EXAMEN FÍSICA 2º BACHILLERATO – TEMA 3: ONDAS INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN La prueba consiste de dos opciones, A y B, y el alumno deberá optar por una de las opciones y resolver las tres  cuestiones y los dos problemas planteados en ella, sin que pueda elegir cuestiones o problemas de diferentes  opciones. Cada cuestión o problema puntuará sobre un máximo de dos puntos. No se contestará ninguna  pregunta en este impreso. OPCIÓN A Cuestión 1.­  a) Al colgar una masa en el extremo de un muelle en posición vertical, éste se desplaza 5 cm; ¿de que  magnitudes del sistema depende la relación entre dicho desplazamiento y la aceleración de la grave­ dad?  b) Calcule el periodo de oscilación del sistema muelle­ masa anterior si se deje oscilar en posición hori­ zontal (sin rozamiento).  Dato: aceleración de la gravedad g = 9,81 m/s2  Cuestión   2.­  Escriba   la   expresión   matemática   de   una   onda   armónica   transversal   como   una   función   de   X  (distancia) y t (tiempo) y que contenga las magnitudes indicadas en cada uno de los siguientes apartados: a) b) c) d)

Frecuencia angular ω y velocidad de propagación v Período T y longitud de onda λ Frecuencia angular ω y número de onda k Explique por qué es una función doblemente periódica

Cuestión 3.­ Una onda sonora que se propaga en el aire tiene una frecuencia de 260 Hz.  a) Describa la naturaleza de la onda sonora e indique cuál es la dirección en la que tiene lugar la  perturbación, respecto a la dirección de propagación.  b) Calcule el periodo de esta onda y su longitud de onda.  Datos: velocidad del sonido en el aire v = 340 m∙s­1  Problema 1.­ Una onda armónica transversal se desplaza en la dirección del eje X en sentido positivo y tiene  una amplitud de 2 cm, una longitud de onda de 4 cm y una frecuencia de 8 Hz. Determine: a) b) c) d)

La velocidad de propagación de la onda La fase inicial, sabiendo que para X=0 y t=0 la elongación es y=­2 cm La expresión matemática que representa la onda La distancia mínima de separación entre dos partículas del eje X que oscilan desfasadas π/3 rad.

Problema 2.­  Una masa de 2,5 Kg está unida a un muelle horizontal cuya constante recuperadora es k=10  N/m. El muelle se comprime 5 cm desde la posición de equilibrio (x=0) y se deja en libertad. Determine: a) La expresión de la posición de la masa en función del tiempo, x=x(t) b) Los módulos de la velocidad y de la aceleración de la masa en un punto situado a 2 cm de la posición de  equilibrio c) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra en los extremos de la trayectoria d) La energía mecánica del sistema oscilante Nota: considere que los desplazamientos respecto a la posición de equilibrio son positivos cuando el muelle está  estirado.

EXAMEN FÍSICA 2º BACHILLERATO – TEMA 3: ONDAS OPCIÓN B Cuestión 1.­ El nivel de intensidad sonora de la sirena de un barco es de 60 dB a 10 m de distancia. Supo­ niendo que la sirena es un foco emisor puntual, calcule:  a) El nivel de intensidad sonora a 1 km de distancia.  b) La distancia a la que la sirena deja de ser audible. 

  Dato: Intensidad umbral de audición I0 = 10­12 W m­2

Cuestión 2.­ Un objeto de 2,5 Kg está unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento armónico simple  sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz. Deter ­ mine: a) El período del movimiento y la constante elástica del muelle b) La velocidad máxima y la aceleración máxima del objeto Cuestión 3.­ El periodo de una onda transversal que se propaga en una cuerda tensa es de 2∙10 ­3 s. Sabiendo,  además, que dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase vale  π/2 rad están separados una distancia de 10  cm, calcule: a) la longitud de onda b) la velocidad de propagación Problema 1.­ Un punto material oscila en torno al origen de coordenadas en la dirección del eje Y, según la  expresión:

y=2sen 

  t  (y en cm; t en s) 4 2

originando una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje X. Sabiendo que dos  puntos materiales de dicho eje oscilan con un desfase de π radianes están separados una distancia mínima de  20 cm, determine: a) b) c) d)

La amplitud y frecuencia de la onda armónica La longitud de onda y velocidad de propagación de la onda La expresión matemática que representa la onda armónica La expresión de la velocidad de oscilación en función del tiempo para el punto material del eje X de  coordenada x=80 cm, y el valor de dicha velocidad en el instante t=20 s.

Problema 2.­ En la figura se muestra la representación gráfica de la energía potencial (Ep) de un oscilador  armónico simple constituido por una masa puntual de valor 200 g unida a un muelle horizontal, en función de  su elongación (x). 

a) b) c) d)

Calcule la constante elástica del muelle  Calcule la aceleración máxima del oscilador.  Determine numéricamente la energía cinética cuando la masa está en la posición x = +2,3 cm.  ¿Dónde se encuentra la masa puntual cuando el módulo de su velocidad es igual a la cuarta parte de su  velocidad máxima? 

EXAMEN FÍSICA 2º BACHILLERATO – TEMA 3: ONDAS SOLUCIONES OPCIÓN A Cuestión 1.­ a) Según la ley de Hooke, un muelle se estira según F=k∙Δx. Como la fuerza que estira el muelle es la del   peso del cuerpo, F=m∙g=k∙ Δx. Como la relación entre el estiramiento del muelle y la aceleración de la  gravedad es Δx/g = m/k, dependerá de la masa que colgemos y la constante elástica del muelle. b) Del apartado anterior deducimos que m/k = Δx/g = 0,05m/9,81m∙s­2 = 5,1∙10­3 s2

= Cuestión 2. a) b)





m k 2·  =>  = T =2 ·  · =2  ·  5,1· 10−3 s²=0,45 s m T k

x y  x ,t =A · sen  t −  v t x y  x ,t =A · sen2  −  T  y  x ,t =A · sen · t −k · x

c) d) La función es doblemente periódica, porque la función sinusoidal tiene una doble dependencia, temporal y espacial. Cuestión 3.  a) La onda sonora es de tipo material (necesita un medio material para propagarse) y longitudinal (la  perturbación se produce en la misma dirección en la que se propaga la onda). b) T = 1/f = 1 / 260 s­1 = 3,85∙10­3 s ; λ = v∙T = v/f = 340 m∙s­1 / 260 s­1 = 1,31 m Problema 1.­ A = 2 cm; λ = 4 cm; f = 8 Hz

 v = = · f =4 cm· 8 s−1=32 cm · s−1=0,32 m · s−1 → ω=2Π/T = 2Πf = 16Π rad∙s­1 T x b) De forma general: =A · sen  ·t − 0  . Si para x=0 y t=0, ξ=­2 cm, tenemos: v a)

­2 = 2 ∙ sen φ0 → sen φ0 = ­1 φ0 = 3Π/2 radianes

x x 3 x 3 =2 · sen· t− 0 =2· sen 16  ·t−  =2 · sen16  ·t−   v 32 2 32 32 c) −x 3   d) Si quitamos la variable tiempo en la onda, nos queda: =2 · sen16  · 32 32 La fase es lo que va dentro del seno, de tal manera que para dos punto X1 y X2 los desfases son:

1=16  · por lo que:

−x 1 3 −x 2 3   y   2=16  ·   respectivamente. Nos piden hallar Δx para un Δφ = π/3,  32 32 32 32

 2−1=16  ·

−x 2 3 −x x −x x −x 3 x   −16  · 1  =16  · 1 2 = · 1 2 = · = 32 32 32 32 32 2 2 3 Δx = 2/3 cm

Problema 2.­ a) Según la ley de Hooke: F = ­k ∙ x, y según las ecuaciones del movimiento armónico simple a = ­ ω2 ∙ x,  por lo que F = ­ m ∙ ω2 ∙ x, por lo que k = m ∙ ω2 → 

=

 

k 10 N · m−1 rad = =2 m 2,5 Kg s

EXAMEN FÍSICA 2º BACHILLERATO – TEMA 3: ONDAS SOLUCIONES OPCIÓN A Además, A = 5 cm, y para t=0, x=­5 cm. La representación matemática de un movimiento armónico simple es  x= A cos· t 0 → ­5 = 5 cos(0 + φ0) → cos(φ0) = ­1 → φ0 = π

x=5 cos 2· t  b) Ecuaciones de posición, velocidad y aceleración:

x= A cos· t 0 v =−A· · sen· t 0 →  v² =A² · ² · sen²  ·t 0= A² · ² ·[ 1−cos² · t0 ] v² = ² · A² − x² 

a=− A· ² · cos · t0 =−² · x Para x = 2 cm:

rad² cm² 5²−2² cm² =84 → v = 9,17 cm/s s² s² rad² cm a=− ² · x=−2² · 2cm=−8 → a = 8 cm∙s­2 (nos piden el valor absoluto) s² s² v² = ² · A²− x² =2²

c)

Fuerza recuperadora:

F = ­k∙x = ­10 N∙m­1∙0,05m = ­0,5 N (cuando la masa está en el extremo derecho) F = ­k∙x = ­10 N∙m­1∙(­0,05m) = +0,5 N (cuando la masa está en el extremo izquierdo) d) Energía mecánica:

1 1 1 Ec= · m · v²= · m· ² ·  A²− x² = · k ·  A²− x²  2 2 2 1 Ep=−∫ F · dx =−∫ −kx dx =∫  kx dx= · k · x² 2 1 1 1 1 N Em=EcEp= · k · A²−x²  · k · x² = · k · A²= ·10 · 0,05² m² =1,25 ·10−2 J 2 2 2 2 m Em = 1,25 ∙ 10­2 J

EXAMEN FÍSICA 2º BACHILLERATO – TEMA 3: ONDAS SOLUCIONES OPCIÓN B Cuestión 1.­ 

dB=10 · log 

a)

I I  →  60=10· log  −12  → I = 10­6 W∙m­2 I0 10 I 1 · r 1 ²=I 2 · r 2 ² → 10­6 ∙ 102 = I2 ∙ (1000)2 → I2 = 10­10 W∙m­2

dB = 20 dB b) Para que deje de ser audible un sonido, su intensidad debe ser igual o menor de 10­12 W∙m­2. 2 1

P=I 1 · 4  · r =I 2 · 4 · r

2 2

I1 10−6 2 2 8 2 →  r =r ·   →  r 2=10 m · −12 =10 m I2 10 2 2

2 1

r2 = 10000 m → r2 = 10 km Cuestión 2.­  a) T = 1/f = 1 / 3,3 s­1 = 0,303 s ; ω=2Πf= 2Π∙3,3=6,6 Π rad∙s ­1

=



K N ; K =² · m=2  · f  ² · m= 2  · 3,3 s−1 ² · 2,5 kg =1075 m m

b)

v =−A· sen t0  ; a=−A ² · cos t0  v max= A· =5· 10−2 m ·6,6  rad · s−1=1,036 m· s −1 −2 −1 2 −2 a max =A · ²=5· 10 m ·6,6  rad · s  =21,5 m · s Cuestión 3.­  a) La longitud de onda es la distancia mínima entre dos puntos que estén en fase. Para ello, el desfase  entre ellos debe ser igual a 2π, por lo que como los dos puntos que nos dan están desfasados π/2 con una  separación de 10 cm, para llegar a un desfase de 2π la separación debe ser 40 cm. λ = 40 cm b)

 0,4 m m v= = =200 T 2 · 10−3 s s

Problema 1.­ a) Amplitud y frecuencia:

Y =A · sen  · t 0 =2 · sen 

=

   rad · t   →  A=2cm ; = 4 2 4 s

 rad 2 =2  · f →   4 s 1 −1 f= = = s =0,125 Hz T 2  2  rad 8

b) Longitud de onda y velocidad de propagación: Un desfase de π radianes corresponde a ½ longitud de onda, por lo que λ = 40 cm. 

 −1 −1 v= = · f =40 cm · 0,125 s =5 cm· s T c)

Expresión matemática de la onda:

 t x  0 →  t x 2 t x 1 Y =A · sen 2  · −   Y =2 · sen 2  · −  =2· sen 2 ·  −   T  2 8 40 2  8 40 4

EXAMEN FÍSICA 2º BACHILLERATO – TEMA 3: ONDAS SOLUCIONES OPCIÓN B d) Expresión matemática de la vibración de un punto situado en x = 80 cm:

t 80 1 t 7  7 Y =2 · sen 2  · −  =2 · sen 2  ·  − =2 · sen · t− ·  8 40 4 8 4 4 2

Velocidad:

V vibración=

dY  7    7 =2· cos  · t− · · = ·cos  ·t− ·  dt 4 2 4 2 4 2

Para t = 20 s:

V vibración=

  7  3 −1 · cos  · 20− · = · cos  =0 cm · s 2 4 2 2 2

Problema 2.­ a) De la gráfica se deduce que A = 5 cm y que Ep (máx) = 0,1 J, luego:

1 Ep=−∫ F · dx=−∫ −kx  dx=∫  kx dx= · k · x² → Ep(máx) = ½ ∙ k ∙ A2 2 2 E p 2 · 0,1 J N k= = =80 A² 0,05² m² m b) Aceleración máxima:

x= A cos· t 0 v =−A· · sen· t0  a=−A · ² · cos ·t 0 =− ² · x → amax = A ∙ ω2 Teniendo en cuenta que F = ­k ∙ x = ­ m∙ω2 ∙ x →  ω2 = k/m Por lo que  c)

a max =A · ²=A ·

k 80 N · m −1 m =0,05 m· =20 m 0,2 kg s²

Energía cinética para x = +2,3 cm:

1 1 1 1 N Ec= · m · v²= · m· ² ·  A²− x² = · k · A² −x² = · 80 ·0,05²−0,023² m² =78,84 · 10−3 J 2 2 2 2 m Ec = 78,84 ∙ 10­3 J Si la velocidad es la cuarta parte de la máxima:

v =−A· · sen · t0  → vmáx = ­A ∙ ω 1 v =−A· · sen  · t0 = ·− A·  → sen (ω∙t + φ0) = ¼ →  ω∙t + φ0 = 0,2527 rad 4 x= A cos · t  0=5 cm · cos 0,2527= 4,84 cm