INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA

ANTOLOGÍA DE LA ASIGNATURA

FENÓMENOS DE TRANSPORTE

ELABORADO POR: M. EN C. MARÍA GUADALUPE ORDORICA MORALES

2008

Instituto Politécnico Nacional Unidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología

Fenómenos de Transporte

CONTENIDO I.

Introducción y conceptos básicos. 1.1 Panorama general de los fenómenos de transporte en la bioingeniería 1.2 Sistemas de unidades 1.3 Conversiones 1.4 Conceptos básicos de física y matemáticas 1.5 Ley de Newton de la viscosidad 1.6 Fluidos no Newtonianos 1.7 Viscosidad: Estimaciones

II. Transferencia de cantidad de movimiento. 2.1 Balances de cantidad de movimiento 2.2 Flujo de una película descendente. 2.3 Flujo a través de un tubo circular 2.4 Flujo a través de un espacio anular 2.5 Flujo reptante alrededor de una esfera sólida 2.6 Ecuaciones de variación 2.7 Ecuación de continuidad 2.8 Ecuación de cantidad de movimiento 2.9 Ecuaciones de variación en coordenadas curvilíneas 2.10 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación 2.11 Uso de las ecuaciones de variación 2.12 Factores de fricción. III. Transferencia de energía. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14

Ley de Fourier de la conducción de calor Conductividad térmica: Estimaciones Balances de energía Conducción con disipación térmica Conducción con reacción química Conducción en paredes compuestas Conducción en una aleta de enfriamiento Convección forzada Convección libre Ecuaciones de variación Ecuaciones de energía Ecuaciones de variación en coordenadas curvilíneas Uso de las ecuaciones de variación Coeficientes de transmisión de calor

IV. Transferencia de materia 4.1 4.2 4.3 4.4

Ley de Fick de la difusión binaria Difusividad: Estimaciones Balances de materia Difusión a través de una película de gas estancada

4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

Difusión a una película líquida descendente Ecuaciones de variación Ecuación de continuidad para sistema multicomponente Uso de las ecuaciones de variación Coeficiente de transferencia de masa M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales

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Fenómenos de Transporte

CONCEPTOS BÁSICOS

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Fenómenos de Transporte

I Conceptos Básicos Termodinámica: Forma de aprovechamiento energético de las sustancias, generación de nuevas formas de energía y transferencia de materia. La termodinámica es la ciencia donde se tratan temas que relacionan los sistemas termodinámicos con sus alrededores. De esta relación se desprenden la forma de aprovechamiento energético de las sustancias, la generación de nuevas formas de energía y la transferencia de materia para crear orden o desorden. Donde el sistema esta caracterizado por sus variables termodinámicas las cuales describen el estado del sistema: • • •

Presión Volumen Temperatura

Pabs = Pmanometrica + Patmosferica 0> Pmanometrica Patm > 0

Un sistema termodinámico es una colección de materia que ocupa una región en el espacio sobre el cual se enfoca la atención para su estudio y análisis. Se define los alrededores del sistema como aquella porción de materia que ocupa la región del espacio que está fuera del sistema seleccionado. La superficie que separa el sistema de sus alrededores se denomina frontera del sistema y a través de ésta se realiza la transferencia de energía, materia y/o cantidad de movimiento.

SISTEMA

Transferencia de masa, energía o momento.

Frontera

Fig 1.1 Esquema representativo de un sistema Existen 3 clases de sistema (ver figura 1.2).
Sistemas Aislados: los cuales no pueden intercambiar ni energía ni materia con

el entorno. Sin embargo, cada parte de ésta clase de sistema se constituye en un subsistema rodeado por las partes restantes y por lo tanto, se darán los intercambios de materia y energía para que cuando el sistema alcance el equilibrio, todas las partes del sistema sean indistinguibles.
Sistemas Cerrados: los cuales intercambian energía con su exterior pero no materia.

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Fenómenos de Transporte


Sistemas Abiertos: los cuales intercambian energía y materia con el exterior.

Los sistemas pueden ser Homogéneos (Pueden ser mezclas, pero deben ser medios continuos) y heterogéneos.

Fig 1.2 Diferencia entre los tres tipos de sistemas Para los sistemas homogéneos los fenómenos que involucran el desplazamiento o flujo de masa, energía, o cantidad de movimiento, de denomina fenómeno de transporte, y se modela empleando ecuaciones diferenciales que expresan los flujos en términos de cambios infinitesimales de las variables.

Fig 1.3 Diferencia entre los sistemas homogéneos y heterogéneos

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Sistema de unidades.

Componente


Unidades Básicas: longitud (l), masa (m), tiempo (t), temperatura (T), concentración química (mol), corriente
Unidades derivadas: fuerza (F), velocidad (v ), aceleración (a), presión (P), etc

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Fenómenos de Transporte

TRANSFERENCIA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

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Fenómenos de Transporte

Clasificación de los fluidos Un fluido es una sustancia o medio continuo que se deforma continuamente en el tiempo ante la aplicación de una solicitación o tensión tangencial sin importar la magnitud de ésta. También se puede definir un fluido como aquella sustancia que, debido a su poca cohesión intermolecular, carece de forma propia y adopta la forma del recipiente que lo contiene.


No Newtonianos:

Un fluido no newtoniano es aquél cuya viscosidad varía con la tensión cortante que se le aplica. Como resultado, un fluido no-newtoniano no tiene un valor de viscosidad definido y constante, a diferencia de un fluido newtoniano. Suspensiones densas, lodos, emulsiones, soluciones de polímetros de cadena larga, fluidos biológicos, alimentos líquidos, Pinturas, suspensiones de arcillas, etc.




Newtonianos:

Es un fluido con viscosidad en que las tensiones tangenciales de rozamiento son directamente proporcionales al gradiente de velocidades.

Gases y fluidos de moléculas sencillas, el aire, el agua, la gasolina y algunos aceites minerales. El gradiente de velocidad en un punto es proporcional al esfuerzo cortante en dicho punto. dv / dx α Ƭ

Ecu. 1

El gradiente de velocidad es proporcional al esfuerzo cortante impuesto al fluido (ver fig 1.4). Ley de Newton de la Viscosidad

Fig 1.4 Representación de la les de Newton de la viscosidad Perfil de velocidad en estado estacionario entre dos laminas

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Fenómenos de Transporte


Una vez alcanzado el régimen estacionario es preciso aplicar un fuerza cortante F para conservar el movimiento de la lámina interior. Esta fuerza viene dada por la expresión:

µ es la viscosidad del fluido

El régimen de flujo esta dado por el número de Reynolds, el cual es adimensional. Re = D v ρ / µ

Re < 2100 Flujo laminar Re > 2100 Flujo turbulento

D = Diámetro de la tubería (m) V = velocidad del fluido (m/s) ρ = Densidad del fluido (Kg/m3)

µ = viscosidad del fluido (m s/ Kg)


Plásticos de Bingham la relación de esfuerzo cortante frente al gradiente de velocidad, es lineal pero no pasa del origen.

Ƭ=Ƭ0 +  (dv/dY) Ƭ0 = Tensión o esfuerzo de fluencia  = Viscosidad plástica
Pseudo plásticos y dilatantes que siguen un comportamiento potencial (Fluido de la ley de la potencia) la relación entre esfuerzo cortante y gradiente de velocidad no es lineal.

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Log Ƭ = log K (dv/dy) Log Ƭ =  log K (dv/dy) Log Ƭ =  log K +  log (dv/dy) Plásticos en general tienen características de plásticos de Bingham Ƭ= Ƭ0 + K (dv/dy)

 es el indice de comportamiento del fluido

La densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento sigue la dirección del gradiente negativo de velocidad por lo que el gradiente de velocidad se considera como una fuerza impulsora del transporte de la cantidad de movimiento. La viscosidad es la propiedad de un fluido que se opone al movimiento relativo de capas adyacentes en el fluido. La viscosidad en gases la densidad aumenta con la temperatura. La viscosidad en líquidos disminuye al aumentar la temperatura. En gases, la cantidad de movimiento se transporta por las moléculas que se desplazan libremente, mientras que en los líquidos el mecanismo principal del transporte de cantidad de movimiento coincide en el choque efectivo de las moléculas.

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Fenómenos de Transporte

Principio de estados correspondientes Establece que todas las sustancias puras en la región fluida pueden describirse con las ecuaciones de funcion de dos variables reducidas. PV = z RT

Pr = P / Pc

Tr = T / Tc

Ƭyx = - µ ( dvx/dy) Ƭyx [=] N/m2, dina/ cm2 Vx [=] m / s , cm / s Y [=] m, cm µ [=] Kg/ms ó g / cms ó poise

Ley de Newton de la viscosidad

V = µ/ ρ

[ = ] m2/s

Viscosidad cinética

Métodos para determinar la viscosidad
Método de Uyehara. El valor de µc se puede estimar con la siguiente expresión. µc = 61.6 (PMTc) ½ (Vc) -2/3 µc = 7.70 PM ½ Pc 2/3 Tc -1/6 µc [=] micropoises Pc [=] atmosferas (atm) Tc [=] kelvin (K) Vc [=] cm3 / g mol

Ecu.

1.a

Ecu 1.b

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Fenómenos de Transporte

Fig 1.5 Viscosidad reducida µr = µ/ µc, en función de la temperatura reducida, para distintos valores de la presi6n reducida Pr = P / Pc. [O. A. Uyehara y K. M. Watson, Nur. Perroleum News, Tech Section 36,764 (Oct. 4, 1944); revisada por K. M. Watson (1960). Una versi6n a gran escala de este gráfico se inserta en 0. A. Hougen, K. M. Watson y R. A. Ragatz, C. P. P. Chats Wiley, Nueva York (1960), Segunda edición.

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Ejemplo 1.1 Calcule la viscosidad del Nitrógeno molecular (N2) a 50 °C y 854 atm utilizando el método de Uyehara. PM = 28.02 Pc = 33.5 atm (obtenido de tabla) Tc = 126.2 K (obtenido de tabla) T = 50 °C = 323 K P = 854 atm µc = 180 x106 g / cm s (teórico) Aplicando la ecuación 1.b se obtiene:

Calculando la Temperatura y Presión reducida para interpolar en la grafica 1.5 se tiene:

En la Fig. 1.5 se lee que µ/µc = 2.39 = µr aproximadamente. Por tanto, el valor estimado de la viscosidad es:

El valor experimental es 455x10-6. El error en este caso es mínimo por lo que el método es aceptable. Nota: se le deja al alumno que compruebe el resultado utilizando la ecuación 1.a




Método de Kobayashi

El valor de µc se puede obtener de tablas.

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Fenómenos de Transporte

Fig. 1.6 1.6 Viscosidad reducida µr = µ / µc en funci6n de la presión reducida Pr = P / Pc, y la temperatura reducida Tr = T / Tc,. [N. L. Carr, R. Kobayashi y D. B. Burroughs, Am. Insr. Min.& Met. Engrs., Petroleum Tech., 6, 47 (1954).

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Fenómenos de Transporte

Postulados de la teoría cinética de los gases • • • • •

Gases constituidos por partículas que se mueven en línea recta y al azar Movimiento se modelan si las partículas chocan entre si o con las paredes del recipiente. La velocidad de las partículas se considera despreciable Entre partículas no existen fuerzas de atracción ni de repulsión La energía cinética media de las partículas es proporcional a la temperatura absoluta del gas.


Método por la ecuación de Chapman-Enskog Se basa en la teoría cinética de los gases, esta teoría da expresiones de los coeficientes de transporte en función de la energía potencial de interaccione entre dos moléculas de gas.

donde ϵ/K = 0.77 Tc ϵ/K = 1.15 Tb ϵ/K = 1.92 Tm

σ = 0.841 Vc1/3 ó 2.44 (Tc/Pc)1/3 σ = 1.116 V 1/3 σ = 1.22 V1/3

ϵ/K [=] K

σ [=] Amstrong Pc [=] atm µc [=] g / cm s

Ejemplo 1.2 La viscosidad del CO2 a 45.3 atm y 40.3 °C, es 1800 x 10 -7 poise. Estimar el valor de la viscosidad a 114.6 atm y 40.3 °C. Utilizando el método de Kobayashi. T1 = 40.3 °C = 313.5 K P1 = 45.3 atm µ1 = 1800 x 10-7 poise por lo tanto la Pr y Tr son:

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Con estos valores se interpola en la grafica de la figura 1.6 y se tiene una µ# de 1.12 que corresponden a las condiciones iníciales del problema, por lo tanto µ° = µ/µ# es de: 1610 x 10 -7 poise Y para calcular a las condiciones deseadas: T2 = 313.5 K P2 = 114.6 atm µ2 = ? ? por lo tanto Tr = 1.03 y Pr = 1.57 interpolando µ# = 3.7 para calcular la viscosidad se tiene: µ = µ# µ° = (3.7) (1610 x 10-7poise) = 5957 x 10 -7 poise El valor experimental es de 5800 x 10 -7 poises. Ejemplo 1.3 Calcular la viscosidad del CO2 a 1 atm y: a) 200 K b) 300 K c) 800 K T (K) 200 300 800

σ

ϵ / k ( K)

KT/ϵ

Ωµ

3.996 3.996 3.996

190 190 190

1.053 1.579 4.21

1.549 1.296 0.96

µ experimental (x 10 -4) 1.015 1.495 -----

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2. Distribución de velocidad Vx, y , z , θ, r = variables que se utilizan en las ecuaciones de cantidad de movimiento. Ecuación general de Balance de Cantidad de movimiento Entrada – Salida + Generación – Consumo = Acumulación

>0 0 2100

Ecuación de Bernoulli

Daniel Bernoulli (1700-1782)

Fig 3.4 Representación grafica de la ecuación de Bernoulli Energía contenida en el elemento del fluido. E = Ef + E p + Ek

Por la primera ley de la termodinámica E1 = E2

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Fenómenos de Transporte

Ecu 3.17 Restricciones: 1. 2. 3. 4.

Fluido incompresible Sin dispositivos mecánicos entre las secciones de interés Sin transferencia de calor hacia dentro o fuera del fluido Sin perdida de energía por fricción

Ecuación general de la energía •

Ampliación de Bernoulli Elimina las restricciones 2 y 4

Ecu Ecu 3.18 Donde: Energía si hay bomba Energía removida Perdidas menores (por fricción)

k = coeficiente de resistencia (adimensional) Ecuación de Darcy (flujo turbulento y laminar) Factor de fricción de Darcy (adimensional) Ecuación de Hagen-Poiseville (Flujo laminar) Laminar Turbulento Diagrama de Moody

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Fenómenos de Transporte

Ejemplo: De un recipiente grande fluye agua con una rapidez de 1.2 ft3/s, a través de un sistema de conductos como el que se muestra en la figura 3.4. Calcula la cantidad total de energía perdida en el sistema debido a la presencia de válvula, codos, las entradas del tubo y la fricción del fluido. 1

Pman = 0 V=0

12 ft

Flujo

13 ft D = 3 in

Solución: aplicando la ecuación 3.18 Ya que Pman es cero

Porque el D Es> tubo2

Po lo que la ecuación queda:

Ecu Ecu 3.1 3.19 Datos:

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Despejando

Fenómenos de Transporte

de la ecuación 3.19

Sustituyendo los valores

Problemas 1. Encuentre la rapidez de flujo de agua que sale de un tanque. El tanque esta sellado y tiene una presión de 140 KPa por encima del agua, hay una perdida de energía de mientras el agua fluye por la boquilla. Realiza el esquema con todos los parámetros y condiciones. El tanque esta lleno a 2.4m y diámetro del tanque de 50 mm. Determina el flujo másico. Solución:

2. Una cañería de agua consiste en un conducto de presión hecho de concreto de 18 in de diámetro, calcule: La caída de presión en un tramo de 1 milla de longitud, debido a la friccion en la pared del conducto si este transporta 15 ft3/s de agua a 50 °F 3. En la figura se muestra una parte de un sistema de protección contra incendios en el cual una bomba saca agua a 60°F de un recipiente y la transporta al punto B, con una rapidez de flujo de 1500 gal/min. Calcula la altura h requerida para el nivel del agua en el tanque, son el fin de mantener 5 psi de presión relativa en el punto A. A 50 y 60 °F el peso específico del agua es de 62,4 lbf/pie3 Para tubo de acero calibre 40 de 8 pulgadas el diámetro interno es 0.6651 pie Para tubo de acero calibre 40 de 10 pulgadas el diámetro interno es 0.8350 pie

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Fenómenos de Transporte

TRANSFERENCIA DE ENERGÍA

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Transferencia de energía Mecanismos de transmisión de calor. Conducción: el calor se desplaza desde el extremo con más calor hacia el más frio. Convección: transporte de energía interna, el calor se transfiere por el mezclado de los materiales y por conducción. . Radiación: el medio a través del cual se transfiere el calor casi nunca se calienta. Básicamente, este mecanismo consiste en una transferencia de calor por radiación electromagnética. Conducción: En sólidos, agitación de moléculas mas próximas al foco de calor se propaga a las moléculas vecinas sin que se muevan de lugar. Buenos conductores de calor (metales), conducen con dificultad el calor (madera y corcho). Aislamiento térmico: se recubren superficies con materiales que no sean buenos conductores. El calor también puede ser conducido en líquidos y gases los cual se verifica mediante la transferencia de energía.

Ley de Fourier

Fig 4.1 Formación del perfil de temperatura en estado estacionario en una placa solida situada entre dos laminas; véase un caso análogo para transporte de cantidad de movimiento. Donde: q [=] cal/cm2s k = conductividad térmica [=] cal / cm s K T [=] K Y [=] cm

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Fenómenos de Transporte

Difusividad térmica Conductividad térmica: Se estima a partir generalmente de las propiedades críticas, pero los métodos gráficos que se utilizan están basados en el principio de estados correspondientes y son análogos a los que se usan para viscosidad. K = f(T,P) Teoría de la conductividad calorífica de los gases a baja densidad. Las conductividades caloríficas de los gases monoatómicos diluidos se conocen muy bien y pueden predecirse con exactitud mediante la teoría cinética. En cambio, la teoría de los gases poliatómicos se ha desarrollado tan sólo de una forma parcial, si bien existen algunas aproximaciones groseras que tienen interés. Para gases monoatómicos se tiene la ecuación de Chapman-Enskog

Ecu 4.1 Donde: K [=] [=]

Amstrong ( )

T [=] Kelvin (K) PM [=]

se obtiene de la tabla B-2

gas monoatómico Poliatómicos (Eucken)

Numero de Prandtl

Ecu 4.2

Ecu 4.3 4.3

Ecu 4.4 4.4

Ésta es la fórmula de Eucken para el número de Prandtl de un gas poliatómico a baja densidad. M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales

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Fenómenos de Transporte

Ejemplo: método de Owen Estimar la conductividad térmica del etano a 67.2 °C y 191.9 atm, si a 1 atm y 67.2 °C Kc= 0.0237 Datos: Etano Tc = 305.4 K Pc = 48.2 atm T = 67.2 °C = 340.35 K P = 191.9 atm

Bajo las condiciones de 67.2 °C y 1 atm

Distribución de temperatura en sólidos Flujo laminar Procedimiento similar a los problemas de transferencia de cantidad de movimiento. La ecuación de balance de energía se describe de la siguiente forma:

Ecu 4.5 Los mecanismos por los que se puede entrar o salir energía del sistema son conducción y transporte conectivo (causado por el movimiento global de fluido), la energía que entra o sale de esta forma se le llama calor sensible. Se considera que la energía calorífica se produce por degradación de energía eléctrica, mecánica (disipación viscosa), y convección de energía química en calor.

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Fenómenos de Transporte

Condiciones límite: Las más frecuentes son: a) T = T0 temperatura de superficie conocida b) q = q0 densidad de flujo de calor en la superficie conocida c) En interface solida-fluido se tiene: q = h ( T – Tfluido ) ley de enfriamiento de Newton Donde h es un coeficiente de transferencia de calor d) En interface solido-solido puede estar determinada la conductividad de T y q. Ejemplo: Conducción de calor con un manantial calorífico de origen eléctrico. se considera un alambre de sección circular de radio R y conductividad eléctrica ke (ohm-1 cm -1). Por el alambre circula una corriente eléctrica, cuya densidad de corriente es Z (amps cm-1). La transmisión de una corriente eléctrica es un proceso irreversible, y parte de la energía eléctrica se transforma en calor (energía calorífica). La velocidad de producción de calor por unidad de volumen viene dada por la expresión:

Ecu 4.6 Se es el calor que se origina debido a la disipación eléctrica. Se supone que el aumento de temperatura en el alambre no es grande, de forma que no es preciso tener en cuenta la variación de las conductividades eléctrica y calorífica con la temperatura. La superficie del alambre se mantiene, a la temperatura To. Vamos a demostrar cómo se puede determinar la distribución radial de temperatura en el interior del alambre caliente.

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Fenómenos de Transporte

Fig 4.2 flujo de calor en un alambre de radio R Realizando el balance de energía contemplando la entrada y salida, puesto que es Edo estacionario y flujo laminar, se obtiene la ecuación:

Ecu 4.6 Resolviendo el limite, notamos que se obtiene la derivada de rqr con respecto a r, y resolviendo la ecuación diferencial para obtener la densidad de flujo de energía.

Ecu 4.7 Aplicando las condiciones límite nos damos cuenta que c1 tiene que ser cero CL1 r=0 no es infinito (nulo), por lo tanto la densidad de flujo de energía para este alambre es:

qr

Ecu 4.8 Sustituyendo la densidad de flujo de energía en la ley de Fourier (fig 4.1)

Ecu 4.9 Resolviendo la ecuación de diferencial de primer grado. (donde k es constante)

Ecu 4.10

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CL2

T= To

Fenómenos de Transporte y

r=R

Con estas condiciones se encuentra c2 y sustituyendo en la ecuación 4.10se obtiene que el aumento de la temperatura es una función parabólica de la distancia r medida desde el eje del alambre.

Ecu 4.11 4.11 Ejercicio: Conducción de calor en un anillo circular: El color fluye a través de una pared angular cuyo radio interno es r0 y el contorno r1.la conductividad calorífica varia linealmente con la temperatura desde r0 a la temperatura T0 hasta r1 a la temperatura T1. Descubrir una expresión para el flujo de calor a través de la pared situado en r = r0

Solución:

Fig 4.3 4.3 perfil de temperatura en una pared anular

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Fenómenos de Transporte

Conducción de calor por disipación viscosa:

Fig 4.4 4.4 flujo entre dos cilindros con generación de calor de origen viscoso. El fluido comprendido entre las líneas de trazo se presenta en forma idealizada en la siguiente figura.






Fig 4.5 Forma idealizada de una parte del sistema de flujo de la figura 4.4 en el que ha desaparecido la curva de las superficies cilíndricas

Fluido newtoniano incompresible Estado estacionario A= 0 Cilindro exterior gira con velocidad Ω La friccion genera calor b PA2 PB2 > PB1

al se P = cte, los moles netos de A que difunden deben ser iguales a los de B, por lo tanto, JAB* = -JBZ* Pero P = Pa + PB = cte, por lo tanto c = cte

Así

Diferenciando dCA = - d CB

Pero dCA = - d CB → DAB = DBA

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Fenómenos de Transporte

Ejemplo: En un tubo uniforme de 10 cm de largo se difunde NH3 (g) en N2 (g) a 1x105 Pa y 298 K. en el punto 1 la PA1= 1x104 Pa y en 2 PA2= 0.5 104 Pa. DAB = 0.025 x 10-4 m2/s. Calcule JA* en estado estacionario.

Caso general para la difusión de gases A y B mas convección JA* = VAd CA [=] Kgmol A / m2 s VA= velocidad de difusión [=] m/s VM = velocidad molar promedio de velocidad del flujo respecto a un punto estacionario.

VA

VA = VAd + VM Velocidad de difusión = difusión + velocidad conectiva VA = VAd + VM por CA………… Ecu 5.13 CA VA = CA VAd + CA VM…………… Ecu 5.14 5.14

VAd

VM

Cada término es un flujo especifico NA = JA* + CA VM

………………………… Ecu 5.15 5.15

N = flujo conectivo total de la corriente general respecto al punto estacionario N = C VM

= NA + NB

……………… ………………….

Ecu 5.16 5.16

Ecu 5.17 5.17

Sustituyendo la ecuación 5.17 en la ecuación 5.18

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Fenómenos de Transporte ……………….

=

ley de Fick =

Ecu 5.18 5.18

………………… Ecu 5.19 5.19

Se sabe que XA = CA /C

……………… Ecu 5.20 5.20 Ecuación general para la difusión + convección, para resolver se debe conocer la relación entre NA + NB. Es valida para la difusión en gases, líquidos y sólidos. Para contra difusión equimolar. NA = JA* = - NB = -JB*

Ecu 5.21 5.21

Caso particular a difunde y B en reposo Estado

estacionario

Algún limite al final de la trayectoria de difusión al componente B por lo que no puede atravesarlo. PA2 = 0 por lo que el volumen de B es muy grande en relación al de A •

Ley de Raoult

•

Ecuacion de Antoine

De la ecuación

Sabiendo que NB = 0 por lo tanto reacomodando la ecuación queda:

Si

y

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Fenómenos de Transporte

Nos damos cuenta que se trata de una ecuación diferencial de primer orden, al resolver esta ecuación obtenemos:

Se considera la media logarítmica de B inerte. P = PA1 + PB1 = PA2 + PB2 PB1 = P – PA1; PB2 = P – PA2

Por lo tanto

DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACION EN SOLIDOS Y EN FLUJO LAMINAR

Ecu 5.22 Difusión molecular Transporte correctivo C O N. A L T A

C O N.

difusión

A L T A

Reacciones Químicas Homogeneo

Heterogénea

Cambios de concentración en todo el volumen (en ecuación de variación se toma como generación)

Puede tener catalizador, cambio de concentración, primero en la superficie de catalizar y después se desplaza. RA = Kn’’’ CAn|superficie.

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2

RA [=] moles/ cm s

Fenómenos de Transporte

NAZ|superficie = Kn’’ CAn|superficie CA [=] moles/ cm3 n = orden de la reeaccion

Nota En la reacción heterogénea la Generación se toma en cuanta en el balance Balance de materia Condiciones limite a) XQ = XAb en una superficie b) En una superficie se puede conocer NA si se conoce NA | NB, por ejemplo NA = NA0 c) Para difusión en un solido sumergido den un fluido NA0 = KC ( CA0 – CAf) d) Puede conocerse la velocidad de reacción en la superficie, por ejemplo NA0 = K1‘’CA Ejemplo:

Fig 5.5 Difusión de A en estado estacionario a través de B inmóvil. El grafico indica la forma en que se distorsiona el perfil de concentración debido a la difusión de A. Consideraciones: • •

Solubilidad de B en A es despreciable NB = 0 Z = Z1 es constante

• • • •

En interfase se tiene EVL, por lo tanto A+B = mezcla gaseosa ideal T,P del sistema son constantes, por lo tanto c = cte Estado estacionario.

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Fenómenos de Transporte

Aplicando el balance de materia se obtiene: Entrada – Salida = 0

En la que S es el área de la sección transversal de la columna., dividiendo la ecuiacion entre (- S∆z) y aplicando el limite:

Sustituir la ecuación obtenida en la ecuación 5.22

Resolviendo la ecuación diferencial sabiendo que c DAB son constantes

Volviendo a integrar:

Ecu 5.23 Aplicando las condicione límite: CL1 z = z1 XA = XA1 CL2 z = z2 XA = XA2 Una vez encontradas las constantes de sustituyen en la ecuación 5.23

Ejercicio: Difusión a través de una película esférica no isotérmica a) Deducir el perfil de concentración y la densidad de flujo molar para la difusión a través de una envoltura esférica.

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En estado estacionario sucede en el secado de pequeñas gotas y en la difusión a través de películas gaseosa que rodean a partículas catalíticas esféricas.

Solución:

Ejercicio: Difusión desde una gotita a un gas estancado Una gotita de la sustancia A esta suspendida en una corriente del gas B. El radio de la gota es r1. Se admite que existe una película esférica de gas estacionario de radio r2. (Use la figura anterior). La concentración de A en la fase gaseosa es XA1 para r = r1 y XA2 para r = r2. a. Demostrar, mediante un balance aplicado a una envoltura, que para la difusión en estado estacionario, r2NAr1, es una constante cuyo valor en la superficie de la gotita es r2NAr1. b. Demostrar que la Ec. 5.22 y el resultado del apartado (a) conducen a la siguiente ecuación para xA:

c. Integrar esta ecuación entre los limites r1 y r2 conel fin de obtener

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REFERENCIAS


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Bird, R., Byron, W.E., Stewart, E.N., Lightfoot. Fenómenos de transporte, un estudio sistemático de los fundamentos del transporte de materia, energía y cantidad de movimiento. Reverte, México, 1ª. Edición, 1993.
Garcell Puyans, L. Transferencia de cantidad de movimiento, calor y masa. Ministerio de Educación Superior de Cuba – IPN. México 1998.
Geankoplis Ch. J., Procesos de transporte y principios de procesos de separación. compañía Editorial continental, cuarta Edición México, 2006.
Sisson, E. Elements of transport phenomena, Mc. Graw Hill, Mèxico, 1972.
Treybal, J.C. Operaciones de transferencia de masa. Mc. Graw Hill, Mèxico, 1980.
Welty, J.R. Fundamentos de transferencia de momento, calor y masa. Limusa, México 1972.

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