seXTO Grado - Unidad 6 - Sesión 10

Expresamos relaciones entre magnitudes directamente proporcionales usando tablas y gráficos En esta sesión se espera que los niños y las niñas expliquen mediante ejemplos el uso de tablas o gráficos en el plano cartesiano para comprender la proporcionalidad directa entre dos magnitudes.

Antes de la sesión

Ten listo el papelote con el problema y la tabla. Revisa las Rutas del Aprendizaje de Matemática V ciclo. Revisa la Lista de cotejo (Anexo 1, sesión 9) Revisa las páginas 138, 139 y 140 del libro Matemática 6.

Materiales o recursos a utilizar Papelote. Lápiz, colores, regla. Libro Matemática 6. Lista de cotejo.

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Competencia(s), capacidad(es) e indicador(es) a trabajar en la sesión COMPETENCIAS

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio.

CAPACIDADES

Comunica y representa ideas matemáticas.

INDICADORES

Utiliza tablas o gráficos en el plano cartesiano para expresar la proporcionalidad directa entre dos magnitudes.

Razona y argumenta generando Justifica y defiende argumentaciones propias y de otros ideas matemáticas. usando ejemplos para afirmar que dos magnitudes son directamente proporcionales.

Momentos de la sesión

1.

INICIO

15

minutos

Saluda amablemente, luego dialoga con los niños y las niñas sobre los desastres naturales y sus repercusiones en la sociedad. Desastres como los huaicos se presentan en nuestro país en diversas zonas, especialmente en el área de Chosica, y afectan no solo a la población de esa localidad, sino también a todas las que reciben agua de La Atarjea. Exponen qué piensan de la falta de planificación urbana y prevención ante fenómenos de esta naturaleza, y comentan sobre algunas medidas que creen se deben tener para contrarrestar la caída de un huaico. Recoge los saberes previos; para ello indícales que lean la historieta de la página 139 del libro Matemática 6 y respondan la pregunta que en ella se indica. Conversa con los estudiantes sobre lo que son magnitudes directamente proporcionales y diles que entre estas dos debe haber una relación de proporción, es decir, ambas pueden subir o bajar (aumentar o disminuir) siempre en igual cantidad. Comunica el propósito de la sesión: en esta sesión, los niños y las niñas deberán explicar mediante tablas o gráficos en el plano cartesiano la proporcionalidad directa de dos magnitudes. Acuerda con los estudiantes las normas de convivencia que les permitan aprender en un ambiente favorable. Normas de convivencia Cuidar el material propio y común. Escuchar y valorar las opiniones de los demás.

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2. DESARROLLO 65

minutos

En seguida propón el siguiente problema en un papelógrafo: ¿Sin agua por huaicos? La caída de dos huaicos en Huarochirí y en Chosica obligó a Sedapal a restringir el suministro de agua potable durante varias horas en diversas zonas de Lima y el Callao. Sin embargo, muchas unidades vecinales, ante eventuales cortes de agua, disponen de tanques cisternas con la finalidad de ahorrar agua en estas situaciones en las que solo funcionará su suministro desde las 12 m. hasta las 5 p.m., cuando la situación en la planta La Atarjea se normalice. La cisterna de la unidad vecinal donde yo vivo, el primer día, contaba ya con 50 litros y se ha ido llenando con esa misma cantidad de agua por hora. ¿Cuánta agua se logró recolectar al cabo de cinco horas? Exprésalo en una tabla de valores. Facilita la comprensión del problema presentado. Para propiciar su familiarización pregunta lo siguiente: ¿de qué trata el problema?, ¿qué datos nos brinda?, ¿qué debemos responder?, ¿qué magnitudes emplearás?, ¿cómo usamos una tabla de valores para hacerlo? Propicia la búsqueda de estrategias; para ello consulta lo siguiente: ¿cómo será la relación entre las dos magnitudes presentadas?, ¿cómo podemos hallar la proporción entre estas magnitudes?, ¿cuál es la razón entre ellas?, ¿has resuelto un problema parecido?, ¿cómo lo hiciste? Permite que los estudiantes conversen en equipo, se organicen para construir y explicar sobre la proporcionalidad directa entre dos magnitudes, y respondan las preguntas planteadas.

Las dos magnitudes que se consideran en esta situación son el tiempo y la capacidad. Ambas tienen una relación de proporción directa.

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Observaremos la tabla de valores.

×2

N.° de horas (h) Litros de agua ( )

×3

1

2

3

100

50 ×2

×4

4

150 ×3

×5

5

200 ×4

250 ×5

Pídeles que justifiquen lo que han realizado y observado en la tabla.

Un estudiante pudo haber justificado del siguiente modo: observamos que cuando la magnitud hora aumenta al doble, la magnitud litro también aumenta al doble. Cuando la hora aumenta al triple, el litro también, y así se van incrementando ambas magnitudes en la misma proporción.



Estas son magnitudes directamente proporcionales. Luego, después de cinco horas, la cisterna habrá recibido 250 litros de agua.

Un equipo pudo haber justificado del siguiente modo: la razón entre estas dos magnitudes es el resultado de dividirlas entre ellas. En este caso sería 1 = 0,02. Esta razón es una 50 constante proporcional. Observemos: 1 = 2 = 3 = ... = 0,02 50 100 150

No todas las magnitudes se pueden relacionar de forma directamente proporcional. Algunas lo hacen en una proporción inversa, otras en ninguna de las dos. Ejemplo: la edad y la altura, el precio y la talla de alguna prenda de vestir, etc.

Luego propón la situación siguiente: después de haber recibido agua por 5 horas, cada familia obtuvo 12,5 litros ese día. ¿Se podrá saber cuántos litros de agua se repartirán cuando le toque el turno a la familia 6?, ¿habrá una proporción directa entre estas magnitudes también en este caso?, ¿podrás explicarla usando un plano cartesiano?

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Si se reparten por familia 12,5 litros de agua, también habrá una relación directamente proporcional entre estas dos magnitudes. Observémosla en un plano cartesiano.

Agua repartida (litros)

75 62,5 50 37,5 25 12,5 1

2

3

4

5

6

N.° de familias

Pregúntales: Al unir los puntos, ¿qué figura observas?, ¿cómo hallamos la razón?, ¿qué tipo de relación encuentras entre estas magnitudes? ¿por qué? Dos magnitudes son directamente proporcionales si al representarlas gráficamente, obtenemos una línea recta que pase por el origen.

En nuestro plano cartesiano podemos observar que las magnitudes son directamente proporcionales.

Tienen una razón de

1 = 0,08. 12,5

Sabemos entonces que hasta el momento en que la sexta familia recibió el agua que le correspondía se repartieron 75 litros. Como también conocemos la razón, podemos saber la cantidad de agua que se repartirá cuando la reciba la familia 10, por ejemplo. Esta la hallamos aplicando la regla de tres simple:

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Familia N° 01 --------------- 12,5 litros de agua



Familia N° 10 --------------- X X=

12,5 × 10 = 125 litros 1

Cuando la décima familia haya recibido 125 litros de agua, ya habrán repartido 125 litros del total. Formaliza lo aprendido con la participación de los estudiantes a partir de las siguientes preguntas: ¿cómo sabemos que dos magnitudes son directamente proporcionales?, ¿qué gráficos hemos usado para expresar este tipo de proporcionalidad?, ¿cuál es la característica de una gráfica que presente una relación de proporción directa en un plano cartesiano? En este tipo de relación, ¿qué regla se puede aplicar?

Magnitudes directamente proporcionales

• Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar o disminuir una, la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción. • Se puede expresar en una tabla de valores o en un plano cartesiano. • Si estas magnitudes son directamente proporcionales, deben estar ligadas por un cociente o razón constante. Ejemplos:

5

1,200

10

2,400

15

3,600

doble

Litros envasados

triple

triple

doble

N° Máquinas

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Distancia (km)

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

tiempo = K distancia

0

1

2

Tiempo (h)

3

4

• Si en un plano cartesiano registramos la relación de dos magnitudes directamente proporcionales, una línea recta la representará.

Propicia la reflexión sobre el proceso por el que ha transitado el estudiante para explicar la proporcionalidad directa de dos magnitudes; para ello pregunta lo siguiente: ¿qué son magnitudes directamente proporcionales?, ¿en qué consiste la proporcionalidad directa?, ¿para qué nos ha servido la tabla de valores y el plano cartesiano?, ¿qué magnitudes hemos relacionado?, ¿todas las magnitudes se relacionan con una proporcionalidad directa?, ¿en otros problemas podemos aplicar lo que hemos construido?

Plantea otros problemas Invítalos a resolver el siguiente problema en equipo:

Para limpiar de rocas y lodo las zonas afectadas por el huaico en Chosica, los pobladores usan baldes, palas, tinas y cualquier herramienta que los ayude. Si cada balde tiene una capacidad de 25 litros, ¿cuánto lodo podrán retirar con 6, 9 y 15 baldes de esa capacidad?, ¿qué magnitudes relacionarás?, ¿tendrán una proporcionalidad directa?, ¿cómo lo sabes? Usa un plano cartesiano para expresar la relación de magnitudes. Promueve la comprensión del problema a través de las siguientes preguntas: ¿cómo podemos resolver ese problema?, ¿qué debemos considerar para identificar que dos magnitudes son directamente proporcionales?, ¿cuál es la constante proporcional entre estas dos magnitudes?, ¿para qué nos servirá este dato? Media la resolución y facilita los materiales necesarios.

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3. CIERRE 10

minutos

Conversa con tus estudiantes sobre lo siguiente: ¿qué han aprendido hoy?, ¿qué significa que dos magnitudes sean directamente proporcionales?, ¿cómo hallaron la relación entre estas dos magnitudes?, ¿qué representaciones emplearon para demostrar esta relación?, ¿dio resultados?, ¿cómo se han sentido?, ¿les gustó?, ¿para qué les servirá lo que han aprendido?, ¿cómo complementarían este aprendizaje?

Tarea a trabajar en casa Resuelve los problemas del trabajo individual de las páginas 138 y 140 del libro Matemática 6.

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