¿Qué forma tiene el espacio?· • MAX

NEUMANN

COTO

i pensamos en el universo como todo lo que existe, yen

S

trar que el postulado de las paralelas era una consecuen-

el espacio como el lugar que ocupa todo el universo,

cia lógica de los otros postulados. Sin embargo, a principios

entonces parece natural preguntarse: ¿qué forma tiene

del siglo XIX, Bolyai y Lobachevsky mostraron irrefutable-

el espacio? Los babilonios y los egipcios creían que el uni-

mente que la búsqueda era una quimera: había otras geo-

verso era una ostra firmemente cerrada, rodeada de agua

metrías en las que los demás postulados de Euclides eran

y sostenida por el firmamento sólido. Esta idea de un uni-

válidos, pero el de las paralelas no. La geometría que des-

verso "cerrado" se transformó profundamente en Grecia,

cubrieron Bolyai y Lobachevsky es la geometría hiperbóli-

a. C. se pensaba que el universo

ca, en la que por un punto pasa no una sino una infinidad

donde ya para el siglo

V

era infinito.

de paralelas a una línea recta dada. Esta geometría parecía una mera invención matemática, pero, poco tiempo des-

La forma es el tema central de la geometría, que se desarrolló a partir de las ideas que se tenían sobre el espacio. La

pués, Riemann describió otra geometría más natural en la

geometría primitiva, basada en la intuición y los experi-

que no hay ninguna paralela. Las geometrías no euclidianas

mentos, se transformó en Grecia en una geometría deduc-

parecían no tener relación con la realidad hasta que, a prin-

tiva, guiada por razonamientos lógicos. Así, la geometría

cipios de este siglo, la naturaleza euclidiana de nuestro es-

de Euclides está basada en ciertos postulados y axiomas, que

pacio fue puesta en duda.

se suponen ciertos, y a partir de éstos se trata de deducir lógicamente toda la geometría. Algunos de los postulados de

Universos bidimensionales

la geometría euclidiana son los siguientes: Una línea recta es la trayectoria más corta entre dos puntos.

Si hacemos a un lado nuestro sentido común, lo que sabe-

Por dos puntos distintos pasa una sola línea recta.

mos (acreemos saber) sobre el espacio puede resumirse más

Por cada punto pasa una (y sólo una) paralela a una

o menos en los siguientes términos: tiene tres dimensiones,

línea recta dada.

es continuo e ilimitado y se ve igual desde todos los puntos y

Estas afirmaciones nos parecen tan evidentes, y están

en todas las direcciones. ¿Qué nos dirá todo esto sobre la for-

tan arraigadas en nuestro sentido común, que no duda-

ma del espacio? Por ejemplo, ¿podremos deducir a partir de

mos que la geometría euclidiana sea la geometría de nues-

estos elementos que el espacio es euclidiano o, al menos, in-

tro universo y la única posible. Incluso, en el mundo de la

finito? Las respuestas a estas preguntas son sorprendentes y

ciencia, durante siglos se hicieron intentos para demos-

para entenderlas vale la pena empezar, como acostumbran los matemáticos, con otras más sencillas. Imaginemos un universo bidimensional, infinitamente

* Le agradezco a la doctora Martha Takane toda su ayuda, ya que sin ella no habría escriro este artículo.

delgado, en el que las cosas y los habitantes no tienen ningún

.65 •

U NIVERSIDAD

DE

MÉxICO

espesor (aquí cabría preguntarse si hay alguna razón lógica

Una superficie interesante es la banda de Moebius,

que explique por qué nuestro universo y nosotros tenemos

que se puede hacer al torcer y pegar los extremos de una

tres dimensiones). ¿Qué forma tendría entonces un univer-

tira de papel. La banda de Moebius es una superficie no

so de dos dimensiones, continuo e ilimitado y que se viera

orientable: un viajero bidimensional que la recorriera toda

igual desde todos sus puntos y en todas las direcciones? Po-

se encontraría con que su lado izquierdo se ha convertido en

dría tratarse de un plano, en cuyo caso la geometría eucli-

su lado derecho, y viceversa (la lámina 2 muestra al via-

diana se ajustaría perfectamente a su forma. Pero ésta no es

jero con la mano derecha alzada todo el tiempo, pero en el

la única posibilidad: también podría tratarse de la superficie

recorrido de regreso esa mano se ha convertido en la mano

de una esfera. E~ la esfera, las trayectorias más cortas entre dos puntos -las que los habitantes de la esferapercibirían como líneas rectas- son en realidad arcos de círculos máximos (como el Ecuador de la tierra) y como todos los círculos máximos en la esfera se cruzan, no hay líneas paralelas. La geometría que describió Riemann es precisamente la geometría de la esfera, cuya característica más notable es que establece un modelo de universo bidimensional finito y, sin embargo, ilimitado (independientemente de la distancia que se recorra en la esfera, nunca se llegaría a un borde).

L6mina 2

En realidad, los universos bidimensionales pueden tener una infinidad de formas distintas, muchas de ellas fáciles de imaginar desde nuestra perspectiva tridimer:u;io-

izquierda). Aunque la banda de Moebius tiene un borde,

nal: en lugar de pensar en la superficie de una esfera, po-

uno puede intuir que también hay superficies no orienta-

demos pensar en la superficie de una dona o en cualquie~

bIes cerradas y abiertas, pero éstas son más difíciles de vi-

otra superficie sin bordes (una superficie con bordes corres-

sualizar.

pondería a un universo limitado, que se terminaría de pron-

Así como nosotros no podemos salimos del espacio,

to). Hay que hacer entonces una primera distinción entre

tampoco los habitantes de una superficie podrían asomar-

los universos infinitos (llamados abiertos) y los universos

se hacia afuera: todo lo que verían estaría en la superficie misma y lo demás simplemente no existiría. La luz se mo-

..........

vería por la superficie siguiendo las trayectorias más cortas, y aunque desde afuera viéramos que estas trayectorias se curvan y se enredan en la superficie, a un observador en la superficie le parecería que la luz se mueve en líneas rectas. Como la impresión del observador sería la de estar viendo en línea recta en todas las direcciones, su uni-

verso visual (el universo que verían sus ojos, en el supuesto de que su visión fuera ilimitada) sería un plano, por lo

L6mina 1

que naturalmente pensaría que su universo tiene la forfinitos pero ilimitados (llamados cerrados). La lámina 1 muestra dos superficies cerradas: el toro (la superficie de una

ma de un plano. ¿Cuáles serán todas las posibles formas de un universo

dona) y el triple toro (la superficie de una dona triple), y dos

bidimensional? Si con tres dimensiones podemos visualizar

superficies abiertas: una en forma de cometa infinita y la

tantas formas distintas, quizás podríamos imaginar muchas

otra de toro que ha sido estirado hasta el infinito en dos di-

otras usando cuatro dimensiones o más. ¿Y cómo podrían

recciones (en el papel no hay suficiente lugar para dibujar-

distinguirse las distintas formas? El hecho de que el univer-

las completas, pero hay que imaginarse que se extienden

so visual en todas las superficies sea como un plano sugiere

indefinidamente). La cometa infinita es un ejemplo de su-

que reconocerlas no ha de ser fácil. Pero antes de hablar de

perficie donde vale la geometría hiperbólica de Bolyai y

esto debemos ponemos de acuerdo en lo que entendemos

Lobachevsky.

por la forma de una superficie.

•

66 •

Sil

U NIVERSIDAD

DE

MÉxICO

y la manera de pegarlas (pero la forma geométrica se perde~

FOmul

ría al aplanar las piezas).

La geometría está basada en objetos rígidos y distingue aun

Por ejemplo, la esfera puede partirse en dos hemisferios

las diferencias más sutiles entre las formas, pero a veces esta

que pueden aplanarse hasta convertirse en discos (piezas

precisión es excesiva: vistas con cuidado, no hay dos papas

redondas planas), de modo que la esfera tiene la forma to~

en el mundo que tengan la misma forma y, sin embargo,

pológica de dos discos unidos por sus bordes. Aunque no

nos gustaría pensar que son esencialmente iguales. Podemos

podamos armar la esfera dentro del plano, podemos imagi~

intentar hacer una distinción menos estricta de las formas

narla si pensamos que los discos están unidos "virtualmen~

si pensamos que al deformar ligeramente un objeto su for~

te", de manera que al movemos dentro de uno de ellos y

ma no cambia esencialmente.

llegar al borde pasaríamos inmediatamente y sin notar nada

Decimos que dos objetos tienen la misma forma topo~ lógica si es posible deformar uno, paulatinamente y sin rom~

al otro disco. Podemos hacer lo mismo con el toro, es decir, cortarlo y estirarlo para obtener una sola pieza cuadrada (lá~

per ni pegar nada, hasta llegar a la forma del otro. Para en~

mina 3), de modo que uno puede imaginar al toro al unir vir~

tender la forma topológica, podemos pensar que los objetos

tualmente los lados opuestos de un cuadrado.

están hechos de un material que se puede moldear, compri~

~+

mir y torcer a voluntad, pero que no puede romperse o pe~ garse. Es fácil convencerse de que una papa y un plátano

t:J=

tienen la misma forma topológica, pero una papa y una dona no. Con un poco más de imaginación se puede ver que una dona y una taza tienen la misma forma topológica, y tam~

ce?}) O"mmÜ

bién que una azucarera con dos asas y una tetera son topoló~ gicamente iguales. La forma topológica puede parecer un concepto vago o subjetivo, pero es en realidad tan riguroso como lo es la forma geométrica.

··· ...--1····· ~ :, .:

=

..

-

Lámina 3

En topología, las longitudes y los ángulos no tienen nin~

Todas las superficies son susceptibles qe dividirse como

guna importancia, ya que pueden cambiar cuando se defor~

rompecabezas, y cualquier rompecabezas que uno inven~

man las figuras, y lo mismo puede decirse de las áreas y los

te da lugar a una superficie. Al jugar con rompecabezas uno

volúmenes. La topología es una especie de geometría cua~

se topa con sorpresas, ya que algunos, como los de la lámi~

litativa en la que, a cambio de perder los detalles, ganamos

na 4, se resisten a ser armados aun valiéndose de tres dimen~

una visión clara de las diferencias más profundas entre las

siones. Son los correspondientes a las superficies cerradas

formas. Si al pensar en las superficies o los espacios nos inte~ resa reconocer formas básicamente distintas, debemos pen~ sar en su forma topológica.

Rompecabezas Lámina 4

la forma de la superficie en que habita? Ya que su universo

no orientables más sencillas: el piano proyectivo y la botella de Klein, que al tratar de apretujarse en el espacio de tres

visual sería un plano yen éste no cabe casi ninguna super~

dimensiones irremediablemente se atraviesan a sí mismas,

ficie (si lo duda, intente meter una esfera en el plano), es pro~

como se muestra en la lámina 5.

¿Cómo podría un hipotético ser bidimensional imaginarse

bable que no pueda verla compleya, pero como la superficie

Los rompecabezas nos proporcionan una manera de

se parece localmente al plano, si la partiera en pedacitos,

visualizar, sin salir del plano, todas las superficies que pue~

como un rompecabezas, éstos parecerían pedacitos del pla~

den existir en cualquier dimensión. Como hay una infini~

no, y sí podría verlos. Aunque no pudiera armar el rompe~

dad de rompecabezas, sería imposible intentar armarlos uno

cabezas dentro del plano, toda la información sobre la forma

por uno para averiguar todas las formas posibles, pero los

topológica de la superficie estaría en la forma de las piezas

topólagos hallaron una manera de simplificarlos todos al

•

67.

U NIVERSIDAD

mismo tiempo: recortando las piezas y pegándolas para formar otras distintas, hasta convertirlos en rompecabezas conocidos. Con esta solución mostraron que todas las superficies cerradas tienen la forma topológica de una esfera, de . un toro múltiple o de un plano proyectivo múltiple.

Plano proyectivo

Botella de Klein

lámina 5

Una vez que se sabe cómo son todas las superficies cerradas, queda el problema de reconocerl~s desde adentro. Las diferencias que percibimos al usar tres dimensiones, como el agujero del toro y los tres agujeros del triple toro, no son visibles desde la superficie, ya que no son parte de ésta, sino del espacio. Por fortuna, sí hay maneras de reconocer las superficies desde adentro. Imaginemos una superficie armada como un rompecabezas, llamemos aristas a los bordes entre dos piezas y vértices a los puntos donde se unen las aristas ycalculemos el número de piezas menos el número de aristas, más el número de vértices del rompecabezas. Por increíble que parezca, el resultado obtenido, llamado característica de Euler de la superficie, no depende del rompecabezas, sino sólo de la forma topológica de la superficie. Por ejemplo, la lámina 6 muestra la esfera dividida como un rompecabezas con 4 piezas, 5 aristas y 3 vértices, y otro rompecabezas con 5 caras, 8 aristas y 5 vértices, así que la característica de la esfera es 4 - 5 + 3, o sea 2, que es lo mismo que 5 - 8 + 5. Es fácil ver que la característica del plano proyectivo es 1, la de un toro o una botella de Klein es O, la de un doble toro o una doble botella de Klein es -2, etcétera. La característica y la orientabilidad permiten reconocer desde adentro y sin lugar a dudas todas las superficies cerradas. J

Curvatura

Una propiedad geométrica de la forma de una superficie es su curvatura. En términos muy generales, la curvatura de la superficie es Oen los puntos donde se ve plana, es positiva donde se curva como una esfera y es negativa donde se curva como una silla de montar (lámina 7). Hay superficies cuya •

DE

MÉxICO

curvatura es igual en todas partes, como la esfera o el plano, y otras donde la curvatura varía mucho de un punto a otro, como en la superficie de una papa o de una dona. Como la curvatura y el área de una superficie que se deforma pueden cambiar mucho sin que se altere su forma topológica, no parecería haber ninguna relación entre ellas. Sin embargo, el teorema de Gauss-Bonnet dice que si calculamos la curvatura promedio de una superficie cerrada, y la multiplicamos por su área, obtendremos la característica de la superficie multiplicada por 27t. ¡Así que la curvatura y el área juntas determinan la forma topológica, salvo por la orientabilidad! Por ejemplo, si el promedio de la curvatura es positivo, entonces la superficie debe ser (topológicamente) una esfera o un plano proyectivo, y si el promedio es O, entonces la superficie debe ser un toro o una botella de Klein. Para todas las demás superficies cerradas, la curvatura promedio es negativa yla forma depende del área de la superficie. Este teorema ilustra la profunda relación que hay entre la topología y la geometría de las superficies cerradas. Ya que hay una infinidad de formas posibles de universos bidimensionales, uno puede preguntarse si habrá unas más naturales que otras. Los universos de curvatura constante, como el plano o la esfera, tienen la propiedad de que la visión dentro de ellos es exactamente igual desde cualquier lugar yen cualquier dirección (son homogéneos e isotrópicos), algo que no ocurre con los universos de curvatura

lámina 6

variable, como la superficie de una dona. A primera vista parecería que la curvatura variable de muchas superficies es una consecuencia de su forma topológica, yque no importa cómo las deformemos, siempre habrá puntos con distinta curvatura. Pero se ha demostrado que cualquier superficie cerrada puede moldearse para que su curvatura sea constante: el plano proyectivo puede moldearse para que su curvatura sea 1, igual a la de la esfera, y el toro y la botella de Klein son susceptibles de moldearse para que su curvatura sea O, de modo que desde adentro se vean tan planos como un plano. Todas las demás superficies son susceptibles de moldearse para que su curvatura sea -1, de modo que su geometría sea la geometría hiperbólica de Bolyai y Lobachevsky. 68 •

U NIVERSIDAD

DE MÉxICO

Así que todas las fonnas topológicas de superficies son igual-

La esfera tridimensional puede partirse en dos hemis-

mente naturales como modelos de universos bidimensiona-

ferios que aplanados se ven como bolas sólidas en el espacio

les, y las variaciones en la curvatura de cualquier superficie

euclidiano, de modo que la esfera tridimensional tiene la

pueden considerarse defonnaciones locales en una superfi-

fonna topológica de dos bolas de cristal sólidas unidas com-

cie originalmente homogénea e isotrópica.

pletamente por el borde. Aunque en el espacio.euclidiano no hay suficiente lugar para unirlas, podemos imaginar que están unidas virtualmente y pensar que si nos moviéramos

Espacios tridimensionales

dentro de una de ellas y llegáramos a la orilla, pasaríamos sin notarlo a la otra bola.

Una de las consecuencias de la teoría de la relatividad es

Si tomamos un cubo de cristal sólido y unimos sus ca-

que nuestro universo no es euclidiano: la gravedad deforma

ras opuestas (de manera análoga a como se hizo con el toro),

el espacio alrededor de los objetos, curvándolo, y los rayos

obtenemos el toro tridimensional. Igual que antes, éste sólo

de luz no siguen líneas realmente rectas porque no las hay.

puede annarse en el espacio euclidiano de manera virtual

Nuestro sentido común puede hacemos pensar que estas

y hay que imaginar entonces que al salir por una cara del cubo uno entra sin notarlo por la cara opuesta. La propiedad más notable del toro tridimensio~ales que su curvatura es 0, a pesar de ser un espacio cerrado. Por lo tanto, aun si nuestro

cero

positiva

universo no tuviera ninguna curvatura, y valiera localmen-

negativa

te la geometría euclidiana, no podríamos afinnar que fuera

Lámina 7

globalmente euclidiano, ni siquiera que fuera infinito. deformaciones son locales, como pequeñas olas en la su-

Al cambiar la manera de pegar las caras del cubo se ob-

perficie de un estanque, y que no cambian básicamente la

tienen fonnas distintas de espacios cerrados, incluyendo la

forma del espacio, que sería casi euclidiano, o al menos, topo-

esfera tridimensional y el equivalente tridimensional de

lógicamente euclidiano. Pero nuestra experiencia con los

la botella de Klein, que es un espacio cerrado no orienta-

universos bidimensionales debería hacemos dudar: la for-

ble. Los espacios no orientables se ven tan comunes como

ma podría ser muy distinta.

los orientables pero, como sucede en dos dimensiones, un

N uestro espacio parece localmente un espacio euclidia-

habitante de un universo no orientable que hiciera un lar-

no del mismo modo que una superficie se parece localmente

go viaje podría encontrar, al regresar, todo invertido, como

a un plano. Así como podemos visualizar muchas formas

si estuviera viendo a través de un espejo (para quienes lo re-

radicalmente distintas de superficies usando tres dimensio-

cibieran, sería el viajero quien estaría al revés).

nes, uno puede intuir que hay muchas formas posibles de

Aunque todos los espacios cerrados pueden armarse con

espacios tridimensionales, tanto cerrados como abiertos,

rompecabezas de una sola piezaeuclidiana, los rompeca-

que serían fáciles de imaginar si pudiéramos ver en cuatro

bezas tridimensionales han resultado mucho más difíciles

dimensiones. La fonna más simple de un espacio cerrado

de estudiar que los rompecabezas planos. Se da además la

es la esfera tridimensional, que vista en cuatro dimensiones

circunstancia de que, si bien se puede calcular la carac-

recuerda a la esfera usual pero con una dimensión más. Por

terística de Euler de un espacio cerrado, ésta siempre da 0,

suerte no hace falta ver en cuatro dimensiones para imagi-

por lo que no sirve para distinguirlos.

narse esto, ya que podemos usar los rompecabezas. La idea es que como el espacio parece localmente un espacio euclidiano, si lo dividiéramos en pedacitos éstos parecerían peda-

Una infinidad de posibilidades

citos del espacio euclidiano y podríamos verlos. Si imagiLo que distingue a nuestro universo de todos los universos posibles es que el nuestro síexiste.

namos que el espacio está hecho de un cristal transparente (en lugar de estar vado) las piezas del rompecabezas se-

Alberto Barajas, parafraseando a Leibniz

rían bloques de cristal sólido. Aunque no podamos armar completamente el rompecabezas en nuestro universo visual, la fonna de las piezas y la manera de pegarlas contienen

Después de siglos de intentar argumentar lógicamente que

toda la información topológica de la fonna del espacio.

el universo es infinito, ahora parece que los babilonios y

• 69.

U NIVERSIDAD

DE

MÉxICO

los egipcios no estaban totalmente perdidos: es muy proba-

En el caso de que se llegara a demostrar la validez de la

ble que el universo que habitamos sea un universo cerra-

conjetura de la geometrización, se estaría muy cerca de co-

do. Aunque un candidato natural para la forma de nuestro

nocer todas las formas topológicas posibles de espacios cerra-

universo es la esfera tridimensional, hay en realidad muchí-

dos y también se sabría -al menos teóricamente- cómo

simas formas posibles, ya que en principio podría tener la

reconocerlas, pues todas las formas básicas desconocidas

forma de cualquier espacio cerrado.

serían hiperbólicas. El universo visual de un espacio de cur-

El universo visual de un observador en cualquier es-

vatura negativa es lo que se conoce en matemáticas como la

pacio, abierto o cerrado, sería igual al nuestro: un espacio

cubierta universal del espacio, por lo que fijándose en todas

topológicamente euclidiano, sin más distorsión aparente

las imágenes visibles de un mismo objeto es posible construir

que la que veríamos en un cristal euclidiano de densidad no

un rompecabezas del espacio, y a partir de éste se puede ave-

uniforme. Los indicios sobre la forma verdadera del espa-

riguar la forma del espacio.

cio, en caso de haberlos, serían muy sutiles. Los rayos de luz en un espacio no euclidiano podrían seguir distintas trayectorias entre dos puntos, de modo que quizás podríamos

El universo de las matemáticas

ver dos o más imágenes distintas de unmismo objeto (el problema sería que la luz tuviera tiempo suficiente para recorrer

El campo de juego de las matemáticas es, en cierto senti-

las distintas trayectorias, lo que dependería del tamaño d~l

do, mucho más grande que el de otras ciencias, ya que no

espacio).

está restringido a la realidad: los universos matemáticos

La riqueza de formas topológicas conocidas es inmen-

pueden tener cualquier número de dimensiones ( i aun in-

sa; sin embargo, a pesar de los espectaculares avances en los

finitas!). El carácter deductivo de las matemáticas hace

últimos treinta años, aún no se sabe cuáles son todas las for-

que sus únicos límites sean la imaginación y las leyes de

mas posibles como tampoco se sabe con seguridad cómo

la lógica. Pero, ¿qué sentido tiene estudiar cosas que qui-

distinguirlas. Las formas más naturales son, desde luego, las

zás no existen? El hecho de que las matemáticas sean in-

de curvatura constante, en las que la visión sería exactamen-

dependientes de la realidad les da el poder de adelantarse

te igual desde cualquier punto y en cualquier dirección. Se

a ésta: las geometrías no euclidianas no sólo fueron desarro-

sabe que hay precisamente 10 formas topológicas posibles

lladas mucho antes de que se sospechara que nuestro uni-

de espacios cerrados de curvatura constante 0, en los que

verso no es euclidiano, sino que fueron fundamentales para

vale localmente la geometría euclidiana, y que hay una

hacer este descubrimiento. Yen la actualidad, una de las

infinidad de espacios de curvatura constante positiva, en _

teorías físicas en boga plantea que nuestro universo no tie-

los que vale la geometría esférica de Riemann. Pero la co-

ne tres dimensiones, ni siquiera cuatro contando el tiempo,

lección más grande conocida, yque crece todos los días, está

sino 10, seis de las cuales estarían tan estrechamente curva-

formada por los espacios de curvatura constante negativa,

das que no las podríamos ver...•

en los que vale la geometría hiperbólica de Lobachevsky y Bolyai. .Además de las tres geometrías de curvatura constante (esférica, hiperbólica y euclidiana), hay otras cinco geome-

Lecturas recomendadas

trías tridimensionales que son homogéneas pero no isotrópicas: la visión depende de la dirección en que miremos,

Bracho, Javier, ¿En qué espacio vivimos?, FCE (Col. La ciencia

y esta distorsión de la visión no puede corregirse al moldear

desde México, núm. 77), México, 1989.

los espacios, ya que es una consecuencia de l~ forma topo-

Einstein, Albert, La teoría especial y la teoría general de la relativi-

lógica, que tiene direcciones preferentes. Una de las con-

dad, Alianza Editorial, Madrid, 1984. Hawking, Stephen, Historia del tiempo ilustrada, Crítica, Bar-

jeturas más prometedoras en la topología de los espacios es

la de la geometrización, que predice que,a cada form~ topológica cerrada debería corresponderle una forma geométrica

celona, 1996. Kasner, Edward y James R. Newman, Matemáticas e imaginación,

natural, que sería una combinación de formas homogéneas, de modo que estas ocho geometrías bastarían para describir

Salvat, Barcelona, 1987. Poincaré, Henri, La ciencia Y la hipótesis, Espasa Calpe, Madrid,

la forma de cualquier espacio, salvo deformaciones locales.

• 70.

1963.