Cuaderno Mates II Ud01_05 Cuad.Mates. 2ºESO 01/06/15/lunes 09:06 Página 2

1 Álgebral EXPRESIONES ALGEBRAICAS • El tripe de un número menos «cinco» en lenguaje algebraico se escribe 3x – 5: • 3x – 5 es una expresión algebraica donde x es la incógnita. • La letra x representa un número desconocido. • Si asignamos a la letra x un valor numérico, la expresión algebraica pasará a tener también un valor numérico: Para x = 2 obtenemos 3 · 2 – 5 = 1

1 Expresa en lenguaje algebraico: a) El cuadrado de un número Æ b) El cuádruple de un número Æ c) La suma de un número más su cuádruple Æ d) El cubo de un número menos su mitad Æ e) El triple de un número más 1 Æ f) El cubo de un número Æ

2 ¿Para qué valor de x las siguientes expresiones resultan ser ciertas? a) 3x = 9

c) 6x – 6 = 0

b) 2x = 10

d) –4x = 12

3 Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas de acuerdo a los distintos valores de x:

x 1 2 –1 –2 0

2

x–1

1–x

3x – 3

2x+1

5(x– 2)

x2

x/2

Cuaderno Mates II Ud01_05 Cuad.Mates. 2ºESO 01/06/15/lunes 09:06 Página 3

MONOMIOS Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número por una o varias incógnitas.

Parte literal ↓  − 5 xy 2  ↑

Coeficiente

⎫ El grado de la incógnita y es 2 ⎬ fi El grado del monomio es 2 + 1 = 3 El grado de la incógnita x es 1 ⎭ Los monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. –2xy2, 16xy2 son semejantes

4 Completa la tabla: xy2z3

–x2y

6x3y3

–3x2y6

215x4y3

7xz

Coeficiente Parte literal Grado

5 Escribe un monomio que cumpla las condiciones dadas en cada caso: a) Tener grado 3 y tres incógnitas distintas Æ b) Tener coeficiente negativo, dos incógnitas y grado 5 Æ c) Tener coeficiente 5, una sola incógnita y grado 5 Æ d) Tener coeficiente fraccionario, una incógnita y grado 4 Æ

6 ¿Qué monomios son semejantes entre sí? f(x) = x2y2

h(x) = –3x2y2

j(x) = 5xy2

g(x) = 6xy2

i(x) = 4x2yz

k(x) = –2x2yz

7 Escribe un monomio semejante a cada uno de los dados: a) 50x2y2 Æ

c) –4xyz Æ

b) –3xz3 Æ

d) 7x2z Æ 3

Cuaderno Mates II Ud01_05 Cuad.Mates. 2ºESO 01/06/15/lunes 09:06 Página 4

OPERACIONES CON MONOMIOS Suma y resta Sólo se pueden sumar o restar monomios semejantes. Para ello operamos los coeficientes y mantenemos la parte literal. 3x2 – 8x2 + 5xy = (3 – 8)x2 + 5xy = –5x2 + 5xy Multiplicación y división Para multiplicar o dividir monomios se multiplican o dividen los coeficientes por un lado y las partes literales por otro. 4xy2 · 3x3y = (4 · 3) · (xy2 · x3y) = 12 · (x(1 + 3) y

(2 + 1))

= 12x4y3

20x2y3 : 5xy2 = (20 : 5) : (x2y3 : xy2) = 4 : (x(2 – 1) y (3 – 2) ) = 4xy

8 Calcula: a) xyz + 2xyz – 4xyz =

c) 40y2z – 8y2z – 12y2z =

b) 3x2 + 7x2 – 2y2 =

d) –2x3y + 9x3y – 5xy2 =

9 Completa los monomios que falten: a) xy2z + xy2z – b) 2xy2z +

= –xy2z – 2xy2z = xy2z

c) 2x3y2 – 5x3y2 + d) 4xy + 4xy –

= 2x3y2 =0

10 Realiza los siguientes productos: a) 5y · 5x2y2 =

e) 8x2yz2 · 8x2z2 =

b) (–y2z3) · 2xyz3 =

f) (–10x) · (–5x2yz) =

c) 12x3y · x2y3 =

g) 2x4yz3 · 3x3y3z2 =

d) 5x2y2z2 · (–8xyz) =

h) 9x3y · 3xz =

11 Realiza las siguientes divisiones:

4

a) 20x2z5 : 10xz =

e) 150x2y3z5 : 3xz4 =

b) 2x3z2 : 2x3 =

f) 18x2y2z2 : 6x2z2=

c) 15x5z : (–3x3z) =

g) 49x2z2 : 7x2z2 =

d) (–36x4y2z3) : 12x3y =

h) (–36x2z2) : 6xz =

Cuaderno Mates II Ud01_05 Cuad.Mates. 2ºESO 01/06/15/lunes 09:06 Página 5

DIVISIÓN DE MONOMIOS Para dividir monomios seguiremos los siguientes pasos: 1.º Calculamos el signo del cociente. 2.º Dividimos los coeficientes. 3.º Dividimos las potencias de la misma base una a una. Llamamos fracción algebraica al cociente de dos polinomios.

12 Calcula las siguientes divisiones de monomios: a)

20x2y 5

b) – 12xy 4 2 c) 15a b 5a 4 2 d) – 21x y z 7x2y

e)

4 3 4 3 2 xy : xy 9 8

f) 6xy2 : 5xz

13 Simplifica las fracciones algebraicas: a)

48x4y3z 12x2yz4

3 4 5 b) – 12a5 b2 c3 4a b c

c)

45m2n3q5 9mn4q6

14 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas sacando, previamente, factor común: a)

2xy + 2y 2xy – 2y

b)

3x2y2 + 6x3y 3x2yz – 3x2y2

3 3 c) 2x yza + 2x ybz 3 3 2x yza – 2x ybz

d)

(3x2 – 6x) (9x + 3x2)

e)

(x2 + 3xy) (x + 3y) 5

Cuaderno Mates II Ud01_05 Cuad.Mates. 2ºESO 01/06/15/lunes 09:06 Página 6

POLINOMIOS Un polinomio es una expresión algebraica formada por sumas y restas de dos o más monomios. 2x2y – 6x3y2 + 5xyz – 4xy2 El grado de un polinomio es el grado de su monomio de mayor grado. 2x2y – 6x3y2 + 5xyz – 4xy2 Æ Grado = 5 Si un polinomio tiene monomios de todos los grados, incluido el cero, se dice que es un polinomio completo. Si faltan monomios de algún grado, se dice que es un polinomio incompleto.

15 Reduce y después indica el grado de los siguientes polinomios: a) xy + 9xy + 3x2y – 9x2y = b) 2x2y – 10x2y + 3x4y2 – 2x4y2 + 5xy = c) y2z2 + 2y2z2 – 8y2z – 2y2z = d) u2v2w + 6u2v2w – 7u2v2w + 5u2v2w =

16 Opera e indica el grado del polinomio resultante: a) (–10x2zy + 8x2zy) : 2xzy = b) (4x4y3 + 2x4y3) : 6x2y = c) 8x2y2 · 2xz : 4x2z – 2x2y2 = d) 3xyz · xz + 5x2yz2 + 2xz + 6x2yz2 : 2xy =

17 Reduce las siguientes expresiones: a) (5x2z5 – 15x2z2) : 5xz = b) x · (5x2 – 7y + 2xy) + 3x2y = c) 2xy · 4x2 + 2x2z · 3xyz – 3x2z2 · 3xy = d) –3xyz · 9x2z2 + 6x4y3 : 2xy2 + 3x3y – 7x3y + 12xz3 – 5xyz3 =

e) 6


3x 4 yz 2 4 x 2 z 3x 2 z 2 x 2 z 2 : + + = 5 6 2 2

Cuaderno Mates II Ud01_05 Cuad.Mates. 2ºESO 01/06/15/lunes 09:06 Página 7

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Para sumar o restar polinomios sumamos o restamos sus términos semejantes.

Para sumar dos polinomios se agrupan los términos semejantes y se simplifican haciendo la suma: 3x3 + 4x2 – 4x + 6 2x3 – x2 + 5x 5x3 + 3x2 + x + 6 Para restar dos polinomios se agrupan los términos semejantes, se cambia de signo el polinomio que se resta y se agrupan los términos semejantes: 3x3 + 4x2 – 4x + 6 –2x3 + x2 – 5x x3 + 5x2 – 9x + 6 18 Realiza las siguientes sumas de polinomios: a) (3x2 – x + 4) + (2x2 + 6x – 3)

b) (2x3 – 2x2 – 3x + 2) + (x3 – 2x2 – 3x – 5)

c) (7x2 – 4x2 + 12) + (5x4 + x2 – 5x)

19 Realiza las siguientes restas de polinomios: a) (x4 + 2x3 – 5x) – (– x4 + 2x3 + 8)

b) (2x2 – 3x + 1) – (3x2 – 5x +

c)

1 ) 2

1 3 1 x – 2x2+ 3x – 1) – (2x3 – 5x2 + x + 2) 3 2

20 Efectúa las siguientes operaciones con polinomios: a) 2x4 – [3x2 – (x2 – 2x)] + 1

b) (x3 + x – 1) – [(x2– 2x + 1) – (x3– x2 – 1)] + (x3– x2 + x)

7

Cuaderno Mates II Ud01_05 Cuad.Mates. 2ºESO 01/06/15/lunes 09:06 Página 8

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Para multiplicar polinomios multiplicaremos cada término de uno de ellos por todos los términos del otro polinomio.

Multiplicar los polinomios: 3x3 + 2x2 – 1 y = 4x + 2 3x3 + 2x2 – 1 4x + 2 3 2 6x + 4x –2 12x4 + 8x3 – 4x 12x4 + 14x3 + 4x2 – 4x – 2 21 Dado el polinomio P(x) = 3x3 – 2x2 + x – 2. Calcula los siguientes productos: a) P(x) · 3x3 b) P(x) · (2x – 1)

c) P(x) · (x2 – 2x + 3)

22 Realiza las siguientes operaciones y reduce al máximo el resultado: a) (3x2 – x + x2) + 2x · (x – 2)

b) (3x2 – x + 2) · (– x) + (2x – 1) · (x – 1)

c) (2a – x) · (2x – 3b) + (a – b) · 2x

23 Efectúa los siguientes productos y simplifica el resultado: a) (x – 2) · (2x + 1) + (x2 – 1) · (x + 2)

b) (x + 2y) · (3x – y + 3xy – 1) – 4

8

Cuaderno Mates II Ud01_05 Cuad.Mates. 2ºESO 01/06/15/lunes 09:06 Página 9

DIVISIÓN DE POLINOMIOS Para dividir un polinomio P(x) entre otro Q(x) obtendremos un polinomio cociente C(x) y un resto R(x) tal que: P(x) = Q(x) · C(x) + R(x)

Efectuar la siguiente división de polinomios: (2x3 + 4x2 – 1) : (x2 – 2). Realizamos la división como si de una división numérica se tratase indicando todos los pasos hasta obtener un resto de grado menor que el divisor. x2 – 2 2x3 + 4x2 + 0x – 1 + 4x 2x + 4 – 2x3 2 4x + 4x – 1 +8 – 4x2 4x + 7 C(x) = 2x + 4 y R(x) = 4x + 7 24 Nos dicen que al efectuar la división (2x3 + 5x2 + 3x + 2) : (x2 + 3x + 1), se ha obtenido como cociente C(x) = 2x – 1 y como resto R(x) = 4x + 3. Comprueba si son correctos los resultados.

25 Divide: (4x6 – 4x4 + 6x5) : 2x3

26 Realiza la siguiente división de polinomios: (x4 – 4x3 + 5x2 – x + 3) : (x2 – x + 1)

9

Cuaderno Mates II Ud01_05 Cuad.Mates. 2ºESO 01/06/15/lunes 09:06 Página 10

IDENTIDADES NOTABLES Cuadrado de una suma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Cuadrado de una diferencia: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Suma por diferencia: (a + b) · (a – b) = a2 – b2

• (x + 2)2 = x2 + 2 · x · 2 + 22 = x2 + 4x + 4 • (2x – 1)2 = 4x2 + 2 · 2x · (– 1) + (– 1)2 = 4x2 – 4x + 1 • (a + 3b) · (a – 3b) = a2 – (3b)2 = a2 – 9b2 27 Desarrolla las siguientes identidades notables: a) (2x + 3)2 b) (x2 + x)2 c) (2x – 3)2 d) (ab – 2c)2 e) (2a – c) · (2a + c) f) (4x – 3)2 g) (x2 + 2x)2 28 Desarrolla las siguientes igualdades notables con números racionales: a) (

1 x – 2)2 2

b) (x2 +

c) (

1 2 ) 3

x – x3)2 3

29 Expresa como una igualdad notable: a) 4x2 – 4x + 1 b) x2 + 2xy + y2 c) x2 – 4x + 4 d) x4 + 6x2 + 9 e) x2 + 6ax + 9a2 f) 4x6 – 4x4 + x2 g) 49 – y2 h) X6 – 81 i) 25 – 30x + 9x2

10

Cuaderno Mates II Ud01_05 Cuad.Mates. 2ºESO 01/06/15/lunes 09:06 Página 11

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Para factorizar un polinomio debemos expresarlo como producto de factores irreducible. Se pueden utilizar varias estrategias: unas veces podremos hacerlo sacando factor común, y otras, aplicaremos las identidades notables. Para factorizar: x4 + 8x3 – 3x2 sacamos x2 factor común: x4 + 8x3 – 3x2 = x2 · x2 + 8 · x2 · x – 3 · x2 = x2 (x2 + 8x – 3). Para factoriza x2 – 9 aplicaremos las identidades notables: x2 – 9 = (x + 3) · (x – 3) 30 Extrae factor común: a) 30 x 4 + 5 x 3 − 15 x 2 = 5 x 2 ⋅ 6 x 2 + 5 x 2 ⋅ x − 5 x 2 ⋅ 3 = 5 x 2 ( 6 x 2 + x − 3) b) 6 x 2 yz + 12 xy − 3 xz − 15 x 2 = c) 5 x 2 y + 3 x 2 yz − 2 x 2 yu = d) x 5 y 2 − 2 x 4 y + 5 x 2 = e) x 3 y 2 + 4 x 2 y 3 − xy 4 + 5 y 5 = f) 6u4 v 3w 2 − 12u2v 3w 2 + 4u2v 4 w 2 = 31 Simplifica las siguientes fracciones sacando factor común como en el ejemplo: a)

b)

c)

d)

x2 z + x2 y2

=

x2 + x2 y2

x2 ( z + y2 ) x 2 (1 + y 2 )

=

z + y2 1+ y2

x−y = 3x − 3y

3 x 2 y 2 − xy 5 xy − 2 x 2 y x + xz x + xz 2

=

=

32 ¿Son correctas las siguientes simplificaciones? En caso de que no lo sean, escribe cuál sería la operación correcta. a)

b)

x + xz 2 xz

2

3ab ab + a2

=x

=

3b b+ a

c)

d)

x 2 + yx 2 2

x y

=

x3 y3 x 2 y 2 + yx

1+ y y

= xy

11