Estudios sobre flexión en vigas de inercia variable Bending studies on variable inertia beams Carlos Méndez Esteban*

Palabras clave

Sumario

viga; flexión; curvatura; cortante; inercia variable;

Se plantea en este artículo un desarrollo basado en las ecuaciones de flexión de Méndez-Esteban (Ecuaciones 1), Se procede forzando la tercera ecuación de Méndez-Esteban a que los cortantes internos debidos a la flexión se anulen en todos los puntos de la viga. De esta manera se obtienen unas ecuaciones diferenciales que darían lugar a unas formas de vigas o leyes de cantos. Para esta ley de cantos como se ha impuesto, los cortantes internos de flexión son nulos, lo cual daría lugar a dos cosas, la primera, que las curvaturas internas deben ser constantes a lo largo de toda la viga y, la segunda, que las fuerzas tangentes deben provenir siempre de la proyección de una compresión inclinada. Las curvaturas internas constantes darían como resultado un diagrama de momentos internos distribuidos según la inercia de la viga, mientras que la ley de momentos externos tendría distribución lineal o parabólica. Esto daría lugar a un conflicto puesto que si el mecanismo de trabajo de la viga fuera la flexión, los momentos internos debidos a las curvaturas internas deben coincidir con los momentos externos. Al no cumplirse esto, se considera que el mecanismo de funcionamiento de estas vigas con la ley de cantos que se deduce, debe ser diferente a la flexión y se busca un mecanismo de funcionamiento alternativo a modo de arco comprimido.

Keywords

Abstract

beam; bending; curvature; shear; variable inertia;

The scope of this article is a development based on the Méndez-Esteban bending equations. Forcing the third due to bending to be null in all the points of Méndez-Esteban bending equation that the internal shear the beam, a differential equation is obtained whose solution give a distribution of depths. For this distribution of depths the fact that the internal shear is null give place to two things , first that the internal curvatures must be constant along all the beam and second that the tangent forces must come from a projection of a inclined compression. The fact of the internal curvatures are constant give place to a internal moments diagram distributed following the inertia, this in general do not match with the distribution of the external moments. This would make a conflict of the second Méndez –Esteban equation, because the internal moments due to the curvature should coincide with the external moments. Cause of this conflict, an alternative mechanism for this beams is deducted, Las ecuaciones de flexión de Méndez-Esteban son (el apóstrofe as a compressed arch.

respecto de x, doble apóstrofe es derivada segunda):

1. INTRODUCCIÓN

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝑥𝑥𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥

significa

= 𝜃𝜃𝜃𝜃

Ecuaciones 1

Este artículo se desarrolla en el marco de una de las teo-𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑥𝑥) = rías científicas del sólido deformable: la teoría de vigas, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥 2 que 𝐸𝐸𝐸𝐸∙𝐼𝐼𝐼𝐼 tiene su origen en las investigaciones de Leonhard Euler (1707-1783), Daniel Bernoulli (1700-1782) y Henri Navier 𝑑𝑑𝑑𝑑3 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑥𝑥) 𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑀𝑀𝑀𝑀 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼′ Ecuacio =− − (1785-1836). Sus aportaciones científicas siguen vigentes 3 2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼 después de dos siglos, utilizándose en la práctica de la in2 geniería civil. 𝑝𝑝𝑝𝑝 −𝑄𝑄𝑄𝑄 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼′ 𝑀𝑀𝑀𝑀 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼′ 𝑀𝑀𝑀𝑀 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼′′ 𝑑𝑑𝑑𝑑4 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑥𝑥) Mediante la derivación completa de las ecuaciones de fle= −2∙ +2∙ − 4 2 3 𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐸𝐸𝐸𝐸 ∗ 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥 una 𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼2 xión tradicionales y considerando la inercia de área como función variable, y tomando el eje x como la abcisa de la viga (el paramento superior en el caso normal de variación de canEn el presente artículo desarrollo una nueva investigato por el paramento inferior), se obtienen las nuevas ecuacioEnartículo el presente una nueva investigación a partir d nes de flexión de Méndez-Esteban, publicadas en un ciónartículo a partir dedesarrollo estas ecuaciones. anterior (1). La realidad física de los resultados obtenidos es ecuaciones. 2.  COMPORTAMIENTO DE VIGAS CON EXTREMOS FIJOS objeto de posibles líneas de investigación ya que se trata de consideraciones teóricas, fruto de resoluciones numéricas En una viga con extremos inferiores fijos sometida matemáticas, que no han sido contrastadas físicamente. a carga, el centro de giro en las secciones extremas norLas ecuaciones de flexión de Méndez-Esteban son (el 3. COMPORTAMIENTO DE VIGAS EXTREMOS FIJOS malmente no coincide con elCON punto de apoyo. Para que apóstrofe significa derivada respecto de x, doble apóstrofe es derivada segunda): se produzca el giro, es necesaria una traslación inferior. En una viga con fijoselsometida a carga, Si laextremos traslación inferiores está impedida, giro también lo está. el Porcentro de gi lo tanto,normalmente si suponemosno quecoincide la viga secon comporta como secciones extremas el punto desiapoyo. Par *  Corresponding author: [email protected] estuviera empotrada en los extremos, aparecería en estos

produzca el giro, es necesaria una traslación inferior. Si la traslación está imp giro también lo está. Por lo tanto, si suponemos queCivilla173/2014 viga |se Ingeniería 1 comporta estuviera empotrada en los extremos, aparecería en estos un momento provo

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un momento provocado por una fuerza P, tal y como se muestra en la figura 1:

Esto implicaría que:

En el caso de una sección en doble T con un área A en las alas y un alma de área despreciable.

Donde: A es el área concentrada en las alas; y c(x) es la ley de cantos de la sección a lo largo de la pieza. Por lo tanto:

Figura 1. Viga con extremos fijos.

Ecuación 2

Si consideramos ahora sucesivas vigas de inercia variable por variación del canto hecho mediante recortes, la fuerza horizontal aumenta y, por lo tanto, los momentos en los extremos también. El mecanismo de funcionamiento básico de estas vigas sería el que se muestra en la figura 2:

Esta última es la ecuación diferencial general que debe cumplir la ley de cantos de la viga para que el cortante interno se anule. Si suponemos que actúa una carga puntual “P” en el centro de la pieza y poniendo la fuerza horizontal en los extremos como una constante K multiplicada por una expresión de “P”, entonces, siendo ce el canto en el extremo:

Figura 2. Viga de inercia variable con extremos fijos.

Se obtiene la ecuación diferencial anterior particularizada para la carga puntual en el centro de la pieza. En el caso de carga uniforme repartida “p” a lo largo de la pieza y poniendo la fuerza horizontal en los extremos también en proporción mediante K a una expresión de “p”:

Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento en flexión de las vigas de inercia variable son las ecuaciones de flexión de Méndez-Esteban. En estas ecuaciones, las leyes de fuerzas externas son M,Q,p mientras que los esfuerzos internos de flexión son:

Si se parte de la tercera ecuación de flexión de MéndezEsteban, obligando a que el cortante interno sea cero, esto es:

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Ecuación 3

3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE NO CORTANTE INTERNO

Esta sería la ecuación diferencial que debe cumplir la ley de cantos para que no haya cortantes internos y por lo tanto la curvatura interna o es constante o es cero.

A continuación se muestran dos soluciones de la ley de cantos a partir de las ecuaciones diferenciales anteriores. Son soluciones para una viga de 10 metros con 2 metros de canto en los extremos.

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Figura 3. Ley de cantos solución de la ecuación diferencial para carga puntual en el centro.

Figura 4. Ley de cantos solución de la ecuación diferencial para carga repartida uniforme.

La primera solución es para carga puntual forzando K=1.5 y son dos jabalcones cuyo vértice coincide con la posición de la carga puntual. El canto que sale en el centro es 0.66 (figura nº 3). La segunda solución es para carga uniformemente repartida forzando K=1.5 y es una parábola. El canto en el centro es 1 (figura nº4). El hecho de que la curvatura interna sea constante o cero daría lugar a una distribución de momentos internos que sigue una distribución paralela a las inercias (p.ej parabólica para distribución de cantos lineal en el caso estudiado) mientras que la ley de momentos externos M es variable en función de las cargas externas (para una carga puntual en una viga con distribución de cantos lineal por ejemplo, los momentos internos darían una ley parabólica y los momentos externos darían una ley lineal). Este hecho entra en conflicto con la segunda ecuación de flexión de Méndez-Esteban puesto que no se cumpliría la igualdad, con la distribución de cantos c(x) solución de las ecuaciones diferenciales anteriores. Esto podría implicar el descarte del mecanismo de flexión para la distribución de cantos c(x) por no cumplirse la igualdad segunda de las ecuaciones de Méndez-Esteban y habría que buscar un mecanismo de comportamiento alternativo a la flexión

Figura 5. Mecanismo alternativo a la flexión para carga puntual en el centro.

4.  MECANISMO ALTERNATIVO A LA FLEXIÓN Veamos ahora cual podría ser el mecanismo de funcionamiento de estas vigas, vamos tantear simplemente una compresión del paramento inferior a modo de arco comprimido.

Figura 6. Mecanismo alternativo a la flexión para carga repartida uniforme. Ingeniería Civil 173/2014 | 3

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Comprobación 1: Se ha supuesto que la fuerza horizontal es constante en todas las secciones. Si multiplicamos por la tangente de la curva inferior , obtendríamos la fuerza tangencial que debe coincidir con P/2 que es la fuerza tangencial externa.

Además se comprueba que la compresión sigue la línea inferior puesto que las componentes horizontal y vertical se relacionan por la tangente de la ley c(x), la componente horizontal sería K*P*L/8 y la componente vertical sería P/2. Comprobación 2: Se puede comprobar que en cada sección, los momentos externos en cada sección:

Comprobando con los valores de la solución que se tantea, tomando P=1 se obtienen los siguientes gráficos coincidentes (figuras números 7 y 8):

Y los momentos internos producidos por la fuerza de compresión serían:

Figura 7. Fuerzas tangenciales externas para carga puntual en el centro.

Figura 8. Fuerzas tangenciales internas para carga puntual en el centro.

Figura 9. Momentos externos para carga puntual en el centro. 4 | Ingeniería Civil 173/2014

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Figura 10. Momentos internos para carga puntual en el centro.

Comprobemos para P=1 que efectivamente los gráficos son coincidentes (figuras números 9 y 10). Veamos ahora el caso de la carga uniformemente repartida: Comprobación 1: Se incluyen a continuación las expresiones de la fuerza tangencial externa Fe y la fuerza tangencial interna Fi:

A continuación se incluyen los gráficos de ambas distribuciones de fuerzas Fi y Fe coincidentes en todas las secciones (figuras números 11 y 12). Esto implica además, al igual que antes, que las fuerzas de compresión siguen el paramento inferior. Comprobación 2: Se puede comprobar que en cada sección los momentos externos vienen dados por la siguiente ecuación:

Figura 11. Fuerzas tangenciales externas para carga repartida uniforme.

Figura 12. Fuerzas tangenciales internas para carga repartida uniforme. Ingeniería Civil 173/2014 | 5

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Figura 13. Momentos externos para carga repartida uniforme.

Figura 14. Momentos internos para carga repartida uniforme.

Y los momentos internos:

A continuación se incluyen los gráficos de ambas distribuciones que son coincidentes en todas las secciones (figuras números 13 y 14). Luego en ambos casos se cumplirían lo siguiente: la compresión sigue el paramento inferior, el equilibrio de fuerzas verticales en todas las secciones y el equilibrio de momentos en todas las secciones. 5. CONCLUSIÓN En función de las dimensiones de la viga y de las cargas aplicadas y condiciones de contorno se puede encontrar ciertas ecuaciones diferenciales que dan lugar a determinadas formas de la distribución de cantos de una viga de inercia variable para las cuales se produce una incoherencia en la segunda ecuación de flexión, y se deduce que debe haber un mecanismo de funcionamiento de estas vigas alternativo a la flexión. Se ha encontrado que pueden existir vigas que no flectarían y que una compresión constante en el paramento inferior puede ser un mecanismo alternativo. Las formas de los cantos que se obtienen como solución de las citadas ecuaciones diferenciales son similares a las isostáticas de compresión que pasan por los apoyos.

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6. BIBLIOGRAFÍA Méndez Esteban, C. Ecuaciones de la flexión en piezas con inercia variable Revista Ingeniería Civil, (I.S.S.N 0213-8468N.I.P.O.:163-10-012-8. Depósito Legal M-28150-1971), nº 159, pp103-113, jul-ago-sept 2010. 2010). Ortiz Berrocal, L. Resistencia de materiales, McGraw-Hill. 1991 Torroja, E. Lecciones elementales de elasticidad con aplicación a la técnica de la construcción. Editorial Dossat, S.A. 1967 Timoshenko y Goodier.  Teoría de la Elasticidad, Ediciones Urmo, 1972 Argyris, J. H., Kelsey, S.  Energy Theorems and Structural Analysis, Butterworths, 1968. Rodriguez-Avial, M.; Zubizarreta, V. y Anza, J. J.  Problemas de Elasticidad y Resistencia de Materiales, Universidad Politécnica de Madrid, 1995 Dym C. L., Shames, I., H.  Solid mechanics: A variational approach, McGraw-Hill, 1973