GUIA No 1 EDO 1) Pruebe que si { f n } es una sucesión de funciones equicontinuas en el intervalo [a, b] y { f n (x)} es acotada para todo x ∈ [a, b] entonces existe una subsucesion f nk

{ }

uniformente convergente. Nota: Este resultado es conocido como teorema de ArzelaAscoli. 2) Demuestre el teorema de existencia y unicidad de EDO mediante el teorema de Arzela Ascoli. 3) Demuestre que si ( X , d ) es un espacio métrico completo y la función T : ( X , d ) → ( X , d ) satisface que d (T ( x), T ( y )) ≤ αd ( x, y ) para todo x, y ∈ X y α ∈ (0,1) fijo entonces existe x* tal que T ( x* ) = x* . Nota: Este resultado es conocido como teorema de punto fijo.

4) Demuestre el teorema de existencia y unicidad de EDO mediante el teorema de punto fijo. 5) Dada el PVI y ' = f (t , y ), y (to ) = yo se define las quebraditas de Euler a la aproximación yh (t ) dada por yh (ti +1 ) = yh (ti ) + hf (ti , yh (ti )) donde {ti } es una sucesión infinita de puntos equidistante, ti +1 > ti , h = ti +1 − ti , y (to ) = yo y yh (t ) = yh (ti ) + (t − ti ) f (ti , yh (ti )) si t ∈ (ti , ti +1 ) . Suponga que f (t , y ) = ay con a > 0 constante, demuestre que este caso las quebraditas de Euler convergen a la solución del PVI.

6) Demuestre el teorema de existencia y unicidad de EDO usando las quebraditas de Euler. 7) Demuestre el teorema de la función inversa. 8) Demuestre el teorema de existencia y unicidad de EDO usando el teorema de la función inversa. 9) Demuestre el teorema de la función implícita. 10) Demuestre el teorema de existencia y unicidad de EDO usando el teorema de la función implícita. 11) ¿Será cierto que el teorema de la función inversa y la función implícita son equivalentes? Si su respuesta es afirmativa establezca la demostración. De lo contrario construya un contraejemplo. t

12) Demuestre que si x(t ) ≤ h(t ) + ∫ k ( s ) x( s )ds con k (t ) ≥ 0 entonces to

t ⎛t ⎞ x(t ) ≤ h(t ) + ∫ h( s )k ( s ) exp⎜⎜ ∫ k (u )du ⎟⎟ds . to ⎝s ⎠

13) Considere el PVI y '+2 y = cos( x), y (0) = 1 y utilice el comando DEplot de Maple para obtener la siguiente grafica.

Haga una interpretación de dicha grafica en relación al PVI planteado. 14) Utilice las quebraditas de Euler para evaluar la solución del PVI y ' = x 2 + y 2 , y (0) = 0 en y (0.5) con error de 10−3 . 15) Considere el PVI y ' = f (t , y ), y (to ) = yo cuya función f (t , y ) es analítica. Establezca y demuestre un teorema de existencia y unicidad de EDO basado en el desarrollo de Taylor de la solución. 16) Acomode la prueba de unicidad, dada en clase, para la ecuación diferencial lineal de primer orden sin hacer uso de la solución general. 17) Establezca al menos tres diferencias que deben tener las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales. Utilice ejemplos para mostrar que las diferencias ocurren realmente. 18) Demuestre la siguiente versión del teorema de existencia y unicidad de EDO: Considere el PVI y ' = f (t , y ), y (to ) = yo donde f ∈ C ([to − a, to + a ] × [ yo − b, yo + b]) y tal que f (t , y ) − f (t , x) ≤ ϕ ( y − x ) . Si ϕ (u ) es continua y no decreciente para u > 0,

ϕ (0) = 0 y

x

du

∫ ϕ (u ) = +∞ con x > 0 entonces la solución del PVI existe y es única. 0

Guia No. 2 EDO 1) Resolver las siguientes ecuaciones: (4y+yx2)dy-(2x+xy2)dx = 0, y´+y2sen(x) = 0, y´sen(x) = yln(y) si y(π/2) = e, y´= (xy+3x-y-3)/(xy-2x+4y-8). 2) Resolver las siguientes ecuaciones: (y+xcot(y/x))dx-xdy=0, (x+√(y2-xy))dy/dx=y si y(1) = 1, 2(x2y+√(1+x4y2))dx+x3dy=0, yx2dx-(x3+y3)dy = 0 si y(0) =1. 3) Resolver las siguientes ecuaciones: (tan(x)-sen(x)sen(y))dx+cos(x)cos(y)dy=0, (2xy2+yex)dx+(2x2y+ex1)dy = 0, (yexy+4y3)dx+(xexy+12xy2-2y)dy = 0 si y(0) =2, (3xy3+4y)dx+(3x2y2+2y)dy = 0, 2xyln(y)dx+(x2+y2√(y2+1)dy=0, xdy+ydy = (x3+3x2y+3xy2+y3)(dx+dy), (xy-1)dx+(x2-xy)dy=0, y(x+1)dx+x(y+1)dy = 0, (xy2y)dx+(x2y+x)dy=0, (cos(x)-sen(x)+sen(y))dx+(cos(x)+sen(y)+cos(y))dy = 0. 4)Resolver las siguientes ecuaciones: (1+x2)dy+2xydx = f(x)dx, si f(x)=x para x en [0, 1) y f(x)=-x para x en [1, ∞), y(0) = 0. 1

5) Resolver ∫ ϕ (αx)dα = nϕ ( x) . 0

y´+y/x=x2, 6)Resolver (x+2)2dy/dx=5-8y-4xy, 2 (y -1)dx=y(x+y)dy, (2x-y´+y)√(1+x) = 1+2x.

cos(y)dx=(xsen(y)tan(y))dy,

7) Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son aquellas de la forma y´+p(x)y=q(x)yn donde n ≠ 0,1. Demuestre que mediante el cambio de variable w = y1-n dicha ecuación se transforma en w´+(1-n)p(x)w = (1-n)q(x) que es una ecuación lineal de primer orden. 8) Resuelva la ecuaciones diferenciales: xy(1+xy2)y´=1, 2y´-(1/x)y = -x/y2 con y(1) = 1, y´= 3x2/(x3+y+1), y´= x/(x2y+y3), dx/dy-(2/y)x=√y(x/y2)3/2 con y(1) = 1. 9) La ecuación diferencial de Riccati es de la forma y´=P(x)y+Q(x)y2+R(x). En conocido que dicha ecuación no se puede resolver de manera general por métodos elementales. Demuestre que si φ(x) es una solución particular de la ecuación de Riccati entonces su solucion general es de la forma y = φ(x) + f(x,C) donde f(x,C) es la solución general de una ecuación de Bernoulli. 10) Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales: y´-3yy2+4=0 si φ(x)=1, y´-(1/x)y-(1/x2)y2+1=0 si φ(x) = x, y´-y2+(1/x)y-1+1/(4x2) = 0 si φ(x) = 1/(2x)+tan(x). 11) La ecuación diferencial de Lagrange es de la forma y = xf(p)+g(p) donde p = dy/dx con f y g funciones conocidas. Demuestre que derivando dicha ecuación respecto a “x” y tomando a “p” como variable dependiente se obtiene la se obtiene la siguiente ecuación lineal de primer orden x´(p)-f´(p)x(p)/(p-f(p)) = g´(p)/(p-f(p)). Demuestre que la solución general de la ecuación de Lagrange viene dada por el sistema de ecuaciones determinado por la solucion general de la ecuación lineal x = F(p,C) y y = xf(p)+g(p). 12) Resuelva las siguientes ecuaciones de Lagrange:

y = 2xy´-2y´+1, y(y´)2+(2x-1)y´=y, y=-(y´)2x+(y´)2+1, y = (y´-1)x+ay´+b donde a, b son constantes. 13) Resuelva la ecuaciones diferenciales: (y´-sen(x))((y´)2+(2x-ln(x))y´-2xln(x))=0, n2(y´)2-x2n=0 donde n≠0, (y´)3-y(y´)2-x2y´+x2y = 0. 14) Resuelva la ecuaciones diferenciales buscando su solución general y la solución singular: y+(y´)2=xy´, y=xy´+(1+(y´)2)1/2, y = xy´-ey´, y = xy´+1/√(y´-1), y = xy´+√(1(y´)2)-y´arccos(y´). 15) Resuelva la ecuación y´=3y/x usando el comando int() de MAPLE 16) Resuelva el PVI y´= xy(1+x2)-1/2 con y(1) =1 usando el comando dsolve() de MAPLE. 17) Resuelva la ecuación (2xy2+yex)dx+(2x2y+ex1)dy = 0 usando el comando dsolve() de MAPLE. 18) Suponga que desea resolver la ecuación y´+exp(-x2)y = sen(x)/x con y(0) =1. Determine los valores de la solución y(x) en x =1/2, x = 1 y x = 10 usando series de potencias. 19) Suponga que desea resolver la ecuación y´+exp(-x2)y = sen(x)/x con y(0) =1. Determine los valores de la solución y(x) en x =1/2, x = 1 y x = 10 usando las quebraditas de Euler. 20) Suponga que desea resolver la ecuación y´+exp(-x2)y = sen(x)/x con y(0) =1. Determine los valores de la solución y(x) en x =1/2, x = 1 y x = 10 usando los iterados de Picard. 21) Suponga que desea resolver la ecuación y´+exp(-x2)y = sen(x)/x con y(0) =1. Determine los valores de la solución y(x) en x =1/2, x = 1 y x = 10 usando el comando dsolve() de MAPLE.

GUIA No 3 EDO 1) Hallar las trayectorias ortogonales de la familia y2=cx3. 2) Hallar las trayectorias isogonales a 45o de la familia y=ceax donde c y a son constantes. 3) Hallar la curva que pertenece a la familia de trayectorias ortogonales de la familia de curvas x+y = Cey que pasa por (0, 5). 4) Un esquador acuatico P localizado en el punto (a,0) es remolcado por un bote de motor Q localizado en el origen y viaja hacia arriba a lo largo del Y. Hallar la trayectoria del esquiador si este se dirije en todo momento al bote. 5) Hallar la ecuación de todas las curva que tienen la propiedad de que el punto de tangencia es punto medio del segmento entre los ejes coordenados. 6) Un cuerpo se calienta a 110 0C y se expone al aire libre a una temperatura de 10 0C. Si al cabo de una hora su temperatura es de 60 0C ¿Cuánto timepo adicionale debe transcurrir para que enfrie a 30 0C. 7) Si en una análisis de una botella de leche se encuentran 500 bacterias, un dia después de haber sido embotelladas y al segundo dia hay 8000 bacterias ¿ Cual es el numero de organismos en el momento de embotellar la leche? 8) Un tanque tiene inicialmente 100 galones de agua pura. Una salmuera que contiene ½ libra de sal/ galón de salmuera fluye al interior del tanque a una rapidez de 2 galones/min y la mezcla bien homogeneizada sale con la misma velocidad. Después de 10 minutos el proceso detentiene y se introduce agua pura con rapidez de 2 galones/min abandonando el tanque a la misma velocidad. Determine la cantidad de agua en el tanque a los 20 minutos. 9) Se tiene un cilindro de altura Ho mts y radio r mts dispuesto en forma vertical y con un orificio circular cerrado de diámetro s cm en el fondo. Si el cilindro esta lleno de agua y abre el orificio del fondo ¿Cuánto tiempo tarda en vaciarse? 10) Un torpedo se desplaza a una velocidad de 60 millas/hora en el momento de agotarse el combustible. Si el agua se opone a su movimiento con una fuerza proporcional a su velocidad y si en una milla de recorrido su velocidad se reduce a 30 millas/hora determinar la distancia a que se detiene. 11) La diferencia de potencial a través de un circuito en serie LR cae uniformemente de 2 voltios a 1 voltio en 10 segundos. Determine la intensidad de corriente a los 10 segundos si ella en el tiempo cero era de 16+2/3 amperios, la resistencia es de 0.12 Ohm y la inductancia 0.1 Henries. 12) Encuentre la intensidad de corriente en un circuito LR sometido a una corriente alterna de Eo Sen(wt) si inicialmente la corriente es cero.

13) Un muchacho se mueve en una superficie plana sobre una patineta a una velocidad de 5 pies/seg en ese instante una persona lo empuja ejerciendo una fuerza de 15 lb en la misma dirección del movimiento. El peso total del trineo y el muchacho es de 96 lb , la resistencia del aire es numéricamente igual a la mitad de la velocidad y el coeficiente de resistencia de la patineta sobre la superficie es de 0.04. ¿Cuál es la velocidad del muchacho con la patineta después después de habérsele empujado por 10 seg? 14) Partiendo del reposo en la parte superior de un plano inclinado 45o y de longitud 30 pies se encuentra un objeto que pesa 24 lb. Si la resistencia del aire es numéricamente igual a un tercio de la velocidad y el coeficiente de rozamiento es 0.4 hallar la velocidad de la caja al llegar a la base del plano.

GUIA No. 4 de EDO 1) Resolver las siguientes ecuaciones de segundo orden: x2y´´+(y´)2-2xy´=0, (1+x2)y´´+xy´+y=0, 2y´´=(y´)2+1, yy´´+(1+y)(y´)2=0, y´´+(y´)2-2exp(y)y´=0, 2 y´´+(y´) =exp(-y), y´´+sen(y)=0. 2) Resolver en su forma mas general las siguientes ecuaciones lineales: y´´-3y´+2y=0, y´´+y´+y=0, 4y´´+4y´+y=0, 2y´´-5y´+2y=0, y´´+3y´+2y=exp(t)+exp(2t), y´´y´=exp(t)+1, y´´-4y´+4y=4senh(2t), y´´+y´+y=exp(-t/2+t(√3/2)i), y´´+y=tan(t)., y´´´+y´´ =3, y´´´+6y´´+11y´+6y=1, y´´´´-4y´´´+6y´´-4y´+y=texp(t), 3) Encontrar las ecuaciones diferenciales para los cuales los sistemas de soluciones dados son generadores de su espacio de soluciones: {1, t, t2}, {cosh(t), senh(t)}, {t, exp(t)}, {sen(t2), cos(t2)} b

4) Supongamos que y1, y2 son funciones definidas [a, b] y que ( f , g ) = ∫ f ( s ) g ( s )ds . a

Demuestre que y1, y2 son linealmente independientes si y solo si Γ( y1 , y 2 ) ≠ 0 donde Γ( y1 , y 2 ) =

( y1 , y1 )

( y1 , y 2 )

( y 2 , y1 ) ( y 2 , y 2 )

5) Utilice el teorema de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales para demostrar la siguiente identidad: ∞ sen( xy ) π −y ∫0 x( x 2 + 1) dx = 2 (1 − e ) si y > 0 6) Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones teniendo en cuenta la solución particular dada: a) (1-x2)y´´-2xy´+2y = 0 sabiendo que y = x es solución particular y b) (2x-x2)y´´+(x2-2)y´+2(1-x)y=0 sabiendo que y =exp(x) es solución particular. 7) Encontrar la solución general de la ecuación y´´-2ty´/(t2+1)+2y/(t2+1)=0. 8) Encontrar la solución general de la ecuación t3y´´-ty´+y=4t3. 9) Encontrar la solución particular de la ecuación y´´ -6y´+9y= 2t2-t+3 mediante las siguientes técnicas: a) variación de los parámetros, b) Duhamel-Guevara, c) coeficientes indeterminados y d) operadores (magia de Guevara). Verifique mediante sustitución directa cada una de las soluciones. 10) Demuestre que si y1 y y2 son soluciones linealmente independiente de y´´+p(t)y´+q(t)y=0 entonces entre dos ceros consecutivos de y1 hay un cero y solo uno de y2. 11) Encontrar la solución particular de la ecuación y´´ -6y´+9y= sen(2t) mediante las siguientes técnicas: a) variación de los parámetros, b) Duhamel-Guevara, c) coeficientes indeterminados y d) operadores (magia de Guevara). Verifique mediante sustitución directa cada una de las soluciones.

12) Demuestre el teorema de unicidad de la solución para el PVI de segundo orden sin recurrir al teorema de existencia y unicidad de primer orden. 13) Demuestre la equivalencia entre los métodos de variación de los parámetros y Duhamel-Guevara. 14) Resuelva la ecuación y´´+ sen(y) = 0 utilizando el método conservativo explicado en clase y obtenga la función de energía total. Utilice el comando “contourplot” de Maple para obtener las curvas que representan las soluciones. Utilice el comando “plot3d” para visualizar la superficie de la energía total. 15) Repita el ejercicio 12 para la ecuación del movimiento de los planetas. Observe que en este caso hay que ser cuidadoso para obtener algun resultado de valor. 16) Dada ecuación diferencial y´´= x5-5x4+5x3+5x2-6x realice el estudio de sus soluciones mediante el uso de energia total. Compare la grafica obtenida con la producida por Maple. Resuelva la ecuación directamente sin hacer uso de la energia potencial. 17) Repita el ejercicio 16) con y´´ = x5-3x4+x3+3x2-2x. 18) Utilice el comando “wronskian” de Maple para calcular el Wronskiano de las soluciones linealmente independientes de y´´´´+y´´´+y´´+y´+y=0. 19) Utilice el comando “dsolve” de Maple para resolver y´´+y=sec(t)tan(t). Identifique en la solución resultante la parte homogénea y la no homogénea. 20) Utilice el comando”dsolve” de Maple para resolver y’’+exp(-t2)y´+t2y=sin(t)/t con y(0)=1, y´(0)=-1 en t=1, 2, 3, 4, 5. Grafique la solución con “DEplot” en el intervalo [0,5]. 21) Defina rigurosamente el fenómeno de resonancia y elabore dos ejemplos de importantes aplicaciones. 22) Demuestre que si L(D) = Dn+an-1Dn-1+...+a1D+ao y L(D)y=exp(at)f(t) donde f es continuamente diferenciable y a es constante entonces y=exp(at)(1/L(D+a))f(t).

GUIA No5 EDO 1) Un peso de 8 libras sujeto a un resorte, esta sometido a un movimiento armónico simple. Determinar la ecuación del movimiento si la constante del resorte es 1 libra/pie y si el peso se suelta desde un punto que esta a 6 pulgadas bajo la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia debajo de 3/2 pie/seg. Hallar la solución y expresarla en la forma mas simple posible. 2) Un cilindro homogeneo de radio r pies y peso W libras y momento de inercia I=Wr2/(2g) respecto a su eje g, tiene un cuerda flexible enrollada alrededor de su eje central. Cuando el cuerpo cae la resistencia del aire es W/170 veces su velocidad instantanea. Si arranca desde el reposo, hallar la distancia y de caida en función del tiempo t, la velocidad limite y el porcentaje de velocidad limite adquirido en 20 segundos. 3) Un peso de 24 libras sujeto al extremo de un resorte lo estira 4 pulgadas. Encuentre la ecuación del movimiento si el peso, en reposo, se suelta desde un punto que esta 3 pulgadas sobre la posición de equilibrio. 4) Un resorte, cuya constante es k = 2, esta suspendido y sumergido en un liquido que se opone una fuerza de amortiguación numéricamente igual a 4 veces la velocidad. Si una masa m se suspende del resorte, determinar los valores de m para los cuales el movimiento posterior ni sea oscilatorio. 5) Un peso de 32 libras estira un resorte 6 pulgadas. El peso se mueve en un medio que opone una fuerza de amortiguación numéricamente igual β la velocidad. Determine los valores de β para los cuales el sistema tendra un movimiento oscilatorio. 6) Después que un peso de 5 libras se sujeta a un resorte de 5 pies de largo, el resorte mide 6 pies. Se saca el peso de 5 libras y se lo reemplaza por un peso de 8 libras. El sistema completo se coloca en un medio que ofrece una resistencia numéricamente igual a la velocidad. Encuentre la ecuación del movimiento si el peso se suelta desde un punto que esta a ½ pie bajo la posicion de equilibrio, la ecuación con angulo de fase, encuentre el instante en los que el peso pasa por la posición de equilibrio en direccion hacia arriba. 7) Una fuerza de 2 libras estira un resorte en un pie. Manteniendo fijo un extremo, se sujeta un peso de 8 libras al otro extremo. El sistema esta sobre una mesa que seque opone una fuerza de roce numéricamente igual a 3/2 la velocidad. Inicialmente el peso esta desplazado 4 pulgadas de la posición de equilibrio con el resorte comprimido y se le suelta desde el reposo. Encuentre la ecuación del movimiento si se realiza a los largo de una recta horizontal. 8) Un peso de 24 libras estira un resorte en 4 pies. El movimiento subsiguiente se realiza en un medio que ofrece una resistencia numéricamente igual a β veces la velocidad. Si el peso para de la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 2 pies/seg y si β > 3√2 comprobar 3 x(t ) = − exp(−2β t / 3) senh(2 β 2 − 18t ) 2 β − 18

9) Una masa de una libra sujeta a un resorte cuya constante es 9 libras/pie. El medio ofrece una resistencia al movimiento numéricamente igual a 6 veces la velocidad. La masa se suelta desde un punto que esta 8 pulgadas sobre la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia debajo de Vo pies/seg. Determinar los valores de Vo de modo que posteriormente la masa pase por la posición de equilibrio. 10) Un peso de 16 libras estira un resorte en 8/3 pies. Inicialmente el peso parte del reposo desde un punto que esta a 2 pies debajo de la posición de equilibrio y el movimiento posterior se realiza en un medio que opone una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a ½ de la velocidad. Encuentre la ecuación del movimiento si el peso es impulsado por una fuerza exterior igual a f(t)=10cos(3t). 11) Un peso de 4 libras esta suspendido de un resorte cuya constante es 3 libras/pie. El sistema completo se sumerge en un liquido que opone una fuerza de amortiguación numéricamente igual a la velocidad. A partir de t = 0 se aplica sobre el sistema una fuerza exterior f(t)=exp(-t). Determinar la ecuación del movimiento, si el peso se suelta a partir del reposo, desde un punto que esta 2 pies bajo la posición de equilibrio. 12) Al sujetar una masa de 2 kilogramos a un resorte cuya constante es 32 Newtons/metros este queda en reposo en la posición de equilibrio. A partir de t = 0, una fuerza f(t)=68exp(-2t)cos(4t) se aplica al sistema. Encuentre la ecuación del movimiento en ausencia de amortiguación. 13) Al sujetar una masa de un slug a un resorte, este se estira 2 pies y luego queda en reposo en la posición de equilibrio. A partir de t = 0 una fuerza exterior f(t)=8sen(4t) se aplica al sistema. Hallar la ecuación del movimiento, si el medio que rodea al sistema opone una fuerza de amortiguación igual a 8 veces la velocidad. 14) Hallar el sistema de ecuaciones diferenciales de tres resortes acoplado con constantes k1, k2, k3 y masas m1, m2 respectivamente como se muestra en la siguiente figura.

Suponga que m1 = m2 = 1 y k1 = 1, k2 = 2 y k3 =3. Encuentre la ecuaciones diferenciales de orden superior que describen los desplazamientos de los bloques con sus respectivas condiciones iniciales y resuelva las ecuaciones.

15) El resorte en la siguiente figura tiene longitud l sin estirar. El collar colocado en el extremo del resorte tiene peso W y se desliza por la varilla horizontal sin roce.

Hallar la velocidad cuando pasa por el punto C si se suelta desde el reposo a una distancia xo. 16) Dos pesos de 96 libras de masa m1 y 64 libras de masa m2 se mueven horizontalmente en una superficie lisa y cada resorte tiene constante k1=1, k2=2, k3=3 como se indican en la siguiente figura.

Encuentre las ecuaciones diferenciales del movimiento si se asumen que existen fuerzas de roce proporcionales a las velocidades de los bloques con constates de proporcionalidad h1 y h2. Obtenga las ecuaciones diferenciales de orden superior que describen los desplazamientos. Si h1 = 1 y h2 = 2 determine la soluciones de cada una de dichas ecuaciones.

GUIA No 6 EDO 1) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace y ' '+4 y = 9t , y (0) = 0, y ' (0) = 7 , y ' '−3 y '+2 y = 4t + 12e − t , y (0) = 6, y ' (0) = −1 , y ' '−4 y '+5 y = 125t 2 , y (0) = 0, y ' (0) = 0 y ' '+ y = 9 cos(t ), y (0) = 1, y ' (0) = −1 y ' ' ' '−2 y ' '+ y = sen(t ), y (0) = y ' (0) = y ' ' (0) = y ' ' ' (0) = 0 2) Una partícula se mueve sobre una recta en tal forma que su despalazamiento x desde un punto fijo 0, esta dado por la ecuación x' '+4 x'+5 x = 80 sen(5t ) . Si cuando el tiempo es cero la partícula esta en el origen en reposo entonces determine, mediante transformada de Laplace, su posición en cualquier tiempo positivo. Determine la amplitud, el periodo y la frecuencia después de largo tiempo. ¿Cuál es es el termino transitorio?. ¿Cuál es el termino permanente? 3) Demuestre rigurosamente que L( sen(t ) / t )( s ) = arctan(1 / s ) . 4) Determine la la transformada de Laplace de la funciones: f (t ) = t si 0