CENTRO EDUCATIVO DE NIVEL TERCIARIO N° 2 INTRODUCCIÓN A LA LOGICA SIMBOLICA PRIMER AÑO GUIA DE TRABAJOS TEORICO PRACTICOS Nº 2: LOGICA PROPOSICIONAL

RAZONAMIENTOS PARA LA

La lógica deductiva es la ciencia que estudia los métodos y principios usados para distinguir el razonamiento correcto del incorrecto. EL RAZONAMIENTO SE DEFINE COMO EL CONJUNTO DE PROPOSICIONES, EN EL CUAL, UNA DE ELLAS SE PRETENDE QUE ESTE FUNDADA SOBRE LA BASE O A PARTIR DE LAS DEMÁS. Ejemplo: Si el condicional es falso,el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. El condicional es falso Por lo tanto, el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Todo razonamiento tiene una estructura cuyas componentes son: - Las proposiciones, una o mas, de las que se parte se denominan PREMISAS. Las premisas están encabezadas por expresiones como: "puesto que", "porque", "pues", "ya que", "como", "pero", etc. -

La proposición a la que se arriba se denomina CONCLUSIÓN.

La conclusión esta encabezada por expresiones como: "luego", "por lo tanto", "en consecuencia", "por ende", "así", "podemos inferir", etc. Las expresiones que encabezan premisa y conclusión son llamadas EXPRESIONES DERIVATIVAS. - La conclusión puede estar al final, o al comienzo o en el medio del razonamiento. Ejemplo: Esta proposición es molecular puesto que, esta proposición es atómica o es molecular y esta proposición no es atómica.En este ejemplo, la conclusión encabeza el razonamiento.-

1 Razonamientos para la Lógica Prposicional

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-

PREMISA y CONCLUSIÓN son términos relativos, en el sentido

que la misma

proposición puede ser premisa en un argumento y conclusión en otro, dependiendo del contexto. Ej: a) Esta proposición es atómica o es molecular. Esta proposición no es atómica. POR TANTO, esta proposición es molecular. b) Si analizo esta proposición, entonces es atómica o es molecular. Analizo esta proposición. EN CONSECUENCIA, esta proposición es atómica o molecular. Para obtener una estructura lógica necesitamos un conjunto de proposiciones y una relación o nexo que las vincule. Un tipo de nexo lógico son las inferencias.La inferencia es un proceso por el cual a partir de uno o varios conocimientos dados, obtenemos un nuevo conocimiento. En este proceso se llega a una proposición y se la afirma sobre la base de otra u otras proposiciones aceptadas como punto de partida.A cada inferencia posible corresponde un razonamiento y de estos razonamientos trata la lógica primordialmente. Los términos inferencia y razonamiento tienen notables diferencias: los razonamientos son estructuras lógicas integradas por proposiciones, mientras que las inferencias no son estructuras sino nexos lógicos que permiten obtener razonamientos.Entre los razonamientos distinguimos los deductivos y los no deductivos. Los DEDUCTIVOS pueden caracterizarse como aquellos razonamientos en los que se pretende que la conclusión se infiera en forma NECESARIA de las premisas. En los NO DEDUCTIVOS, en cambio la conclusión se infiere con cierto grado de PROBABILIDAD, no con necesidad. NOTA: En este curso estudiaremos los razonamientos deductivos. ACTIVIDAD 1: Indicar cuáles de los siguientes razonamientos son deductivos: 1.- Ya he encontrado tres muebles de la sala apolillados. Luego es probable que también lo estén los restantes muebles de la sala.

2 Razonamientos para la Lógica Prposicional

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2.- Todos los niños menores de tres años tienen muy poco desarrollada la capacidad de abstracción. Por lo tanto, mi sobrina, de dos años de edad, debe de tener también su capacidad de abstracción muy poco desarrollada. 3.- Siempre que llueve hace frío. Luego, siempre que hace frío llueve. 4.- He oído decir a varias personas, que poseen auto de la misma marca del mío, que han tenido problemas con el motor. Pienso, por eso, que el mío también podrá tenerlos. ACTIVIDAD 2: Proponga ejemplos de razonamientos deductivos. Determine en cada caso sus componentes RAZONAMIENTOS Y FORMAS DE RAZONAMIENTOS Para obtener la estructura de un razonamiento deductivo, necesitamos abstraer su forma lógica sin considerar el contenido informativo de sus proposiciones y de sus términos (conectivos).La forma lógica de un razonamiento debe abstraerse de acuerdo con las reglas de la lógica proposicional: usamos letras minúsculas de la parte media del alfabeto, como variables proposicionales y cada termino de conectivo por el correspondiente signo lógico que lo abstrae.Ejemplo: Razonamiento

Forma lógica

Si estudio, entonces aprendo

p⇒q

Si aprendo, entonces apruebo

q⇒r

Luego: si estudio, entonces apruebo.

p⇒r

La estructura de un razonamiento está centrada, fundamentalmente, en los conectivos de mayor alcance dentro de la fórmula. Ej: 1- A ⇒ B B⇒C ________ A⇒C

2- p ⇒q q ⇒r ________ p⇒r

3- p ∨ q ⇒q q⇒s∧t __________ p ∨ p ⇒s ∧ t

4- t ∧ s ⇒ t ∧ r t ∧r⇒p∨q ____________ t∧s⇒p∨q 3

Razonamientos para la Lógica Prposicional

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Estos ejemplos son

distintos entre sí, pero tienen en común que en todos ellos la

conectiva principal es el condicional. En (1) la forma lógica es la más general de las cuatro y cada variable de este esquema puede ser sustituída por variables proposicionales atómicas como en (2); atómicas y moleculares como en (3), o fórmulas proposicionales moleculares como en el esquema (4). A pesar de presentar formas lógicas distintas entre si, todas tienen la estructura de una misma regla lógica, llamada "regla del silogismo hipotético". ACTIVIDAD 3: Dadas las siguientes formas de razonamientos proposicionales, proponer un ejemplo de sustitución para cada una de ellas. En cada caso indique el nombre de la regla de inferencia. 3.1.

p⇒q p _______ ∴q

3.2.

p⇒~q q _______ ∴~ p

3.3.

p∨ ~ q ~p __________ ∴~ q

3.4.

p∧q _______ ∴q

Ej: Si estudio desde el primer díal, aprobaré el parcial. Estudio desde el primer día. Luego, aprobaré el parcial.

3.5.

p q ________ ∴p ∧ q

3.6. p ∧ ~ r ____________ 4 Razonamientos para la Lógica Prposicional

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∴(p ∧ ~ r)∨ q

3.7. p ⇒ q ____________ ∴~ q ⇒ ~ p 3.8.

p ∧~q⇒~r p ∧~q _______________ ∴~ r

p∨q⇒~p∧q p∨~q ______________ ∴~p∧~q

3.9.

ACTIVIDAD 4: Para cada uno de los siguientes conjuntos de premisas, inferir su conclusión. Escriba la regla de inferencia aplicada. 4.1. Una misma proposición puede ser premisa o conclusión. La proposición no es premisa. Respuesta: La proposición es conclusión. 4.2. Es suficiente que una proposición sea molecular para que contenga conectivos. La proposición no contiene conectivos. Luego,.................................................................................. 4.3. Si resuelvo correctamente los ejercicios y estudio la teoría, apruebo el examen. No apruebo el examen. Por consiguiente,...................................... 4.4. Es necesario que el razonamiento sea válido para que el condicional asociado a su forma lógica sea tautológico. El razonamiento no es válido. Por lo tanto,............................................................................ 5 Razonamientos para la Lógica Prposicional

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4.5. Si apruebo el parcial no rindo el recuperatorio y además, regularizo la asignatura. Por tanto ................................................................................. 4.6. Para participar, es suficiente ver una injusticia y callar. No participar. Luego........................................................................................ VALIDEZ e INVALIDEZ Un razonamiento es válido cuando constituye un ejemplo de sustitución de una forma válida de razonamiento. Una forma de razonamiento es válida cuando sus premisas y conclusión están relacionadas de modo tal que es absolutamente imposible que las premisas sean verdaderas, a menos que la conclusión lo sea también. Luego, la validez de un razonamiento deductivo no depende del contenido informativo de las proposiciones que lo integran, sino de su forma lógica. MÉTODOS PARA DEMOSTRAR LA VALIDEZ Analizaremos los siguientes Métodos: 1- CONDICIONAL ASOCIADO 2- MÉTODO DEMOSTRATIVO 1- CONDICIONAL ASOCIADO Dado un razonamiento, si construimos un condicional cuyo antecedente sea la conjunción de las premisas y su consecuente, la conclusión del razonamiento, ocurrirá que si el razonamiento es válido, el condicional construido será una TAUTOLOGÍA y recíprocamente, si el condicional es tautológico, entonces el razonamiento que le dio origen será válido. En síntesis: UN RAZONAMIENTO ES VÁLIDO SI Y SOLO SI EL CONDICIONAL ASOCIADO A SU FORMA LÓGICA ES TAUTOLÓGICO. Este método tiene la ventaja de ser un procedimiento mecánico que permite determinar la validez de un razonamiento en forma simple. La desventaja se presenta cuando hay que trabajar con muchas variables. Ej: 6 Razonamientos para la Lógica Prposicional

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Razonamiento Si la conclusión de un razonamiento es falsa, entonces el razonamiento no es válido o por lo menos una de las premisas es falsa. La conclusión de un razonamiento es falsa. Por consiguiente el razonamiento no es válido o por lo menos una de las premisas es falsa. Forma lógica p⇒~ q ∨ r p _____________ ~q ∨ r Condicional asociado a la forma lógica ( p ⇒ ~ q ∨ r ) ∧ p

⇒ ~ q ∨ r

3- MÉTODO DE DEDUCCIÓN Prueba formal de validez Cuando los razonamientos contienen varias proposiciones atómicas diferentes como componentes, se hace difícil y tedioso utilizar tablas de verdad para probar su validez. Un método mas conveniente es DEDUCIR las conclusiones de sus premisas por una secuencia de razonamientos mas cortos y mas elementales que ya se conocen que son validos y aceptados como reglas de inferencia, que es todo esquema valido de razonamiento independientemente de la interpretación de las proposiciones compuestas.Iniciamos el desarrollo del método de deducción presentando una lista de solo nueve formas de razonamiento validas elementales y de equivalencias lógicas que constituyen nuevas reglas de inferencia al aplicar la regla de reemplazo: cualquiera de las siguientes expresiones lógicamente equivalentes puede reemplazar a la otra en donde ocurran.Consideremos el siguiente razonamiento: Si este es un ejercicio lógico, la unidad de control es el corazón del sistema. Las computadoras más grandes son las más capaces o este es un ejercicio 7 Razonamientos para la Lógica Prposicional

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lógico. Las computadoras más grandes no son las más capaces. Luego. la unidad de control es el corazón del sistema. Forma lógica p⇒q (1) r ∨ p (2) ~r (3) ______________ q Podemos probar su validez de la siguiente manera a) De las premisas 2 y 3

válidamente inferimos

r∨p ~r __________ p (4)

por S D

b) De las premisas 1 y 4

válidamente inferimos

p ⇒q p _________ q por MP, llegando así a la conclusión

Una manera más formal y más concisa de escribir esta prueba es hacer una lista de las premisas y de las proposiciones deducidas de ellas en una columna con las justificaciones escritas a un lado. La conclusión se escribe a la derecha de la última premisa. La prueba formal de validez del ejemplo dado es: 1- p ⇒q

premisa

2- r ∨ p premisa 3- ~r premisa 4- p 2, 3, S D 5- q 1, 4, M P DEFINICIÓN: Una PRUEBA FORMAL DE VALIDEZ para un razonamiento, es una sucesión de enunciados, cada uno de los cuales es una premisa de ese argumento o se sigue de los precedentes por una R. de I. y tal que el último enunciado de la secuencia es la conclusión del razonamiento cuya validez se esta demostrando. PRUEBA DE INVALIDEZ Para probar la invalidez de una F de R que tiene pocas variables proposicionales, nos basta emplear el método del condicional asociado: Si el condicional formado por la 8 Razonamientos para la Lógica Prposicional

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conjunción de las premisas y la conclusión no es tautológico, decimos que se trata de una forma no válida ya que por lo menos hay una hilera en el que el antecedente tiene en su tabla el valor "V" y el consecuente el valor "F". Si el razonamiento es complejo, podemos usar un método muy sencillo llamado "MÉTODO DE ASIGNACIÓN DE VALORES", que consiste en lo siguiente: 1- Hallamos la forma lógica. 2- Si la forma es inválida, tendrá que suceder que podamos encontrar por lo menos un caso que tenga premisas verdaderas y conclusión falsa. SUPONEMOS que se trata de un razonamiento inválido; esto se lo logra colocando al lado de cada premisa el valor "V" y al lado de la conclusión el valor "F". Si esta suposición se confirma , el razonamiento es inválido, como así también todos los ejemplos de sustitución de su forma lógica. Ejemplo: Si consideramos la forma lógica: p ⇒q r∨ p r _________ q

p ⇒q F F V

r∨p V F V

r V

q F

Asignando p : F, q : F y r : V, las premisas toman el valor V y la conclusión, F, con lo que se prueba la invalidez de la forma dada. ACTIVIDAD 5: Determinar la validez o invalidez de cada uno de los siguientes razonamientos aplicando distintos métodos: 5.1- Si los razonamientos tienen una estructura, entonces una misma proposición puede ser premisa o conclusión. Una proposición es premisa. Por lo tanto, si los razonamientos tienen una estructura, una proposición no es conclusión. 5. 2- Si Argentina manda tropas a Haití, será el único país latinoamericano que lo haga. Si Argentina manda tropas a Haití, los argentinos residentes en ese país están en peligro. Argentina manda tropas a Haití. Luego, Argentina es el único país latinoamericano que manda tropas a Haití y los argentino residentes están en peligro. 9 Razonamientos para la Lógica Prposicional

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5.3-

3 x 5 = 12

sii

5 + 5 + 5 = 12

4 x 4 ≠ 12 5 + 5 +5 = 12

sii

4 x 4 = 12

Por tanto 3 x 5 ≠ 12 5.4-El lago del Embalse de Río Hondo se contamina si y solo si los ingenios tucumanos arrojan sus residuos a los ríos. Dirección de Saneamiento ambiental no realiza inspecciones. Si los ingenios tucumanos

arrojan sus residuos, Dirección de Saneamiento realiza

inspecciones. Por consiguiente, el lago del embalse no se contamina. 5.5- Si el cerrojo fue levantado desde el interior, entonces el ladrón pudo atravesar la puerta. Si el cerrojo fue levantado desde el interior, uno de los sirvientes se halla implicado en el delito. El cerrojo fue levantado desde adentro. Luego, el ladrón atravesó la puerta y uno de los sirvientes se halla implicado en el delito. 5.6- Si hay una obstrucción en la línea o la señal luminosa es roja, el tren se detendrá antes de llegar al puente. El tren no se detiene antes de llegar al puente. Luego, no hay obstrucción en la línea. 5.7- La propiedad es valiosa ó la compañía no hubiera ofrecido comprarla. O bien las apariencias no son dignas de confianza o la propiedad no es valiosa. La compañía ofreció comprar la propiedad. Luego, las apariencias no son dignas de confianza. 5.8- Si las leyes son buenas y su cumplimiento es estricto, disminuiría el delito. Si el cumplimiento estricto de la Ley hace disminuir el delito, entonces nuestro problema es de carácter práctico. Las leyes son buenas. Luego, nuestro problema es de carácter práctico. 5.9 Si A se retira del torneo, entonces B ganará o C se retirará del torneo. B no ganará el torneo. Por consiguiente si A se retira del torneo entonces C se retirará también. ACTIVIDAD 6- Determinar si las siguientes formas de razonamiento son válidas o no

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a) ∼ ( p ∧ r ) q⇒r q

b)

∼p

d) p ∧ q ⇒ r ∼r ∨ s ∼s

s ⇒ (p ∨ q) s ∼p q

p ∧q ⇒r r ⇒q p ∧ q

c)

. q

∼s e) p ∧ r p ⇒s r⇒t

∼p∨∼q g)

p ⇒q ∼q p ∨ r s ⇒∼r

f)

s ∧ t h)

p ∨ t ∼t p⇒q∧s

i)

s ∧ q

p ⇒q r ∨ p ∼r _________ q p ∨ q t ⇒∼p ∼ (q ∨ r) __________ ∼t

Reglas de Inferencia I) FORMAS DE RAZONAMIENTOS VÁLIDOS ELEMENTALES.

Modus Ponens (MP) A⇒B A

Modus Tollens (MT) A⇒B ~ B

_________ ∴B

____________ ∴~A

Adición ( AD.) A

Simplificación ( SIMP.) A ∧B

_______

______

∴A∨B

∴A

Conjunción ( CONJ.) A

Silogismo Disyuntivo (S.D.) A∨B 11

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B

~A

_________

_________

∴A ∧ B

∴B

Silogismo Hipotetico (S.H.) A⇒B

Dilema Destructivo (D.D.)

Dilema Constructivo

(A⇒B)∧(C⇒D)

B⇒C

(A ⇒ B ) ∧ ( C ⇒ D)

~B ∨ ~D _____________

A∨C _______________________

_______________ ∴ A⇒C

∴~A ∨ ~C

B∨D

II) EQUIVALENCIAS LÓGICAS 2.Idem Potencia p ∨ p ≡ p ; p ∧ p ≡ p 3.Trasposición ( p ⇒ q ) ≡ ( ~ q ⇒ ~ p ) 4.Conmutatividad ( p ∧ q ) ≡ ( q ∧ p ) (p∨q)≡(q∨p) 5. Asociatividad [ p ∧ ( q ∧ r ) ] ≡ [ ( p ∧ q ) ∧ r ] [p∨(q∨r)]≡[(p∨q)∨r] 6. Distributividad de la conjunción con respecto a la disyunción [ p ∧ ( q ∨ r )] ≡ [ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )] 7. Distributividad de la disyunción respecto de la conjunción [ p ∨ ( q ∧ r )] ≡ [ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )] 8. Distributividad del condicional con respecto de la conjunción [ p ⇒ ( q ∧ r )] ≡ ( p ⇒ q ) ∧ ( p ⇒ r ) 12 Razonamientos para la Lógica Prposicional

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9. Distributividad del condicional con respecto de la disyunción [ p ⇒ ( q v r )] ≡ ( p ⇒ q ) ∨ ( p ⇒ r ) 10. De Morgan : ~(p∧q)≡(~p∨~q) ~(p∨q)≡(~p∧~q) 11. Exportación: [ ( p ∧ q ) ⇒ r ] ≡ [ p ⇒ ( q ⇒ r )] 12. Absorción : p ≡ [ p ∧ ( p ∨ q )] p ≡ [ p ∨ ( p ∧ q )]

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