INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS “GUILLERMO SUBERCASEAUX” Fundado en 1929

GUÍA DE EJERCICIOS OPERATORIA MATRICES INVESTIGACION DE OPERACIONES SEMESTRE 1- 2010

I.- GUIA DE EJERCICIOS DE MATRICES 1 1  0 − 1  y B =   . Halla una matriz X tal 1. Sean las matrices A y B, definidas como: A =  1 1  −1 0   0 − 1  que verifique XB = A + B. Sol: X =  −1 0  2. Una fábrica produce tres tipos de artículos, A1, A2 y A3, distribuyendo su producción entre cuatro clientes. En el mes de marzo el primer cliente ha adquirido 9 unidades de A1, 5 de A2 y 2 de A3; el segundo cliente 3, 8 y 0, respectivamente; no compró nada el tercer cliente y el cuarto 6, 7 y 1 unidades, respectivamente. En abril, el cuarto cliente no hizo pedido alguno, el tercer cliente compró 4 unidades de cada artículo, mientras que los otros dos duplicaron el número de unidades adquiridas en marzo. a) Construye las matrices 4 x 3 correspondientes a las ventas de los meses de marzo y abril. b) Si los precios de los artículos son (en miles de pesetas por unidad) 10, 8 y 9, respectivamente, calcular lo que factura la fábrica a cada cliente por sus pedidos en los meses de marzo y abril 9  3 Sol: a)  0  6 

5 8 0 7

2  0 0  1 

18 10 4     6 16 0   4 4 4  ; b)    0 0 0  

148     94   0    125   

 0   3. Si A es la matriz fila A = (1 1 0) y B es la matriz columna B =  1  1   a) Calcula las matrices A ⋅ B

y

B⋅ A

b) De las matrices calculadas en a), ¿es alguna inversible?

0 0 0   Sol: a) A ⋅ B = (1) , B ⋅ A =  1 1 0  ; b) la matriz A ⋅ B 1 1 0  

 296     188   108     0   

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4. Una empresa fabrica tres tipos de artículos: A, B y C. Los precios de coste de cada unidad son 600, 920 y 1.430 pesetas, respectivamente. Los correspondientes precios de venta de una unidad de cada artículo son 1.800, 2.800 y 4.000 pesetas. El número de unidades vendidas anualmente es de 2.240, 1.625 y 842, respectivamente. Sabiendo que las matrices de costes e ingresos, C e I, son diagonales y que la matriz de ventas, V, es una matriz fila, se pide: a) Determinar las matrices C, I y V. b) Obtener, a partir de las matrices anteriores, la matriz de ingresos anuales correspondientes a los tres artículos, la matriz de gastos anuales y la matriz de beneficios anuales.

0  0 0   600 0 1.800     0 , I =  0 2.800 0  , V = (2.240 1.625 842 ) ; Sol: a) C =  0 920  0  0 0 1430  0 4.000    b) (4.032.000 4.550.000 3.368.000), (1.344.000 1.495.000 1.204.060), (2.688.000 3.055.000 2.163.940) 5. Un constructor construye chalés de lujo (C.L.), chalés adosados (C.A.) y viviendas de protección oficial (V.P.O.). Se sabe que cada C.L. tiene 3 cuartos de baño, 2 aseos y 2 cocinas, cada C.A. tiene 1 cuarto de baño, 1 aseo y una cocina y cada V.P.O. tiene 1 aseo y una cocina. Por otra parte, cada cuarto de baño tiene una ventana grande y una pequeña; cada aseo tiene una ventana pequeña y cada cocina tiene dos grandes y una pequeña. a)

Hallar la matriz A que expresa el número de habitáculos (cocinas, cuartos de baño y aseos) en función de cada tipo de vivienda.

b) Hallar la matriz B que expresa el número de ventanas grandes y pequeñas en función del tipo de habitáculo. c)

Hallar la matriz C que expresa el número de ventanas grandes y pequeñas en función del tipo de vivienda. ¿Puede calcularse C como resultado de una operación matricial entre A y B?

d) Si al final del año ha construido 10 C.L., 20 C.A. y 50 V.P.O., ¿cuántas ventanas grandes y pequeñas ha empleado en la construcción? Si el número de ventanas grandes y pequeñas se expresa por medio de una matriz D, ¿cómo puede obtenerse ésta a partir de la matriz C? e)

Sabiendo que el carpintero cobra 40.000 ptas por cada ventana grande y 20.000 por cada pequeña, ¿cuánto dinero tendrá que pagar el constructor al carpintero? Si este resultado se expresa mediante la matriz E, ¿cómo puede obtenerse a partir de la matriz D?

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 3 2 2   Sol: a) A =  1 1 1  ; b) B = 0 1 1  

 1 1 7 7      0 1 ; c) C = A × B =  3 3  ; d) D = (230 230) ;  2 1  2 2    

e) E = (13.800.000)

1 − 1 0    6. Encuentra una matriz X que verifique la igualdad A ⋅ B − X = A 2 , siendo A = 1 0 1  1 0 0    1 0 1   y B =  0 1 1  . Calcula, si es posible, la inversa de X. 1 1 0    1 0 1 1 1 − 2     Sol: X =  0 2 1 , X −1 =  0 1 − 1   0 1 1  0 −1 2      1 2   7. Dada la matriz A =  1 0  a) Hallar: A2, A3 y A-1  5 b) Determinar, si es posible, y si no lo es justificarlo, una matriz B tal que: A × B =    3 5 c) Determinar, si es posible, y si no lo es justificarlo, una matriz C tal que: C × A =    3 1   3 2  3  5 6  −1  0  3  ; b) B =   ;  , A =   , A =  1 Sol: a) A 2 =  1 1   − 1 2 3 2   2  2 c) Es imposible que exista C, ya que al ser A de dimensión 2 x 2 el producto C x A no podrá ser de dimensión 2 x 1.

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8. Encontrar la

 −1 0  B= 1 1 − 2 1 

 0 0 0 − 1   matriz X que verifica la ecuación XA - 2B = C, siendo: A =  2 1 1 ,  −1 0 1    1  1 1 1 1 1 3      Sol: X =  4 3 2  0 y C =  2 1 1 .  −1 1 2 10 3 11 1     

1 t   1   9. Dada la matriz A =  t 0 − 1  − 6 −1 0    a) Hallar los valores de t para los cuales A no tiene inversa. b) En el caso t = 2, hallar, si existe, la matriz X que cumple: XA = (1 0 − 1) Sol: a) No hay inversa para t = ± 5 ; b) X = (1 3 1)

10.- Dadas las siguientes matrices:

determine:

y

10. 11. 12. 13. La matriz inversa de la matriz C siendo 14. La matriz traspuesta de la matriz B 15. La matriz inversa de A por el método de las determinantes 16. La matriz inversa de A por el método de Gauss 11.-

.

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12.- Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

1.

2.

3.

4.