGADO En el interior de la corteza esférica el campo eléctrico es cero por lo tanto no se realiza trabajo al desplazar una carga de prueba de un punto a otro en el interior de la corteza y el potencial es constante. 1 Q V = ; r≤R 4πε 0 R

V =

1

Q 4πε 0 r

; r≥R

En Resumen : Super ficie Conductora E ≠0 q≠0

r r Vb − a = − ∫ E .dL

Vb − a ≠ 0 ρ=0

Q=0

Wb − a ≠ 0

W = q 0 ⋅ Vb − a 7

EJERCICIO Nº 4: Un disco circular cargado de radio R tiene una carga por unidad de área σ. Calcular el potencial en un punto sobre el eje X del disco a una distancia a. V =

σ =

1

⋅

4πε 0

q S

q a

⇒ q = σ ⋅a

q = σ ⋅π ⋅ r 2

4πε 0

⋅

dq S

A = π ⋅r2

S = ( a 2 + r 2 )1 / 2

V

∫ dV

1

dq = 2σ ⋅ π ⋅ rdr

Luego :

=

0

V =

dV =

∫(a

4πε 0

σπ 4πε 0

0

R

∫(a 0

2σ ⋅ π ⋅ rdr 2 + r 2 )1 / 2

R

1

2

2 rdr + r 2 )1 / 2

Resolviend o la integral por cambio de variable :

u = r2 + a2

σ V = ⋅ 2( a 2 + R 2 )1 / 2 4ε 0

∫u

du = 2 rdr

R

V = 0

σ 2ε 0

[a

2

−1 / 2

+ R2 − a2

du = 2u 1 / 2

]

V =

σ 2ε 0

[a

2

+ R2 − a

]

EJERCICIO Nº 5: Existe una carga distribuida uniformemente a lo largo de una línea recta de longitud finita 2L, como muestra la figura. Demuestre que para puntos externos cerca del punto medio tal que r1 y r2 sean pequeños comparados con la longitud, el potencial eléctrico es: V12= V1 -- V2= λ Ln(r2/r1) 2πε0

V12 = V1 − V2 dV1 =

λ=

Q L

V =

1 4πε 0

⋅

dQ r

1

dQ 4πε 0 S L=Z

Q = λ⋅Z dQ = λ ⋅ dZ

Del Triángulo : S = ( r1 + Z 2 )1 / 2 2

8

2λ dZ 2 ∫ 4πε 0 0 ( r1 + Z 2 )1 / 2 L

V1 =

Resolviendo la integral por sustituci ón trigonomét rica : Z = r1 ⋅ Tgβ

V1 =

r1 ⋅ Sec 2 β dβ λ 2πε 0 ∫ ( r1 2 + r1 2 Tg 2 β )1 / 2

λ Sec 2 β dβ V1 = 2πε 0 ∫ Secβ

dZ = r1 ⋅ Sec 2 β dβ V1 =

λ 2πε 0

λ L V1 = Secβ dβ 2πε 0 ∫0

∫ [r

1

r1 ⋅ Sec 2 β dβ 2

V1 =

]

( 1 + Tg 2 β )

1/ 2

λ V1 = Ln Secβ + Tgβ 2πε 0

r1 ⋅ Sec 2 β dβ λ 2πε 0 ∫ r1 ( Sec 2 β )1 / 2 L

0

Devolviendo el cambio : ( Z 2 + r1 )1 / 2 r1 2

Secβ =

2 λ   ( Z 2 + r1 ) + Z  V1 = Ln  r1 2πε 0  





Z r1

Tgβ =



 ( L2 + r 2 ) + L  λ 1  − Ln r1  V1 = Ln r    r1 2πε 0  1

L



0

 ( L2 + r 2 ) + L  λ 1  V1 = Ln   r1 2πε 0 

V1 =

L2 + r1 ≈ L 2



 2L  λ Ln  2πε 0  r1 

V1− 2 =

Como 2L >> r1



Para un punto ubicado en r2 el potencial será : V2 =

 2 L  λ   2L   Ln  − Ln  2πε 0   r1   r2 

V1− 2

 2L  r  λ 1 = V1 − V2 = Ln   2πε 0  2 L  r   2 

 2L  λ Ln  2πε 0  r2 

V1− 2 =

r  λ Ln 2  2πε 0  r1 

EJERCICIO Nº 6: Una esfera metálica hueca de radio ra está sostenida mediante un pié aislante en el centro de una esfera metálica hueca de radio interior rb. La esfera interior posee una carga +q y la exterior, -q. a) Demuestre que el diferencial de potencial entre las esferas es: Vb-a=Kq 1 -- 1 ra rb b) Demuestre que le campo eléctrico E en cualquier punto situado entre ellos es E= Vab . 1 (1/ra+1/rb) r2 Se tiene : r r Vb − a = − ∫ E .dL Para superficies conductoras dL = −dr rb

Luego :

Vb − a = ∫ E .dr , donde E = K ra

rb

Vb − a

dr 1 = Kq ∫ 2 = − Kq r ra r

rb

ra

q r2 1 1 Vb − a = K ⋅ q −   ra rb  9

1

q 4πε 0 r 2

E=

Se tiene que

E=K

1 1 Vb − a = Kq −   ra rb 

Kq =

Sustituyendo en E = Kq

q r2 Vb − a

1 1  −   ra rb 

1 r2

E=

Vb − a

1  1 1  r2  −   ra rb  ⋅

OBTENCIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO A TRAVÉS DEL POTENCIAL ELÉCTRICO (GRADIENTE DE POTENCIAL). El potencial y el campo eléctrico se relacionan por: b r r Vb − a = − ∫ E .dL a

Vb

Pero Vb-Va proviene de:

∫ dV

por lo tanto:

Va Vb

∫

Va

Se escribe:

b

r r dV = − ∫ E .dL

r E = Exiˆ + Eyˆj + Ezkˆ r dL = dxiˆ + dyˆj + dzkˆ

r r dV = − EdL

a

Tenemos que: − dV = Exdx + Eydy + Ezdz

Al suponer un desplazamiento paralelo al eje x se tiene: − dV = Exdx

Es decir: Haciendo:

ó

dV dV ; Ey = − dx dy  d ˆ d ˆ d ˆ j+ ∇ =  i + k dy dz   dx Ex = −

;

 dV  Ex = −   dx  dV Ez = − dz r r E = −∇ V

r  dV ˆ dV ˆ dV ˆ  E = − i+ j+ k dy dz   dx

El campo eléctrico es el gradiente negativo del potencial eléctrico.

BIBLIOGRAFÍA • SERWAY, R. y JEWETT J. Electricidad y Magnetismo. Sexta Edición. Editorial Thompson, México., 2005. • SEAR. ZEMANSKY. YOUNG. FREEDMAN. Física: Volumen 2. Novena Edición. Addison Wesley Longman. S.A. México., 1999. • RESNICK, R. Y HOLLlDAY, D. Física. Tomo 11. Editorial Continental. México., 1986.

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