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FUNCIONES EN 2 O 3 VARIABLES CÁLCULO DIFERENCIAL
el gradiente es normal a las curvas de nivel
plano tangente y recta normal
1
INDICE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES ______________________ 3 FUNCIONES DE 2 VARIABLES ________________________________________ 4 Gráfica de funciones de 2 variables ___________________________________________ 5 Límites y Continuidad ______________________________________________________ 6 Derivadas parciales _______________________________________________________ 10 Diferencial total __________________________________________________________ 12 Regla de la cadena _______________________________________________________ 13 Derivación parcial implícita _________________________________________________ 16
DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE ______________________________ 17 Derivada direccional ______________________________________________________ 17 Gradiente _______________________________________________________________ 17 Derivada direccional y gradiente para funciones de tres variables ___________________ 18
PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE ______________ 19 EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES_______________________ 20 Puntos críticos ___________________________________________________________ 20 Criterio de las segundas derivadas parciales ___________________________________ 20 Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables _______________________ 21 Multiplicadores de Lagrange ________________________________________________ 23
2
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES En los cursos anteriores de Cálculo, hemos trabajado exclusivamente con funciones de una variable, de la forma y f ( x) , con una variable dependiente y (la salida o resultado de la función) y una variable independiente x (los valores de entrada). Incluso, hemos definido funciones como r (t ) x(t )iˆ y(t ) ˆj z (t )kˆ que, aunque su resultado sea un vector en el espacio, dependen de una sola variable t. En la vida real existen muchas más problemas que dependen de su solución de dos o más variables. Por ejemplo, la presión que ejerce un fluido sobre las paredes del recipiente que lo contiene depende de la cantidad y temperatura del fluido y del volumen del recipiente. La fuerza de atracción de dos cuerpos en el espacio depende de la masa de cada uno de ellos y de la distancia entre ambos. El rendimiento real de una inversión depende del tipo y la tasa de interés, del capital inicial, del plazo, incluso del porcentaje de inflación y de la fluctuación de la moneda en la que esté hecha la inversión. Supongamos que queremos calcular el volumen de un recipiente en forma de cilindro circular recto. Por nuestros cursos de geometría sabemos que el volumen es igual al producto del área de la base y de la altura, esto es Volumen área de la base altura
Conocemos la forma del recipiente mas no sus medidas, puede ser que la base sea grande y tenga poca altura (como un estuche para discos) o de base pequeña y gran altura (como para guardar spaghetti) o cualquier combinación de medidas. Por lo pronto tenemos tres incógnitas, el volumen, el área de la base y la altura. Para la base, un círculo, el área depende del radio A r 2 , y si
consideramos una variable h para la altura y otra variable V para el volumen, tenemos que
V área de la base altura r 2 h
La variable V depende de los valores que tengan r y h ( es constante). En otra palabras, el valor de V está en función de los valores de r y h V f r, h r 2h
3
V es la variable dependiente mientras que r y h son independientes. La letra f representa la función o regla de correspondencia de la variable dependiente con respecto a las variables independientes, la expresión r 2 h es la representación algebraica de la función. Podemos construir una tabla de valores o dibujar una gráfica para visualizar la función.
altura
V
r
0.0 0.5 0.0 0.0 0.0 0.39 0.0 1.57 0.0 3.53 0.0 6.28 0.0 9.82 0.0 14.14
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
1.0 0.0 0.79 3.14 7.07 12.57 19.63 28.27
1.5 0.0 1.18 4.71 10.60 18.85 29.45 42.41
h 2.0 0.0 1.57 6.28 14.14 25.13 39.27 56.55
2.5 0.0 1.96 7.85 17.67 31.42 49.09 70.69
3.0 0.0 2.36 9.42 21.21 37.70 58.90 84.82
Tabla de valores y gráfica de V =f(h,r) = r2h
FUNCIONES DE 2 VARIABLES Definición: Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales (x,y). Si a cada par en D le correponde un único número real f ( x, y) entonces f es una función de dos variables x e y. Al conjunto D se le denomina el dominio de f mientras que el conjunto de valores f ( x, y) es el recorrido de f. Por lo que podemos en la definición, f es una regla que relaciona las variables independientes x e y con una variable dependiente, por ejemplo, z. El dominio D de f, es el conjunto de todos los pares ordenados ( x, y) que hacen que tenga sentido dicha regla ( una región en el plano xy ). El recorrido es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente una vez aplicada la regla f a los puntos en D. Como ejemplo, tomemos la función f ( x, y) 16 4 x 2 y 2 ,
el dominio de f son todos los puntos del plano xy que cumplan con la condición 16 4 x2 y 2 0 . El dominio entonces, es el conjunto de todos los puntos de la 2 2 elipse x y 1 ó de su interior.
4
4
16
Dominio de f
El recorrido de f es el conjunto de los valores en el intervalo 0, 4 . La gráfica de la función son todos los puntos x, y, f x, y de la superficie 2 2 2 en el espacio x y z 1 , sobre el plano
4
16 16
xy. ( para z de 0 a 4 )
elipsoide
Gráfica de funciones de 2 variables La gráfica de la función de dos variables f son todos los puntos x, y, z de una superficie en el espacio donde z f x, y . Para esbozar la superficie nos es útil conocer el domino y el recorrido de la función, dibujar las trazas de la superficie en los planos coordenados (si existen) y algunas curvas de nivel o líneas de contorno. Tomando el ejemplo anterior f ( x, y) 16 4 x 2 y 2 , el dominio de f son todos los puntos x, y de la elipse y dentro de ella. El recorrido son los valores para z entre cero y cuatro. Las trazas en los planos coordenados: Plano
ecuacion
traza
xy
0 16 4x 2 y 2
x2 y 2 1 4 16
elipse
xz
z 16 4 x 2
x2 z 2 1 4 16
elipse
xy
z 16 y 2
y 2 z 2 16
semicírculo
Las curvas de nivel
0 16 4x 2 y 2
2
1 16 4x 2 y 2
1
2 16 4x 2 y 2
0
-1
-2 -1
-0.5
0
0.5
1
3 16 4x 2 y 2 , etc. 5
Tambien podemos encontrar las coordenadas de algunos de los puntos de la superficie por medio de una tabla.
y
f(x,y)
x
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-2.0
NA
1.732
2.828
3.317
3.464
3.317
2.828
1.732
2.0 NA
-1.5
NA
2.179
3.122
3.571
3.708
3.571
3.122
2.179
NA
-1.0
NA
2.449
3.317
3.742
3.873
3.742
3.317
2.449
NA
-0.5
NA
2.598
3.428
3.841
3.969
3.841
3.428
2.598
NA
0.0
0
2.646
3.464
3.873
4.000
3.873
3.464
2.646
0
0.5
NA
2.598
3.428
3.841
3.969
3.841
3.428
2.598
NA
1.0
NA
2.449
3.317
3.742
3.873
3.742
3.317
2.449
NA
1.5
NA
2.179
3.122
3.571
3.708
3.571
3.122
2.179
NA
2.0
NA
1.732
2.828
3.317
3.464
3.317
2.828
1.732
NA
Tabla de valores y gráfica de f ( x, y) 16 4 x 2 y 2
En la tabla podemos observar que el máximo valor de la función se obtiene cuendo ambos x e y valen cero. f 0, 0 4.0 . Esto lo comprobamos viendo la gráfica. En los cuadros donde aparece la leyenda NA la función no tiene ningún valor, esos puntos x, y no pertenecen al dominio de f.
Límites y Continuidad Sea f una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en x0 , y0 , excepto quizás en el punto x0 , y0 , y sea L un número real. Entonces la función tiene un límite L en el punto
lim
x , y x0 , y0
si la diferencia
x0 , y0 , escrito
f x, y L ,
f x, y L es tan pequeña como se quiera siempre que la
distancia entre el punto x, y y el punto x0 , y0 sea suficientemente pequeña, pero no cero.
6
Ejemplo 1:
Encuentre los siguientes limites
x2 y
lim x y x , y 1,2
y
lim
2
x , y 0,
x cos y y cos x
Solución: Al igual que los limites en las funciones de una variable, el primer paso es sustituir las variables por los valores a los que tienden y evaluar. Si no queda ninguna inconsitencia o indefinicion, el limite existe y es igual al valor obtenido. x2 y
lim x y x , y 1,2
2
12 2 1 1 1 22 3 3
x cos y
y
0cos
0
0 lim y cos x cos 0 x , y 0,
Ambos limites existen
Ejemplo 2:
Sean las funciones f x, y
xy x2 y y g x, y 2 2 2 x y2 x y
Ambas funciones están definidas para todos los puntos del plano xy, excepto para el 0, 0 . Calcule, si es que existe, el límite de cada función cuando
x, y 0,0 . Solución:
xy cuando x, y 0,0 x y2
El limite de la funcion f x, y
2
Sustituyendo: x2 y 0 lim 2 2 0 x , y 0,0 x y
lo cual no nos dice mucho (resulta una indeterminación).
Tendremos que “acercarnos” al 0, 0 tomando algun camino en el plano xy. Por ejemplo, nos acercaremos sobre el eje x ( haciendo que y 0 y que x 0 ) x2 0 0 lim f x, 0 lim 2 2 lim 2 lim 0 0 x , y 0,0
x , y 0,0
x 0
x , y 0,0
x
x , y 0,0
ahora, nos acercamos sobre el eje y ( haciendo que y 0 y que x 0 ) 2 0 y 0 f 0, y lim lim 2 2 lim 2 lim 0 0 x , y 0,0
x , y 0,0 0
y
x , y 0,0
y
x , y 0,0
Existen solo esos dos caminos? Claro que no, cualquier recta en el plano que pase por el origen es un camino, o sea una recta con ecuación y mx .
7
x 2 mx
x 2 mx
m 0
mx
lim lim 0 lim f x, mx lim 1 m x mx x 1 m 1 m para cualquier m Esto nos indica que, al acercarnos al 0, 0 por todos x , y 0,0
x , y 0,0
2
2
x , y 0,0
2
2
2
x , y 0,0
2
lados, la función tiende a cero. Por lo tanto, el límite existe y es
lim x x , y 0,0
y
Por la recta y por la recta y=x Por la recta x
x
x2 y 0 y2
2
3 caminos para acercarnos al (0,0)
f x, y Vista superior y curvas de nivel de la superficie
Ahora tratemos de calcular el limite de g x, y
x2 y x2 y 2
xy cuando x, y 0,0 x y2 2
Sustituyendo:
lim x x , y 0,0
2
xy 0 2 y 0
(una indeterminación).
acercándonos sobre el eje x ( y 0 y x 0 ) x 0 0 lim f x, 0 lim 2 2 lim 2 lim 0 0 x , y 0,0
x , y 0,0
x 0
x
x , y 0,0
x , y 0,0
ahora sobre el eje y ( y 0 y x 0 ) 0 y 0 lim f 0, y lim 2 2 lim 2 lim x , y 0,0
x , y 0,0 0
y
x , y 0,0
y
x , y 0,0
00
Parece ser similar a la función anterior. Tomemos ahora la recta y mx . x mx
lim f x, mx lim x mx x , y 0,0
8
x , y 0,0
2
2
lim x x , y 0,0
m x2 2
1 m 2
m
lim 1 m x , y 0,0
2
m 1 m2
Ya no resultó cero como en los límites anteriores. Si los caminos para acercarse al origen son las rectas y x ó y x entonces el límite quedaría: x x
lim f x, x lim x x ó x , y 0,0
x , y 0,0
2
2
x , y 0,0
x x
lim f x, x lim x x x , y 0,0
x , y 0,0
2
x2
2
1
1
lim lim 2 x 2 2
2
x , y 0,0
x2
lim lim x 2 x , y 0,0
2
x , y 0,0
1 1 2 2
Al principio, cuando nos acercamos al origen por los ejes coordenados parece que el limite si existe y que tiende a cero. Pero cuando tomamos otros caminos dentro del disco R nos damos cuenta que los valores del límite varían en el xy intervalo 1 , 1 Esto claramente nos indica que no existe. 2 2
lim
x , y 0,0
f x, y Vista superior e inferior y curvas de nivel de la superficie
x2 y 2
xy x y2 2
Continuidad en una función de dos variables Una funcion de dos variables f x, y es continua en un punto x0 , y0 de una región abierta R del dominio de f, si existe el limite de f cuando tiende a x0 , y0 y, además, el límite es igual a f x0 , y0 . O sea que
lim
x , y x0 , y0
f x, y f x0 , y0
y es continua en una región abierta R si f es continua en cada uno de los puntos de esa región.
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Continuidad en una función de tres variables Una funcion de tres variables f x, y, z es continua en un punto x0 , y0 , z0 de una región abierta R del dominio de f, si existe el limite de f cuando tiende a x0 , y0 , z0 y, además, el límite es igual a f x0 , y0 , z0 . O sea que
lim
x , y , z x0 , y0 , z0
f x, y, z f x0 , y0 , z0
y es continua en una región abierta R si f es continua en cada uno de los puntos de esa región. Si f y g son funciones de dos variables continuas en x0 , y0 y k entonces
kf (múltiplo escalar), f g (suma/resta), fg (producto) y f / g , si g xo , yo 0 (cociente) son funciones continuas en x0 , y0 . Las mismas reglas aplican para funciones de tres variables continuas en el punto x0 , y0 , z0 .
Derivadas parciales En la vida real, muchas cantidades son funciones de dos o más variables. Por ejemplo, la presión que ejerce un gas sobre las paredes del recipiente que lo contiene dependen de la temperatura del gas y del tamaño del recipiente. Sabemos, por los cursos de Física, que la presión dentro del recipiente crece si aumentamos la temperatura del gas y disminuye si incrementamos el tamaño del recipiente. Ley de Gay Lussac: La presión del gas es directamente proporcional a su temperatura: •Si aumentamos la temperatura, aumentará la presión. •Si disminuimos la temperatura, disminuirá la presión. La ley de Boyle establece que la presión de un gas en un recipiente cerrado es inversamente proporcional al volumen del recipiente, cuando la temperatura es constante Ley de Charles: El volumen es directamente proporcional a la temperatura del gas •Si la temperatura aumenta, el volumen del gas aumenta. •Si la temperatura del gas disminuye, el volumen disminuye.
Podemos, incluso, determinar el efecto que ejerce el cambio de alguna de las variables independientes manteniendo fijas las otras variables que intervienen en la función. Esto lo logramos mediante un procedimiento denominado derivación parcial.
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Derivadas parciales de una función de dos variables Sea z f x, y una función de las variables x e y continua en el punto x0 , y0 1. Si incrementamos x de x0 a x0 x mientras mantenemos fija y en y0 , la
f x0 x, y0 f x0 , y0 . x Haciendo x tan pequeño como sea posible tendremos la derivada parcial de f con respecto a x en cualquier punto x, y de su dominio razón de cambio de f con respecto a x es:
f x x, y lim
x 0
f x x, y f x, y x
2. Si incrementamos y de y0 a y0 y mientras mantenemos fija x en x0 , la
f x0 , y0 y f x0 , y0 . x Haciendo y tan pequeño como sea posible tendremos la derivada razón de cambio de f con respecto a y es:
parcial de f con respecto a y en cualquier punto x, y de su dominio
f y x, y lim
y 0
f x, y y f x, y x
Ejemplo:
Encuentre el valor de las derivadas parciales de la función x f x, y en el punto P 2,1, 2 y Solución: Para derivar f con respecto a x, consideramos a y como una constante: 1 d 1 f x x, y en P 2,1, 2 : f x 2,1 1 x : y dx y Para derivar f con respecto a y, consideramos a x como una constante: 1 d 1 x f y x, y x x 2 2 : en P 2,1, 2 : f y 2,1 2 dy y y y
La función f x, y
x intersectada por los planos x 2 y y 1 y 11
Diferencial total En el curso de cálculo diferencial en funciones de una variable y f x , se vió que cuando x cambia de x0 a x0 x entonces f cambia de la forma siguiente f y f x0 x f x0 y la diferencial de f queda como df f ´( x0 )x En una función de dos variables z f x, y , diferenciable en
x0 , y0 ,
cuando nos movemos a un punto cercano x0 x, y0 y , el cambio en f es f z f x0 x, y0 y f x0 , y0
y la diferencial de f queda como df f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y cuando x y y son muy pequeños podemos considerar que dx x x x0 y dy y y y0 lo cual nos permite tener una definición para la diferencial total de f : Definición: Para una función z f x, y diferenciable en x0 , y0 , si nos movemos de x0 , y0 a un punto x0 x, y0 y cercano, el cambio en f se conoce como la diferencial total de f y está dado por df dz f x ( x0 , y0 )dx f y ( x0 , y0 )dy
Ejemplo: Se fabrica una lata de forma de un cilindro circular recto con las siguientes medidas: radio de la base r 5 cm y altura de la lata h 15 cm. Una vez realizado el corte se observó que las medidas tenían un error de dr 0.02 y dh 0.08. Estimar el cambio absoluto y el error relativo en el volumen de la lata. Solución:
h=15 cm
Para calcular el volumen de la lata usamos V f r , h r 2 h . El
cambio absoluto en V lo estimamos mediante V dV Vr r0 , h0 dr Vh r0 , h0 dh
donde Vr 2 rh y Vh r 2
12
r= 5 cm
dV 2 r0 h0 dr r0 2 dh 2 515 0.02 5 0.08 2
3 2 cm3 3.14 cm3
Nota: dV es una estimación al cambio real V que lo obtenemos mediante
V f r0 r , h0 h f r0 , h0 f 5 0.02,15 0.08 f 5,15 f 5.02,14.92 f 5,15 5.02 14.92 5 15 0.989968 cm3 2
2
El cambio total es el valor del error absoluto en el volúmen. (alrededor de 3 cm ). Pero, ¿qué representan esos 3 cm3 comparados con el volúmen de la lata? Si comparamos el error absoluto con el volumen esperado entonces tendremos el error relativo . 3
Error relativo
dV 0.002667 0.26667% f r0 , h0 375
En funciones de tres variables w f x, y, z direnciables en x0 , y0 , z0 , la diferencial total de f es df dw f x ( x0 , y0 , z0 )dx f y ( x0 , y0 , z0 )dy f z ( x0 , y0 , z0 )dz
Regla de la cadena dy , si x g t es dx diferenciable en t entonces y se convierte en una función de t y su derivada queda como dy/dx dx/dt dy dy dx y x t (regla de la cadena) dt dx dt En una función de una variable y f x con derivada
En funciones de dos variables z f x, y , la regla dedy/dx la cadena dx/dt tiene dos y
x
t formas. La primera es cuando las dos variables de z son, a su vez, funciones de una misma variable independiente t . x g (t ) y y h(t ) lo cual hace a z una función de t con derivada
dz z dx z dy f x x, y g´(t ) f y x, y h´(t ) + dt x dt y dt
x dz/dx
dx/dt
t
z dz/dy
y
dy/dt
13
Ejemplo: Sea z x 2 y 2 , donde x cos t y y et . Calcule
dz dt
Solución: Las derivadas parciales de z son: z x
x x2 y 2
y
z y
y x2 y 2
,
mientras que las derivadas de x e y con respecto a t quedan:
dx sen t , dt
dy et dt
Por la regla de la cadena, la derivada de z con respecto a t:
y dz z dx z dy x sen t + x2 y 2 dt x dt y dt x 2 y 2 t x sen t ye x2 y 2 sustituyendo x e y:
et
dz x sen t yet cos t sen t e2t dt x2 y 2 cos 2 t e2t
Tambien podemos primero sustituir y despues derivar:
z x 2 y 2 cos2 t e2t
dz 1 cos 2 t e2t dt 2
2cos t sen t 2e cos t sen t e
1 2
2t
2t
cos 2 t e2t
La segunda forma de la regla de la cadena es cuando las variables intermedias son funciones de dos ( o mas ) variables independientes.
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Sea z f x, y , donde x e y son funciones de las variables independientes s y t . x g ( s, t ) y y h(s, t ) . Las derivadas parciales de z con respecto a s y t, por la regla de la cadena, estan dadas por:
y
z z x z y f x x, y g s (s, t ) f y x, y hs (s, t ) + s x s y s y z z x z y f x x, y gt (s, t ) f y x, y ht (s, t ) + dy/dx dy/dx x t dx/dt dx/dt t y t y x x t Regla de la cadena: dos variables independientes
x dz/dx
x
dx/ds
dz/dx
s
z dz/dy
y
t
dx/dt
t
z
dy/ds
dz/dy
y
dy/dt
Ejemplo: Hallar
z z y mediante la regla de la cadena para z x 2 y 2 , x s cos t , s s
y s sen t y evaluarlas para s 2, t
4
.
Solucion: Calculamos las derivadas parciales de z, x e y: z z 2 x, 2 y, x y x x cos t , s sen t , s t y y sen t , s cos t , s t aplicando la regla de la cadena:
z z x z y + 2 x cos t 2 y sen t 2 x cos t y sen t s x s y s y z z x z y + 2 x s sen t 2 y s cos t 2s x sen t y cos t t x t y t
15
evaluamos para s 2, t
z t
4
2 2 2 4 2 2 2 2 x cos t y sen t 2 2 cos 2 sen 2 2 2 0 4 4 2 2 2s x sen t y cos t 2 2 2 sen 2 cos 4 4
x 2cos z s
2 2 2, 4 2
y 2sen
2 2 4 2 2 8 2 2 Otra manera de obtener las derivadas parciales es sustituyendo las variables intermedias x e y de z por sus equivalentes en s y t y derivar z. z x 2 y 2 s cos t s sen t s 2 cos2 t sen 2t , 2
2
z 2s cos 2 t sen 2t 2s cos 2t , s
para s 2, t
z s 2 2cos t sen t 2sen t cos t 2s 2 sen 2t t
4
z 2s cos 2t 2 2 cos 0 , s 2
z 2 2s 2 sen 2t 2 2 sen 8 t 2
Derivación parcial implícita Una aplicación de la regla de la cadena es la de encontrar la derivada de una función dada en forma implícita. Por ejemplo, sea la ecuación x 2 y 2 1, existe una relación entre las variables que intervienen en ella. Esta relación nos indica en forma implícita que dy y f x , de manera que y es derivable con respecto a x tal que y ' . dx Consideremos la expresión x 2 y 2 1 como un caso particular de una función de dos variables de la forma z F x, y 0 y aplicamos la regla de la cadena para obtener 16
z : x
z dx dy Fx x, y Fy x, y 0 x dx dx
de donde obtenemos
F x, y dy x dx Fy x, y
Para x 2 y 2 1, F x, y x 2 y 2 1 0 La derivada de y con respecto a x:
F x, y dy 2x x x dx Fy x, y 2y y
F x, y dx 2y y y dy Fx x, y 2x x En una ecuación donde intervienen tres o más variables, cada una de las variables dependen de las demás de manera que podemos encontrar las derivadas parciales implícitas utilizando el mismo criterio. Por ejemplo, si tenemos una ecuación de las variables x, y y z como x c o sy e xz y 2 z y queremos obtener las derivadas parciales de z con respecto a x e y: La derivada de x con respecto a y:
Primero pensamos en el caso paticular F x, y, z 0 o sea
F x, y, z x cos y e xz y 2 z 0 Las derivadas parciales de z con respecto a x e y: F x, y , z z cos y ze xz cos y ze xz x x Fz x, y, z xe xz y 2 xe xz y 2
F x, y , z z xsen y 2 yz xsen y 2 yz y xz 2 y Fz x, y, z xe y xe xz y 2
DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE Derivada direccional La derivada direccional de la función f en dirección del vector unitario u aiˆ bjˆ es Du f x, y af x x, y bf y x, y u f x, y
Gradiente Propiedades del gradiente Sea f diferenciable en el punto x, y . 1. Si f x, y 0 , entonces Du f x, y 0 para toda u
17
2. La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por f x, y . El valor máximo de Du f x, y es f x, y . 3. La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por f x, y . El valor mínimo de Du f x, y es f x, y . El gradiente es normal a las curvas de nivel Si f es diferenciable en x0 , y0 y f x, y 0 , entonces f x, y es normal a la curva de nivel de f que pasa por x0 , y0 .
Derivada direccional y gradiente para funciones de tres variables Sea f una función continua y derivable de las variables x, y y z, y sea un vector unitario u aiˆ bjˆ ckˆ .
La derivada direccional de f en dirección del vector unitario u está dada por Du f x, y, z af x x, y, z bf y x, y, z cf z x, y, z u f x, y, z El gradiente de f se define como f x, y, z f x x, y, z iˆ f y x, y, z ˆj f z x, y, z kˆ 1. Si f x, y, z 0 , entonces Du f x, y, z 0 para toda u 2. La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por f x, y, z . El valor máximo de Du f x, y es f x, y, z . 3. La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por f x, y, z . El valor mínimo de Du f x, y es f x, y, z . El gradiente es normal a las superficies de nivel Si f es diferenciable en x0 , y0 , z0 y f x, y, z 0 , entonces f x, y, z es normal a la superficie de nivel de f que pasa por x0 , y0 , z0 .
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PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE Sea una superficie definida mediante una función de la forma z f x, y . Esta superficie podemos considerarla como la superficie de nivel de una función F de tres variables, tal que F x, y, z f x, y z 0 . Como sabemos, el gradiente de la función F es normal a todas sus superficies de nivel. El plano que pasa por un punto P x0 , y0 , z0 de la superficie S dada por F x, y, z 0 y que es normal al vector f x0 , y0 , z0 0 se denomina plano tangente a S en P y su ecuación es Fx x0 , y0 , z0 x x0 Fy x0 , y0 , z0 y y0 Fz x0 , y0 , z0 z z0 0 La recta que pasa por el punto P x0 , y0 , z0 de la superficie S dada por F x, y, z 0 con la dirección del vector f x0 , y0 , z0 0 se denomina recta normal a S en P y sus ecuaciones parametricas son:
x x0 Fx x0 , y0 , z0 t ; y y0 Fy x0 , y0 , z0 t ; z z0 Fz x0 , y0 , z0 t
el gradiente es normal a las curvas de nivel
plano tangente y recta normal
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EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Teorema del valor extremo Sea f una función continua de dos variables x e y, definida en una región cerraday acotada R del plano xy. 1. Existe al menos un punto en R donde f alcanza un valor mínimo (absoluto) 2. Existe al menos un punto en R donde f alcanza un valor máximo (absoluto)
Puntos críticos
Sea f definida en una región abierta R que contiene a x0 , y0 . El punto x0 , y0 es un punto crítico de f si ocurre alguna de estas circunstancias 1.
f x x0 , y0 f y x0 , y0 0
2. si alguna de f x x0 , y0 ó f y x0 , y0 no existe. Un extremo relativo es un punto crítico de f.
Criterio de las segundas derivadas parciales Sea f una función continua con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene al punto x0 , y0 , en el cual f x x0 , y0 f y x0 , y0 0 . Para buscar los extremos relativos de f se realiza el siguiente cálculo
d f xx x0 , y0 f yy x0 , y0 f xy x0 , y0
2
1. Si d 0 y f xx x0 , y0 0 , entonces f tiene un mínimo relativo en x0 , y0 . 2. Si d 0 y
f xx x0 , y0 0 , entonces f tiene un máximo relativo en
x0 , y0 .
3. Si d 0 , entonces f tiene un punto de silla en x0 , y0 , f x0 , y0 . 4. Si d 0 , el criterio no da ninguna conclusión.
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Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables Ejemplo 1: Una caja de forma de paralelepípedo rectángulo se encuentra recargada a los planos coordenados en el primer octante. Calcular las medidas de la caja para tener un volumen máximo si uno de los extremos de la caja toca al plano con ecuación 3x y 2 z 18 . z
Plano 3x+y+2z=0
Solución:
y
La caja está recargada en el punto x, y, 18 3x y
x
2
Volumen de la caja = V x, y xyz xy 18 3x y 9 xy 3 x 2 y 1 xy 2
2
2
Volumen mínimo/máximo: cuando Vx x, y Vy x, y 0
Vx x, y 9 y 3xy
1 2 1 y y 9 3x y 0 2 2
3 3 Vy x, y 9 x x 2 xy x 9 x y 0 2 2
2
ecuación 1
ecuación 2
Las soluciones para el sistema de dos ecuaciones es:
x y0
la cual nos daría un volumen cero (mínimo)
x 2, y 6
donde z 18 3x y 18 3 2 6 3 , el volumen de la caja es 2
V x, y xyz 2 6 3 36 u 3
2
(máximo).
Las medidas de la caja para que el volumen sea máximo son x 2, y 6, z 3
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Ejemplo 2: Se dispara un proyectil desde un cañón situado en el punto A para impactar a un blanco situado en B a una distancia horizontal de 1000 pies y a una altura de 100 pies con respecto al cañón. Calcular la mínima velocidad y el ángulo de elevación del proyectil para alcanzar el blanco. ( despreciar la resistencia del aire )
r(t) Vo 1 angulo 1
100' 1000'
Solución: La trayectoria del proyectil está determinada por la función vectorial 1 r (t ) V0t cos iˆ V0t sin gt 2 ˆj 2 de donde la primera componente nos indica la posición horizontal o alcance del proyectil mientras que la segunda componente la altura en cierto instante t. La posición del proyectil al tiempo del impacto con el blanco es (1000,100), lo que significa que a. V0t cos 1000 1 b. V0t sin gt 2 100 2 Despejando t de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda tenemos que 2
1000 1 1000 y V0 sin g 100 2 V0 cos V0 cos 106 sin 16*106 1000sin 1 32 100 1000 100 2 2 cos V0 2 cos 2 cos 2 V0 cos
1000 t V0 cos
10
10V0 2 sin cos 16*104 sin 16*104 2 1 1 cos V0 cos 2 V0 2 cos 2
10V0 2 sin cos 16*104 V02 cos2 V02 10sin cos cos2 16*104 0 1 usando identidades de ángulo doble: V0 2 5sin 2 cos 2 1 16*104 0 2 Esta última ecuación nos presenta una función implícita de 2 variables F (V0 , ) 0 , como queremos encontrar la mínima velocidad del proyectil
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entonces derivamos la función con respecto a . Nota: dV0 F (V , ) 0 0 sí F (V0 , ) 0 d FV0 (V0 , )
V0 2 0 F (V0 , ) 0 V0 10cos 2 sin 2 0 lo cual es cierto sí 10 cos 2 sin 2 0 la primera igualdad no es posible, por lo tanto resolvemos la segunda. sin 2 10cos 2 sin 2 0 sin 2 10cos 2 10 tan 2 10 2 tan 1 10 cos 2 2 84.2984 95.7106 47.8553 ( al ángulo negativo le sumamos 180 grados ). Sustituyendo el valor del ángulo en F (V0 , ) 0 obtenemos 2
1 V0 2 5sin 95.7106 cos 95.7106 1 16*104 0 2 16*104 16*104 V0 V0 1 1 5sin 95.7106 cos 95.7106 1 5sin 95.7106 cos 95.7106 1 2 2 V0 188.0415 pies / seg 2
Multiplicadores de Lagrange Dada una función de varias variables, sabemos que presenta un punto crítico cuando su gradiente es nulo. Para identificar de qué punto crítico se trata, debemos usar el criterio de la segunda derivada. Éste establece que dada una función f(x; y) que presenta un punto crítico en (x0; y0), podemos calcular el siguiente discriminante:
2 f x 2 D 2 f yx
2 f 2 2 2 2 xy f f f 2 2 f x y 2 xy y 2
2 f 2 f > 0, se tiene un mínimo local en (x ; y ). Si D > 0 y < 0, se 0 0 x 2 x 2 tiene un máximo local en (x0; y0). Si D < 0, se tiene un punto silla en (x0; y0). Finalmente, si D = 0 el criterio de la segunda derivada no decide la naturaleza del punto crítico en (x0; y0). Si D > 0 y
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Cuando se desea obtener los extremos absolutos de una función en una cierta región del dominio, se deben seguir los siguientes pasos: 1. Hallar los puntos críticos de la función en el dominio y calcular su valor en ellos. 2. Hallar los valores extremos de la función sobre la frontera del dominio. 3. Determinar los valores máximo y mínimo de entre todos los hallados en los dos puntos anteriores. Hallar extremos restringidos significa determinar los extremos de una función f(x; y) sujetos a una restricción g(x; y) = 0. Para ello debe plantearse la ecuación vectorial: f = g El valor se conoce como multiplicador de Lagrange y es un auxiliar para determinar los valores de las variables del dominio que satisfacen la ecuación vectorial y la restricción. Si existen varias restricciones, se plantean varios multiplicadores. Ejemplo 1:
(puntos críticos)
Hallar y clasificar los puntos críticos de:
f ( x; y) x 3 4 xy 2 y 2 1 Solución: Tenemos: 2 2 4 4 4 f x 3x 4 y 0 3x 4 x 0 x 0 x 3 P1 (0;0); P2 ( 3 ; 3 ) f y 4x 4 y 0 x y
Ahora
f xx ( x; y ) 6 x 6x 4 f yy ( x; y ) 4 D( x; y ) 24 x 16 4 4 f xy ( x; y ) 4 D(0;0) 16 0 (0;0) es un punto silla D( 43 ; 43 ) 16 0 ( 43 ; 43 ) es un extremo; y como f xx ( 43 ; 43 ) 8 0 ( 43 ; 43 ) es un máximo
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Ejemplo 2: (valores extremos) Hallar el valor mínimo y máximo de la función f x, y x 2 y 4 x y en el triángulo limitado por las rectas x = 0; y = 0; x + y = 6. Solución: a) Puntos críticos. Primero debemos encontrar los puntos críticos de la función que se encuentran en el dominio dado, que es el triángulo de extremos (0,0), (6,0), (0,6). Planteamos:
f 2 x 0 2 xy (4 x y ) x y (1) 0 xy (8 3x 2 y ) 0 f 0 f 0 x 2 (4 x y ) x 2 y (1) 0 x 2 (4 x 2 y ) 0 y vemos que todos los puntos con x = 0 son críticos. Si x 0, tenemos las siguientes posibilidades para que ambas derivadas parciales sean nulas:
y 0; 4 x 2 y 0 x 4 P1 (4, 0) 8 3x 2 y 0; 4 x 2 y 0 P2 (2,1) El primero de estos puntos pertenece a la frontera; por lo tanto lo consideraremos cuando analicemos ésta. En cuanto al segundo punto, tenemos f(2,1) = 4. b) Análisis de la frontera. La frontera se compone de tres tramos rectos. En x = 0 y y = 0 la función asume el valor 0. En x + y = 6 podemos escribir:
x y 6 y 6 x x 2 y(4 x y) x 2 (6 x)(4 x 6 x) 12 x 2 2 x 3 , donde x va variando de 0 a 6. Para determinar en qué punto del segmento de recta x + y = 6 se produce un máximo o mínimo de esta función (en los extremos del segmento asume el valor 0), podemos derivarla:
d 12 x 2 2 x 3 24 x 6 x 2 0 x 0 y 6 x 4 y 2 dx De los dos puntos obtenidos, (0,6) es uno de los extremos del segmento, donde la función vale 0, mientras que (4,2) está dentro del segmento oblicuo. c) Evaluación de la función en los puntos obtenidos. Evaluando se tiene: f(segmento x = 0) = 0
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f(segmento y = 0) = 0 f(4,2) = -64 mínimo absoluto f(2,1) = 4 máximo absoluto
Ejemplo 3: (Multiplicadores de Lagrange) La ecuación 2x4 + 3y4 = 32 representa el borde de la pantalla de un monitor. Si el campo eléctrico viene dado por la función f ( x; y )
1 x y2 2
,
hallar los valores máximo y mínimo de éste sobre el borde de la pantalla. Solución: Sea g x, y 2 x 4 3 y 4 . Tenemos:
x 8 x3 2 2 3/ 2 x y f g y 12 y 3 x 2 y 2 3/ 2
si ( x , y ) (0,0)
x 2 x3 y y 3 y3
2 3
x x 0
Para obtener este resultado dividimos ambas ecuaciones abarcadas por la llave, por lo cual debemos considerar aparte el caso en que y = 0, para el cual dicha división no sería posible. Analizando todos los casos posibles tenemos:
y
2 3
x 2 x 4 3 y 4 2 x 4 43 x 4 103 x 4 32 x 4
Con estos valores tenemos f(x,y) 0.44. 26
96 10
y 4
192 45
Los otros dos casos son: x 0 3 y 4 32 y 4
32 3
f (0, 4
y 0 2 x 4 32 x 4
32 2
2 f (2, 0) 0.5
32 3
) 0.55
Comparando los tres valores obtenidos, el mínimo valor será 0.44 y el máximo valor será 0.55.
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