I. Valoraci´on de Activos Financieros Virginia S´anchez Marcos

February 10, 2016

Virginia S´ anchez Marcos I. Valoraci´ on de Activos Financieros

Notas Economia Monetaria y Financiera, UNICAN February 10, 2016

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Introducci´on

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Rendimiento y riesgo

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Rendimiento y vencimiento: la curva de rendimiento

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Referencias

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Introducci´ on

¿c´ omo se determina el precio o rendimiento de activos con distintas caracter´ısticas? I

¿por qu´e si el rendimiento de los activos de Bolsa (US, 6% stocks) -activos con riesgo- es mayor que el rendimiento de los bonos (US, 1% bonds) -activos sin riesgo-, la gente compra bonos?

I

¿qu´e factores determinan el tipo de inter´es que ofrece un activo financiero en funci´ on de su vencimiento? Curva de rendimiento

estudiaremos un modelo en que los hogares deciden sobre consumo y ahorro y sobre el portafolio de activos a mantener: la ecuaci´ on b´asica para determinar el precio de un activo surge de las condiciones de primer orden del problema de optimizaci´ on del hogar ´ CUESTIONES PRACTICAS: ¿est´an los activos financieros sobrevalorados/infravalorados en los mercados? Virginia S´ anchez Marcos I. Valoraci´ on de Activos Financieros

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Introducci´ on

A la luz de la teor´ıa podemos adoptar dos posibles enfoques I I

contrastar la teor´ıa y concluir si explica los datos o si necesita ser mejorada asumir que la teor´ıa es correcta y concluir sobre si los activos est´ an correctamente valorados en los mercados: identificar potenciales oportunidades para el inversor

La idea central de la teor´ıa de valoraci´ on de activos I I

I

el objetivo es valorar un flujo incierto de ingresos/pagos futuros el precio de un activo depende del valor esperado descontado de los pagos asociados a ese activo adem´ as, las fuentes de riesgo macroecon´ omico afectan a los precios del activo

Tambi´en podemos aprender sobre actitud de individuos frente al riesgo

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Rendimiento y riesgo

La econom´ıa econom´ıa sin producci´ on cada hogar/individuo/familia vive 2 per´ıodos y obtiene una renta ex´ogena en cada per´ıodo los hogares derivan utilidad del consumo en cada per´ıodo y son impacientes econom´ıa con incertidumbre agregada: z es una variable aleatoria que determina el valor de la renta ex´ ogena y, tal vez, el rendimiento de un activo consideraremos 2 tipos de activos financieros I I

uno CON RIESGO (acci´ on) con precio pt y cuyo pago futuro es xt+1 (z) uno SIN RIESGO (bono) cuyo precio normalizamos a 1 y con rendimiento b (bruto) fijo Rt+1

podr´ıamos estudiar cualquier otro tipo de activo financiero! Virginia S´ anchez Marcos I. Valoraci´ on de Activos Financieros

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Rendimiento y riesgo

El problema del hogar

El problema de optimizaci´ on de un hogar en esta econom´ıa max

{at ,bt ,ct ,ct+1 (z)}

u(ct ) + βEt u(ct+1 (z))

sujeto a las restricciones presupuestarias ct + pt at + bt = yt b ct+1 (z) = at xt+1 (z) + bt Rt+1 + yt+1 (z)

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Rendimiento y riesgo

La soluci´on La resoluci´ on del problema de optimizaci´ on del hogar da lugar a una serie de expresiones cuya interpretaci´ on resulta muy interesante b u 0 (ct ) = βRt+1 Et u 0 (ct+1 (z))

(1)

pt u 0 (ct ) = βEt u 0 (ct+1 (z))xt+1 (z)

(2)

que podemos escribir como

b 1 = βRt+1 Et

pt = βEt

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u 0 (ct+1 (z)) u 0 (ct )

(3)

u 0 (ct+1 (z))xt+1 (z) u 0 (ct )

(4)

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Rendimiento y riesgo

La soluci´on: el rendimiento del activo sin riesgo De la ecuaci´ on (3) tenemos 1 b Rt+1

= βEt

u 0 (ct+1 (z)) u 0 (ct )

(5)

En ausencia de incertidumbre y bajo el supuesto de una funci´on de utilidad CES

b Rt+1 =

1 ct+1 σ ( ) β ct

Comentarios: 1 2 3

El tipo de inter´es es mayor cuando los individuos son impacientes (menor β) El tipo de inter´es es mayor cuanto mayor es el crecimiento del consumo Adem´as, el tipo de inter´es es m´as sensible al crecimiento del consumo cuanto mayor sea σ (esto significa que la elasticidad de sustituci´on intertemporal es menor: los individuos est´an m´as deseosos de tener un perfil de consumo equilibrado)

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Rendimiento y riesgo

La soluci´on: el precio del activo con riesgo

De la ecuaci´ on (4) y utilizando Exy = ExEy + cov (x, y ) pt = Et mt+1 (z)Et xt+1 (z) + cov (mt+1 (z), xt+1 (z))

(6)

0

t+1 (z)) Donde mt+1 = βu u(c0 (c (factor de descuento estoc´astico), por lo que t) 1 = E m (z) t t+1 Rb t+1

a A partir de ahora Rt+1 (z) =

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xt+1 (z) pt

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Rendimiento y riesgo

La soluci´on: el precio del activo con riesgo De las ecuaciones (5) y (6) obtenemos pt =

Et xt+1 (z) + cov (mt+1 , xt+1 ) b Rt+1

(7)

Comentarios: 1 el precio del activo se puede expresar como la suma de dos t´erminos I I

2

un t´ermino que mide el valor presente descontado de los pagos futuros un t´ermino que corrige por el riesgo

el segundo t´ermino NO est´a presente si el consumo es constante o el individuo tiene una funci´ on de utilidad lineal (neutral al riesgo)

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Rendimiento y riesgo

La soluci´on: el precio del activo con riesgo 3

4

5

el precio de un activo es menor si su pago tiene covarianza positiva con la 0 (z)),xt+1 ) evoluci´ on del consumo (recuerda que cov (mt+1 , xt+1 ) = cov (u (cut+1 y 0 (c ) t que la utilidad marginal del consumo es decreciente). En este caso el activo hace que el consumo del individuo sea m´as volatil y resulta poco atractivo para los individuos aversos al riesgo ocurre al contrario si la covarianza es negativa: en este caso el activo actua como seguro!, es decir, ofrece pagos altos cuando el individuo est´a recibiendo rentas bajas y pagos bajos cuando el individuo est´a recibiendo rentas altas. Por ello, el activo es m´as atractivo para los individuos aversos al riesgo y est´as dispuestos a pagar por ese activo un precio mayor por tanto, lo relevante para determinar el precio de un activo es la covarianza entre el pago y el factor de descuento y NO la varianza del pago. La raz´on es que al consumidor lo que le preocupa es la VOLATILIDAD DE SU CONSUMO, no la de un activo en particular

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Rendimiento y riesgo

La soluci´on: el premio al riesgo b y dividiendo pt tenemos otra expresi´on interesante Multiplicando (7) por Rt+1 a b b a Et Rt+1 − Rt+1 = −Rt+1 cov (mt+1 , Rt+1 )

(8)

Comentarios: 1

La diferencia entre el rendimiento esperado de un activo con riesgo y el de un activo sin riesgo depende de la covarianza entre el consumo y el pago del activo con riesgo: si dicha covarianza es positiva el rendimiento del activo con riesgo debe ser mayor

2

N´otese que las preferencias afectan al factor de descuendo estoc´astico mt+1 , en particular el grado de aversi´ on al riesgo

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Rendimiento y riesgo

Resumiendo

Lo relevante para determinar el precio de un activo financiero NO es la varianza de su rendimiento, sino la covarianza entre el rendimiento de ese activo financiero y el consumo

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Rendimiento y riesgo

Contrastaci´on del modelo ¿Es este modelo capaz de explicar el diferencial entre el rendimiento de los activos con y sin riesgo que se observa en los datos y que documentamos en la primera diapositiva? ¿Es este modelo capaz de explicar la volatilidad de los precios de los activos financieros? Las predicciones de esta teor´ıa no se ajustan a los datos, salvo para valores poco plausibles de la aversi´ on al riesgo: equity premium puzzle (Mehra and Prescott (JMOE, 1985)) Por esta raz´ on la literatura explora I

I

I

distintas extensiones del modelo, por ejemplo distintas funciones de utilidad (h´ abitos, preferencias Epstein-Zin) mediciones alternativas de los rendimientos de los activos a explicar (McGrattan and Prescott (AER 2003)): tratamiento fiscal la medici´ on del equity premium en otros pa´ıses (Dimson, Marsh and Stauhlon (2001)

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Rendimiento y riesgo

Otros comentarios: el modelo en equilibrio general Hasta aqu´ı hemos estudiado c´ omo se determina el precio dada la distribuci´on conjunta del consumo (utilidad marginal) y del pago del activo, pero podr´ıamos tratar de determinar el consumo dados los precios de los activos y los pagos, ¿qu´e es antes el huevo o la gallina? ¿qu´e variable es ex´ogena y qu´e variable es end´ ogena? I

necesitar´ıamos cerrar la econom´ıa para determinar conjuntamente el consumo y los precios: necesitamos modelizar el lado de la producci´ on. Por ejemplo, si tenemos una econom´ıa con dotaciones de consumo dadas no almacenables, los precios de los activos deben ajustarse para que los individuos est´en satisfechos con los perfiles de consumo que les corresponden en cada periodo

Sin embargo, no es necesario modelizarlo todo si s´ olo estamos interesados en estudiar los precios de los activos y conocemos el modelo estad´ıstico del consumo

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Rendimiento y riesgo

Otros comentarios: una expresi´on general para el precio de un activo Con el an´alisis en las diapositivas anteriores basado en un modelo de consumo obtenemos una expresi´ on para el precio de un activo. De forma general se podr´ıa decir que el precio de un activo se obtiene como resultado de aplicar un factor de descuento m a unos pagos futuros x (bajo el supuesto de que no existen oportunidades de arbitraje) pt = Emt+1 xt+1

(9)

En el modelo desarrollado con anterioridad obtuvimos una expresi´on concreta para factor de descuento m, pero otros modelos podr´ıa producir otras...De otra forma, el modelo desarrollado nos permite pasar de una expresi´on general como la (9) a una expresi´ on particular como la (4) Virginia S´ anchez Marcos I. Valoraci´ on de Activos Financieros

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Rendimiento y riesgo

Otros comentarios: una expresi´on general para el precio de un activo

a (z) Si en la expresi´ on (9) dividimos por pt tenemos que 1 = Et mt+1 (z)Rt+1 que podemos reescribir como a a 1 = Et mt+1 (z)Et Rt+1 (z) + cov (mt+1 (z), Rt+1 (z))

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(10)

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Rendimiento y riesgo

Otros comentarios: Beta pricing model A partir de la expresi´ on (10) es posible expresar el rendimiento esperado del activo con riesgo como (dividimos por Et mt+1 (z) y teniendo en cuenta que para un activo sin riesgo tenemos que R 1b = Et mt+1 (z)) t+1

ER a = R b + (

var (m) cov (m, R a ) )(− ) var (m) E (m)

(11)

que podemos escribir como ER a = R b + βa,m λm

(12)

se conoce como beta pricing model (CAPM) Virginia S´ anchez Marcos I. Valoraci´ on de Activos Financieros

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Rendimiento y riesgo

Otros comentarios: Beta pricing model

ER a = R b + βa,m λm

λm es igual para cualquier activo financiero con risgo (precio del riesgo), pero βa,m var´ıa de un activo a otro (cantidad de riesgo) contrastaci´ on con datos de secci´ on cruzada el modelo Fama-French(1993) de tres factores: a˜ nade dos nuevos factores al model CAPM, market value and book-to-market

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Rendimiento y riesgo

Otros comentarios: Frontera media-varianza Otra expresi´ on interesante que podemos obtener a partir la ecuaci´on (10) a a a a sd(mt+1 )sd(R 1 = Et mt+1 Rt+1 = Et mt+1 Et Rt+1 + ρmt+1 ,Rt+1 t+1 )

Dividiendo por Et mt+1 y recordando que Et mt+1 = a b a Et Rt+1 = Rt+1 − ρmt+1 ,Rt+1

(13)

1 b Rt+1

sd(mt+1 ) a sd(Rt+1 ) Et mt+1

(14)

Por tanto a b |Et Rt+1 − Rt+1 |≤ Virginia S´ anchez Marcos I. Valoraci´ on de Activos Financieros

sd(mt+1 ) a sd(Rt+1 ) Et mt+1

(15)

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Rendimiento y riesgo

Otros comentarios: Ratio de Sharpe

La expresi´ on anterior puede tambi´en escribirse como b a − Rt+1 Et Rt+1 sd(mt+1 ) ≤ a sd(Rt+1 ) Et mt+1

(16)

Bajo determinados supuesto a b Et Rt+1 − Rt+1 ≤ σsd(∆lnc) a ) sd(Rt+1

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Rendimiento y riesgo

Otros comentarios: l´ıneas de investigaci´on

Teor´ıas sobre el factor estoc´astico de descuento basadas en comportamiento de inversores racionales: diversas extensiones de CCAPM behavioral finance: agentes no racionales y factores institucionales

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Rendimiento y riesgo

Otros comentarios: burbujas 1

Burbujas I

Pensemos en un activo que paga un dividendo dt+1 , el otro componente del pago (xt+1 ) de este activo es el precio de venta del activo pt+1 .

I

Bajo ciertos supuestos ∞

pt =

X d d + pt+1 pt+m d pt+m = + limm→∞ m = + limm→∞ m s R R R R − 1 R s=1

I

El primer t´ermino de la expresi´ on representa el valor fundamental del activo, el segundo t´ermino es la burbuja

I

¿Por qu´e hay burbujas? F F F

”animal spirits” ”sunspots” ”self-fulling prophecies”

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Rendimiento y riesgo

Otros comentarios: hip´otesis de mercados eficientes

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El precio del activo como un paseo aleatorio pt+1 = pt + t I I

Donde t es ruido blanco La mejor predicci´ on del precio ma˜ nana es el precio hoy

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Rendimiento y vencimiento: la curva de rendimiento

La econom´ıa econom´ıa sin producci´ on cada hogar/individuo/familia vive 3 per´ıodos y obtiene una renta ex´ogena en cada per´ıodo los hogares derivan utilidad del consumo en cada per´ıodo econom´ıa con incertidumbre agregada, z es una variable aleatoria que determina el valor de la renta ex´ ogena en la econom´ıa hay dos tipos de activos financieros: I I

bono a CORTO PLAZO (1 per´ıodo, b1t ) bono a LARGO PLAZO (2 per´ıodos, b2t )

el rendimiento en un bono tipo i (con i = 1, 2) en el per´ıodo t lo denotamos por rit , el precio se normaliza a 1 Virginia S´ anchez Marcos I. Valoraci´ on de Activos Financieros

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Rendimiento y vencimiento: la curva de rendimiento

El problema del hogar El problema de optimizaci´ on: max

{b1t ,b2t ,ct ,ct+1 ,ct+2 }

u(ct ) + βEu(ct+1 (zt+1 )) + β 2 Eu(ct+2 (zt+2 ))

sujeto a las restricciones presupuestarias ct + b1t + b2t = yt ct+1 (zt+1 ) + b1t+1 = b1t (1 + r1t+1 ) + yt+1 (zt+1 ) ct+2 (zt+2 ) = b1t+1 (1 + r1t+2 (zt+2 )) + b2t (1 + r2t+2 )(1 + r2t+2 ) + yt+2 (zt+2 ) En esta econom´ıa hay dos formas de disponer de 1 unidad de consumo en t + 2 comprar bonos a largo plazo en t comprar bonos a corto plazo en t y reinvertir en bonos a corto plazo en t + 1 Virginia S´ anchez Marcos I. Valoraci´ on de Activos Financieros

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Rendimiento y vencimiento: la curva de rendimiento

La soluci´on Las condiciones de primer orden son u 0 (ct ) = βEt (1 + r1t+1 )u 0 (ct+1 (z1t+1 ))

(18)

u 0 (ct ) = β 2 Et (1 + r2t+2 )(1 + r2t+2 )u 0 (ct+2 (z1t+2 ))

(19)

adem´as, en t + 1 u 0 (ct+1 (z)) = βEt+1 (1 + r1t+2 (z1t+2 ))u 0 (ct+2 (z1t+2 ))

(20)

Et u 0 (ct+1 (z1t+1 )) = βEt Et+1 (1 + r1t+2 (z1t+2 ))u 0 (ct+2 (z1t+2 ))

(21)

por lo que

que por la Ley de Expectativas Iteradas Et u 0 (ct+1 (z1t+1 )) = βEt (1 + r1t+2 (z1t+1 ))u 0 (ct+2 (z1t+2 )) Virginia S´ anchez Marcos I. Valoraci´ on de Activos Financieros

(22)

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Rendimiento y vencimiento: la curva de rendimiento

La soluci´on en un caso particular Bajo el supuesto de funci´ on de utilidad logar´ıtmica y en equilibrio general: (1 + r1t+1 ) =

(1 + r2t+2 )2 =

1=E

1 βyt E yt+1 (zt+1 )

(23)

1 β 2 yt E yt+2 (zt+2 )

(24)

β(1 + r1t+2 (zt+1 ))yt+1 (zt+1 ) yt+2 (zt+2 )

(25)

Bajo ciertos supuestos podemos llegar a la siguiente expresi´on: r2t+2 ≈

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r1t+1 + Er1t+2 (zt+1 ) 2

(26)

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Rendimiento y vencimiento: la curva de rendimiento

Algunas conclusiones De acuerdo con esta teor´ıa, el tipo de inter´es ANUAL de los bonos a 2 a˜ nos es una media de los tipos de inter´es ANUALES de los bonos a 1 a˜ no, uno de ellos incierto La forma de la curva de tipos proporciona informaci´ on sobre las expectativas de los futuros tipos de inter´es a corto plazo y, en consecuencia, del ciclo econ´omico (ver ecuaci´ on (24)). Por tanto, la curva de tipos es un instrumento de an´alisis de coyuntura econ´ omica El hecho de que los tipos a largo dependan de los tipos a corto, refuerza la importancia de la pol´ıtica monetaria. Adem´as, son importantes los esfuerzos de la autoridad monetaria por transmitir su pol´ıtica futura de tipos de inter´es, pues con ello influye en las expectativas y de esta manera en los tipos de inter´es a largo plazo

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Referencias

Cochrane,J. (2001), Cap´ıtulo 1. Wickens, M. (2008), Cap´ıtulo 10.

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