Dirección de Formación General Programa de Matemática Cálculo II

GUÍA Nº 04 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Orden Recordamos que una EDO lineal de orden n en general puede escribirse como:

dny d n 1 y dy an ( x) n  an 1 ( x) n 1  ...  a1 ( x)  a0 ( x) y  g ( x) dx dx dx Si n  2 y las funciones a2 ( x) , a1 ( x) y a0 ( x) son constantes, estamos en presencia de una EDO lineal de segundo orden, que será homogénea si g ( x)  0 y no homogénea en caso contrario. EDO Lineal de Segundo Orden Homogénea Una EDO lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, es una ecuación de la forma:

ay' 'by'cy  0

donde a , b y c son constantes reales, cuya solución es:

y  c1 y1  c2 y2

con c1 y c2 constantes reales Esta ecuación diferencial tiene asociada la siguiente ecuación de segundo grado (ecuación característica):

am 2  bm  c  0 b  , con   b 2  4ac 2a 2 Si   0 , la ecuación am  bm  c  0 tendrá a m1 como única solución real, cuyas soluciones vienen dada por la fórmula m 

por lo tanto,

y1  e m1x ; y2  x  e m1x Si   0 , la ecuación am 2  bm  c  0 tendrá a m1 y m2 como soluciones reales, por lo tanto, y1  e m1x ; y2  e m2 x Si   0 , la ecuación am 2  bm  c  0 tendrá soluciones complejas. La ecuación ay' 'by'cy  0 si tendrá solución, las que NO serán tratadas en esta Página 1 de 5

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asignatura. A) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes: 1) 4)

y' ' y'6 y  0 y' '12 y'36 y  0

2) 5)

y' '2 y' y  0 y' '3 y'2 y  0

3) 6)

y' '5 y  0 y' '12 y'32 y  0

B) En cada caso, determine una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, que tenga como solución 7)

y( x)  c1e2 x  c2e2 x

8)

y( x)  c1e 3 x  c2 xe 3 x

9)

y( x)  c1  c2 e 6 x

C) Resolver el problema de valores iniciales 10) 11) 12)

y' ' y'2 y  0 ; y(0)  1; y' (0)  4 y' '6 y'7 y  0 ; y(0)  0 ; y' (0)  4 y' '3 y'10 y  0 ; y(0)  1; y' (0)  10

D) En el aterrizaje de algunos aviones y en algunas pruebas automovilísticas se utiliza el frenado por medio de “paracaídas” horizontales. Sin considerar otro tipo de frenos (ni el roce), desde que se despliega este dispositivo, el movimiento viene descrito por la ecuación diferencial

d 2 z k dz   0 dt 2 m dt Donde m es la masa total de vehículo, z (t ) su desplazamiento horizontal en el instante t , t  0 es el instante en que se abre el paracaídas y k la constante de amortiguamiento del paracaídas.

13) Durante el aterrizaje de un avión de 1.000 kg de masa el paracaídas horizontal se abre cuando la velocidad es de z ' (0)  50 m s , en z (0)  0 , y con Página 2 de 5

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un valor de k  50 . Determine una función para el desplazamiento z (t ) y la distancia aproximada que recorre hasta detenerse.

Variación de parámetros Una EDO lineal NO homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, es una ecuación de la forma:

ay' 'by'cy  h( x)

Si y  c1 y1  c2 y2 es la solución de la ecuación ay' 'by'cy  0 , entonces la solución general de la ecuación no homogénea será:

y  c1 y1  c2 y2  c3 y1  c4 y2

con c1 y c 2 constantes reales, y

c3   

h( x ) y 2  dx y1 y ' 2  y 2 y '1

y

c4  

h( x) y1  dx y1 y ' 2  y 2 y '1

D) Utilizando el método de variación de parámetros, resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes 14)

y' '4 y  e3 x

15) 4 y' '4 y' y  e x 2

E) La caída de un paracaidista viene descrita por la ecuación diferencial

w d2y dy k w 2 g dt dt Donde w es el peso del paracaidista, y es su altura en el instante t , g la aceleración de la gravedad, y k la constante de amortiguamiento del paracaídas.

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16) Si un paracaídas se abre a 2.000 pies, y(0)  2.000 , y en ese instante la velocidad es y' (0)  100 pies s , para un paracaidista que pese 160 libras, y k  8 . Determine una función para la altura y que dependa de la variable t .

Otras aplicaciones F) La desviación y (t ) de un automóvil con respecto a sus ruedas, gracias a la

d2y dy  q  ky  mg . dt dt 2 Donde m es la masa del vehículo, q es la constante de frenado viscoso, k es la constante de resorte del amortiguador y g la constante de gravedad. amortiguación, sometido a un “lomo de toro” abrupto: m

G) En un circuito RLC serie, excitado con un voltaje V (t ) , la corriente responde a la ecuación

d 2i di 1 L 2  R  i  V ' (t ) dt C dt

Más ejercicios puedes encontrar en Cálculo - J.Stewart. - Thompson Learning Ecuaciones Diferenciales - C.Edwards , D.Penney - Prentice Hall Ecuaciones Diferenciales con Modelado - Dennis G Zill – Cengage Learning Editores

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Soluciones 1) y( x)  c1e3 x  c2e 2 x 2) y( x)  c1e x  c2 xe x 3) y( x)  c1e 5 x  c2e 5 x 4) y( x)  c1e6 x  c2 xe6 x 5) y( x)  c1e x  c2e2 x 6) y( x)  c1e8 x  c2e4 x 7) y' '4 y  0 8) y' '6 y'9 y  0 9) y' '6 y'  0

5 2x 2 x e  e 3 3 1 x 1 7 x y ( x)  e  e 2 2 12 5 y ( x )  e5 x  e  2 x 7 7 z (t )  1.000  1.000e0,05t ; 1.000 metros 1 y( x)  c1e 2 x  c2e2 x  e3 x 5 1 x 2 x 2 y( x)  c1e  c2 xe  x 2e  x 2 8 1,6t y(t )  1.950  50e  20t

10) y ( x)  11) 12) 13) 14) 15) 16)

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