GRUPOS DE ISOMETR´IAS DE POL´IGONOS Y POLIEDROS REGULARES

´ rez Angy Carelly Coronel Sua

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS ´ ESCUELA DE MATEMATICAS BUCARAMANGA 2004

GRUPOS DE ISOMETR´IAS DE POL´IGONOS Y POLIEDROS REGULARES

´ rez Angy Carelly Coronel Sua Monograf´ıa presentada como requisito para optar al t´ıtulo de Licenciado en Matem´aticas

Director

Rafael Fernando Isaacs Giraldo MsC. en Matem´aticas

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS ´ ESCUELA DE MATEMATICAS BUCARAMANGA 2004

A Reynaldo, Yamile, Teresa, Edwin y Juanes, por estos cuatro largos a˜ nos de comprensi´on y espera.

Agradezco a Dios, mi ser celestial, por regalarme un poco de sabidur´ıa y guiarme en este duro camino. Mis padres, nana y hermanas, por su gran apoyo emocional y econ´omico. Mi hijo y su padre, quienes con su cari˜ no me animaron y colaboraron para culminar esta fase. Rafael Isaacs, mi director, por regalarme un poco de su sabidur´ıa para la realizaci´on de este trabajo. Profesores, Sonia Sabogal, Bernardo Mayorga, Marlio Paredes, Jorge Villamizar, que durante estos a˜ nos me ofrecieron su amistad. El Grupo de Educaci´ on Matem´atica y en especial mis compa˜ neros del Semillero, de los cuales siempre recib´ı palabras de aliento en el momento preciso. Son demasiadas personas las que han estado a mi lado durante esta etapa de mi vida y ser´ıa casi imposible nombrarlos a todos. Lo u ´nico que realmente puedo hacer es agradecerles con todas mis fuerzas y coraz´on por sus valiosos aportes y sabios consejos.

“Mil y mil gracias ...”

´Indice general 1. Preliminares 2. Grupos asociados a pol´ıgonos regulares

3 11

2.1. Generadores del grupo di´edrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Representaci´on matricial del grupo di´edrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3. Subgrupos de Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4. Centro de Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5. Subgrupos Normales del Grupo Dn . . . . . . . . . . . . . . . 22 3. Grupos asociados a poliedros regulares

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3.1. El grupo del tetraedro (ΩT ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1.1. Subgrupos de ΩT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2. El grupo del hexaedro (ΩH ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.1. Algunos subgrupos de ΩH . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3. El grupo del octaedro (ΩO ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4. El grupo del dodecaedro (ΩD ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4.1. Algunos subgrupos de ΩD . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.5. El grupo del icosaedro (ΩI ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.6. El Omnipoliedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

A. Scripts en scilab

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A.1. Script para hallar el grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 A.2. Script para la tabla del grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 A.3. Matrices de ΩD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Bibliograf´ıa

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T´ıtulo: Grupos de Isometr´ıas de Pol´ıgonos y Poliedros Regulares* ´ rez** Autor: Angy Carelly Coronel Sua Palabras Clave: Grupos de isometr´ıas, Grupos Di´edricos, Pol´ıgonos regulares, Poliedros regulares, Omnipoliedro. ´ n: Descripcio Durante la planeaci´on del trabajo, se vio la importancia de estudiar ciertos grupos de simetr´ıas muy populares, estos son los grupos de isometr´ıas de pol´ıgonos y poliedros regulares. El estudio, desde el punto de vista de la teor´ıa de grupos, de estos objetos geom´etricos relativamente familiares, revela una dimensi´on l´ udica y din´amica de gran inter´es, pues se enlazan conceptos combinatorios, geom´etricos y estructurales. En cuanto la matem´atica, se bas´o especialmente en el manejo de herramientas conceptuales de tres ´areas: ´algebra lineal, geometr´ıa euclidiana y ´algebra moderna. La presentaci´on de cada isometr´ıa se hizo como permutaci´on finita de v´ertices y en forma matricial. Para esto u ´ltimo, fue necesario encontrar los v´ertices de cada pol´ıgono y poliedro en coordenados espaciales y determinando propiedades matriciales calcular los coeficientes correspondientes. Para los c´alculos y la realizaci´on de los gr´aficos, se utiliz´o el programa Scilab que es de libre uso y el maple incorporado en Scientific WorkPlace. El primer cap´ıtulo contiene conceptos necesarios, los cuales se exponen buscando fundamentalmente fijar conceptos y notaci´on. El segundo cap´ıtulo presenta el grupo Di´edrico (Dn ) de isometr´ıas de los pol´ıgonos, la descripci´on de sus subgrupos, los grupos normales y cocientes. El tercer y u ´ltimo cap´ıtulo expone un resultado cl´asico de los griegos: s´olo existen cinco poliedros regulares. Despu´es de esto, se presentan los tres grupos de simetr´ıas con la descripci´on de sus elementos y algunos subgrupos. Por u ´ltimo, se pretend´ıa mostrar el grupo de isometr´ıas del Omnipoliedro, pero se deja como tarea para lectores interesados. Los Scripts realizados en Scilab para la obtenci´on de los grupos con su respectiva tabla, se presentan en los anexos, junto con las matrices que conforman el grupo del dodecaedro. *

Monograf´ıa. Facultad de ciencias. Escuela de Matem´aticas. Licenciatura en matem´aticas. Isaacs Rafael. **

Title: Groups de Isometr´ıas of Regular Polygons and Polyhedrons* ´ rez** Author: Angy Carelly Coronel Sua Key words: Isometries groups, Diedral groups, To regulate polygons, To regulate polyhedrons, Omnihedron. ´ n: Descripcio Planning this work, the importance was seen of studying certain groups of very popular symmetries; these are the groups of isometries of polygons and regular polyhedrons. The study, from the point of view of the theory of groups, of these relatively familiar geometric objects, reveals a playing dimension of great interest, because they are linked concepts combinatorial, geometric and structural. As soon as the mathematical one, it was based especially on the handling of conceptual tools of three areas: lineal algebra, euclidean geometry and modern algebra. The presentation of each isometry was made as finite exchange of vertexes and in matricial form. For this last, it was necessary to find the vertexes of each polygon and polyhedron in coordinated space and determining matrix properties to calculate the corresponding coefficients. For the calculations and the realization of the graphics, the program Scilab was used; that is of free use and the maple incorporated in Scientific WorkPlace. The first chapter contains necessary concepts, which are exposed looking for fundamentally to fix concepts and notation. The second chapter presents the dihedral group (Dn ) of isometries of the polygons, the description of its subgroups, the normal groups and quotients. The third and last chapter exposes a classic result of the Greeks: five regular polyhedrons only exist. After this, the three groups of symmetries are presented with the description of their elements and some subgroups. Lastly, it was sought to show the group of isometries of the Omnihedron, but it is left as task for interested readers. The scripts carried out in Scilab for the obtaining of the groups with their respective chart, is presented in the annexes, together with the wombs that conform the group of the dodecahedron.

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Monograph. Ability of sciences. School of Mathematics. Licentiate in mathematics. Isaacs Rafael.

Introducci´ on ´ En un curso normal de Algebra Moderna se estudia y analiza las propiedades de los grupos con sus demostraciones y al estudiar otras materias nos damos cuenta de la importancia de ´esta para el desarrollo de las matem´aticas, pero la mayor´ıa de las veces no nos detenemos a pensar qu´e otras aplicaciones tiene en la vida diaria. Inicialmente, nuestro prop´osito era dar a conocer a los estudiantes de la Licenciatura y a otras personas interesadas en este campo, c´omo en juegos tan sencillos y entretenidos como el “Triqui”, en otros juegos de tablero y ´ en el estudio de pol´ıgonos y poliedros regulares, se ve reflejado el Algebra Moderna. Este trabajo inici´o por el inter´es hacia el art´ıculo The group of automorphisms of the game 3-dimensional Ticktacktoe escrito por Roland Silver de la MITRE Corporation, en donde se estudia el grupo de isometr´ıas del tradicional juego “Triqui” en 2D y 3D. Adem´as, se vio la importancia de estudiar ciertos grupos de simetr´ıas muy populares, de los que tal vez se habla bastante, pero que a niveles elementales pocas veces son presentados. Estos son los grupos de isometr´ıas de pol´ıgonos y poliedros regulares. Al iniciar el estudio de los pol´ıgonos y poliedros result´o tan fascinante e interesante que consideramos que era suficiente, as´ı que el estudio de aplicaciones en juegos de tablero se dejar´a para otra oportunidad o para alg´ un lector que se interese en el tema. El estudio, desde el punto de vista de la teor´ıa de grupos, de estos objetos geom´etricos relativamente familiares, revela una dimensi´on l´ udica y din´amica de gran inter´es, pues se enlazan conceptos combinatorios, geom´etricos y estructurales.

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El trabajo, en cuanto la matem´atica, se bas´o especialmente en el manejo de herramientas conceptuales de tres ´areas del programa Licenciatura en Matem´aticas de la UIS: el ´algebra lineal, la geometr´ıa euclidiana y el ´algebra moderna. La presentaci´on de cada isometr´ıa se hizo como permutaci´on finita de v´ertices y en forma matricial. Para esto u ´ltimo, fue necesario encontrar los v´ertices de cada pol´ıgono y poliedro en coordenados espaciales y determinando propiedades matriciales calcular los coeficientes correspondientes. Para los c´alculos y la realizaci´on de los gr´aficos, se utiliz´o el programa Scilab que es de libre uso y el maple incorporado en Scientific WorkPlace. El primer cap´ıtulo contiene conceptos necesarios, los cuales se exponen buscando fundamentalmente fijar conceptos y notaci´on. El segundo cap´ıtulo presenta el grupo di´edrico Dn de isometr´ıas de los pol´ıgonos, la descripci´on de sus subgrupos, los grupos normales y cocientes. El tercer y u ´ltimo cap´ıtulo se expone un resultado cl´asico de los griegos: s´ olo existen cinco poliedros regulares. Despu´es de esto, se presentan los tres grupos de simetr´ıas con la descripci´on de sus elementos y algunos subgrupos. Por u ´ltimo, se pretend´ıa mostrar el grupo de isometr´ıas del Omnipoliedro, pero se deja como tarea para lectores interesados. Los scripts realizados en Scilab para la obtenci´on de los grupos con su respectiva tabla, se presentan en los ap´endices.

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Cap´ıtulo 1 Preliminares A continuaci´on expongo algunos conceptos b´asicos de geometr´ıa y ´algebra moderna, los cuales son necesarios para leer y comprender este trabajo. Definici´ on 1.0.1. Una operaci´ on binaria ∗ en un conjunto, es una regla que asigna a cada par ordenado (a, b) de elementos de un conjunto, alg´ un elemento del conjunto, que notaremos a ∗ b. Definici´ on 1.0.2. Un grupo hG, ∗i es un conjunto G, junto con una operaci´on binaria ∗ en G, tal que se satisface los siguientes axiomas: ζ1 . La operaci´on binaria ∗ es asociativa, es decir, a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c, para todo a, b, c en G. ζ2 . Existe un elemento e en G tal que e ∗ x = x ∗ e = x para todas las x ∈ G. (Este elemento e es un elemento identidad para ∗ en G.) ζ3 . Para cada a en G existe un elemento a0 en G con la propiedad de que a0 ∗ a = a ∗ a0 = e. (El elemento a0 es un inverso de a respecto a ∗.) Definici´ on 1.0.3. Si G es un conjunto finito, entonces el orden |G| de G es el n´ umero de elementos en G. Definici´ on 1.0.4. El centro de un grupo hG, ∗i es el conjunto de todas las a ∈ G tales que ax = xa para todas las x ∈ G, esto es, el conjunto de elementos de G que conmutan con todo elemento de G.

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Definici´ on 1.0.5. Si H es un subconjunto de G cerrado bajo la operaci´on de grupo de hG, ∗i y si H es ´el mismo un grupo bajo esta operaci´on inducida, entonces H es un subgrupo de G. Denotaremos por H ≤ G. El siguiente teorema proporciona un criterio para determinar si un subconjunto H de un grupo G es subgrupo del mismo. Teorema 1.0.6. Un subconjunto H de un grupo G es un subgrupo de G si y s´olo si i. H es cerrado bajo la operaci´ on binaria de G; ii. la identidad e de G est´a en H; iii. para todos los a ∈ H es cierto que a−1 ∈ H tambi´en. Demostraci´ on. Si H ≤ G entonces por definici´on de subgrupo se cumplen las condiciones i, ii y iii. De manera rec´ıproca, sup´ongase que H es un subconjunto de un grupo G que cumple las condiciones i, ii y iii. Por ii tenemos de inmediato que ζ2 se satisface. Tambi´en ζ3 se satisface por iii. Falta corroborar el axioma asociativo ζ1 . Pero, con seguridad, para toda a, b, c ∈ H es cierto que (ab)c = a(bc) en H ya que si est´an en H, est´an en G y all´ı se cumple la ley asociativa. De aqu´ı que H ≤ G. Definici´ on 1.0.7. Un isomorfismo entre un grupo G y un grupo G0 es una funci´on φ biyectiva de G en G0 , tal que para todas las x y y en G, φ(xy) = (φ(x))(φ(y)). Los grupos G y G0 son isomorfos. La notaci´on usual es G ' G0 . Definici´ on 1.0.8. Una transformaci´on φ de un grupo G en un grupo G0 es un homomorfismo si φ(ab) = (φ(a))(φ(b)) para todos los elementos a y b en G. Definici´ on 1.0.9. El kernel de un homomorfismo φ de un grupo G en un grupo G0 es el conjunto de elementos de G cuya imagen, bajo φ, es el elemento identidad de G0 . 4

Teorema 1.0.10. Sea G un grupo y sea a ∈ G. Entonces H = {an |n ∈ Z} es un subgrupo de G. Demostraci´ on. Sean ar , as ∈ H con r, s ∈ Z, entonces ar as = ar+s ∈ H, luego H es cerrado bajo la operaci´on de grupo de G. Adem´as, a0 = e de modo que e ∈ H. Para ar ∈ H, existe a−r ∈ H y ar a−r = a−r ar = a0 = e. Todas las condiciones se satisfacen, por tanto, H ≤ G. Definici´ on 1.0.11. El grupo H del teorema 1.0.10 es el subgrupo c´ıclico de G generado por a y se denotar´a hai. Definici´ on 1.0.12. Un elemento a de un grupo G genera G y es un generador de G si hai = G. Un grupo G es c´ıclico si existe alg´ un elemento a ∈ G que lo genere. Definici´ on 1.0.13. Sea H un subgrupo de un grupo G y sea a ∈ G. La clase lateral izquierda aH de H es el conjunto {ah| h ∈ H}. La clase lateral derecha Ha de H se define de manera similar. Teorema 1.0.14. Sea G un grupo de orden finito n y H un subgrupo de G. El orden de H divide al orden de G. Demostraci´ on. Ver [1] p´agina 112 Definici´ on 1.0.15. Un subgrupo H de un grupo G es un subgrupo normal de G si g −1 Hg = H para todas las g ∈ G. Se denotar´a H C G. Definici´ on 1.0.16. Si N es un subgrupo normal de un grupo G, el grupo de las clases laterales de N bajo la operaci´on inducida es el grupo cociente de G m´ odulo N y de denota G/N . Las clases laterales son las clases residuales de G m´ odulo N . Teorema 1.0.17. (Teorema fundamental del homomorfismo) Sea φ un homomorfismo de un grupo G en un grupo G0 , con kernel K. Entonces, φ(G) es grupo y existe un isomorfismo can´ onico (natural) de φ(G) con G/K. Demostraci´ on. Mostremos primero que φ(G) es grupo. 5

ζ1 . Sean φ(a), φ(b) y φ(c) elementos en φ(G). Entonces, φ(a)[(φ(b))(φ(c))] = (φ(a))[φ(bc)] = φ(a[bc]) = φ([ab]c) = [φ(ab)](φ(c)) = [(φ(a))(φ(b))](φ(c)). ζ2 . (φ(e))(φ(a)) = φ(ea) = φ(a) = φ(ae) = (φ(a))(φ(e)), luego, existe e0 = φ(e) ∈ φ(G). ζ3 . (φ(a−1 ))(φ(a)) = φ(a−1 a) = φ(e) = φ(aa−1 ) = (φ(a))(φ(a−1 )), luego, existe (φ(a))−1 = φ(a−1 ) ∈ φ(G). Mostremos ahora que existe un isomorfismo can´onico de φ(G) con G/K. Sea aK ∈ G/K, definiremos la transformaci´on ψ : G/K → φ(G) como

ψ(aK) = φ(a).

Debemos probar que ψ est´a bien definida, es decir, si b ∈ aK, debemos ver que φ(a) = φ(b): como b ∈ aK, entonces b = ak1 para k1 ∈ K, luego a−1 b = k1 . Entonces, e0 = φ(k1 ) = φ(a−1 b) = (φ(a−1 ))(φ(b)) = (φ(a))−1 (φ(b)). De aqu´ı φ(b) = (φ(a))e0 = φ(a). Luego, ψ est´a bien definida. Para mostrar que ψ es uno a uno, supongamos que ψ(aK) = ψ(bK). Entonces, φ(a) = φ(b), de modo que e0 = (φ(a))−1 (φ(b)) = (φ(a−1 ))(φ(b)) = φ(a−1 b). Por la definici´on de K, a−1 b ∈ K, lo cual implica que b ∈ aK, de modo que bK = aK. Por lo tanto, ψ es uno a uno. Es claro que ψ es sobre por su definici´on. Con ψ[(aK)(bK)] = ψ(abK) = φ(ab) = (φ(a))(φ(b)) = [ψ(aK)][ψ(bK)] terminamos la demostraci´on de que ψ es isomorfismo. 6

Definici´ on 1.0.18. Una transformaci´ on de un conjunto A es una funci´on uno a uno de A sobre s´ı mismo. Definici´ on 1.0.19. Una permutaci´ on de un conjunto A es una funci´on de A en A que es biyectiva. En las permutaciones de un conjunto se define una operaci´on binaria natural, la multiplicaci´ on de permutaciones. Sea A un conjunto y sea σ y τ permutaciones de A. La funci´ on compuesta στ , nos da una transformaci´on de A en A y es f´acil ver que es una permutaci´on. Teorema 1.0.20. Sean A un conjunto no vac´ıo y SA la familia de todas las permutaciones de A. Entonces SA es un grupo bajo la multiplicaci´ on de permutaciones. Demostraci´ on. Debemos verificar los tres axiomas. ζ1 . Como las permutaciones son funciones, mostraremos que [(στ )µ](a) = [σ(τ µ)](a) para toda a ∈ A. As´ı, [(στ )µ](a) = µ[(στ )(a)] = µ[τ (σ(a))] = (τ µ)[σ(a)] = [σ(τ µ)](a). Por consiguiente, (στ )µ y σ(τ µ) llevan luego (στ )µ = σ(τ µ). µ 1 2 ... ζ2 . Existe la permutaci´on I = 1 2 ... las a ∈ A, as´ı I act´ ua como identidad.

toda a ∈ A al mismo elemento, n n

¶ tal que I(a) = a para todas

ζ3 . Para una permutaci´on σ definimos σ −1 tal que σ −1 (a) ser´a el elemento a0 de A tal que a = σ(a0 ). La existencia de exactamente un elemento a0 con esta caracter´ıstica se debe a que, como funci´on, σ es uno a uno y sobre. Adem´as se puede ver que: I(a) = a = σ(a0 ) = σ(σ −1 (a)) = (σ −1 σ)(a) y tambi´en que I(a0 ) = a0 = σ −1 (a) = σ −1 (σ(a0 )) = (σσ −1 )(a0 ), de manera que σ −1 σ = σσ −1 = I.

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Definici´ on 1.0.21. Si A es el conjunto finito {1, 2, . . . , n}, entonces el grupo de todas las permutaciones de A es el grupo sim´ etrico de n letras y se denotar´a Sn . N´otese que Sn tiene n! elementos, donde n! = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1). Teorema 1.0.22. (de Cayley) permutaciones.

Todo grupo es isomorfo a un grupo de

Demostraci´ on. Sea G un grupo dado. Sea SG el grupo de todas las permutaciones de G. Como SG es demasiado grande para ser isomorfo a G, definamos cierto subconjunto de SG . Para a ∈ G sea ρa la transformaci´on de G en G dada por ρa (x) = xa para x ∈ G. Si ρa (x) = ρa (y) entonces xa = ya luego x = y. As´ı, ρa es una funci´on uno a uno. Adem´as, si y ∈ G, entonces ρa (ya−1 ) = (ya−1 )a = y, as´ı, ρa es sobre. Entonces como ρa : G → G es uno a uno y sobre, ρa es una permutaci´on de G, esto es, ρa ∈ SG . Sea G0 = {ρa |a ∈ G}. Vamos a mostrar que G0 ≤ SG . Debemos ver que G0 es cerrado bajo la multiplicaci´on de permutaciones, esto es ρa ρb = ρab . Veamos que act´ uan igual sobre toda x ∈ G. (ρa ρb )(x) = ρb (ρa (x)) = ρb (xa) = (xa)b = x(ab) = ρab (x). As´ı, ρa ρb = ρab y por lo tanto, G0 es cerrado bajo la multiplicaci´on. Ahora, es claro que para toda x ∈ G, ρe (x) = xe = x, 8

donde e es el elemento identidad de G, de modo que ρe es la permutaci´on identidad I de SG y est´a en G0 . Como ρa ρb = ρab tenemos ρa ρa−1 = ρaa−1 = ρe = ρa−1 a = ρa−1 ρa . De aqu´ı que (ρa )−1 = ρa−1 , de modo que (ρa )−1 ∈ G0 . Entonces, G0 es un subgrupo de SG . Falta probar que G es isomorfo al grupo G0 . Def´ınase φ : G → G0 por φ(a) = ρa para a ∈ G. Si φ(a) = φ(b) entonces ρa y ρb deben ser la misma permutaci´on de G. En particular, ρa (e) = ρb (e), as´ı que ea = eb y a = b. Por tanto, φ es uno a uno. Es inmediato que φ es sobre por la definici´on de G0 . Finalmente, φ(ab) = ρab mientras que φ(a)φ(b) = ρa ρb . Pero ya se dijo que ρab y ρa ρb son la misma permutaci´on de G. As´ı φ(ab) = φ(a)φ(b). Por lo anterior, G ' G0 .

Definici´ on 1.0.23. Sea G un grupo y ai ∈ G para i ∈ I. El menor subgrupo de G que contiene {ai | i ∈ I} es el subgrupo generado por {ai | i ∈ I}. Si este subgrupo es todo G, entonces {ai | i ∈ I} genera G y las ai son generadores de G. Si existe un conjunto finito {ai | i ∈ I} que genere G, entonces G es finitamente generado. Se notar´a ha1 , . . . , an i = G

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Teorema 1.0.24. Si G es un grupo y ai ∈ G para i ∈ I, entonces el subgrupo H de G generado por {ai | i ∈ I} consta de precisamente aquellos elemento de G que son productos finitos de potencias de exponente entero de ai , donde, en ese producto, pueden presentarse varias veces potencias de alguna ai dada. Demostraci´ on. Ver [1] p´agina 89. Definici´ on 1.0.25. Si A es un conjunto en donde se ha definido el concepto de distancia, una transformaci´on φ de A es una isometr´ıa si d(x, y) = d(φ(x), φ(y)), es decir, si φ preserva la distancia. Definici´ on 1.0.26. Una rotaci´ on ρ(P,θ) es una rotaci´on que rota el plano alrededor del punto P en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj, en un ´angulo θ, donde 0 ≤ θ < 2π. Definici´ on 1.0.27. Una reflexi´ on en el plano es una funci´on µ que transforma cada punto de una determinada recta l en s´ı mismo y a todo punto fuera de la recta a la imagen reflejada en el espejo l que queda a la misma distancia entre el punto y l.

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Cap´ıtulo 2 Grupos asociados a pol´ıgonos regulares La definici´on de grupo de simetr´ıas a la cual hacemos referencia en este trabajo es la expuesta en [3]: “La noci´on de grupo permite caracterizar en t´erminos exactos la simetr´ıa de una figura geom´etrica, para la cual, a cada figura se le puede poner en correspondencia el conjunto de todas las transformaciones de un espacio, que hagan coincidir la figura dada con ella misma. Este conjunto ser´a un grupo con relaci´on a la realizaci´on consecutiva de transformaciones, que precisamente caracteriza la simetr´ıa de la figura”. Utilizaremos el maple incorporado en el programa Scientific WorkPlace y scripts realizados en Scilab para hallar las matrices que nos definen el grupo de simetr´ıas (ver ap´endice A.1) y su respectiva tabla (ver ap´endice A.2). Para iniciar, consideremos como ilustraci´on un tri´angulo y un hex´agono regular: Por simetr´ıas de un pol´ıgono regular de n lados se entienden el siguiente conjunto de movimientos de dicho pol´ıgono. 1. n rotaciones en sentido contrario al movimiento de las manecillas del , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. reloj a trav´es de los ´angulos 2πk n 2. n reflexiones correspondientes a los n ejes de simetr´ıa. 11

Figura 2.1: Simetr´ıas del tri´angulo y el hex´agono Para el caso en que n sea par los ejes de simetr´ıa son: n 2

a.

l´ıneas obtenidas uniendo el centro O del pol´ıgono con cada uno de sus v´ertices 1, 2, . . . , n.

b.

n 2

l´ıneas obtenidas uniendo el centro O con los puntos medios de los n lados del pol´ıgono.

Para el caso en que n es impar las n reflexiones corresponden a los n ejes de simetr´ıa obtenidos uniendo el centro O del pol´ıgono con sus v´ertices 1, 2, . . . , n. Sean B ⊆ A, IB el grupo de isometr´ıas de B y sean las f : A → A biyecciones tal, que f (B) = B y para todo x, y ∈ A se tiene d(x, y) = d(f (x), f (y)). Entonces IB ≤ SA . De esto, el conjunto de 2n movimientos constituye un subgrupo de SR2 , bajo la operaci´on de composici´on de movimientos. Se denomina el grupo di´ edrico de grado n, y se denota por Dn . Denotaremos f k la rotaci´on a trav´es del ´angulo Cuando k = 0 tenemos f 0 = I.

2πk , n

con k = 0, 1, 2, . . . , n.

La rotaci´on f a trav´es del ´angulo θ = 2π , corresponde a la permutaci´on de n los v´ertices dada por: µ ¶ 1 2 3 ... n f= 2 3 4 ... 1 La reflexi´on g respecto al eje de simetr´ıa que pasa por el v´ertice 1, corresponde 12

a la permutaci´on de los v´ertices dada por: µ ¶ 1 2 3 ... k ... n − 1 n g= 1 n n − 1 ... n − k + 2 ... 3 2 Ejemplo 2.0.1. Veamos el grupo di´edrico de grado impar 3, es decir, D3 (ver figura 2.1): µ ¶ a b c I= rotaci´on de 0◦ alrededor del origen a b c µ f=

a b c c a b

¶ rotaci´on de 120◦ alrededor del origen

µ ¶ a b c f2 = rotaci´on de 240◦ alrededor del origen b c a µ g=

a b c a c b

µ fg =

a b c b a c

µ 2

f g=

¶ reflexi´on respecto al eje definido por ao ¶ reflexi´on respecto al eje definido por co

a b c c b a

¶ reflexi´on respecto al eje definido por bo

Aqu´ı vemos que D3 est´a formado por 3 rotaciones de 0◦ , 120◦ y 240◦ alrededor del origen y 3 reflexiones respecto a los tres ejes de simetr´ıa correspondientes a unir cada v´ertice del tri´angulo con el centro o. Es decir, |D3 | = 6. El cuadro 2.2 muestra la tabla de D3 Ejemplo 2.0.2. Un grupo di´edrico de grado par 6, es decir, D6 (ver figura 2.1): µ ¶ a b c d e f I= rotaci´on de 0◦ alrededor del origen a b c d e f µ f=

a b c d e f b c d e f a

¶ rotaci´on de 60◦ alrededor del origen 13

µ 2

f = µ 3

f = µ 4

f = µ 5

f =

¶

a b c d e f c d e f a b a b c d e f d e f a b c

rotaci´on de 120◦ alrededor del origen ¶

a b c d e f e f a b c d a b c d e f f a b c d e

rotaci´on de 180◦ alrededor del origen ¶ rotaci´on de 240◦ alrededor del origen ¶ rotaci´on de 300◦ alrededor del origen

µ ¶ a b c d e f g= a f e d c b µ fg =

a b c d e f f e d c b a

µ 2

f g= µ 3

f g= µ 4

f g= µ f 5g =

reflexi´on respecto al eje definido por ao

¶

a b c d e f e d c b a f a b c d e f d c b a f e a b c d e f c b a f e d

reflexi´on respecto al eje definido por el punto medio de cd y el origen ¶ reflexi´on respecto al eje definido por co ¶ reflexi´on respecto al eje definido por el punto medio de bc y el origen ¶

a b c d e f b a f e d c

reflexi´on respecto al eje definido por bo ¶ reflexi´on respecto al eje definido por el punto medio de ab y el origen

D6 est´a formado por 6 rotaciones de 0◦ , 60◦ , 120◦ , 180◦ , 240◦ y 300◦ alrededor del origen, 3 reflexiones respecto a los tres ejes de simetr´ıa correspondientes a unir cada v´ertice del tri´angulo con el centro o y 3 reflexiones respecto a los tres ejes de simetr´ıa correspondientes a unir los puntos medios de los lados del tri´angulo con el centro o. Es decir, |D6 | = 12. 14

· I f f2 g fg f 2g

I I f f2 g fg f 2g

f f f2 I f 2g f 2g g

f2 f2 I f fg g fg

g g

fg fg 2 f g g f g f 2g I f 2 f I f f2

f 2g f 2g fg g f2 f I

Cuadro 2.2: Tabla de D3 El cuadro 2.4 muestra la tabla de D6 · I f f2 f3 f4 f5 g fg f 2g f 3g f 4g f 5g

I I f f2 f3 f4 f5 g fg f 2g f 3g f 4g f 5g

f f f2 f3 f4 f5 I fg f 2g f 3g f 4g f 5g g

f2 f2 f3 f4 f5 I f f 2g f 3g f 4g f 5g g fg

f3 f3 f4 f5 I f f2 f 3g f 4g f 5g g fg f 2g

f4 f4 f5 I f f2 f3 f 4g f 5g g fg f 2g f 3g

f5 f5 I f f2 f3 f4 f 5g g fg f 2g f 3g f 4g

g g f 5g f 4g f 3g f 2g fg I f5 f4 f3 f2 f

fg fg g f 5g f 4g f 3g f 2g f I f5 f4 f3 f2

f 2g f 2g fg g f 5g f 4g f 3g f2 f I f5 f4 f3

f 3g f 3g f 2g fg g f 5g f 4g f3 f2 f I f5 f4

f 4g f 4g f 3g f 2g fg g f 5g f4 f3 f2 f I f5

f 5g f 5g f 4g f 3g f 2g fg g f5 f4 f3 f2 f I

Cuadro 2.4: Tabla de D6 En las tablas 2.2 y 2.4 podemos verificar que: 1. El producto de dos rotaciones es una rotaci´on. 2. El producto de dos reflexiones es una rotaci´on. 3. El producto de una rotaci´on y una reflexi´on es una reflexi´on. 4. f k tiene orden n: (f k )n = I. 5. g tiene orden 2: g 2 = I. 15

6. f k g es de orden 2: (f k g)2 = I. 7. gf g = f −1 .

2.1.

Generadores del grupo di´ edrico

Teorema 2.1.1. Sean f y g la rotaci´ on y reflexi´ on anteriores, entonces, hf, gi = Dn . Demostraci´ on. En la definici´on 1.0.23 dijimos que hg, f i ≤ Dn . Debemos probar que |hg, f i| = 2n Sea x ∈ hf, gi, entonces x tiene la forma x = f k1 g l1 f k2 g l2 . . . f km g lm ,

ki , li ∈ Z,

1 ≤ i ≤ m.

Como f es un elemento de orden n y g un elemento de orden 2 podemos decir que x = f k1 g l1 f k2 g l2 . . . f km g lm ,

0 ≤ ki ≤ n − 1,

0 ≤ li ≤ 1,

1 ≤ i ≤ m.

Consideremos el producto g l f k . Si l = 0, entonces g 0 f k = f k g 0 . Si l = 1, variando k tenemos: k k k k

=0: =1: =2: =3: .. .

k =n−1:

gI = Ig. gf = f −1 g −1 = f −1 g = f n−1 g. gf 2 = gf f = f n−1 (gf ) = f n−1 (f −1 g) = f n−2 g. gf 3 = gf 2 f = f n−2 (gf ) = f n−3 g. .. . gf n−1 = f n−(n−1) g = f g.

De lo anterior se concluye que cada elemento x ∈ hf, gi tiene la forma x = f k g l , con 0 ≤ k ≤ n − 1, 0 ≤ l ≤ 1. Resultan entonces 2n elementos. 16

Comprobemos ahora que son diferentes. Sea 0 ≤ k, r ≤ n − 1 y 0 ≤ l, s ≤ 1 tales que f k g l = f r g s , luego f k−r = g s−l ∈ {hf i ∩ hgi}. Como hf i 6= hgi y f 6= 1 tenemos que hf i ∩ hgi = 1, entonces, n|(k − r). Siendo r y k con las condiciones dadas s´olo puede tenerse que r = k. An´alogamente l = s. Por lo tanto, todos los x son diferentes. Obtenemos entonces que: Dn = {1, f, f 2 , . . . , f n−1 , g, f g, . . . , f n−1 g} = hf, gi. Dn tiene la siguiente regla de multiplicaci´on: ( 0 0 f k+k g m+m , m = 0 0 0 k m k m (f g )(f g ) = 0 0 f k−k g m+m , m = 1. Teorema 2.1.2. Sea G un grupo generado por los elementos a y b tales que an = 1, b2 = 1, bab = a−1 ,

a es de orden n b es de orden 2

entonces, G ' Dn . Demostraci´ on. Es posible repetir la prueba realizada anteriormente para comprobar que G tiene 2n elementos diferentes: G = {1, a, a2 , . . . , an−1 , b, ab, . . . , an−1 b}. La funci´on ϕ : G → Dn , dada por ϕ(ak bl ) = f k g l , 0 ≤ k ≤ n − 1, 0 ≤ l ≤ 1, define un isomorfismo entre G y Dn : Probemos que ϕ est´a bien definida: sean x, y ∈ G, en donde x = y. Existen k1 , k2 , l1 , l2 tal que x = ak1 bl1 y y = ak2 bl2 . Como x = y tenemos que k1 = k2 y l1 = l2 , luego ϕ(x) = f k1 g l1 = ϕ(y). ϕ es uno a uno: sean x, y ∈ G tal que ϕ(x) = ϕ(y). De ah´ı, f k1 g l1 = f k2 g l2 , luego k1 = k2 y l1 = l2 , entonces, ak1 bl1 = ak2 bl2 , por lo tanto x = y. ϕ es sobre por definici´on. ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y): 17

ϕ(xy) = ϕ(ak1 bl1 ak2 bl2 ) = ϕ(ak1 a−k2 bl1 bl2 ) = ϕ(ak1 −k2 bl1 +l2 ) = f k1 −k2 g l1 +l2 . Adem´as ϕ(x)ϕ(y) = f k1 g l1 f k2 g l2 = f k1 f −k2 g l1 g l2 = f k1 −k2 g l1 +l2 .

2.2.

Representaci´ on matricial del grupo di´ edrico

Consideremos en GL(2, R) las matrices µ ¶ cos θ − sen θ R= sen θ cos θ con θ =

µ S=

¶ 1 0 . 0 −1

2π . n

R es de orden n y S es de orden 2. Adem´as ¶µ ¶µ ¶ µ ¶ µ cos θ − sen θ 1 0 cos θ sen θ 1 0 = , sen θ cos θ 0 −1 − sen θ cos θ 0 −1

es decir SRS = R−1 . Esto indica que hR, Si ' Dn . La matriz R representa la rotaci´on del sistema de coordenadas xy a trav´es de un ´angulo θ = 2π y la n matriz S representa una reflexi´on de dicho sistema. Ejemplo 2.2.1. Para hallar las matrices de D3 utilizando el script del ap´endice A.1 necesitamos primero construir un tri´angulo equil´atero centrado en el origen. Sus v´ertices {a, b, c} estar´an dados por ( Ã√ ! à √ !) 3 1 3 1 (0, 1), ,− , − ,− . 2 2 2 2 Para hallar las matrices que definen las reflexiones que nos generar´an el grupo, debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones: √ ! √ ! à !à à m n 0 23 0 − 23 = p q 1 − 12 1 − 12 La primera columna corresponde al v´ertice a del tri´angulo, el cual se mantiene fijo y la segunda columna de ambas matrices son los v´ertices b y c, los cuales se 18

intercambian entre s´ı, generando as´ı la matriz de la transformaci´on: reflexi´ on respecto al eje que pasa por a y el origen. El grupo de simetr´ıas del tri´angulo es: Ã ! 1 0 I = I = g 0 1 Ã f = BA = Ã f 2 = AB =

√ ! − 12 − 12 3 √ 1 3 − 12 2 − 21 √ − 12 3

1 2

√ ! 3

− 12

à =

A

=

−1 0 0

à f g = ABA =

√

à f 2g =

B

=

1

1 2

1 2

!

1 2

√ ! 3

− 12

3

1 2

√ − 21 3

√ ! − 12 3 − 12

Ejemplo 2.2.2. El hex´agono regular centrado en el origen que necesitamos, tendr´ıa sus v´ertices {a, b, c, d, e, f } en ( Ã √ ! Ã Ã √ ! √ ! Ã √ !) 1 3 1 3 1 3 1 3 (0, 1), , , − , , (−1, 0), − , − , ,− . 2 2 2 2 2 2 2 2 Realizando el mismo procedimiento que con D3 , las matrices que nos definen el grupo de simetr´ıas del hex´agono son: Ã ! ¶ µ 1 0 1 0 I = I = g = A = 0 1 0 −1 Ã f = CB =

1 2

à f 2 = BA = à f 3 = AC =

√ ! − 12 3

1 2

√

1 2

3

√ ! − 12 − 12 3 √ 1 3 − 12 2 −1

0

0

−1

à f g = ACB =

√ − 12 3 Ã

f 2 g = ABA =

!

à f 3g =

19

C

=

1 2

√ ! − 12 3 − 21

√ ! − 21 − 12 3 √ 1 − 12 3 2 −1 0 0

1

!

à f 4 = AB =

− 12 √ − 12 3

1 2

1 2

1 2

à f 5 = BC =

2.3.

− 12

√

√ ! 3

à f 4g =

− 12 √ ! 3

=

1 2

1 2

1 2

à f 5 g = ABC =

1 2

3

B

− 12 √ 1 3 2

1 2

√

3

√ ! 3 1 2

√ ! 3

− 12

Subgrupos de Dn

Por los generadores de Dn podemos presentar los siguientes subgrupos: De orden 1

: 1

De orden 2

: hgi, hf gi, hf 2 gi, . . . , hf n−1 gi n

hf 2 i, si n es par De orden n : hf i De orden k

: como hf i es c´ıclico entonces por cada divisor k de n existe al menos un subgrupo y adem´as, por el teorema 1.0.14 puede existir subgrupos cuyo orden es los divisores de 2n

De orden 2n : Dn Ejemplo 2.3.1. Subgrupos de D3 : Orden 1 : {I} Orden 2 : hgi, hf gi, hf 2 gi Orden 3 : hf i Orden 6 : D3 Ejemplo 2.3.2. Subgrupos de D6 20

Orden 1 : {I} Orden 2 : hgi, hf gi, hf 2 gi, hf 3 gi, hf 4 gi, hf 5 gi, hf 3 i Orden 3 : hf 2 i = {I, f 2 , f 4 } Orden 4 : hf 3 , gi = {I, f 3 , g, f 3 g}, hf 3 , f 2 gi = {I, f 3 , f 2 g, f 5 g}, hf 3 , f 4 gi = {I, f 3 , f g, f 4 g} Orden 6 : hf i, hf 2 , gi = {I, f 2 , f 4 , g, f 2 g, f 4 g}, hf 2 , f 5 gi = {I, f 2 , f 4 , f g, f 3 g, f 5 g} Orden 12 : D6

2.4.

Centro de Dn

Teorema 2.4.1. Z(Dn ) contiene solamente rotaciones y adem´as ( 1, si n es impar Z(Dn ) = n n {1, f 2 } = hf 2 i, si n es par. Demostraci´ on. Mostremos que para todo 0 ≤ k ≤ n − 1, f k g ∈ / Z(Dn ): en k k −1 k−1 k k efecto, (f g)f = (f f )g = f g y tambi´en f (f g) = (f f )g = f k+1 g. Si f k−1 g = f k+1 g entonces f 2 = 1; pero f n = 1 para n ≥ 3. Luego en Z(Dn ) no hay reflexiones. Sea f k ∈ Z(Dn ) con 0 ≤ k ≤ n − 1. Entonces f k g = gf k ⇒ f k g = f −k g ⇒ f 2k = 1 ⇒ n|2k Cuando n es impar entonces k = 0, por lo tanto Z(Dn ) = I = 1.

21

Sea n = 2m par. Como 2m|2k entonces existe λ ≥ 1 tal que 2k = 2mλ ⇒ k = mλ. Si fuese λ ≥ 2 ⇒ k = mλ ≥ 2m = n ⇒ k ≥ n contradicci´on; por lo tanto λ = 1 ⇒ k = n/2. n

De lo anterior obtenemos que si x ∈ Z(Dn ) entonces x es de la forma x = f 2 . n Veamos que realmente en este caso par f 2 ∈ Z(Dn ): n

n

f f 2 = f 2 f,

n

n

n

gf 2 = f − 2 g = f 2 g.

n

n

Luego, f 2 conmuta con cada elemento de hf, gi = Dn , es decir, f 2 ∈ Z(Dn ).

2.5.

Subgrupos Normales del Grupo Dn

Teorema 2.5.1. Sea N C Dn , entonces N tiene la siguiente forma:  k hf i, k|n    hf k i, k|n ´ o N = 1, ´ o Dn ´ o 2k l  {f g |, 0 ≤ k ≤ n2 − 1, 0 ≤ l ≤ 1} ´ o    2k+1 {f g|, 0 ≤ k ≤ n2 − 1} ∪ {f 2k | 0 ≤ k ≤

si n es impar

n 2

− 1}

si n es par

Demostraci´ on. Sea N C Dn . Consideremos los siguientes casos posibles: 1. n es impar y N no contiene reflexiones: en este caso N ≤ hf i y existe entonces un divisor positivo k de n tal que N = hf k i. Veamos que cada subgrupo de este tipo es efectivamente normal en Dn : ( f −kj si β = 1 α β −1 k j α β (f g ) (f ) (f g ) = f kj si β = 0. 2. n es impar y en N hay al menos una reflexi´ on: sea f k g en N , donde k es fijo y cumple 0 ≤ k ≤ n − 1. Sea 0 ≤ r ≤ n − 1, entonces (f r )−1 (f k g)(f r ) ∈ N , luego f k−2r g ∈ N . Tomando r = k se tiene que f −k g ∈ N y entonces f −2k ∈ N . Tomemos ahora r = k + 1, entonces f k−2(k+1) g = f −k−2 g ∈ N y entonces f k gf −k−2 g = f 2k+2 ∈ N . De 22

aqu´ı resulta entonces que f 2 ∈ N . Como n es impar, hf i = hf 2 i ⊆ N , es decir, f ∈ N . Finalmente, f −k ∈ N y entonces g ∈ N . Esto garantiza que N = Dn . 3. n es par y N no contiene reflexiones: razonando como en el caso impar se obtiene que existe entonces un divisor positivo k de n tal que N = hf k i. 4. n es par y en N hay al menos una reflexi´ on: sea n = 2t y sea f k g en N , donde k es fijo y cumple 0 ≤ k ≤ n − 1. Al igual que en el caso impar podemos concluir que f 2 ∈ N . Consideremos dos casos posibles: a) g ∈ N : entonces el siguiente conjunto de n elementos distintos est´a incluido en N : {f 2r g l | 0 ≤ r ≤ n2 − 1, 0 ≤ l ≤ 1}. Si N posee al menos un elemento adicional, entonces |N | ≥ n+1 y esto implica que |N | = 2n. En efecto, |N | divide a 2n y entonces 2n = |N |a; si a ≥ 2 entonces |N |a ≥ 2|N |, luego 2n ≥ 2n + 2 , lo cual es falso. As´ı pues, si N no posee al menos un elemento adicional, entonces N es exactamente el subgrupo {f 2r g l | 0 ≤ r ≤ n2 − 1, 0 ≤ l ≤ 1}. En caso contrario, N coincide con Dn . b) g ∈ / N : veamos que entonces necesariamente f g ∈ N . En efecto, k debe ser impar, ya que de lo contrario k = 2u y entonces (f 2 )−u = f −k ∈ N , con lo cual f −k f k g = g ∈ N , lo cual es falso. As´ı pues, k = 2w + 1 y esto implica que f −2w f k g = f g ∈ N . N´otese que entonces N contiene al conjunto {f 2k | 0 ≤ k ≤ n2 − 1} y tambi´en al conjunto {f 2k+1 g| 0 ≤ k ≤ n2 − 1}, la reuni´on de los cuales tiene n elementos. Como se vio anteriormente, si N posee al menos un elemento adicional, entonces N = Dn , en caso contrario N es exactamente la reuni´on de estos dos conjuntos. Ejemplo 2.5.1. Los subgrupos normales de D3 son: I,

hf i

D3

Y los grupos cociente: D3 /I = D3 D3 /hf i = {{I, f, f 2 }, {g, f g, f 2 g}} 23

Ejemplo 2.5.2. Los subgrupos normales de D6 son: I,

hf i,

hf 2 i,

hf 3 i,

D6 ,

{f 0 g 0 , f 2 g 0 , f 4 g 0 , f 0 g 1 , f 2 g 1 , f 4 g 1 } = {I, f 2 , f 4 , g, f 2 g, f 4 g} = hf 2 , gi, {f 1 g 1 , f 3 g 1 , f 5 g 1 , f 0 , f 2 , f 4 } = {f g, f 3 g, f 5 g, I, f 2 , f 4 } = hf 2 , f 5 gi Los grupos cociente: D6 /I = D6 D6 /hf i = {{I, f, f 2 , f 3 , f 4 , f 5 }, {g, f g, f 2 g, f 3 g, f 4 g, f 5 g}} D6 /hf 2 i = {{f, f 3 , f 5 }, {I, f 2 , f 4 }, {g, f 2 g, f 4 g}, {f g, f 3 g, f 5 g}} D6 /hf 3 i = {{f, f 4 }, {f 2 , f 5 }, {I, f 3 }, {g, f 3 g}, {f g, f 4 g}, {f 2 g, f 5 g}} D6 /hf 2 , gi = {{f, f 3 , f 5 , f g, f 3 g, f 5 g}, {I, f 2 , f 4 , g, f 2 g, f 4 g}} D6 /hf 2 , f 5 gi = {{f, f 3 , f 5 , g, f 2 g, f 4 g}, {I, f 2 , f 4 , f g, f 3 g, f 5 g}}

24

Cap´ıtulo 3 Grupos asociados a poliedros regulares El estudio de los poliedros tuvo un lugar central en la geometr´ıa griega, sin embargo, fueron Descartes y Euler quienes descubrieron que: en un poliedro simple, supongamos V representa el n´ umero de v´ertices, A el de aristas y C el de caras; entonces, siempre V − A + C = 2.

(3.1)

A partir de esta f´ormula es f´acil demostrar que no existen m´as que cinco poliedros regulares. Supongamos que un poliedro regular tiene C caras cada una de las cuales es un pol´ıgono regular de n lados, y que llegan r aristas a cada v´ertice. Contando las aristas por las caras y los v´ertices, vemos que nC = 2A,

(3.2)

ya que cada arista pertenece a dos caras y por esto interviene dos veces en el producto nC. Por otra parte, rV = 2A,

(3.3)

ya que cada arista tiene dos v´ertices. De aqu´ı y de (3.1) obtenemos la ecuaci´on 2A 2A + −A=2 n r 25

que es igual a

1 1 1 1 + = + n r 2 A

(3.4)

Sabemos que n ≥ 3 y r ≥ 3, ya que un pol´ıgono debe tener como m´ınimo, tres lados y, por lo menos deben llegar tres lados a cada ´angulo del poliedro. Adem´as, n1 + 1r debe ser mayor que 12 , pues A debe ser positiva. Veamos entonces, qu´e valores pueden tomar r y n: Para n = 3, la ecuaci´on (3.4) toma la forma, 1 1 1 − = r 6 A entonces r puede ser igual a 3, 4 ´o 5. De aqu´ı obtenemos A = 6, 12 ´o 30. Para n = 4 tenemos,

1 1 1 − = r 4 A de la que se deduce que r = 3 y por lo tanto, A = 12. Para n = 5 tenemos,

1 3 1 − = r 10 A luego r = 3 y por lo tanto, A = 30. Para n ≥ 6, la ecuaci´on asigna valores negativos a A, lo cual no tendr´ıa sentido. Podemos decir entonces, que el conjunto de poliedros dados por estos casos da el n´ umero de poliedros regulares posibles. Sustituyendo estos valores de n, r y A en las ecuaciones (3.2) y (3.3), obtenemos el n´ umero de v´ertices y de caras de los poliedros correspondientes: Nombre Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

V 4 8 6 20 12

A 6 12 12 30 30

C 4 6 8 12 20

Para iniciar nuestro estudio sobre la simetr´ıa de los poliedros, es necesario poner claro y unificar la definici´on que manejaremos de poliedro y de poliedro regular, que tomaremos tambi´en de [3]: 26

Definici´ on 3.0.2. Un poliedro es el conjunto de un n´ umero finito de pol´ıgonos planos, tal que: 1. cada lado de cualquier pol´ıgono es simult´aneamente un lado de otro pol´ıgono (pero s´olo de uno) que se denomina adyacente del primero (respecto a dicho lado), 2. a partir de cada uno de los pol´ıgonos que integran el poliedro, es posible alcanzar cualquier otro de ellos, pasando al pol´ıgono adyacente a aqu´el y, a su vez, a partir de este u ´ltimo es posible pasar a su adyacente,etc. Estos pol´ıgonos se denominan caras, sus lados aristas y sus v´ertices, v´ertices del poliedro. Definici´ on 3.0.3. Un poliedro regular es un pol´ıgono tal que todas sus caras son pol´ıgonos regulares iguales y todos sus ´angulos poliedros de los v´ertices son regulares e iguales. Definici´ on 3.0.4. El grupo de simetr´ıas del poliedro, Ω, llamado el grupo del poliedro, es el conjunto de todas las isometr´ıas que env´ıan v´ertices en v´ertices, lo cual implica que env´ıan aristas en aristas y caras en caras. Consideraremos el centro del poliedro como el origen. Ω+ denota el conjunto de Ω de las simetr´ıas con determinante 1 y Ω− denota el conjunto de Ω de las simetr´ıas con determinante −1. Para cumplir nuestro objetivo es necesario que los lectores conozcan la posici´on de los poliedros en el espacio tridimensional, por esto, lo primero que se har´a es dar las coordenadas de sus v´ertices.

27

3.1.

El grupo del tetraedro (ΩT )

Consideremos el tetraedro construido de la siguiente manera: primero haremos un tri´angulo equil´atero que nos sirva como base para el tetraedro. Sus v´ertices en el plano estar´an dados por: {(0, 1), (cos(−30), − sen(−30)), (− cos(−30), − sen(−30))} ( Ã√ ! à √ !) 3 1 3 1 = (0, 1), , − . ,− ,− 2 2 2 2 √ La distancia entre estos puntos es 3, por lo tanto el v´ertice que nos definir´a el tetraedro debe estar a la misma distancia, luego los v´ertices del tetraedro son: ! à √ ! ) ( Ã√ ³ √ ´ 3 1 3 1 ,− ,0 , − , − , 0 , 0, 0, 2 . (0, 1, 0), 2 2 2 2 Para construir el tetraedro centrado en el origen, debemos hallar el baricentro y correr el tetraedro anterior esta distancia sobre el eje z. As´ı, los v´ertices a, b, c, d del tetraedro regular centrado en el origen son: (µ ! à √ ! µ ¶ Ã√ ¶) 1√ 3 1 1√ 3 1 1√ 3√ 0, 1, − 2 , ,− ,− 2 , − ,− ,− 2 , 0, 0, 2 4 2 2 4 2 2 4 4

28

z

d

1.06

0.35

c -0.35 -0.50

b 0.25 y

1.00

a 0.87

0.00 x

-0.87

Figura 3.1: Tetraedro regular Para hallar las matrices que nos definen las simetr´ıas, debemos resolver sistemas de ecuaciones como el siguiente:    √ √ √   3 3 3 m n o − 0 0 0 2 2 2      1 1    p q r = −2 −2   1 − 12 0    1  √ √ √ √ √ 3√ 1 1 1 1 1 s t u −4 2 −4 2 −4 2 −4 2 −4 2 4 2 En este ejemplo, las dos primeras columnas corresponden a los v´ertices a y b del tetraedro, los cuales se mantienen fijos y la tercera columna de ambas matrices son los v´ertices c y d, los cuales se intercambian entre s´ı, generando as´ı la matriz que nos define la transformaci´on A: reflexi´ on respecto al plano que pasa por ab y el punto medio de cd. De esta forma hallaremos las seis reflexiones que nos generar´an todo el grupo. De lo anterior, las matrices que nos definen las simetr´ıas del tetraedro son:

29





1 0 0

  I= 0 1 0 

rotaci´on de 0◦

0 0 1 

√ √ √ − 16 3 − 13 2 3  √ √ 1 5 A= − 13 2 6  −6 3 √ √ √ − 13 − 13 2 3 − 13 2 1 2

  B=  

1 2

√

√

√ √ 2 3 √ − 13 2

1 3

3

5 3 6 √ √ √ 1 1 2 3 −3 2 3 1 6

  

   

− 13

0 1

 0  √  1 2 0 2  D= 3 3   √ 1 2 0 3 2 −3 1

0



reflexi´on respecto al plano que pasa por bc y el punto medio de ad

 √ − 12 3 0   √ 1 1  E= − 3 − 0  2  2 0 0 1 

1 2

1 2

 √ 1 F =  2 3 0

1 2

√

3 0

− 12 0

reflexi´on respecto al plano que pasa por ac y el punto medio de bd reflexi´on respecto al plano que pasa por ad y el punto medio de bc

 1 0 

0

reflexi´on respecto al plano que pasa por ab y el punto medio de cd



−1 0 0

 C= 0 

1 6



reflexi´on respecto al plano que pasa por bd y el punto medio de ac

 reflexi´on respecto al plano que pasa por cd y el punto medio de ab

 0   1

30

  AF =   

√

√ √ − 13 2 3 √ − 13 2

3

3 − 23 √ √ √ − 13 2 3 − 31 2 3

− 13

√ − 31 3

 BE =  − 32  −3 3 √ √ √ 1 2 3 − 31 2 3 

√ 1 − 12 3 6  √ 1 5 AB =  6  −6 3 √ √ √ 1 1 −3 2 3 −3 2

rotaci´on de 180◦ alrededor de la recta que pasa por los puntos medios de bc y ad

√ √ 2 3 √ − 13 2

1 3

   

− 13 √ √ 2 3 √ − 13 2

1 3

√ √ √ − 16 3 − 13 2 3 − 12  1√ √ 5 1 AC =  3 − 2 6 3  6 √ √ √ 1 2 3 − 13 2 − 13 3

  

  

√ − 12 3

√ √ √ − 16 3 − 31 2 3  1√ √ 1 1 AE =  − 3 − − 2 6 3  2 √ 2 2 − 13 0 3 1 2

rotaci´on de 120◦ alrededor de la recta que pasa por a y el origen



 0  √ √  1 1 2 AD =  − 3 − 2  6 6 3   √ √ √ 1 1 1 −3 2 3 −3 2 −3 1 2

rotaci´on de 180◦ alrededor de la recta que pasa por los puntos medios de bd y ac



− 13





◦  rotaci´on de 180 alrededor de  la recta que pasa por los pun tos medios de cd y ab

0

0 √ 1





 0 √  1 2 2  3 3  √ 2 1 2 −3 3

−1

 CD =   0 0 

1 3

0 √ 1

rotaci´on de 240◦ alrededor de la recta que pasa por a y el origen rotaci´on de 120◦ alrededor de la recta que pasa por b y el origen

   

31

rotaci´on de 240◦ alrededor de la recta que pasa por b y el origen



1 2

1 6

 1√ BF =   2 3 0

√

√ √ 2 3 √ − 13 2

1 3

3

− 16 √ 2 2 3

 rotaci´on de 120◦ alrededor de la recta que pasa por c y el origen

  

− 13

 0  1√ √  2 1 BD =  3 − 2  6 3   6 √ √ √ 1 1 1 2 3 −3 2 −3 3 

1 2

1 2



− 12  √ 1 CE =   −2 3 0

1 2

√

√

3

3 0

rotaci´on de 240◦ alrededor de la recta que pasa por c y el origen



 0   1

rotaci´on de 120◦ alrededor de la recta que pasa por d y el origen

 √ − 12 − 21 3 0  √  1 1  CF =  3 − 0  2  2 0 0 1

rotaci´on de 240◦ alrededor de la recta que pasa por d y el origen

− 12 0







√ √ √ − 12 − 16 3 − 13 2 3  1√ √ 1 1 ACF =  3 − − 2 6 3  2 √ 2 0 2 − 13 3   ABF =  



0 √ 1

√ − 13 3

3 − 32 √ √ √ − 13 2 3 − 31 2 3

√ − 12 − 12 3  1√ ACD =  − 16  6 3 √ √ √ 1 2 3 − 13 2 3

  

rotaci´on de 120◦ alrededor de la recta que pasa por c y el origen, seguida de una reflexi´on respecto al plano que pasa por ab y el punto medio de cd

− 13

 rotaci´on de 120◦ alrededor de  la recta que pasa por d y el ori gen, seguida de una reflexi´on  respecto al plano que pasa por ab y el punto medio de cd

 0 √  2 2  3  1 −3

rotaci´on de 120◦ alrededor de la recta que pasa por d y el origen, seguida de una reflexi´on respecto al plano que pasa por ac y el punto medio de bd

√ √ 2 3 √ − 31 2

1 3

32



1 3

√

0 3  √ 1 ACE =  − 23  −3 3 √ √ √ 1 2 3 − 31 2 3

√ √ 2 3 √ − 13 2

− 31

− 13



√ 1 − 12 3 2  √ 1 ABD =  − 16  −6 3 √ √ √ − 13 2 3 − 13 2 

− 12  1√ ABE =   −2 3 0

1 6

√

3

− 16 √ 2 2 3

 rotaci´on de 240◦ alrededor de  la recta que pasa por c y el ori gen, seguida de una reflexi´on  respecto al plano que pasa por ab y el punto medio de cd

 0 √  2 2  3  1 −3

rotaci´on de 240◦ alrededor de la recta que pasa por d y el origen, seguida de una reflexi´on respecto al plano que pasa por ab y el punto medio de cd



rotaci´on de 240◦ alrededor de la recta que pasa por d y el origen, seguida de una reflexi´on respecto al plano que pasa por bc y el punto medio de ad

√ √ 2 3 √ − 13 2

1 3

  

− 13

La tabla de ΩT aparece en el cuadro 3.2. Otra manera de contar las simetr´ıas de Ω+ T es la siguiente: la identidad {I}, (1); las rotaciones de 180◦ alrededor de los tres ejes definidos por los centros de las aristas opuestas {AF, BE, CD}, (3); las rotaciones de 120◦ y 240◦ alrededor de los cuatro ejes definidos por cada v´ertice y el origen {AB, AC, AD, AE, BF, BD, CE, CF }, (8). Las simetr´ıas de Ω− ıas de Ω+ T , son las composiciones de las simetr´ T con una simetr´ıa con determinante −1, podemos tomar A. El orden de ΩT es la suma − de los ´ordenes de Ω+ T y ΩT , es decir, 24.

3.1.1.

Subgrupos de ΩT

Los subgrupos de ΩT son: De orden 2:

hAi, hBi, hCi, hDi, hEi, hF i; hAF i, hBEi, hCDi.

33

De orden 3:

hABi, hADi, hBDi, hCEi.

De orden 4:

hABDi, hABEi, hABF i; hA, F i = {I, A, F, AF }, hB, Ei = {I, B, E, BE}, hC, Di = {I, C, D, CD}.

De orden 6:

hA, Bi = {I, A, B, C, AB, AC}, hA, Di = {I, A, D, E, AD, AE}, hB, Di = {I, B, D, F, BD, BF }, hC, Ei = {I, C, E, F, CE, CF }.

De orden 8:

hA, ABEi = {I, A, F, AF, BE, CD, ABE, ACD}, hB, ABDi = {I, B, E, AF, BE, CD, ABD, ACF }, hC, ABF i = {I, C, D, AF, BE, CD, ABF, ACE}.

De orden 12: hAB, AF i = Ω+ T. De orden 24: ΩT

34

35

· I A B C D E F AB AC AD AE AF BD BE BF CD CE CF ABD ABE ABF ACD ACE ACF

I I A B C D E F AB AC AD AE AF BD BE BF CD CE CF ABD ABE ABF ACD ACE ACF

A A I AC AB AE AD AF C B E D F ACE ACD ACF ABE ABD ABF CE CD CF BE BD BF

B B AB I AC BF BE BD A C ABF ABE ABD F E D ACF ACE ACD AF AE AD CF CE CD

C C AC AB I CD CF CE B A ACD ACF ACE ABD ABF ABE D F E BD BF BE AD AF AE

D D AD BD CD I AE BF ABD ACD A E ABF B ACE F C ABE ACF AB CE AF AC BE CF

E E AE BE CE AD I CF ABE ACE D A ACF ACD B ABF ABD C F CD AB BF BD AC AF

F F AF BF CF BD CE I ABF ACF ABD ACE A D ABE B ACD E C AD BE AB CD AE AC

AB AB B C A ABE ABF ABD AC I BE BF BD CE CF CD AE AF AD ACE ACF ACD E F D

AD AD D ACD ABD E A ABF CD BD AE I BF BE AC CF CE AB AF ABE C ACF ACE B F

AE AE E ACE ABE A D ACF CE BE I AD CF AC BD AF AB CD BF C ABD F B ACD ABF

AF AF F ACF ABF ACE ABD A CF BF CE BD I AE CD AC BE AD AB E ACD C ABE D B

BD BD ABD D ACD F ACE B AD CD AF CE AB BF AE I CF BE AC ABF E A ACF ABE C

BE BE ABE E ACE ABF B ACD AE CE BF AB CD CF I AD AF AC BD ACF A D F C ABD

BF BF ABF F ACF B ABE D AF CF AB BE AD I CE BD AC AE CD A ACE ABD C E ACD Cuadro 3.2: Tabla de ΩT

AC AC C A B ACF ACD ACE I AB CF CD CE AF AD AE BF BD BE F D E ABF ABD ABE

CD CD ACD ABD D C ACF ABE BD AD AC CF BE AB AF CE I BF AE B F ACE A ABF E

CE CE ACE ABE E ABD F C BE AE BD AF AC CD BF AB AD CF I ACD ABF B D ACF A

CF CF ACF ABF F ACD C E BF AF CD AC AE AD AB BE BD I CE D B ABE ABD A ACE

ABD ABD BD CD AD CE AF AB ACD D ACE F B ABE ACF C E ABF A BE CF AC AE BF I

ABE ABE BE CE AE AB BF CD ACE E B ABF ACD C F ABD A ACF D AC AF BD I CF AD

ABF ABF BF CF AF BE AB AD ACF F ABE B D E C ACD ACE A ABD AE AC CD CE I BD

ACD ACD CD AD BD CF AC BE D ABD ACF C ABE ABF A E F B ACE BF I AE AF AB CE

ACE ACE CE AE BE AF BD AC E ABE F ABD C ACF D A ABF ACD B CF AD I BF CD AB

ACF ACF CF AF BF AC CD AE F ABF C ACD E A ABD ACE B D ABE I BD CE AB AD BE

3.2.

El grupo del hexaedro (ΩH )

Para construir el hexaedro, construiremos primero los cuadrados inferior y superior. Sus v´ertices {a, b, c, d} y {e, f, g, h} en el plano est´an dados por {(1, 1), (−1, 1), (−1, −1), (1. − 1)}. Como el hexaedro debe estar centrado en el origen y la medida de su arista es 2, el cuadrado inferior debemos bajarlo 1 y el superior, subirlo la misma cantidad. Por lo tanto, los v´ertices {a, b, c, d, e, f, g, h} del hexaedro son: {(1, 1, −1), (−1, 1, −1), (−1, −1, −1), (1. − 1, −1), (1, 1, 1), (−1, 1, 1), (−1, −1, 1), (1. − 1, 1)}.

g f

z 1

h e

0

b -1 -1 -1

d

0 0 y

1

a

1

x

Figura 3.2: Hexaedro regular Las matrices que nos definen las simetr´ıas del hexaedro son: 36



1 0 0



  I= 0 1 0 

rotaci´on de 0◦

0 0 1 

−1 0 0

 A= 0

 1 0 

0 

 reflexi´on respecto al plano yz

0 1

1

0

0



  B =  0 −1 0  0 

0

1 0

1 0

 C= 0 1

reflexi´on respecto al plano xz



 0 

reflexi´on respecto al plano xy

0 0 −1 

0 −1 0



 D= 1

0

 0 

0

0

1



1 0

0

rotaci´on de 90◦ alrededor del eje z



  E =  0 0 −1  0 1

0

0

0 1



 F = 0

rotaci´on de 90◦ alrededor del eje x



 1 0 

rotaci´on de 90◦ alrededor del eje y

−1 0 0 

−1

 AB =  0 0

0

0



 −1 0  0

rotaci´on de 180◦ alrededor del eje z

1 37



−1 0

 AC =  0

rotaci´on de 180◦ alrededor del eje y

0 −1

1

0

0

 BC =  0 −1 0 



 0 

1

0 

0



 0 

0

rotaci´on de 180◦ alrededor del eje x

−1

0

1 0



  ABD =  −1 0 0  0 

0 1

0 0 −1

 ACF =  0 1



 0 

1 0 

rotaci´on de 270◦ alrededor del eje z

rotaci´on de 270◦ alrededor del eje y

0 

1

0

0

 BCE =  0

0

 1 

rotaci´on de 270◦ alrededor del eje x

0 −1 0 

−1 0 0

 ABE =  0 

1 0

0

0

−1

rotaci´on de 180◦ alrededor del eje que pasa por los puntos medios de cd y ef

 0 1 

0

 ABF =  0



−1 0

−1



 0 

rotaci´on de 180◦ alrededor del eje que pasa por los puntos medios de ad y f g

0

38



0 1

0

 ACD =  1 0

 rotaci´on de 180◦ alrededor del eje que pasa por los puntos medios de ae y cg

 0 

0 0 −1 

−1

0

 ACE =  0 

0

−1

0

0

−1

0

0

0

0



0

0 0 1

rotaci´on de 180◦ alrededor del eje que pasa por los puntos medios de bf y dh

−1 1



  BCF =  0 −1 0  1

rotaci´on de 180◦ alrededor del eje que pasa por los puntos medios de ab y gh



 0 

0

0



 −1 

0

 BCD =  −1 

0

rotaci´on de 180◦ alrededor del eje que pasa por los puntos medios de bc y eh

0  rotaci´on de 120◦ alrededor del eje que pasa por ce

  DE =  1 0 0  0 1 0 

0

−1 0

 DF =  0 −1 

0

1

0



0

 1 

0

0

0 −1

 ED =  0

0

 FE =  0



1

0



 −1 

rotaci´on de 120◦ alrededor del eje que pasa por bh

0 0



 0 −1 

−1 0

rotaci´on de 240◦ alrededor del eje que pasa por df

rotaci´on de 120◦ alrededor del eje que pasa por ag

0 39



0

0 −1

 ABDE =  −1 0 0 



 0 

1

rotaci´on de 120◦ alrededor del eje que pasa por df

0

0 1 0

 rotaci´on de 240◦ alrededor del eje que pasa por ce

  ABED =  0 0 1  1 0 0 

0

0

 ACDE =  1

0

−1

 0 

0 −1 

0

 BCDE =  −1 0 

 rotaci´on de 240◦ alrededor del eje que pasa por ag

0 

0

1

0

 0 

rotaci´on de 240◦ alrededor del eje que pasa por bh

−1 0

0 1 0

 reflexi´on respecto al plano que pasa por ae y cg

  AD =  1 0 0  0 0 1 

0

 AF =  0

0 −1

 0 

1

−1 0 

0

 BD =  −1 0

 reflexi´on respecto al plano que pasa por af y dg

0

−1 0



0

 0 

0

1

reflexi´on respecto al plano que pasa por bf y dh

40



1 0 0

 reflexi´on respecto al plano que pasa por cf y de

  BE =  0 0 1  0 1 0 

1

0

 CE =  0

0

0

reflexi´on respecto al plano que pasa por ah y bg

 −1 

0 −1 



0

0 0 1

 reflexi´on respecto al plano que pasa por be y ch

  CF =  0 1 0  1 0 0 

−1 0

 AE =  0

1

0

1



rotaci´on de 90◦ alrededor del eje y, seguida de una reflexi´on respecto al plano xz

 −1 0 

−1

0

0

0 −1

 CD =  1

0

0

0



rotaci´on de 90◦ alrededor del eje x, seguida de una reflexi´on respecto al plano yz

0

0

 BF =  0 



 0 −1 

0 

0

−1

 ABC =  0

0

1

 ABCD =  −1 0 0

rotaci´on de 90◦ alrededor del eje z, seguida de una reflexi´on respecto al plano xy

−1

0 0



 0 

−1

0 

0

0



 0  −1 0



 0 

0 −1

rotaci´on de 180◦ alrededor del eje z, seguida de una reflexi´on respecto al plano xy rotaci´on de 270◦ alrededor del eje z, seguida de una reflexi´on respecto al plano xy

41



−1

 ABCE =  0 0 

0

0

0

 1 

−1 0 0

−1

 ABCF =  0 −1 1 

0

 0  

0

0

1 0



0 1

0



rotaci´on de 90◦ alrededor del eje x, seguida de una reflexi´on respecto al plano que pasa por ae y cg

  AED =  0 0 −1  1 0 

0

 AF E =  0 −1 

0

0 −1 0 0 0 1

0



  BDE =  −1 0 0  0

1 0



 −1  0

rotaci´on de 270◦ alrededor del eje y, seguida de una reflexi´on respecto al plano xz

rotaci´on de 90◦ alrededor del eje y, seguida de una reflexi´on respecto al plano que pasa por cd y ef

 0 1 

−1 0 0 

rotaci´on de 270◦ alrededor del eje x, seguida de una reflexi´on respecto al plano yz

rotaci´on de 90◦ alrededor del eje z, seguida de una reflexi´on respecto al plano que pasa por cd y ef

 0 

0 1

 ADF =  0



0

0 0 −1

 ADE =  1 0 



0

rotaci´on de 90◦ alrededor del eje y, seguida de una reflexi´on respecto al plano que pasa por ab y gh rotaci´on de 90◦ alrededor del eje x, seguida de una reflexi´on respecto al plano que pasa por bc y eh

42



0 −1 0



 BED =  0

0

 1 

1

0

0

0

0

1

0

 0 



 CDE =  1

rotaci´on de 90◦ alrededor del eje z, seguida de una reflexi´on respecto al plano que pasa por bc y eh



rotaci´on de 90◦ alrededor del eje z, seguida de una reflexi´on respecto al plano que pasa por ab y gh

0 −1 0 

0

 ABCDE =  −1 0

0 0 −1

−1



rotaci´on de 270◦ alrededor del eje x, se 0  guida de una reflexi´on respecto al plano que pasa por ad y f g 0

La tabla de ΩH aparece en el cuadro 3.5 Otra manera de contar las simetr´ıas de Ω+ H es la siguiente: la identidad I, (1); las rotaciones de 90◦ , 180◦ y 270◦ alrededor de los tres ejes definidos por los centros de las caras opuestas E, BC, BCE, F, AC, ACF, D, AB, ABD, (9); las rotaciones de 180◦ alrededor de los seis ejes definidos por los centros de las aristas opuestas ABE, ABF, ACD, ACE, BCD, BCF , (6); las rotaciones de 120◦ y 240◦ alrededor de los cuatro ejes definidos por los v´ertices opuestos DE, ABED, ABDE, DF, F E, ACDE, ED, BCDE, (8). Las simetr´ıas de Ω− ıas de Ω+ H , son las composiciones de las simetr´ H con la simetr´ıa central ABC (env´ıa (x, y, z) a −(x, y, z)). El orden de ΩH es, por lo tanto, 48.

3.2.1.

Algunos subgrupos de ΩH

Algunos subgrupos de ΩH son: De orden 2:

hAi, hBi, hCi; hABi, hACi, hBCi; hADi, hAF i, hBDi hBEi, hCEi, hCF i;

43

hABCi; hABEi, hABF i, hACDi, hACEi, hBCDi, hBCF i; hDEi, hDF i, hF Ei, hEDi. De orden 4:

hDi, hEi, hF i; hAEi, hBF i, hCDi.

De orden 6:

hADF i, hAF Ei, hAEDi, hBDEi.

De orden 8:

hA, Di = {I, A, B, D, AB, AD, BD, ABD}, hA, F i = {I, A, C, F, AC, AF, CF, ACF }, hB, Ei = {I, B, C, E, BC, BE, CE, B}.

De orden 24: Ω+ H. De orden 48: ΩH .

44

45

· I A B C D E F AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF ED FE ABC ABD ABE ABF ACD ACE ACF ADE ADF AED AFE BCD BCE BCF BDE BED CDE ABCD ABCE ABCF ABDE ABED ACDE BCDE ABCDE

I I A B C D E F AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF ED FE ABC ABD ABE ABF ACD ACE ACF ADE ADF AED AFE BCD BCE BCF BDE BED CDE ABCD ABCE ABCF ABDE ABED ACDE BCDE ABCDE

A A I AB AC BD AE CF B C ABD E ACF ABC D ABE BCF BCD ACE F BDE BED AFE AED BC AD BE ABCF ABCD CE AF ABDE ABED FE ED CD ABCE BF DE DF BCDE ACD BCE ABF ADE ADF ABCDE CDE ACDE

B B AB I BC AD CE BF A ABC D ACE ABF C ABD BCE F ACD E BCF CDE ADF AED AFE AC BD ABCE AF CD AE ABCF ACDE DF ED FE ABCD BE CF BCDE ABED DE BCD ABE ACF ABCDE BED ADE BDE ABDE

C C AC BC I CD BE AF ABC A ACD ABE F B BCD E ABF D BCE ACF ADE AFE BED ADF AB ABCD AE BF AD ABCE CF DE FE ABED DF BD CE ABCF ABDE ED ACDE ABD ACE BCF BDE AED CDE ABCDE BCDE

D D AD BD CD AB ED DE ABD ACD B AED ADE BCD A BED BDE ABC AFE CDE BCF ABE ACE E ABCD I ABED ABDE BC FE ACDE ABCF BE CE AE AC DF BCDE CF ABCE BF C ADF ABCDE ACF BCE ABF F AF

E E AE BE CE DE BC FE ABE ACE ADE ABC AFE BCE BDE C ADF CDE B AED ACD F BCF ABF ABCE ABDE AC DF ACDE AB ED CD AF ABCF BF BCDE I ABED ABCD CF AD ABCDE A BED BCD ACF D ABD BD

F F AF BF CF DF DE AC ABF ACF ADF ADE C BCF AFE BDE ABC BED CDE A ABE BCD D ACD ABCF FE ABDE BC ABED ACDE I BE ABCD AD CD ED BCDE AB AE BD ABCE AED ABCDE B E ABD BCE ACE CE

AB AB B A ABC ABD ACE BCF I BC BD CE ABCF AC AD ABCE CF ABCD AE BF BCDE ABED FE ED C D BCE ACF BCD E ABF ABCDE BED AFE AED ACD ABE F CDE ADF BDE CD BE AF ACDE DF ABDE DE ADE

AC AC C ABC A BCD ABE ACF BC I ABCD BE CF AB CD AE ABCF BD ABCE AF ABDE ED DF ABED B ACD E BCF ABD BCE F BDE AED ADF BED D ACE ABF ADE AFE ABCDE AD CE BF DE FE BCDE ACDE CDE

AD AD D ABD ACD A AED CDE BD CD I ED ACDE ABCD AB ABED BCDE AC FE DE CF ABCE AE CE BCD B BED ABCDE C AFE ADE ACF BCE E ACE ABC ADF BDE BCF ABE F BC DF ABDE ABCF BE AF BF ABF

AE AE E ABE ACE BDE ABC AED BE CE ABDE BC ED ABCE DE AC ABED BCDE AB FE ABCD CF BF ABCF BCE ADE C BED ABCDE B AFE BCD ACF ABF BCF CDE A ADF ACD F ABD ACDE I DF CD AF BD AD D

AF AF F ABF ACF AFE ADE A BF CF FE DE I ABCF DF ABDE AB ED ACDE AC AE BD CD AD BCF ADF BDE B AED CDE C E ABD ACD D BED ABCDE ABC ABE BCD ACE ABED BCDE BC BE ABCD CE ABCE BCE

BC BC ABC C B ACD BCE ABF AC AB CD ABCE BF I ABCD CE AF AD BE ABCF ACDE FE ABED DF A BCD ACE F D ABE BCF CDE AFE BED ADF ABD E ACF ABCDE AED ADE BD AE CF BCDE ED DE ABDE BDE

BD BD ABD D BCD B AFE BDE AD ABCD AB FE ABDE CD I DF DE BC ED BCDE BF BE CE AE ACD A ADF ADE ABC AED ABCDE ABF ABE ACE E C BED CDE F BCE BCF AC ABED ACDE AF ABCE ABCF CF ACF

BE BE ABE E BCE ADE B ADF AE ABCE DE AB DF CE ABDE I FE ACDE BC ABED AD AF ABCF BF ACE BDE A AFE CDE ABC BED D F BCF ABF ABCDE C AED ABD ACF ACD BCDE AC ED BD CF CD ABCD BCD

BF BF ABF F BCF ADF CDE ABC AF ABCF DF ACDE BC CF FE BCDE AC ABED DE AB ABCE ABCD AD CD ACF AFE ABCDE C BED ADE B BCE BCD D ACD AED BDE A ACE ABD ABE ED ABDE I CE BD BE AE E

CE CE ACE BCE E CDE C AFE ABCE AE ACDE AC FE BE BCDE BC DF DE I ED CD BF CF AF ABE ABCDE ABC ADF ADE A AED ACD ABF ACF F BDE B BED BCD BCF D ABDE AB ABED ABCD ABCF AD BD ABD

CF CF ACF BCF F BED BDE C ABCF AF ABED ABDE AC BF ED DE BC DF BCDE I BE CD BD ABCD ABF AED ADE ABC ADF ABCDE A ABE ACD ABD BCD AFE CDE B E D BCE FE ACDE AB AE AD ABCE CE ACE

DE DE ADE BDE CDE ABE BCF ACD ABDE ACDE BE ABCF CD BCDE AE CF ABCD ABCE BF AD ABED AC AB BC ABCDE E ACF BCD BCE ABF D BED C B ABC ACE F ABD AED A ADF CE AF BD ED I DF FE AFE

DF DF ADF AFE BED ABF D ABE FE ABED BF AD BE ED AF BD AE ABCF CD ABCE AB ABDE ACDE DE AED F ABD E BCF ACD BCE B BDE CDE ADE ACF BCD ACE A ABCDE ABC CF ABCD CE I BCDE BC AC C

ED ED AED BED AFE BCF BCD E ABED FE ABCF ABCD AE DF CF CD BE BF BD CE BC DE BCDE ABDE ADF ACF ACD ABE ABF ABD ACE ABC ADE ABCDE BDE F D BCE C CDE B AF AD ABCE AC ACDE AB I A

FE FE AFE ADF AED F ACD ACE DF ED AF CD CE ABED BF ABCD ABCE CF AD AE AC BCDE DE ACDE BED ABF BCD BCE ACF D E C ABCDE ADE CDE BCF ABD ABE ABC BDE A ABCF BD BE BC ABDE I AB B

ABC ABC BC AC AB ABCD ABCE ABCF C B BCD BCE BCF A ACD ACE ACF ABD ABE ABF ABCDE AED ADF BED I CD CE CF BD BE BF BCDE ED DF ABED AD AE AF ACDE FE ABDE D E F CDE AFE BDE ADE DE

ABD ABD BD AD ABCD I FE BCDE D BCD A AFE ABCDE ACD B ADF CDE C AED BDE F BCE E ACE CD AB DF ACDE AC ED ABDE AF ABCE AE CE BC ABED DE BF BE CF ABC BED ADE ABF ABE ACF BCF ABCF

ABE ABE BE AE ABCE ABDE AB ABED E BCE BDE B BED ACE ADE A AED ABCDE ABC ADF ABD ACF ABF BCF CE DE I ED BCDE BC DF BD CF BF ABCF ACDE AC FE AD AF ABCD CDE C AFE D F BCD ACD CD

ABF ABF BF AF ABCF FE ACDE AB F BCF AFE CDE B ACF ADF ABCDE A AED ADE ABC ACE ABD ACD D CF DF BCDE I ED DE BC CE BD CD AD ABED ABDE AC ABCE ABCD AE BED BDE C BCE BCD E ABE BE

ACD ACD CD ABCD AD AC ABED ACDE BCD D C BED CDE ABD ABC AED ABCDE A ADF ADE ACF ACE ABE BCE BD BC ED BCDE I DF DE CF CE BE ABCE AB FE ABDE ABCF AE AF B AFE BDE BCF E F ABF BF

Cuadro 3.5: Tabla de ΩH

CD CD ACD BCD D ABC BED ADE ABCD AD BC ABED DE BD AC ED ABDE AB DF ACDE ABCF AE ABCE BE ABD C AED BDE B ADF CDE BCF E BCE ABE A AFE ABCDE ACF ACE ABF I FE BCDE CF CE BF AF F

ACE ACE CE ABCE AE BCDE AC ED BCE E ABCDE C AED ABE CDE ABC BED BDE A AFE BCD BCF F ACF BE ACDE BC ABED ABDE I FE ABCD ABCF AF CF DE AB DF CD BF BD ADE B ADF ACD ABF ABD D AD

ACF ACF CF ABCF AF ED ABDE I BCF F AED BDE A ABF BED ADE B AFE ABCDE C E D BCD ABD BF ABED DE AB FE BCDE AC AE AD ABCD BD DF ACDE BC BE CD CE ADF CDE ABC ABE ACD ACE BCE ABCE

ADE ADE DE ABDE ACDE AE ABCF AD BDE CDE E BCF D ABCDE ABE ACF ABD ACE ABF ACD AED A ABC B BCDE BE CF BD CE BF CD ED I BC AB ABCE AF ABCD ABED AC FE BCE F BCD BED C AFE ADF DF

ADF ADF DF FE ABED AF AD ABCE AFE BED F D BCE AED ABF ABD ACE ACF ACD ABE A ABCDE ADE CDE ED BF BD CE CF CD BE I BCDE DE ACDE ABCF ABCD AE AB ABDE AC BCF BCD E B BDE C ABC BC

AED AED ED ABED FE CF ABCD CE BED AFE ACF BCD ACE ADF BCF ACD BCE F ABD E C CDE BDE ABCDE DF ABCF CD ABCE AF BD AE AC ACDE ABDE BCDE BF AD BE BC DE I ABF D ABE ABC ADE A B AB

AFE AFE FE DF ED BF CD AE ADF AED ABF ACD E BED F BCD ABE BCF D ACE ABC BDE CDE ADE ABED AF ABCD BE ABCF AD CE BC ABDE ACDE DE CF BD ABCE AC BCDE AB ACF ABD BCE C ABCDE B A I

BCD BCD ABCD CD BD BC DF ABDE ACD ABD ABC ADF BDE D C AFE ADE B BED ABCDE ABF E BCE ABE AD AC FE DE AB ABED BCDE BF AE ABCE BE I ED ACDE AF CE ABCF A AED CDE F ACE BCF ACF CF

BCE BCE ABCE CE BE ACDE I DF ACE ABE CDE A ADF E ABCDE B AFE ADE C BED D ABF ACF F AE BCDE AB FE DE AC ABED AD BF CF AF ABDE BC ED BD ABCF CD BDE ABC AED ABD BCF ACD BCD ABCD

BCF BCF ABCF CF BF ABED BCDE BC ACF ABF BED ABCDE ABC F AED CDE C ADF BDE B BCE ACD ABD BCD AF ED ACDE AC DF ABDE AB ABCE CD BD ABCD FE DE I CE AD BE AFE ADE A ACE D ABE E AE

BDE BDE ABDE DE BCDE BE BF ABCD ADE ABCDE ABE ABF BCD CDE E F ACD BCE BCF ABD ADF C B ABC ACDE AE AF CD ABCE ABCF BD DF AC AB BC CE CF AD FE I ABED ACE ACF D AFE A BED AED ED

BED BED ABED ED DF ABCF BD BE AED ADF BCF ABD ABE AFE ACF D E ABF BCD BCE B ADE ABCDE BDE FE CF AD AE BF ABCD ABCE AB DE BCDE ABDE AF CD CE I ACDE BC F ACD ACE A CDE ABC C AC

CDE CDE ACDE BCDE DE ABCE CF CD ABCDE ADE BCE ACF ACD BDE ACE BCF BCD ABE F D BED ABC A C ABDE CE ABCF ABCD BE AF AD ABED BC I AC AE BF BD ED AB DF E ABF ABD AED B ADF AFE FE

ABCD ABCD BCD ACD ABD C ADF ABCDE CD BD AC DF BCDE AD BC FE ACDE I ABED ABDE AF CE BE ABCE D ABC AFE CDE A BED BDE F ACE ABE BCE B AED ADE ABF E ACF AB ED DE BF AE CF ABCF BCF

ABCE ABCE BCE ACE ABE ABCDE A BED CE BE BCDE I ABED AE ACDE AB ED ABDE AC DF BD ABCF AF CF E CDE B AED BDE C ADF ABD BCF F ACF ADE ABC AFE D ABF BCD DE BC FE AD BF ABCD CD ACD

ABCF ABCF BCF ACF ABF AED ABCDE B CF BF ED BCDE AB AF ABED ACDE I FE ABDE BC CE AD ABCD BD F BED CDE A AFE BDE ABC ACE D BCD ABD ADF ADE C BCE ACD E DF DE AC ABCE CD AE BE ABE

ABDE ABDE BDE ADE ABCDE E ABF ABD DE BCDE AE BF BD ACDE BE AF AD CE ABCF ABCD FE I BC AB CDE ABE F D ACE BCF BCD AFE A ABC B BCE ACF ACD ADF C AED ABCE CF CD DF AC ED ABED BED

ABED ABED BED AED ADF ACF ABD BCE ED DF CF BD ABCE FE ABCF AD CE AF ABCD BE I ACDE ABDE BCDE AFE BCF D ACE F BCD ABE A CDE BDE ABCDE ABF ACD E B ADE C BF CD AE AB DE AC BC ABC

ACDE ACDE CDE ABCDE ADE ACE ACF D BCDE DE CE CF AD ABDE ABCE ABCF BD AE AF CD ED AB AC I BDE BCE BCF ABD E F ACD AED B C A ABE ABF BCD BED ABC AFE BE BF ABCD ABED BC FE DF ADF

BCDE BCDE ABCDE CDE BDE BCE F BCD ACDE ABDE ABCE AF ABCD DE CE BF CD BE CF BD DF BC I AC ADE ACE ABF ACD ABE ACF ABD ADF ABC A C E BCF D AFE B BED AE ABCF AD FE AB ABED ED AED

ABCDE ABCDE BCDE ACDE ABDE CE AF BD CDE BDE ACE F ABD ADE BCE ABF D E ACF BCD AFE B C A DE ABCE BF AD AE CF ABCD FE AB AC I BE ABCF CD DF BC ED ABE BCF ACD ADF ABC AED BED ABED

3.3.

El grupo del octaedro (ΩO )

Para nuestro estudio, construiremos un octaedro regular cuyos √ v´ertices est´an sobre los ejes x, y, z a una distancia entre cada uno de 2. Por tanto, los v´ertices a, b, c, d, e, f del octaedro regular centrado en el origen son: {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (−1, 0, 0), (0, −1, 0), (0, 0, −1)}

z

e

1

d b

0

a

-1

-1 -1

f

0

0

y

1

1

x

Figura 3.3: Octaedro regular Al realizar el proceso para hallar las matrices generadoras del grupo del octaedro, nos damos cuenta que son las mismas del hexaedro, por lo tanto, si intercambiamos v´ertices por caras en la descripci´on de las transformaciones del hexaedro, nos resultan las transformaciones del octaedro. Como los grupos del hexaedro y octaedro son iguales, toda la teor´ıa desarrollada para el grupo del hexaedro, coincide con la del octaedro.

46

3.4.

El grupo del dodecaedro (ΩD )

Observando el dodecaedro, nos damos cuenta que sus v´ertices forman cuatro pent´agonos, el de la base y el techo tienen el mismo radio y los internos tienen radio mayor a los iniciales, pero igual entre ellos. Las coordenadas del pent´agono regular con radio 1 centrado en el origen que forma el techo son:       1 cos (2π/5) cos (4π/5)       P1 =  0  , P2 =  sen (2π/5)  , P3 =  sen (4π/5)  0

0

0

Las distancias entre estos puntos son: q P1 P2 : (1 − cos (2π/5))2 + (sen (2π/5))2 = 1,1756 q P2 P3 : (cos (2π/5) − cos (4π/5))2 + (sen (2π/5) − sen (4π/5))2 = 1,1756 q P1 P3 : (1 − cos (4π/5))2 + (sen (4π/5))2 = 1,9021 Para hallar las coordenadas del pent´agono interno superior, se busca r y h tal que       r r cos (2π/5) r cos (4π/5)       Q1 =  0  , Q2 =  r sen (2π/5)  , Q3 =  r sen (4π/5)  h

h

h

y adem´as, como son regulares, se debe tener que kQi − Pi k = 1,1756 y kQi − Qi+1 k = 1,9021 Tambi´en, la distancia entre Q1 y Q2 debe ser la distancia de P1 a P3 es decir: q q 2 2 (1 − cos (4π/5)) + (sen (4π/5)) = r (1 − cos (2π/5))2 + (sen (2π/5))2 , luego r = 1,618. h la calculamos utilizando el Teorema de Pit´agoras: q h = (1,1756)2 − (0,618)2 = 1,0001 47

Vienen ahora los R0 s, v´ertices del pent´agono interno inferior, los cuales tiene el mismo radio pero est´an desplazados 36◦   r cos (π/5)   R1 =  r sen (π/5)  , h+j cuya distancia a Q1 deber´a ser 1,1756 es decir: q r2 (1 − cos (π/5))2 + r2 (sen (π/5))2 + j 2 = 1,1756, entonces j = 0,61812 Por lo anterior, las distancias entre el origen y cada pent´agono son: h1 = 0,61812/2 = 0,30906

(Pent´agono interno superior)

h2 = 0,30906 + h = 1,3092 (Pent´agono del techo) s1 = −h1

(Pent´agono interno inferior)

s2 = −h2

(Pent´agono de la base)

Los puntos del dodecaedro ser´an de la forma:   (n + (1 − n) r) cos (2πk/5 + m (π/5))   f (k, n, m) =  (n + (1 − n) r) sen (2πk/5 + m (π/5))  , (−1)m (j/2 + nh) donde n y m son 0 ´o 1, mientras k va de 0 a 4. 

r cos (2πk/5 + m (π/5))



  n = 0, f (k, 0, m) =  r sen (2πk/5 + m (π/5))  (−1)m j/2 se obtienen los pent´agonos internos. 

cos (2πk/5 + m (π/5))



  n = 1, f (k, 1, m) =  sen (2πk/5 + m (π/5))  (−1)m (j/2 + h) 48

se obtienen los pent´agonos base, con m = 1 y techo, con m = 0. Los puntos f (k, 1, 0) forman el pent´agono del techo {p, q, r, s, t}, los f (k, 1, 1) forman el pent´agono base {a, b, c, d, e}, los f (k, 0, 1) forman el pent´agono interno inferior {g, i, k, m, o} y los f (k, 0, 0) forman el pent´agono interno superior {f, h, j, l, n}. Por lo tanto, los v´ertices del dodecaedro centrado en el origen son:  (0,80902, −0,58779, −1,3092) , (0,80902, 0,58779, −1,3092) ,       (−0,30902, −0,95106, −1,3092) , (−1, 0, −1,3092) ,      (−0,30902, −0,95106, −1,30906) , (1,309, −0,95104, −0,30906) ,       (1,618, 0, 0,30906) , (1,309, 0,95104, −0,30906) ,      (0,49999, 1,5388, 0,30906) , (−0,49999, 1,5388, −0,30906) ,  (−1,3090, 0,95104, 0,30906) , (−1,618, 0, −0,30906) ,       (−1,309, −0,95104, 0,30906) , (−0,49999, −1,5388, −0,30906) ,      (0,49999, −1,5388, 0,30906) , (1, 0, 1,30906) ,       (0,30902, 0,95106, 1,3092) , (−0,80902, 0,58779, 1,3092) ,     (−0,80902, −0,58779, 1,3092) , (0,30902, −0,95106, 1,3092)

49

                                            

z

r

s

q

p

t

1.31

i

m g

o

0.00

f

n

-1.31 -1.54

e

h

b

a

0.00 y

1.62

1.54

-1.62 0.00 x

Figura 3.4: Dodecaedro regular Las matrices generadoras son:   1 0 0   A =  0 −1 0  0 

0

1

0,30901 −0,95105 0

 B =  0,95105 

0,30901

0

0

0,80901

0,58778

 C =  0,58779 −0,80901 0 

reflexi´on respecto al plano xz

0

0,94722 −0,16245

 D =  0,16247 0,27643

−0,5 0,85076

 rotaci´on de 72◦ alrededor del eje z

 0  1 0



rotaci´on de 180◦ alrededor del eje que pasa por los puntos medios de gh y lm

 0  −1 0,27636



 rotaci´on de 120◦ alrededor del −0,85051  eje que pasa por gl −0,44722 50

Debido a la gran cantidad de matrices que conforman el grupo del icosaedro, se pondr´an en el ap´endice A.3 y la tabla podr´a realizarla quien est´e interesado con el script ap´endice en A.2. Otra manera de contar las simetr´ıas de Ω+ D es la siguiente: la identidad {I}, ◦ ◦ ◦ (1); las rotaciones de 72 , 144 , 216 y 288◦ alrededor de los seis ejes definidos por los centros de las caras opuestas {B,BB,BBB,ABA,DDC,CBDC, BDDB,CD, DDBD,CDBC,BBDD,BDC,DCD,DB,ABDA,CBD,CDD, BD,ADBA,DC,BDBC,BBBD,DDBB,CBDB}, (24); las de 180◦ alrededor de los quince ejes definidos por los por los centros de las aristas opuestas {BCDB,BBCD,BBBDC,BBDCD,CDBB,BDDBB,BBDDB,DBB, BDB,BBD,CB,C,BC,BBC,CBB}, (15); las rotaciones de 120◦ y 240◦ alrededor de los diez ejes definidos por los v´ertices opuestos {ABCDA,CDB, DDBC,BCD,CBBD,BBDC,BDCD,DBD,BCDD,DBC,ABAD,DDB, D,DD,CDC,BDD,BCDC,BADBA,DBCD,ABDAB}, (20). Las simetr´ıas de Ω− on de las simetr´ıas de Ω+ ıa D son la composici´ D con la simetr´ A de determinante −1. El orden de ΩD es, por lo tanto, 120.

3.4.1.

Algunos subgrupos de ΩD

Algunos subgrupos de ΩD son: De orden 2:

los generados por las matrices que son rotaciones de 180◦ alrededor del eje que pasa por los puntos medios de aristas opuestas; los generados por las reflexiones respecto al origen o respecto al plano definido por aristas opuestas.

De orden 3:

los generados por las rotaciones de 120◦ y 240◦ alrededor del eje que pasa por los v´ertices opuestos.

De orden 5:

los generados por las rotaciones de 72◦ , 144◦ , 216◦ y 288◦ alrededor del eje que pasa por los centros de caras opuestas.

De orden 6:

hABDi, hADBi, hBADi. 51

De orden 10:

hABCi, hBCAi, hCADi.

De orden 60:

Ω+ D.

De orden 120: ΩD .

52

3.5.

El grupo del icosaedro (ΩI )

Para construir el icosaedro, vamos a hacer coincidir el eje z, con el segmento que comunica los v´ertices a y l. Mirando desde la parte positiva del eje z, vemos que los v´ertices {b, c, d, e, f } y {g, h, i, j, k} forman pent´agonos regulares y sus coordenadas en el plano xy estar´ıan dadas por {(1, 0) , (cos 72, sen 72) , (− cos 36, sen 36) , (− cos 36, − sen 36) , (cos 72, − sen 72)} {(cos 36, − sen 36) , (cos 36, sen 36) , (− cos 72, sen 72) , (−1, 0) , (− cos 72, − sen 72)} Las aristas del icosaedro miden 2 sen 36 y la altura de los tri´angulos equil´ateros que conforman las caras es cos 36, entonces, construyendo tri´angulos y utilizando funciones trigonom´etricas y el teorema que ¡ de Pit´ ¡ agoras, ¢ deducimos ¢ la distancia entre los pent´agonos es v = cos arc cos 2¡sen1 36 − 18 cos 36 y la ¡ 1 ¢¢ −1 distancia del plano xy a los puntos a y l es w = 2 sen cos sen 36. 2 sen 36 Por lo tanto, el primer pent´agono se debe bajar v2 sobre ele eje z, el segundo se debe subir la misma distancia, el v´ertice a se debe bajar v2 + w y el l subir lo mismo. Los v´ertices del icosaedro centrado en el origen son:  (0, 0, −1,011) , (1, 0, −0,39297) , (0,30902, 0,95106, −0,39297) ,       (−0,80902, 0,58779, −0,39297) , (−0,80902, −0,58779, −0,39297) ,   (0,30902, −0,95106, −0,39297) , (0,80902, −0,58779, 0,39297) ,     (0,80902, 0,58779, 0,39297) , (−0,30902, 0,95106, 0,39297) ,     (−1, 0, 0,39297) , (−0,30902, −0,95106, 0,39297) , (0, 0, 1,011)

53

                

z

k j

1.0

l g 0.0

d

i h -1.0

b

-1.0

-1

c 0

0.0

x

y 1.0

1

Figura 3.5: Icosaedro regular Al igual que ΩH = ΩO , aqu´ı tenemos que ΩD = ΩI , intercambiando v´ertices por caras.

54

3.6.

El Omnipoliedro

Seguramente muy pocas personas han o´ıdo hablar del Omnipoliedro. Esta palabra significa todos los poliedros, y recibe este nombre porque est´a formado por el armaz´on de los cinco poliedros regulares: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. La construcci´on se realiza de forma que los cinco poliedros regulares, est´an inscritos uno dentro de otro. En el interior se encuentra el octaedro; sus v´ertices se sit´ uan en el centro de las aristas del tetraedro. Los cuatro v´ertices del tetraedro coinciden con otros tantos del cubo. Las aristas del cubo se encuentran sobre las caras del dodecaedro, y por u ´ltimo, el icosaedro proporciona rigidez al dodecaedro cuando las aristas de ambos se cortan el los puntos medios. Mi idea inicial era caracterizar su grupo de isometr´ıas, pero creo que es mejor dejarlo como una tarea para quienes hayan le´ıdo este trabajo y tengan la inquietud de saber si coincide o no con alg´ un Ω y en caso negativo, ¿cu´al es su grupo de simetr´ıas?. Lo que si puedo adelantar es la medida de las aristas de cada poliedro para que se llegue a la construcci´on final. En [6] se puede encontrar programas para la construcci´on de los poliedros en Cabri, al igual que las medidas para la construcci´on del Omnipoliedro que se encuentra en el Tossal de Alicante (ver figura 3.6):

Figura 3.6: Omnipoliedro 55

Las dimensiones para realizar el Omnipoliedro de Alicante son: Poliedro N´ umero de barras Longitud de la arista Tetraedro 6 2,36 m Cubo 12 1,67 m Octaedro 12 1,18 m Icosaedro 30 m 1,67 Dodecaedro 30 1,03 m “. . . Algunos de los c´alculos para que cada poliedro encaje en el siguiente no son complicados, aplicar el teorema de Pit´agoras o tener alguna idea feliz, son suficientes para el octaedro, el tetraedro y el cubo. Para los dos poliedros que van por el exterior: el dodecaedro y el icosaedro hay que aplicar la proporci´on ´aurea, concepto que ha sido utilizado por cient´ıficos y artistas de todas las ´epocas. . . ” Espero que el grupo de cada uno de los poliedros proporcione sugerencias importantes para lograr este objetivo.

56

Ap´ endice A Scripts en scilab A.1.

Script para hallar el grupo

Script en Scilab para hallar el grupo de simetr´ıas de los pol´ıgonos y poliedros. //script grupotetra.sce para generar el grupo del tetraedro clear I=[ 1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; A=[ 1/2 -1/6*sqrt(3) -1/3*sqrt(6); -1/6*sqrt(3) 5/6 -1/3*sqrt(2); -1/3*sqrt(6) -1/3*sqrt(2) -1/3]; B=[ 1/2 1/6*sqrt(3) 1/3*sqrt(6); 1/6*sqrt(3) 5/6 -1/3*sqrt(2); 1/3*sqrt(6) -1/3*sqrt(2) -1/3]; C=[-1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; D=[ 1 0 0; 0 1/3 2/3*sqrt(2); 0 2/3*sqrt(2) -1/3]; 57

E=[ 1/2 -1/2*sqrt(3) 0; -1/2*sqrt(3) -1/2 0; 0 0 1]; F=[ 1/2 1/2*sqrt(3) 0; 1/2*sqrt(3) -1/2 0; 0 0 1]; gene=list(A,B,C,D,E,F); productos=list(); m=1; for i=1:length(gene) for j=1:length(gene) productos(m)=gene(i)*gene(j); m=m+1; end end for i=1:length(gene) for j=1:length(gene) for k=1:length(gene) productos(m)=gene(i)*gene(j)*gene(k); m=m+1; end end end grupo=list(I,A,B,C,D,E,F); m=length(grupo)+1; for i=1:length(productos) clave=1; for j=1:length(grupo) if round(10^5*productos(i))/(10^5)==... round(10^5*grupo(j))/(10^5) then clave=0; end end if clave==1 then grupo(m)=productos(i); m=m+1; end end save(’D:\Doc_TeX\Angy\Poliedros\grupotetra.dat’,grupo); disp(’El tama~ no del grupo es’) length(grupo) 58

A.2.

Script para la tabla del grupo

Script para realizar la tabla del grupo de simetr´ıas. //script tablatetra.sce para generar la tabla del grupo //para el tetraedro lvector=[’I’,’A’,’B’,’C’,’D’,’E’,’F’,’AB’,’AC’,... ’AD’,’AE’,’AF’,’BD’,’BE’,’BF’,’CD’,’CE’,’CF’,... ’ABD’,’ABE’,’ABF’,’ACD’,’ACE’,’ACF’]; for i=1:length(grupo) for j=1:length(grupo) for k=1:length(grupo) if round(10^5*grupo(i)*grupo(j))/(10^5)==... round(10^5*grupo(k))/(10^5) then matriz(i,j)=k; lmatriz(i,j)=lvector(k); end end end end disp(’La matriz que representa la tabla del grupo escrita en comandos TeX es:’) texprint(lmatriz)

A.3.

Matrices de ΩD

En este ap´endice se encuentran las 120 matrices que conforman el grupo del dodecaedro. Las primeras 60 (sacando la matriz A) equivalen a las rotaciones − que conforman Ω+ D y las 60 restantes, ΩD . 

1 I= 0 0 

0 1 0



 0 0  1

0,30901 B =  0,95105 0

−0,95105 0,30901 0

1 A= 0 0 

 0 0  1

0 −1 0

0,80901 C =  0,58779 0

59

 0 0  1 0,58778 −0,80901 0

 0 0  −1



0,94722 D =  0,16247 0,27643

−0,16245 −0,5 0,85076



−0,80899 BBB =  −0,58778 0 

−0,30903 BC =  0,95104 0 

0,809 CB =  −0,58778 0 

0,1382 DB =  −0,42532 0,89453 

0,94723 DD =  −0,16245 0,27644 

−0,8618 BBD =  0,42531 0,27643  BDB = 

0,44721 0 0,89453



0,44720 BDD =  0,85066 0,27644 

0,6708 CBD =  −0,68819 −0,27643 

0,44722 CDC =  0,52573 −0,7237 

−0,86179 DBB =  −0,42532 0,27642 

0,0528 DBD =  −0,68819 0,72370 

0,44721 DDB =  −0,52570 −0,72370

 0,27636 −0,85051  −0,44722

0,58778 −0,80899 0 0,95104 0,30902 0



0,30901 ABA =  −0,95105 0

 0 0  −1  0 0  −1

−0,95105 −0,30902 0

 0,27636 −0,85051  −0,44722

0,16247 −0,49997 −0,85076

 0,27635 0,85052  −0,44718

0 −1 0

−0,80901 BB =  0,58777 0

 0 0  1

−0,58778 −0,80901 0

0,42531 0,30902 0,85076





0,13818 BD =  0,95106 0,27643 

0,16247 0,49999 −0,85076 0,85064 0 0,52579

−0,42532 0,30901 −0,85075

 0,27636 −0,85051  −0,44722

0,68819 −0,49998 −0,52579

 0,72348 0,52565  0,44722

−0,85066 0 −0,5258

 0,27635 0,85052  −0,44718

0,67082 DC =  −0,16246 0,7237

0,68818 0,5 −0,52579

 −0,27636 0,85051  0,44722

−1 0 0

0 1 0

 0 0  −1



−0,13820 BCD =  0,95105 −0,27643 

0,36179 BDC =  0,58779 0,7237 

−0,30902 CBB =  −0,95104 0 

−0,13819 CDB =  0,42532 −0,89453

 0,27633 −0,85051  −0,44722



0,67083 CDD =  0,68819 −0,27644 

−0,44721 DBC =  −0,52573 0,72368 

0,67083 DCD =  0,16246 0,72371 

0,86181 DDC =  −0,4253 −0,27643

60

 0,89428  0 −0,44722  −0,27633 0,85051  0,44722

BBC = 

 0,72349 0,52563  0,44722

 0 0  1

−0,42531 0,30902 −0,85076



 −0,72349 0,52564  −0,44718

0,5257 0 −0,85076

0,95105 0,30901 0

0,42533 −0,309 0,85076



 0,89428  0 −0,44722

 0 0  1

0,86181 0,42533 −0,27643

CD = 

 0,27632 0,85051  −0,44722

−0,58777 −0,80901 0

−0,42532 −0,309 −0,85076 −0,26287 0,80900 −0,52579

 −0,89427  0 0,44722  −0,89428  0 0,44722

−0,95103 0,30901 0

 0 0  −1

−0,95105 −0,30902 0

 −0,27633 0,85051  0,44722

−0,16244 0,49998 0,85076

 0,72348 −0,52565  0,44718

0,85064 0 0,52579

 −0,27636 0,85051  0,44722

−0,68818 0,49997 0,52581

 −0,27632 −0,85052  0,44719

0,42532 0,309 0,85076

 −0,27635 −0,85052  0,44718



0,44722 ABAD =  −0,85065 0,27643 

0,1382 ADBA =  0,42532 0,89453 −0,9472 BBCD =  0,16245 −0,27643 BBDD = 

−0,67083 0,68817 0,27644



−0,3618 BCDC =  0,58778 −0,7237

 0,27636 0,85051  −0,44722

0,95105 −0,30902 0





 −0,72348 −0,52565  −0,44722

−0,52572 0 0,85076



0,3618 BDBC =  −0,58778 0,72368

−0,67079 BBBD =  −0,68820 0,27643

 −0,27635 −0,85049  0,44722

0,16243 0,49997 −0,85076

 −0,72347 −0,52565  −0,44718

 0,89427  0 −0,44722

0,26285 0,80901 0,52579

 −0,89428  0 0,44722

 0,72349 0,52563  0,44722

−0,94720 CDBB =  −0,16246 −0,27642

−0,16246 −0,49999 0,85075

 −0,27633 0,85051  0,44722

−0,58779 0,80898 0

 −0,72348 −0,52566  −0,4472

0,95105 −0,30899 0

 −0,27635 −0,85052  0,44718

0,42532 −0,309 0,85076

 −0,89427  0 0,44722

0,58778 0,80901 0

 −0,72348 0,52565  −0,44722





−0,36180 DBCD =  −0,26287 0,89454 

−0,13821 DDBC =  −0,42530 −0,89454 

−0,13820 ABCDA =  −0,95105 −0,27643  BADBA =  

−0,36179 0,26287 0,89453

−0,63820 BBDCD =  0,26286 0,72371

0,26288 −0,80897 0,52581

BCDB = 

−0,4472 0 −0,89453

0,0528 BDCD =  0,68820 0,72371

−0,58776 0,80901 0

CBDB = 





0,3618 0,26286 −0,89453



−0,44722 BBDC =  0,52572 0,7237

−0,44722 CBBD =  −0,85064 −0,27643 0,63818 CBDC =  −0,26287 −0,7237

61

−0,16247 0,49998 0,85076

 −0,72349 0,52561  −0,44722

−0,85063 0 −0,52579

 −0,27632 −0,85051  0,44722

 −0,89427  0 0,44722

−0,68815 −0,50000 0,52581





−0,67081 CDBC =  0,16245 −0,72368 

−0,67082 DDBB =  −0,16245 −0,72369 

0,36179 DDBD =  −0,26284 −0,89454 

−0,36181 ABDAB =  −0,58776 −0,72370 

−0,63818 BBBDC =  −0,26287 0,7237 

 0,89428  0 −0,44722

 0,72348 0,52564  0,44718

−0,52570 0 0,85076



 0,72345 0,52566  0,44719

−0,42533 −0,309 −0,85076

0 −1 0

−0,44721 BCDD =  0,85065 −0,27644

 −0,72349 0,52564  −0,44718

0,63816 BDDB =  0,26288 −0,72370





−0,26286 −0,80902 −0,5258



0,13818 ABDA =  −0,95106 0,27643 

0,16245 −0,49998 −0,85076

0,26286 0,80900 0,52579



−0,0528 BBDDB =  0,68815 −0,72370

 0,72350 −0,52561  0,44719  0,72346 −0,52565  0,44722

0,52571 0 −0,85076 0,26285 −0,809 0,52579

 −0,72349 −0,52563  −0,44722

0,68818 0,49999 −0,52579

 0,27633 −0,85051  −0,44722

−0,68819 0,49996 0,52579

 0,27635 0,85052  −0,44718

0,58778 0,80899 0

 0,72350 −0,52565  0,44719

−0,26285 0,80902 −0,52579

 0,89428  0 −0,44722

−0,26284 −0,80900 −0,52579

 0,72349 −0,52561  0,44722

0,68819 −0,49999 −0,5258

 −0,72347 −0,52565  −0,44718



−0,0528 BDDBB =  −0,68818 −0,72369 

0,80901 AC =  −0,58779 0 

0,30901 BA =  0,95105 0 

0,94722 DA =  0,16247 0,27643

0,58778 0,80901 0

 0 0  1

0,16245 0,5 −0,85076

 0,27636 −0,85051  −0,44722

−0,30903 ABC =  −0,95104 0 

0,86181 ACD =  −0,42533 −0,27643 

0,67082 ADC =  0,16246 0,7237 BBA =  

0,13818 BDA =  0,95106 0,27643

−0,42531 −0,30902 −0,85076

 −0,27633 −0,85051  0,44722

−0,42533 0,309 −0,85076



0,86181 CDA =  0,42533 −0,27643 

0,95105 0,30902 0



 0 0  −1

0 −1 0



−0,13820 ABCD =  −0,95105 −0,27643 

0,36179 ABDC =  −0,58779 0,7237

−0,95105 −0,30901 0

 0 0  1

−0,16245 0,5 0,85076

 0,27636 0,85051  −0,44722

−0,58778 0,80901 0



−0,80901 ABB =  −0,58777 0

0,1382 ADB =  0,42532 0,89453 

0,44722 BAD =  0,85065 0,27643

 0 0  1



 0,89428  0 −0,44722

−0,95105 0,30902 0

 0,27636 0,85051  −0,44722

−0,52572 0 0,85076

 −0,72348 0,52565  −0,44722

−0,30903 0,95104 0

−0,95104 −0,30902 0

 0 0  −1

0,67081 CAD =  0,68821 −0,27643

0,16247 −0,49999 −0,85076

 0,72349 −0,52563  0,44722

−0,85065 0 −0,52579

 0,27636 −0,85051  −0,44722

−0,68818 −0,5 0,52579

 −0,27636 0,85051  0,44722

BCA = 

 0,89428  0 −0,44722



 −0,27633 0,85051  0,44722



0,44720 DAB =  0,52573 −0,72370

 0,27636 −0,85051  −0,44722



0,67082 DCA =  −0,16246 0,7237 

−0,8618 ABBD =  −0,42531 0,27643

−0,42532 0,309 −0,85076

 −0,89427  0 0,44722

−0,26287 −0,80900 −0,52579

 −0,89428  0 0,44722

62

 0 0  1

0,42533 0,309 0,85076

0,13818 ABD =  −0,95106 0,27643 

 0 0  −1

−0,58777 0,80901 0



 −0,27636 −0,85051  0,44722

0,42531 −0,30902 0,85076

0,1382 DBA =  −0,42532 0,89453

0,94722 AD =  −0,16247 0,27643 0,80901 CA =  0,58779 0

 0 0  −1

0,58777 0,80901 0





0,95104 −0,30902 0

0,68818 −0,5 −0,52579

−0,80901 0,58777 0

−1 ABBC =  0 0

 0 0  −1

0,95105 −0,30901 0





  −0,72349 0,30901 0,52564  AB =  −0,95105 −0,44718 0

−0,68815 −0,5 0,52579

 ABDB =  

0,44721 0 0,89453

0,44720 ABDD =  −0,85066 0,27644

0,42531 −0,30902 0,85076 0 1 0

 0,27632 −0,85051  −0,44722

 0,89428  0 −0,44722 0,5257 0 −0,85076

 −0,72349 −0,52564  −0,44718



−0,13819 ACDB =  −0,42532 −0,89453 

0,67083 ACDD =  −0,68819 −0,27644 

−0,44721 ADBC =  0,52573 0,72368 

−0,95105 0,30902 0

 −0,27633 −0,85051  0,44722

−0,16244 −0,49998 0,85076

 0,72348 0,52565  0,44718

0,85064 0 0,52579

ADBB = 

 −0,27636 −0,85051  0,44722

0,0528 ADBD =  0,68819 0,72370

 −0,72348 0,52565  −0,44722

−0,44723 BCAD =  0,85064 −0,27643

0,52572 0 −0,85076

 0,72347 0,52565  0,44722

−0,36181 0,58776 −0,72370

−0,26285 −0,80902 −0,52579

 0,89428  0 −0,44722

0,3618 CADB =  −0,26285 −0,89453

−0,58777 −0,80902 0

 0,72349 −0,52563  0,44722

 BDAB =  

 CDBA = 

−0,13819 0,42532 −0,89453



0,36178 DABD =  0,26287 −0,89455 

0,0528 DBDA =  −0,68819 0,72370 

−0,67083 ABBDD =  −0,68817 0,27644 

−0,3618 ABCDC =  −0,58778 −0,7237 

0,63816 ABDDB =  −0,26288 −0,72370 

−0,67081 ACDBC =  −0,16245 −0,72368

0,95105 0,30902 0

 0,72348 0,52567  0,44720

−0,68819 0,49998 0,52579

 0,72348 0,52565  0,44722

BBAD = 



0,63819 CADC =  0,26288 −0,7237 

 −0,72348 −0,52563  −0,44722

−0,16246 −0,49999 0,85076 0,42532 0,309 0,85076

 −0,89427  0 0,44722

0,26287 −0,80900 0,52579

 −0,89428  0 0,44722

−0,13820 BCDA =  0,95105 −0,27643 0,36179 BDCA =  0,58779 0,7237

 0,72348 −0,52565  0,44722

0,68819 0,49998 −0,52579

−0,67081 0,68819 0,27643



 0,27636 0,85051  −0,44722

−0,42532 −0,30901 −0,85075



 −0,27633 0,85051  0,44722

0,58780 −0,80898 0



 0,27633 0,85051  −0,44722

0,85064 0 0,52579

−0,86179 0,42532 0,27642



−0,58778 −0,80901 0



0,44722 ACDC =  −0,52573 −0,7237 

−0,36179 0,26287 0,89453

BADB = 



0,26285 0,80901 0,52579

 −0,72349 0,52563  −0,44722

−0,67083 0,16244 −0,72368

−0,68817 −0,50000 0,52580

 0,27636 −0,85051  −0,44722

−0,44721 DBCA =  −0,52573 0,72368

−0,85064 0 −0,52579

 −0,27636 0,85051  0,44722

DABB =  



−0,9472 ABBCD =  −0,16245 −0,27643

0,16245 0,49998 −0,85076

 −0,27635 0,85049  0,44722

0,16243 −0,49997 −0,85076

  −0,72347 −0,4472 0,52565  ABCDB =  0 −0,44718 −0,89453

0 1 0

0,26286 −0,80900 0,52579

  0,89427 −0,44721  ABCDD =  −0,85065 0 −0,44722 −0,27644

−0,52570 0 0,85076

 0,72348 −0,52564  0,44718

−0,26286 0,80902 −0,5258

  −0,72349 −0,94720  −0,52564 ACDBB =  0,16246 −0,44718 −0,27642

−0,16246 0,49999 0,85075

 −0,27633 −0,85051  0,44722

0,68818 −0,49999 −0,52579

  0,27633 −0,63819 0,85051  BADBC =  −0,26287 −0,44722 0,72368

0,26286 0,809 0,52579

63

 −0,89427  0 0,44722

 0,72348 −0,52565  0,44722



−0,63819 BADBD =  0,26286 0,72370 

−0,0528 BCADC =  0,68818 −0,7237

−0,26284 0,809 −0,52579 −0,68819 0,49998 0,52579

 0,72348 0,52563  0,44722

−0,36180 BBADB =  −0,26286 0,89453

0,58778 −0,80900 0

 −0,72348 −0,52563  −0,44722

  −0,72347 −0,0528  −0,52565 CADBC =  −0,68819 −0,44722 −0,72368

0,68817 0,50001 −0,52579

 −0,72349 0,52563  −0,44722

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Bibliograf´ıa ´ [1] FRALEIGH Jhon. Algebra Abstracta. Primer curso. Addison-Wesley Iberoamericana, S.A, U.S.A, 1987. [2] Curso de Estructuras Algebraicas. Programa “Universidad Virtual”, Departamento de Matem´aticas, Universidad Nacional de Colombia, Bogot´a, 2002. [3] Enciclopedia de las Matem´aticas. Editorial MIR Rubi˜ nos, S.A, Mosc´ uMadrid, 1860, Tomos 6 y 8, p´ag. 175, 266, 348, 358. [4] NEWMAN James. SIGMA, el mundo de las Matem´aticas. Ediciones Grijalbo, S.A, 1994, Tomo 4, p´ag. 172-176. [5] REZENDE Jorge. Art´ıculos sobre Polyhedron puzzles del “Boletim da Sociedade Portuguesa (SPM)”. P´agina web: http://gfm.cii.fc.ul. pt/Members/JR.pt PT.html [6] P´agina web: http://terra.es/personal5/maiteg.arnau/

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