Funciones

1.

1

DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA. 1.1

Definición de función real de variable real.

"Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que todos los elementos de D tengan una imagen en R y solo una". Lo escribimos: f: D  R * Los elementos del primer conjunto D, los representamos por la variable independiente, "x". * Los elementos del segundo conjunto que son imagen de algún elemento de D, los representamos por la variable dependiente, "y". Para que una función quede bien determinada es preciso conocer: a)

El criterio o ley "f" que nos permite efectuar la correspondencia. Este criterio puede venir dado por Una fórmula matemática; Una gráfica o Una tabla de valores. b) El dominio (o dominio de existencia o campo de definición de la función). "Es el conjunto de números reales, D, que tienen imagen por la función" D = Dom ( f ) =  x  R / f(x)  R 

Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: * Las funciones polinómicas tienen de dominio R. * Las funciones racionales, cociente de polinomios, tienen de dyominio todo R menos los números que anulan el denominador. 1.

Determinar el dominio de las funciones dadas por las siguientes expresiones: f1(x) = f2(x) =

x 1 x x 3

;

f3(x) =

x2

1 ; ; x3

x2  4

c) El recorrido (o conjunto imagen) "Es el conjunto de valores de R que son imágenes por la función, de algún elemento del Dominio". Determina el dominio y el recorrido de la función dada por: f(x) = x + 3 1.2

Gráfica de una función.

Es la representación sobre unos ejes cartesianos, de los pares de números reales,  x , f(x)  , relacionados por la función. Notas. a) La mayor parte de las funciones que manejaremos este curso vendrán dadas por una fórmula matemática, que llamaremos expresión analítica de la función. b) Aunque para que la función quede bien definida es preciso conocer el criterio, el Dominio y el Recorrido, la mayor parte de las veces no se especifican estos últimos y tendremos que deducirlo nosotros a partir de la expresión analítica o de la gráfica.

Funciones

2.

2

FUNCIONES ELEMENTALES CONOCIDAS. 2.1

Funciones constantes.

Son de la forma f(x) = K. K = constante  R; Dom(f) = R; Im(f) ={K} La gráfica es una recta paralela al eje de abscisas, que pasa por los puntos (0,K), (1,K), (2,K).... En el caso particular f(x) = 0, la gráfica es el mismo eje de abscisas. 2.2

Funciones lineales.

Tienen la forma f(x) = mx; m  R-{0}; Dom(f) = R; Im(f) = R Las gráficas son rectas que pasan por el origen de coordenadas. Al numero m se le llama pendiente de la recta o constante de proporcionalidad. Si m es positivo la grafica es creciente. Si m es negativo la grafica es decreciente. En el caso particular m = 1 , se obtiene la función identidad f(x) = x, cuya gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante. 2.3

Funciones afines.

Son de la forma f(x) = mx + b; a, b  R-{0}; Dom(f) = R; Im(f) = R Las gráficas son rectas que no pasan por el origen. Al numero m se le llama pendiente de la recta. Al numero b se le llama ordenada en el origen. Si m es positivo la grafica es creciente. Si m es negativo la grafica es decreciente. Nota: A veces a los tres tipos de funciones anteriores se les llama lineales, ya que en los tres casos las graficas son líneas rectas. Determinación de una función lineal La expresión analítica de una función lineal se puede calcular si conocemos: Su pendiente m y un punto P(x0, y0) por donde pasa su gráfica. La función viene dada por: f(x) = m.(x – x0) + y0  Conocidos dos puntos por donde pasa su gráfica, A(x1, y1) y B(x2, y2). 

Pendiente : m  2. 3. 4.

y 2  y1 , ecuación de la función: f(x) = m.(x – x1) + y1 x 2  x1

Determina la expresión de una función afín, sabiendo que su pendiente vale -2 ygráfica pasa por el punto P(3,-2) . Determina la expresión de una función afín, sabiendo que su gráfica pasa por los puntos A(1,2) y B(-2,-7). Determina la ecuación de una recta que pasa por el punto M(-2, 3) y es paralela a lña que tiene por ecuación y = 2x + 4 2.4

Funciones lineales a trozos o definidas por intervalos.

Son aquellas que vienen definidas por distintos criterios lineales o afines en distintos subintervalos de R. En estas funciones el Dominio viene especificado en cada caso y el recorrido lo debemos determinar una vez dibujada la gráfica. Las gráficas vienen dadas por segmentos rectilíneos o semirrectas. Por ejemplo: 5.

Representa gráficamente e indica el dominio y el recorrido de las funciones:

x - 3 si -2  x < 0   f(x) =  2x - 3 si 0  x < 2  - 3x + 5 si 2x 

 2 si x  -1  g( x )  x - 2 si - 1  x  4 2 si x  4 

Funciones

2.5

3

Funciones polinómicas de segundo grado: parábolas. a.

Tienen como expresión analítica: f(x) = ax 2 + bx + c ; a , b , c  R , a ≠ 0 ( y v , ) si a  0 siendo y v la ordenada del vértice de la parábola ( , y v ) si a  0

Dom(f)=R; Im(f )  

b. La gráfica es una parábola convexa  , si a > 0 La gráfica es una parábola cóncava  , si a < 0 c.

Los puntos de corte con los ejes son importantes para dibujar la gráfica y se obtienen:

Eje OY: Se hace x = 0, y se calcula f(0) = c. El punto es (0, f(0)) Eje OX: Se hace y = 0, y se resuelve la ecuación : ax2+bx+c=0. Las soluciones, x1, x2, de esta, nos dará las abscisas de los puntos de corte, que serán: (x1, 0) y (x2, 0). (En este eje, puede haber dos puntos de corte, uno o ninguno, según que la ecuación anterior tenga, dos, una o ninguna solución real). d.

El vértice V tiene de coordenadas (xv, yv): x v =

-b ; y v = f( x v) 2a

(El vértice es el único punto de la parábola en el que la tangente es paralela al eje OX. Es un punto crítico y la función presenta en él, un máximo o un mínimo). e. Signo de la parábola: serán aquellos valores del dominio para los cuales la función será positiva o negativa. 6 Representar gráficamente las siguientes funciones, determinando previamente los puntos de corte con los ejes, el vértice, la concavidad y el recorrido: f(x) = x 2 - 6x + 9; g(x) = -x2 + 2x + 3 2.6

Funciones exponenciales.

Estas funciones vienen dadas por expresiones de la forma f(x) = a x . Y como en este caso la variable, x, está en el exponente para no tener problemas en la definición, exigimos que la base, a, sea siempre positiva, y distinta de 1. Es decir: f(x) = a x ; siendo a > 0 y a  1 Para hacer la gráfica distinguimos dos casos: a > 1; y 0< a < 1 . Sus gráficas correspondientes son:

1 Las características mas importantes son: a.

Dom(f) = R; Im(f)= (0, +) b. La gráfica es continua en R. c. Tiene asíntota horizontal a la izquierda para a > 1 cuando x  -  y a la derecha para 0 < a < 1 cuando x  +  . En ambos casos la asíntota es la recta y = 0 (Eje de abscisas). d. Punto de corte con el eje de ordenadas: (0, 1) . Punto de corte con el eje de abscisas: No tiene. e. No tiene puntos singulares (máximo ni mínimo relativos). Ya que f ´(x)  a x  La  0 ; x  R . f. Es creciente en todo R cuando a > 1 y decreciente cuando 0 < a < 1. Por el hecho de ser estrictamente crecientes / decrecientes, estas funciones son inyectivas.

Funciones

4

 

x

G Tambien son exponenciales las funciones f(x) = acx, pues a cx  a c . Es decir, f(x) = acx es una función exponencial de base ac. 7 Representa gráficamente las funciones: y  10x ; y  e x ; y  e-x ; y  2x ; y  2-x ; y  e2x ; y  e-2x

2.7

Función de proporcionalidad inversa Esta función viene dada por una expresión de la forma f(x) =

k , donde k es una constante. x

Para hacer la gráfica distinguimos dos casos: k > 0; y k < 0. Sus gráficas correspondientes son:

Propiedades  Dominio. Dom(f) = ℝ- {0}        3.

Recorrido. Im(f) = ℝ- {0} Monotonía. Estas funciones son estrictamente crecientes en todo su dominio si k es positivo y son estrictamente decrecientes si k es negativo Extremos relativos. Carecen de ellos. Acotación.Estas funciones no están acotadas inferior ni superiormente. Simetrías. Sus gráficas son simétricas respecto del origen de coordenadas. Ramas infinitas y asintotas. Estas funciones tienen dos ramas infinitas verticales y dos ramas infinitas verticales. La asintota vertical es el eje de ordenadas (x = 0) y la asintota horizontal es el eje de abscisas (y = 0). Cortes con los ejes. No corta a ninguno de los ejes (son asintotas). OPERACIONES CON FUNCIONES. Con las funciones conocidas podemos realizar una serie de operaciones que ya conoces, solo nos vamos a detener en la última (la composición) por ser de especial interés y ser una operación específica de las funciones. "Dadas dos funciones reales de variable real: f : Df  R y g : Dg  R definimos: Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x); Dom(f + g)=Df  Dg. Diferencia:

(f-g)(x) = f(x) - g(x);

Dom(f-g)=Df  Dg.

Producto:

(f.g)(x) = f(x) . g(x);

Dom(f.g)=Df  Dg.

Cociente:

(f/g)(x) = f(x) / g(x);

Dom(f/g)=Df  Dg-{xR/ g(x)=0}

Composición: "Se llama función compuesta de f y g y se escribe g o f , a una nueva función h definida así: h(x) = (g o f)(x) = g[f(x)] de manera que g actúa sobre las imágenes obtenidas por f

Funciones

5

En esquema sería: x ──────── f(x) ────────── g[f(x)] └────────────────────────┘ h=gof (Lo leemos "f compuesta con g", ya que la que actúa primero es la función f, y sobre el resultado actúa la g). Dominio (g o f)= {xDom(f) / f(x)Dom(g)} Para poder realizar la composición de f y g es preciso que: Im (f)  Dom (g) (Si esto no ocurre debemos tomar una restricción de f, para aquellos x  Dom(f), tales que f(x)  Dom(g) ) 7

Dadas las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x2 - 4: . Comprueba que g o f  f o g.

8

Dada las funciones f y g, definida por los criterios, f(x) = 3x; g(x) = ex. Repite el ejercicio anterior para dichas funciones

3.2

Función recíproca (o inversa) de una dada respecto de la composición. Sea f una función real de variable real f : Df  Im(f) "Se llama correspondencia recíproca o inversa de f -y escribimos f--1 - a la correspondencia que pasa del conjunto Imagen(f) al Dominio(f), haciendo corresponder a cada imagen, y, su original x ". En esquema:

f Dominio (f)───────────── Imagen(f) └───────────────────────┘ f--1

Es decir si "f" relaciona un original "x" con su imagen "y", "f--1" pasa de la imagen "y" al original "x". Observaciones importantes. 1. La correspondencia recíproca f--1 no siempre es una función. Para que f--1 sea una función, es necesario que la función inicial f sea inyectiva o "uno a uno". (Por ejemplo la función f(x) = x2 no es inyectiva en R, porque f(2)=4 y f(-2)=4)

2.

Evidentemente se cumple: Dom (f--1) = Im(f); Im (f--1) = Dom(f).

3. La composición de ambas funciones es la función identidad (definida sobre el dominio de la primera función que interviene en la composición). (f--1 o f)(x) = x; x  Dom(f) (f o f--1)(x) = x; x  Dom(f-1) 4. Teniendo en cuenta la definición de f--1: Si el par (x0 ; y0)  Gráfica de f, entonces el par (y0 ; x0)  Gráfica de f.-1 Es decir, si dibujamos las gráficas en una referencia ortonormal: Las gráficas de dos funciones recíprocas son simétricas respecto de la bisectriz del 1er y 3er cuadrante.

Funciones

6

6.

Expresión analítica.

Para determinar la expresión analítica y basándonos en la misma definición, podemos cambiar las variables "x por y", e "y por x", y despejar después "y". Obtenemos así la expresión de f--1. 9

Señala cuáles de las siguientes funciones son recíprocas (o inversas) de si mismas y representa sus gráficas:

a) y = x ;

b) y = - x ;

c) y = 2x - 2 ;

d) y = -

3 ; e) y =  - x . x

10 Existe algún procedimiento sencillo para obtener la gráfica de la inversa (o recíproca) f -1 de una función f , a partir de la gráfica de f ? Ilustrar el procedimiento con un ejemplo. 3.3

Funciones recíprocas importantes: logarítmica, Las vamos a construir como funciones recíprocas, respectivamente, de las funciones exponencial, a.

Función logarítmica.

Para obtener la función inversa de y = 2x , cambiamos x por y , tendríamos x = 2y . Ahora despejamos la y; pero para bajar la y del exponente no hay ninguna función que permita este proceso. Por tanto se define la función logarítmica de base 2 que es la que nos permite dicha operación L2 (es la función inversa de la exponencial 2x. De igual forma se define las funciones loga de base a - con a > 0 - como inversas de las funciones ax 11 Representa las funciones y = 2x e y = log2 x. 1 2

12 Representa y =  

x

e y = log 1 x 2

13 Dada las funciones f y g, definida por los criterios, f(x) = x2+1; g(x) = Ln x. a) Determina el dominio y el recorrido de f(x) y g(x) b) ¿Es posible definir la función g o f ? En caso afirmativo determina dicha función g o f. Haz un esquema donde expliques dicha composición. c) ¿Es posible definir la función f o g? En caso afirmativo determina dicha función f o g. Haz un esquema donde expliques dicha composición. d) Comprueba que g o f  f o g. 14 Repite el ejercicio anterior para las funciones: f(x) = x2-1

y g(x) = Ln x

15 Dibujar la función f(x) = 2x+1. Determinar y dibujar también la función inversa o recíproca