Tema 8: Funciones.

TEMA 8: FUNCIONES. 8.1 Función real de variable real. 8.2 Dominio de una función. 8.3 Características de una función: signo, monotonía, acotación, simetría y periodicidad. 8.4 Operaciones con funciones: Suma, producto, división y composición. Inversa de una función respecto de la composición. 8.5 Transformaciones de una función.

8.1

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL. DOMINIO.

Se define función real de variable real a una aplicación que a cada elemento del subconjunto D de IR (x, variable independiente) le hace corresponder un único número real llamado imagen (y, variable dependiente). f: D  IR  IR x  f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f-1 (y). Al conjunto de todos los números reales que tienen imagen por f se le llama dominio de f y se denota por Domf. Domf = { x  IR /  y = f(x)  IR }. Al conjunto de números reales que son imagen mediante f se le llama imagen de f o recorrido y se denota por Rec f. Rec f = {f(x) con x Domf} = {y  IR /  xDomf con y= f(x)}. Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio y las imágenes para el mismo valor de x coinciden, es decir, Domf=Domg y f(x) = g(x)  x  Domf. La gráfica de una función f está formada por los pares de puntos (x,f(x)) con x  Domf.

Ejercicio 1: Expresa mediante una función: a) El precio de una cierta cantidad de café que vale 2 € el kilo. b) El coste de una llamada telefónica, si el establecimiento de llamada es de 0´1 € y la tarifa por un minuto es de 0´2 €. c) La relación entre la altura y la base de un triángulo cualquiera de 6 cm2 de área, si la base es la variable dependiente. d) El área de un cuadrado en función de su diagonal. Ejercicio 2: Representa las siguientes funciones elementales a) f(x) = 2x – 3 b) f(x) = x2 c) f(x) = x

e) f(x) = 2 i) f(x) = log2x

x

f) f(x) = ½ j) f(x) = log1/2x

x x

g) f(x) = e k) f(x) = senx

d) f(x) = x h)f(x)= Ln x l)f(x)= cosx

Ejercicio 3: Página 190, ejercicio 4. Voluntario. 1

Tema 8: Funciones.

Para ellos: página 195, estudio del recorrido, ya resuelto. Para clase: Página 211, ejercicios: 24 (dominio y recorrido), 27, 28, 29, 5, 6 y 12.

8.2

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN.

Para poder representar una función no es suficiente una tabla de valores. Para representarla necesitamos saber sus características: dominio, recorrido, puntos de corte, signo, continuidad, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, etc. La primera que vamos a aprender son los dominios. Para calcular el dominio de una función debemos tener en cuenta que los únicos problemas que tenemos al calcular una imagen son dividir por cero, raíz de índice par de un número negativo y logaritmo de cero o de un número negativo, y por supuesto las restricciones que nos dé un problema o la persona que nos plantea la función. Para calcular el dominio de una función necesitamos atender al tipo de función (polinómica, racional, exponencial, etc) que depende de la forma de su fórmula: Ejercicio 4: Calcula el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = x2 - 2x + 1 b) f(x) = x3 + 1

Conclusiones: Las funciones polinómicas son aquellas cuya expresión viene dada por un polinomio. Su dominio es todo IR, ya que no hay ningún problema para hacer una potencia n-sima, ni para sumar o multiplicar por un número.

2x  1 x 2 x 1 e) f(x)  2 x 2

c) f(x) 

d) f(x) 

x 2  2x  1 x 2  3x  2

f) f(x)  4 4  3x

P(x) El dominio de una función Q( x ) racional es el conjunto de todos los números reales salvo aquellos que anulan el denominador (Q(x)  0). Conclusiones: Las funciones racionales son de la forma

g) f(x)   x2  x  2 i) f(x) 

x 1 x2

h) f(x)  3 x2  x  6 j) f(x) 

7

1 x

Conclusiones: Las funciones irracionales son de la forma f(x) =

n

g(x) , su dominio

coincide con el dominio de g(x) si n es impar y si n es par para calcular su dominio tendremos que tener en cuenta el dominio de g y que el radicando sea positivo o nulo. x2 k) f(x)  l) f(x)  senx x 1 m) f(x)  sen(x2  x  1)  3 n) f(x)  tgx senx x 1 ñ) f(x)  o) f(x)  sen cos x  1 x 2

Tema 8: Funciones.

Conclusiones: En aquellas funciones en cuya expresión interviene las razones trigonométricas, debemos tener en cuenta que el seno y coseno de un ángulo no presentaba ningún problema mientras que la tangente, cotangente, secante y cosecante dan problemas cuando el denominador se anula.

p) f(x)  2x

q) f(x)  e x

s) f(x)  e senx

t) f(x)  e x

2

r) f(x)

x

1

1 ex x 1

u) h(x)  e x2

Conclusiones: Si una función es composición de una exponencial y otra función, para calcular su dominio tan solo tendremos que tener cuidado con la función que está en el exponente.

v) f(x)  log3 (x  1)

w) f(x)  Ln(x2  x  6)

x) f(x)  Lnx2  1

Conclusiones: Si una función es de la forma f(x)=loga(g(x)) a>o, calcularemos su dominio teniendo en cuenta el dominio de g y que la función g(x) sea positiva (no nula). En los siguientes apartados estudiaremos el dominio de funciones a trozos, si estudias la inercia de un objeto en el agua veréis que no sigue la misma “fórmula” en el líquido, en el hielo que en el vapor. Por ello en determinadas circunstancias debemos definir un fenómeno a través de varias fórmulas, dando lugar a las funciones definidas a trozos. Para estudiar su dominio debemos estudiar el dominio de cada función en el intervalo correspondiente y prestando especial atención a los intervalos de definición.

2x / 3  y) f(x)    2  5x 

si  6  x  3 si  1  x  1

x 1   x2  aa) h(x)   2x  3  1  x 

si x  1 si x  2 si  2  x  1 si x  1

 Lnx z) g(x)   5  x

si x  1 si x  1

 x 1  x 2  16  bb ) i(x)   x 2  2x  1 

si x  3 si x  1

** Trabajo de dominios.

8.3

CARÁCTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN: ACOTACIÓN, SIMETRÍA Y PERIODICIDAD.

SIGNO,

MONOTONÍA,

Determinar el signo de una función es hallar para qué valores de su dominio la imagen f(x) es positiva y para cuáles es negativa. Se dice que una función f es estrictamente creciente en el intervalo (a,b) si para cualesquier par de valores x e y de dicho intervalo con x < y entonces f(x) < f(y). 3

Tema 8: Funciones.

Se dice que una función f es creciente en el intervalo (a,b) si para cualesquier par de valores x e y de dicho intervalo con x < y entonces f(x)  f(y). Se dice que una función f es estrictamente decreciente en el intervalo (a,b) si para cualesquier par de valores x e y de dicho intervalo con x < y entonces f(x) > f(y). Se dice que una función f es decreciente en el intervalo (a,b) si para cualesquier par de valores x e y de dicho intervalo con x< y entonces f(x)  f(y). Una función f es constante en un intervalo (a, b) si para cualesquier par de valores x e y de dicho intervalo se verifica que f(x) = f(y). Al estudio del crecimiento y decrecimiento de una función se le llama monotonía. El crecimiento y decrecimiento de una función da lugar a definir unos “puntos” muy especiales llamados extremos relativos. Una función f tiene un máximo relativo en x = a, si existe un entorno de “a” en el cual se verifica que para todo x perteneciente a dicho entorno reducido se tiene que f(x) < f(a). Una función f tiene un mínimo relativo en un x= a, si existe un entorno de “a” en el cual se verifica que para todo x perteneciente a dicho entorno reducido se tiene que f(x) > f(a). Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas si para todo x perteneciente a su dominio se verifica que f(x) = f(-x). También se llama simetría par. Una función f es simétrica respecto del origen de coordenadas si para todo x perteneciente a su dominio se verifica que f(-x) = - f(x). También se llama simetría impar. Esta característica nos ayuda a su representación gráfica. Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que todos los valores que toma la función son menores o iguales que k, es decir, x  Domf se tiene que f(x)  k. Y a k le llamaremos cota superior. Una función f está acotada inferiormente por un número real k si todos los valores que toma la función son mayores o iguales que k, es decir, si xDomf se tiene que f(x)  k. Y a k le llamaremos cota inferior. Una función f está acotada se está acotada superior e inferiormente. Una función f es periódica, de período T (T es un número real positivo) si verifica que f (x + kT) = f(x) para todo x perteneciente a su dominio y para todo entero k. A T le llamamos período de la función f. Ejercicio 5: Indica las características de las siguientes funciones (no olvidar dominio y recorrido): 1 a) f(x) = b) f(x) = 2x + 1 c) f(x) = x2 – 4 x d) f(x) = Lnx e) f(x) = ex f) f(x) = sen x 3 g) f(x) = x h) f(x) = x i) f(x) = x

 2  j) f(x)   x 2 2x 

si x  1 si  1  x  1 si x  1

Ejercicio (Trabajo para los alumnos): Indica las características de las siguientes funciones:

4

Tema 8: Funciones.

a) f(x) = - 2x2 + 3x d) f(x) = tagx g) f(x) = 3x

b) f(x) = -x2 e) f(x) = log2x h) f(x) = x  1

c) f(x) = cosx f) f(x) = log1/2x

Voluntarios: página 211, ejercicios: 33

8.4

OPERACIONES CON FUNCIONES.

1 . Calcular: x a) f(x) + g(x) = (f+g) (x) b) f(x) · g(x) = (f·g) (x) c) f(x) : g(x) = (f:g) (x) Para clase: página 211, ejercicios: 34, 35, 37, 38.

Ejercicio 6: Dadas las funciones f(x) = x + 3 y g(x) =

Son las operaciones que conocemos con los polinomios, con los números,… Con las funciones podemos definir otro tipo de operaciones, ¿qué ocurre si queremos que actúe una función y después otra?, ¿hay una función sea capaz de hacer en un solo paso la aplicación de las dos funciones? Dadas dos funciones f y g definimos la función f compuesta con g como la función que asigna a cada x del dominio de f el número g[f(x)]. Dicha función se denota por gof. f: D  IR  IR x  f(x)

g: D  IR  IR x  g(x)

gof : D  IR x

IR gof(x) = g[f(x).

Ejemplo: Dadas la funciones f(x) = 2x + 3 y g(x) = 1/x. a) Calcula f(2), g(7) b) Calcula (gof) (x) c) Calcula (gof) (2), ¿qué observas? d) Calcula (fog) (x), ¿qué observas? Propiedades de la composición de funciones: a) Propiedad asociativa: h o (g o f) = (h o g) o f b) No tiene la propiedad conmutativa: g o f f o g Ejercicio 7: Dadas las funciones f(x) =

x2  4 h(x) = 2 x 4 y

joi.

, i(x) =

1 1x x 1  1 , interesa poner = , g(x) = , x x x 2

1 y j(x) = 2x - 1. Calcula f + g, g . h, g : i, f o i, i o f, f o g, i o j x2

5

Tema 8: Funciones.

Ejercicio 8: Dadas las funciones f(x) = x2 – 1 y g(x) =

2x  1 . Calcula f o g y g o f.

Para clase: Pág. 211, ejercicios: 40 (añado los apartados d, e, f que están debajo), 41, 42 d) f(x) = cosx y g(x) = 2x

e) f(x) =

1 y g(x) = ex x

f) f(x) = Lnx y g(x) = ex

De la definición de composición de funciones podemos obtener la definición de función inversa respecto de la composición, la inversa de f es otra función f -1 que verifica que f o f -1(x) = f -1o f(x) = x. A la función f(x) = x se llama función identidad. No debemos confundir con la inversa respecto de la división. Para calcular la función inversa debemos seguir los siguientes pasos: 1) cambiar f(x) por y 2) cambiar x por y 3) despejar y, la función obtenida será la inversa. Ejercicio 9: Calcula la función inversa de las siguientes funciones: x 1 1 a) f(x)  b) g(x)  x  1 c) h(x) = x 1 x 2 d) i(x) =

3  2x x

g) l(x) = x2

2x  1

e) j(x)  x2  4

f) k(x) =

h) m(x) = ex

i) n(x) = Lnx

Si quieres comprobar si has hecho bien los cálculos pueden hacer la composición de la función y su inversa. Página 211, ejercicios: 44, 45

8.5

TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES.

A partir de una función conocida (elemental) podemos dibujar gráficas de funciones no tan conocidas, por ejemplo sabemos dibujar f(x) = x2, ¿sabrías representar g(x) = x2 – 4? Vamos a ver, de forma intuitiva, las transformaciones de funciones que pueden estar desplazadas, dilatadas, contraídas o invertidas. Debemos tener en cuenta: a) Para representar g(x) = f(x) + a realizamos un desplazamiento vertical hacia arriba de “a” unidades. Ejemplo. b) Para representar g(x) = f(x) - a realizamos un desplazamiento vertical hacia abajo de “a” unidades. Ejemplo. c) Para representar g(x) = f(x + a) realizamos un desplazamiento horizontal hacia la izquierda de “a” unidades. Ejemplo. d) Para representar g(x) = f(x - a) realizamos un desplazamiento horizontal hacia la derecha de “a” unidades. Ejemplo. e) Para representar g(x) = - f(x) realizamos una inversión de la gráfica. Ejemplo. f) Para representar g(x) = a . f(x) realizamos una dilatación o contracción de la gráfica. Ejemplos. Página 211, ejercicios: 46 a, b, 47 Voluntarios, ejercicios: 1, 2, 17, 18, 19 6