TEMA

23 Funciones circulares e hiperbólicas y sus recíprocas. Situaciones reales en las que aparecen

Jesús Gómez Gómez

Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Volumen I. Matemáticas

390

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

ÍNDICE SISTEMÁTICO 1.

INTRODUCCIÓN

2.

FUNCIONES CIRCULARES 2.1. Ángulos orientados 2.2. Definición de “seno” y “coseno” 2.3. Definición de las demás funciones circulares 2.4. Propiedades inmediatas 2.5. Periodicidad. 2.6. Continuidad y derivabilidad de las funciones circulares 2.7. Gráficas de las funciones circulares. 2.7.1. Gráficas de las funciones seno y coseno 2.7.2. Gráficas de las funciones tangentes y cotangentes 2.7.3. Gráficas de las funciones secante y cosecante

3.

FUNCIONES INVERSAS DE LAS CIRCULARES: FUNCIONES CICLOMÉTRICAS

4.

FUNCIONES HIPERBÓLICAS 4.1. Definición 4.2. Propiedades inmediatas 4.3. Gráficas de las funciones hiperbólicas

5.

FUNCIONES INVERSAS DE LA HIPERBÓLICAS

6.

SIMILITUDES ENTRE LAS FUNCIONES CIRCULARES Y LAS HIPERBÓLICAS 6.1. Una interpretación geométrica análoga 6.2. Definición a partir de la exponencial 6.3. Tabla de derivadas de las funciones circulares e hiperbólicas y de sus inversas

SITUACIONES REALES EN QUE INTERVIENEN LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

8.

SITUACIONES REALES EN QUE INTERVIENEN LAS FUNCIONES CIRCULARES

7.

SIMILITUDES ENTRE LAS FUNCIONES CIRCULARES Y LAS HIPERBÓLICAS 6.1. Una interpretación geométrica análoga 6.2. Definición a partir de la exponencial 6.3. Tabla de derivadas de las funciones circulares e hiperbólicas y de sus inversas

6.

FUNCIONES INVERSAS DE LA HIPERBÓLICAS

5.

FUNCIONES HIPERBÓLICAS 4.1. Definición 4.2. Propiedades inmediatas 4.3. Gráficas de las funciones hiperbólicas

4.

FUNCIONES INVERSAS DE LAS CIRCULARES: FUNCIONES CICLOMÉTRICAS

3.

FUNCIONES CIRCULARES 2.1. Ángulos orientados 2.2. Definición de “seno” y “coseno” 2.3. Definición de las demás funciones circulares 2.4. Propiedades inmediatas 2.5. Periodicidad. 2.6. Continuidad y derivabilidad de las funciones circulares 2.7. Gráficas de las funciones circulares. 2.7.1. Gráficas de las funciones seno y coseno 2.7.2. Gráficas de las funciones tangentes y cotangentes 2.7.3. Gráficas de las funciones secante y cosecante

2.

INTRODUCCIÓN

1.

7. 8.

SITUACIONES REALES EN QUE INTERVIENEN LAS FUNCIONES CIRCULARES SITUACIONES REALES EN QUE INTERVIENEN LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

ÍNDICE SISTEMÁTICO CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

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Funciones circulares e hiperbólicas y sus recíprocas

1. INTRODUCCIÓN Las funciones circulares fueron introducidas por la vía geométrica a partir de la trigonometría plana. Los musulmanes ya disponían de grandes avances en este campo. Así pues, Al Habas (770?-870?) introduce la función trigonométrica de tangente y confecciona tablas de sen y tg, que luego perfeccionarían Abul-Wafa (940-998) y Al-Biruni (973-1048). A comienzos del siglo XVI la trigonometría estaba aún vinculada a la astronomía. De hecho en la obra de Copérnico titulada De revolutionibus orbium coelestium, tres capítulos están dedicados a las funciones circulares. Dos de esos capítulos habían aparecido ya en 1542, año anterior al de la publicación de la obra de Copérnico, en un escrito de su editor Georg Joachim, llamado Rhaeticus, a quien se debe el estudio sistemático de las seis funciones circulares en 1551, apareciendo por primera vez en Europa definidas sobre la circunferencia fundamental. Fuera del seno y del coseno Rhaeticus no dio nombre especial a ninguna de las otras. Los nombres de tangente y secante aparecen en una obra de Thomas Fincke de 1583. En el Barroco temprano se producen nuevas contribuciones. Así pues, los continuadores de Rhaeticus (Otto, Pitiscus, ...) construyeron tablas con precisión asombrosa de tales funciones. La vinculación con otros problemas como la cuadratura del círculo y la aproximación del número p hace que el estudio de las funciones circulares cobre vigor, sobresaliendo la figura de Viète (1540-1603), quien, entre otras muchas aportaciones, ideó un método de biparticiones para obtener valores tabulados de las funciones circulares y empezó a desarrollar los teoremas fundamentales. Más tarde, el desarrollo de los métodos infinitesimales permitió un enfoque nuevo basado en las series. Así por ejemplo, hay contribuciones diversas (Pascal, Fermat, Wallis, Newton, Leibniz, Bernouilli, etc.) motivadas por el polémico estudio de la cicloide, que originó la aparición de su compañera, la sinuoide. Un manejo eficaz de esta curva se debe a Roverbal en su método de los indivisibles para determinar el área de la cicloide y el volumen del cuerpo engendrado por su revolución. Por su parte Huygens se ocupó del estudio de la catenaria, donde intervienen la funciones hiperbólicas, mientras que Gregory estudió las funciones circulares inversas. Aunque las funciones hiperbólicas fueron introducidas en 1757 por Ricatti, Lambert les da en 1769 la misma importancia que a las trigonométricas y calcula una tabla para aquellas. Se ocupó del estudio de las funciones hiperbólicas en conexión con la teoría de las paralelas y demostró la irracionalidad de p partiendo del desarrollo en fracción continua de tg x. Pero probablemente sea Euler, el matemático más relevante del siglo XVIII, el que más aportó al conocimiento de las funciones trascendentes. A él se debe la relación entre las funciones circulares e hiperbólicas con las exponenciales. En su obra Introductio in analysin infinitorum hace un tratamiento estrictamente analítico (y no geométrico) de las funciones trigonométricas. El seno de un ángulo, por ejemplo, ya no es un segmento, sino simplemente un número, la ordenada de un punto de la circunferencia z3 z5 z7 unidad, o bien la suma de la serie z – + – + ... para algún valor de z. 3! 5! 7! Cabe destacar por último al francés Fourier, que, en su estudio de las funciones analíticas, aportó con las llamadas series trigonométricas una extensión del concepto euleriano de función. Podemos decir que las funciones que se van a estudiar en el presente tema han sido objeto de estudio a lo largo de la historia, en conexión tanto otras parcelas de la matemática, como la geometría o el álgebra, pero también motivado por la investigación en otros campos de la ciencia y de la técnica, como la astronomía, la mecánica o la electrónica.

2. FUNCIONES CIRCULARES 2.1. Ángulos orientados S2

Partiremos de la noción intuitiva de “ángulo orientado” (o “dirigido”), como par ordenado (s1,s2) de semirrectas con un origen común. O

Figura 1.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

S1

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Si tomamos en el plano un sistema de referencia OXY ortonormal (ejes rectangulares), podemos considerar como semirrecta inicial s1 la mitad positiva del eje de abcisas (OX+), y entonces el ángulo orientado vendrá dado por la semirrecta terminal, más concretamente por el ángulo barrido por ésta al girar con centro O. De esa manera puede considerarse un ángulo orientado como un ángulo de giro, se puede generalizar la noción de ángulo admitiendo ángulos superiores a una vuelta y se pueden establecer dos sentidos de giro (usualmente como positivo el contrario al de las agujas del reloj).

Observación: Sabido es que podríamos haber tomado una circunferencia de radio r cualquiera y las definiciones seu v rían cos j= , sen j= . Es fácil probar la independencia de tales definiciones con respecto al radio r r elegido, con lo cual tomamos r = 1 (circunferencia goniométrica), sin restar generalidad. Tratamos de que las definiciones dadas nos permitan construir dos funciones reales de variable real. Pero para ello es preciso que un ángulo orientado j quede identificado mediante un número real x. En realidad no nos interesa tanto la perspectiva geométrica como la del análisis real, y en ese sentido hay otras formas de llegar a x longitud las funciones que pretendemos, si recurrir siquiera a la noción de ángulo. No obstante, la introducción del radián puede ser, al menos en primera aproximación, una manera de solventar la cuestión. En efec1 to, con la definición clásica lo que hacemos es asignar valor 1 al ángulo dirigido en sentido contrario al de las agujas del reloj y tal que la longitud del arco es 1, es decir, al ángulo central cuyo arco correspondiente tiene la misma longitud que el radio. Figura 4.

Figura 2.

2.2. Definición de seno y coseno

Tomemos ahora la circunferencia de centro O y radio unidad C = {(u, v) / u2 + v 2= 1}

Figura 3.

Está claro que toda semirrecta con origen en O determina un único punto P(u,v) de C. Ello significa que para cada ángulo orientado j, situado sobre el sistema de referencia OXY de la forma establecida, obtendremos un punto P(u,v) cumpliendo u2 + v2 = 1. Entonces definiremos coseno y seno de j como las coordenadas del punto P. O sea: O

A (1, 0)

u

v

cos j = u sen j = v

j

P P

v

j cos j = u sen j = v

Está claro que toda semirrecta con origen en O determina un único punto P(u,v) de C. Ello significa que para cada ángulo orientado j, situado sobre el sistema de referencia OXY de la forma establecida, obtendremos un punto P(u,v) cumpliendo u2 + v2 = 1. Entonces definiremos coseno y seno de j como las coordenadas del punto P. O sea: O

u

A (1, 0)

Figura 3.

C = {(u, v) / u2 + v 2= 1}

Tomemos ahora la circunferencia de centro O y radio unidad

2.2. Definición de seno y coseno

Observación: Sabido es que podríamos haber tomado una circunferencia de radio r cualquiera y las definiciones seu v rían cos j= , sen j= . Es fácil probar la independencia de tales definiciones con respecto al radio r r elegido, con lo cual tomamos r = 1 (circunferencia goniométrica), sin restar generalidad. Tratamos de que las definiciones dadas nos permitan construir dos funciones reales de variable real. Pero para ello es preciso que un ángulo orientado j quede identificado mediante un número real x. En realidad no nos interesa tanto la perspectiva geométrica como la del análisis real, y en ese sentido hay otras formas de llegar a x longitud las funciones que pretendemos, si recurrir siquiera a la noción de ángulo. No obstante, la introducción del radián puede ser, al menos en primera aproximación, una manera de solventar la cuestión. En efec1 to, con la definición clásica lo que hacemos es asignar valor 1 al ángulo dirigido en sentido contrario al de las agujas del reloj y tal que la longitud del arco es 1, es decir, al ángulo central cuyo arco corresponFigura 4. diente tiene la misma longitud que el radio. Figura 2.

Si tomamos en el plano un sistema de referencia OXY ortonormal (ejes rectangulares), podemos considerar como semirrecta inicial s1 la mitad positiva del eje de abcisas (OX+), y entonces el ángulo orientado vendrá dado por la semirrecta terminal, más concretamente por el ángulo barrido por ésta al girar con centro O. De esa manera puede considerarse un ángulo orientado como un ángulo de giro, se puede generalizar la noción de ángulo admitiendo ángulos superiores a una vuelta y se pueden establecer dos sentidos de giro (usualmente como positivo el contrario al de las agujas del reloj).

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Funciones circulares e hiperbólicas y sus recíprocas De esta manera el ángulo orientado j definido por P se identifica con la longitud x del arco AP tomando como unidad el radio de la circunferencia, si para ir de A a P hay que seguir el sentido contrario de las agujas del reloj. Si para ir de A a P vamos en sentido de las agujas del reloj entonces identificaremos j con el número –x. Decimos en cada caso que la medida de j es x radianes o –x radianes. Cuando recorremos la circunferencia completa partiendo desde A(1,0) en sentido positivo hasta volver a A de nuevo, el ángulo dirigido en que ambas semirrectas inicial y terminal son OA corresponde entonces a la longitud total de la circunferencia unidad, que es 2p. De ese modo, si nos ceñimos a tan sólo la primera vuelta obtendremos una biyección entre los puntos del círculo unidad C y el intervalo de números reales [0,2p]

p/2

0

p

3p/2

2

Figura 5.

Hay otra forma de interpretar la asignación de un número real a un ángulo orientado. Teniendo en cuenta la proporcionalidad directa entre el área de un sector del círculo unidad y el arco correspondiente, la razón de dicha proporcionalidad viene dada por P

área círculo p 1 = = long . circunferencia 2p 2

x S

A

O

x Para un sector de arco x, el área será . Es decir, a un ángulo dirigido 2 positivo de la primera vuelta, le asignamos como medida un número real x Figura 6. entre 0 y 2p, que viene a ser el doble del área del sector S correspondiente. Supongamos ahora un ángulo generalizado superior a una vuelta. El arco contado a partir de A es ahora superior a 2p (y lo mismo ocurre con el doble del área del sector barrido). Es como si el arco se fuera arrollando sobre el círculo unidad. Resultaría, pues, que el ángulo de x radianes y el de x + 2p radianes corresponderían al mismo punto P sobre el círculo unidad, y lo mismo ocurriría con el de x + 4p, x + 6p, ... radianes. Si vamos arrollando al revés, es decir, en sentido de las agujas del reloj, tendríamos que los ángulos de x – 2p, x – 4p, x – 6p, … radianes también corresponden al mismo punto P. Si llamamos w: R ® C a la función de arrollamiento, tendríamos que w (x + 2pk) = w(x) = P(u,v) para todo k Î Z C 1 v

0 –5p/2

–2p

–3p/2

–p

–p/2

0 u

Figura 7.

w

R p/2

p

3p/2

2p

5p/2

3p

Nuestra definición dada de seno y coseno, se traduce ahora en: Para todo x Î (–¥,+¥) es: cos x = abcisa de w (x) = u sen x = ordenada de w (x) = v TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Figura 9.

Como consecuencias: 1.

cos (x + 2pk) = cos x, sen (x + 2pk) = sen x, para cualquier k Î Z.

2.

cos2 x + sen2 x = u2 + v2 = 1, pues P(u,v) está sobre la circunferencia unidad.

T Q

P

P

O

A O

O

A

T

A Q

Q

2.3. Definición de las demás funciones circulares A partir de sen x y cos x , definimos:

P

T

sen x cos x

Tangente

tg x =

Cotangente

cotg x =

En este caso, todos los valores son positivos por serlo u y v. Para los restantes cuadrantes se puede hacer una interpretación similar, pero hay que tener en cuenta los signos correspondientes. Así pues, para sen x, cos x y tgx , las líneas trigonométricas serían: cos x 1 = sen x tg x

1 OP ON ON = = = = ON v PQ OB 1

cosec x = sec x =

1 OP OT OT = = = = OT u OQ OA 1

cotg x =

1 sen x

OA = OB = OP = r = 1

1 cos x

cosec x =

Cosecante

Figura 8.

sec x =

Secante

u NB NB = = = NB v OB 1

Puede darse un significado geométrico sobre el círculo unidad C a tales funciones, enlazando con la definición anterior de las funciones cos x y sen x, como las coordenadas (u,v) del punto w(x) = P. Si supop nemos 0 < x < , la longitud del arco será menor que un cuarto de circunferencia y estaremos en el primer 2 cuadrante. La semejanza de triángulos nos da: Q

u

A

tg x =

v

P

T

v TA TA = = = TA u OA 1

cos x = u = OQ

N

sen x = v = PQ

sen x = v = PQ

B

N

O

B

cos x = u = OQ

T

Puede darse un significado geométrico sobre el círculo unidad C a tales funciones, enlazando con la definición anterior de las funciones cos x y sen x, como las coordenadas (u,v) del punto w(x) = P. Si supop nemos 0 < x < , la longitud del arco será menor que un cuarto de circunferencia y estaremos en el primer 2 cuadrante. La semejanza de triángulos nos da: A

cotg x =

cotg x =

cosec x =

Figura 8.

Cotangente

OA = OB = OP = r = 1

1 OP OT OT = = = = OT u OQ OA 1 1 cos x

sec x =

u NB NB = = = NB v OB 1

sec x =

Q

Secante

u

v TA TA = = = TA u OA 1

1 sen x

O

tg x =

cosec x =

v

Cosecante

P

1 OP ON ON = = = = ON v PQ OB 1

cos x 1 = sen x tg x

En este caso, todos los valores son positivos por serlo u y v. Para los restantes cuadrantes se puede hacer una interpretación similar, pero hay que tener en cuenta los signos correspondientes. Así pues, para sen x, cos x y tgx , las líneas trigonométricas serían: Tangente

tg x =

sen x cos x

T

P

A partir de sen x y cos x , definimos:

2.3. Definición de las demás funciones circulares Q

Q

O

A

A

O

cos2 x + sen2 x = u2 + v2 = 1, pues P(u,v) está sobre la circunferencia unidad.

T

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P

Como consecuencias:

Figura 9.

P

cos (x + 2pk) = cos x, sen (x + 2pk) = sen x, para cualquier k Î Z.

T

1.

A

2.

O Q

Funciones circulares e hiperbólicas y sus recíprocas

2.4. Propiedades inmediatas 1. sen 0 = 0, sen

p 3p = –1 = 1, sen p = 0, sen 2 2

2. cos 0 = 1, cos

p 3p =0 = 0, cos p = –1, sen 2 2

3. La función seno es impar: sen (–x) = –sen x, " x Î R 4. La función coseno es par: cos (–x) = cos x, " x Î R 5. sen (x +

p p ) = cos x, cos (x + ) = –sen x 2 2

6. sen (x + p) = –sen x, cos (x + p) = –cos x 7. sen (x + 8. sen (

3p 3p ) = cos x, cos (x + ) = –sen x 2 2

p p – x) = cos x, cos ( – x) = sen x 2 2

9. sen (p – x) = sen x, cos (p – x) = –cos x 10. sen(

3p 3p – x) = –cos x, cos( – x) = –sen x 2 2

11. sen (x + 2kp) = sen x, " k Î Z 12. cos (x + 2p) = cos x, " k Î Z 13. tg (x + kp) = tg x, " k Î Z 14. cotg (x + kp) = tg x, " k Î Z 15. sen (x + y) = sen x · cos y + cos x · sen y 16. cos (x + y) = cos x · cos y – sen x · sen y 17. sen (x – y) = sen x · cos y – cos x · sen y 18. cos (x – y) = cos x · cos y + sen x · sen y 19. sen 2x = 2sen x · cos x 20. cos 2x = cos2 x – sen2 x 21. cos2 x + sen2 x = 1 22. 1 + tg2 x = sec2 x 23. cotg2 x + 1 = cosec2 x 24. sen2 x =

1– cos 2x 2

25. cos2 x =

1+ cos 2x 2

æ x+ y ö æx– y ö ÷· cosç ÷ 26. sen x + sen y = 2 senç è 2 ø è 2 ø æ x+ y ö æx– y ö ÷· senç ÷ 27. sen x – sen y = 2 cosç è 2 ø è 2 ø TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Figura 10.

æ x+ y ö æx– y ö ÷· cosç ÷ 28. cos x + cos y = 2 cosç è 2 ø è 2 ø

|cos a – cos b| w(b)

|sen a – sen b|

æ x+ y ö æx– y ö ÷· senç ÷ 29. cos x – cos y = –2 senç è 2 ø è 2 ø

Las propiedades anteriores se pueden justificar geométricamente, en consonancia con nuestra introducción de las funciones circulares a partir de ángulos orientados sobre el círculo unidad. Otras construcciones más formales por la vía analítica, que no se basan tanto en la noción de ángulo, exigen otro tipo de demostraciones, como veremos adelante. w(a) = (cos a, sen a) w(b) = (cos b, sen b)

w(a)

2.5. Periodicidad Es esta una característica fundamental de las funciones circulares, que las hace sumamente importantes para el tratamiento de multitud de fenómenos (ondas, vibraciones, oscilaciones,...) Dada una función f(x) definida en un dominio D, un “período” es todo número p que cumple: a) x Î D Þ x + p Î D b) f(x + p) = f(x), " x Î D

Se utilizará de nuevo aquí la notación inicial introducida en la sección 2.2. Así pues, el círculo unidad es C = {(u, v) / u2 + v2 = 1} y w(x) la función de arrollamiento de R en C, que a cada número real x asocia el punto P(cos x, sen x) de C, siendo x la longitud del arco desde A(1,0) al punto P. Sea I = [a,b] un intervalo de R con amplitud suficientemente pequeña. Puesto que al arrollar I sobre C no se produce estiramiento, tendremos un arco de longitud |a – b| entre w(a) y w(b).

2.6. Continuidad y derivabilidad de las funciones circulares

Si existe algún número con las condiciones anteriores a f(x) se le denomina “función periódica”. Se verifican: Todo múltiplo de un período es también un período, es decir: f(x + kp) = f(x), " x Î D.

análogamente para la cotangente.

En el caso de la tangente el período primitivo es T = p, ya que tg ( x + p) =

– – –

sen (x+ p ) –sen x = = tg x, y cos (x+ p ) –cos x

La diferencia de dos períodos es otro período.

Si f(x) es una función periódica, no constante, sus períodos son los múltiplos del menor período positivo, y sólo ellos. Al menor período positivo le llamaremos T (período primitivo).

Las seis funciones circulares son periódicas. En el caso del seno, coseno, secante y cosecante el período primitivo es T = 2p.

Las seis funciones circulares son periódicas. En el caso del seno, coseno, secante y cosecante el período primitivo es T = 2p. sen (x+ p ) –sen x En el caso de la tangente el período primitivo es T = p, ya que tg ( x + p) = = = tg x, y cos (x+ p ) –cos x análogamente para la cotangente.

– – –

Si f(x) es una función periódica, no constante, sus períodos son los múltiplos del menor período positivo, y sólo ellos. Al menor período positivo le llamaremos T (período primitivo). La diferencia de dos períodos es otro período.

Todo múltiplo de un período es también un período, es decir: f(x + kp) = f(x), " x Î D.

Si existe algún número con las condiciones anteriores a f(x) se le denomina “función periódica”. Se verifican:

2.6. Continuidad y derivabilidad de las funciones circulares

Es esta una característica fundamental de las funciones circulares, que las hace sumamente importantes para el tratamiento de multitud de fenómenos (ondas, vibraciones, oscilaciones,...) Dada una función f(x) definida en un dominio D, un “período” es todo número p que cumple: a) x Î D Þ x + p Î D b) f(x + p) = f(x), " x Î D

Se utilizará de nuevo aquí la notación inicial introducida en la sección 2.2. Así pues, el círculo unidad es C = {(u, v) / u2 + v2 = 1} y w(x) la función de arrollamiento de R en C, que a cada número real x asocia el punto P(cos x, sen x) de C, siendo x la longitud del arco desde A(1,0) al punto P. Sea I = [a,b] un intervalo de R con amplitud suficientemente pequeña. Puesto que al arrollar I sobre C no se produce estiramiento, tendremos un arco de longitud |a – b| entre w(a) y w(b).

2.5. Periodicidad w(a)

w(a) = (cos a, sen a) w(b) = (cos b, sen b)

Las propiedades anteriores se pueden justificar geométricamente, en consonancia con nuestra introducción de las funciones circulares a partir de ángulos orientados sobre el círculo unidad. Otras construcciones más formales por la vía analítica, que no se basan tanto en la noción de ángulo, exigen otro tipo de demostraciones, como veremos adelante. 396

Figura 10.

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|cos a – cos b|

æ x+ y ö æx– y ö ÷· cosç ÷ 28. cos x + cos y = 2 cosç è 2 ø è 2 ø

w(b)

æ ö æx– y ö x + y ÷· senç ÷ 29. cos x – cos y = –2 senç è 2 ø è 2 ø

|sen a – sen b|

Funciones circulares e hiperbólicas y sus recíprocas La longitud de la cuerda que une w(a) y w(b) es menor que el arco que la subtiende, y en consecuencia (cos a – cos b)2 + (sen a – sen b)2 £ |a – b| Son obvias las inigualdades (cos a – cos b)2 £ (cos a – cos b)2 + (sen a – sen b)2 (sen a – sen b)2 £ (cos a – cos b)2 + (sen a – sen b)2 que combinadas con la anterior nos llevan a |cos a – cos b| £ |a – b| |sen a – sen b| £ |a – b| Ahora podemos utilizar estos resultados para probar la continuidad de la funciones seno y coseno en cualquier punto x0. En efecto, dado cualquier e > 0 existe d = e, tal que si |x – x0| < d, entonces |cos x – cos x0| £ |x – x0| < e |sen x – sen x0| £ |x – x0| < e Resulta, pues, que: Las funciones reales f(x) = cos x y g(x) = sen x son continuas en todo R (la continuidad es además uniforme). Para las demás funciones circulares vale el teorema relativo a la continuidad de la función cociente de dos funciones continuas. Esto es, la función cociente es continua salvo en aquellos puntos donde la del denominador se anula. Así pues:

–

ü ì (2k – 1)p Las funciones tg x y sec x son continuas en R – í ,k Î Zý þ î 2

–

Las funciones cotg x y cosec x son continuas en R – {kp / k Î Z}

Veamos ahora la derivabilidad. La demostración clásica de que las funciones seno y coseno son derivables en todo R se basa en las fórmulas de adición (propiedades 15. y 16. de la sección 2.4.) y en el límite sen h lim = 1. h ®0 h p Para probar dicho límite, consideraremos |h| < , pues nos va a interesar lo que ocurre para h pequeño. Si 2 p es 0 < h < , podemos recurrir a la figura y poner: 2 T Área (D OAP) £ Área (Sector OAP) £ Área (D OAT)

P(cos h,sen h)

1 1 1 sen h £ h £ tg h 2 2 2 Dividiendo entre sen h: 1 £

h 1 £ sen h cos h

Tomando inversos: cos h £

sen h £1 h

1

O

(*)

Q

A(1,0)

Figura 11.

p sen (–h) < h< 0 tomando – h > 0 tendríamos cos (–h) £ £ 1, y como cos (–h) = cos h, 2 –h sen (–h) = –sen h, queda de nuevo (*). Si fuese –

Ahora basta tomar límites en (*) y aplicar la regla del sandwich. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Volumen I. Matemáticas

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Además

De cos2 x + sen2 x = 1 se desprenden |cos x| £ 1, |sen x| £ 1, " x Î R. Es decir, son funciones acotadas sobre R, siendo –1 £ cos x £ 1, –1 £ sen x £ 1, " x Î R. p 3p = cos p = –1, se tendrá que –1 y +1 son los valores máximo y Puesto que sen = cos 0 = 1 y sen = 2 2 mínimo absolutos de tales funciones y por tanto, el recorrido de ambas funciones es el intervalo [–1,+1]. El período de ambas funciones es 2p, como ya vimos. Además, son continuas y derivables en todo R, siendo (sen x)’ = cos x, (cos x)’ = –sen x. sen 2 h sen h 1 cos h – 1 (cos h – 1)(cos h + 1) cos 2 h – 1 =– =– × ×sen h = = h(cos h + 1) h cos h + 1 h h(cos h + 1) h(cos h + 1)

y al pasar al límite tendremos: lim h ®0

cos h – 1 = 0. h

Entonces:

æ sen h ö æ cos h – 1ö sen (x + h) – sen x ÷+ sen xç lim ÷= cos x = cos xç lim h ®0 è x®0 h ø è x®0 ø h h

2.7.1. Gráficas de las funciones seno y coseno

D sen x = lim

æ cos h – 1ö æ sen h ö cos (x + h) – cos x ÷– sen xç lim ÷= –sen x = cos xç lim h ®0 è x®0 ø è x®0 h ø h h

D cos x = lim

Figura 12.

y = cos x

p –– p –– 4 2

3p –– 2

Las derivadas de las demás funciones circulares se obtienen aplicando las conocidas reglas de derivación. 1 0

–1

p

2p

–¥

X

y = tg x –2

2.7. Gráficas de las funciones circulares La gráfica de una función periódica se da, por lo general, solamente en un período. Como la gráfica se repite a intervalos regulares de amplitud T, bastaría deslizar la porción dada en ambas direcciones siguiendo el eje OX, para obtener la gráfica completa. Por otro lado, la interpretación geométrica de las funciones circulares en el intervalo [0,2p], permite construir la gráfica en dicho intervalo de cada una viendo cómo varía la línea trigonométrica correspondiente (ver epígrafe 2.3.) al recorrer el círculo unidad una vuelta. Acompañaremos dicha construcción con una síntesis de las propiedades más relevantes que se reflejan en la gráfica. –1

Y

0

p –– p –– 4 2

3p –– 2

p

2p

X

y = sen x

–1

1

p –– p –– 4 2

0

p

3p –– 2

1

2p

X

2

–¥ +¥

Y

–¥ +¥

Y

Y

Y

La gráfica de una función periódica se da, por lo general, solamente en un período. Como la gráfica se repite a intervalos regulares de amplitud T, bastaría deslizar la porción dada en ambas direcciones siguiendo el eje OX, para obtener la gráfica completa. Por otro lado, la interpretación geométrica de las funciones circulares en el intervalo [0,2p], permite construir la gráfica en dicho intervalo de cada una viendo cómo varía la línea trigonométrica correspondiente (ver epígrafe 2.3.) al recorrer el círculo unidad una vuelta. Acompañaremos dicha construcción con una síntesis de las propiedades más relevantes que se reflejan en la gráfica. 1

0

–1

p –– p –– 4 2

p

3p –– 2

2

X

2p

1

y = sen x

X

0

Y

p –– p –– 4 2

p

3p –– 2

2p

–1

2.7. Gráficas de las funciones circulares –2

–1 1 0

p –– p –– 4 2

p

X 3p –– 2

y = tg x

–¥

2p

Las derivadas de las demás funciones circulares se obtienen aplicando las conocidas reglas de derivación. æ cos h – 1ö æ sen h ö cos (x + h) – cos x ÷– sen xç lim ÷= –sen x = cos xç lim è x®0 ø è x®0 h ø h h

D cos x = lim

æ sen h ö æ cos h – 1ö sen (x + h) – sen x ÷+ sen xç lim ÷= cos x = cos xç lim è x®0 h ø è x®0 ø h h

D sen x = lim

h ®0

y = cos x

Figura 12.

h ®0

2.7.1. Gráficas de las funciones seno y coseno

De cos2 x + sen2 x = 1 se desprenden |cos x| £ 1, |sen x| £ 1, " x Î R. Es decir, son funciones acotadas sobre R, siendo –1 £ cos x £ 1, –1 £ sen x £ 1, " x Î R. p 3p = cos p = –1, se tendrá que –1 y +1 son los valores máximo y Puesto que sen = cos 0 = 1 y sen = 2 2 mínimo absolutos de tales funciones y por tanto, el recorrido de ambas funciones es el intervalo [–1,+1]. El período de ambas funciones es 2p, como ya vimos. Además, son continuas y derivables en todo R, siendo (sen x)’ = cos x, (cos x)’ = –sen x. Entonces:

h ®0

y al pasar al límite tendremos: lim

cos h – 1 = 0. h

sen 2 h sen h 1 cos h – 1 (cos h – 1)(cos h + 1) cos 2 h – 1 =– =– × ×sen h = = h(cos h + 1) h cos h + 1 h h(cos h + 1) h(cos h + 1)

Además

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen I. Matemáticas

398

Funciones circulares e hiperbólicas y sus recíprocas De ahí que los puntos singulares de ambas funciones (donde presentan los máximos y mínimos loca(2k – 1)p = 0 y sen kp = 0, para todo k Î Z. Tendríamos que los punles) se obtienen de las relaciones cos 2 (2k – 1)p , mientras que la función tos críticos o estacionarios de la función seno se obtienen para x = 2 coseno los presenta para x = kp. Las gráficas extendidas a todo R son las siguientes: y

y = sen x

Figura 13. 1

–p/2 –2p

x

–p

p/2 p

0 –1

2p

y

y = cos x

1

3p/2

p/2 –2p

–p

0

3p

p

x 2p

–1

Figura 14.

2.7.2. Gráficas de las funciones tangente y cotangente El período de las funciones es ahora p, presentando discontinuidades de salto infinito en los puntos en (2k – 1)p (" k Î Z), mientras que anulan cos x y sen x. Así pues, la función y = tg x es discontinua en x = 2 que la función y = cotg x lo es en x = kp (" k Î Z). Las gráficas tienen asíntotas verticales en tales puntos. p p Podemos tomar para y = tg x el período comprendido entre – y , y para la función y = cotg x el 2 2 comprendido entre 0 y p. Las gráficas completas se obtienen por repetición a intervalos regulares a izquierda y derecha del de partida. y

y

p

–p –p/2

0

p/2

x

p/2

–p/2 –3p/2

y = tg x

–p

0

x p

3p/2

y = cotg x

Figura 15. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

399

Volumen I. Matemáticas

400

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

PROPOSICIÓN: Si f: [a,b] ® R es estrictamente creciente/decreciente y continua, entonces define una biyección de [a,b] en [f(a),f(b)] y su recíproca f-1 es también continua y estrictamente creciente/decreciente. p p Los intervalos elegidos para la restricción a una función uno a uno son el [– , ] para el caso de las 2 2 funciones seno y tangente, y el [0,p] para el caso de coseno y cotangente. Obtenemos así las restricciones biyectivas: p p p p sen: [– , ] ® [–1,+1] tg: [– , ] ® ]–¥,+¥[ 2 2 2 2 cos: [0,p] ® [–1,+1] cotg: [0,p] ® ]–¥,+¥[

2.7.3. Gráficas de las funciones secante y cosecante

A partir de las propiedades de coseno y seno son inmediatas las siguientes consideraciones acerca de las funciones y = sec x e y = cosec x

– – –

El recorrido de ambas es ]–¥, –1] È [+1,¥[

–

La función y = cosec x presenta discontinuidades (asíntotas verticales) en los puntos donde se anula sen x, o sea, en x = kp ("kÎZ) y y Figura 16.

El período de ambas es 2p

La función y = sec x presenta discontinuidades (asíntotas verticales) en los puntos donde se anu(2k – 1)p la cos x, o sea, en x = (" k Î Z) 2

La función sen: R ® [–1,+1] no es uno a uno, pues sen x = sen (x + 2kp). Ni siquiera si nos ceñimos a la primera vuelta, o sea, para x Î [0,2p], ya que para un mismo valor del intervalo [–1,+1], salvo para -1 y +1 , hay dos números de [0,2p] cuyo seno tiene dicho valor. Sin embargo, si restringimos el dominio de la función seno a un intervalo conveniente podemos construir una función uno a uno f que tendrá una recíproca f-1. Existen muchas maneras de hacerlo. Algunos p p p 3p 3p 5p dominios posibles son: [– , ], [ , ], [ , ], etc., y en realidad cualquiera de ellos se puede elegir in2 2 2 2 2 2 p p distintamente. Se acostumbra, sin embargo, a elegir el intervalo [– , ]. 2 2 Podemos hacer uso de un enunciado general, que es consecuencia inmediata del teorema de Darboux o de valores intermedios para una función continua en un intervalo cerrado y acotado. 1

1

x

p

–p/2

p/2

0

2p x

p

3p/2

p/2

0

–1

3p/2

–1

3. FUNCIONES INVERSAS DE LAS CIRCULARES: FUNCIONES CICLOMÉTRICAS

y = sec x

y = cosec x

y = sec x

y = cosec x

3. FUNCIONES INVERSAS DE LAS CIRCULARES: FUNCIONES CICLOMÉTRICAS

La función sen: R ® [–1,+1] no es uno a uno, pues sen x = sen (x + 2kp). Ni siquiera si nos ceñimos a la primera vuelta, o sea, para x Î [0,2p], ya que para un mismo valor del intervalo [–1,+1], salvo para -1 y +1 , hay dos números de [0,2p] cuyo seno tiene dicho valor. Sin embargo, si restringimos el dominio de la función seno a un intervalo conveniente podemos construir una función uno a uno f que tendrá una recíproca f-1. Existen muchas maneras de hacerlo. Algunos p p p 3p 3p 5p dominios posibles son: [– , ], [ , ], [ , ], etc., y en realidad cualquiera de ellos se puede elegir in2 2 2 2 2 2 p p distintamente. Se acostumbra, sin embargo, a elegir el intervalo [– , ]. 2 2 Podemos hacer uso de un enunciado general, que es consecuencia inmediata del teorema de Darboux o de valores intermedios para una función continua en un intervalo cerrado y acotado. –1

–p/2

0

–1

3p/2

p/2

p

1

–

0

3p/2

p/2

p

x

2p x

1

La función y = cosec x presenta discontinuidades (asíntotas verticales) en los puntos donde se anula sen x, o sea, en x = kp ("kÎZ) y y Figura 16.

PROPOSICIÓN: Si f: [a,b] ® R es estrictamente creciente/decreciente y continua, entonces define una biyección de [a,b] en [f(a),f(b)] y su recíproca f-1 es también continua y estrictamente creciente/decreciente. p p Los intervalos elegidos para la restricción a una función uno a uno son el [– , ] para el caso de las 2 2 funciones seno y tangente, y el [0,p] para el caso de coseno y cotangente. Obtenemos así las restricciones biyectivas: p p p p sen: [– , ] ® [–1,+1] tg: [– , ] ® ]–¥,+¥[ 2 2 2 2 cos: [0,p] ® [–1,+1] cotg: [0,p] ® ]–¥,+¥[

La función y = sec x presenta discontinuidades (asíntotas verticales) en los puntos donde se anu(2k – 1)p (" k Î Z) 2 la cos x, o sea, en x =

– – –

El período de ambas es 2p

El recorrido de ambas es ]–¥, –1] È [+1,¥[

A partir de las propiedades de coseno y seno son inmediatas las siguientes consideraciones acerca de las funciones y = sec x e y = cosec x

2.7.3. Gráficas de las funciones secante y cosecante

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen I. Matemáticas

400

Funciones circulares e hiperbólicas y sus recíprocas cuyas gráficas son: y y = sen x

1

x –p/2

p/2

0

y

–1 1 –p/2

x 0 –1

p/2

y y = cos x 1 y = tg x

x

p/2

p

0 –1

Figura 17.

Haciendo uso de la proposición anterior podemos definir las funciones recíprocas de las anteriores: sen–1, cos–1, tg–1 y cotg–1. Usualmente se denominan respectivamente arco seno, arco coseno, arco tangente y arco cotangente: p p arcsen: [–1,+1] ® [– , ] 2 2

p p arctg: ]–¥,+¥[ ® [– , ] 2 2

arccos: [–1,+1] ® [0,p]

arccotg: ]–¥,+¥[ ® [0,p]

Las gráficas correspondientes se obtienen de las anteriores tomando las simétricas respecto a la recta y = x, con lo que resultan las siguientes: y

y

p/2

p

y

y = arccos x

p/2

y = sen x

0

x –1

p/2

y = arctg x –p/2

1

0

–p/2

x

x –1

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

0

1

Figura 18. 401