Geometría vectorial [Versión preliminar]

Prof. Isabel Arratia Z.

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3 ℜ El espacio Sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales Las coordenadas rectangulares en el plano se generalizan de manera natural a las coordenadas rectangulares en el espacio. La posición de un punto en el espacio queda descrita por su localización con respecto a tres ejes coordenados perpendiculares entre sí y que pasan por el origen 0.

P(x, y, z)

0

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2

Cada par de ejes determina un plano coordenado. figura muestra el plano XZ

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La

3

Vectores en el espacio

ℜ3

Si utilizamos los vectores unitarios i, j, k, el vector v =(a, b, c) se denotará también v = a i + b j + c k.

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4

Suma en

ℜ3 Ponderación en

ℜ3

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El producto escalar o producto punto en ℜ3 Si v = (v1, v2, v3) y u = (u1, u2, u3) son vectores de producto escalar o producto punto de v y u es:

ℜ3, el

v • u = v 1u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3 El producto escalar o producto punto nos permite calcular: (1) Longitud o norma de los vectores || v || =

v•v =

v 12 + v 22 + v 32

(2) Distancia entre vectores d(v, u) = || v – u || __________________________________________________________________ Cálculo III - Geometría vectorial

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v •u   || v || || u ||   

(3) Ángulo entre vectores: θ = cos −1 o equivalente, cos θ =

v •u || v || || u ||

⇔

v • u = || v || || u || cos θ

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(4) Proyecciones

u

La proyección escalar de u en v.

comp v u =

v •u = || u || cos θ || v ||

v

θ comp v (u)

El vector proyección de u en v.

pr v (u ) =

v •u || v ||

2

v

u

v

prv (u) __________________________________________________________________ Cálculo III - Geometría vectorial

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Ejercicio: Considere los vectores v = (1, -2, 2) y u = (4, 1, -3). a) Muestre un vector unitario en la dirección opuesta a v. b) Calcule el ángulo entre v y u.

Ejercicio: Calcule el ángulo ABC si A, B, C son los puntos A = (1, -3, -1), B = (4, 2, -5) y C = (3, -1, 2).

Ejercicio: Describa el lugar geométrico de todos los puntos P(x, y, z) que satisfacen simultáneamente los siguientes pares de ecuaciones: a) z = 4y2, x = 4 b) z = 3, x2 + y2 = 4 __________________________________________________________________ Cálculo III - Geometría vectorial

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Las gráficas de las superficies z = 4y2 y z = x2 + y2 - 3 que se muestran a continuación se realizaron con Maple. plot3d(4y^2, x=-4. .4, y=-4. .4, axes=normal, labels=[y,x,z]); plot3d(x^2+y^2-3, x=-4. .4, y=-4. .4, axes=normal, labels=[y,x,z]);

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¿Cuál es el lugar geométrico de todos los puntos (x, y, z) que satisfacen simultáneamente z = 4y2, x = 4? (Ejercicio Diap 9) > p1:=plot3d(4*y^2,x=-4..6,y=-4..4,axes=normal,labels=[y,x,z]): > p2:=plot3d([4,y,z],y=-4..4,z=-4...74,axes=normal,labels=[y,x,z],color= yellow): > p3:=plot3d([4,y,4*y^2],x=-4..4,y=-4..4,thickness=4): > plots[display]({p1,p2,p3});

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¿Cuál es la ecuación de la esfera E con centro en el punto C(a, b, c) y de radio r?

E = { P ( x , y , z ) / d(P, C) = r } = { (x, y, z) /

( x − a )2 + ( y − b )2 + ( z − c )2 = r }

Podemos concluir que la ecuación de la esfera E es (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2

Ejercicio: Determine la ecuación de la esfera que tiene como diámetro el segmento de recta que une A(-1, 2, 3) con B(5, -2, 7).

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El producto vectorial o producto cruz en ℜ3 Si u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) son vectores de producto vectorial o producto cruz de u y v es:

i

j

u × v = u1 u 2 v1 v 2

ℜ3, el

k u3 v3

= (u 2 v 3 − u3 v 2 )i − (u1v 3 − u3 v 1 ) j + (u1v 2 − u 2 v 1 )k El producto vectorial tiene las siguientes propiedades algebraicas: 1) v x v = 0 2) v x 0 = 0 = 0 x v __________________________________________________________________ Cálculo III - Geometría vectorial

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3)

u x v = -(v x u)

4)

u x (v1 + v2) = (u x v1) + (u x v2)

5)

u x av = a (u x v) = au x v , a ∈ ℜ

6)

u • (v x w) = (u x v) • w (Producto mixto)

El producto vectorial tiene las siguientes importantes propiedades geométricas: 1)

u x v es ortogonal a u y a v

2)

u x v = 0 ⇔ (u = αv ∨ v = βu)

⇔ u // v

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3)

|| u x v || = || u || || v || sen α, con α ángulo entre u y v. || u x v || corresponde al área A del paralelógramo que tiene a u y a v como lados adyacentes. h , h = || v || sen α || v || y el área A = || u || h

Como sen α = v

u

= || u || || v || sen α = || u x v ||

4) De lo anterior sigue que el área A del triángulo que tiene a u y a v como lados adyacentes es A = 1 || u × v || . 2

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Por ejemplo, para calcular el área del triángulo de vértices A(1,3,5), B(3,3,0) y C(-2, 0, 5) consideramos los vectores u = AB = (2,0,-5) y v = AC = (-3,-3,0) y calculamos el producto vectorial de los vectores u y v. El área es: A = 1 || u × v || = 1 || (15,−15,6 ) ||= 1 486 2

2

2

Ejercicio: Muestre que los puntos A(1,1,1), B(2, 3, 4), C(6, 5, 2) y D(7, 7, 5) son vértices de un paralelógramo. Cálcule el área de ese paralelógramo.

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El producto mixto El producto mixto de los vectores u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) y w = w1, w2, w3) es el número real: u1

u2

u3

u • (v × w ) = v1 w1

v2 w2

v3 w3

El valor absoluto del producto mixto corresponde al volumen del paralelepípedo que forman los vectores u, v y w.

β

A

V = A ⋅ h = || v × w || (|| u || cos β ) =|| u || || v × w || cos β =| u • ( v × w ) | __________________________________________________________________ Cálculo III - Geometría vectorial

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Rectas en el espacio Una recta en el espacio se determina mediante un punto fijo Q(x1,y1,z1) y un vector fijo v = (a,b,c) llamado vector director de la recta. Un punto P(x,y,z) está en la recta que pasa por Q y que tiene vector director v si QP // v ⇔ QP = tv, algún t ∈ ℜ ⇔ (x - x1, y − y1, z − z1) = ( ta, tb, tc )  x = x1 + at  ⇔ (*)  y = y1 + bt  z = z + ct 1 

L P

Q

Las ecuaciones (*) son las ecuaciones paramétricas (no únicas) de la recta L. __________________________________________________________________ Cálculo III - Geometría vectorial

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Si llamamos w = OP y w0 = OQ a los vectores de posición de P y Q respectivamente, entonces QP = w – w0 y la ecuación de la recta se expresa: w – w0 = t v o bien,

w = w0 + t v (ecuación vectorial de L)

Si a, b, c son distintos de cero, podemos despejar t en las ecuaciones paramétricas de L para obtener: x − x1 y − y1 z − z1 = = a b c ecuaciones simétricas de L.

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Ejercicios: Determine, 1) Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P(-2, 1, 5) y es paralela al vector v = (5, 2, -1). 2) Las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por A(-4, 1, 3) y B(-1, 5, 2). 3) Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P(1, -2, 3) y es perpendicular tanto al eje X como a la x−4 y−3 z recta cuyas ecuaciones simétricas son = = . 2 5 −1 4) La intersección de las rectas L1 de ecuaciones x = 1 + t, y = 2t, z = 1+3t y L2 de ecuaciones x = 3s, y = 2s y z = 2+s. __________________________________________________________________ Cálculo III - Geometría vectorial

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Planos en el espacio Un plano en el espacio puede caracterizarse de varias maneras: como el plano que pasa por tres puntos no contenidos en una recta, como el plano que contiene a una recta y a un punto que no está en la recta o como el plano que pasa por un punto y es perpendicular a una dirección dada. Un punto P(x,y,z) está en el n plano que pasa por Q(x1,y1,z1) y es perpendicular al vector no nulo P n = (a, b, c) (vector normal) si el Q vector QP es perpendicular a n, es decir, n • QP = 0 . __________________________________________________________________ Cálculo III - Geometría vectorial

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Si llamamos w = OP y w0 = OQ a los vectores de posición de P y Q respectivamente, entonces QP = w – w0 y la ecuación n • ( w − w 0 ) = 0 constituye la ecuación vectorial del plano. Como w - w0 = (x – x0, y – y0, z – z0), la última ecuación puede escribirse: a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0 (ecuación cartesiana del plano que contiene a Q y con vector normal n). Más aún, puede expresarse ax + by + cz + d = 0.

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Dos planos en el espacio o son paralelos o se intersectan en una recta. Si π1 y π2 son planos con vectores normales n1 y n2, entonces

π1 // π2 ⇔ n1 // n2 Si los planos se intersectan, el ángulo entre ellos es tal que

cos θ =

n1 • n 2 || n1 || || n 2 ||

Y estos planos serán perpendiculares cuando n1 • n 2 = 0 __________________________________________________________________ Cálculo III - Geometría vectorial

θ

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Ejercicios: 1) Calcule el ángulo entre los planos cuyas ecuaciones son x – 2y + z = 0 y 2x + 3y – 2z = 0. Además determine la recta intersección de estos planos.

x−2 y+3 z−4 = = 2) Determine el punto en el cual la recta 1 2 2 intersecta al plano x + 2y + 2z = 22.

3) Determine la ecuación del plano que pasa por P(-4,-1,2) y que es paralelo al plano XY. 4) Encuentre una ecuación para el plano que pasa por los puntos A(2,1,1), B(0,4,1) y C(-2,1,4).

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> p1:=plot3d(x+1.5*y,x=-3..3,y=-3..3,axes=normal,labels=[y,x,z],color=blue): > p2:=plot3d(-x+2*y,x=-3..3,y=-3..3,axes=normal,labels=[y,x,z],color=yellow): > plots[display]({p1,p2});

> with(geom3d): > plane(p,2*x+3*y-2*z=0,[x,y,z]), plane(q,x-2*y+z=0,[x,y,z]): > line(l,[p,q]); l > Equation(l,'t'); [t, 4t, 7t] recta intersección de los planos del Ejercicio 1 __________________________________________________________________ Cálculo III - Geometría vectorial

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Distancia entre un punto y un plano en el espacio Si

P

es el plano de ecuación ax + by + cz + d = 0 y

A(x0, y0, z0) es un punto del espacio, entonces la distancia | ax 0 + by 0 + cz 0 + d | entre P y A es d( P , A) = a2 + b2 + c 2

Distancia desde un punto a una recta en el espacio Si L es una recta que tiene a u como vector director, Q es un punto de L y A es un punto del espacio, la distancia || QP × u || . entre A y L es d(A, L) = || u ||

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Ejercicios: 1) Calcule la distancia entre el punto P ecuación -3x + 2y + z = 9

si

y el plano de

i) P(2, 6, 3) ii) P(2, 1, -1).

2)

Calcule la distancia entre los planos paralelos de ecuaciones 3x - 4y + 5z = 9 y 3x – 4y + 5z = 4.

3) Determine la distancia que hay desde el punto A(3, -1, 4) a la recta cuyas ecuaciones paramétricas son x = -2 + 3t, y = -2t, z = 1 + 4t.

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