GUÍA dIdÁctIcA dEL docEntE

Olga Saiz Maregatti Profesora de Matemática

Viktor Blumenthal Gottlieb

Licenciado en Ciencias, mención Matemática

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© Matemática 3º Medio Autores Olga Saiz Maregatti Profesora de Matemática. Pontificia Universidad Católica de Chile.

Viktor Blumenthal Gottlieb Licenciado en Ciencias, mención Matemática. Pontificia Universidad Católica de Chile.

2012 Ediciones Cal y Canto N˚ de Inscripción: 200.152 ISBN: 978-956-339-004-9

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Director Editorial Gerente Editorial Editora a cargo Colaboración Corrector de pruebas y estilo Diseño Diagramación Digital Fotografías Jefe de Producción Asistente de Producción

Jorge Muñoz Rau Alicia Manonellas Balladares Alicia Manonellas Balladares Myriam Baeza Reyes Alejandro Cisternas Ulloa Vladimir Ferro González María Jesús Moreno Guldman David Maldonado Cid Banco de Fotos de Ediciones Cal y Canto Cecilia Muñoz Rau Lorena Briceño González

Impreso en RR Donnelley. El presente libro no puede ser reproducido ni en todo ni en parte, ni archivado, ni transmitido por ningún medio mecánico, electrónico, de grabación, CD-Rom, fotocopia, microfilmación u otra forma, sin la autorización escrita del editor. Se terminó de reimprimir XXXXXX ejemplares en el mes de XXXXX de 20XX.

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Presentación de la Guía Didáctica La presente Guía Didáctica pretende ser un elemento facilitador y un respaldo a su labor docente. En esta guía usted podrá conocer y entender la estructura y la propuesta didáctica por las que se optaron para organizar el conjunto de los OF/ CMO, y el tiempo previsto para el desarrollo de cada unidad. Además, le entregará apoyo didáctico para que pueda desarrollar diversas técnicas, estrategias y procedimientos que le permitan fomentar el trabajo autónomo de sus estudiantes. Presenta información teórica para apoyar el desarrollo de contenidos curriculares nuevos o de mayor complejidad; vincula, a través de una tabla, los contenidos y las actividades propuestas en el Texto del Estudiante, en relación con los aprendizajes que se espera logren los estudiantes; entrega sugerencias metodológicas que permiten enriquecer los aprendizajes de sus estudiantes y que dan respuesta a la diversidad y a distintos ritmos de aprendizaje. También podrá encontrar en ella instrumentos que le ayudarán a reflexionar acerca de su labor docente. En el inicio de cada unidad se presentan los objetivos fundamentales, verticales y transversales que orientan el tratamiento de los contenidos. Luego, en el desarrollo encontrará: • Los aprendizajes esperados que lo orientan y los contenidos que se trabajan. • Sugerencia del tiempo que se le puede asignar. • Las conexiones con los contenidos de otros niveles. • La secuencia que se utilizó para el tratamiento de los contenidos en el Texto del Estudiante y una propuesta de secuencia alternativa con indicaciones generales. • Mapas conceptuales para visualizar los conceptos fundamentales y sus relaciones. • Comentarios respecto de los contenidos y actividades. • Actividades propuestas para el tratamiento de los OFT. • Los errores en que suelen incurrir los estudiantes, indicando el posible déficit y proponiendo estrategias que permitan evitar o subsanar dichos errores. • Actividades de refuerzo y descripción de lo que se pretende reforzar con cada una. También se presentan actividades de profundización, ambas con sus respectivas soluciones. Su propósito es dar respuesta a los distintos ritmos de aprendizaje de los estudiantes, ya que han sido diseñadas para ser trabajadas en forma individual. • Referencias a diferentes páginas web, algunas para que amplíe y actualice sus conocimientos en relación con diferentes contenidos, y otras con ejercicios que pueden ser utilizados para evaluar el aprendizaje de los estudiantes en los temas que se indican. • Bibliografía sugerida para el tratamiento de la unidad con diversas páginas web como complemento al estudio y a la ejercitación, indicando los contenidos correspondientes. Además de algunos textos que serán de utilidad para los contenidos de la unidad. Al final de esta guía encontrará, también, las respuestas a los ejercicios, problemas, actividades y evaluaciones planteadas en la misma. Estimado docente, hemos diseñado esta Guía Didáctica intentando dar respuesta a todos sus requerimientos y necesidades dentro del aula, con el objetivo de que las orientaciones que en ella se entregan le permitan abordar y utilizar adecuada y creativamente el Texto del Estudiante como un recurso efectivo e indispensable en su labor diaria. Los editores.

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Índice • Presentación de la Guía Didáctica................................................................................3 • Índice.......................................................................................................................................4 • Introducción.........................................................................................................................6 • Estructura del texto............................................................................................................8 • Resolución de problemas, eje transversal del subsector................................... 10 • Objetivos Fundamentales Transversales................................................................. 11 • Sugerencias para atender la diversidad y distintos ritmos de aprendizaje.................................................................................. 12 • La informática educativa en el sector curricular de Matemática.................... 16 • Aplicación práctica de la informática educativa al sector matemático....... 18 Unidad 1: Raíces y función raíz cuadrada Presentación de la Unidad.............................................................................................. 24 Planificación de la Unidad............................................................................................... 26 Desarrollo de la Unidad................................................................................................... 27 Errores frecuentes.............................................................................................................. 39 Síntesis de la Unidad......................................................................................................... 40 • Actividades de refuerzo (Material fotocopiable)................................................ 41 • Ficha de refuerzo (Material fotocopiable)............................................................ 43 • Actividades de profundización (Material fotocopiable).................................. 44 Instrumentos de evaluación........................................................................................... 45 Evaluaciones........................................................................................................................ 49 Solucionario de la Unidad............................................................................................... 54 Bibliografía y detalle de links de la Unidad............................................................... 56 Bibliografía temática......................................................................................................... 57 Sitios web sugeridos......................................................................................................... 57 Unidad 2: Ecuaciones cuadráticas y función cuadrática Presentación de la Unidad.............................................................................................. 58 Planificación de la Unidad............................................................................................... 60 Desarrollo de la Unidad................................................................................................... 62 Errores frecuentes.............................................................................................................. 85 Síntesis de la Unidad......................................................................................................... 86 • Actividades de refuerzo (Material fotocopiable)................................................ 87 • Ficha de refuerzo (Material fotocopiable)............................................................ 90 • Actividades de profundización (Material fotocopiable).................................. 91 Instrumentos de evaluación........................................................................................... 92 Evaluaciones........................................................................................................................ 95 Solucionario de la Unidad.............................................................................................101 Bibliografía y detalle de links de la Unidad.............................................................104 Bibliografía temática.......................................................................................................104 Sitios web sugeridos.......................................................................................................105

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Unidad 3: Desigualdades e inecuaciones Presentación de la Unidad............................................................................................106 Planificación de la Unidad.............................................................................................109 Desarrollo de la Unidad.................................................................................................110 Síntesis de la Unidad.......................................................................................................124 • Actividades de refuerzo (Material fotocopiable)..............................................125 • Ficha de refuerzo (Material fotocopiable)..........................................................130 • Actividades de profundización (Material fotocopiable)................................131 Instrumentos de evaluación.........................................................................................132 Evaluaciones......................................................................................................................135 Solucionario de la Unidad.............................................................................................144 Bibliografía y detalle de links de la Unidad.............................................................148 Bibliografía temática.......................................................................................................149 Sitios web sugeridos.......................................................................................................149 Unidad 4: Algo más sobre triángulos rectángulos Presentación de la Unidad............................................................................................150 Planificación de la Unidad.............................................................................................152 Desarrollo de la Unidad.................................................................................................153 Errores frecuentes............................................................................................................164 Síntesis de la Unidad.......................................................................................................165 • Actividades de refuerzo (Material fotocopiable)..............................................166 • Ficha de refuerzo (Material fotocopiable)..........................................................171 • Actividades de profundización (Material fotocopiable)................................172 Instrumentos de evaluación.........................................................................................173 Evaluaciones......................................................................................................................176 Solucionario de la Unidad.............................................................................................188 Bibliografía y detalle de links de la Unidad.............................................................192 Bibliografía temática.......................................................................................................193 Sitios web sugeridos.......................................................................................................193 Unidad 5: Probabilidades... un paso más Presentación de la Unidad............................................................................................194 Planificación de la Unidad.............................................................................................196 Desarrollo de la Unidad.................................................................................................197 Errores frecuentes............................................................................................................215 Síntesis de la Unidad.......................................................................................................216 • Actividades de refuerzo (Material fotocopiable)..............................................217 • Ficha de refuerzo (Material fotocopiable)..........................................................226 • Actividades de profundización (Material fotocopiable)................................227 Instrumentos de evaluación.........................................................................................228 Evaluaciones......................................................................................................................231 Solucionario de la Unidad.............................................................................................247 Bibliografía y detalle de links de la Unidad.............................................................251 Bibliografía temática.......................................................................................................253 Sitios web sugeridos.......................................................................................................253 Bibliografía temática...............................................................................254

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Introducción Para todos a quienes nos ha tocado la misión de educar, se hace imprescindible durante el ejercicio de nuestra profesión cuestionarse cuál es la mejor manera de conducir a nuestros estudiantes para que logren aprender lo que les queremos enseñar. Entonces, y como escucháramos tantas veces en las aulas de las universidades que nos formaron, vuelven a surgir aquellas preguntas fundamentales: ¿para qué enseñamos?, ¿qué enseñamos?, ¿cuál es la mejor forma de entregar aquello que sabemos y que queremos que otros aprendan?, ¿quiénes son aquellos que tenemos frente a nosotros en la sala de clases?, etc. Sin duda, cada una de las respuestas a estas preguntas tendrán similitudes y diferencias dependiendo del profesor que las conteste, del área que se enseñe, del tipo colegio en el que se trabaje y, sin duda, de cada estudiante que se nos haya encargado conducir, sabiendo que cada uno de ellos es una persona única e irrepetible que se nos ha encomendado. Desde este punto de vista, pretender escribir un libro que reúna las respuestas de todos los profesores de Matemática de Chile sería una idea ambiciosa e imposible. Por tanto, pretendemos ser sólo una ayuda para su trabajo en el aula, una guía de trabajo donde se oriente a los estudiantes en el desarrollo de ciertos temas y su aplicación a la vida diaria, una propuesta que comparte la experiencia educativa de años de trabajo en el aula. Bajo esta perspectiva, debemos destacar algunas directrices que han guiado nuestro trabajo y que son el fundamento que lo ha iluminado: • El acto educativo debe tratar a cada uno según sus aptitudes. No hay aprendizaje efectivo que no parta de alguna necesidad o interés del alumno. (Paradigma “La escuela nueva”, Odisea. (Revista electrónica de pedagogía. Artículo: “Corrientes pedagógicas contemporáneas”Autor: MC. Héctor Cerezo Huerta). Desde esta arista, el libro pretende situar a los estudiantes en problemas cotidianos que puedan ser de su interés para generar la necesidad de los nuevos conocimientos. Cada sección del libro está introducida por un problema al que se da solución más adelante, cuando ya se han adquirido los conocimientos necesarios. Las actividades están desarrolladas de manera de respetar el ritmo de aprendizaje de los estudiantes; existen actividades de refuerzo; de trabajo; de profundización. Actividades individuales y grupales. El trabajo grupal da la posibilidad de contribuir al aprendizaje de los pares, de recrear en una escala menor el escenario en que se encontrarán a futuro. Es importante que experimenten que las habilidades y aptitudes de cada uno aportan a que el trabajo grupal sea eficiente y eficaz. • Lo que se genera en la cognición humana es producto de una combinación de sentimientos, prejuicios y juicios, procesos inductivos y deductivos, esquemas y asociaciones, representaciones mentales, que juntos nos dan elementos para resolver nuestros problemas. (Enfoque constructivista, Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad Juárez, Chihuahua. México, Universidad Pedagógica Nacional - Unidad 082).

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• El conocimiento sobre la propia cognición implica ser capaz de tomar conciencia del funcionamiento de nuestra manera de aprender y comprender los factores que explican el porqué los resultados de una actividad puedan ser positivos o negativos (Aprender a aprender, Carles Dorado P., Universidad Autónoma de Barcelona).

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El desarrollo de cada contenido en el Texto del Estudiante y en la Guía Didáctica del Docente está trabajado en forma deductiva, tratando de dar las herramientas para que exista desarrollo del pensamiento lógico, que hagan las asociaciones necesarias y logren resolver los problemas que allí se plantean. Los estudiantes son constructores de su futuro y lo harán en la medida en que puedan resolver problemas de manera libre, analizando todos los factores posibles y ponderando las consecuencias de sus decisiones.

El desarrollo de este texto ha privilegiado un espacio donde cada estudiante pueda reflexionar acerca de su propio aprendizaje. Al final de cada sección, el estudiante tiene la posibilidad de contestar algunas preguntas donde revisa su aprendizaje y el proceso que ha realizado para adquirirlo. También es importante que cada vez que haya tenido dudas, vuelva a revisar, repasar y preguntar lo que no ha aprendido bien. • Las TIC pueden usarse como herramienta de trabajo intelectual por parte del estudiante; le sirven para expresarse, para explorar y para comunicarse. (Ferrán Ruiz Tarragó, “Necesidades docentes en el uso de TIC en el aula”, Mayo 2008, Fundación Chile). "Ningún sistema educacional escapa de las influencias y nuevas tendencias digitales y de las comunicaciones" (Mario Leyton, Premio Nacional de Educación 2009). Teniendo en cuenta los avances tecnológicos, se hace necesario que se incorporen las nuevas tecnologías en los laboratorios de computación y se trabaje con herramientas como programas computacionales, planillas electrónicas, calculadoras, sitios de Internet, etc. Nuestro proyecto propone el uso de estas TIC para el trabajo de las unidades; es bueno que cada estudiante tenga acceso a varias fuentes de información. • La matemática es el alfabeto con el que Dios ha escrito el universo. (Galileo Galilei). La matemática no solo es una ciencia exacta que desarrolla el pensamiento lógico de los estudiantes. No solo es el “estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas”. El prisma con el que se quiere mirar el estudio de esta área, en este libro, es aquel que hace que la matemática explique el mundo que rodea a nuestros estudiantes y dé también la posibilidad de que cada uno de ellos se interese por estudiarla y verla como una ciencia. La matemática es una disciplina que puede ser alcanzada por todos. La educación es un acto de amor hacia los estudiantes, donde ambos actores aprenden no sólo la disciplina que se estudia. Invitamos a cada uno de los profesores y profesoras a trabajar con este libro, a creer y crear en y con sus estudiantes, a reflexionar, pensar, jugar y aprender.

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Resolución de problemas, eje transversal del subsector Matemáticas que sí pueden ser entretenidas Dentro del “Proyecto de mejoramiento de la enseñanza de Matemática con asistencia técnica de Japón”(CPEIP), Chile recibió a tres académicos nipones, quienes han mostrado sus métodos de enseñanza a profesores de nuestro país. Testimonio pedagógico

Profesores japoneses ofrecen didáctica clase de matemáticas en U. Católica de Valparaíso Alumnos de séptimo básico de la Escuela Gaspar Cabrales de Valparaíso participaron de la clase que ofreció el investigador en didáctica de la Universidad de Tsukuba, Takao Seiyama.

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abía que romper la barrera del idioma y crear un ambiente de confianza. Para eso, el profesor Seiyama inició la clase con un juego: un entretenido desafío matemático donde el maestro y los alumnos competirían por quién se quedaba con el último de los trece “dulces”dibujados en la pizarra. Imposible para la audiencia, más de 30 alumnos y 200 profesores básicos, mantenerse ajena a la lúdica lección con que el experto en didáctica inauguraba la jornada en la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. Fue la clase demostrativa impartida por el profesor Takao Seiyama, investigador de la universidad japonesa de Tsukuba, quien se reunió con un grupo de estudiantes de séptimo básico de la Escuela Gaspar Cabrales de Valparaíso, y presentó ante docentes de la región las estrategias aplicadas en el aula para un mejor aprendizaje de las matemáticas.

Dispuestos en grupos de cuatro, los niños resolvieron junto al académico una serie de problemas matemáticos, específicamente fracciones. En el transcurso del taller, los escolares y el educador descubrieron diferencias en las formas de resolver los planteamientos y buscaron formas comunes para llegar a la solución. La sesión fue presenciada por más de doscientos profesores y estudiantes de pedagogía de distintos puntos del país, quienes se reunieron el 9 de octubre en el Aula Media de la Facultad de Ingeniería de la Católica de Valparaíso.

Sieyama afirmó que, aunque no ha podido asistir a una clase de matemáticas en Chile, sabe que es un sistema tradicional en el que el educador explica los contenidos a los niños y casi no existe interacción con ellos. “Para mejorar la enseñanza es necesario construir las lecciones junto con los alumnos, para que ellos participen, y más importante aún es que los estudiantes puedan explicarse entre ellos, utilizando su propio lenguaje”, dijo el docente. Métodos para imitar

“Fue entretenida y dinámica. Aprendí hartas cosas que en el colegio me costaban”. Así describió su experiencia Camila March, alumna de la Escuela Gaspar Cabrales, quien asistió a la clase demostrativa de matemáticas que dictó el profesor Seiyama. “La capacidad de aprender y el entusiasmo es el mismo en todo el mundo”, manifestó el investigador japonés al término de la clase y afirmó que el único obstáculo para enseñar a niños chilenos es la diferencia de idioma.

Consultas entre los compañeros, el profesor desplazándose por la sala de clases, un ayudante apoyando el trabajo del maestro, humor, ensayo y error, contacto visual. Eso es parte de lo que se vio en la clase demostrativa. La concentración y el entusiasmo se extendieron hasta después de finalizada la clase, porque los estudiantes continuaron consultando a los profesores japoneses nuevos ejercicios. No hubo espacio para la timidez.

http://www.latercera.cl/contenido/28_61332_9.shtml

Reconocemos esta propuesta como la tendencia pedagógica que nos convoca y desde la cual queremos invitar a los docentes y a la comunidad escolar en general a descubrirla y aplicarla. Tanto la metodología propuesta en el Texto del Estudiante, como el tratamiento didáctico de esta Guía para el Docente, apuntan en esta dirección y será un buen complemento en pos de la consecución de esta nueva mirada que hoy permite a los estudiantes ser actores reales de sus aprendizajes.

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Los Objetivos Fundamentales Transversales (OFT) definen finalidades generales de la educación referidas al desarrollo personal y a la formación ética e intelectual de los estudiantes. Cada sector o subsector de aprendizaje, en su propósito de contribuir a la formación para la vida, conjuga en un todo integrado e indisoluble el desarrollo intelectual con la formación ético-social de los estudiantes. De esta forma se busca superar la separación que en ocasiones se establece entre la dimensión formativa y la instructiva. Los programas están construidos sobre la base de contenidos programáticos significativos que tienen una carga formativa muy importante, ya que en el proceso de adquisición de estos conocimientos y habilidades, los estudiantes establecen jerarquías valóricas, formulan juicios morales, asumen posturas éticas y desarrollan compromisos sociales. Los Objetivos Fundamentales Transversales definidos en el marco curricular nacional (Decreto Nº 220) corresponden a una explicitación ordenada de los propósitos formativos de la Educación Media en cuatro ámbitos: • Crecimiento y Autoafirmación Personal. • Desarrollo del Pensamiento. • Formación Ética. • Persona y Entorno.

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Objetivos Fundamentales Transversales

• Los OFT del ámbito Crecimiento y Autoafirmación Personal referidos al interés y capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento y la información. • Los OFT del ámbito Desarrollo del Pensamiento, en especial los relativos a habilidades de investigación y de modelamiento matemático de situaciones y fenómenos, a través de las actividades que suponen selección y organización de información y datos; las de resolución de problemas y de pensamiento lógico, a través del conjunto de contenidos y actividades orientados al aprendizaje de algoritmos o procedimientos rutinarios, así como a la aplicación de leyes y principios, por un lado, y de generalización a partir de relaciones observadas, por otro. El desarrollo del pensamiento probabilístico contribuye a tomar decisiones fundamentadas en situaciones sociales. • Los OFT del ámbito Persona y su Entorno referidos al trabajo, y que plantean el desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia, así como de flexibilidad, originalidad y asunción del riesgo, y las capacidades de recibir y aceptar consejos y críticas. • A través de los problemas por resolver matemáticamente, es posible ampliar el trabajo de los OFT con los estudiantes para el desarrollo de su capacidad de juicio, y la aplicación de criterios morales a problemas del medio ambiente, económicos y sociales. Junto a lo señalado, el programa invita al desarrollo de actividades pedagógicas que ponen en práctica los valores y orientaciones éticas de los OFT, así como sus definiciones sobre habilidades intelectuales y comunicativas. Además, el programa se hace cargo de los OFT de Informática, incorporando en diversas actividades y tareas la búsqueda de información a través de redes de comunicación, empleo de softwares y la selección de sitios en Internet. Fuente: Extraído del Programa de Estudio, Tercer Año Medio, Formación General Educación Media, Unidad de Curriculum y Evaluación.

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Sugerencias para atender la diversidad y distintos ritmos de aprendizaje Como bien sabemos, los estudiantes son diferentes en sus ritmos de trabajo, estilo de aprendizaje, conocimientos previos, experiencias, etc., lo que condiciona todo proceso de enseñanza-aprendizaje. Esto lo sitúa, como docente, en la necesidad de educar en y para la diversidad. La respuesta a la diversidad de los estudiantes debe garantizarse desde el mismo proceso de planificación educativa, ya que es el profesor o la profesora, en cada caso particular, quien debe plasmarla en estrategias concretas, vista la realidad de los estudiantes que tiene en cada grupo-curso. En este sentido, se han de diseñar actividades de enseñanza/aprendizaje de diferente grado de dificultad, de manera que pueda existir una cierta adaptación a las diferencias individuales respecto del aprendizaje. El Marco Curricular nos presenta los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios, que corresponden a cada nivel de enseñanza; los Programas de Estudio nos presentan las orientaciones para la enseñanza de cada sector de aprendizaje, pero nos dan la flexibilidad de adaptar o modificar algunos elementos, siempre que se logre alcanzar las metas propuestas. A continuación se proponen algunas medidas relacionadas con la planificación que sirven para atender las diferencias que pueden presentar los estudiantes por diversas circunstancias. La adaptación curricular consiste en la modificación de algunos o de todos los elementos del currículo. Los estudiantes alcanzarán las capacidades previstas para su etapa educativa aunque se modifique el resto de los elementos curriculares: contenidos, metodología, recursos didácticos o evaluación. Se cambian los caminos, pero se alcanza la meta propuesta.

Objetivos y contenidos Según los objetivos que se pretenden, se seleccionan y jerarquizan los contenidos más apropiados. A través de objetivos y de contenidos, se podrá favorecer el desarrollo individual de cada estudiante en función de sus características personales, y ofrecerles la atención educativa más conveniente. Por esto es importante considerar, respecto de los objetivos: • Que posibiliten el desarrollo de todo tipo de capacidades (cognitivas, motrices, de equilibrio personal, de relación interpersonal y de actuación e inserción social...) en similar medida y se valore equilibradamente el desarrollo de todas ellas. • Que posibiliten diferentes niveles de logro de los aprendizajes y que sean adecuados para todos los estudiantes del aula. • Que se definan con claridad y precisión los objetivos mínimos de cada una de las Unidades Didácticas y los criterios de evaluación. Respecto de los contenidos seleccionados: • Que sirvan a todos los estudiantes del grupo para alcanzar los objetivos propuestos. • Que sean significativos y que conciernan a su realidad. • Que se definan con claridad y precisión los contenidos mínimos para cada una de las Unidades Didácticas.

Estrategias metodológicas La metodología ha de ser coherente con los objetivos que se pretenden y con los contenidos que se trabajen. Esta debe ser variada, combinar la exposición del docente (cuando se estime necesaria) con la actividad individual del estudiante y con las tareas en equipo, además debe utilizar distintos recursos

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Respecto de la metodología, se debe procurar: • Planificar actividades para determinar cuáles son los conocimientos previos de todos los estudiantes antes de iniciar un nuevo proceso de enseñanza- aprendizaje. • Tener en cuenta los intereses de los estudiantes en la planificación y desarrollo de la propuesta de enseñanza-aprendizaje y la funcionalidad de los aprendizajes. • Ir cambiando las situaciones y actividades o, en una misma situación, plantear diferentes tipos de actividades para hacer lo posible por adaptarse a los distintos estilos y motivaciones de los estudiantes. • Propiciar la actividad externa (manipulación, juego, experimentación, verbalización, etc.) y la actividad interna de reflexión sobre lo realizado (confrontación de los conceptos previos con lo que sucede en la realidad conocida, elaboración de conclusiones, recopilación de lo aprendido, análisis del avance producido desde las ideas previas, etc.). • Plantear aprendizajes interactivos que permitan establecer relaciones de comunicación eficaces en el seno del grupo y entre estudiantes y docente. • Crear un clima de respeto, tolerancia y valoración entre los estudiantes, donde la cooperación destaque sobre la competitividad. • Llevar a cabo en un mismo tiempo actividades distintas dentro de un aula y planificar y desarrollar actividades para realizar en gran grupo, grupo pequeño, por parejas, individualmente, etc. • Cuidar que todos y cada uno de los estudiantes avance y experimente éxitos. • Utilizar en el aula refuerzos diversos y adecuados para los estudiantes.

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que contemplen y que tengan en cuenta los diferentes estilos de aprendizaje. Difícilmente los estudiantes pueden trabajar a distinto ritmo y con diferente estilo cognitivo si deben hacer todos las mismas cosas, en el mismo tiempo y de la misma manera. Hay que favorecer la realización de un mayor número, de más fáciles o más complejas actividades por parte del estudiantado de acuerdo con las diferencias que presente.

Respecto de los recursos: • Seleccionar materiales considerando las posibilidades de adaptación y tratamiento de la diversidad que ofrecen. • Usar materiales atractivos y motivadores, que fomenten el aprendizaje activo, la investigación y la autonomía en todos los estudiantes. • Utilizar materiales que posibiliten ser trabajados en distintos tipos de agrupamientos. Hay que mencionar la importancia que tienen, desde el punto de vista metodológico y didáctico, aspectos como la utilización del tiempo, del espacio y del agrupamiento flexible de estudiantes, entre otros. • En la utilización del tiempo, el docente debe tratar de distribuirlo entre los distintos tipos de tareas que los estudiantes van a realizar con intervenciones del docente, diálogos abiertos, trabajo individual, trabajo en grupo, exposiciones de estudiantes, debates, etc. • El espacio físico es un elemento muy importante en los procesos de enseñanza-aprendizaje. Hay que tener en cuenta, por ejemplo, la distribución de las mesas según sea el tipo de trabajo que se vaya a realizar (individual, en grupo, exposición, etc.); como también tener a mano los recursos materiales que sean necesarios en cada momento de la Unidad Didáctica, etc. • El agrupamiento de los estudiantes debe ser flexible, es decir, tener respuesta puntual en función de sus diferencias en niveles de conocimiento, ritmos de aprendizaje, interés y motivación, etc. También se diferencian los agrupamientos

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en la realización de trabajos en pequeños grupos, refuerzos para estudiantes con un ritmo de aprendizaje más lento, ampliación para los que presenten un ritmo más rápido, realización de talleres, utilización de diversos recursos materiales (computador, libros de consulta, etc.) y, en general, en función de la naturaleza de las diferentes actividades que se realicen.

Evaluación La evaluación constituye uno de los factores condicionantes de todas las prácticas educativas. Un modelo de evaluación continua y formativa presupone evaluar procesos y no solo resultados; por lo tanto, debe incorporarse desde el comienzo del trabajo y servir para ofrecer datos permanentes acerca del desarrollo del aprendizaje. Hace posible graduar el ritmo de enseñanza, ajustándolo con el ritmo y el estilo de aprendizaje de cada niño o joven. Sería interesante que pudiera complementarse cada calificación con una evaluación descriptiva que exprese con palabras los logros que va alcanzando el estudiante y las dificultades que presenta. Hay que ser más explícitos para el estudiante y las dificultades que presenta. Hay que ser más explícitos para favorecer la autoevaluación del alumnado y su evaluación formativa. En la evaluación es importante: • Proponer actividades de evaluación intercaladas en las actividades de enseñanza aprendizaje que sirvan para reorientar y ajustar el aprendizaje de los estudiantes y la práctica docente. • Plantear diferentes actividades y en distintas situaciones para evaluar un mismo contenido. • Tomar conciencia de las implicaciones positivas de las actividades coevaluadoras y autoevaluadoras, y practicarlas cuando la situación lo permita. • Proponer diversos procedimientos, técnicas e instrumentos en las actividades de evaluación. • Plantear actividades de evaluación acordes con los criterios establecidos. Para detectar qué modificaciones podría hacer en su planificación, le presentamos algunas interrogantes que le servirán como orientación. 1. ¿Qué es exactamente lo que el estudiante no consigue hacer y usted quisiera que lograra?, esto es, ¿cómo detectar qué objetivo debería trabajar el estudiante? 2. ¿Cuáles son los contenidos (conceptos, procedimientos y actitudes) que, siendo necesarios para alcanzar ese objetivo, ya posee el estudiante?, esto es, ¿cuál es el punto de partida para la ayuda? 3. ¿Cuál es el primer paso en la secuencia de los aprendizajes que conducen hacia la consecución del objetivo? 4. ¿Cuáles son las decisiones metodológicas más adecuadas al estudiante para ayudarle a dar ese paso? 5. La ayuda que se le ha dado ¿ha permitido al estudiante dar ese paso hacia el objetivo? La primera interrogante apunta, pues, al “qué enseñar”, a un objetivo concreto de aprendizaje y a los contenidos que con él se relacionan. La segunda tiene que ver con la evaluación inicial y trata de saber cuál es la base de conocimientos del estudiante en relación con los objetivos y contenidos programados antes de planificar las acciones oportunas. La tercera dice relación con la secuencia de tareas más apropiada para acortar la distancia que separa ambos puntos, el de partida y el de llegada. Exige, por tanto, una cuidadosa labor de planificación de estas tareas en orden a conseguir el progreso adecuado.

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El refuerzo educativo Una medida más específica que apunta directamente a ayudar a superar las dificultades de aprendizaje es el refuerzo educativo. Este supone el menor grado de modificación curricular y organizativa para que un estudiante supere una dificultad de aprendizaje. Se pretende que si este, por motivos circunstanciales, presenta un problema puntual relativo a determinado contenido, debe recibir el apoyo específico del docente para superarlo y continuar el aprendizaje con su ritmo habitual.

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La cuarta interrogante se refiere a las estrategias metodológicas acordes con su peculiar estilo de aprendizaje y sus expectativas ante el aprendizaje. Apunta, por consiguiente, no ya a la secuencia de actividades, sino a la naturaleza de las mismas, así como a los recursos didácticos y a las condiciones de espacio y tiempo más oportunas. La quinta intenta conocer si se ha modificado el punto de partida de los estudiantes, y puede ahora hacer, por sí mismo, lo que inicialmente no podía sin la ayuda del docente.

Algunas características del refuerzo educativo son las siguientes: • Se produce cuando se detecta una dificultad en el aprendizaje que impide una evolución favorable del proceso educativo de un estudiante o de un grupo. • Trata de consolidar los contenidos básicos de un área o áreas determinadas que son claves para aprendizajes posteriores. • Parte de la consideración del punto en que se encuentra el estudiante para determinar qué es lo básico que necesita adquirir para conseguir una evolución favorable. • Pretende que los estudiantes adquieran los conocimientos considerados básicos o claves para seguir el programa del grupo. • No sólo se puede plantear al comenzar el año escolar, sino que puede surgir a lo largo del curso. En resumen, podemos decir que para atender la diversidad de sus estudiantes dentro de su clase, respetando las diferencias individuales, considerando los conocimientos previos que ellos presentan y respetando los distintos estilos cognitivos y ritmos de aprendizaje, puede: • Adecuar los objetivos generales de la etapa y de las áreas secuenciándolos y temporalizándolos. • Seleccionar los contenidos de acuerdo con los objetivos, secuenciándolos, jerarquizándolos y temporalizándolos. • Aceptar opciones metodológicas para las distintas etapas y para las diferentes áreas curriculares. • Decidir el o los modelos de evaluación que se llevarán a cabo, tanto en los procesos de enseñanza-aprendizaje como en la evaluación institucional del propio establecimiento. Fuentes: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/publicaciones/55331/libeso09.pdf http://www.isei-ivei.net/datos/DIVERSIDAD.pdf http://centros6.pntic.mec.es/ies.carlos.haya/departamento.html http://www.campus-oei.org/revista/rie31a04.htm http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/secciones/metodologia.html

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La informática educativa en el sector curricular de Matemática En términos generales, la enseñanza apoyada con los medios tecnológicos actuales ofrece grandes posibilidades al mundo de la educación. Estos pueden facilitar el aprendizaje de conceptos y materias, ayudar a resolver problemas y contribuir a desarrollar las habilidades cognitivas. En el sector de Matemática, en todos sus niveles, es factible hacer uso de las herramientas que proporciona la tecnología, en particular la tecnología informática, con el objetivo de lograr un mejoramiento integral de la docencia en Matemática y, como resultado de esto, en la calidad de los aprendizajes de los estudiantes. Hay que entender desde el comienzo que la informática no es solo un instrumento técnico para resolver problemas, sino también un modelo de razonamiento. En ello, la informática encuentra su verdadera identidad, tanto por las cuestiones a las que trata de dar respuesta como por el método que aplica para resolver problemas. Luego, la relación matemática e informática es natural y está dada desde el inicio de la computación, y su uso favorece la comprensión de los conceptos insertos en ella. La tecnología informática y de comunicaciones provee de diferentes recursos agrupados básicamente en tres líneas: paquete integrado, software educativo e Internet. Estos recursos constituyen valiosas herramientas para apoyar el proceso de enseñanza aprendizaje de los estudiantes, produciendo cambios significativos en las prácticas pedagógicas, metodologías de enseñanza y la forma en que los estudiantes acceden a los conocimientos e interactúan con los conceptos matemáticos presentes en ellos. Además de los recursos existentes y mencionados anteriormente, se pueden agregar otras herramientas ampliamente utilizadas en experiencias nacionales e internacionales de la inserción de la tecnología informática al vitae en el área matemática, como lo son los lenguajes de programación (Basic, Pascal, etc.), los micromundos (LOGO, etc.), los procesadores simbólicos (Maple, Matcad, etc.) y los procesadores geométricos (Cabri-Géomètre, El Geómetra). Las computadoras producen imágenes fantásticas, estáticas o animadas. En la circunstancia apropiada “vale más una imagen que mil palabras”. En Matemática, el factor imagen cobra un valor muy importante, pues permite acercar al estudiante los conceptos, los saca de un plano abstracto para llevarlos a un plano natural, donde los objetos se mueven, transforman, etc. de acuerdo con las variaciones de valores o aplicación de reglas específicas. Por otra parte, la informática, apoyada en las comunicaciones, proporciona entornos de trabajo nuevos. Los entornos tienden a ser cooperativos, de forma que el trabajo ya no tiene que ser exclusivamente individual, sino que está integrado por la cooperación de muchos agentes. Como se puede observar, la tecnología ofrece a los profesores(as) de Matemática, y al mundo educativo en general, buenas posibilidades de producir cambios valiosos y significativos en la forma en que los profesores(as) enseñan

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y los estudiantes aprenden. Luego, es nuestra responsabilidad como formadores de los jóvenes del futuro aprovechar la tecnología para crear situaciones de aprendizaje y enseñanza nuevas.

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El material trató de ampliar al máximo las posibilidades en términos de recursos y contenidos. Sin embargo, quizás algunas actividades no podrán realizarlas por la falta del software. En la sección Montegrande de la página web del Centro Zonal usted podrá encontrar otras actividades que hacen uso de estos mismos u otros recursos, así como respaldo de los softwares que se han bajado de Internet; la dirección es www.comenius.usach.cl

Mapa de la Informática Educativa en el Sector de Matemática La siguiente tabla especifica los recursos posibles de utilizar frente a contenidos matemáticos mínimos de enseñanza media. Se han considerado, como base, todos aquellos contenidos mínimos que hacen mención explícita al uso del recurso informático, y se ha ampliado a otros contenidos del sector en las tres áreas temáticas que lo componen, a saber, Álgebra y funciones, Geometría y Estadísticas y probabilidades. Contenidos Álgebra y funciones: Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y gráfica.

Geometría: Uso de algún programa computacional geométrico que permita medir ángulos y ampliar y reducir figuras.

Recursos Procesador simbólico Planilla de cálculo Software “El Graficador”

Procesador geométrico (Cabri Geométrico) El Geómetra

Planilla de cálculo

Estadística y probabilidades: Variable aleatoria: estudio y experimentación en casos concretos. Gráfico de frecuencia de una variable aleatoria a partir de un experimento estadístico.

Los procesadores simbólicos son grandes herramientas para manipular elementos algebraicos, definir funciones que posteriormente pueden evaluarse y graficarse, entre otras. Una alternativa más sencilla son las planillas de cálculo y el programa “El Graficador”. En efecto, la primera puede realizar todo lo relacionado con los cálculos y tablas de valores y “El Graficador”puede graficar esas funciones. Los procesadores geométricos permiten trabajar y manipular elementos de geometría. Cuentan con las herramientas adecuadas para trazar, transformar, rotar y, en general, modificar figuras geométricas. La planilla de cálculo provee de funciones estadísticas que hacen posible realizar experimentos estadísticos, tabular información y graficarla.

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Aplicación práctica de la informática educativa al sector matemático Como se observó en la tabla anterior, las posibilidades de la informática educativa en el nuevo currículum de enseñanza media, al menos teóricamente, son muchas. Como una forma de “probar” las posibilidades reales se ha optado por ofrecer a continuación un conjunto de actividades prácticas muy realistas, donde se introducen explícita y detalladamente los recursos educativos informáticos en el sector de Matemática. Al momento de revisar las actividades, es probable que se le presenten muy tecnológicamente centradas, y en cierta medida así es. Pero no ha sido por desear transmitir la idea de que todos los contenidos deben ser cubiertos con recursos educativos informáticos, de ningún modo; sólo son ejemplos concretos lo más contextualizados posible a la realidad educativa de la enseñanza media. Es muy importante tener en mente que estas actividades están inmersas en un contexto de enseñanza de larga duración y, por lo tanto, el esfuerzo más valioso será insertarlas en la práctica diaria. Si por algún motivo se observa que son lejanas, perfectamente pueden ser adaptadas a la propia realidad. Función lineal y otras funciones Objetivo: Analizar situaciones y/o fenómenos que se pueden modelar utilizando la función lineal. Establecer la dependencia entre las variables y expresarla gráfica y algebraicamente. Identificar e interpretar parámetros de pendiente e intersección con el eje de las coordenadas en la forma y = mx + n de la ecuación de la recta. Reconocer estos parámetros en las respectivas gráficas. Contenido: Función lineal, ecuación de la recta. Interpretación de la pendiente y de la intersección con el eje de las ordenadas. Condición de paralelismo y de perpendicularidad. Uso de la planilla de cálculo Excel para la manipulación algebraica y gráfica. Actividad propuesta: Por medio de dos herramientas de software (“El Graficador” y el programa Excel de Office), se proponen dos alternativas para abordar la actividad siguiente: estudiar y graficar diversas expresiones de la forma “y = mx + n”. La actividad considerará estudiar distintos valores para m (enteros, fraccionarios y decimales, mayores y menores que cero) y analizar casos con n = 0 y con n = / 0. Se espera a través de esta experiencia práctica de usar software para el estudio de la recta, que los estudiantes junto a su profesor(a) puedan descubrir y expresar las relaciones específicas de paralelismo, perpendicularidad, rectas paralelas a los ejes, recta que pasa por el origen y puntos de intersección de rectas con los ejes. Recursos: Software “El Graficador” o Software Microsoft Excel. Acciones: Usando el software “El Graficador” En esta versión de la actividad se propone usar el software “El Graficador”, contenido en el CD-Recursos Educativos 1999, como herramienta de cálculo y análisis. Las acciones propuestas para los estudiantes, y que se desarrollan a continuación, son más útiles cuando se convierten en una guía de aprendizaje que acompaña al estudiante. Esta guía puede ser desarrollada por el estudiante en varias sesiones, acompañado del profesor(a) o en forma autónoma.

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Llena los recuadros correspondientes a los coeficientes (Figura 2).

Luego selecciona un color de tiza con un clic (Figura 3).

¡Muy bien!, ya debes tener en pantalla la gráfica de la función, ¿no es cierto? Tal como se muestra en la figura siguiente (Figura 4). Primera parte Gráfica de rectas de pendientes opuestas Ahora, grafica en el mismo sistema de coordenadas las funciones que se indican; para ello, basta que sigas el mismo procedimiento anterior para cada función, pero usa distinto color para cada una.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

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Guía de aprendizaje sobre rectas Apresto Ingresa al software “El Graficador”y grafica la función de primer grado y = 2x realizando los siguientes pasos: Haz clic en el botón “Funciones de 1er grado”(Figura 1).

a. y = x + 4 b. y = –x + 4

Verifica que la gráfica de a. tiene pendiente 1 y constante 4. Verifica que b. tiene pendiente –1 y constante 4.

Figura 4

Grafica también las siguientes funciones: a. y = 2x + 4 b. y = –2x + 4 Los resultados de los gráficos debiesen ser los que se muestran en la Figura 5.

¿Qué podrías concluir con relación al gráfico de funciones ax + b, –ax + b, es decir, de pendientes opuestas y constantes? R: Las rectas de pendientes opuestas e igual valor constante son simétricas.

Figura 5

Comprueba con otros ejemplos creados por ti. Segunda parte Gráfica de funciones constantes Grafica en un mismo sistema de coordenadas las funciones que se indican. Estas rectas tienen la forma y = mx + n, con m = 0 (Ver Figura 6).

a. y = –3,5 b. y = 1 c. y = –5,5

Figura 6

Si se observa la Figura 6, se concluye que para cualquier punto de x el valor de y en cualquiera de las funciones es el mismo.

Luego se puede deducir que cuando m = 0, es decir, la pendiente es 0, la función es CONSTANTE.

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Tercera parte Gráfica de funciones paralelas Grafica en un mismo sistema de coordenadas las funciones que se indican. Ver Figura 7. c. x + 2y = 6 a. y = –x/2 b. 2x + 4y = 5 d. x + 2y = 2 Figura 7

¿Qué podrías concluir en relación con el gráfico de funciones de igual pendiente? ¿Cómo son, paralelas o perpendiculares? R: Para las funciones que tienen pendientes similares sus gráficas corresponden a rectas paralelas. Crea otras funciones y grafícalas para comprobarlo.

Cuarta parte Gráfica de funciones perpendiculares Grafica en un mismo sistema de coordenadas las funciones que se indican. a. y = –3x + 2 b. y = x/3 – 5

Figura 8

Cambia de color y grafica las funciones siguientes. Ver Figura 8. c. 3x + y = 0 d. x – 3y = 4

Observa que las dos primeras funciones que graficaste tienen pendientes –3 y 1/3, respectivamente. Observa además que el producto de ambas es –1. En las segundas funciones ocurre también lo mismo. ¿Qué podrías concluir en relación con el gráfico de funciones cuyo producto de la pendientes es –1? R: Para las funciones cuyo producto de pendientes es –1 sus gráficas corresponden a rectas perpendiculares. Crea otras funciones que cumplan estas condiciones y grafícalas para comprobarlo. Anexos Anexo: Usando el software Microsoft Excel En esta versión de la actividad se propone usar la planilla de cálculo Excel, contenida en el paquete Office, como una herramienta de cálculo y análisis. Acciones: Guía de aprendizaje sobre rectas Apresto Dadas las siguientes funciones, y = x + 4, y = 2x + 4, y = –x + 4, y = –2x + 4 escríbelas como expresiones de la forma y = mx + n. Así te será más fácil establecer algunas relaciones específicas.

Figura 9

• Abre una nueva hoja de trabajo en Excel y crea allí una tabla de valores como la que se muestra a continuación (ver Figura 9), que permita más tarde graficar dichas expresiones. Toma valores para x entre –8 y 8 y sigue el procedimiento que se indica.

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Observa el gráfico que obtuviste y confirma las siguientes aseveraciones: • Las rectas y1 e y2 tienen pendiente positiva, y las rectas y3 e y4 tienen pendiente negativa. • Las rectas y1 e y3 son perpendiculares porque tienen igual inclinación, pero sus pendientes son opuestas. Lo mismo ocurre con y2 e y4. • Las cuatro rectas intersectan al eje y en el 4, que es el valor de n en las cuatro expresiones.

Relación entre las gráficas de 4 rectas dadas 8 y 6 4 x -8

2 -6

-4

-2

0 -2 -4 -6 -8

y1 = x + 4 y2 = 2x + 4 y3 = -x + 4 y4 = -2x + 4

Figura 10

2

4

6

8

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• Ingresa las expresiones señaladas en las celdas A1..E1 • Para ingresar las fórmulas, simplemente digita la expresión. Por ejemplo, en B2, escribe x + 4, luego copia esta fórmula al resto del rango B3..B18. • Repite el proceso anterior en el resto de las expresiones. • Este mecanismo permite definir fórmulas dependientes de variables; entre ellas, funciones lineales, funciones cuadráticas, funciones trigonométricas, etc. • Diseña el gráfico de las expresiones (Figura 10). Para crear el gráfico, selecciona el rango que contiene la tabla (A1: E14) y luego utiliza el “Asistente para gráficos”. Utiliza un gráfico tipo XY (Dispersión) con puntos de datos conectados por líneas sin marcadores de datos.

Anexo: “Tablas y gráficos en Excel” Para graficar datos en Excel es necesario crear antes una tabla para los datos donde estos se ingresarán. Luego seleccionar el rango para obtener el gráfico requerido. 1. Crear la tabla de valores • Ingresa los encabezados en la primera fila. • En las filas siguientes, ingresa los valores o funciones por graficar. • Ejemplo: se desea ingresar valores consecutivos para una variable, por ejemplo, valores para x entre –3 y 3: • Ingresa –3 en la celda A2. Figura 11 • De la barra de menú, selecciona “Edición”, “Rellenar”, “Series”. Aparecerá la ventana (de la Figura 11). • Elige en “Series en”la alternativa columnas, para que los valores aparezcan hacia abajo. • El “Incremento”se refiere a la diferencia entre los valores que desea obtener, por ejemplo 1. • En Límite ingresa 3. Presiona Aceptar. Figura 12 Para copiar el contenido de una celda en otras celdas consecutivas: • Selecciona la celda que deseas copiar. • Sitúa el cursor del mouse en la esquina inferior derecha de dicha celda. • Cuando el cursor cambie de forma a una cruz, haz clic y sin soltar el botón del mouse, arrástralo, marcando las celdas en las que deseas copiar el contenido. Para definir una variable que se usará posteriormente en una fórmula: • Selecciona las celdas que contienen el nombre de la variable y el valor que se asignará. • De la barra de menú selecciona “Insertar”, “Nombre”, “Crear”. Aparecerá la ventana de la Figura 12. • Selecciona la opción que corresponda y luego presiona Aceptar.

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Figura 13

2. Graficar los datos de una tabla • Selecciona el rango de celdas donde se encuentran los datos que deseas graficar. • Presiona el botón Asistente para gráficos de la barra de herramientas (Figura 13). • Sigue los pasos indicados en la ventana de diálogo que aparecerá en pantalla y cuando el gráfico esté listo, presiona Terminar. Para graficar una nueva serie de datos en un gráfico ya creado: • Selecciona el rango de celdas que contiene los datos de la nueva serie que deseas graficar. • Presiona el botón copiar de la barra de herramientas. • Activa el gráfico que tiene creado. • De la barra de menú elige “Edición”, “Pegado especial”. Aparecerá la ventana de diálogo de la Figura 14. Marca las opciones como se muestra en la figura y luego presiona “Aceptar”.

Figura 14

Figura 15

Figura 16

Figura 17

Figura 18

Anexo: “El Graficador” Descripción Para poder utilizar este programa debes seleccionar una de las alternativas que se presentan en la parte superior del pizarrón: Funciones de 1er grado, Funciones de 2do grado o Funciones Seno-Coseno. En la parte inferior de la zona de gráficos se encuentra la expresión algebraica de la función que se haya seleccionado. En ella se deben completar los recuadros que corresponden a los valores para los coeficientes. Cómo graficar Para graficar la función, selecciona una tiza de color con un clic en la parte inferior del pizarrón. Para limpiar la zona de gráficos, selecciona el borrador ubicado en la parte inferior del pizarrón y arrástralo sobre la zona de gráficos. Para acercar o alejar los gráficos, cambia la cifra en el recuadro titulado “Escala”, ubicado en la parte superior derecha. Para salir, se debe hacer un clic en la campana ubicada en la parte inferior derecha. Instrucciones para el trabajo con Funciones de 1er grado Haz un clic en el botón “Funciones de 1er grado”(Figura 15). Llena los recuadros correspondientes a los coeficientes (Figura 16). Ejemplo 1: Grafica la función f (x) = 2x. Ingresa el valor 2 en el sector anterior a x. Ingresa 0 en el recuadro perteneciente al término libre n (Ver Figura 17). Luego, selecciona un color de tiza (Figura 18) con un clic y obtendrás la gráfica. Ejemplo 2: Compara funciones lineales. f (x) = –2x, f (x) = 2x + 8, f (x) = 2x – 8, f (x) = –2x + 8, f (x) = –2x – 8. Sigue las mismas instrucciones anteriores, pero cambia cada vez de color de tiza para poder apreciarlas mejor.

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Fuente: http://www.eduteka.org/pdfdir/ChileCurriculoMatematicasTics.pdf

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Ejemplo 3: Graficar funciones lineales con coeficientes fraccionarios f (x) = 1/2x + 1/4. Transforma la expresión a notación decimal. Grafica f (x) = 0,5x – 0,25. Si deseas utilizar como recursos procesador simbólico MapleV, Release 5 para resolver problemas de la vida diaria que involucren sistemas de ecuaciones lineales, te recomendamos que ingreses a: http://www.eduteka.org/pdfdir/ ChileCurriculoMatematicasTics.pdf, donde encontrarás además actividades del Subsector Curricular de Matemática para los cuatro niveles de Enseñanza Media, ideas de proyectos de aula, proyectos colaborativos intersectores.

Notas

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Raíces y función raíz cuadrada

Unidad 1

Presentación de la Unidad El concepto de raíz (cuadrada, cúbica e incluso de índices mayores) es de suma importancia en el desarrollo algebraico de la matemática, tanto en la ampliación del ámbito numérico (de a R +), ∪ como de a ,Q b∈ b ≠la0resolución , n≥2 {0} ,en ecuaciones y también en el estudio de las funciones. En educación media, se espera que los estudiantes puedan tener claridad en los conceptos básicos de raíces y sus propiedades, de la función raíz cuadrada y de su utilidad en la resolución de problemas cotidianos. En la primera parte de la unidad se hace referencia a una breve historia (Página 11 del libro) sobre el uso de la raíz cuadrada, cómo se fue estudiando el tema de los números irracionales a través del desarrollo de la matemática y cómo se entrelazan estos conceptos con los de función. El principal objetivo de las reseñas históricas es que los estudiantes comprendan que la matemática se ha ido construyendo en forma progresiva y que muchos de los contenidos definidos formalmente habían sido intuidos y usados ya con anterioridad. Sin embargo, cabe hacer notar la importancia de la formalización en un lenguaje matemático estricto.

Algunos links de apoyo son: http://www.sectormatematica.cl/historia/historiaencomic.swf http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/Historiamatindex.asp

En esta unidad existe una sección de conocimientos previos (Página 12 del libro). Estos apuntan a la revisión del concepto de potencia de base racional y exponente entero y sus propiedades. El repaso de estos conocimientos facilitará a los alumnos y alumnas la comprensión de la definición de raíz como potencia de exponente racional y el uso de ésta en la demostración de algunas de sus propiedades. Es bueno mostrar a los estudiantes que en el tema de potencias hay varios caminos por los que llegar a la solución correcta. Esta es una de las principales dificultades que se presentan en el desarrollo de ejercicios. Los estudiantes no saben por dónde comenzar ni hasta dónde llegar en el desarrollo. Por ejemplo, si tomamos el ejercicio 3d, propuesto como actividad, podemos escribir algunos desarrollos como los siguientes: Desarrollo 1:

( )

4

4 3  d 2 ⋅ ( 4 c )3   d 2 ⋅ 43 ⋅ c 3 4  d 2 ⋅ 22 ⋅ c 3    = 23 c −2d −3   = =  8 ⋅ ( cd )5   8c 5d 5   23 c 5d 5     

Desarrollo 2:

4

(

)

4

= 212 c −8d −12

( ) ( )

12

 d 2 ⋅ ( 4 c )3  d 8 ⋅ ( 4c )12 d 8 ⋅ 22 ⋅ c 12 224 c 12d 8   = = 12 20 20 = 212 c −8d −12 = 5 4 20 4 3 20 20  8 ⋅ ( cd )  8 ⋅ ( cd ) 2 c d 2 ⋅c d  

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Ahora bien, algún estudiante podría proceder a partir del penúltimo paso de la siguiente manera:

224 c 12d 8 212 = 212 c 20d 20 c 8d 12

Se trabajan en esta sección habilidades como reconocer, calcular, aplicar, relacionar. Es importante que se realice la evaluación en cada una de las secciones en las que están propuestas, ya que con ellas el alumno podrá evaluar su avance y establecer remediales, en conjunto con su profesor, para aquellos contenidos no logrados. Un esquema que resume los contenidos por tratar en esta unidad es el siguiente:

UNID AD 1

Lo que estaría bien, y depende sólo de cómo se quiera dar el resultado, ya que no hay ninguna condición al respecto.

RAÍCES Y FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

Concepto de raíz

Cálculo de raíces cuadradas y cúbicas

Propiedades de las raíces

Ecuaciones irracionales

Función raíz cuadrada

Aplicaciones de las raíces a la vida diaria

Objetivos y planificación Antes de comenzar el desarrollo de los temas de la unidad, se deben tener claros los objetivos y la planificación. Presentamos aquí los objetivos que deben alcanzar los estudiantes a través de la unidad y una propuesta de planificación para ella.

Objetivos Fundamentales de la Unidad • Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de raíces y función raíz cuadrada. • Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de problemas y el análisis de situaciones concretas. • Modelar situaciones o fenómenos cuyos modelos resultantes sean funciones raíz cuadrada. • Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando las propias capacidades. • Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos. • Razonar lógica y deductivamente para ir en búsqueda de nuevos métodos de solución a los problemas que se plantean.

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Planificación de la Unidad Unidad 1

“Raíces y función raíz cuadrada” CMO

Tiempo de duración

18 horas pedagógicas.

Aprendizajes esperados

Indicadores de evaluación

Raíces cuadrada y cúbica.

Identificar las raíces cuadradas y cúbicas como números reales. Encontrar el valor de raíces cuadradas y cúbicas.

Clasifica una raíz cuadrada o cúbica como un número racional o irracional. Calcula el valor de una raíz cuadrada o cúbica.

Propiedades de las raíces (raíz de un producto, producto de las raíces, raíz de un cociente, cociente de raíces, raíz de una raíz, composición y descomposición de raíces).

Definir las propiedades de las raíces. Utilizar las propiedades de las raíces en la resolución de problemas.

Utiliza las propiedades de las raíces en la resolución de ejercicios. Utiliza las propiedades de las raíces en la resolución de problemas.

Racionalización estimación y comparación de fracciones que tengan raíces en el denominador.

Identifica expresiones algebraicas que deben racionalizarse y las racionaliza.

Ecuaciones irracionales.

Racionalizar expresiones fraccionarias con denominadores como , + y3 .

Resolver ecuaciones irracionales que contengan raíces cuadradas o cúbicas. Aplicar las ecuaciones irracionales a la resolución de problemas.

Resuelve ecuaciones irracionales. Verifica que las soluciones obtenidas satisfagan la igualdad. Plantea y resuelve problemas de planteo que involucren ecuaciones irracionales.

Función raíz cuadrada (gráfico de y = x , y = x 2 e identificación de x 2 = x , dominio de una función raíz cuadrada).

Analizar la función raíz cuadrada en el marco de la modelación de algunos fenómenos sencillos. Determinar dominio y recorrido de una función raíz cuadrada a partir de su gráfico y/o ecuación.

Describe la función raíz cuadrada según sus características: fórmula que la define, dominio, recorrido, gráfico. Calcula imagen y preimagen. Aplica los contenidos anteriores a la resolución de problemas.

Resolución de desafíos y problemas de planteo.

Conocer y utilizar procedimientos de cálculo algebraico con expresiones en las que intervienen raíces cuadradas y cúbicas.

Resuelve ejercicios que involucren uso de propiedades y racionalización, ecuaciones irracionales y cálculo de raíces.

Generalización a raíces de otros índices.

Generalizar las propiedades estudiadas para las raíces cuadradas y cúbicas a raíces de otros índices.

Resuelve ejercicios de raíces de índice distinto a 2 y 3 aplicando las propiedades.

Uso de herramientas tecnológicas apropiadas para los contenidos de la unidad.

Utilizar algunas herramientas tecnológicas como ayuda en la resolución de problemas.

Utiliza la calculadora para resolver los ejercicios. Utiliza software sugerido para graficar función raíz cuadrada.

El tiempo asignado a cada unidad está en base a la distribución horaria ministerial de 3 horas semanales para el nivel de III medio. Cada profesor puede reasignar este tiempo según si el establecimiento educacional ha asignado horas de libre disposición al sector de matemática.

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Desarrollo de la Unidad Para introducir esta y otras unidades es bueno contextualizar los problemas que pueden ser resueltos con los contenidos que aprenderán los estudiantes. Se debe crear la necesidad de los contenidos planteando varios problemas desde distintos ámbitos. Se deben tomar algunos minutos de la clase en la que se comenzará la unidad para esto. Algunos posibles ejemplos son: • Un agricultor tiene un terreno de límites irregulares. Él necesita cercar parte de su sitio para sembradío, de modo que este terreno sea cuadrado y que su área sea igual a 552,25 metros cuadrados. ¿Cómo podría saber el agricultor cuánto debe medir el lado del cuadrado?

UNID AD 1

a) Introduciendo la unidad

Si hacemos un bosquejo de la situación y escribimos los datos dados, tendremos que:

552,25 m2

x

x2 = 552,25

x

Entonces, se puede razonar de la siguiente manera: ¿qué número elevado a dos da por resultado 552,25? Puede ser que encontrar este número no sea fácil. Pero el énfasis en esta parte debe ser otro: si existe una operación que se llama elevar al cuadrado, la operación inversa estará definida de alguna forma especial. A esta operación la llamamos “extraer raíz cuadrada”. Ahora bien, la pregunta que sigue es: ¿qué es, entonces, una raíz cuadrada? • Repasemos algunos conceptos estudiados en años anteriores... Pensemos en los números que usamos diariamente. Generalmente, estos son naturales (si decimos, por ejemplo, que el kilo de pan cuesta $900); enteros (si decimos, por ejemplo, que estamos en el tercer subterráneo de un edificio) o decimales (si queremos comprar, por ejemplo, un octavo de jamón). Es más, aún podemos decir que podríamos escribir un decimal donde las cifras decimales se repitieran y estaríamos hablando de un número que se podría escribir como una fracción (note que los alumnos ya han estudiado los números racionales). Pero ¿podría escribir un número decimal donde sus cifras no tuvieran un patrón de repetición y escribir infinitas cifras decimales?, ¿qué clase de número sería este?... no uno racional... sería irracional.... ¿cuál es, entonces, otra forma de escribir este número?.... ¿qué operatoria permitiría calcular dichos números?... ¿serán lo que llamamos raíces una de estas formas?... Y si es así, como las sumaríamos o multiplicaríamos... • Si volvemos a recordar algunos contenidos vistos anteriormente y aceptamos que el hecho de encontrar el valor de x en la igualdad x 2 = 16 equivale a la operación que podemos llamar “extraer raíz cuadrada”, pensemos en lo siguiente: ¿habrá un número que

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multiplicado tres veces por sí mismo dé 343?... Sí, lo hay, pero entonces y en forma análoga, ¿es esta operación equivalente a extraer algún tipo de raíz? Ya no es raíz cuadrada, no es al cuadrado al que elevo el número buscado, sino al cubo. Entonces, ¿hay distintos tipos de raíces?, ¿cuántos tipos habrá?, ¿se podrán operar estos distintos tipos?, ¿representarán todas ellas el mismo tipo de números?

b) Preparando cada tema A continuación se entregan algunas sugerencias metodológicas para tratar cada uno de los conceptos y ejercicios abordados en el Texto del Estudiante. También se hacen notar algunas consideraciones y sutilezas conceptuales para que el docente tenga presente. Por último, al iniciar la preparación de cada tema se presenta un cuadro con los OFT tratados y las capacidades trabajadas según los mapas de progreso.

Raíces, ¿qué son? (Página 14 del Texto del Estudiante) OFT

Mapas de Progreso

Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer la realidad a través de la matemática. • Resolución de problemas desarrollando el pensamiento lógico. • Discernimiento de resultados en situaciones cotidianas. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora). • Trabajo grupal y servicio a la comunidad.

Las capacidades trabajadas referente al eje números son (en niveles 5, 6 y 7): • Argumentar sus estrategias o procedimientos y utilizar ejemplos y contraejemplos para verificar la validez o falsedad de conjeturas; reconocer números irracionales. • Utilizar raíces para la resolución de problemas y un lenguaje matemático en demostraciones y resolución de problemas. • Utilizar lenguaje matemático para representar y resolver problemas cotidianos.

En esta sección se formalizará el concepto de raíz cuadrada y raíz cúbica al que intuitivamente nos acercamos a través de las preguntas de la introducción de la unidad. Note la importancia de formalizar los conceptos usando lenguaje matemático. Además, se trabajará en cálculo de raíces, sean estas números racionales o irracionales. Por otra parte, se enfatizará que podemos ver que todo número real siempre se puede expresar como una raíz cuadrada. Cabe destacar la definición formal de raíces, que es la propuesta por el Mineduc en su libro de planes y programas para III medio. Esta es: , si y solo si Es decir, la ecuación

. Para todo número tendrá dos resultados

. y

.

Esto es equivalente a escribir que, Observa que en toda raíz se tiene, Índice de la raíz

n

a

Cantidad subradical

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Haga notar a sus estudiantes que ya no se define la raíz cuadrada de un número como tradicionalmente se hacía, esto es, decir que, por ejemplo, 4 = ±2.

En este caso, cuando se da solución a x2 = 4, habrá dos soluciones, que serán 4 = 2 y − 4 = −2 , si y solo si La ecuación que es

. Para todo tiene una solución en los números reales,

Haga énfasis que, en este caso, sólo un valor real satisfará la igualdad. Reflexione con sus estudiantes, además, acerca de que la raíz cuadrada sólo se define para los números reales positivos y el cero, ya que al definir a = x , si y solo si x 2 = a, x 2 ≥ 0 (por propiedad de los números reales), por lo tanto a ≥ 0 . La raíz cúbica, en cambio, está definida para todos los números reales.

UNID AD 1

Con respecto a la definición de la raíz cúbica, tenemos que:

Pensemos en lo siguiente. Al calcular raíces cuadradas y cúbicas distinguiremos dos casos: que su valor sea un número racional, con lo cual el valor queda definido exactamente, o que sea irracional. Es importante hacer notar, en este último caso, por ejemplo, el valor exacto de 5 es 5, pero en algunas ocasiones se trabajará aproximando su valor. Esto es, sólo se usa una aproximación racional del verdadero valor de la raíz o del número irracional, pero no es en verdad su verdadero valor, por lo que cada vez que nos queramos referir al valor exacto de una raíz, que es irracional, deberemos escribirla como raíz y no como decimal. Se puede hacer notar aquí que, aunque solo se han definido raíces cuadradas y cúbicas, existen raíces de otros índices. Así, se puede ampliar el concepto de raíz de índices distintos de 2 y 3 según la 4 4 1616 = 2, = 2,porque porque242=4 16 = 16 , porque definición. Por ejemplo,

En esta sección se propone trabajar el cálculo de raíces cuadradas y cúbicas, con y sin calculadora. De esta forma, se puede proponer calcular raíces cuadradas y cúbicas cuyo valor sea un número racional y también un número irracional. Es importante hacer notar que se ha propuesto el cálculo de raíces por aproximación por ser el más rápido y sencillo. Sin embargo, se pueden trabajar también otros métodos señalados en el libro en las secciones adjuntas.

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Propiedades de las raíces (Página 23 del Texto del Estudiante) OFT

Mapas de Progreso

Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer la realidad a través de la matemática. • Análisis de procesos y establecimiento de relaciones lógicas. • Resolución de problemas y construcción de argumentos lógicos. • Discernimiento de resultados en situaciones cotidianas. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora). • Desarrollo del trabajo grupal.

Las capacidades trabajadas referentes al eje números son(en niveles 5, 6 y 7): • Realizar las cuatro operaciones con números reales en forma algebraica utilizando propiedades. • Identificar el conjunto numérico al que pertenecen los resultados de un determinado ejercicio o problema. • Utilizar las potencias de base racional y exponente racional, y sus propiedades, para simplificar cálculos, y establecer la relación entre potencias y raíces. • Resolver problemas utilizando estrategias que implican descomponer un problema o situaciones propuestas en partes o subproblemas. • Realizar conjeturas que suponen generalizaciones o predicciones y argumentar la validez de los procedimientos o conjeturas. • Utilizar lenguaje matemático para representar y resolver problemas cotidianos. • Comprender que, en cada conjunto numérico, se puede operar sobre la base de reglas o propiedades que pueden ser usadas para justificar o demostrar relaciones.

Las propiedades de las raíces se abordan desde la contextualización de problemas, de manera que los alumnos y alumnas puedan deducir dichas propiedades. Luego, hay actividades propuestas para cada propiedad, de modo que los estudiantes puedan ejercitar. Al final de cada propiedad hay un sector destacado con la formalización conceptual correspondiente. Recuerde que siempre es necesario formalizar y sintetizar los conceptos clave con sus estudiantes. Para demostrar estas propiedades puede también hacerlo desde una mirada a las raíces como potencias. Proponemos las siguientes.

Multiplicación de raíces La operación está definida siempre y cuando los índices sean iguales. Se sugiere hacer énfasis en las condiciones para que las raíces estén bien definidas. Demostración (usando la definición de raíces como potencias): n

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m

p

(

am ⋅ n b p = ( a ) n ( b ) n = am ⋅ b p

)

1 n

= n am ⋅ bp con a , b ∈ R + ∪ {0} , n ≥ 2

En algunos ejercicios se plantea la necesidad de efectuar la multiplicación indicada, con el fin de mostrar que la raíz producto es racional, siendo los factores no necesariamente racionales, como se ilustra, en el ejemplo, j (Pág. 24) se tiene que: 3 4 ⋅ 3 2 = 3 8 = 2.

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Se hace hincapié en que usted realice, en clases, ejercicios similares a los propuestos a fin de conducir exitosamente la actividad de la pág. 25. Recuerde que mientras más práctica de resolución haya, más seguridad adquieren sus alumnos y alumnas.

División de raíces

La división de raíces, al igual que la multiplicación, está definida cuando los índices son iguales. Se sugiere, nuevamente, enfatizar en las condiciones para que las raíces estén bien definidas. Demostración (usando la definición de raíces como potencias): n

m

p

(

am : n a p = ( a ) n : ( a ) n = am : b p

con a , b ∈ R + ∪ {0} , b ≠ 0, n≥2

)

1 n

=n

UNID AD 1

En los ejercicios resueltos se muestra cómo la multiplicación por una raíz es distributiva con respecto a la suma; y que también se aplica en suma por diferencia, cuadrado de binomio, etc.

am , bp

Se debe recordar también la idea de que la división es la multiplicación del inverso multiplicativo del divisor.

Note que, hasta este punto, no se ha hablado de racionalización, por lo 1 se dejarán expresados de esta manera. que resultados como 10 También se recomienda realizar otros ejemplos en el desarrollo de la clase.

Descomposición de raíces

Se trata esta propiedad como una aplicación de la multiplicación de raíces, de la manera contraria a lo habitual, es decir, se mira el resultado de una multiplicación de raíces para buscar sus factores. Más aún, la idea es que uno de los factores sea un cuadrado, un cubo perfecto, según sea el índice en que se esté trabajando. Así, la descomposición puede expresarse como producto de racionales por irracionales. Note que se generaliza que: Descomponer una raíz cuadrada

es escribirla de la forma

, de modo que se cumpla que En general, podemos descomponer

y escribirla de la forma

si se cumple que Hay que tener en cuenta que la descomposición de raíces se utiliza para escribir en forma más sintética una raíz, pero principalmente será usada en ejercicios de sumas y restas de raíces. Si bien se dieron ejemplos anotados paso a paso, como 3 16 a4 = 3 8 ⋅ 2 ⋅ a3 ⋅ a = 2 a 3 2 a , la idea es que los alumnos y alumnas puedan omitir algunos de estos en la medida que ellos se sientan seguros.

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Suma y resta de raíces En esta parte se debe hacer énfasis que, en principio, no se pueden sumar o restar raíces si estas no tienen igual cantidad subradical e igual índice. Sólo se podrá sumar si se consigue, a través de la descomposición o de otra forma, tener raíces de igual índice e igual cantidad subradical. Esto se reduce a ver el ejercicio como la reducción de términos semejantes. También se deben mostrar casos en que los resultados ya no se puedan reducir; por ejemplo: 2 + 3 es la expresión más reducida que se podrá tener.

Acá se sugiere hacer énfasis en ejercicios del tipo (propuesto) 200 + 2 18 = 10 2 + 6 2 = 16 2 , donde existe descomposición. Recuerde que se debe ejercitar hasta que usted como profesor o profesora tenga la certeza de que sus estudiantes han aprendido los conceptos y la forma en que se enfrentan y resuelven los ejercicios y problemas. Tenga especial cuidado con las falsas generalizaciones de las propiedades que pueden hacer los estudiantes. Un caso típico es aquel de anotar que a ± b = a ± b

Raíz de raíz Para definir esta propiedad se utilizan propiedades de las potencias y la definición de raíz como potencia de exponente racional, ya que, de esta forma, es más fácil abordar la demostración. Note que la idea es reunir todo en una sola raíz, según lo escrito, pero, estrictamente, extraer una raíz de un número que a la vez es raíz es ir extrayendo raíces sucesivamente. Note las siguientes comparaciones en algunos ejemplos; es conveniente hacerlas notar a los estudiantes: Efectuar: 3

64

Es verdad que 64 = 8 con lo que tendremos que, 3 8 = 2.

Efectuar: 3 64 . Si el alumno reúne las raíces según lo indicado, tendrá que: 6 64 = 2 . Con lo que obtendrá, de la misma manera, el resultado anterior.

Si decimos reducir a una sola raíz o expresar en una sola raíz es claro que: 3 64 = 6 64 . Al contrario, si decimos extraiga raíz de una raíz, el alumno será libre de elegir cualquiera de los caminos mencionados.

De manera inversa ¿Qué pasa si se solicita encontrar 6 64 ? El mérito

que tiene la fórmula es que se puede descomponer en 3

64 o bien bien

3

3

64 oo bien

64 y para así poder calcular en forma más sencilla el

3

64

resultado pedido. Note que mostrar estas alternativas a los

estudiantes hace que ellos manejen más herramientas y con ello ayuda a formar un pensamiento lógico analítico.

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Racionalización OFT

Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer la realidad e investigar sobre nuevas situaciones. • Análisis de los procesos matemáticos involucrados en la construcción de los contenidos. • Resolución de problemas y desarrollo del pensamiento lógico. • Discernimiento de resultados en situaciones cotidianas. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora). • Trabajo grupal.

Mapas de Progreso

Las capacidades trabajadas referentes al eje números son (en niveles 5, 6 y 7): • Argumentar sus estrategias o procedimientos y utilizar ejemplos y contraejemplos para verificar la validez o falsedad de conjeturas, reconocer números irracionales. • Identificar el conjunto numérico al que pertenecen los resultados de un determinado ejercicio o problema. • Resolver problemas utilizando estrategias que implican descomponer un problema o situaciones propuestas en partes o subproblemas. • Utilizar lenguaje matemático para representar y resolver problemas cotidianos. Las capacidades trabajadas referentes al eje álgebra son (nivel 7): • Mostrar autonomía y flexibilidad en la transformación de expresiones simbólicas, escribiendo, reconociendo y eligiendo formas equivalentes de distintas representaciones algebraicas.

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(Página 40 del Texto del Estudiante)

Al abordar este tema hay que hacer varias consideraciones. La primera de ellas es referirse a expresiones fraccionarias y no a fracciones cuando se habla que existen raíces en el denominador, ya que sería un abuso de lenguaje si nos apegamos al concepto de fracción a entendido como aquella expresión de la forma , con a y b números b enteros y b distinto de 0.

Salvado esto, diremos que racionalizar es necesario debido a que se hace imposible dividir por un número irracional (que contiene infinitos decimales y, por lo tanto, imposible de ser amplificado o transformado a fracción). Así, se busca una expresión fraccionaria equivalente, donde el divisor sea un número entero.

Se han abordado los casos en los que hay una raíz cuadrada o una suma o resta de raíces cuadradas o una raíz cúbica en el denominador. Note que es importante justificar la forma de racionalizar cada caso y hacer énfasis en que, al hacerlo, se mantiene una expresión equivalente (una posible forma de abordar esto es que los estudiantes lo verifiquen con sus calculadoras; otra forma es la sugerida en el recuadro “Toma nota” (pág. 43)): Al final de la sección existe una evaluación de proceso (“Revisemos lo aprendido”). Se sugiere que los alumnos y las alumnas puedan verbalizar las dificultades de la unidad e indicarles alguna fuente de apoyo o bien repasar con el curso nuevamente los contenidos de mayor dificultad antes de seguir adelante.

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Ecuaciones irracionales (Página 48 del Texto del Estudiante) OFT

Mapas de Progreso

Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer la realidad e investigar sobre nuevas situaciones. • Análisis de los procesos matemáticos involucrados en la construcción de los contenidos. • Resolución de problemas, desarrollando el pensamiento lógico y manejo algebraico. • Discernimiento de resultados en situaciones cotidianas. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora). • Desarrollo de habilidades para el trabajo grupal.

Las capacidades trabajadas referentes al eje números son (en niveles 5, 6 y 7): • Identificar el conjunto numérico al que pertenecen los resultados de un determinado ejercicio o problema. • Utilizar lenguaje matemático para representar y resolver problemas cotidianos. Las capacidades trabajadas referentes al eje álgebra son (en 6): • Elaborar estrategias de resolución de problemas y ejercicios, desarrollarlas y justificarlas usando lenguaje algebraico.

Una ecuación irracional puede ser considerada como aquella ecuación donde al menos una de las incógnitas involucradas está en la cantidad subradical de una raíz. Pero también puede ser considerada como una igualdad a la que se le ha extraído raíz (siempre que esté bien definida) por ejemplo, si al extraer raíz a ambos lados se tendrá que x + 3 = 6 , estaremos en presencia de una ecuación irracional. Mirado de esta forma, tiene sentido elevar al cuadrado para volver a la ecuación original. En esta parte, se sugiere definir claramente lo que es una ecuación irracional, como también explicitar, en forma ordenada, los pasos por seguir para resolverla. Se debe recordar que los resultados obtenidos por los pasos mencionados anteriormente son sólo candidatos a solución. De aquí que sea absolutamente necesario comprobar que dichos resultados satisfacen la ecuación propuesta. Indique a sus estudiantes que siempre tengan en cuenta que una vez aislada una raíz, hay ocasiones en que en el otro miembro quedan sumas y/o restas que al elevarse al cuadrado o al cubo deben ser desarrolladas como cuadrados o cubos de binomios o polinomios. Ahora bien, en los ejercicios propuestos que contienen suma o diferencia de dos raíces se debe aislar una de las raíces antes de elevar al cuadrado. Esto facilita el desarrollo. Desarrollo 1:

(

2 x + 10 − 2 x + 3 = 1 2 x + 10 = 1 + 2 x + 3 2 x + 10

) = (1 + 2

2 x +3

/ + 2 x +3 /(

)

2

2 x + 10 = 1 + 2 2 x + 3 + 2 x + 3 6 = 2 2x + 3

3 = 2x + 3

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/ :2

/(

9 =2 x +3 / −3 6=2x / :2 3= x

)

2

)

2

/ −2 x − 1 − 3

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Haciendo la comprobación se obtiene que,

2x + 10 − 2x + 3 = 1

16 − 9 = 1 4 −3 = 1

1 = 1, por lo tanto x = 3 es solución. Por otro lado, note que cada vez que se plantea una ecuación irracional, donde una raíz cuadrada sea igual a un número negativo, esta no tiene solución, pues contradice la definición de raíz cuadrada. Por ejemplo: x + 2 = −3 Se trabajan en esta sección habilidades como conocer, calcular, aplicar, analizar, sintetizar, reflexionar, relacionar, resolver problemas. Esta sección termina con la evaluación de proceso (“Revisemos lo aprendido”). Se sugiere motivar a sus alumnos y alumnas para que respondan responsablemente esta evaluación y busquen, guiados por usted, remediales para los contenidos por lograr.

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6 + 10 − 6 + 3 = 1

Función raíz cuadrada (Página 55 del Texto del Estudiante) OFT

Mapas de Progreso

Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer la realidad, conocerla y entenderla a través de modelos matemáticos. • Análisis de los procesos matemáticos involucrados en la construcción de los contenidos. • Resolución de problemas, desarrollando el pensamiento lógico y manejo algebraico. • Discernimiento de resultados en situaciones cotidianas. • Uso de herramientas tecnológicas (programas computacionales). • Desarrollo de habilidades para el trabajo grupal.

Las capacidades trabajadas referente al eje álgebra son (en niveles 5, 6 y 7): • Reconocer el tipo de situaciones que modelan las funciones raíz cuadrada y representarlas a través de tablas, gráficos y algebraicamente. • Justificar la pertinencia del modelo aplicado y de las soluciones obtenidas. • Elaborar estrategias de resolución de problemas y ejercicios, desarrollarlas y justificarlas usando lenguaje algebraico. • Modelar situaciones o fenómenos provenientes de diversos contextos.

En primer lugar, considere que la función raíz cuadrada carecerá de sentido para los alumnos y alumnas de este nivel si no está presente en el modelamiento de algunas situaciones cotidianas. En segundo lugar, muestre el tipo de gráfico que representa una función raíz cuadrada. Aquí se sugiere que, a través de los gráficos, se hagan análisis en relación con su crecimiento, desplazamiento, forma, etc. Para graficar, se sugieren los siguientes softwares: Graph, que se puede bajar gratuitamente desde: http://gratis.portalprogramas.com/graph.html Graphmatica, también gratuitamente desde: http://graphmatica.programas-gratis.net/ Use los cuadros donde se muestra cómo graficar con los programas; lleve a sus estudiantes a la sala de enlace y, si es posible pues tiene los medios de utilizar data show, proyecte los pasos que usted hace para graficar.

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Acá debes colocar la función. Recuerda que x elevado a 0,5 (un medio) es igual a la raíz cuadrada de x.

Luego haces enter y aparecerá la función graficada.

También puede utilizarse un mismo gráfico para comparar algunas funciones raíz cuadrada dependiendo de la ecuación que las define; por ejemplo: f ( x ) = x ∧ 0, 5

f ( x ) = 2 x ∧ 0, 5

f ( x ) = x ∧ 0, 5 + 1

f ( x ) = ( x + 6 ) 0, 5 ∧

8 6 4 2

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –2 –4

1

2 3

4

5 6

7 8

9

–8

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Para determinar más fácilmente el dominio y el recorrido, utilice los gráficos de la funciones raíz cuadrada. Por último, se menciona que la función y = x 2 es gráficamente la misma que y = x . Deje que sus alumnos y alumnas grafiquen ambas funciones, extraigan sus propias conclusiones y luego generalice. Dé ejemplos que se comporten de manera similar, como y = 5 x 2 , y = 2 x2 o y = x2 + 6

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En tercer lugar, se deben abordar con claridad los conceptos de dominio y recorrido de la función raíz cuadrada. De esta manera se hace énfasis en que el dominio depende de la expresión subradical de la raíz. Haga notar a sus estudiantes que en el caso de la función raíz cuadrada el dominio está restringido naturalmente por la definición de la expresión subradical de ella. El recorrido dependerá de la constante que sume o reste fuera de la raíz.

Sin embargo, puede ocurrir que alguno de sus estudiantes pregunte por funciones del tipo y = x 2 + 5 . Es conveniente analizar estos casos con la ayuda de los gráficos. Por ejemplo, si graficamos la función dada, tendremos que:

(

f ( x ) = sqrt x ∧ 2 + 5

8 6

)

4 2 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

–4 –8

Note que esta ya no es una función de gráfico conocida, como sucede con las anteriormente analizadas. Esto se debe a que el sumando está en la cantidad subradical. En el ejercicio 2 de la actividad de la página 60, se pide determinar la ecuación de la función que está representada por el gráfico. Note que en este problema se deben elegir dos puntos (de fácil lectura) del gráfico y formar un sistema de ecuaciones para determinar los parámetros a y b, mencionados en el enunciado del problema. Por ejemplo, los puntos pueden ser ( −5, 0) y ( 0, 2). Así se tendrá que como son puntos de la función, cumplen con la igualdad y = ax + b Para ( −5, 0) ⇒ 0 = −5 a + b ⇒ 0 = −5 a + b

Para ( 0, 2) ⇒ 2 = 0 ⋅ a + b ⇒ 4 = b

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Como b = 4, reemplacemos este valor en la primera ecuación y tendremos 4 que 0 = −5 a + 4 ⇒ 5 a = 4 ⇒ a = ; por lo tanto, la función es: 5

y=

4 x +4 5

Adicionalmente a lo señalado, se debe destacar que al analizar la función raíz cuadrada a través de sus gráficos, es importante hacer notar que:

(

)

• la función raíz cuadrada f ( x ) = k x , k > 0 es estrictamente creciente, esto es que: ∀a , b ∈ Dom f ( x ) , si a > b ⇒ f ( a ) > f ( b ). Resulta más sencillo mirarlo en el gráfico y mostrarles a los alumnos que, a medida que x crece, entonces f ( x ) o y , también lo hace. Además si k < 0 , será estrictamente decreciente.

• el gráfico de la función raíz cuadrada podrá tener su origen (o punto mínimo o máximo) en cualquier punto del plano, dependiendo de los coeficientes de k, a, b y c en la función de la forma y = k ax + b + c . Esto hace que pueda asumirse un desplazamiento de los gráficos con respecto al gráfico de la función y = x • se puede determinar, directamente a partir del gráfico, el dominio y el recorrido de la función. Aunque para hacerlo algebraicamente se debe condicionar que la cantidad subradical sea mayor o igual a 0 (en el caso del dominio). Para el caso del recorrido, este depende de c. Como el valor más bajo que puede tomar la raíz es cero, entonces el recorrido siempre será mayor o igual a c. Se trabajan es esta sección habilidades como conocer, calcular, aplicar, analizar, sintetizar, reflexionar, relacionar, resolver problemas. Nuevamente se invita a los estudiantes a revisar su aprendizaje en la evaluación de esta sección (mapa conceptual y preguntas posteriores). Se sugiere revisar el mapa conceptual con el curso y rescatar dos o tres soluciones distintas entre las dadas por los jóvenes.

c) Profundizando algunos conceptos (Taller de profundización, página 64 del Texto del Estudiante)

En este taller se amplían las propiedades vistas para raíces cuadradas y cúbicas a raíces de índice superior. Se trabajan algunos ejercicios a modo de ejemplo y se proponen otros para que alumnas y alumnos los resuelvan en grupo. Es importante que los alumnos y alumnas puedan responder la evaluación final del taller de profundización como evaluación de proceso esto les entregará información sobre cómo ha sido su trabajo y lo que deben repasar.

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Errores frecuentes

Contenido

Posible déficit

Sugerencia

Descomposición de raíces.

Descomposición factorial de números naturales. (Los estudiantes no descomponen de manera factorial).

Propiedades de las raíces.

Propiedades de las potencias. (Los estudiantes no manejan propiedades de las potencias).

Revisar y ejercitar propiedades de las potencias: multiplicación y división de potencias y potencia de una potencia.

Suma o resta de raíces.

Reducción de términos semejantes. (Los estudiantes no reducen adecuadamente términos semejantes).

Desarrollar ejercicios que involucren reducción de términos semejantes. Por ejemplo: 2 y + 3 y = 5 y

Multiplicación de raíces y ecuaciones irracionales.

Cuadrado de binomio como producto notable. Los estudiantes desarrollan incorrectamente el cuadrado de binomio 2 como: ( a + b ) = a2 + b2 . Operatoria con raíces cuadradas en productos notables.

Racionalización.

(Los estudiantes no han aprendido correctamente las propiedades de las raíces).

Ejercitar descomposición factorial, haciendo énfasis en expresar algunos de los factores como cuadrados o cubos perfectos. Por ejemplo: 28 = 2 ⋅ 2 ⋅ 7 = 22 ⋅ 7, a7 b5 = a2a2a2ab2b2b .

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Se nombran en esta sección algunos de los errores frecuentes cometidos por los estudiantes. Es importante tenerlos en cuenta durante el desarrollo de la unidad para corregirlos.

Ejercitar con ejemplos del mismo tipo propuestos en la revisión de contenidos previos.

4 ◊ −2◊ +7 ◊ = 9 ◊



Ejercitar desarrollo de cuadrados de binomios. Por ejemplo: ( 2 x − 4 ) = 4 x 2 − 16 x + 16 2

Haga énfasis en que el resultado de un cuadrado de binomio tiene 3 términos. Ejercitar la operatoria de raíces que involucren productos notables. Sobre todo suma por diferencia. Por ejemplo:

(

)( x + 3) = ( x ) − ( 3) x− 3 2

2

= x −3

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Síntesis de la Unidad Síntesis conceptual de la unidad El objetivo de esta síntesis es que los estudiantes puedan revisar los conceptos fundamentales de la unidad. Se presenta primero, un mapa conceptual como ejemplo de síntesis de los conceptos de la unidad. Se sugiere revisarlo en clases junto a sus estudiantes haciendo énfasis en los conceptos.

Ejercicios propuestos en esta Guía i. Actividades de refuerzo Estas actividades se presentan como un apoyo para el profesor y los estudiantes, de manera de reforzar lo aprendido. Encontrará aquí una batería de ejercicios que puede trabajar en clases, en forma adicional a los ya propuestos en el texto. ii. Ficha de refuerzo Estos ejercicios están destinados a aquellos estudiantes que aún no han logrado los objetivos mínimos propuestos y necesiten trabajar sobre los conceptos fundamentales de la unidad.

iii. Actividades de profundización Este material tiene por objetivo ampliar los conocimientos de los estudiantes que evidencien mayores habilidades matemáticas en esta unidad. Se proponen ejercicios y una actividad con los que usted puede trabajar. Tipos de ejercicios Se pueden identificar en ejercicios donde se repasan todos los contenidos en diferentes ítems, que pueden ser trabajados grupal o individualmente. En otros casos, especialmente en la Ficha de refuerzo, se hace siempre énfasis en colocar todo el desarrollo en la resolución de los ejercicios. Finalmente, también ofrecemos evaluaciones basadas en alternativas tipo PSU y donde hay una sugerencia para que el alumno revise y obtenga su porcentaje de logro, que se aconseja sea trabajado individualmente.

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Actividades de refuerzo 62500 , ¿se obtiene 50 un resultado menor a 0,8?

3. ____ 6 5 = 4 3 5

10.

5. ____ 9 + 3 −27 = 36

6. ____ 3 11 − 7 = 3 11 − 3 7

8. ____ Para racionalizar multiplicar por

17

17 17 17

4.

9. ____ No se puede dividir −81 por −3 , porque las cantidades subradicales son negativas en ambas raíces.

(

10. ____ 2 15

)

2

3

3

= 30

II. Usando las propiedades de las potencias, desarrolla los siguientes ejercicios. Recuerda simplificar cada expresión de ser posible: 1.

1 2 + −1 + 22 −3 10 10

2. 1 +

13 36

3. Expresa con aproximación a la centésima.

4. 5.

7 2 −2 7 ⋅ 7 2 +2 7 1 31 2 + 4 7− 4 16 4+1

1 3 3 1  ⋅  3 −  16 8  8 24 

6. 12 150 x 6 b5 : 10 6 x 2b3

7. Escriba como producto de potencias

x 2 y3 z

4 1,75 − 2 2,5

2x+

(

5.

3 −2=5 4

)

2 x2 − x + 2 + 1

2. 3.

se debe

1

III. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales; no olvides comprobarlas. 1.

7. ____ El recorrido de la función f ( x ) = 2 x + 5 es el conjunto de todos los reales mayores o iguales a cinco.

3

3

2

=x

3⋅ 3 x +1 =3

x + 2 = x +6 x −5 x −3

=

x −7

x −6

IV. Resuelve los siguientes problemas relacionados con raíces y función raíz cuadrada. Escribe todo el desarrollo en tu cuaderno. 1. La mamá de Francisco necesita colocar en su patio un cordel para colgar la ropa. Para que pueda colgar más ropa decide colocarlo desde una esquina a otra del patio (en diagonal). Francisco mide su patio y registra: de largo, 5 metros, y de ancho, 4 metros. ¿Cuál es la cantidad mínima de cordel que debe comprar la mamá de Francisco? 2. Una escuela hace un estudio sobre el número de estudiantes matriculados por año. La matrícula del colegio se comporta según la función m ( a ) = 200 a + 9, donde m representa el número de estudiantes en decenas y a representa los años de existencia del colegio, partiendo desde el año 0 como el año de fundación. ¿Cuántos estudiantes tendrá el colegio a los 10 años de vida si se sigue comportando de esta manera?

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9.

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8,3 − 3 3 + 1

2. ____ Las raíces cúbicas a veces son números reales

4. ____ La solución de la ecuación 3x − 5 = 2 es x = 3

625 − 4

Material Fotocopiable

1. ____ El valor de raíz cuadrada de trece es irracional

4

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8. Al resolver

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I. Coloca V (verdadero) o F (falso) en cada una de las siguientes afirmaciones según corresponda.

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3. Mónica estaba viendo un reportaje sobre su artista favorito y allí contaban que él dormía en una cama redonda. Muy entusiasmada decidió plantearle a su papá que quería implementar aquella idea en su cuarto. El papá lo pensó un rato y le dijo que para poner una cama de esas características podía ocupar sólo 2 m2 del área de su pieza. En este caso y sabiendo que Mónica mide 1,67 metros, ¿podrá caber π = 3, 14. estirada en la cama? considere p 4. Sofía se acostó cansada de haber estudiado para su prueba de raíces. Apenas puso la cabeza en la almohada se quedó dormida y comenzó a soñar, una bruja amenazaba con destruir su casa a no ser que pudiera adivinar este acertijo: “si al número de pasos que debes dar para huir de mí, decía la bruja, le agregas 3 y extraes su raíz cuadrada, será lo mismo que caminar 10 medios pasos”. ¿Cuántos pasos debía dar Sofía, en sus sueños, para huir de la bruja?

V. Marca la alternativa correcta: 1.

3

375 es equivalente a: c. 5 3 2 a. 15 d. 3 3 5

b. 5 3 3

−1

a. 11 b. 44 c.

4

44

b.

12 7

b3

b3

)

2

3 5 + 1 − 3 5 − 1 es: d. 6 5 − 4 11 e. 2 − 4 11

c. b 7 b3 d.

6

e.

b5

4

b

6. Si a = –3, b = 2 y c = –4, entonces acerca del número 2 ab2c podemos decir que: a. b. c. d. e.

es un número entero. es un número racional. es un número irracional. no es un número real. Ninguna de las anteriores.

7. Si p – 3 = 7 , entonces, ¿cuál de las siguientes expresiones representa un número entero? a. p

d. p 6 7

b. p c. p 6 7

resultado:

e. 25

 30   6 5 − 3. ¿Cuál es el valor de   :  ? 6   2   5 c. 2 6 a. − e. 54 27 3 d. b. −2 3 54

(

a.

8. Al resolver

2. Para que la función y = 5 x − 3 esté bien definida se debe tener que: 3 5 5 a. x > c. x > e. x ≥ − 5 3 3 3 5 b. x ≥ d. x ≥ 5 3

4. El valor de

5. La expresión b b 3 b es equivalente a:

e. Ninguna de las anteriores

3

−

2+ 5

a. 8 5 + 2 2 3 b. 8 5 − 2 2 3 c. 2 2 − 8 5 3

5

2− 5

se obtiene por

d. 8 5 + 2 2 7 e. 8 5 − 2 2 7

9. ¿Cuál es el valor de x que satisface la ecuación x + 4 − 1 − x − 3 = 0? a. 0 b. 1

c. – 2

d. – 10

e. 12

10. ¿Cuál(es) de los siguientes números reales pertenece al dominio de la función y = 2 7 − 3 x + 1? I. 8

a. Solo I

b. Solo II

II. – 2

III. 0

d. Solo I y III

e. Solo II y III

c. Solo III

42 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 42

2/11/11 16:53:46

Ficha de refuerzo

441 − 3 1331

c.

2. Usando las propiedades de las raíces, resuelve:

a.

5 ⋅ 125

b.

3. Racionaliza:

a.

2

7

b.

3

2 16

7 500

c.

7

c.

3− 2

3

26

3

13

4. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales. No olvides comprobar tus resultados:

a.

x + 17 = 23

b. 28 − 3 x + 3 = 5

c.

3

1 x + 31 = 3 2

5. Dada la función f ( x ) = 3 x − 6, grafícala (puedes ayudarte con el programa Graphmatica) y luego responde:

¿Cuál es el valor mínimo de la función? ¿Para qué valor de x se obtiene dicho valor? ¿Qué valor toma la función cuando x = 5? ¿Qué valor debe tomar x para que la función sea igual a 15 ?

buscó en un libro y encontró que la fórmula a2 era A = 3, donde a es la medida del lado 4 del triángulo ¿Puedes calcular tú el área del triángulo?

b. Ignacio aprendió en su clase de Física que el tiempo que se demora un objeto en caer desde una altura h, en caída libre, está dado 2h por t = , donde g = 9,8 m/s2. ¿Cuánto g se demora la pelota de Ignacio en llegar al suelo si la deja caer desde 4,9 m?

Material Fotocopiable

a. b. c. d.

un triángulo equilátero de lado 5?" Ella

UNID AD 1

PSU donde preguntaban: "¿Cuál es el área de

Material Fotocopiable

a. 2 25 1 b. 3 729 3

a. Martina leyó un ejercicio de un ensayo de

Material Fotocopiable

1. Calcula el valor de las siguientes raíces:

6. Resuelve los siguientes problemas:

Material Fotocopiable

Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno. No olvides colocar todo el desarrollo e incluye todos los pasos.

43 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 43

2/11/11 16:53:48

Material Material Fotocopiable

1.

(

x −4 y

4

)(

x+ y

)(

3 2

x+4 y

4

)

Material Fotocopiable

2  2  2.  64 3 + 27 3  − 91  

3.

6 5 ax + 25 ax

4.

ax + ax +

5

b− x + 5 b− x 2

3

3

( a) x

5

0 ,2

Material Fotocopiable

5. ¿Cuál es el valor de y en

6

0, 5 y + 60 = 1? 2

2 2 7 5 − +1 1 −6 3 5 6. + 2 5 4 2 2 − ⋅ +1 3 3 15 3 6−

7.

Material Fotocopiable

5

Material Fotocopiable

) − ( −1 −

11. Dicen algunos que el 21 es el número de la buena suerte. Más aún que para que un proyecto tenga éxito debe estar un periodo de 21 días de incubación, como el del nacimiento de un pollo. Te invitamos a que simplemente remplaces x por 6 16 en x 6 + x 3 + 1, reduzcas usando propiedades e indiques si obtienes el número de la suerte para algunos... ¿Tienes algún número para la buena suerte?...

I. Ejercicios:

n

9.

(

10.

)

2

−27 +

II. Desafío:

x2 − 4 x + 4 x2 + 6 x + 9

8.

3

mx n m5 x ⋅ 6 m x −1 ⋅ n 2 3 6

2− 3− 5

15

−2 + 100 256

) − ( −1 − 5

12. El orientador del colegio está enseñando algunas técnicas de estudios y explicó que en algunas oportunidades los problemas por resolver parecen ser más difíciles de lo que son y que la clave está en aplicar estratégicamente lo que sabemos. “Estratégicamente” es la palabra que a Delia le quedó dando vueltas en su mente durante todo el día... la aplicó en varios ejercicios con éxito. ¿Cómo resuelves 6 x ⋅ 4 x 3 y cuál es el resultado expresado como una raíz?

Herón de Alejandría, ingeniero griego que vivió entre los años 10 – 70 d. C., planteó que el área de un triángulo se podía calcular sólo con la medida de sus tres lados mediante la siguiente fórmula: 3

−27

)

2

+

256

Sean a, b y c los lados de un triángulo cualquiera y s su semiperímetro (la mitad del valor del perímetro). Entonces se tiene que:

A = s ( s − a) ( s − b) ( s − c ) ¿Cómo puedes saber que esta fórmula se cumple? ¿Será siempre así? ¿Cómo se podrá demostrar?

Material Fotocopiable

2 + 100

Actividades de profundización

44 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 44

2/11/11 16:53:51

La evaluación debe ser vista como un proceso continuo que se da a través de todo el proceso enseñanza–aprendizaje. Resulta indispensable que cada estudiante sea partícipe de su evaluación, de manera de ir recibiendo la información necesaria que le permita revisar, corregir y estar seguro de la calidad de su aprendizaje. De este modo, se deben emplear, tanto por el profesor como por los estudiantes, diversos instrumentos de evaluación a lo largo de la unidad. Algunos sugeridos son: a. b. c. d. e.

Escalas de apreciación Listas de cotejo Trabajos grupales formativos Actividades individuales o grupales de estudio Evaluaciones sumativas

UNID AD 1

Instrumentos de evaluación

Escalas de apreciación Sirven para recolectar información sobre el trabajo puntual realizado por los alumnos y alumnas en una clase o en una actividad determinada. Un ejemplo de estas, que podría ser usada, por ejemplo, al final del estudio de cada una de las propiedades de las raíces, es: Nombre del estudiante:  Curso:

Fecha: 

Actividad:  Promedio obtenido:

Porcentaje de logro: 

Según tu apreciación personal del trabajo realizado, coloca una nota de 1 a 7 en cada una de las siguientes preguntas: 1. ¿He entendido los conceptos de la sección?

2. ¿He entendido los ejercicios resueltos o de ejemplos? 3. ¿He sido capaz de desarrollar los ejercicios propuestos? 4. ¿He aportado al desarrollo de la clase? 5. ¿Me he preocupado de preguntar lo que no me quedó claro? 6. ¿He realizado un buen trabajo en equipo junto a mis compañeros? (en caso de trabajo en grupo) 7. ¿He demostrado interés en aprender? 8. ¿He puesto todas mis capacidades al servicio de mi aprendizaje?

45 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 45

2/11/11 16:53:51

Listas de cotejo Sirven para recolectar información sobre el nivel de logro de aspectos trabajados en las secciones de la unidad. Pueden ser dirigidas al estudiante o trabajadas por el profesor. Un ejemplo de estas es: Curso: 

Realiza las tareas dadas

Alumno

Aporta al trabajo de su grupo

NL:

Trabaja bien en clases



Realiza los ejercicios propuestos

PL:

Explica los conceptos fundamentales



Logrado Por lograr No logrado Pregunta cuando tiene dudas

Escala: L:

Abarca Juan Baeza Lorena

También se puede aplicar al trabajo grupal. Por ejemplo, en los ejercicios de síntesis y evaluación de la unidad.

Trabajos grupales formativos Son guías pequeñas o actividades cortas (en el Texto del Estudiante están indicadas como trabajos grupales), que los estudiantes deben realizar en grupo (recuerde que un buen método de estudio es apoyarse con sus pares). Se sugiere que el profesor corrija la actividad con el curso y pueda entregarles retroalimentación acerca de los posibles errores cometidos.

Actividades grupales o individuales de estudio Siempre, antes de una evaluación calificada, es recomendable que los alumnos y alumnas conozcan el instrumento de evaluación que se aplicará, por lo que se sugiere desarrollar una breve actividad en clase donde cada estudiante pueda revisar los conceptos fundamentales tratados en la sección. Esta actividad podría contener confección de mapas conceptuales, ítems de verdadero y falso, de completación, ejercicios de resumen y aplicación. En esta guía didáctica se entregan actividades y ejercicios complementarios que pueden servir de gran ayuda.

46 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 46

2/11/11 16:53:51

Evaluaciones sumativas

También se puede evaluar bajo la idea de Coevaluación, entendida como aquella evaluación entre pares de una actividad o trabajo realizado. Este tipo de evaluación puede darse en diversas circunstancias: Durante la puesta en marcha de una serie de actividades o al finalizar una unidad didáctica, estudiantes y profesores pueden evaluar ciertos aspectos que resulten interesantes destacar. Al finalizar un trabajo en equipo, cada integrante valora lo que le ha parecido más interesante de los otros.

UNID AD 1

Entenderemos que estas son, en gran parte, calificadas y resumen todos los contenidos de la unidad. No obstante, también pueden aplicarse como evaluaciones formativas. En esta guía se entregan dos instrumentos de evaluación.

Luego de una ponencia, se valora conjuntamente el contenido de los trabajos, las competencias alcanzadas, los recursos empleados, etc. Se sugiere al docente visitar el siguiente enlace para optimizar este recurso evaluativo: http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573 COEVALUACIÓN TEMA:  FECHA: 

: INDICADORES

Niveles de logro INTEGRANTES DEL GRUPO 1 2

1

3 4 5

4 = SÍ 8 = NO

2

3

4

Total

1. Aporta ideas al grupo. 2. Es responsable. 3. Coopera con el trabajo de su grupo. 4. Es prolijo en el trabajo. 5. Mantiene buenas relaciones en el grupo.

Note que el ítem de alternativas propuesto en el libro tiene una evaluación porcentual de logro que los estudiantes deben calcular. Esta se puede traducir a nota según las siguientes tablas (al 50% o al 60%).

47 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 47

2/11/11 16:53:52

Escala al 50 % %

nota

%

nota

%

nota

%

nota

%

nota

0

1,0

21

2,3

42

3,5

63

4,8

84

6,0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1,1

1,1

1,2

1,2

1,3

1,4

1,4

1,5

1,5

1,6

1,7

1,7

1,8

1,8

1,9

2,0

2,0

2,1

2,1

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

2,4

2,5

2,6

2,6

2,7

2,7

2,8

2,9

2,9

3,0

3,0

3,1

3,2

3,2

3,3

3,3

3,4

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

3,6

3,6

3,7

3,8

3,8

3,9

3,9

4,0

4,1

4,1

4,2

4,2

4,3

4,4

4,4

4,5

4,5

4,6

4,7

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

4,8

4,9

5,0

5,0

5,1

5,1

5,2

5,3

5,3

5,4

5,4

5,5

5,6

5,6

5,7

5,7

5,8

5,9

5,9

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100  

 

 

6,1

6,2

6,2

6,3

6,3

6,4

6,5

6,5

6,6

6,6

6,7

6,8

6,8

6,9

6,9

7,0  

 

 

2,2

41

3,5

62

4,7

83

6,0

 

 

%

nota

%

nota

%

nota

%

nota

%

nota

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 48

24

25

2,3

2,4

20

Escala al 60 %

48

22

23

20

1,0

1,1

1,1

1,2

1,2

1,3

1,3

1,4

1,4

1,5

1,5

1,6

1,6

1,7

1,7

1,8

1,8

1,9

1,9

2,0

2,0

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

2,1

2,1

2,2

2,2

2,3

2,3

2,4

2,4

2,5

2,5

2,6

2,6

2,7

2,7

2,8

2,8

2,9

2,9

3,0

3,0

3,1

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

3,1

3,2

3,2

3,3

3,3

3,4

3,4

3,5

3,5

3,6

3,6

3,7

3,7

3,8

3,8

3,9

3,9

4,0

4,0

4,1

4,2

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

4,2

4,3

4,4

4,5

4,5

4,6

4,7

4,8

4,8

4,9

5,0

5,1

5,1

5,2

5,3

5,4

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

5,8

5,9

6,0

6,0

6,1

6,2

6,3

6,3

6,4

6,5

6,6

6,6

6,7

6,8

6,9

6,9

5,4

100

7,0

5,7

 

 

5,5

5,6

5,7

 

 

 

 

 

 

2/11/11 16:53:52

Evaluaciones

I. Coloca V (verdadero) o F (falso) en cada una de las siguientes afirmaciones según corresponda. No olvides revisar tus respuestas al final del libro, cuando hayas terminado. 1. ____ Raíz cuadrada de 19 es irracional; por tanto, al calcularla solo se obtiene una aproximación racional de ella. 2. ____ La raíz cúbica de un número negativo representa un número real negativo 3. ____ 256 se puede descomponer como −16 ⋅ −16

4. ____ 4 se puede escribir como 3 64 − 64 .

5. ____ x 2 −

y2 = x − y

6. ____ Racionalizar consiste en transformar una expresión fraccionaria con raíces en el denominador en otra equivalente con raíces solo en el numerador 7. ____ 3 3 11 = 6 33 .

x − 5 = −3

9. ____ –0,75 es un valor del dominio de f (x) = 4 x +3

) (

)

2

2

25 − ( 2)

25 − 2 =

2

II. Usando las propiedades de las potencias, desarrolla los siguientes ejercicios. Recuerda simplificar cada expresión, de ser posible.

25 36 2. Aproximar a dos decimales el valor de 1.

3.

4+

3 110,06

196 3 500 4 − + 0,0256 16 256

( 5. ( 4

4. 4 2 − 3 5

)

2

5 + 22 + 1

)(

22 + 11 − 2 5

6. 4 9 x 5 y 8 : 5 4 x 3 y 2

U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 49

9.

z3 x y4 2

6+2 5 ⋅ 6−2 5

5 5+

5

1 5

3 5 + 11 10. 3 5 − 11

III. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales; no olvides comprobarlas.

2 x +1 =3 7 x x +5 − =5 x +5

1. 2.

3. 3 x + 1 = 2 x + 1 − 2 4. 5.

3

x + 11 + 5 = 1

4 − 2+ x +5 = 0

IV. Resuelve los siguientes problemas de planteo:

8. ____ La solución de la ecuación es x = 14

(

7−4 3 ⋅ 7+4 3

8.

Evaluación 1

10. ___

7. Escribe como producto de potencias

UNID AD 1

De manera complementaria al Texto del Estudiante, a continuación se presentan dos evaluaciones con diferentes ítems para servir de apoyo al docente.

)

1. La empresa donde trabaja Heriberto lo ha enviado a un instituto a estudiar la carrera de Técnico Superior en Electricidad. La condición para que la empresa pague sus estudios es que apruebe todas las asignaturas del primer semestre. Desafortunadamente, la de Matemática básica le ha sido difícil. No recuerda mucho lo estudiado en enseñanza media. El profesor fijó la próxima prueba y el tema es raíces. Al desarrollar la guía preparatoria quedó detenido en los ejercicios de división de raíces. ¿Cuál será el resultado de   50   : 3 6 ?  72 + 512 − 722  2. Beatriz, Sandro y Paloma están asistiendo a un Taller de Astronomía, en representación de su liceo. Allí aprendieron que una Unidad Astronómica (U.A.) corresponde a la distancia de la tierra al sol. Estudiaron además las leyes de Kepler, la tercera de ellas dice que:“Si R

49 2/11/11 16:53:54



representa la distancia de un planeta al sol, y si se llama t al tiempo que tarda en dar una vuelta completa alrededor de él, entonces, dividiendo el cubo de R por el cuadrado de t, siempre se obtiene un mismo número llamado K”. R3 Esto se expresa 2 = K t

Los participantes en el taller trabajaron en grupos desarrollando ejercicios en los que se aplicaban las leyes de Kepler. El último problema decía: “Teniendo en cuenta que la distancia Venus-Sol es de 0,723 U.A., ¿a cuántos años terrestres equivale un año de Venus?”

3. La fábrica de tapas “Herméticas” recibe un pedido de presupuesto para 5 000 tapas de dos tipos: Añil y Beage, a nombre del Sr. A. Buscapleitos. Se solicita que la razón entre el área basal (s) de una tapa Añil con respecto al área basal (S) de una tapa Beage sea de 8 es a 50. El encargado de los presupuestos de fabricación, el señor P. Sinengaños, debe determinar la razón entre los radios de las tapas para poder calcular su presupuesto. ¿Cuál es esta razón? 4. Manuel es deportista de alto rendimiento y se está preparando para una competencia. Cada día debe entrenar un número de horas determinado por la siguiente función: d h ( d ) = 1, 5 + 2, donde h son las horas que 2 debe entrenar y d es el día de entrenamiento

(1 es el 1er día, 2 el 2º día, etc.). ¿En qué día entrenará 6 horas diarias?

V. Marca la alternativa correcta. 1. El valor de 4 4 ⋅ 36 es: a. 6

b. 12

c. 36

d. 2 3

e.

4

12

2. Al efectuar la división a b : b a , se obtiene: ab e. c. b a. ab b ab d. b. a a 3. Al reducir la expresión 3 + 12 − 27 − 243

3 a. un número entero

, se obtiene:

b. un número racional positivo c. un número que no es real d. un número irracional e. No se puede determinar 1

−1

4. Si a = 92 y b = 27 2 , entonces el valor de b : a es:

3 27 3 b. 9

a.

c. 3 3

d. 9 3

e. 3

b. 2 5

1 1 80 + 180 ? 2 18 7 c. e. 5 5 3 d. 4 5

b. 18

d. 34

b. 4 13 cm

d. 4 cm

I. q2

II. q q

5. ¿Cuál es el valor de a.

5

6. El resultado de la ecuación 3 2 + x + 2 = 2 es: c. 24 e. 38 a. 14 7. La diagonal de un rectángulo de ancho a y largo l está dada por la ecuación d = a2 + l 2 . Si la diagonal de un rectángulo de largo 12 cm mide 14 cm, entonces el ancho del rectángulo mide: c. 2 13 cm e. 2 cm a. 52 cm 8. Si q es un número irracional, entonces ¿cuál(es) de los siguientes números no necesariamente es (son) racional(es)? III. q + q

a. Solo I

c. Solo II y III e. I, II y III

b. Solo II

d. Solo I y II

50 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 50

2/11/11 16:53:56

7 5 2 7 5 b. − 2

a.

7+3 5 2 −7 + 5 d. 2 c. −

e.

−7 − 5 2

10. Con respecto a la imagen de 2 bajo la función y = 4 x 2 , siempre se puede afirmar que es igual a: I. la imagen de –2 bajo la misma función

II. la imagen de 2 bajo la función y = 4x

III. la imagen de –2 bajo la función y = 4x a. Solo I d. I, II y III b. Solo I y II

c. Solo II y III

e. Ninguna de las anteriores

10. El dominio de la función f ( x ) = x + 23 contiene a todos los reales mayores o iguales a.......... II. Usando las propiedades de las potencias, desarrolla los siguientes ejercicios. Recuerda simplificar cada expresión, de ser posible.

I. Complete cada oración según corresponda. 1. No se pueden calcular raíces cuadradas de números.......... 2. Al extraer la raíz cúbica de la raíz cuadrada de 729 se obtiene..........

3. Si el área de un cuadrado es 32 a2, entonces su lado vale..........

4. El valor obtenido al multiplicar cuatro veces por sí misma 4 2,4 es.......... 5. ..........es la expresión como potencia de 3

(−2)

5

5 6. Al multiplicar 2 por 4 y expresar la respuesta en una única raíz, se obtiene..........

7. Si x ⋅ 3 3 = 3 24 , entonces el valor de x es igual a .......... 29 8. Al racionalizar 29 , la expresión equivalente que se obtiene es igual a.......... 9. El valor de x que satisface la ecuación x + 6 = 4, es..........

4+

4

17 16

1   3.  2 −  2  4.

2

2 ⋅ 24,5

3 5

5.

Evaluación 2

−512 125

1. 3 2.

UNID AD 1

3+ 5 9. Al racionalizar la siguiente expresión 5 −3 se obtiene:

11 − 4 81

8 ⋅ 5 0, 125 + 8 ⋅ 18

(

4 2 5 2 − 3 0, 5

)

6. 2 49 x 5 y 6 : 7 4 x 3 y 4

7. Escribe como producto de potencias. 3

10 − 4 5

8.

6+2 5

⋅

2 3 −4

9. 10.

75

a2b5 z3

10 + 4 5 6−2 5

7 +2 5 7− 5

III. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales; no olvides comprobarlas. 1. 2.

3. 4. 5.

33 x + 4 = 6

x 2 + 13 + 3 = x

1 x +7 2 2 = 3 6

x +6 ⋅ x +1 x +3

13 3 x +5 =1 2

= x +3

51 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 51

2/11/11 16:53:59

IV. Resuelve los siguientes problemas de planteo: 1. Juan Carlos, amante del surf, decide construir un estante para guardar sus tablas: la más larga mide 2,5 metros. Las medidas con las que lo construyó fueron: 1,5 x 1 x 1 metro. ¡Pobre Juan Carlos, esto no va a funcionar! ¿Puedes decir por qué? Escribe algunas de las medidas con las que podría construir su estante. 2. Cuando Fernando decidió estudiar ingeniería hizo un plan para preparar la PSU. Investigando sobre raíces, encontró en un libro una propiedad que decía que: n⋅ p n m p q a ⋅ b = amp bnq . Él lo demostró usando la definición de las raíces como potencias de exponente racional. ¿Lo puedes hacer tú? ¡Seguro que sí! 3. El curso de María Paz fue de visita a una fábrica de arte en vidrio. Allá encontraron a Don Severino, quien estaba haciendo muchas figuras. Entre las lindas figuras había una esfera muy grande llena de agua. Don Severino le explicó a María Paz que en ella cabían 45 litros. ¿Qué diámetro tenía la π = 3, 14 . esfera? considere p

4. Rigoberto y su curso asistieron a un museo tecnológico. En la sala de la relatividad vieron muchas fórmulas que aparecían y desaparecían, continuamente, en una pantalla. Todos reconocieron, de inmediato, una muy famosa: E = mc2, y al lado, una foto animada de Albert Einstein. El guía detuvo la pantalla y señaló una fórmula que era un poco complicada de escribir: m0 m= 2 v 1−  c Esta fórmula serviría para calcular la masa de un objeto en relación a la velocidad que lleve. Por ejemplo, les contó: “si una persona de 90 kg viajara a una velocidad muy cercana a la velocidad de la luz, ¡imagínense, a 270000 km por segundo!, su masa sería aproximadamente de 206 kg. Es decir, aumentaría”. “¿Pero cómo lo sabe?, se preguntaron unos a otros”. Él les explicó que m0 es la masa de la persona, v es la velocidad

en que viaja, c = 300 000 km s es la velocidad de la luz y m la masa que adquiría la persona. Para corrobar lo que el guía les dijo, haz los cálculos respectivos. V. Marca la alternativa correcta. 1. ¿Cuál(es) de las siguientes propiedades se cumple(n) siempre para las raíces? I.

a ⋅ b = ab

II.

a + b = a+b

III. n ⋅ a = na

a. Solo I

c. Solo I y III

b. Solo I y II

d. Solo II y III

e. I, II y III

2. Si x = 4, entonces el valor de 16 ⋅ x es: a. 8

b. 16

3. Al racionalizar a. 3 3 5

b. 5 3 5

c. 32 d. 64

3

5

25

, se obtiene:

3

5 5 33 5 d. 5 c.

e. 128

e.

53 5 5

4. Si la diagonal de un cubo mide 4 3 cm, ¿cuánto mide, en cm2, el área total del cubo? a. 24

b. 64

c. 72 d. 96

e. 288

5. Al calcular el producto de 5 ⋅ 13 − 8 por 5 ⋅ 13 + 8 el resultado es: a. 0

b. 1

c. 8

d. 10

e. 24

6. La ecuación 2 x − 2 + 1 = 0 tiene por solución:

3 2 b. 1 a.

c. – 1 d. −

3 2

e. No tiene solución

7. La preimagen de 9 bajo la función y = x + 7 es: a. 88 b. 74

c. 11 d. 4

e. 2

52 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 52

2/11/11 16:54:02

a.

2

b. 5

5

5

es igual a:

c.

4

2

4 d. 5

e.

4

10

2

1   9. El resultado de  7 +  es: 7  a. un número natural b. un número entero c. un número racional d. un número irracional e. un número que no es real

b. 2 6

c. 2 37 d. 74

Puntaje obtenido

Indicador

10. Con la medida de la diagonal de un rectángulo de lados 5 y 7 cm se construye un cuadrado cuyo lado mide lo mismo que dicha diagonal. ¿Cuál es la medida de la diagonal del cuadrado? a. 2 3

Pauta de evaluación sugerida para evaluación 1 y 2: Esta pauta puede aplicarse para obtener el porcentaje de logro, transformarlo a calificación y también para evaluar cada ítem pedido. Puede parcelar la evaluación como trabajo individual en varias clases y luego promediar la calificación o los porcentajes de logros obtenidos. Complete la tabla adjunta:

e.

4

74

Puntaje total

Número de respuestas correctas del ítem I (verdadero y falso). Asigne 1 punto por cada respuesta correcta.

10

Número de ejercicios desarrollados correctamente en el ítem II (uso de propiedades). Asigne 2 puntos a cada ejercicio.

20

Número de ecuaciones irracionales resueltas correctamente del ítem III. Asigne 2 puntos a cada ejercicio.

10

Número de problemas de planteo resueltos correctamente del ítem IV. Asigne 2 puntos a cada ejercicio. Número de alternativas contestadas correctamente del ítem V. Asigne 1 punto a cada respuesta correcta. Total

UNID AD 1

8. El valor de

8 10

58

Para traducir a porcentaje de logro el puntaje obtenido, use la siguiente fórmula:

Porcentaje =

Puntaje obtenido ⋅ 100 58

Para traducir a nota el porcentaje obtenido puede usar las tablas anteriores.

53 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 53

2/11/11 16:54:02

Solucionario de la Unidad Actividades de refuerzo

Ficha de refuerzo

I. 1. V

3. V

5. F

7. V

9. F

2. F

4. V

6. F

8. V

10. F

II. 1. 32 2. 1 1

3

7. xy 2 z

1 6

−

1 2

3 −4 9. 3 2 7 + 10 10. 18

4. 3

5. 2,25

6. 6 x 2b

193 8 2. 2,5 3. 8

III. 1.

b. 3

c. 10

2 7 7 4. a. 512

b. 3 + 2

c. 2 3 169

2. a. 25 3. a.

8. 0,7. Sí

3. 8,36

1. a. 10

5. a. 0 6. a.

5 3 4

b. 2 b. 8

b. x = 2

c. 3

c. 50

c. – 8

b. 1 segundo.

d. 7

Actividades de profundización

4. 2 5. 9

I. 1. x – y

IV. 1. 6,5 metros 2. 514 estudiantes aprox. 3. No, ya que el diámetro de la cama tendría que ser 1,60 m. 4. 22 pasos

V. 1. b

3. c

5. d

7. c

9. e

2. b

4. d

6. c

8. a

10. e

2. 34

3. 4 5 a x b x 4. 3 x a 5. 8

6. – 4 7.

n

m7 x −1

x −2 x +3 1 9. − 2 3 − 3 2 + 30 2 8.

(

)

10. 0

11. 21, sí. 12. 12 x 11

54 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 54

2/11/11 16:54:03

Evaluación 2

I. 1. V

3. F

5. V

7. F

9. V

2. V

4. F

6. V

8. F

10. F

I. 1. Negativos

6. 5

2. 3

7. 2

3. 4 2 a

1 6 2. 4,79

II. 1. 2

4. 2,4

5. ( −2)

3. 2,65

9. 10

5 3

10. –23

II. 1. –1,6

4. 77 − 24 10

2

5 2 6−4 3 9. 15 17 + 3 35 10. 2 8.

3. 0,5

3

4. 3,5

7. x −1 y −2 z 2

13 28 6. xy

8. 0,25 26 9. 5 10. 28 + 3 55 17 III. 1. 31

5.

III. 1. 1 724

4. –75

2. – 4

3. No tiene solución

4. 3 5. 1

2. no tiene solución

5. 191

5

7. a 3 b 3 z −1

2. 1,5

5. 2 110 + 12 22 + 42 5 − 7 6. 1,2 xy3

8. 29

UNID AD 1

Evaluación 1

3. –2

IV. 1. Porque la diagonal de este paralelepípedo mide aprox. 2,06 metros

5 6 IV. 1. 54 2. aprox. 0,61 años terrestres

p

2. Por demostrar que n am ⋅ bq = q

m

mp

n⋅ p

amp bnq

nq

1

⇒ n am ⋅ p bq = a n ⋅ b p = a np ⋅ b np = (amp bnq )np = np amp bnq

3. 0, 40

4. al 15° día

V. 1. d

3. a

5. c

7. c

9. c

2. e

4. a

6. d

8. e

10. d

(a

mp nq

b

)

1 np

np

= amp bnq

3. El diámetro mide aprox. 44,14 cm 4. m =

90

 270 000  1−   300 000 

mª206 kg

2

V. 1. a

3. e

5. b

7. b

9. c

2. d

4. d

6. e

8. d

10. c

55 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 55

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Bibliografía y detalle de links de la Unidad Referencia histórica Algunos links de apoyo son:

http://www.sectormatematica.cl/historia/ historiaencomic.swf Explica, a través de un cómic a color, la historia de las matemáticas. Incluye algunas animaciones con y sin sonido. Permite de una manera grata, descubrir y contextualizar la matemática, e invita al final a que el estudiante se una al desarrollo del mundo de las matemáticas.

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/ Historiamatindex.asp Es un centro virtual para la divulgación de las matemáticas. Es un sitio español con colaboradores universitarios. A través de varios links de historia de las matemáticas, publicaciones, links de recursos en internet, etc. Con colaboraciones universitarias, presenta algunos documentos en formato pdf descargables e imprimibles. Otros solo versión imprimible.

Función raíz cuadrada

• Graphmatica, también gratuitamente desde:

http://graphmatica.programas-gratis.net/ Sitios de descargas. Además de Graphmatica, ofrece programas similares, algunos gratuitos y otros de evaluación. Algunos de computación. Al final de la página aparece link hacia aviso legal y condiciones de uso contenidas en el mismo sitio.

Instrumentos de evaluación Se sugiere al docente visitar el siguiente enlace para optimizar este recurso evaluativo:

http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/ VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573 Es un portal de la educación, donde usted puede conseguir varias indicaciones prácticas destinadas a la coevaluación y autoevaluación citando la fuente de procedencia. El material está además en pdf descargable e imprimible. Tiene además links de interés para docentes, estudiantes y familia, no solo en matemáticas, sino también para las otras asignaturas o áreas del quehacer educativo.

Para graficar, se sugieren los siguientes softwares: • Graph, que se puede bajar gratuitamente desde:

http://gratis.portalprogramas.com/graph.html Sitio de descargas. Además de Graph, ofrece programas similares, algunos gratuitos, de evaluación y otros de computación. Al final de la página aparece link hacia información legal contenida en el mismo sitio.

56 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 56

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• Elbridge, V. (1965). Álgebra y Trigonometría Modernas. Massachusetts-Palo Alto -London: Addison Wesley PubIishing Company, Inc. 2ª ed.

• Swokowsky, E. y Cole, J. (2008). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. México DF.: Thomson Editores. 11ª ed.

• Masjuán, G.; Arenas, F. y Villanueva, F. (2008). Álgebra clásica. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 1ª ed.

• Tapia, O.; Ormazábal, M.; Olivares, J. y López, D. (2009). Manual de preparación para PSU matemática. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 9ª ed.

• Sobel, M.y Lerner, N. (2006). Precálculo. México D.F.: Pearson Educación Prentice Hall. 6ª ed. • Spiegel, M. (2007). Álgebra superior (Serie Schaum). México D.F.: Editorial Mac Graw Hill. 3ª ed.

• Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). Cuaderno de ejercicios PSU matemática. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 5ª ed.

UNID AD 1

Bibliografía temática

Sitios web sugeridos Propuesta de actualización de conocimientos para el docente:

http://www.elprisma.com/apuntes/apuntes. asp?categoria=704

http://www.sectormatematica.cl/articulos.htm

En el buscador que presenta la página usted puede buscar la materia que desee actualizar. El sitio web es un portal para investigadores y profesionales. Es una biblioteca virtual de varias áreas del saber: Ingeniería, Medicina, Matemática, etc. Contiene apuntes y cursos para la comunidad universitaria. Sin embargo, se pueden encontrar suficientes apuntes en formato Word y pdf, la mayoría descargables y reproducibles, como los que están en este link.

Contiene links a diversos artículos para conocer el pensamiento y trabajo de matemáticos, y educadoras y educadores del mundo. Los artículos están en formato Word , pdf, descargables y reproducibles. También hay otros links internos y externos, como poesía, revistas, etc.

57 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 57

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Unidad 2

Ecuaciones cuadráticas y función cuadrática

Presentación de la Unidad El estudio de las ecuaciones ha sido una parte fundamental en el desarrollo de la matemática y de todas las disciplinas que dependan de ella. El encontrar una fórmula general que resolviera ecuaciones de grado superior a uno se convirtió en un objetivo clave para muchos matemáticos en la historia. Entre todas las ecuaciones, las cuadráticas juegan un papel importantísimo en la resolución de muchos problemas de la vida diaria y, unida a ellas, la función cuadrática nos ayuda a modelar situaciones cotidianas en variados campos. A través de esta unidad los estudiantes aprenderán la importancia de estos temas y su utilidad. En esta guía didáctica, al igual que para la unidad anterior, se continuará con el apoyo al docente en su trabajo. La unidad se inicia con una referencia, breve pero significativa, de la historia de la matemática (Pág. 77 del libro Texto del Estudiante) con respecto a las razones de la aparición de la ecuación de segundo grado, la manera en que se fue abordando su resolución a través del desarrollo del tiempo, su uso, y cómo se relacionan estos conceptos con el de función. De esta manera, se ayuda a los estudiantes a entender que los descubrimientos matemáticos se suceden en la historia humana concatenadamente con ella.

Algunos links de apoyo son: http://personal.globered.com/monis-en-asesoria-y correccion/categoria.asp?idcat=21 http://www.google.cl/archivesearch?q=historia+de+la+matematica&scoring=t&lr=lang_ es&hl=es&um=1&sa=N&sugg=d&as_ldate=0AD&as_hdate=199AD&lnav=hist2

La sección de conocimientos previos (Páginas 78 del Texto del Estudiante) está dirigida a la revisión del concepto de factorización y algunos casos de factorización (factor común, trinomio cuadrado perfecto y trinomio de la formaax 2 + bx + c ), que son aquellos que usaremos en el desarrollo de esta unidad. No obstante, si usted lo considera necesario, se podrían revisar los otros casos de factorización. Se recomienda hacer algunos ejemplos adicionales de cada caso. Los ejercicios propuestos son sencillos y directos (estos son el tipo de factorización al que el alumno se verá enfrentado), por lo que no revisten mayor dificultad. Algunos links desde donde se pueden extraer ejercicios de este tema son: http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/gemafacto.htm http://es.scribd.com/doc/3055044/Ejercicios-de-factorizacion Al final de esta sección se plantea una autoevaluación para los estudiantes. Dé tiempo para que la realicen a conciencia y responsablemente. Si hay contenidos que sus estudiantes aún no manejan, es bueno dar una clase más a ejercitación.

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Se trabajan en esta sección habilidades como reconocer, calcular, aplicar, relacionar.

Un esquema que resume los contenidos por tratar en esta unidad es el siguiente: ECUACIONES CUADRÁTICAS Y FUNCIÓN CUADRÁTICA

Concepto de ecuación cuadrática

Concepto de función cuadrática

Tipos de ecuaciones cuadráticas y métodos de resolución

Análisis de la función cuadrática

UNID AD 2

Es importante que se realice la evaluación en cada una de las secciones en las que están propuestas, ya que con ellas, el alumno podrá evaluar su avance y establecer remediales en conjunto con su profesor, para aquellos contenidos no logrados.

Problemas de aplicación a la vida diaria

Objetivos y planificación Antes de comenzar el desarrollo de los temas se deben tener claros los objetivos y la planificación de la unidad. Presentamos aquí los objetivos que deben alcanzar los estudiantes a través de la unidad y una propuesta de planificación de ella.

Objetivos Fundamentales de la Unidad • Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de ecuaciones cuadráticas y función cuadrática. • Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de problemas y el análisis de situaciones concretas. • Modelar situaciones o fenómenos a través de funciones cuadráticas. • Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando las propias capacidades. • Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos. • Razonar lógica y deductivamente para ir en búsqueda de nuevos métodos de solución a los problemas que se plantean.

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Planificación de la Unidad Unidad 2

“Ecuaciones cuadráticas y función cuadrática” CMO

Tiempo de duración

Aprendizajes esperados

30 horas pedagógicas.

Indicadores de evaluación

Concepto de ecuación cuadrática.

Distinguir ecuaciones cuadráticas.

Reconoce una ecuación cuadrática y la diferencia con una ecuación lineal.

Ecuaciones cuadráticas incompletas.

Reconocer ecuaciones cuadráticas incompletas.

Reconoce una ecuación cuadrática incompleta.

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas, decidiendo el método adecuado.

Resuelve ecuaciones cuadráticas incompletas usando el método adecuado.

Reconocer ecuaciones cuadráticas completas factorizables.

Reconoce ecuaciones cuadráticas que puedan factorizarse y las resuelve usando este método.

Ecuaciones cuadráticas completas factorizables.

Resolver ecuaciones cuadráticas factorizables. Resolución de ecuaciones cuadráticas por completación de cuadrados.

Utilizar el método de completación de cuadrados para resolver ecuaciones cuadráticas.

Resuelve ecuaciones cuadráticas mediante el método de completación de cuadrados.

Ecuaciones cuadráticas completas y fórmula general.

Conocer la fórmula general para la resolución de ecuaciones cuadráticas.

Reconoce la fórmula de resolución de ecuaciones cuadráticas como fórmula general para resolver cualquier tipo de ecuaciones cuadráticas.

Resolver ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula general.

Resuelve ecuaciones cuadráticas usando la fórmula general. Aplicación de ecuaciones cuadráticas a problemas.

Plantear y resolver problemas que involucran ecuaciones de segundo grado. Explicitar sus procedimientos de solución.

Resuelve problemas de planteo que involucren ecuaciones cuadráticas. Analiza la pertinencia de las soluciones obtenidas.

Analizar la existencia y pertinencia de las soluciones obtenidas. Concepto de función cuadrática.

Reconocer una función cuadrática.

Análisis de la función cuadrática según Analizar la función cuadrática en el sus principales características. marco de la modelación de algunos fenómenos sencillos, estableciendo concavidad, puntos de corte con los ejes coordenados, vértice, eje de simetría.

Reconoce una función cuadrática según su forma algebraica. Analiza la función cuadrática determinando sus principales características: concavidad, vértice, puntos de corte con los ejes coordenados, eje de simetría y gráfico.

Intersección de la parábola con el eje x. Determinar los puntos de corte de una Determina los puntos de corte con el parábola con el eje x estableciendo eje x. condiciones para ellos. Establece las condiciones necesarias para que una parábola corte al eje x en uno, dos o ningún punto.

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Aprendizajes esperados

Indicadores de evaluación

Gráfico de la función cuadrática y análisis de funciones del tipo: y = ax 2 ; y = x 2 ± a , a > 0; 2 y = ( x ± a ) a > 0;; y = ax 2 + bx + c .

Conocer la parábola como un lugar geométrico, reconocer su gráfica e identificar aquellas que corresponden a una función cuadrática. Analizar las funciones del tipo: y = ax 2 ; y = x 2 ± a , a > 0; 2 y = ( x ± a ) a > 0;; y = ax 2 + bx + c .

Asocia la parábola con el gráfico de una función cuadrática. Analiza los gráficos de las funciones de la forma: y = ax 2 ; y = x 2 ± a , a > 0; 2 y = ( x ± a ) a > 0;; y = ax 2 + bx + c .

Aplicación de función cuadrática a problemas.

Aplicar la función cuadrática en diversos ámbitos de la tecnología y situaciones que se puedan modelar a través de ella.

Resuelve problemas cotidianos que se modelan a través de funciones cuadráticas.

Uso de herramientas tecnológicas apropiadas para los contenidos de la unidad.

Utilizar algún programa computacional (graficador) para graficar y analizar las funciones cuadráticas.

Utiliza el programa Graphmatica u otros similares para graficar y analizar funciones cuadráticas y también como ayuda para resolver problemas que involucren funciones cuadráticas.

UNID AD 2

CMO

61 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 61

2/11/11 16:56:45

Desarrollo de la Unidad a) Introduciendo la Unidad A manera de introducción a la unidad, siempre conviene contextualizar los problemas que pueden ser resueltos con los contenidos que aprenderán los estudiantes. Una forma de crear la necesidad de los contenidos es planteando varios problemas desde distintos ámbitos. Se deben tomar algunos momentos de la clase en la que se comenzará la unidad para esto. Note que en algunos, la solución se puede obtener con los conocimientos que los estudiantes ya poseen y estos ejercicios se podrán resolver inmediatamente. En otros casos es conveniente plantearlos para crear la necesidad de abordar los contenidos de la unidad y retomarlos en el transcurso de ella. Algunos posibles ejemplos son: • Un agricultor tiene un terreno de límites irregulares. Él necesita cercar parte de su sitio para sembradío, de modo que este terreno sea cuadrado y que su área sea igual a 552,25 metros cuadrados. ¿Cómo podría saber el agricultor cuánto debe medir el lado del cuadrado? Si hacemos un bosquejo de la situación y escribimos los datos dados, tendremos que:

552,25 m2 x

x

El planteamiento conduce a x 2 = 552,25. ¿Qué tipo de ecuación es ésta? En la Unidad 1, dimos respuesta a la resolución de esta ecuación: 23,5 m.

• “Cuando era niño mi papá me aseguró que había más de un número que cumplía con la siguiente condición: “el quíntuplo de su cuadrado disminuido en su séxtuplo es cero”. Al plantear dicha ecuación, me encontré con lo siguiente: 5x 2 − 6 x = 0. En este caso ya no es posible extraer raíz cuadrada para resolverla como en el primer ejemplo. Entonces caben preguntas como: con lo que sabemos, ¿será posible resolverla?, ¿habrá algún método para hacerlo?, ¿tendrá siempre solución?, y si así ocurriere ¿será siempre única dicha solución?”, etc.

b) Preparando cada tema Al igual que la unidad anterior de esta guía didáctica, se entregan algunas sugerencias metodológicas para tratar cada uno de los conceptos y ejercicios abordados en el Libro del Estudiante. También se resaltan algunas consideraciones y sutilezas conceptuales para que el docente las tenga presente. Al iniciar la preparación de cada tema se muestra un cuadro con los OFT tratados y las capacidades trabajadas según los Mapas de Progreso.

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2/11/11 16:56:46

Ecuaciones cuadráticas: ¿qué son, cómo se resuelven y para qué sirven? OFT

Se trabajan los siguientes:

• Interés por conocer y explicar la realidad a través de la matemática.

• Resolución de problemas desarrollando el pensamiento lógico.

• Discernimiento de resultados en situaciones cotidianas para ver la pertinencia de ellos.

• Uso de herramientas tecnológicas (calculadora).

• Trabajo grupal.

Mapas de Progreso

Las capacidades trabajadas referentes al eje álgebra son(en niveles 6 y 7):

• Resuelve ecuaciones de segundo grado identificando el conjunto al cual pertenecen sus soluciones.

• Elabora estrategias de resolución, las desarrolla y justifica usando lenguaje algebraico.

UNID AD 2

(Página 80 del Texto del Estudiante)

• Interpreta y usa convenciones del álgebra para representar generalizaciones.

• Muestra autonomía y flexibilidad en la transformación de expresiones simbólicas escribiendo, reconociendo y eligiendo formas equivalentes de distintas representaciones algebraicas.

En esta sección se formalizará el concepto de ecuación cuadrática, haciendo énfasis en que una ecuación cuadrática o reductible a una ecuación cuadrática será toda aquella de la forma ax 2 + bx + c = 0, con, a ≠ 0 y a, b, c números reales. Después, el desarrollo plantea desde el análisis del tipo más sencillo de la ecuación cuadrática hasta el más complejo, utilizando como criterio para esta separación las herramientas que los estudiantes poseen para resolver una ecuación cuadrática. Lo que se pretende es solo utilizar la fórmula general cuando sea estrictamente necesario y que, a su vez, los estudiantes desarrollen la capacidad de análisis y apliquen todo lo aprendido anteriormente para dar respuesta a este tipo de ecuaciones. En la página 80, el problema de presentación de la ecuación de segundo grado está referido a una situación de los costos que tendrá una fiesta de graduación. La formulación matemática respectiva conduce a la necesidad de resolver el sistema:

x ⋅ y = 1197 000

( x + 12) ⋅ ( y − 1 000) = 1197 000

donde x representa la cantidad de personas que van e y el costo de la cena por persona. El desarrollo matemático concluye en la necesidad de la resolución de:

−1 000x 2 + 14 364 000 − 12000x = 0,

para luego obtener el valor de y.

¿Qué hubiera pasado si el desarrollo presentado en lugar de haber sustituido y se hubiera hecho con x? ¿Se habría obtenido una ecuación similar, en su estructura, a la anterior pero en la variable y? Si xy = 1197 000 ⇒ x =

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1197 000 . Reemplazando en: y

63 2/11/11 16:56:47

( x + 12) ⋅ ( y − 1 000) = 1197 000

 1197 000  + 12  ⋅ ( y − 1 000) = 1197 000  y   1197 1197 000 000 000 000 1197 1197 000 000 − − + 12 + 12 y −y12000 − 12000 = 1197 = 1197 000 000 / −/1197 −1197 000 000 y y 1197 000 000 − + 12 y − 12000 = 0 /⋅y y −1197 000 000 + 12 y 2 − 12000 y = 0

De esta manera, también obtenemos una ecuación de segundo grado, y que es: −1197 000 000 + 12 y 2 − 12000 y = 0, con el requerimiento de aprender a resolverla.

Definiremos ecuación cuadrática como aquella ecuación en la que al menos una de las incógnitas involucradas está elevada al cuadrado, siendo la mayor potencia de ella. 2 Así, una ecuación cuadrática será toda ecuación de la forma ax + bx + c = 0, con a ≠ 0 y a, b, c números reales.

Es necesario mencionar algunos comentarios respecto de la definición. 1. Una ecuación cuadrática en la variable x puede tener más de una variable. Por ejemplo: 5x 2 y − 2xz 3 = 4; − x 2w 2 − 7 + 2xw 5 = 0.

2. La forma estándar es ax + bx + c = 0, con a ≠ 0 y a, b, c números reales, es decir, la forma homogénea, que nace de aquel trinomio ordenado de manera descendente en la variable x igualado a 0. No es siempre necesaria esta igualación a cero para distinguir cuándo una ecuación pueda ser considerada o no una ecuación de segundo grado. 2

3. En la forma estándar, téngase presente la relación de que el exponente de la variable en el primer término es el doble del exponente de la variable en el segundo término. Esta estructura permite considerar ecuaciones con otros grados o exponentes, pero que guardan una relación con lo dicho. Veamos los siguientes ejemplos:

2 y 4 + 3 y 2 + 1 = 0, la cual es de cuarto grado en la variable y. Al sustituir y2 por x, se transforma en 2x 2 + 3x + 1 = 0, que es una ecuación de segundo grado en la variable x.

−6z 6 + 0, 5z 3 + 21 = 0, que es de sexto grado en la variable z. Cambiando z3 por u, se convierte en −6u2 + 0, 5u + 21 = 0, ecuación de segundo grado la variable u. 1 −w + 9 w − 2 = 0, cuyos exponentes son 1 y , puede adoptar una 2 estructura de una ecuación de segundo grado reemplazando w , por x. El hecho de que una ecuación que no sea de segundo grado pueda adoptar una estructura de una ecuación de segundo grado, puede favorecer su resolución.

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Ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax 2 + c = 0, con aπ0, a y c en los reales. Ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 + bx = 0, con aπ0, a y b en los reales. Ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 + bx + c = 0, con aπ0, a, b y c en los reales, donde el trinomio es factorizable directamente o de fácil factorización.

UNID AD 2

Ahora bien, el análisis de los distintos tipos de ecuaciones cuadráticas y su manera de resolverlas se inicia con los casos más sencillos, donde se pueden resolver con las herramientas que se tienen hasta el momento, para llegar a los de mayor complejidad, donde es necesario deducir una fórmula para ellas. El esquema es el siguiente:

Ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 + bx + c = 0, con aπ0, a, b y c en los reales, donde el trinomio no es fácilmente factorizable: • Método de completación de cuadrados. • Fórmula general.

Ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma , con y , en los reales En cierta medida, este tipo de ecuaciones ya fueron abordadas en la unidad anterior al resolver ecuaciones x 2 = k , con k real mayor o igual a cero, donde las soluciones son x = k ; x = − k Aquí, téngase presente: - Debido a que b = 0 en la ecuación general, una propuesta directa de resolución es despejar la incógnita y extraer raíz, obteniendo así dos soluciones posibles a lo más. c - La naturaleza de las soluciones depende del signo de − . a Si es positivo, las dos soluciones (inversa aditiva una de la otra) son reales. Si es negativo, las dos soluciones no son reales, sino imaginarias Explicítelo a sus estudiantes. Destaque además que cuando una ecuación “no tenga solución” debe indicarse que es “con respecto a R”. Esto da pie a pensar que puede haber otro tipo de números que sí cumplen con ser solución. - El número de soluciones depende del valor c (explicítelo a sus estudiantes): si c = 0, hay solo una solución: x = 0.

si c ≠ 0, hay dos soluciones.

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Una forma alternativa de resolver este tipo de ecuación en algunos casos es mediante lo siguiente: Ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax 2 + c = 0, con a ≠ 0.

Justificación Teórica para el docente (note que para presentarlo a sus estudiantes, debe considerar los casos en que a > 0 y c < 0).

ax 2 + c = 0

ax − ( −c ) = 0 2

ax 2 + c = 0

a2 x 2 + ac = 0

( a ) x − ( −c ) = 0 ( ax ) − ( −c ) = 0 ( ax + −c ) ( ax − −c ) = 0 2

2

2

2

x=− −

( ax ) − ( −ac ) = 0 2

( ax )

2

2

ax + −c = 0 ∨

/ ⋅a

(ax +

−

(

−ac

)

2

)(

=0

)

−ac ax − −ac = 0

ax + −ac = 0 ∨ ax − −ac = 0

ax − −c = 0

ax = − −ac ∨ ax = −ac

c c ∨ x=+ − a a

x=−

−ac −ac ∨ x= a a

x=− −

c c ∨ x=+ − a a

Dos ejemplos sencillos para trabajarlos con los estudiantes.

25x 2 − 4 = 0 ( 5x + 2 ) ( 5x − 2 ) = 0

5x 2 − 1, 8 = 0 5x 2 − 1, 8 = 0

fi5x + 2 = 0 ∨ 5x − 2 = 0

25x 2 − 9 = 0

/ ⋅5

( 5x + 3 ) ( 5x − 3 ) = 0

x = −0, 4 ∨ x = 0, 4

fi5x + 3 = 0 ∨ 5x − 3 = 0

Dos soluciones reales, Una inversa aditiva una de la otra.

x = −0, 6 ∨ x = 0, 6

Dos soluciones reales. Una inversa aditiva de la otra.

En la página 83, el ejercicio Nº 7 es un problema donde el planteamiento de la ecuación por resolver, admite más de una forma. Recordemos el enunciado: Arnoldo está preparando su primer trabajo para el taller de diseño. Le han pedido que haga un collage sobre una madera de área 900 cm2 con cuadraditos de colores de 2 x 2 cm. La madera es un rectángulo, donde el largo y el ancho difieren en 80 cm. ¿Cómo podrá Arnoldo saber cuántos cuadraditos colocará a lo largo y a lo ancho?

Después de un momento de nerviosismo, decidió, ingeniosamente, calcular los lados del rectángulo, entonces, hizo el siguiente bosquejo:

( x + 40)

( x − 40)

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2/11/11 16:57:09

Ahora bien, otra manera de resolver el problema, y que requiere el desarrollo de otro tipo de ecuación, es considerar que el ancho es x y el largo x + 80. x

x + 80

x ( x + 80) = 900 x 2 + 80x = 900 / ⋅900 2 x + 80x − 900 = 0 ( x − 10) ( x + 90) = 0 x − 10 = 0 ∨ x + 90 = 0 x = 10 ∨ x = −90

UNID AD 2

La palabra ingeniosamente encierra la actitud de elegir un valor central x, que es intermedio entre el largo y el ancho, de quienes solo se dice que difieren en 80 cm. Así se elige x, como aquel valor que dista igual cantidad de unidades entre el largo y el ancho. Es decir, 40 cm menos que el largo y 40 cm más que el ancho. Esto conduce ( x + 40) ( x − 40) = 900, estandarizada a x 2 − 2500 = 0.

Sin embargo, en esta sección aún no se han abordado ecuaciones completas y, por lo tanto, no será de fácil solución. Haga notar entonces a sus estudiantes que es conveniente detenerse a pensar cuál es la manera más adecuada de plantear un problema. Esta no es necesariamente la primera que se nos ocurre y, en determinados casos, el plantear correctamente o ingeniosamente un problema hace que su resolución sea sencilla. Con respecto a las soluciones del problema, analice con sus estudiantes el hecho de contextualizarlas. En este caso, x = −50 no es solución porque una medida de longitud no puede ser negativa; por lo tanto, la solución es x = 50. Haga énfasis en que el hecho de que uno de los valores no sea solución no significa necesariamente que el otro tampoco lo sea. Se deben verificar ambos resultados en el contexto del problema. Por último, se debe responder claramente la pregunta del problema, que en la mayoría de los casos no es necesariamente el valor obtenido para la incógnita; en este caso, se debe decir claramente que las medidas son 90 cm y 10 cm, respectivamente. Se proponen ejercicios y problemas, al final de esta sección, que integran tanto contenidos vistos en la sección como otros que se han abordado en unidades de años anteriores.

Ecuaciones cuadráticas de la forma

, con

En esta sección se trabajarán las ecuaciones de este tipo basadas en las siguientes consideraciones: - Debido a que c = 0 en la ecuación general, una propuesta directa de resolución es factorizar por x, obteniéndose así el producto de dos factores lineales distintos igual a cero. - Sabiendo que en los números reales se cumple: ab = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0 con a , b ∈R φ, complemento: R.

con a , b ∈ IR

Cada factor lineal anterior es igual a cero, obteniéndose así dos ecuaciones lineales de fácil resolución.

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- Las soluciones son siempre dos: reales y distintas. Provienen de la resolución de las dos ecuaciones lineales distintas. Una de ellas es siempre 0. Explicítelo a sus estudiantes.

Una forma alternativa de resolver este tipo de ecuación es la siguiente: Ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 + bx = 0, con aπ0

Sabiendo que 0 es un elemento idempotente, es decir, 02 = 0 y mediante una inspección directa tenemos que 0 es una solución de ax2 bx = 0, porque a ⋅ 02 + b ⋅ 0 = 0, entonces x 0. Ahora bien, la otra posible solución no puede ser 0.

De aquí podemos decir que cualquiera que sea el real posible, podemos efectuar lo siguiente:

2 2 + bx = 0/ (ya quex ≠x 0) ≠ 0) axax + bx = 0/ : x: x(ya yaque que axax + b+=b0= 0 bb x =x −= − aa 2

2 b  b2   b  b Comprobando, a  −  + b  −  = 0, esto es, +  −  = 0. Es decir, 0 = 0, más a  a   a  a precisamente 0 ≡ 0 b Entonces las soluciones son 0 y − a

Una particularidad ocurre cuando b es el inverso aditivo de a. De aquí nos valemos que 1 es idempotente, es decir, 12 = 1, y la propuesta es que 1 es solución de este tipo de ecuación ya que: ax 2 + bx = 0

a ( 1 ) + ( −a ) ⋅ 1 = 0 2

a + ( −a ) = 0

0∫ 0

Entonces, las soluciones son 0 y 1 siempre en este caso.

Como inquietud le proponemos que analice con sus estudiantes los casos a = b; b es el inverso multiplicativo de a, etc. Ejemplos

5x 2 − 6 x = 0

x = 0 es una solución la segunda solución es distinta de 0 5x 2 − 6 x = 0 /:x

5x − 6 = 0 5x = 6

−7 x 2 + 7 x = 0

como 7 es el inverso aditivo de 7, por lo anteriormente demostrado x = 0; x = 1

x = 1,2 Finalmente, las soluciones son: x = 0; x = 1,2

Observe que, en algunas de las ecuaciones irracionales planteadas se debe elevar dos veces al cuadrado, resolver cuadrados de binomio y comprobar de manera obligatoria. Haga énfasis en estos pasos y recuérdelos cada vez que desarrolle un ejercicio, por ejemplo:

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2/11/11 16:57:19

/(

x +9 = 4+ 1− x x +9

) = (4 + 2

)

2

1− x

x + 9 = 16 + 8 1 − x + 1 − x

x + 9 = 17 + 8 1 − x − x

2x − 8 = 8 1 − x

( 2x − 8 )

2

(

= 8 1− x

1 − x Aislar una raíz

/

/(

) 2

)

2

)

2

/ Se ha formado un cuadrado de binomio

/ −17 + x

/ Nuevamente cuadrado de binomio y además potencia de una multiplicación 2 4 x − 32x + 64 = 64 (1 − x )

4 x 2 − 32x + 64 = 64 − 64 x 4 x + 32x = 0 2

x ( 4 x + 32) = 0

x = 0 o 4 x + 32 = 0

4 x = −32 x = −8

UNID AD 2

(

x +9 − 1− x = 4

/ −64 + 64 x

/ Factorizando

/ −32

/:4

Comprobando (siempre se deben comprobar las ecuaciones irracionales): 00 + 9= − 4 1−0 = 4 Si x = 0fi 0x+ =9 0−fi1 −

3 − 1π 4 ; por lo tanto, x 0 no es solución.

3 − 1π 4

===+−−−8 fi 888+ Si x = −8fi x−xx8 988fi −fi 1−−−− −++8999=−−−4 111−−−−−−888===444

8 no es solución 1 − 3π 4 111−−−333πππ444 ; por lo tanto. x Entonces, la ecuación no tiene solución. En la actividad de la página 86, en el ejercicio 2, letra i:

(

1 − 0, 4x 1 + 0, 4x = 5 1, 4x + 0, 2

)

Recuerde que debe transformar a fracción los decimales periódicos, entonces, podemos elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación y escribir que,

4  4   4 2    1 − 9 x  1 + 9 x  = 5  1 9 x + 10      

1−

16 2 65 x = x +1 81 9

81 − 16 x 2 = 585x + 81 −16 x 2 − 585x = 0 x (16 x + 585) = 0

− x = 0 ∨ 16 x + 585 = 0 x =0∨ x =

−585 16

Comprobando en

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2/11/11 16:57:28

(

Si x 0, tenemos que: 1 − 0,4 ⋅ 0 1 + 0,4 ⋅ 0 = 5 1,4 ⋅ 0 + 0,2

)

1 1 = 5 ⋅ 0,2 ⇒ 1 = 1

Si x =

−585 4 −585 4 −585  13 −585 2  , entonces, 1 − ⋅ 1+ ⋅ = 5 ⋅ +  16 9 16 9 16 10   9 16

69 −61  13 −585 2  ,pero la raíz cuadrada de una cantidad = 5 ⋅ +  4 4 10   9 16 subradical negativa no existe en R; por lo tanto, esta no es solución. φ, complemento:

El resto de la actividad presenta ecuaciones de este tipo para que los estudiantes puedan reconocerlas y a resolverlas de la manera aprendida.

Analicemos algunos de los problemas planteados en la página 87. El problema (d) es más que un aparente acertijo, es un problema desafiante y vale la pena reordenar las ideas para su desarrollo. Dice así: “A Octavio le gusta coleccionar monedas de $500. Él guarda siempre la misma cantidad de dinero en cada una de las bolsas que tiene destinadas para ello. Un día su mejor amigo le pregunta cuántas bolsas tiene y Octavio le responde: tú crees que tengo el mismo número de bolsas que de monedas en cada bolsa, pero no es así. Partiendo de tu supuesto, te diría que debes disminuir en 50 las bolsas y en 30 las monedas de cada bolsa para obtener $750 000. Ahora dime, ¿cuántas bolsas y cuántas monedas tiene Octavio?” Una forma de reflexionar puede ser la siguiente:

Haciendo preguntas a sus estudiantes, algunas de ellas pueden ser: ¿Cuál es el supuesto del amigo? Que Octavio tiene “el mismo número de bolsas que de monedas en cada bolsa”. Llamémoslo x. ¿Cuál es la condición que, con respecto al número de bolsas y de monedas, hace Octavio tras decirle a su amigo “pero no es así”? Partiendo de tu supuesto (x), te diría que debes disminuir en 50 las bolsas ( x − 50), y en 30 las monedas de cada bolsa ( x − 30) para obtener $750000.

¿Cuál es el planteamiento que sugiere la pregunta anterior? Número de monedas en total · $500 = $750000

( x − 50) ( x − 10) ⋅ $500 = $750 000 . De aquí en adelante, la resolución no debiera presentar dificultades.

Obtenida las respuestas solicitadas, puede hacer preguntas para ver la coherencia numérica. Por ejemplo, ¿en qué lugar del enunciado el número de bolsas obtenidas debe ser mayor a 50? Lo mismo se puede hacer en relación con el número de monedas.

Ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0, donde el trinomio es factorizable directamente o de fácil factorización

La forma de abordar este tipo de ecuaciones responde a las siguientes consideraciones:

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a , ba∈R , cada factor lineal es - Como ya lo demostramos, ab = 0 ⇒ a =φ0,∨complemento: b = 0 concon , bR∈R igual a cero, obteniéndose así dos ecuaciones lineales de fácil resolución. - Las soluciones son reales y distintas si los factores lineales son distintos. De lo contrario, la solución es única. Explicítelo a sus estudiantes.

- Por lo anterior, el número de soluciones es dos, que provienen de la resolución de las dos ecuaciones lineales distintas, o bien solo una. Explicítelo a sus estudiantes. Revisemos en la actividad de la página 90, ejercicio 3, letras g. y h..

(

g. x − 3x

)( x +

UNID AD 2

- Debido a que el trinomio es factorizable directamente o de fácil factorización, una propuesta de resolución es factorizar en dos binomios con término común o como cuadrado de binomio y así transformar la ecuación cuadrática en el producto de dos factores lineales. Cuando señalamos de fácil factorización significa que casi a primera vista el trío ordenado sugiere dicha descomposición.

)

3x = 18.

De antemano, los valores de x deben ser mayores o iguales a 0 para obtener solución real. El desarrollo es x 2 − 3x = 18. De aquí, x 2 − 3x − 18 = 0.

Las ecuaciones lineales homogéneas son: x − 6 = 0 y x + 3 = 0. Entonces solo persiste x 6. Para que tenga sentido en los números reales. 4 h. x + =5 x Una inspección directa dice que 1 es una solución. ¿Habrá otra?, ¿será real y mayor? Como x es el único término que contiene a x, se hacer la sustitución x = y.

4 De esta manera tenemos y + = 5. Un buen desarrollo nos conduce a y y2 − 5 y + 4 = 0

De aquí tenemos que y = 1 ∨ y = 4 . Pero x = y , luego x = 1 ∨ x = 16. Ambos resultados válidos como solución.

Método de completación de cuadrado

Antes de introducir la fórmula general se muestra el método de resolución por completación de cuadrado. Este método no es de fácil comprensión para la mayoría de los estudiantes, ya que exige hacer “aparecer 0” agregando y quitando el mismo término para completar un cuadrado de binomio. Esta cantidad o expresión en juego no es siempre fácil de conseguir, más aún si no se domina la fórmula para el cuadrado de binomio. A pesar de que este método aparece “artificial o rebuscado o exigente de un truco”, es conveniente mostrarlo para ayudar a los estudiantes a comprender que este fue el camino natural y lógico que siguieron los matemáticos antes de encontrar una fórmula general para todas las ecuaciones cuadráticas; en especial, para tratar aquellas que tuvieran trinomios no factorizables. En la página 93, se proponen algunos ejercicios y un par de problemas. Haga énfasis con sus estudiantes en el cuidado de fijarse en las unidades de medidas dadas. Recuérdeles que para resolver ejercicios, las unidades de medidas deben ser las mismas. Por ejemplo: “Josefina debe construir una maceta de base rectangular para su invernadero, de modo que el largo de la base tenga 30 cm más que su ancho y su altura sea de 20 cm. Además, la maceta debe tener la capacidad para contener 360 dm3 de tierra. ¿Cuáles deben ser las medidas de la maceta?”

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71 2/11/11 16:57:36

La ecuación por resolver es x ( x + 30) ⋅ 20 = 360 000 cm3, donde x es la medida del ancho, en cm. Se solicita que desarrolle por el método de completación de cuadrados.

Pero si consideramos la estrategia aplicada en la página 83, Nº 7, de igual manera, para las expresiones de las medidas del largo y ancho, x + 15 y x −15, la ecuación por resolver es: ( x − 15) ( x + 15) ⋅ 20 = 360 000 cm3, la cual se reduce a x 2 − 225 = 18 000.

18.225 Entonces, x = 18 225, de donde x = 18 225 ; x = 135, etc. Haciendo las conversiones de cm a dm, tenemos que las medidas son 12 dm, 15 dm y 0,2 dm. Esta forma constituye una forma alternativa de plantear y resolver este problema. 2

Ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0, donde el trinomio no es fácilmente factorizable (Fórmula general)

Se utiliza en esta sección la completación de cuadrados para llegar a la fórmula general. Note que se sugiere deducir con los estudiantes la fórmula general, de manera que ellos puedan seguir un razonamiento lógico. Luego se muestra cómo se utiliza en distintas ecuaciones. A modo de ilustración previa a la deducción formal de la fórmula, usted puede recurrir a una ilustración del proceso mediante la resolución de una ecuación. Aquí le presentamos dos formas alternativas a la del libro, presentadas en paralelo, para solucionar 21x 2 − 8 x − 5 = 0 Forma uno

: 21 21x − 8 x − 5 = 0 / /:21 8 5 x2 − x − =0 21 21

Forma dos

2

x2 − 2⋅

4 5  4  / +  x= 21 21  21  2

2

4 5  4   4  x2 − 2⋅ x +   = +  21  21  21  21 

2

2

4  5 16   x − 21  = 21 + 441   2

4  105 + 16   x − 21  = 441   2

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: 21 21x − 8 x − 5 = 0 / /:21 8 5 = 0 / +0 x2 − x − 21 21 8 5 0 − =0 x2 − x + 21 21 2 2  4   4  2

4  121   x − 21  = 441 /    121 11 =− − 4  441 21 x− = 21  121 11 + 441 = + 21 4 11 4 11 ; x− =+ x− =− 21 21 21 21 4 11 4 11 x= − ; x= + 21 21 21 21 7 15 x=− ; x= 21 21 1 5 x=− ; x= 3 7

+   −   21   21  2

2

4 5  4   4  =0 x +  −  − 21  21   21  21 2  2 4  4   121 =0 x − 2⋅ x +    − 21  21   441  x2 − 2⋅

2

4  121   x − 21  − 441 = 0   4 11  4 11    x − 21 + 21  x − 21 − 21  = 0   

15  7    x + 21  x − 21  = 0    7 15 x+ =0 ; x − =0 21 21 7 15 x=− ; x= 21 21 1 5 x=− ; x= 3 7

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Ahora bien, junto con sus estudiantes, usted puede enumerar los pasos que se dieron para resolverla. Elija cualquiera de las mostraciones escritas en cada columna de la tabla anterior y proceda,

• En la ecuación estándar, dividir la ecuación por el coeficiente de x2. De esta manera se obtiene una ecuación equivalente. • Se dejan los términos con x en uno de los miembros de la ecuación, y el otro como término libre. • Se efectúa la completación de cuadrado respectiva • Escribiendo claramente el cuadrado del binomio respectivo, se procede a extraer raíz en ambos miembros de la ecuación resultante.

UNID AD 2

Por ejemplo, siguiendo el desarrollo expuesto en la forma uno, los pasos seguidos son:

• Se despeja x para obtener los valores respectivos de ella.

Función cuadrática: ¿qué es y en qué se utiliza? (Página 106 del Texto del Estudiante) OFT

Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer y explicar la realidad a través de la matemática. • Resolución de problemas desarrollando el pensamiento lógico. • Discernimiento de resultados en situaciones cotidianas para ver la pertinencia de ellos. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora). • Trabajo grupal.

Mapas de Progreso

Las capacidades trabajadas referentes al eje álgebra son(en niveles 6 y 7): • Elabora estrategias de resolución, las desarrolla y justifica usando lenguaje algebraico. • Interpreta y usa convenciones del álgebra para representar generalizaciones. • Muestra autonomía y flexibilidad en la transformación de expresiones simbólicas escribiendo, reconociendo y eligiendo formas equivalentes de distintas representaciones algebraicas.

Esta sección tiene por objetivo estudiar la función cuadrática, asociándola a la resolución de una ecuación cuadrática en la medida que se buscan los puntos de corte de la función con el eje x. Una función cuadrática modela variadas situaciones cotidianas en los ámbitos de la física, la construcción, las telecomunicaciones, etc. Se sugiere dar a los estudiantes algunos ejemplos de la utilización de parábolas en la vida diaria. Pueden ser:

Comparta con sus estudiantes: ¿Qué forma común se puede apreciar en todas estas imágenes? Así como la función raíz cuadrada está representada por una curva, estas curvas ¿serán la representación de alguna función?

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Es importante definir claramente los conceptos. Sea estricto en la notación matemática, de modo que los estudiantes vayan acostumbrándose a un lenguaje formal. Podemos decir que función cuadrática es toda función del tipo , donde a, b y c son números reales y . Al gráfico de esta función se le llama parábola. Aunque es bueno que los estudiantes aprendan a graficar manualmente y se muestra cómo se haría, es importante que para un análisis de la función cuadrática se utilice un graficador, ya que esto simplifica y agiliza el análisis. Se utilizarán los programas Graphmatica o Graph para realizar las gráficas de las distintas parábolas. Recuerde que es preciso que los estudiantes vean cómo se grafica una función cuadrática y la analicen comparando distintos casos. Para esto, utilice el laboratorio de computación o la sala de enlaces de su establecimiento. Si tiene la posibilidad de acceder a data show, es bueno proyectar algunas gráficas en la sala para dirigir el trabajo de los estudiantes. Recuerde que ambos programas se pueden descargar gratuitamente de los sitios: http://gratis.portalprogramas.com/graph.html http://graphmatica.programas-gratis.net/

Con el programa Graph se pueden graficar varias funciones a la vez y dejar las funciones escritas en un costado de la pantalla,

¿Cómo determinar si un punto del plano pertenece o no a una parábola? Si A ( x A , y A ) es un punto del plano y P una parábola del mismo plano, cuya ecuación es y = ax 2 + bx + c , entonces A pertenece a la parábola si y solo si 2 se cumple la igualdad y A = a ( x A ) + bx A + c .

Recuérdese que si A pertenece a la parábola, entonces el valor de y A es la imagen de x A bajo la acción de f, donde f ( x ) = ax 2 + bx + c . De igual manera, x A es la preimagen de y A bajo la acción de f.

Ahora bien, supongamos que usted sabe que 2 es una solución para 7 x 2 + 14 x = 56. ¿Qué información podría proporcionarle si usted la vincula con la pertenencia o no de un punto a una parábola determinada? Podemos decir que (2,56 ) es un punto de la parábola y = 7 x 2 + 14 x . Reflexione con sus estudiantes esta situación.

En la página 109 se invita a estudiar en profundidad las parábolas y su función asociada. Se inserta la siguiente figura, que muestra que las parábolas tienen características comunes y puntos muy importantes para analizarlos con detención.

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Eje de simetría y

Punto de corte con eje y

x

Vértice (mínimo)

Cóncava hacia arriba

y Eje de simetría

UNID AD 2

Punto de corte con eje x

Vértice (máximo)

x Cóncava hacia abajo

Punto de corte con eje x Punto de corte con eje y

¿Cómo trabajar al máximo la parábola? ¿Cómo aprovechar al máximo sus resultados? Ante estas dudas, se sugiere analizar con sus estudiantes, durante la unidad, las siguientes preguntas: • Si la ecuación de una parábola está dada por y = ax + bx + c , ¿cuál es la ecuación de la parábola que es el reflejo de esta con respecto al eje x? 2

• Si la ecuación de una parábola está dada por y = ax + bx + c , ¿cuál es la ecuación de la parábola contraria y que tiene el mismo vértice? 2

¿De qué depende que la parábola se abra hacia arriba o hacia abajo? Mediante la graficación de varias parábolas y mirando comparativamente las relaciones de sus coeficientes, se concluye que del coeficiente a depende la apertura de las ramas de la parábola. Mientras mayor sea el valor absoluto de a, la apertura de las ramas será menor, y mientras menor sea el valor absoluto de a, la apertura de las ramas será mayor. A continuación, presentamos otra manera de determinar la concavidad de una parábola. Es más exigente en sus requerimientos, pues requiere la comparación de la longitud de dos segmentos paralelos al eje x que intersectan a la parábola por sus extremos. Sin embargo, permite de manera natural concluir cuándo la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Formalicemos lo expuesto anteriormente. Sean A ( x a , k ) y B ( x b , k ); C ( x c , k ') y D ( x d , k ') puntos de una parábola,

Además, las medidas de los trazos

AB = x a − x b = x b − x a ; CD = x c − x d = x d − xc ; entonces: • Si k > k ' ⇒ AB > CD , luego la parábola es cóncava hacia arriba

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