Introducci´ on L´ımites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior

Funciones de dos variables: L´ımites. Continuidad. Derivadas parciales. Derivadas de orden superior. 1 ´ Juan Ruiz Alvarez 1 Departamento

de Matem´ aticas. Universidad de Alcal´ a de Henares.

Matem´ aticas (Grado en Biolog´ıa)

´ Juan Ruiz Alvarez

Matem´ aticas (Grado en Biolog´ıa)

Introducci´ on L´ımites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior

Contenidos 1

Introducci´ on

2

L´ımites Propiedades de l´ımites

3

Continuidad de funciones de 2 variables

4

Derivadas parciales Interpretaci´on geom´etrica

5

Derivadas parciales de orden superior Igualdad de las derivadas parciales cruzadas

´ Juan Ruiz Alvarez

Matem´ aticas (Grado en Biolog´ıa)

Introducci´ on L´ımites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior

´Indice 1

Introducci´ on

2

L´ımites Propiedades de l´ımites

3

Continuidad de funciones de 2 variables

4

Derivadas parciales Interpretaci´on geom´etrica

5

Derivadas parciales de orden superior Igualdad de las derivadas parciales cruzadas

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Introducci´on

Al igual que para funciones de una variable, para funciones de varias variables es necesario estudiar conceptos tales como el de l´ımite, continuidad o diferenciabilidad.

´ Juan Ruiz Alvarez

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Propiedades de l´ımites

´Indice 1

Introducci´ on

2

L´ımites Propiedades de l´ımites

3

Continuidad de funciones de 2 variables

4

Derivadas parciales Interpretaci´on geom´etrica

5

Derivadas parciales de orden superior Igualdad de las derivadas parciales cruzadas

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Propiedades de l´ımites

Definici´ on intuitiva de l´ımite en 2 variables Decimos que una funci´on de dos variables f (x, y ) tiene l´ımite L en un punto (x0 , y0 ), si la funci´on tiende a L sea cual sea la direcci´ on que tomemos al aproximarnos a (x0 , y0 ). Ejemplo: Calcular el l´ımite, x2 − y2 , (x,y )→(0,0) x 2 + y 2 l´ım

a trav´es de las trayectorias (x, 0) e (0, y ).

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Propiedades de l´ımites

Propiedades de l´ımites

Linealidad: l´ım

(x,y )→(x0 ,y0 )

(af (x, y ) + bg (x, y )) = a + b

l´ım

f (x, y )

l´ım

g (x, y )

(x,y )→(x0 ,y0 ) (x,y )→(x0 ,y0 )

L´ımite de un producto: l´ım

(x,y )→(x0 ,y0 )

f (x, y )·g (x, y ) =

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l´ım

(x, y )·

(x,y )→(x0 ,y0 )

l´ım

(x,y )→(x0 ,y0 )

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g (x, y )

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Propiedades de l´ımites

Propiedades de l´ımites

L´ımite de un cociente: l´ım(x,y )→(x0 ,y0 ) f (x, y ) f (x, y ) = l´ım(x,y )→(x0 ,y0 ) g (x, y ) (x,y )→(x0 ,y0 ) g (x, y ) l´ım

Siempre y cuando l´ım

(x,y )→(x0 ,y0 )

g (x, y ) 6= 0

.

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Introducci´ on

2

L´ımites Propiedades de l´ımites

3

Continuidad de funciones de 2 variables

4

Derivadas parciales Interpretaci´on geom´etrica

5

Derivadas parciales de orden superior Igualdad de las derivadas parciales cruzadas

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Continuidad de funciones de 2 variables

Definici´ on Decimos que una funci´on f de dos variables es continua en un punto (x0 , y0 ) si f (x0 , y0 ) es igual al l´ımite de f (x) cuando (x, y ) tiende a (x0 , y0 ). Es decir, si l´ım

(x,y )→(x0 ,y0 )

f (x, y ) = f (x0 , y0 )

Ejemplo: ¿Es continua la funci´on

´ Juan Ruiz Alvarez

5x 2 y x 2 +y 2

en (1, 2)?

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Si k es un n´ umero real y f y g son funciones continuas en x0 , y0 , las funciones siguientes son continuas en (x0 , y0 ): M´ ultiplo escalar k · f Suma y diferencia f ± g Producto f · g Cociente

f g

si g (x0 , y0 ) 6= 0

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Continuidad de la funci´on compuesta Si h es continua en (x0 , y0 ) y g es continua en h(x0 , y0 ), la funci´on compuesta (g ◦ h)(x, y ) = g (h(x, y )) es continua en (x0 , y0 ). Es decir: l´ım g (h(x, y )) = g (h)x0 , y0 )) (x,y )→(x0 ,y0 )

Notar que h es funci´on de 2 variables y g es funci´on de una variable.

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Interpretaci´ on geom´ etrica

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Introducci´ on

2

L´ımites Propiedades de l´ımites

3

Continuidad de funciones de 2 variables

4

Derivadas parciales Interpretaci´on geom´etrica

5

Derivadas parciales de orden superior Igualdad de las derivadas parciales cruzadas

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Interpretaci´ on geom´ etrica

Derivadas parciales Si z = f (x, y ), las primeras derivadas parciales de f respecto de x e y son las funciones fx y fy , definidas como f (x + ∆x, y ) − f (x, y ) ∂f (x, y ) = fx (x, y ) = l´ım ∆x→0 ∂x ∆x f (x, y + ∆y ) − f (x, y ) ∂f (x, y ) = fy (x, y ) = l´ım ∆y →0 ∂y ∆y Siempre que el l´ımite exista. Esta definici´ on significa que para calcular fx debemos considerar y como constante y derivar respecto a x. An´ alogamente, para calcular fy debemos considerar x como constante y derivar respecto a y . ´ Juan Ruiz Alvarez

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Interpretaci´ on geom´ etrica

Ejemplo: Hallar las derivadas parciales de f (x, y ) = 3x − x 2 y 2 + 2x 3 y

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Interpretaci´ on geom´ etrica

Si y = y0 , z = f (x, y0 ) es la curva de intersecci´ on de la superficie z = f (x, y ) con el plano y = y0 . Por tanto, fx (x0 , y0 ) es la pendiente de esa curva en el punto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )). An´alogamente, si x = x0 , z = f (x0 , y ) es la curva de intersecci´on de la superficie z = f (x, y ) con el plano x = x0 . Por tanto, fy (x0 , y0 ) es la pendiente de esa curva en el punto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )). Por lo tanto, fx (x0 , y0 ) y fy (x0 , y0 ) nos proporcionan las pendientes de la superficie en las direcciones x e y.

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Igualdad de las derivadas parciales cruzadas

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Introducci´ on

2

L´ımites Propiedades de l´ımites

3

Continuidad de funciones de 2 variables

4

Derivadas parciales Interpretaci´on geom´etrica

5

Derivadas parciales de orden superior Igualdad de las derivadas parciales cruzadas

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Introducci´ on L´ımites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior

Igualdad de las derivadas parciales cruzadas

Derivada parcial segunda respecto a x:   ∂ ∂f ∂2f = fxx = ∂x ∂x ∂x 2 Derivada parcial segunda respecto a y   ∂ ∂f ∂2f = fyy = ∂y ∂y ∂y 2 Derivada parcial cruzada o mixta   ∂ ∂f ∂2f = fyx = ∂x ∂y ∂x∂y Derivada parcial cruzada o mixta   ∂ ∂f ∂2f = fxy = ∂y ∂x ∂y ∂x ´ Juan Ruiz Alvarez

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Igualdad de las derivadas parciales cruzadas

Igualdad de las derivadas parciales cruzadas Si f es una funci´on de x e y , con fxy , fy ,x continuas en un entorno de (x0 , y0 ), entonces , fxy (x, y ) = fyx (x, y ), en ese entorno. Ejemplo: Calcular todas las derivadas parciales de f (x, y ) = 3xy 2 − 2y + 5x 2 y 2 f (x, y , z) = ye x + xln(z)

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Igualdad de las derivadas parciales cruzadas

Ejemplo: El ´area de un paralelogramo de lados adyacentes a y b, con ´angulo α entre ellos, viene dada por A = ab sin(α): Calcular el ritmo de cambio de A respecto de a para a = 10, b = 20, y α = π6 . Calcular el ritmo de cambio de A respecto de α para a = 10, b = 20, y α = π6 .

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Igualdad de las derivadas parciales cruzadas

Roland E. Larson. Calculo volumen II. Ed. Mc Graw Hill.

´ Juan Ruiz Alvarez

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