TEMA 30: LA ECONOMÍA MATEMÁTICA

Prof. Dr. Eduardo Escartín González

HISTORIA DEL PENSAMIENTO ECONÓMICO

TEMA 30 LA ECONOMÍA MATEMÁTICA

TEMA 30: LA ECONOMÍA MATEMÁTICA

1.-

Prof. Dr. Eduardo Escartín González

aplicación de las matemáticas a la economía

INTRODUCCIÓN

constituye el campo de actuación de la

La moderna concepción de la ciencia exige que

Econometría.

todo conocimiento deba estar contrastado con los hechos reales para que sea científico y que toda explicación

El término econometría se debe al economista

científica pueda ser sometida a refutación mediante la

noruego, profesor de la Universidad de Oslo, y primer

experiencia en sus resultados, en sus hipótesis y en sus

Premio Nobel de economía en 1969 -compartido con el

supuestos. El método científico no impide la concepción

holandés Jan Tinbergen (1903-1994)- Ragnar Frisch

de teorías abstractas y deductivas; pero la inducción se

(1895-1973), quien también hizo la distinción moderna

ha extendido, procedente de las ciencias físicas, a las

entre estática y dinámica económica (véase Tema 18 y

1

sociales. Así, se ha unificado el criterio científico .

Tema 29, Epígrafe 6 –p. 483–). Ragnar Frisch con

En la economía, contribuyeron en gran medida todas las corrientes de pensamiento: las inductivas, las deductivas, las historicistas, las institucionalistas, las estructuralistas, las cuantitativistas y las matemáticas. Sobre todo estas últimas, ya que las matemáticas se han aplicado con carácter general en todas las ciencias, hasta tal punto que una teoría no asentada en fundamentos matemáticos no parece científica, sino especulativa.

Irving Fisher y otros economistas fundaron en 1930 la Econométric Society (Sociedad de Econometría), radicada en Estados Unidos, aunque su ámbito es internacional. El primer artículo de sus estatutos define los fines de la sociedad:"el progreso de la teoría económica en sus relaciones con la estadística y las matemáticas. Su objeto esencial es favorecer los puntos de vista teórico y empírico en la exploración de los problemas económicos, inspirándose en un estudio

Actualmente, el empleo de las matemáticas en

metódico y riguroso semejante al que ha prevalecido en

la economía se lleva a cabo en dos órdenes, hasta cierto

las ciencias naturales". Esta sociedad publica desde

punto, independientes y complementarios:

1933 la revista Econométrica.

1º. En la teoría pura, mediante la formulación

Otra institución que contribuyó al desarrollo de

de modelos basados en relaciones funcionales

la investigación económica usando métodos estadísticos

de tipo genérico. De ellas se extraen múltiples

fue la Cowles Foundation for Research in Economics,

consecuencias, mediante la inferencia, gracias

creada en 1932 bajo la denominación inicial de Cowles

a la lógica interna y al poder deductivo de las

Commission y el patrocinio de Alfred Cowles. Y no hay

reglas matemáticas. La lógica matemática,

que olvidar el primero de estos organismos dedicados a

exenta de resultados subjetivos, sustituye a la

la investigación estadística, el National Bureau of

exposición y el razonamiento verbal, expuestos

Economics Research (NBER) de Nueva York, fundado

al frecuente error del subjetivismo y de la

en 1920 por Wesley C. Mitchell (Tema 29).

voluntariedad. 2º. En el contraste empírico, mediante modelos formulados con relaciones funcionales de tipo

2.-

LA ECONOMETRÍA

concreto, cuyos parámetros y resultados se

La econometría puede considerarse como la

pueden calcular y comprobar de un modo

confluencia de dos corrientes de pensamiento, la que

experimental. Este segundo aspecto de la

representan los economistas con inclinación hacia las matemáticas y la que constituyen los estadísticos con

1 Sobre el método de hacer ciencia, véase la Introducción a esta Historia del Pensamiento Económico.

aficiones económicas. Entre ellos destacaron otrora los ingleses William Petty, Gregory King, Stanley Jevons,

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Francis Y. Edgeworth y Alfred Marshall; los franceses

Las leyes de los salarios (1911); Ciclos económicos: su

François Quesnay, Augustine Cournot; el suizo Daniel

ley y su causa (1914); Predicción de la cosecha y el

Bennoulli; el italiano Vilfredo Pareto; el alemán Johann

precio del algodón (1917); Génesis de ciclos

H. von Thünen y el norteamericano Irving Fisher.

económicos (1923) y Economía sintética (1929).

Más recientemente, a partir de la década de los

Henry Schultz (1893-1938) fue alumno de

treinta del siglo XX, las técnicas estadísticas arraigaron

Moore en la Universidad de Columbia y continuó la

en Estados Unidos, donde encontraron un campo

labor investigadora iniciada por su maestro, en

propicio debido a la mentalidad pragmática de los

colaboración con expertos estadísticos. Resultado de

norteamericanos. Además de los fundadores del NBER y

estos estudios fueron sus libros Leyes estadísticas de

la Sociedad de Econometría, ya citados en el tema

demanda y oferta (1936), Teoría y medición de la

anterior, se distinguieron como económetras:

demanda (1938) y su artículo «Interrelación entre

Henry Ludwell Moore (1869-1958), profesor de la Universidad de Columbia (1902-1929), se propuso

demanda, precios y renta» (publicado en Journal of Political Economy, agosto de 1935).

dar contenido empírico a la economía deductiva porque

Paul H. Douglas (1892-1976) fue estudiante

había observado lo poco que atraía la ciencia económica

de la Universidad de Columbia, en la época de

pura a los estudiantes debido a su desconexión con los

profesorado de Henry Moore y de John B. Clark, y

resultados prácticos de las cuestiones económicas. Para

ejerció la docencia en la Universidad de Chicago donde

evitar esa desvinculación entre la teoría y la práctica se

tuvo la oportunidad de seguir las investigaciones

dedicó a "comprobar estadísticamente algunas de las

econométricas,

conclusiones de la economía política pura" (citado por

distribución de la renta, en especial los salarios, y la

Spiegel, p. 752).

comprobación estadística de las productividades

En este intento investigó, mediante técnicas estadísticas y econométricas, muchos principios teóricos de la economía, tales como la producción y los precios

iniciadas

por

Moore,

sobre

la

marginales de los factores de la producción. Su obra más relevante de estudios econométricos es La teoría de los salarios (1934).

de determinados bienes, la productividad marginal, los

Douglas y otro profesor de la Universidad de

ciclos de los negocios (en función de las variaciones de

Chicago, el matemático Charles W. Cobb, ya habían

las cosechas según las fluctuaciones de las condiciones

realizado estudios sobre la renta nacional, cuyos

meteorológicas, siguiendo, así, la idea de Jevons) y,

resultados plasmaron en el artículo «Una teoría de la

sobre todo, la deducción estadística de curvas de

producción» (publicado en American Economic Review,

demanda y sus diversos tipos de elasticidad.

Suplemento de marzo de 1928). A tal fin usaron una

Aunque otros autores habían trabajado con curvas matemáticas de oferta y demanda, Schumpeter (1954, pp. 256 y 1048) opina que Émile Cheysson en

variante de la función de producción social de Wicksell que contemplaba solamente dos factores productivos (Schumpeter 1954, p. 1132):

x = v1α ⋅ v12-α ; siendo α < 1

1887 (Tema 25), Robert Alfred Lehfeldf, en La elasticidad de la demanda del trigo (1914) y Henry L.

La función de producción de Cobb-Douglas es

Moore, fueron los primeros autores que, tras un largo paréntesis de unos doscientos años, continuaron la tarea

más general:

emprendida por Gregory King (Tema 7).

α

Y=c⋅K L

Las obras más importantes de H. L. Moore son:

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β

(1)

En esta función c es un coeficiente constante, al

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igual que α y β; K y L representan los factores de

FKK es la 2ª derivada parcial de la función F respecto a

producción, capital y trabajo, en términos de agregados

K dos veces y FLL es la 2ª derivada parcial de la función

macroeconómicos; e Y es la renta, o producción,

F respecto a L dos veces.

nacional. Esta función tiene una doble peculiaridad:

Calculando todas estas derivadas parciales en la

En primer lugar, es una función homogénea de

función de Cobb- Douglas (1) y sustituyendo sus valores

grado α + β; es decir, si se sustituye K y L por el mismo

en la fórmula de la elasticidad de sustitución (2) se

múltiplo de ellos, tal que n, entonces, toda la función

obtiene que σ = 1. Con lo que se demuestra que, en

α+β

, siendo el exponente de n

efecto, la elasticidad de sustitución es constante y,

el grado de homogeneidad (que en el presente caso es

además, es la unidad. O sea, el porcentaje de variación

α+β).

de la razón K/L es el mismo que el de la variación de la

queda multiplicada por n

derivada de K respecto a L. En segundo lugar, es una función de elasticidad de sustitución constante (abreviadamente CES, cuyo

Cobb y Douglas trabajaron sobre un caso

símbolo se representará por σ) e igual a la unidad: σ = 1.

particular de su función, el correspondiente a β = 1 - α, de modo que, al ser α + β = 1, la función pasaba a ser

En una función de 2 variables Y = F(K,L), en la que la cantidad de Y se considera fija, la definición de elasticidad de sustitución, σ, es:

σ=

homogénea de grado uno ( es decir, se trataba de una función que proporcionaba rendimientos a escala constantes, porque la producción Y, que es la función, quedaba multiplicada exactamente por el mismo

d (log K / L) d log R

múltiplo n que las variables; mientras que si α + β > 1, los rendimientos a escala serían crecientes siempre y

en esta expresión R es la relación marginal de sustitución: R = - dK/dL. La elasticidad de sustitución mide el grado de facilidad con que se puede sustituir determinada cantidad de una variable por la de la otra variable, a partir de la razón en que ambas se encuentren (K/L), para que el resultado (Y) permanezca constante. Se demuestra (véase Bilas, 1971, pp. 191-194) que:

cuando a su vez fuera n >1, porque, entonces, se tendría que n

α+β

> n y la producción Y quedaría multiplicada

por un numero mayor que el múltiplo n de las variables; cuando α + β < 1 y n > 1 los rendimientos a escala serían decrecientes). Estos dos autores determinaron mediante la técnica econométrica que el coeficiente α era un tercio, que equivalía a la parte de la renta nacional imputable al

σ=

FL FK (LFL + K FK ) KL(2FL FK FLK − FL2 FKK − FK2 FLL )

(2)

observaciones sobre la participación de los salarios en la

en esta fórmula, K y L son, como se ha dicho, las 2 variables y el resto de la nomenclatura es la siguiente: FK es la derivada parcial de la función F respecto a K FL es la derivada parcial de la función F respecto a L FLK es la 2ª derivada parcial de la función F, primero respecto a L y luego respecto a K (aunque resulta indiferente hallarla primero respecto a K y luego respecto a L).

capital; de esta forma 1 - α también coincidía con las renta nacional que ascendían a las dos terceras partes (Spiegel, p. 753). Wassily W. Leontief (1906-1999), profesor de Harvard, estudiado en el Tema 22, con sus estudios de las tablas sectoriales Input-Output, no puede dejar de mencionarse en lo relativo a la investigación econométrica; ni tampoco que al llegar a los EEUU trabajó de investigador en el NBER. A partir de la II Guerra Mundial, los avances logrados en la Econometría

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se aprovecharon para la investigación estadística de los

reforma monetaria. Entre sus obras se encuentran: Ciclos

coeficientes de las tablas de Leontief.

de prosperidad y depresión (1921); Recuperación plena

3.-

o estancamiento (1938); Política fiscal y ciclos

LA UNIVERSIDAD DE HARVARD

económicos (1941); El papel de América en la

Esta prestigiosa universidad, la primera que se

economía mundial (1945); Guía de Keynes (1953); La

fundó en los territorios que hoy son de los Estados

economía americana (1957) y El dólar y el sistema

Unidos de América, bajo el patrocinio de John Harvard,

monetario internacional (1965).

en 1636, en Cambridge (Massachusetts), ha contado con

Hasen aportó a la teoría keynesiana ideas como

famosos profesores de economía e igualmente se han formado en ella buenos economistas; sin embargo, al haber predominado la diversidad de la enseñanza no ha dado lugar a la creación de una escuela de pensamiento económico. Sin embargo a esta universidad pertenecen

el cebo

de

la bomba y la política fiscal

compensatoria. La analogía del cebo de la bomba consiste en que, de la misma forma que primero hay que cebar la bomba para que luego siga bombeando, un nuevo gasto público pone en marcha la economía, la

destacados economistas matemáticos.

cual sigue funcionando sin necesidad de más gastos Entre los profesores de Harvard que ya han

públicos. La política fiscal compensatoria consistía en

sido citados se encuentran: Wassily W. Leontief (Tema

incurrir en gastos públicos para compensar el descenso

22); Joseph A. Schumpeter (Tema 24); Kenneth J.

de la inversión privada. Esta propuesta se debía a que,

Arrow (Tema 26); Edward H. Chamberlin (Tema 26),

en la apreciación de Hansen, la causa de la depresión

John Kenneth Galbraith (Temas 18 y 26) y James S.

económica era el decaimiento de la inversión privada. A

Duesenberry (Tema 28).

medida que la economía se reactivase, y la inversión

Otros famosos economistas de Harvard son:

privada reapareciera, los gastos compensatorios irían

Alvin H. Hansen (1887-1975), profesor de las

del presupuesto estatal sin déficit a lo largo del ciclo,

universidades de Minnesota (1919) y Harvard (1937),

compensándose los déficits de los años de recesión con

fue economista del Departamento de Estado y de la

los superávits de los años de auge (Lekachman, 1966,

Junta de la Reserva Federal. Aunque al principio juzgó

pp. 138-139).

cesando. De esta idea se derivó posteriormente la noción

severamente las teorías keynesianas anteriores a la Teoría General, a raíz de ésta (que empezó criticándola

Basándose en la idea keynesiana del equilibrio

comedidamente) se convirtió en el propagador de las

con paro e infrautilización de los recursos, Hansen

ideas de Keynes y sin cejar un ápice ante la oposición de

desarrolló la tesis del estancamiento secular, según la

la opinión pública y las presiones académicas para que

cual, el sistema económico puede llegar a un punto en el

se suprimiera la enseñanza del keynesianismo. En esta

que ni los gastos compensatorios ni la política de cebar

labor encontró la colaboración de su antiguo discípulo

la bomba consiga el crecimiento económico. Como la

Paul A. Samuelson, quien contribuyó grandemente a la

inversión es uno de los elementos clave para el

divulgación de Keynes con su libro de texto Economics,

equilibrio y fundamental para el crecimiento económico,

An Intrductory Analysis (1948, cuya versión en

Hansen investigó los elementos que más influyen en la

castellano se titula Curso de economía moderna), el cual

cuantía de la inversión, a saber: el incremento de la

tampoco se libró de las críticas y propuestas de que se

población y los recursos, la expansión de los mercados y

erradicara de la enseñanza (Galbraith, 1987, pp. 261 y

la investigación tecnológica. Encontró que todos estos

262). Notables aportaciones de Hansen a la teoría

elementos dejan de expandirse y entran en decadencia en

económica son sus estudios sobre ciclos económicos y

las economías maduras, como la de Estados Unidos, por

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cuyo motivo descienden las oportunidades de invertir

La función de inversión, para unas expectativas

rentablemente. Además, el aumento de los ingresos

empresariales dadas, depende del tipo de interés de

induce descensos en la propensión marginal a consumir

forma decreciente. Su representación gráfica se ilustra

y, por consiguiente, del multiplicador. Así, para impulsar

en la Figura 2.

el crecimiento económico se necesitan cada vez mayores

r

tasas de inversión, que la iniciativa privada no puede atender debido a la disminución de las posibilidades

r0

rentables de invertir antes citada. Hansen propuso que el

r1

estado fomentara programas de inversión financiados

r2

con déficit público para mantener el crecimiento económico y evitar el estancamiento. Pero, aun así, no I

era optimista, pues aún quedaba por decidir qué

I0

volumen de gasto público no llegaría a desincentivar la

I1

I2

Figura 2: Función de inversión

libre empresa ni a generar una perniciosa inflación

En el modelo keynesiano se requiere, para que

(Lekachaman, 1966, pp. 140 a 147). Como Hansen popularizó el esquema IS-LM de Hicks, a continuación se expone su explicación:

haya equilibrio, que la inversión y el ahorro sean iguales. En las Figuras 1 y 2 se ha representado I0 =S0; I1=S1; e I2=S2. Dada esta correspondencia se puede reflejar en un

Este esquema muestra la conexión entre la parte

gráfico la vinculación entre cada valor de la renta (Y0,

real y la monetaria de la Teoría general de Keynes, de

Y1, Y2, etc.) y su correspondiente tipo de interés (r0, r1,

suerte que se determina el nivel de renta real (Y) al

r2, etc.). Esto se aprecia en la Figura 3.

relacionar demanda (L) y oferta (M) de dinero con tipo de interés y éste con la inversión (I) y el ahorro (S).

r

Los supuestos básicos de este esquema son que r0

el nivel de precios es fijo e igualmente no varían las expectativas empresariales ni la oferta de dinero. La

r1

función de ahorro se halla a partir de la función de

r2

IS

consumo keynesiana (C): S = Y-C, siendo así que S es una función de Y, cuya representación gráfica es la de la

0

Figura 1. Y

Y

Y0

Y1

Y2

Figura 3: Función IS Ahora bien, este modo de proceder de Hicks y

S

Hansen convierte el equilibrio general de Keynes en un

Y2

equilibrio parcial, porque elimina la dependencia de la

Y1

función de ahorro del tipo de interés. En efecto, de la Y0

crítica de Keynes (1936, pp 158.166) a la teoría clásica del ahorro se deduce que sólo se puede identificar una S

S0 S1 S2

Figura 1: Función de ahorro

curva de ahorro tras haber fijado el nivel del tipo de interés. Dicho de otra forma, si varía el tipo de interés la función de ahorro se desplaza. En consecuencia, no se

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pueden relacionar unas rentas procedentes de una única

r

representación gráfica del ahorro y la renta con los tipos de interés variables (véase la explicación de esta teoría keynesiana en el Tema 28, p. 456). Aunque la función IS no es un fiel reflejo de la teoría del equilibrio general de Keynes (porque como se

LL2 2

ha dicho supone implícitamente la independencia del

rrTTL

ahorro respecto de los tipos de interés y, además, el

L2 L2

00

resultado final transforma el ahorro en una función Figura 5: Demanda de dinero para especular

decreciente del tipo de interés), proseguimos con la explicación del modelo IS-LM.

Estas dos demandas se pueden combinar en una

La demanda de dinero (L), según Keynes, se descompone en dos partes: una (L1) dependiente del nivel de renta (por los motivos transacción y precaución) y otra (L2) dependiente del nivel del tipo de interés (por el motivo especulación fundamentalmente, pero también

gráfica (L=L1+L2) y, además, reflejar en ella una oferta fija de dinero (M), como se ve en la Figura 6, en la que se identifica una función de demanda para cada nivel de renta real (recuérdese que se supone, en este modelo, que el nivel de precios es fijo).

un poco por los dos motivos anteriores que ven algo r

alterada su demanda de dinero ante variaciones del tipo de interés de cierta consideración). La demanda de

Y0 Y1 Y2

dinero L1 se ilustra en la Figura 4.

M

Y

r0

L1

r1 r2 rTL 0

m

L

Figura 6: Oferta y demanda de dinero L1

En esta figura se ve que, dada una oferta de

0

dinero (mM) fija, hay una correspondencia entre los Figura 4: Demanda de dinero para transacciones La demanda de dinero debida a la especulación y también, en parte, al lucro procedente de la retribución de los intereses se encuentra reflejada en la Figura 5. Es preciso señalar que se tiene en cuenta el concepto de trampa de liquidez, según el cual, ante un tipo de interés muy bajo (rTL) todo el dinero disponible se demanda para guardarlo y nadie se desprende de él.

valores de r y los de Y a medidas que la oferta se iguala con las demandas de dinero a cada nivel de renta real. Así, Y0 está asociada con r2, Y1 con r1 e Y2 con r0. Ahora procede llevar estos valores de r y de Y a un gráfico, cuyo resultado es la función LM de la Figura 7. En esta figura se ha establecido un límite para la función LM, porque se supone que la renta real no puede rebasar el tope impuesto por la renta de pleno empleo (YPE).

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Simon Kuznets (1901-1985), economista

r

norteamericano de ascendencia rusa, ingresó en 1927 en

LM

el National Bureau of Economics Research (NBER).

r0

Fue profesor de economía en las universidades de r1

Pennsylvania (1935), Johns Hopkins (1954) y Harvard

r2

(1960-1971). Recibió el Premio Nobel de economía de 1971 por sus aportaciones a la teoría del crecimiento

0

Y0

Y1

YPE

Y

económico, mediante el cálculo estadístico de las

Y

magnitudes macroeconómicas fundamentales, y por los

Figura 7: Función LM

métodos

de

la

contabilidad

nacional

para

la

Puesto que las funciones IS y LM contemplan

determinación de la renta nacional. Sus estudios

las mismas variables es posible agruparlas en una única

estadísticos permitieron contrastar y conocer mejor las

representación, tal como se aprecia en la Figura 8:

macromagnitudes y las hipótesis keynesianas. Muy tempranamente, a principios de la II Guerra Mundial, los estudios de Kuznets y sus discípulos, que ocuparon

r

cargos públicos, permitieron comprobar la certeza de la LM

hipótesis del equilibrio con infrautilización de recursos.

r0

Efectivamente, en Estados Unidos existía gran capacidad industrial y recursos humanos en paro que

r1

todos estos economistas desde sus puestos en la

IS

r2

Administración, con Robert Roy Nathan (discípulo de Kuznets) a la cabeza, se encargaron de movilizar.

0

Y0

Y1

Y2

YPE

Elaboraron el Programa Victoria, que era un plan de

Y

producción de armamentos con unos objetivos muy superiores a los que los políticos habían imaginado

Figura 8: Esquema IS-LM

como posibles de alcanzar. El programa se llevó a la Según este esquema, el equilibrio compatible

práctica con éxito, contribuyendo, así, estos economistas

con una oferta de dinero dada se establece cuando la

a la economía de guerra de una forma inestimable

demanda de dinero se ajusta a ella mediante un tipo de

(Galbraith, 1987, pp. 267 y 269).

interés r1, al cual la inversión se iguala con el ahorro a una renta real Y1.

Las obras más importantes de Kuznets son: Movimientos seculares en la producción y los precios

En el modelo IS-LM, las respectivas funciones

(1940); Renta nacional y su composición (1941); El

se desplazan cuando varían los elementos que se habían

producto nacional desde 1869 (1946); Cambio

supuesto fijos. Así, si el nivel de precios aumenta, la IS

económico (1954); El capital en la economía

y la LM se desplazan a la izquierda, con lo que el tipo de

norteamericana (1961); El moderno crecimiento

interés tiende a subir y la renta real a bajar (excepto que

económico (1966); Población, capital y crecimiento

esa tendencia sea contrarrestada por una mejora de las

(1974) y Crecimiento, población y distribución de la

expectativas empresariales inducida por el aumento de

renta (1979).

los precios; si mejoran las expectativas empresariales, la Paul Anthony Samuelson (1915), economista

IS se desplaza a la derecha; y si la oferta monetaria aumenta, la LM se desplaza a la derecha.

norteamericano, discípulo de Hansen en Harvard, donde

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se doctoró en 1941 (aunque anteriormente también había

podían hallarse y ordenarse (según fuera la preferencia)

estudiado en la Universidad de Chicago), ya ha sido

observando el comportamiento del consumidor en el

tratado en los Temas 26 (Epígrafe 4) y 28 (Epígrafe 5).

mercado, al elegir (o sea, al revelar su preferencia) entre

En 1940 obtuvo una plaza de profesor de economía en el

diferentes conjuntos de bienes. Samuelson (que volvió a

Instituto Tecnológico de Massachusetts, que ocupó

tratar esta teoría bajo un punto de vista eminentemente

durante muchos años. Durante la II Guerra Mundial

matemático en sus Fundamentos del análisis económico

trabajó para la Administración en la Junta Nacional de

-pp. 99 a 119-) soslayó la dificultad práctica de obtener

Planificación y en la Junta de Producción de Guerra

curvas de indiferencia por medio de la introspección,

(para la que el equipo de economistas de Kuznets había

absolutamente subjetiva de cada individuo, acudiendo a

elaborado el Plan Victoria sobre la producción de

un método totalmente objetivo y empírico susceptible de

armamentos) y después de la guerra en el Departamento

tratamiento con datos estadísticos (una explicación de

del Tesoro. Perteneció a la Econometric Society y a la

esta teoría se encuentra en Bilas, 1967, pp. 125 y ss.).

American Economic Associaton. Fue asesor de los presidentes Kennedy y Johnson y criticó la política económica del presidente Nixon. En 1970 se le concedió el Premio Nobel de economía por sus estudios de teoría microeconómica y econométricos, así como por sus aportaciones a la dinámica y estática económicas.

La teoría del bienestar es otro de los numerosos temas económicos que investigó. Llegó a concluir que el concepto de óptimo de bienestar social llevaba implícita una gran relatividad. Las condiciones de óptimo de primer orden de una función de bienestar social, sujeta a condiciones restrictivas, se encuentra

De su prolífica obra destacan: Una nota sobre

cuando los factores de la producción se distribuyen de

la teoría pura del comportamiento del consumidor

forma que el cociente entre la productividad marginal de

(1938);

comercio

un factor en un uso y la productividad marginal del

Economía

del

bienestar

y

internacional (1938); Interacción entre el análisis del

mismo factor en otro uso es proporcional al cociente

multiplicador y el principio de aceleración (1939);

entre la productividad marginal de cualquier otro factor

Fundamentos del análisis económico (1947); Curso de

en el primer uso y su productividad marginal en el

economía moderna (1948, cuyo título original es

segundo uso. Esta proporcionalidad, a su vez, es igual al

Economics, An Introductory Analysis); Teoría pura del

coste marginal del primer bien en términos del segundo

gasto público (1954); Exposición gráfica de una teoría

(Samuelson, 1947, p. 240). Esta condición lleva a que

del gasto público (1955); Programación lineal y

tal máximo se encuentre en la frontera de la hiper-

análisis económico (1958, conjuntamente con R.

superficie de las posibilidades de la transformación de

Dorfman y R.M. Solow) y sus obras completas The

unos bienes en otros (función de transformación); pero

Collected Scientific Papers of Paul A. Samuelson (1966,

no se puede conocer su situación exacta, a menos que se

2 vol. 1972, 3 vol., 1977, 4 vol. y 1987, 5 vol.).

establezcan supuestos adicionales, como por ejemplo, el

Samuelson, muy joven (con 23 años) ya hizo un gran aporte a la teoría del consumidor en el primero de sus dos artículos citados de 1938. Afrontó dicha teoría desde un punto de vista nuevo, el del ordinalismo conductista o teoría de la preferencia revelada. Es decir, las curvas de indiferencia del consumidor (o lugar geométrico de las combinaciones de cantidades de varios bienes que proporcionan la misma satisfacción)

conocimiento previo de los precios de los bienes. Y, aún así, si el sistema productivo responde a costes decrecientes, dicha hipersuperficie resultaría convexa hacia el origen y la condición óptima no correspondería a un máximo, sino a un mínimo de bienestar social (ibídem, pp. 241 y 242). Problemas adicionales que dificultan la obtención de un punto de equilibrio son la decisión de “cómo dividir los bienes disponibles y qué parte de las cantidades disponibles se han de utilizar

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efectivamente” (ibídem, p. 243). Estas decisiones

aceleración. Su versión fue la más aceptada (Backhouse,

afectan a la definición de la función de bienestar social,

1985, p. 394) y una adaptación de la misma por Hicks se

y sin una definición clara de la función es difícil buscar

expuso en el Tema 27, p. 435. El efecto multiplicativo

un óptimo (ibídem, p. 243).

del multiplicador (m=1/(1-c), siendo c la propensión

Por otra parte, con el aumento de la población se multiplican las posibilidades de que no exista un único punto de equilibrio óptimo, y también aumentan las probabilidades de que, alcanzado uno de ellos, cualquier cambio de situación no pueda mejorar a un

marginal a consumir) indicaba los cambios de la renta nacional (Y) ante variaciones de la inversión (I): ∆Y=m∆I. El acelerador (k) mostraba la relación entre la inversión (I) y el crecimiento del consumo (∆C=Ct-Ct-1): I=k∆C; Samuelson supuso que Ct=cYt-1, por lo cual

individuo sin empeorar, al menos, a algún otro (ibídem,

I=kc(Yt-1-Yt-2), igualdad que se convierte, si designamos

p. 251). Para dos individuos y dos bienes, esto se

v=kc, en I=v(Yt-1-Yt-2). La inversión, a su vez, por el

comprueba fácilmente, mediante la Caja de Edgeworth, observando las curvas de indiferencia de cada sujeto al moverse ambos a lo largo de la curva de contratos (ibídem, p. 245). Pero hay más, los individuos pueden encontrarse fuera de la curva de contratos y no tener ningún aliciente o motivación para moverse hacia ella. Es decir, puede ocurrir que no se desee modificar la situación existente ante el desconocimiento de la posible mejoría (ibídem, p. 258). En realidad, es posible que, a unos precios dados, cualquier cambio perjudique a

efecto del multiplicador, repercutía en la renta y, a través de ésta, en el consumo. Para que la interacción de ambos elementos condujera al ciclo, era preciso introducir en el modelo explicativo unos desfases temporales; es decir, se requería una teoría dinámica para la explicación del ciclo. Pero Samuelson hizo ver que esos dos elementos podían dar lugar ora a fluctuaciones amortiguadas que tendían a un equilibrio, ora a oscilaciones amplificadas que se separaban cada vez más del equilibrio (Backhouse, 1985, p. 394).

alguien. Tampoco es seguro que un avance tecnológico,

También Samuelson fue un pionero en la teoría

que desplaza hacia afuera la función de transformación y

de los bienes públicos con sus artículos Teoría pura del

permite más cantidad de un bien a cambio de menos de

gasto público (1954) y Exposición gráfica de la teoría

otro, pueda representar “buen augurio para todos”

del gasto público (1955). Define el bien público como

(ibídem, p. 259). Por ejemplo, “en un mundo donde casi

un caso extremo en el que la cantidad de bien colectivo

todas las industrias producen a un costo social

consumida por un individuo no excluye ni reduce la

marginal menor que el precio (a causa del monopolio o

cantidad que otros puedan consumir, por ejemplo, el uso

de economías externas), no sería deseable que las

y disfrute de la calle (Backhouse, 1985, p. 355). Esta

restantes extiendan su producción hasta el punto en que

idea ya había sido anticipada muchos siglos antes por

el costo marginal iguale al precio” (ibídem, p. 260).

Séneca, quien, en De los beneficios (Lib. IV; XXVIII),

En resumidas cuentas, según Boulding: “Samuelson ha demostrado que ni siquiera podemos estar seguros de que el grupo A disfruta de un mayor bienestar que el B, aunque el A tenga colectivamente una mayor cantidad de todo” (citado por Backhouse,

decía que hay bienes que “están a la disposición de todos”, y “no podrían llegar a ciertas personas sin darlos a todas”. Entre otros Séneca cita las murallas de la ciudad que defienden del enemigo tanto a los asesinos como a los probos ciudadanos, y la ley y el derecho que amparan tanto a los delincuentes como a los honrados.

1985, p. 346).

La producción de bienes públicos plantea los

Samuelson fue uno de los primeros autores en explicar el ciclo económico por la interdependencia de dos elementos: el multiplicador y el principio de

problemas de la recuperación de su coste (ya que se dificulta la asignación individual de su consumo) y de la

Τ30 − 494

TEMA 30: LA ECONOMÍA MATEMÁTICA

Prof. Dr. Eduardo Escartín González

determinación del suministro de las cantidades óptimas

(ibídem, pp. 325 y 326) añade: “Estacionario es un

de los bienes públicos. En su análisis, Samuelson

término descriptivo que caracteriza el comportamiento

concluye que la producción de bienes públicos será muy

de una variable económica en el tiempo; usualmente,

escasa si dependiera de la iniciativa privada. La razón es

implica constancia, pero a veces se emplea en un

que el productor obtiene poco beneficio privado en

sentido más general comprendiendo el comportamiento

comparación con el gran beneficio social, que por lo

que se repite periódicamente en el tiempo”.

menos es igual a la suma de los beneficios de los individuos que disfrutan de dicho bien público. En la apreciación de Samuelson, los bienes públicos puros eran prácticamente inexistentes. En cambio, era más fácil encontrar bienes públicos impuros; o sea, aquéllos que pueden dejarse de consumir, ya sea voluntaria, ya sea coactivamente mediante la imposición de una tasa (Backhouse, 1985, p. 356).

“Estático se refiere, entonces, a la forma y estructura de las leyes postuladas que determinan el comportamiento del sistema. Un equilibrio definido como intersección de dos curvas sería estático. Generalmente es “atemporal”, por cuanto nada se indica acerca de la duración del proceso, pero puede bien definirse como válido en el tiempo. Un mero sistema estático definido de tal modo tendría también la

Samuelson fue un promotor de los métodos

propiedad de ser estacionario. Pero, [...], se pueden

matemáticos y econométricos en el campo de la

concebir sistemas estáticos que no son estacionarios en

investigación científica de la economía. En 1947 publicó

el tiempo”.

una de sus más famosas obras, Fundamentos del análisis económico, donde aprovechó para el análisis dinámico sus conocimientos acerca de las ecuaciones diferenciales y de diferencias, entre otras notables aportaciones a la economía matemática. A este respecto, contribuyó a difundir la distinción entre estática y dinámica establecida por el profesor Ragnar Frisch. Así, sistema dinámico es “todo conjunto de relaciones funcionales que, juntamente con las condiciones iniciales (en el sentido más general), determinan como soluciones ciertas incógnitas en función del tiempo. Conforme a esta definición, sistemas estáticos, atemporales, no son más que casos especiales, degenerados, en los cuales las ecuaciones funcionales toman formas simples y determinan, como soluciones, funciones de tiempo que

“Podemos afirmar que un sistema es dinámico si su conducta en el tiempo está determinada por ecuaciones

funcionales

en

las

cuales

están

comprendidas en forma“esencial” las “variables en diferentes puntos del tiempo”. Esta formulación se debe al profesor Frisch. Ejemplos particulares de tales sistemas son aquellos definidos por ecuaciones de “diferencias”, o sea, las que comprenden una variable y sus valores retardados; por ecuaciones integrales, donde los valores precedentes de la variable entran en forma “continua”. Si damos una interpretación amplia a la circunlocución “variable en diferentes puntos del tiempo”, podemos también incorporar a la definición las ecuaciones diferenciales”.

son idénticamente constantes. Podemos, sin embargo,

La Econometric Society, fundada en 1930,

adoptar una definición más estrecha, de modo que un

contribuyó sobremanera al desarrollo de la econometría,

sistema no podrá considerarse como verdaderamente

que permitió formular modelos económicos matemáticos

dinámico si las ecuaciones funcionales comprenden tan

que permitían contraste empírico. Samuelson, inducido

sólo variables “del mismo instante del tiempo”, sin

por la necesidad del contraste empírico, expuso su

contener al tiempo -en el caso que llegaran a incluirlo-

metodología del operacionalismo en su libro citado

sino como parámetro” (Samuelson, 1947, p. 296).

Fundamentos del análisis económico. En este libro (pp.

Precisando más estos conceptos, Samuelson

3 a 5) criticó la metodología aplicada comúnmente en la investigación económica. Tal metodología consistía en

Τ30 − 495

TEMA 30: LA ECONOMÍA MATEMÁTICA

Prof. Dr. Eduardo Escartín González

deducir leyes económicas derivándolas de supuestos a

supuestos y los supuestos conclusiones; así, éstos serían

priori, y se consideraba que las leyes, así deducidas,

los que deberían ser contrastados y sometidos a la

tenían rigor y validez con independencia de la conducta

refutación.

humana real. Para él la misión del economista era deducir teoremas precisos que fueran operacionalmente significativos. Entendía por teoremas significativos las proposiciones,

“expresadas

en

la

forma

más

conveniente para la verificación empírica” (ibídem, p. 112) que se conciben de forma que puedan ser refutadas, aunque sólo en condiciones ideales. Es decir, los economistas no pueden contentarse con obtener leyes económicas deducidas de supuestos apriorísticos sino que también deben tener en cuenta el contraste de los

Samuelson, brillante y didáctico escritor, ha contribuido a la divulgación y la enseñanza de la economía con su libro Curso de economía moderna (1948) que constituyó un best seller en todo el mundo al utilizarse

como

libro

de

texto

en

numerosas

universidades, al igual que su nueva versión Economics redactada en colaboración con William D. Nordhaus (ambos libros han tenido numerosas traducciones y reediciones). Por último, cabe decir que Samuelson también

supuestos con los datos empíricos que revelan el

ha efectuado importantes aportaciones a la teoría del

comportamiento humano. Este punto de vista dio origen a una viva polémica en la que uno de los contendientes opuestos a esta concepción fue Milton Friedman, del que ya se han expuesto sus apreciaciones (en la p. 476). Samuelson replicó a Friedman, a cuya formulación metodológica

comercio internacional y a la aplicación económica de modelos matemáticos, como la programación lineal (respecto a la cual ya se ha relacionado su libro de 1958 en colaboración con otros autores: Programación lineal y análisis económico).

denominó ‹‹ el giro F›› (“F - twist”) para designar lo que Friedman hacía: “la formulación según la cual una

4.-

LA TEORÍA DE LOS JUEGOS

teoría científica no desmerece si sus premisas no son realistas [...] siempre y cuando las ‹‹ predicciones›› de la

La aplicación de la teoría de las probabilidades

teoría sean útilmente ciertas” (Samuelson, 1992, p.

con finalidades económicas, en el cálculo de riesgos y

378). El argumento de Samuelson pretendía realzar la

que, por consiguiente, eran susceptibles de asegurarse,

importancia del realismo de los supuestos y no tanto de

datan de muy antiguo. Ya, a principios del siglo XVIII,

las conclusiones, porque en todo el conjunto de las

Daniel Bernoulli (Tema 7) había trabajado sobre ello. El

posibles predicciones procedentes de una hipótesis

tratamiento de los sucesos y juegos de azar mediante las

también está incluida la propia descripción a que se

probabilidades resultaba directamente aplicable al

refiere la hipótesis y si ésta es falsa se está achicando ya

mundo de los negocios y, a través de la hipótesis de

de entrada el subconjunto de las predicciones realistas y

Bernoulli2, también al comportamiento individual del

agrandando el de las no realistas. Como las hipótesis no

comerciante, o, en general, de los hombres de negocios y

realistas llevan implícitas con seguridad predicciones no

consumidores.

realistas, “puede suceder que una teoría científica

En la década de los años treinta del siglo XX,

adquiera valor porque tengamos razones para atribuir

varios matemáticos concibieron la idea de utilizar

mucha importancia a las predicciones de dicha teoría

perfeccionamientos teóricos sobre los juegos de azar en

que resulten ciertas y para atribuir poca importancia a

el campo de la economía en el que se sentía la necesidad

las que resulten falsas” (ibídem, p. 378). Backhouse (1985, pp. 315 y 316) interpreta que las teorías podían reformularse de modo que las conclusiones fueran

2 Según dicha hipótesis «la importancia económica de un euro más es para cada individuo inversamente proporcional al número de euros que ya tiene».

Τ30 − 496

TEMA 30: LA ECONOMÍA MATEMÁTICA

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de superar, no ya los riesgos, que como se ha dicho

(el más grande de los mínimos) que proporcionan la

habían pasado a ser calculables y previsibles, sino la

solución: el ganador buscará el maximín compatible con

incertidumbre.

el minimax que tratará de lograr el perdedor.

A este nuevo enfoque, sus autores, John von

Supongamos, siguiendo a Castañeda (1969,

Neumann y Oskar Morgenstern, le dieron el nombre de

pp.534 a 536), un juego de suma cero en el que el

teoría de los juegos.

jugador A obtiene una ganancia, «a», que, a su vez, es la

John von Neumann (cuyo nombre originario era Janos Neumann, 1903-1957) fue un matemático norteamericano, nacido en Hungría y nacionalizado en Estados Unidos. Ejerció el profesor de las universidades de Berlín, Hamburgo y Princeton. Antes de llegar a Norteamérica en 1931 ya había publicado en 1928 un artículo sobre la teoría de los juegos que luego perfeccionaría y expondría en colaboración con el profesor Morgenstern, también de Princenton, en Teoría

pérdida del jugador B. Las diversas jugadas que A puede elegir constituyen una variable que designaremos por x. B tiene igualmente varias posibilidades con las que contrarrestar las jugadas de A. Las posibles jugadas de B se representarán mediante la variable y, de forma que por cada jugada xi de A, B puede responder con cada una de sus posibilidades yj. Por tanto, a cada combinación de x e y (xi, yj) corresponde un resultado ai,j; o sea, «a» es una función de x e y: a=f(x,y). El objetivo de B es minimizar su pérdida según

de los juegos y comportamiento económico (1944). La nueva versión de los juegos de azar se refería a casos en que los jugadores son activos ya que toman sus propias decisiones y buscan las condiciones más favorables a sus intereses, pese a las reacciones posibles del jugador contrario. Estos son los juegos de estrategia, en los que cada jugador puede elegir entre varias alternativas, o estrategias, la más adecuada para contrarrestar la acción decidida, también entre varias posibles, por los otros jugadores. De este modo, la finalidad de cada jugador consiste en minimizar sus

sea la jugada que A haya realizado. Así, cuando A toma la iniciativa, para cada uno de los valores fijados por A, por ejemplo xo, B puede calcular su mínima pérdida en la función a = f(x,y), que se hallará, por tanto, cuando ∂f/∂y = 0. Para otro valor x1, B también podrá calcular su mínima pérdida en la función a = f(x,y); y para los restantes valores fijos de x seguirá procediendo así sucesivamente. El conjunto de los valores de todas estas mínimas pérdidas forman una función que es el resultado de hallar la derivada parcial de la función de los valores «a» con respecto a y, ya que las x se consideran fijas;

pérdidas compatibles con un máximo de ganancias.

esta nueva función de pérdidas de B puede ser Si se supone que las ganancias de algunos

denominada como míny f(x,y).

jugadores son las pérdidas de otros, es decir, se trata de El objetivo de A consiste en maximizar su

juegos de suma cero y, para simplificar, que se reduce a dos el número de jugadores, el que obtiene ganancias no puede pretender alcanzar su máxima posibilidad de ganar, puesto que el contrincante, con sus estrategias, procurará impedírselo para perder lo mínimo posible. Así, uno tendrá que contentarse con una ganancia menor y el otro se conformará con una pérdida algo mayor de

ganancia teniendo en cuenta la reacción de B, recién descrita en el párrafo anterior. Por consiguiente, las mayores ventajas al alcance de A con sus posibles jugadas x, ante la reacción de B, será la de maximizar la función de pérdidas de B. Por tanto, tendremos como solución:

las que ambos hubieren deseado.

máxx míny f(x,y)

(1)

John von Neumann ideó los conceptos de

Como no se sabe cual de los dos jugadores será

minimax (el más pequeño de los máximos) y maximín

el primero en actuar y el otro en reaccionar, el

Τ30 − 497

TEMA 30: LA ECONOMÍA MATEMÁTICA

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razonamiento se puede establecer a la inversa, cuando es

lógico es que B, ante esta 1ª estrategia de A, opte por su

B el que actúa en primer lugar teniendo en cuenta las

3ª estrategia que es la que le proporciona una menor

reacciones de A, en cuyo caso, tendrá que minimizar sus

pérdida.

perdidas según la función de ganancias de A; de modo que tendremos ahora:

Si A elige su 2ª estrategia tiene posibilidades de ganar 11, 5 ó 7, cuando B replique con su 1ª, 2ª ó 3ª

míny máxx f(x,y)

(2)

Los resultados de (1) y (2) están relacionados entre sí de forma que el máximo de A respecto a la

estrategia, respectivamente. Evidentemente, B hará frente, ante la 2ª estrategia de A, con su 2ª estrategia, para minimizar su pérdida. Cuando A utiliza su 3ª estrategia, sus

función de mínimas pérdidas de B nunca puede ser mayor que el mínimo de B respecto a la función de

hipotéticas ganancias serían 3, 12 y 4. Sin embargo,

máximas ganancias de A; es decir, :

deberá conformarse con ganar 3 ya que B empleará su 1ª estrategia para contrarrestar esa acción de A.

máxx míny f(x,y) ≤ míny máxx f(x,y) Ahora bien, cuando existe la igualdad (aunque no siempre es seguro que la haya), tal solución recibe el nombre de punto de silla que es simultáneamente la máxima de las mínimas pérdidas para un jugador y la mínima de las máximas ganancias para el otro:

En consecuencia, y teniendo en cuenta las reacciones del contrario, las verdaderas posibilidades de ganancia de A son entre 8, 5 y 3, según presente, respectivamente, su 1ª, 2ª ó 3ª estrategia; estos valores (8, 5 y 3) pertenecen a la función míny f(x,y). La opción de A, como se ve, se limita a maximizar entre las

máxx míny f(x,y) = míny máxx f(x,y)

mínimas pérdidas del contrincante; o sea actúa según

Para captar mejor estos conceptos veamos un ejemplo numérico cuando, entre dos jugadores, cada uno de ellos puede optar por tres estrategias, según se

indica (1). Por consiguiente, elegirá su 1ª estrategia. El contrincante con sus estrategias sólo puede aspirar a minimizar las máximas ganancias que obtendría A si hubiera sido B quien llevara la iniciativa: 11, 12, y 8,

expone en la siguiente Tabla, Juego de Estrategia.

valores que pertenecen a la función máxx f(x,y). Así, ESTRATEGIAS DE A

tanto para A como para B, 8 es el punto de silla o de

ESTRATEGIAS DE B

encuentro de sus correspondientes estrategias I

II

III

I

9

10

8

II

11

5

7

III

3

12

4

Una variante más compleja de este tipo de juegos es el de estrategia mixta; se trata de juegos en los que interviene la incertidumbre. En estas situaciones cada sujeto tiene una información limitada de las condiciones en las que se desenvuelve el juego y no sabe con exactitud cual será la reacción de su contrincante; así no le es posible calcular el maximín o el minimax y

TABLA: JUEGO DE ESTRATEGIA

el punto de silla. También se estaría en esta situación

Cuando un jugador adopta una estrategia el otro puede oponérsele con una de las tres a su alcance.

cuando no existiera tal punto de silla. Entonces, el sujeto que obtiene las ganancias tendrá que elegir, de entre sus

Si A establece su 1ª estrategia puede ganar 9, 10 u 8, según que el contrincante, B, reaccione contra él mediante su 1ª, 2ª o 3ª estrategia, respectivamente. Lo

varias estrategias, aquella que le proporcionase la máxima esperanza matemática de ganancia (la cual, incluso, podría ser medida por un índice de satisfacción o de utilidad).

Τ30 − 498

TEMA 30: LA ECONOMÍA MATEMÁTICA

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Supongamos que las estrategias de A son 1,

estrategia preferida, entre otras causas que originan la

2,...,i,...m; que las de B son 1,2,...,j,...,n; y que los

incertidumbre), es indiferente qué sujeto toma la

valores del juego para cada combinación de estrategias

iniciativa, ya que uno se limita a calcular la estrategia

(i.j) constituyen una matriz de pagos cuyo término

que le proporciona la máxima esperanza matemática de

general sea ai,j. El sujeto A elige cada una de sus

ganancia con independencia de la respuesta del otro o de

opciones con un determinado grado de probabilidad, pi,

si tomará la iniciativa. El contrincante, por su parte,

tal que 0 < pi ≤1 y Σpi = 1, mientras que B escoge las

también actúa sin tener en cuenta la decisión de su

suyas con la probabilidad qj, tal que 0 < qj ≤1 y Σqj = 1 En estas condiciones, si A optara por su 1ª estrategia la esperanza matemática de su ganancia sería: n

E A,1 = p1 ∑

oponente al calcular su mínima esperanza matemática de pérdida. También resulta evidente que en estos juegos de estrategia mixta siempre hay un punto de silla (el determinado por p* y q*). Otra modalidad, con mayor aplicabilidad en

a1, j q j

j =1

economía, son los juegos de estrategia de suma no nula,

n

o generales, en los que siempre se obtienen ganancias. Si A optara por su 2ª estrategia, resultaría que

Oskar Morgenstern (1902-1977), economista

n

a2 , j q j

norteamericano de origen alemán, fue profesor de las

j =1

n

universidades de Viena y Princeton (1938-1971). En

E A , 2 = p2 ∑

1938 se trasladó a Estados Unidos y en la Universidad Y, en general, para la estrategia i, tendría n

ai , j q j

j =1

n

E A,i = pi ∑

de Princeton colaboró con John von Neumann en la aplicación a la economía de los juegos de estrategia. Éstos se adaptaban bien a las situaciones conflictivas en las que existen varias líneas de acción alternativas por

Entre todas estas esperanzas matemáticas,

cada oponente, como sucede en la guerra, la política y la

desde EA,1 hasta EA,m , el sujeto A elegirá, obviamente, la

economía. En todas esas situaciones, los sujetos no son

máxima, que designaremos por máxEA,i . Mediante este proceder, en realidad, A determina, de su vector de probabilidades P{p1,p2,...,pm}, el valor p* que maximiza

actores pasivos, sino que reaccionan ante los actos o estímulos desencadenados por otros. La colaboración de ambos autores se plasmó en el libro Teoría de los juegos y comportamiento económico (1944).

las esperanzas matemáticas de su ganancia.

Otras obras de Morgenstern son: La exactitud

Estudiando el proceso que, de una forma similar, realizaría el sujeto B para minimizar las esperanzas matemáticas de sus posibles pérdidas, se obtendría el mínEB,j, y con él el valor q* de su vector de probabilidades, Q{q1,q2,...,qn}, que minimiza las

en las observaciones económicas (1963); El óptimo de Pareto y la organización económica (1964); Teoría descriptiva, predictiva y normativa (1972) y Asignación estratégica y teoría de los juegos (1973).

esperanzas matemáticas de sus pérdidas. El conjunto de

En relación con los juegos de estrategia

valores p* y q* determinan, dentro de la matriz de

mixta, Morgenstern y von Neumann desarrollaron una

pagos, el término que constituye el punto de silla.

nueva teoría de la utilidad basada en su medición

Como fácilmente se aprecia, en estos juegos de estrategia mixta, en los que se ignora cual será la jugada del rival (porque cada cual se encarga de ocultar su

cardinal a partir de la adjudicación hipotética y arbitraria de un valor a la utilidad en una situación concreta; luego, se construye una tabla con el cálculo de las demás utilidades, correspondientes a las restantes situaciones.

Τ30 − 499

TEMA 30: LA ECONOMÍA MATEMÁTICA

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Estas mediciones sólo son válidas para cada caso

55.000 euros (o sea, el resultado de acumular a lo ya

particular a estudiar. La nueva concepción de la teoría

poseído los nuevos 5.000 euros del juego si gana) por la

de la utilidad se denomina neocardinalismo o

probabilidad de ganar, tiene que representarle esa misma

cardinalismo conductista, porque la medición de la

utilidad de 20. Es decir: E(G) = 0,8 ⋅ u'1 = 20; por lo

utilidad se realiza en función de la conducta demostrada

que, despejando, u'1 = 20:0,8 = 25.

3

por cada sujeto con sus actuaciones .

Si una vez que el sujeto ha ganado y ya tiene

Para captar mejor la idea veamos un sencillo

55.000 euros se le sugiriera continuar de nuevo con el

juego para un único apostante, siguiendo a Bilas (1971,

juego, quizás, ahora que es algo más rico, se le pueda

pp. 151 a 153). Se pretende ofrecer la posibilidad de

inducir a la situación de indiferencia con tan sólo un

ganar o perder 5.000 € a una persona que ya dispone de

70% de probabilidades de ganar. En este caso, el cálculo

50.000 €. Al estar el individuo expuesto a perder 5.000

sería:

€, se supone arbitrariamente que la utilidad marginal de los últimos 5.000 €, en el nivel de 50.000 € en que se encuentra, es de u'0 = 100. A partir de este supuesto se

Esperanza matemática de la pérdida de utilidad (conocida): E(P) = 0,3 ⋅ u'1 = 0,3 ⋅ 25 = 7,5.

construye la tabla de utilidades marginales en función

Esperanza matemática de la ganancia de

del comportamiento demostrado por el sujeto y para el

utilidad [desconocida, pero equivalente a la de la

juego en concreto. Dicha tabla de utilidades marginales

pérdida, E(G) = E(P)], que es: E(G) = 0,7⋅u'2 = 7,5; así

es la que se ilustra un poco más adelante.

que u'2 = 7,5:0,7 = 10,7.

Cuando un sujeto se encuentra en condiciones

DINERO

u’

fundamentan en la esperanza matemática de las

50.000

100

u’0

hipotéticas ganancias o pérdidas de utilidad. Así, si a la

55.000

25

u’1

60.000

10,7

u’2

65.000

7,13

u’3

de incertidumbre, se supone que sus actuaciones se

persona del ejemplo es necesario ofrecerle un 80% de probabilidades de ganar para llevarle justo al borde de la indecisión de aceptar la apuesta, en ese momento está demostrando una indiferencia entre las esperanzas matemáticas de la ganancia y de la pérdida de utilidad.

TABLA: UTILIDADES MARGINALES

Esta última se cifra en el producto, p⋅u’0, de la probabilidad de perder (p tal que 0