Función exponencial: Hasta el momento solo hemos trabajado con funciones reales de la forma f ( x ) = P ( x ) donde P ( x ) es un polinomio f ( x) = x a donde a ∈ y x es una variable, entre otros pero ahora vamos a trabajar con funciones donde la variable independiente es el exponente, a estas funciones se le llaman funciones exponenciales y se definen así ⎧ ⎪ no uno ⎪ a ⎨ no cero ⎪ ⎪⎩ no negativa

Sea a ∈ a>0 a ≠1

a mayor que cero a diferente de que uno entonces a es 0 < a < 1 o 1 < a La figura 1.1 ilustra por medio de un intervalo real los valores que puede tomar a

a 0

a 1

+∞

Figura 1.1

La función: f ( x) = a x definida f : → 1 < a y x ∈ ; además f es biyectiva,

+

se llama función exponencial con 0 < a < 1 ,

Como podemos observar en la figura 1.1 a puede tener dos posibilidades por que para analizar una función exponencial se deben contemplar los dos casos por separado Caso I: 1 < a Sea f ( x) = 2 x Construyamos su gráfica Para esto construimos una tabla de valores como esta x y Elegimos valores para x y luego buscamos sus imágenes; una forma de llenar la tabla es está:

x y

-3 0.125

-2 0.25

-1 0.5

0 1

1 2

2 4

3 8

Ahora procedemos a realizar la construcción de su gráfica de la función ubicando los pares ordenados en sistema cartesiano. La gráfica terminada debería quedarnos como la figura 1.2

Figura 1.2 Analicemos ahora el criterio y la gráfica de ésta función; recordemos que estamos en el caso en que 1 < a Características 1. Criterio f ( x) = a x con 1 < a 2. Dominio IR 3. Codominio IR+ 4. Ámbito ⎤⎦ 0,+ ∞ ⎡⎣ o sea IR+ 5. Es cóncava hacia arriba 6. No interseca al eje de la abscisas 7. Interseca al eje de las ordenadas en el punto ( 0,1) 8. Es estrictamente creciente 9. Es biyectiva 10. Es continua 11. Es asintótica, es decir que la función se acerca tanto como puede al eje x negativo pero sin llegar a tocarlo, o sea x → − ∞

Como estamos en el caso en que 1 < a podemos pensar que sin importar la base de f mientras cumpla que sea mayor que uno su grafica será como en la figura 1.2 por lo que podemos generalizar las propiedades de la función anterior a todas las que cumplan con esa condición Figura 1.3 Caso II: 0 < a < 1 ⎛1⎞ Sea f ( x) = ⎜ ⎟ ⎝2⎠

x

Construyamos su gráfica Al igual que en el caso anterior haremos una tabla de valores similar a la otra x y Escogemos valores para x y luego buscamos sus imágenes por medio del criterio de la función; una forma de llenar la tabla es está: x y

-3 8

-2 4

-1 2

0 1

1 0.5

2 0.25

3 0.125

Ahora procedemos a realizar la construcción de su gráfica de la función ubicando los pares ordenados en sistema cartesiano. La gráfica terminada debería quedarnos como la figura 1.4

Figura 1.4 Analizando el criterio y la gráfica de ésta función y teniendo presente que estamos en el caso en que 0 < a < 1

Características 1. Criterio f ( x) = a x con 0 < a < 1 2. Dominio IR 3. Codominio IR+ 4. Ámbito ⎤⎦ 0,+ ∞ ⎡⎣ o sea IR+ 5. Es cóncava hacia arriba 6. No interseca al eje x 7. Interseca al eje de las y en el punto ( 0,1) 8. Es estrictamente decreciente 9. Es biyectiva 10. Es continua 11. Es asintótica, es decir que la función se acerca tanto como puede al eje x , pero esta vez hacia el positivo sin llegar a tocarlo; o sea x → + ∞ En el caso en que 0 < a < 1 su grafica será similar a la de la figura 1.5 esta sería la forma general del tipo de función exponencial de base entre cero y uno, al igual que el caso I las propiedades de la función anterior las tienen todas las que cumplan con la condición este caso. Figura 1.5

NOTA: La intersección con el eje de las ordenadas de la forma ( 0,1) si y solo si el exponente de la función es x o − x pues como ya sabemos para encontrar el este punto decimos que x es igual a cero y por leyes de potencia todo número elevado a la cero es uno

EJERCICIO: Grafique las siguientes funciones y observe que se cumplen las propiedades anteriormente descritas 1.

⎛4⎞ 2. f ( x) = ⎜ ⎟ ⎝3⎠

f ( x) = (3) − x

x

Ecuación Exponencial Es la ecuación que tiene como exponente a la variable ejemplos de ecuaciones exponenciales son: 3x+1 = 5

3x+1 = 5

53 x+1 = 1

2x = 3

No hay una regla común para resolver este tipo de ecuaciones, se puede resolver por propiedades ya estudiadas o por logaritmos (se estudiarán más adelante). NOTA: Resolver una ecuación es hallar el valor o los valores de la incógnita o incógnitas que hacen cierta la igualdad, a estas soluciones les llamamos raíces de la ecuación Para resolver ecuaciones exponenciales utilizaremos tres métodos dos en los que se trabajara en notación exponencial y el más poderoso que es en el que se con logaritmos: 1. Para el primer método es necesario que la ecuación sea de igual base pues utilizaremos la siguiente identidad a f ( x ) = a g ( x ) ⇒ f ( x) = g ( x) 2. Para el segundo necesitamos introducir nuevas variables para poder transformar la ecuaciones y utilizar el primer método para resolverlas Ecuaciones del Primer tipo TEOREMA: Si a > 0 y a ≠ 1 , la ecuación a f ( x ) = a g ( x ) es equivalente a la ecuación f ( x) = g ( x) MOSTRACIÓN: 32 = 32 ⇒ 2 = 2 así que podemos concluir que si tenemos 3x = 32 ⇒ x = 2

NOTA: Al igual que con un número real las leyes de potencia son válidas para las funciones exponenciales

EJEMPLOS: Resolvamos las ecuaciones: 1. 2.

3.

2x = 8 Hacemos uso del teorema ⇒3 x 2 x =2 x2+35 7 =7 ⇒ x=3 ⇒ 3 x = 2 x + 5 Aplicamos el teorema ⇒ 3x − 2 x = 5 ⇒ x=5

Despejamos la variable

35 x −8 = 9 x + 2 ⇒ 35 x −8 = ( 32 )

x+2

Utilizamos las leyes de potencia para obtener la misma base

⇒ 35 x −8 = 32 x + 4 ⇒ 5x − 8 = 2 x + 4

Utilizamos el teorema Despejamos

⇒ 3 x = 12 ⇒x=4 511− x = 58− x ⇒

(

511− x

)

2

= ( 58− x )

2

Obtenemos la misma base por medio de las leyes de potencia, utilizamos el teorema y despejamos

⇒ 511− x = 516− 2 x ⇒ 11 − x = 16 − 2 x ⇒ x=5

( 0,5)

2 x +1

⎛1⎞ ⇒⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⇒ ( 21 )

i2 x = 1

2 x +1

2 x +1

i2 x = 1 i2 x = 1

⇒ 2−2 x −1 i2 x = 20 ⇒ 2− x −1 = 0 ⇒ x =1

Ecuaciones del Segundo tipo

4.

Tomando u = 3x se tiene

Resolvamos solo la primera ecuación equivalente

Como pudimos ver en el ejemplo anterior solo resolvimos la ecuación 3x = 3 porque es imposible resolver por métodos algebraicos conocidos la ecuación 3x = 2 ya que es imposible expresar el número dos como potencia de base tres, para esto usaremos los logaritmos.

Logaritmos Nótese que la función exponencial es biyectiva por lo tanto podemos afirmar que existe una inversa a la exponencial, pero ¿cómo despejar x en una ecuación exponencial de la forma y = a x para obtener su inversa?; los logaritmos son la respuesta a esta pregunta. La palabra Logaritmo está formada por dos términos griegos que significan: • •

Logos: razonar o calcular y Aritmos: números

En conjunto quiere decir número calculado. Antes de las calculadoras los logaritmos fueron de gran ayuda para resolver cálculos aritméticos complejos; pero hoy el uso de los logaritmos manualmente casi ha desaparecido por el uso de las modernas calculadoras. Los logaritmos se utilizan en química, física, biología, ingeniería y otros campos. La función exponencial: f ( x) = a x con a > 0 , a ≠ 1 f: IR → IR+ es una función biyectiva por lo que tiene una inversa definida de la siguiente manera: f -1: IR+ → IR Los nombres de las partes del logaritmo son las siguientes:

Para encontrar la función logarítmica a partir de la exponencial, despejamos el exponente x de la ecuación y = a x y con esto obtenemos el logaritmo de base a y argumento y . Formalmente un logaritmo se define así: a x = y ⇔ log a y = x

Con a ∈

, a > 0 y a ≠ 1.

La expresión anterior se lee: a a la x es igual a y si y solo si el logaritmo en base a de y es igual a x El siguiente diagrama explica simbólicamente como se colocan los datos para pasar de una representación de un número en su notación exponencial a su notación logarítmica y viceversa:

NOTACIÓN: 1. Cuando la base del logaritmo es diez y con argumento un número a en el dominio del logaritmo se puede escribir como log10 a pero por simplicidad de la notación se prefiere omitir la base y escribir log a , a estos logaritmos se les llama logaritmos comunes o decimales. 2. La expresión log a b es equivalente a

log b log a

Debido a que la función está definida para todos los números reales positivos sin contar el cero y como uno pertenece a este subconjunto de los reales podemos ver en notación de potencia que: 100 = 1 ⇔ log1 = 0 Así que si la base del logaritmo es uno en la notación en base diez (NOTACIÓN 1.) tendríamos problemas ya que como en el ejemplo anterior el logaritmo de uno es cero por lo que el denominador sería cero y esto nos indefine el logaritmo por eso su base debe ser un número real positivo distinto de cero.

El argumento debe de ser un número real positivo ya que de no ser así por se tendría un problema con la definición del logaritmo pues el argumento no pertenecería al dominio de la función. NOTACIÓN: 3. Cuando la base del logaritmo es el número irracional e donde e ≈ 2, 718281... el logaritmo se llama natural y como es de uso muy frecuente el logaritmo en base e de un número a en el dominio del logaritmo que se escribiría log e a también se puede escribir como ln a EJEMPLOS: Encuentre la función inversa de las siguientes funciones: c) 2−2

a) 23

⎛1⎞ d) ⎜ ⎟ ⎝4⎠

1

b) 8 2

e) 3−2 −1

2

f) 8 3

d) 43 g) 10−3

SOLUCIÓN: Forma exponencial

Forma logarítmica

23 = 8

log 2 8 = 3

1 2

8 = 8=2 2

2 −2 =

1 1 = 22 4 −1

⎛1⎞ ⎜ ⎟ =4 ⎝4⎠

3−2 = 2

83 = 2

3i

1 1 = 32 9 2 3

= 22 = 4

43 = 64

1 1 = 3 10 1000 Función logarítmica 10−3 =

log 8 2 2 = log 2

1 2

1 = −2 4

log 1 4 = −1 4

log 3

1 = −2 9

log 8 4 =

2 3

log 4 64 = 3 log

1 = −3 1000

Graficar en un sistema de coordenadas rectangulares las siguientes funciones: Caso I: 1 < a

Sea f ( x) = log 2 x Construyamos su gráfica Para construir una tabla de valores debemos de asistirnos de la calculadora o de una tabla de logaritmos; sin embargo trabajemos con la siguiente tabla, la cual puede ser comprobada fácilmente con una calculadora: x

0

0,125

0,5

1

2

3

y

No existe

-3

-1

0

0,3

0,48

Ahora procedemos a realizar la construcción de su gráfica de la función ubicando los pares ordenados en sistema cartesiano. La gráfica terminada debería quedarnos como la figura 2.1

Figura 2.1

Analicemos ahora el criterio y la gráfica de ésta función; recordemos que estamos en el caso en que 1 < a

Características

1. Criterio f ( x) = log a x con 1 < a 2. Dominio IR+ 3. Codominio IR 4. Ámbito IR 5. Es cóncava hacia abajo 6. No interseca al eje de las ordenadas 7. Interseca al eje de las abscisas en el punto (1, 0 ) 8. Es estrictamente creciente 9. Es biyectiva 10. Es continua 11. Es asintótica al eje y negativo, pues no llega a tocarlo, o sea y → − ∞ Todas las gráficas de los logaritmos de base mayor que uno tienen una forma similar a la de la figura 2.2 y cumplen las once propiedades citadas anteriormente

Figura 2.2 Caso II: 0 < a < 1

Sea f ( x) = log 1 x 3

Construyamos su gráfica a partir de una tabla de valores de valores con ayuda de la calculadora: x

0

0.125

0,5

1

2

3

y

No existe

3

1

0

-1

-1,58

La gráfica terminada debería quedarnos como la figura 2.3

Figura 2.3 Analicemos ahora el criterio y la gráfica de ésta función; recordemos que estamos en el caso en que 0 < a < 1 Características 1. Criterio f ( x) = log a x con 0 < a < 1 2. Dominio IR+ 3. Codominio IR 4. Ámbito IR 5. Es cóncava hacia arriba 6. No interseca al eje de las ordenadas 7. Interseca al eje de las abscisas en el punto (1, 0 ) 8. Es estrictamente decreciente 9. Es biyectiva 10. Es continua 11. Es asintótica al eje y positivo, o sea y → + ∞

Todas las gráficas de los logaritmos que tienen la base entre cero y uno poseen una forma similar a la de la figura 2.4 y cumplen las propiedades enunciadas anteriormente

Figura 2.4

Propiedades de los logaritmos.

Al igual que existen ocho leyes de potencia es de esperarse existan leyes para los logaritmos que nos permitan trabajar con ellos y facilitar su manipulación y cálculo de algunos de ellos; a continuación se enunciarán estas leyes o propiedades: 1. log a 1 = 0 2. log a a = 1 3. log a xi y = log a x + log a y x 4. log a = log a x − log a y y 1 5. log a = log a 1 − log a y = − log a y y 6. log a x n = nilog a x m

7. log a n x m = log a x n =

m ilog a x n

8. log a a x = xilog a a = x Las propiedades son válidas para todo x y y que pertenezcan al subconjunto de los números reales positivos, m y n reales; con a > 0 y a ≠ 1 y con las siguientes restricciones en caso de indefinir el denominador y ≠ 0 , n ≠ 0 . Cada una de las leyes se puede demostrar utilizando las leyes de potencia ya estudiadas Además de estas se agregan la propiedad de cambio de base:

log b a =

log x a donde x es la nueva base log x b

y la ley exponencial:

b logb a = a

Dadas estas propiedades podemos aplicarla para simplificar a un solo logaritmo varias expresiones para facilitar el cálculo de uno solo en lugar de calcular varios por separado o podemos expresar un solo logaritmo como varios para realizar otras operaciones; veamos como se usan. EJEMPLO 1: Aplicar las propiedades de los logaritmos para separar el siguiente logaritmo 1.

log 5

xy 2 z

1 xy 2 ⇒ log 5 z 1 ⇒ ( log xy 2 − log z ) 5 1 ⇒ ( log x + log y 2 − log z ) 5 1 ⇒ ( log x + 2 log y − log z ) 5 EJEMPLO 2: Utilizando las leyes de los logaritmos reduzca a un solo logaritmo 1.

log x − log y − 2 log z ⇒ log x − log y − log z 2

2.

⎛x 1 ⎞ ⇒ log ⎜ i 2 ⎟ ⎝y z ⎠ ⎛ x ⎞ ⇒ log ⎜ 2 ⎟ ⎝ yz ⎠ 1 (log 4 − log 3 + 2 log x − log y ) 3 1 ⇒ (log 4 − log 3 + log x 2 − log y ) 3 1⎛ 4 x2 ⎞ ⇒ ⎜ log + log ⎟ 3⎝ 3 y ⎠

1⎛ 4 x2 ⎞ ⇒ ⎜ log i ⎟ 3⎝ 3 y⎠ 1⎛ 4 x2 ⎞ ⇒ ⎜ log ⎟ 3⎝ 3y ⎠ 1

⎛ 4 x2 ⎞3 ⇒ ⎜ log ⎟ 3y ⎠ ⎝

EJEMPLO 3: Determine los siguientes logaritmos sin usar la calculadora o una tabla de logaritmos: 1.

1 log 4 36 + 4 log 4 2 − log 4 6 2 ⇒ log 4 6 + log 4 16 − log 4 6 6i16 6 ⇒ log 4 16 ⇒ log 4

⇒ log 4 42 ⇒ 2 log 4 4 ⇒2

2.

log8 64 + log 3 81 − log 7 343 ⇒ log8 82 + log 3 34 − log 7 73 ⇒ 2 log8 8 + 4 log 3 3 − 3log 7 7 ⇒ 2+ 4−3 ⇒3

EJEMPLO 4: Simplificar las siguientes expresiones: 2 1. 3 ln 2 x − 2 ln x

⇒ ln ( 2 x ) − ln ( x 2 ) 3

2

⇒ ln 8 x 3 − ln x 4 8 x3 x4 8 ⇒ ln x ⇒ ln

2. log ( x + 1)2 − log ( x + 3)( x + 1) + log 1 5 5 5 x +1

( x + 1) + log 1 ⇒ log 5 5 x +1 ( x + 3)( x + 1) ( x + 1) + log 1 ⇒ log 5 5 x +1 ( x + 3) ( x + 1) ⇒ log 5 ( x + 3)( x + 1) 2

⇒ log 5

1 ( x + 3)

⇒ − log 5 ( x + 3)

Ecuación Exponencial y Logarítmica Recordemos la ecuación 3x = 2 que no pudimos resolver anteriormente porque no sabíamos como hacerlo, ahora es muy sencillo resolverla pues basta con aplicar la definición de logaritmo para saber que la igualdad 3x = 2 es verdadera cuando x = log3 2 De lo anterior se puede concluir que para resolver ecuaciones exponenciales podemos pasar de una ecuación exponencial a una ecuación logarítmica TEOREMA 1: Sea una ecuación de la forma log b f ( x) = log b g ( x) donde b > 0 y y ≠ 1 ; son soluciones de esta ecuación aquellas que lo sean también de la ecuación f ( x ) = g ( x) con f ( x ) > 0 y g ( x) > 0

TEOREMA 2: Sea una ecuación de la forma log P ( x ) f ( x ) = log P ( x ) g ( x ) ; son soluciones de esta ecuación aquellas que lo sean también de la ecuación f ( x ) = g ( x) , pero que además satisfagan que f ( x ) > 0 , g ( x ) > 0 , P ( x ) > 0 y P ( x ) ≠ 1 Estos teoremas nos permiten encontrar las raíces de una ecuación logarítmica, eso sí tomando en cuenta las restricciones dadas, o sea después de resolver la ecuación podemos obtener posibles raíces pero debemos probarlas para confirmar que verdaderamente lo son pues muchas veces los valores que obtenemos indefinen al logaritmo pues al sustituirlos se obtienen valores que no pertenecen al dominio del logaritmo. EJERCICIOS: Resolver las siguientes ecuaciones 1. o log 3 ( x − 2 ) + log 3 ( x + 3) = 6 2.

log ( 2 x − 5 ) = 3log ( 2 x )